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山东省高二数学上学期期末

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山东高二上学期期末数学试题(解析版)

山东高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．已知直线，若，则实数的值为（ ） 12:(2)10,:30l ax a y l x ay +-+=++=12l l ⊥a A ．3 B ．0或3C ．1D ．或12-【答案】B【分析】直接由两直线垂直的条件求解．【详解】∵，∴，解得或． 12l l ⊥(2)0a a a +-=0a =3a =故选：B ．【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件．两直线与垂直的充要条1110A x B y C ++=2220A x B y C ++=件是．12120A A B B +=2．双曲线的渐近线方程为（ ）2214x y -=A ． B ．C ．D ．4y x =±2y x =±12y x =±14y x =±【答案】C【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程．【详解】双曲线的渐近线方程为，即，2214x y -=2204x y -=12y x =±故选：C.3．若抛物线上的点到焦点的距离为则（ ） 22(0)x py p =>(),1A m 4,||m =A ．B ．C ．6D ．112【答案】D【分析】用焦半径公式解方程算出即可获解.p 【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离为4，所以，即，22(0)x py p =>(,1)A m 142p+=6p =，所以212x y =212,||m m ==故选：D.4．从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，则这三个数能作为锐角三角形三边长的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．4351763515【答案】C【分析】根据题意可知，从7个整数中随机取3个不同的整数共有种组合，再列举出这三3C 35=个数能作为锐角三角形三边长的所有情况，即可求出其概率.【详解】由题可知，从2至8这7个整数中随机取3个不同的整数，共有种组合，37C 35=若要这三个数能作为锐角三角形三边长，设三角形的三边长为，且， ,,a b c a b c <<由余弦定理可知，只需满足即可；222a b c +>三角形的三边长为4，5，6时，，满足题意； 222456+>三角形的三边长为4，6，7时，，满足题意； 222467+>三角形的三边长为4，7，8时，，满足题意； 222478+>三角形的三边长为5，6，7时，，满足题意； 222567+>三角形的三边长为5，7，8时，，满足题意； 222578+>三角形的三边长为6，7，8时，，满足题意； 222678+>所以，共6种组合满足题意；即能作为锐角三角形三边长的概率为. 635P =故选：C.5．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底{},,a b c {,,}a b a b c +- p下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） {},,a b c (4,2,3)p{,,}a b a b c +- A ． B ．C ．D ．(4,0,3)(1,2,3)(3,1,3)(2,1,3)【答案】C【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.p{,,}a b a b c +- (),,x y z 【详解】∵在基底下的坐标为p{},,a b c (4,2,3)∴=423p a b c ++ 设在基底下的坐标为 p{,,}a b a b c +- (),,x y z 则()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+=++-+ 对照系数，可得：423x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得：313x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴在基底下的坐标为 p{,,}a b a b c +- ()3,1,3故选：C6．设，是椭圆：的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线1F 2F E ()222210x y a b a b +=>>()2,0F c l与直线相交于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率的值是（ ）2a x c=P 12PF F △E e AB ． CD13【答案】A【分析】先求得点的坐标，然后根据列方程，化简求得离心率. P 60︒【详解】由于为等腰三角形， 12PF F △所以，21cos 6022a c c c -︒==222212,,2c c a c a a ===故选：A7．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为221:20C x y x m +--=222:40C x y y m +++=m （ ） A ． B ． C ． D ．()0,4()1,4-()1,0-[)0,4【答案】B【分析】由两圆相交可得参数范围．【详解】因为圆与圆恰有2条公切线，所以221:(1)1C x y m -+=+222:(2)4C x y m++=-10,40,m m ⎧+>⎪⎪->⎨<解得 1 4.m -<<故选：B ．8．双曲线C ：的左，右焦点分别为，，过的直线与C 交于A ，B 两()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F 2F 点，且，，点M 为线段的中点，则（ ） 222AF F B = 160ABF ∠=︒2AF 112F MF F =A ．B C ．D 4353【分析】设，由已知得，利用双曲线定义知，， 2BF t =22AF t =12BF t a =+122AF t a =+在中与中分别利用余弦定理，再结合，可求得12BFF △1BF A A 121cos cos 0AMF F MF +=，进而得解 【详解】设，因为，所以， 2BF t =222AF F B =22AF t =由双曲线定义知，则 122B F B F a -=12BF t a =+由双曲线定义知，则122AF AF a -=122AF t a =+设，，因为， 122FF c =222c a b =+160ABF ∠=︒在中，①； 12BF F △22222212(2)(2)1cos 24402(2)2++-∠==⇒++-=⨯+⨯t a t c F BF t at a c t a t 在中， 1BF A A 22221(2)(3)(22)1cos 31002(2)32++-+∠==⇒-=⨯+⨯t a t t a F BA t at t a t 解得：，代入①式，得．103t a =73c a =点M 为线段的中点，所以， 2AF 2103A a M MF ==因为，所以121cos cos 0AMF F MF+=，2222221111102610143333010102233a F M a a F M a a F M a F M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⨯⨯又因为12143F F a =故选：B二、多选题9．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝“两次都击中飞机”，B ＝“两次都没击中飞机”，C ＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D ＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ） A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝ ∅C ．A ∪C ＝D D ．A ∪B ＝B ∪D【答案】ABC【分析】根据试验过程，分析出事件A 、B 、C 、D 的含义，对四个选项一一判断.【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A ⊆D ，A ∪C ＝D .故A 、C 正确；因为事件B ，D 为互斥事件，所以B ∩D ＝.故B 正确；∅对于D ：A ∪B ＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B ∪D 为必然事件，这两者不相等.故D 错误. 故选：ABC.10．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线l (1,0,3)e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ l α∥B ．若对空间中任意一点，有，则四点共面 O 111444OP OA OB OC =++P A B C ，，，C ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D ．已知向量，，则在上的投影向量为(9,4,4)a =- (1,2,2)b = a b()1,2,2【答案】CD【分析】选项A ，因为，直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面0e n ⋅= l eαn l α内，也可能与平面平行；选项B ，根据空间向量四点共面条件即可判断B ；选项C ，根据平面向α量基底的定义可判断C ；选项D ，根据投影向量的公式即可判断D.【详解】选项A ，由已知直线的方向向量为，平面的法向量为，所以l (1,0,3)e =α22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以，所以直线或，故A 错误；220e n ⋅=-+=e n ⊥ l ⊂αl α∥选项B ，因为，，根据空间向量四点共面条件可知，111444OP OA OB OC =++ 111314444++=≠四点不共面，故B 错误；P A B C ，，，选项C ，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C 正确；选项D ，由，，(9,4,4)a =-(1,2,2)b = 在上的投影向量为，故D 正确. a b()()1,2,29881,2,233a b b b b⋅+-⋅=⋅=故选：CD.11．下列说法错误的是（ ）A ．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为()2,3A --l 5x y +=-B ．直线必过定点 2(1)(3)750m x m y m ++-+-=()1,3C ．经过点，倾斜角为的直线方程为()1,1P θ()1tan 1y x θ-=-D ．直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为10kx y k ---=()3,1M -()3,2N k 1322k -≤≤【答案】ACD【分析】当在两坐标轴上的截距相等且等于0时可判断A ；由含参直线方程过定点的求法计算可判断B ；由可判断C ；计算出端点处的斜率结合图形可判断D π2θ=【详解】对于A ：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点， 可设直线方程为，又直线过点，则，即， y kx =()2,3A --32k -=-32k =此时直线方程为，故A 错误； 32y x =对于B ：直线可变形为，由()()213750m x m y m ++-+-=()252370x y m x y +-+-+=解得， 2502370x y x y +-=⎧⎨-+=⎩13x y =⎧⎨=⎩即直线必过定点，故B 正确； ()()213750m x m y m ++-+-=()1,3对于C ：当倾斜角时，无意义，故C 错误； π2θ=tan θ对于D ：直线即，经过定点，10kx y k ---=()11y k x +=-()1,1P -当直线经过点时，斜率为， ()3,1M -()111312k --==---当直线经过点时，斜率为，()3,2N ()213312k --==-由于线段与轴相交，故实数的取值范围为或，故D 错误；MN y k 12k ≤-32k ≥故选：ACD12．已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直221:1,2x C y F +=C x m =C ,A B A 线与椭圆的另一个交点为，则（ ） 1AF C E A ．B ．当时，e =1m =1F ABA C ．D ．的周长的最大值为1111AF EF +=1F AB A 【答案】AC【分析】对A ：由方程求，进而求；对B ：根据方程结合题意运算求解；对C ：设直线,,a b c ce a=，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D ：根据椭圆定义分析求解.1AF 【详解】由椭圆方程，得，所以，所以A 项正2212x y +=2211c =-=1,c a=c e a =确；当时，点到的距离为2，所以的面积为B 项错误； 1m =1,A F ⎛ ⎝AB 1F AB A 122=因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点A 1AF 1AF k ()()1122,,,A x y E x y ，∵，则直线，()11,0F -()1:1AF y k x =+联立方程，得到 ()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++-=∴， 22121222422,1212k k x x x x k k -+=-=++∵在椭圆上，则，即()11,A x y 221112xy +=221112x y =-∴ 11AF ===同理， 12EF =于是1111AF EF +===2222224412422421212k k k k k k ⎫- ⎪+⎝⎭===--+++=故C 项正确；设椭圆的右焦点为，2F当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为 x m =2F 1F AB A 4a =如果不经过右焦点，则连接，，2F 2AF 2BF 可知的周长小于， 1F AB A 11224AF BF AF BF a +++=所以的周长的最大值为D 项错误. 1F AB A 故选：AC.三、填空题13．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小2:12C y x =-F P C (5,2)A -PA PF +值为___________. 【答案】8【分析】根据抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再结合图形可求出结果. ||PF P 【详解】由，得，准线方程为：，212y x =-(3,0)F -3x =过作准线的垂线，垂足为，P 3x =M 则，PA PF +||||PA PM =+||3(5)8AM ≥=--=当且仅当三点共线时，等号成立. ,,A P M 故答案为：814．已知圆，直线的距离等于1，则22x y a +=:=l y x l =a ___________． 【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 2rd =【详解】圆的圆心为，则. 22x y a +=()0,0,r =2r d ==4a =故答案为：415．如图，空间四边形中，，，，且，，则OABC OA a = OB b = OC c =2OM MA =BN NC =____________．MN =【答案】211322a b c -++【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】如图，因为，，2OM MA =BN NC =所以，，13MA OA = ()1122BN BC OC OB ==- 又因为，，，OA a = OB b = OC c =所以.()()1132M OA OB OA OC A N MA B B OB N +-++-==+ 211211322322OA OB OC a b c =++-++-= 故答案为：.211322a b c -++16．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成的角的余弦值是_______．【答案】【详解】试题分析：以为坐标原点, 射线所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直A ,,AB AD AQ x y z 角坐标系．令两正方形边长均为2．则,()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,1,2A E F M ,()()1,1,2,2,1,0EM AF ∴=-= cos ,EM AF EM AF EM AF ⋅∴〈〉===⋅设异面直线与所成的角为,．EM AF θcos cos ,EM AF θ∴=〈〉= 【解析】异面直线所成的角．四、解答题17．柜子里有双不同的鞋，如果从中随机取出只，那么 32(1)写出试验的样本空间．(2)求事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率． D 【答案】(1)()(){()()()()()()1211121112212221Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a ab a b ac a c a b a b a c =(2) 25【分析】（1）列举出所有可能的情况即可得到样本空间；（2）列举出事件所有可能的结果，利用古典概型概率公式可求得结果.D 【详解】（1）记第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为，第双鞋左右脚编号为112,a a 212,b b 3，12,c c 则样本空间为()(){()()()()()()1211121112212221Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a ab a b ac a c a b a b a c =.()()()()()()()}22121112212212,,,,,,,,,,,,,a c b b b c b c b c b c c c （2）由（1）知：，()15n Ω=，，()()()()()(){}121221211221,,,,,,,,,,,D a b a c a b a c b c b c = ()6n D ∴=. ()62155P D ∴==18．如图，在四棱锥中，是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，P ABCD -PAD A //BC AD ，，E 是PD 的中点.CD AD ⊥222PC AD DC CB ====（1）证明：平面PAB ；//CE （2）求直线CE 与平面PAB 间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）取的中点，连接､，易证四边形为平行四边形，再由线面平行PA M BM EM BCEM 的判定定理即可得证；（2）由平面，知点到平面的距离即为所求，由线面垂直的判定定理证平面//CE PAB E PAB BC ⊥，以为原点，建立空间直角坐标系，可证，从而求得，写PNB B BC PB ⊥PB 120PNB ∠=︒出点､的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，由点到平面的距离P E PAB nE PAB 即可得解.·n BEd n= 【详解】（1）证明：取的中点，连接､，PA M BM EM 为的中点，，， E PD //EM AD ∴12EM AD BC ==四边形为平行四边形，，∴BCEM //CE BM ∴平面，平面，平面.CE ⊄ PAB BM⊂PAB //CE ∴PAB （2）平面，点到平面的距离即为所求. //CE PAB ∴E PAB 设，222PC AD DC CB ====取的中点，连接､，则四边形为矩形，AD N BN PN BCDN 1BN CD ==是以为斜边的等腰直角三角形，，， PAD A AD PN AD ∴⊥112PN AD ==，，､平面，平面， BN AD ⊥ PN BN N Ç=PN BN ⊂PNB AD ∴⊥PNB ，平面，∴，//BC AD Q BC ∴⊥PNB BC PB ⊥平面，平面平面，BC ⊂ ABCD ∴ABCD ⊥PNB 以为原点，､分别为､轴，在平面内，作平面， B BC BN x y PNB Bz ⊥ABCD 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，()0,0,0B ()1,1,0A -()1,1,0D 在中，，，Rt PBC △PB ===1BN PN ==，，又是的2221cos 22BN PN PB PNB BN PN+-∠===-⋅120PNB ∴∠= 30,2P ⎛∴ ⎝E PD 点，15,24E ⎛∴ ⎝ ，，， 30,2BP ⎛=⎝ ()1,1,0BA =-15,24BE ⎛= ⎝ 设平面的法向量为，PAB (),,n x y z =则， 令，则，，300200n BP y n BA x y ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩1x =1y =z =∴(1,1,n =点到平面的距离∴E PABn BE d n⋅===故直线与平面CE PAB19．已知直线l ：x+2y-2=0．试求：（1）点P （-2，-1）关于直线l 的对称点坐标； （2）直线l 关于点（1，1）对称的直线方程． 【答案】（1）；（2）.219(,)55240x y +-=【详解】试题分析: (1)设出点关于直线的对称点坐标,根据两点间线段的中点在直线上与两点所P l l 在直线与直线互相垂直,由中点坐标公式和两直线垂直斜率乘积为可得关于对称点坐标的方程l 1-组,解得点的坐标;(2)设出直线上任一点的坐标,利用此点关于的对称点与直线的方程,可得所l ()1,1l 求的直线方程.试题解析：（1） 设点关于直线的对称点为， P l ()00',P x y 则线段的中点在对称轴上,且.'PP M l 'PP l ⊥∴即的坐标为.0000001121,,225{{1921,220522y x x x y y +⎛⎫⨯-=-= ⎪+⎝⎭⇒--=+⨯-='P 219,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定l ()1,1A 'l l ()11,P x y A ()',P x y 在直线上,反之也成立.由'l 11111,2,2{{2,12x x x x y y y y +==-⇒=-+=将的坐标代入直线的方程得.()11,x y l 240x y +-=∴直线的方程为.'l 240x y +-=点睛:点关于直线的对称点,一般利用的中点在直线上且(),A a b ()00Ax By C B ++=≠()',A m n 'AA 的连线与直线垂直建立方程组 ;直线关于点的对称可转化为点关于'AA 1{22n b A m a B a m b n A B C -⎛⎫⨯-=- ⎪-⎝⎭++⨯+⨯+=点的对称问题来解决,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 20．已知椭圆的离心率为，且经过点．2222:1(0)xy C a b a b+=>>1231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于y kx m =+C M N 、O OM ON 、34-，试探求的面积是否为定值，并说明理由．OMN A 【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,a b ,a c 222a b c =+解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长()()1122,,,M x y N x y 34-k m 公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解. MN OMN A 【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭221914a b +=22214c e a ==222a b c =+，所以椭圆的方程为； 2221,3,4c b a ===C 22143x y +=（2）设，联立得，()()1122,,,M x y N x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()2222284341248430km k m k m ∆=-+-=+->， ()12221228434343km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩()2212121212121212OM ON k x x km x x my y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅= ()()()()()22222222222222438438434343434343m km k km m k m k m m k k k m m k --⎛⎫⋅+⋅+ ⎪--++++⎝⎭==--+，即，()()222343443m k m -==--22243m k =+d =12OMN S MN d =⋅==△所以的面积为定值.OMN A 21．已知双曲线221.416x y -=(1)过点的直线与双曲线交于两点，若点N 是线段的中点，求直线的方程； (1,4)N ,S T ST ST (2)直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、(2)y kx m k =+≠±y 轴于，两点．当点M 运动时，求点的轨迹方程. 0(,0)A x 0(0,)B y 00(,)P x y 【答案】(1)30.x y -+=(2). 221(0)10025x y y -=≠【分析】（1）设，，采用“点差法”可求得直线的斜率，即可求得答案； 11(,)S x y 22(),T x y ST （2）根据直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到，(2)y kx m k =+≠±224(4)m k =-从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得，化简可得其关系，即可00,x y 得答案.【详解】（1）设，，则 ， 11(,)S x y 22(),T x y 2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得，即， 22221212416x x y y --=121212124y y x x x x y y -+=⨯-+因为点是线段的中点，所以， (1,4)N ST 1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯即直线的斜率为1，ST 所以直线的方程为，即,ST 41y x -=-3y x =+联立方程组,得，满足， 2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩236250x x --=0∆>故直线的方程为ST 30.x y -+=（2）联立方程组,得， 22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩222(4)2(16)0k x kmx m ---+=因为直线l ：与双曲线有唯一的公共点M ， (2)y kx m k =+≠±根据双曲线的对称性可知都不等于0，,k m ，得， ()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩224(4)m k =-则,则, 244M km k x k m ==--4(16)Mk m y k mm =⨯+=--所以M 的坐标为，其中， 416(,)k m m--0km ≠因为过点M 且与l 垂直的直线方程为， 1614()ky x m k m+=-+令，得，令，， 0y =020kx m =-0x =020y m=-所以， 222202224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+故点的轨迹方程为：.00(,)P x y 221(0)10025x y y -=≠【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用 “点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.22．已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线2:2(0)T y px p =>F P T Q P (0)x t t=<上的投影.当为等边三角形时，其面积为.PQF △(1)求抛物线的方程；T (2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A ，B 和C ，D ，x (,0)(0)E a a >T 点H ，K 分别为，的中点，求面积的最小值. AB CD EHK A 【答案】(1)； 28y x =(2)16.【分析】（1）根据给定条件求出，设出点P 的坐标，结合抛物线定义列式计算作答.||PF （2）设出直线AB 、CD 的方程，求出点H 坐标，进而求出，由面积建立函数关系，借||,||EH EK 助均值不等式求解作答.【详解】（1）抛物线的焦点，准线，2:2(0)T y px p =>(,0)2p F 2p x =-为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，PQF △||||PQ PF =Q P (0)xt t =<2pt =-由，设，则点，21||sin 602PQFS PF ==A ||8PF =200(,)2y P y p 0(,)2p Q y -于是由得：，解得，88PQ QF ⎧=⎪⎨=⎪⎩2022082264y pp y p ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩4p =所以抛物线的方程为：.T 28y x =（2）显然直线AB ，CD 都不与坐标轴垂直，设直线AB 方程为：，则直线CD 方程为：x ty a =+，1x y a t=-+由消去x 并整理得：，设，则， 28x ty a y x =+⎧⎨=⎩2880y ty a --=1122(,),(,)A x y B x y 128y y t +=于是得弦AB 中点，2(4,4)H t a t +||4|EH t==同理得，11||4|4|EKt t =-=因此，直角面积 EHK A 111||||4|4|22S EH EKt t =⋅=⋅，当且仅当，即时取“=”， 16==≥=221t t =1t =±所以面积的最小值为16.EHK A 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以是斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.。

2022-2023学年山东省潍坊市高二上册期末数学检测试题(含解析)

2022-2023学年山东省潍坊市高二上册期末数学检测试题(含解析)

2022-2023学年山东省潍坊市高二上册期末数学检测试题一、单选题1．下列关系中正确的个数是（）①12Q ∈R ③*0N ∈④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A【分析】根据集合的概念、数集的表示判断．【详解】120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A ．本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．2．12i12i+=-A ．43i 55--B ．43i55-+C ．34i55--D ．34i55-+【正确答案】D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3．已知11,15x y x y -≤+≤≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A ．[]2,13B ．[]3,13C ．[]2,10D ．[]5,10【正确答案】A【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，求出,m n 的值，根据,x y x y +-的范围，即可求出答案.【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得：()()1152,32,5222m x y x y x y n ⎧=⎪⎪-=++-⎨⎪=-⎪⎩，因为11,15x y x y -≤+≤≤-≤，所以()()[]15322,1322x y x y x y -=++-∈，故选：A.4．若5cos 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A 3B ．23-C ．23D 【正确答案】A【分析】令512πθα=-，则cos 3θ=，所以sin sin 122ππαθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由诱导公式可得结果.【详解】令512πθα=-，则512παθ=+，且cos θ=sin sin cos 1223ππαθθ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.5．函数()21f x x =在点1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的图形面积是（）A ．12B ．9C ．34D ．92【正确答案】D【分析】先利用()f x 的导函数求出切线的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面积.【详解】由题，()32f x x '=-，1162f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，所以切线为11624y x ⎛⎫-⋅-= ⎝-⎪⎭，整理得1612y x -+=，易得切线的截距为34和12，围成的图形为直角三角形，故所求面积为13912242⨯⨯=，故选：D6．已知数列{}n a 是等比数列，若912111,01a a a ⋅><<，且数列{}n a 的前n 项乘积1n T >，n 的最大值为（）A ．10B ．11C ．20D ．21【正确答案】C【分析】由等比数列的性质可推出：201T >，211T <，可得结论.【详解】数列{}n a 是等比数列，912111,01a a a ⋅><<，()()10119109111102022021T a a a a a a a a ⋅⋅=⋅=⋅=> ，211911212122011a a a a T a a ⋅⋅⋅==< ，所以使1n T >的n 的最大值为20.故选：C7．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设,M N 是锐角ABC ∠的一边BA 上的两定点，点P 是边BC 边上的一动点，则当且仅当PMN ∆的外接圆与边BC 相切时，MPN ∠最大．若()()0,1,2,3M N ，点P 在x 轴上，则当MPN ∠最大时，点P 的坐标为A ．1,0)B ．(1-C ．(1-D ．1,0)【正确答案】A【分析】设点P 的坐标为(,0)x ，求出线段MN 的中垂线与线段MP 的中垂线交点的横坐标，即可得到PMN ∆的外接圆圆心的横坐标，由PMN ∆的外接圆与边BC 相切于点P ，可知PMN ∆的外接圆圆心的横坐标与点P 的横坐标相等，即可得到点P 的坐标．【详解】由于点P 是边BC 边上的一动点，且点P 在x 轴上，故设点P 的坐标为(,0)a ；由于()()0,1,2,3M N ，则直线MN 的方程为：1y x =+，点B 为直线MN 与x 轴的交点，故点B 的坐标为(1,0)-；由于ABC ∠为锐角，点P 是边BC 边上的一动点，故1a >-；所以线段MN 的中垂线1l 方程为：3y x =-+；线段MP 的中垂线2l 方程为：21122y ax a =-+；故PMN ∆的外接圆的圆心为直线1l 与直线2l 的交点，联立231122y x y ax a =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：252(1)a x a +=+；即PMN ∆的外接圆圆心的横坐标为252(1)a a ++ PMN ∆的外接圆与边BC 相切于点P ，边BC 在x 轴上，则PMN ∆的外接圆圆心的横坐标与点P 的横坐标相等，即252(1)a a a +=+，解得：1a或1（舍）所以点P的坐标为1,0)；故答案选A本题考查直线方程、三角形外接圆圆心的求解，属于中档题8．如图，点M N 、分别是正四面体ABCD 棱AB CD 、上的点，设BM x =，直线MN 与直线BC 所成的角为θ，则（）A ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而增大B ．当2ND CN =时，θ随着x 的增大而减小C ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而减小D ．当2CN ND =时，θ随着x 的增大而增大【正确答案】D【分析】分2ND CN =和2CN ND =两种情况，分别过N 作BC 的平行线，可得直线MN 与所作的平行线成的角即为角θ可得答案.【详解】当2ND CN =时，如下图作//NF BC 交BD 于F 点，所以直线MN 与直线BC 所成的角即为直线MN 与直线NF 所成的角，即MNF θ∠=，设正四面体的棱长为3，则1,2CN BF FN ===，可求得MF MN =，所以在FNM中，有cos [0,3])x θ=∈，令2187()37xf x x x -=-+，则()2227365)37(x x x x f x -+'-+=，[0,3]x ∈时，()2227365)37(x x x x f x -+'-+=有正有负，函数有增有减，所以故A 与B 错误；当2CN ND =时，如下图作//NE BC 交BD 于E 点，所以直线MN 与直线BC 所成的角即为直线MN 与直线NE 所成的角，即MNE θ∠=.同样设正四面体的棱长为3，则2,2CN BF FN ===，可求得ME ，AN BN =在ABN 中，有cosABN ∠=所以2227237MN x x x x =+-⨯⨯-+，即MN =所以在MNE 中，有cos [0,3])x θ=∈，令295()37xf x x x -=-+，则()22251880(37)x x x x f x '-+--=<，所以()f x 在定义域内单调递减，即x 增大，()f x 减小，即cos θ减小，从而θ增大，故D 正确，C 错误.故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为110；B ．将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；C ．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；D ．一组数据1x ，2x ，……，100x 的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是10099．【正确答案】ABD【分析】根据分层抽样的计算规则分析A 选项，根据平均数和方差的计算公式分析BCD 选项.【详解】选项A ：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占10060%60⨯=人，所以每位男生被抽中的概率601100060%10P ==⨯.A正确；选项B ：平均数1231(...)n x x x x x n=++++，将这组数据中每个数据都乘以3后12312311(333...3)3(...)3n n x x x x x x x x x n n++++=⨯++++=.B 正确；选项C ：方差222221231[(((...()]n s x x x x x x x x n=-+-+-++-，每个数据都乘以3后平均数变为原来的3倍，方差222221231[(33)(33)(33...(33)]9n x x x x x x x x s n-+-+-++-=.C 错误；选项D ：，因为123100,,,...,x x x x 的平均数是5，所以123100...500x x x x ++++=，新平均数1(5005)599x =-=，又因为123100,,,...,x x x x 的方差是1，所以2222212399[(()()...((55)]100x x x x x x x x -+-+-++-+-=，提出一个值为5的数据后，余下99个数的方差211001009999s =⨯=.D 正确.故选：ABD.10．若椭圆()222:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列b 的取值能使以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点的是（）A ．b =B ．b =C ．2b =D ．b 【正确答案】ABC【分析】根据给定的条件，确定以12F F 为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出b 的范围作答.【详解】令椭圆()222:108x y C b b +=>的半焦距为c ，则以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，因圆222x y c +=与椭圆C 有公共点，则有22c b ≥，即228b b -≥，解得02b <≤，显然选项A ，B ，C 满足，D 不满足.故选：ABC11．已知某声音信号的波形可表示为()2sin sin 2f x x x =+，则下列叙述正确的是（）A ．()f x 在[]0,2π内有3个零点B ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增C ．()2,0π是()f x 的一个对称中心D ．()f x 的最大值为3【正确答案】AC【分析】当[]0,2x π∈时，解方程()0f x =，可判断A 选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项；利用函数的对称性可判断C 选项；利用正弦型函数的有界性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当[]0,2x π∈时，()()2sin 2sin cos 2sin 1cos 0f x x x x x x =+=+=，可得sin 0x =或cos 1x =-，可得{}0,,2x ππ∈，故A 对；对于B 选项，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，()()()()22cos 2cos 222cos cos 122cos 1cos 1f x x x x x x x '=+=+-=-+，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，故B 错；对于C 选项，()()()()42sin 4sin 242sin sin 2f x x x x x f xπππ-=-+-=--=-⎡⎤⎣⎦ ，故()2,0π是()f x 的一个对称中心，C 对；对于D 选项，因为sin 1x ≤，sin 21x ≤，可得()2sin sin 23f x x x =+≤，若函数()f x 在0x x =处取得最大值3，则()0022,Z 222x m m n x n ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩，即()0022,Z4x m m n x n ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩，这样的0x 不存在，所以，()f x 的最大值不为3，D 错.故选：AC.12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结论正确的是（）A ．378P =B ．41516P =C ．当2n ≥时，1n n P P +<D ．()1231114248n n n n P P P P n ---=++≥【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出3P ；对于B ，利用列举法能求出4P ；对于D ，分第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，和第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，及第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，由此能求出(4)n P n ；对于C ，由4n 时，{}n P 单调递减，1234P P P P =>>，得到当2n时，1n n P P +<．【详解】当3n =时，3317128P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，A 正确；当4n =时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，431311616P ∴=-=，B 错误；要求n P ，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论；如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n 1-次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是112n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前2n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这个时候不出现连续三次正面的概率是214n P -⨯；如果第n 次出现正面，第n 1-次出现正面，第2n -次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前3n -次不出现连续三次正面是相同的，∴这时候不出现三次连续正面的概率是318n P -⨯，综上，123111(4)248n n n n P P P P n ---=⨯+⨯+⨯ ，D 正确；由上式可得112111248n n n n P P P P +--=++，则1121231111111122482248n n n n n n n n P P P P P P P P +-----⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311216n n P P -=-，易知0n P >，所以131016n n n P P P +--=-<，()4n ≥，故当4n ≥时，1n n P P +<．又121P P ==，378P =，41316P =，满足当2n ≥时，1n n P P +<，C 正确．故选：ACD ．三、填空题13．椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m =__________．【正确答案】3或5【分析】本题首先可根据焦距为2得出1c =，然后将椭圆分为焦点在x 轴上以及焦点在y 轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果．【详解】解：因为椭圆2214x y m +=的焦距为2，所以1c =，若焦点在x 轴上，则有24m c =+，解得5m =；若焦点在y 轴上，则有24m c =+，解得3m =；综上所述，3m =或5．故3或5．14．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【正确答案】10.【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.15．已知在直角梯形ABCD 中，22AB AD CD ===，90ADC ∠=︒，若点M 在线段AC 上，则MB MD +的取值范围为__________．【正确答案】⎣【分析】由题意建立平面直角坐标系，写出各点坐标，设()01AM AC λλ=≤≤，求出()2224MB MD λλ+=--，，即可求其模长，利用二次函数的图像与性质求范围即可．【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则()00A ，，()20B ，，()12C ，，()02D ，，设()01AM AC λλ=≤≤，则()2M λλ，，故()22MB λλ=-- ，，()22MD λλ=--，，则()2224MB MD λλ+=--，，()()2223422242055MB MD λλλ⎛⎫+=-+-=-+ ⎪⎝⎭ 当0λ=时，MB MD +取得最大值为22当35λ=时，MB MD + 255，MB MD ∴+ 的取值范围为25225⎡⎢⎣，故答案为.25225⎣，四、双空题16．在ABC 中，AB AC >，23BC =60A =︒，ABC 的面积等于23则sin B =______，BC 边上中线AM 的长为______．【正确答案】127【分析】根据面积公式得到8AB AC ⋅=，再根据余弦定理得到6AB AC +=，解得4AB =，2AC =，根据勾股定理逆定理得到90C =︒，计算得到答案.【详解】113sin 3222ABC S AB AC A AB AC =⋅=⋅⋅△，故8AB AC ⋅=，根据余弦定理：()22222cos 312BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=，故6AB AC +=，AB AC >，解得4AB =，2AC =，故222AB AC BC =+，故90C =︒，30B =︒，1sin 2B =.故AM =故12.本题考查了面积公式，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.五、解答题17．已知集合2{|760}A x x x =-+<，22{|440}B x x x t t =-+-<，R 为实数集.（1）当5t =时，求A B ⋃及()R A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数t 的取值范围.【正确答案】（1）{|16}A B x x =-<< ，{|56}R A C B x x ⋂=< ；（2）2t - 或6t.（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A ，由5t =解得集合B ，R C B ，然后利用并集，交集和补集的运算求解.（2）根据“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，转化为A B Ü求解.【详解】（1）由2760x x -+<得：16x <<，即16{|}A x x =<<，当5t =时，15{|}B x x =<<-，则{|1R C B x x =- 或5}x，所以{|16}A B x x =-<< ，{|56}R A C B x x ⋂=< .（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B Ü，22{|440}{|()·[(4)]0}B x x x t t x x t x t =-+-<=---<，显然4t t ≠-，2t ∴≠①当4t t ->时，即2t <时，{|4}B x t x t =<<-，要满足A B Ü，则146t t ⎧⎨-⎩，解得2t - ；②当4t t -<时，即2t >时，{|4}B x t x t =-<<，要满足A B Ü，则416t t -⎧⎨⎩，解得6t；综上：实数t 的取值范围为：2t - 或6t.本题主要考查了二次不等式的解法､集合的交､并､补的运算及集合间的包含关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为a b c ，，，满足()2cos cos a c B b C -=．(1)求B 的大小；(2)如图，AB AC =，在直线AC 的右侧取点D ，使得24AD CD ==．当角D 为何值时，四边形ABCD 面积最大．【正确答案】(1)3π(2)8【分析】（1）由正弦定理将(2)cos cos a c B b C -=中的边化为角，再结合正弦的两角和公式化简可求得1cos 2B =，从而得解；（2）由（1）可推得ABC 为等边三角形，在ACD 中，由余弦定理可求得22016cos AC D =-，再根据1sin 2ACDSAD CD D =⋅和1sin 2ABC S AB BC B =⋅△，可推出四边形ABCD 的面积8sin()3S D π=-，最后由角(0,)D π∈和正弦函数的性质即可得解．【详解】（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==，(2)cos cos a c B b C -= ，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，即2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A =+=+=，(0,),sin 0A A π∈≠ ，1cos 2B ∴=，(0,)B π∈ ，3B π∴=．（2）由（1）知，3B π=，AB AC = ，ABC ∴为等边三角形，在ACD 中，由余弦定理知，2222cos 164242cos 2016cos AC AD CD AD CD D D D =+-⋅=+-⨯⨯=-，而11sin 42sin 4sin 22ACD S AD CD D D D =⋅=⨯⨯=△，211sin sin223ABCSAB BC B AC D π=⋅==⋅，∴四边形ABCD 的面积4sin 8sin()3ACD ABC S S S D D D π=+=+=+-△△，(0,)D π∈ ，(33D ππ∴-∈-，2)3π，∴当32D -=ππ即56D π=时，S 取得最大值，为8+，故四边形ABCD 面积的最大值为8．19．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[)2,4，[)4,6，[)6,8，[]8,10分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若产品的质量指数在[]8,10内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.【正确答案】(1)6.4，5.6(2)815【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可；（2）求出6件产品中随机抽取2件的情况，再得出其中符合条件的情况，即可得出概率.【详解】（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为30.05250.15270.2290.12 6.4甲x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为30.15250.1270.2290.052 5.6乙x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）（2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有1000.1220⨯⨯=件，乙生产线的样品中优等品有1000.05210⨯⨯=件.从甲生产线的样品中抽取的优等品有20642010⨯=+件，记为a ，b ，c ，d ；从乙生产线的样品中抽取的优等品有10622010⨯=+件，记为E ，F .从这6件产品中随机抽取2件的情况有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，E ），（a ，F ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，d ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），（E ，F ），共15种；其中符合条件的情况有（a ，E ），（a ，F ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），共8种.故所求概率815P =.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD =且1PA AB BC ===，PA ⊥平面ABCD .（1）求PA 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）棱PD 上是否存在一点E ，满足90AEC ∠=︒？若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由.【正确答案】（133（2）不存在，详见解析.（1）以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，根据空间向量夹角公式求出PA 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）根据空间向量夹角公式直接求解即可.【详解】（1）90BAD ∠=︒Q ，PA ⊥平面ABCD ，∴可以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则，()0,0,1P ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，从而()0,0,1PA =- ，()1,1,1PC =-，()0,2,1PD =- .设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =，则00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，020a b c b c +-=⎧∴⎨-=⎩，取1a =，得1b =，2c =，∴平面PCD 的一个法向量()1,1,2n =，设直线PA 与平面PCD 的夹角为θ，则23sin cos ,316PA n θ-=<>==⨯（2）()01PE PD λλ=≤≤，则()0,2,1E λλ-，()1,21,1CE λλ∴=--- ，()0,2,1AE λλ=-，若90AEC ∠=︒，则()()222110AE CE λλλ⋅=-+-= ，此方程无解，故在棱PD 上不存在一点E ，满足90AEC ∠=︒.本题考查了利用空间向量夹角公式求线面角的正弦值，考查了利用空间向量夹角公式解决异面直线所成角为直角的问题，考查了数学运算能力.21．已知圆M ：22289(9x y ++=的圆心为M ，圆N ：221(9x y -+=的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线.C (1)求曲线C 的方程；(2)已知点(6,3)P ，直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【正确答案】(1)()221393x y x -=≥(2)存在，点(12,6).-【分析】（1）结合条件和双曲线定义可得答案.（2）联立直线方程与曲线方程，结合韦达定理与0PA PB ⋅=，可得2218318720m mt t t +-+-=，后通过分解因式可得m t ，之间关系，从而可得l 所过定点.【详解】（1）如图，设圆E 的圆心为(,)E x y ，半径为r ，由题可得圆M 半径为173，圆N 半径为13则17||3EM r =+，1||3EN r =-，所以||||6||EM EN MN -=<，由双曲线定义可知，E 的轨迹是以M ，N 为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，又()()00，M N -.所以动圆的圆心E 的轨迹方程为22193x y -=，(3)x.（2）设直线l 的方程为x my t =+，将直线方程与曲线E 方程联立，有：()221393x y x x my t ⎧-=≥⎪⎨⎪=+⎩，，消去x 得222(3)290m y mty t -++-=，由题直线与曲线有两个交点，则230m -≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中13x ，23x ，由韦达定理有.21212222933，mt t y y y y m m --+==--又0PA PB ⋅=，()()11226363,，,PA x y PB x y =--=-- 则1212(6)(6)(3)(3)0.x x y y --+--=又11x my t =+，22x my t =+，则1212(6)(6)(3)(3)PA PB my t my t y y ⋅=+-+-+--()()()()22121216369m y y mt m y y t =++--++-+22222(1)(9)2(63)(1245)(3)03m t mt mt m t t m m +----+-+-==-，即2218318720m mt t t +-+-=，又2221831872183(6)(12)(36)(612)m mt t t m mt t t m t m t +-+-=+---=+--+0=，故612t m =+或36t m =-+，若36t m =-+，则直线l 的方程为(3)6x m y =-+，此时l 过点(6,3)P ，与题意矛盾，所以36t m ≠-+，故612t m =+，所以直线l 的方程为(6)12x m y =++，3m ≠则直线l 恒过点(12,6).-关键点点睛：本题涉及求动点轨迹及双曲线中的定点问题，（1）类问题常结合椭圆与双曲线定义思考；对于（2）问，难点为能将221831872m mt t t +-+-分解因式.22．已知函数()()()sin ln 1f x a x x a =-+∈R 在区间(1,0)-内存在极值点．(1)求a 的取值范围；(2)判断关于x 的方程()0f x =在()1,π-内实数解的个数，并说明理由．【正确答案】(1)()1,+∞(2)实数解有三个，理由见解析【分析】（1）求出函数导数，讨论1a ≤和1a >，讨论导数的正负即可求解；（2）两次求导，根据零点存在性定理进行判断可以得出.【详解】（1）()()1cos 101f x a x x x'=--<<+．①当1a ≤时，因为0cos 1x <<，所以()11011x f x x x'<-=<++．所以()f x 在（－1，0）上单调递减，所以()f x 在（－1，0）上无极值点．故1a ≤不符合题意．②当a >1时，因为cos y a x =在（－1，0）上单调递增，11y x=-+在（－1，0）上单调递增，所以()f x '在（－1，0）上单调递增．又()111,0a -∈-，111cos 10f a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()010f a '=->，所以存在唯一的111,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()10f x '=．当()11,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,0x x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．所以()f x 在（－1，0）内存在极小值点1x ，满足题意．综上，a 的取值范围是()1,+∞．（2）当02x π<<时，()()2sin 11x f x a x ''=-++单调递减．又()010f ''=>，()24022f a ππ⎛⎫''=--< ⎪⎝⎭+，所以存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ''=．当00x x <<时，()0f x ''>，()f x '单调递增；当02x x π<<时，()0f x ''<，()f x '单调递减，又()()0010f x f a ''>=->，2022f ππ⎛⎫'=-< ⎪+⎝⎭，所以存在唯一的0,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f α'=．当()0,x α∈时，()0f x ¢>；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．又当2x ππ≤<时，()0f x '<恒成立，结合（1）知，()f x 在()11,x -上单调递减，在()1,x α上单调递增，在(),απ上单调递减．又因为()()e 1sin e 10a af a a ---=-+>，()00f =，()0f π<，()10<f x ，()0f α>，所以()f x 在()1,π-内共有三个零点，方程()0f x =在()1,π-内的实数解有三个．关键点睛：本题考查含参函数的极值点和零点问题，解题的关键是利用存在性定理结合单调性判断导数的正负.。

2022-2023学年山东省临沂市第十九中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省临沂市第十九中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省临沂市第十九中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．曲线43y x x =-在点（1，－2）处的切线的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】因为343y x '=-，所以11x y ='=，故所求切线的倾斜角为4π． 故选：B ．2．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是（ ） A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0【答案】A【分析】求出抛物线的焦点坐标和直线3x －2y ＋5＝0的斜率，由点斜式方程即可求出答案.【详解】因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为3122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化为一般式，得6x －4y －3＝0. 故选：A.3．若等差数列{}n a 满足234a S +=，3512a S +=，则47a S +=（ ） A ．72 B ．36 C ．24 D ．20【答案】C【分析】由等差数列的性质转化2324a S a +=，3536a S a +=，求出2a 、3a 的值，利用等差中项的性质求出4a 的值，进而可得出4748a S a +=的值. 【详解】由等差中项的性质可得()1323223442a a a S a a ++=+==，得21a =， 同理可得35336122a S a a +==⇒=，由等差中项的性质得3242a a a =+，43223a a a ∴=-=，因此，47444788324a S a a a +=+==⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查利用等差中项求值，考查计算能力，属于基础题.4．椭圆2212516x y +=上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足()12OM OP OF =+，则OM =（ ）A ．6B ．4C ．2D ．52【答案】C【分析】根据222a c b -=求出左焦点F 的坐标，然后设P 的坐标00(,)P x y ，根据两点间的距离公式求出P 到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得P 的坐标，由1()2OM OP OF =+得到M 为PF 的中点，根据中点坐标公式求出M 的坐标，利用两点间的距离公式求出||OM 即可．【详解】解：由椭圆2212516x y +=得5a =，4b =，左焦点(3,0)F -，设00(,)P x y ，则()2200336x y ++=又220012516x y +=解得053x =或0553x =-（舍去）；又P 在椭圆上，则将053x =代入到椭圆方程中求出0y =所以点5(3P ，； 由点M 满足1()2OM OP OF =+，则得M 为PF 中点，根据中点坐标公式求得2,3M ⎛- ⎝⎭， 所以||(2OM =-= 故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，属于中档题．5．已知曲线()()xf x x a e =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．2ae B ．12e+C ．e 2-D ．2e【答案】D【解析】求出函数的导数和在1-处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为1-可得答案.【详解】()()()1x x xf x e x a e x a e '=++=++，()11(1)f a e --=-，切线的斜率为()11f ae k -'-==，因为切线与直线210x y +-=垂直，所以()121ae --=-，解得2e a =. 故选：D.6．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A ．23B ．34C ．12D 2【答案】A【分析】将AM 用,AB AC 表示，CN 用,AD AC 表示，再利用向量法求解即可. 【详解】解：在正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，π3BAC BAD CAD ∠=∠=∠=， 因为M ，N 分别为BC ，AD 的中点， 所以()11,22AM AB AC CN AN AC AD AC =+=-=-， 且3AM CN == 则()1122AM CN AB AC AD AC ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭2111222AB AD AB AC AC AD AC ⎛⎫=⋅-⋅+⋅- ⎪⎝⎭11111124242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭， 所以2cos ,3AM CN AM CN AM CN⋅==， 即直线AM 和CN 夹角的余弦值为23. 故选：A.7．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（ ） A ．53B ．8C ．112D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线AB 的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.【详解】抛物线28y x =，焦点(2,0)F ，准线:2l x =-，直线AB 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得：21240x x -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212x x +=， 弦AB 中点Q 的横坐标1262Q x x x +==，过点Q 作准线l 的垂线，垂足为点D ，如图，令QD 交抛物线于点P ，在抛物线上任取点P '，过P '作P D l ''⊥于点D ，连接,,P Q P F QD '''， 即有,PF PD P F P D '==''，P F P Q P D P Q QD QD PD PQ PF PQ +=+≥≥=''''''+=+， 当且仅当点P '与P 重合时取等号，所以||||PF PQ +的最小值为||(2)8Q QD x =--=. 故选：B8．已知数列{}n a 满足11a =，()*121n na a n =+∈N ＋，记数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n ∈N ，不等式n k T >恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由已知得()1+112n n a a =+＋，根据等比数列的定义得数列{}+1n a 是首项为2，公比为2的等比数列，由此求得n a ，然后利用裂项求和法求得n T ，进而求得k 的取值范围. 【详解】解：依题意()1+112n n a a =+＋，当1n =时，11a =，则1+12a =，所以数列{}+1n a 是首项为2，公比为2的等比数列，+12n n a =，即21nn a =-，所以()()()()111+12112221212121n n n n n n n n a a a +++==-++++++，所以12231111111212121212121n n n T +=-+-++-++++++ 11113213n +=-<+， 所以k 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C.二、多选题9．已知双曲线C ：2213x y-=，下列对双曲线C 判断正确的是（ ）A ．实轴长是虚轴长的2倍B ．焦距为4C D ．渐近线方程为0x =【答案】BD【分析】根据双曲线的标准方程求出a 、b 、c ，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对四个选项一一验证即可.【详解】∵双曲线C ：2213x y -=∴23a =.21b =.∴2224c a b =+=∴2c =.∴双曲线的实轴长是2a =21b=，A 错误；焦距为24c =.B 正确；离心率为c a =C 错误：渐近线方程为y x =，D 正确. 故选：BD10．已知两圆方程为224x y +=与222(3)(4)(0)x y r r -++=>，则下列说法正确的是（ ） A ．若两圆外切，则3r =B ．若两圆公共弦所在的直线方程为3420x y --=，则=5rC ．若两圆的公共弦长为rD ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则4r =【答案】AB【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设圆224x y +=为圆1C ，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径12r =. 设圆222(3)(4)(0)x y r r -++=>为圆2C ，圆2C 的圆心为()23,4C -，半径1r r =.125C C =.A 选项，若两圆外切，则1212,52,3C C r r r r =+=+=，A 选项正确.B 选项，由()()22222434x y x y r⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=， 则22292,25,52r r r -=-==， 此时2121123,7,37r r r r C C -=+=<<，满足两圆相交，B 选项正确.C 选项，由()()22222434x y x y r ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩两式相减并化简得2293402r x y --+=， ()10,0C 到直线2293402r x y --+=的距离为2229229510r r d --==，所以223,1d d -==，即22291,291010r r -=-=，则解得r =r C 选项错误. D 选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为D ， 根据圆的几何性质可知12C D C D ⊥，所以2222212125421,r C D C C r r ==-=-=，D 选项错误. 故选：AB11．已知平面上一点()5,0M ，若直线上存在点P 使4PM =，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A ．1y x =+ B ．2y =C ．43y x =D ．21y x =+【答案】BC【分析】所给直线上的点到定点M 距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析，分别求出定点M 到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.【详解】所给直线上的点到定点M 距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．A ．因为4d ==，故直线上不存在点到M 距离等于4，不是“切割型直线”；B ．因为24d =<，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；C ．因为4d ==，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；D ．因为4d ==>，故直线上不存在点到M 距离等于4，不是“切割型直线”．故选：BC.12．若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（ ）A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n =【答案】AD【分析】设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，再由导数为3求解.【详解】解：设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>， 又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >， 所以2b =，7n =. 故选：AD三、填空题13．已知椭圆2213x y +=的上顶点为A ，左顶点为B ，则直线AB 的斜率为___________.【分析】依题意可得a =1b =，即可得到上顶点A ，左顶点B 的坐标，即可求出AB 的斜率；【详解】解：因为椭圆方程为2213x y +=，所以23a =，21b =，即a =1b =，所以椭圆的上顶点为()0,1A ，左顶点为3,0B ，所以AB k =；14．各项均为正数的等比数列，若19563924a a a a a a ++=，则65a a +=___________. 【答案】2【解析】根据等比数列性质化简为()2564a a +=，开方即可.【详解】解：由各项均为正数的等比数列得()219563956252566224a a a a a a a a a a a a ++=++==+ 所以562a a +=. 故答案为：2【点睛】应用等比数列性质解题时的2个关注点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅⋅=”，可以减少运算量，提高解题速度；（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.15．过点()4,3作圆22(2)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为__________. 【答案】2350x y +-=【分析】先求得切线长，然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0C ，半径1r =，设()4,3D ，CD =以D 为圆心，半径为()()224312x y -+-=，即2286130x y x y +--+=①，圆22(2)1x y -+=即22430x y x +-+=②， 由①-②得直线AB 的方程为46100x y --+=， 即2350x y +-=. 故答案为：2350x y +-=16．已知曲线C ：()3f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点1,0A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为______． 【答案】278【分析】设切点为()3,t t at a -+，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求a .【详解】设切点坐标为()3,t t at a -+．由题意，知()23f x x a '=-，切线的斜率为23k t a =-①，所以切线的方程为()()()323y t at a t a x t --+=--②．将点()1,0代入②式，得()()()3231t at a t a t --+=--，解得0=t 或32t =．分别将0=t 和32t =代入①式，得k a =-和274k a =-．由题意，得274a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，得278a =． 故答案为：278.四、解答题17．直线l 经过两直线1l ：0x y +=和2l ：2320x y +-=的交点. (1)若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程； (2)若点()3,1A 到直线l 的距离为5，求直线l 的方程. 【答案】(1)340x y ++= (2)125340x y -+=或2x =-【分析】（1）求出交点坐标，设直线l 的方程为：30x y m ++=，代入交点即可求出；（2）当直线l 的斜率不存在时，符合条件，当l 斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，利用点到直线的距离公式列方程求解.【详解】（1）直线1l 方程与2l 方程联立02320x y x y +=⎧⎨+-=⎩,得交点坐标为()2,2- 设直线l 的方程为：30x y m ++=，代入交点()2,2-得4m =， 所以l 的方程为340x y ++=（2）当直线l 的斜率不存在时，得l 的方程为：2x =-，符合条件. 当l 斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，根据5d ==，解得125k =， 所以直线l 的方程为125340x y -+=. 综上所述，l 为125340x y -+=或2x =-18．已知函数3(),(1)2,(1)2f x ax ax b f f =-+=='． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,(1))f --处的切线方程． 【答案】(1)3()2f x x x =-+； (2)240x y -+=.【分析】(1)对函数()f x 求导，利用给定条件列式计算即可得解.(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程.. 【详解】（1）由3()f x ax ax b =-+求导得：2()3f x ax a '=-，又(1)2,(1)2f f =='，则222b a =⎧⎨=⎩，解得1,2a b ==，所以()f x 的解析式为3()2f x x x =-+.（2）由(1)得，2()31x f x '=-，则(1)2,(1)2f f -=-='，()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为22(1)y x -=+，即240x y -+=，所以f (x )在(1,(1))f --处的切线方程是：240x y -+=. 19．已知数列{}n a 是等差数列，其中24a =，且459a a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设142n a n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)2n a n =；(2)144133n n n T n +=+-+.【分析】（1）利用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由（1）有1141n n n n b +=-+，应用分组求和、裂项相消法及等比数列前n 项和公式求n T . 【详解】（1）由题设，1114278a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，可得12a d ==， 所以{}n a 的通项公式22(1)2na n n =+-=. （2）由（1）知：11144(1)1n n n n n n n b -+=+=++， 所以12...n n T b b b =+++，令111111...22311n M n n n =-+-++-=++，24(14)4(41)44 (4143)n n n N --=+++==-， 所以144133n n n T n +=+-+. 20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==，PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点．（1）求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；（2）求B 点到平面PCD 的距离．【答案】（16（23 【解析】（1）利用面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量计算所求；（2）利用PB 在平面PCD 的法向量上的投影计算求解.【详解】解：（1）在PAD 中，PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．在PAD 中，PA PD ⊥，2PA PD ==，所以2AD =．在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，所以1OA BC ==，所以OC AD ⊥．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()0,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0P A B C D --，所以()1,1,1PB =--．因为OA OP ⊥，OA OC ⊥，OP OC O ⋂=，所以OA ⊥平面POC ．所以()0,1,0OA =-为平面POC 的一个法向量，3cos ,3||PB OA PB OA PB OA ⋅〈〉==∣， 所以PB 与平面POC 所成角的余弦值为63． （2）因为()1,1,1PB =--，()1,0,1CP =-，()0,1,1PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,u x y z =，则00u CP x z u PD y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩． 取1z =，得()1,1,1u =．则B 点到平面PCD 的距离33PB ud u ⋅==．【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，利用空间向量求线面角和点到平面的距离，求平面的法向量是关键点，易错点，利用向量在平面的法向量上的投影求点到平面的距离是常用的方法. 21．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*N n ∈且2n ≥，使得()()()2111n T n n n λ-≤-+成立，求实数λ的最小值．【答案】(1)123n n a -=⋅；(2)3.【分析】（1）根据给定前n 项和，利用n a 与n S 的关系求解作答.（2）利用错位相减法求出n T ，再借助数列单调性求出最小值作答.【详解】（1）依题意，当2n ≥时，111(31)(31)23n n n n n n a S S ---=-=---=⋅，而1112a S =-=满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是123n n a -=⋅.（2）由（1）知，1(21)3212n n n b a n n --==-⋅， 0121133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯， 则有12313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得：231212(3333)(21)3n nn T n --=+++++--⨯13(13)12(21)3(22)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--， 于是得(1)31n n T n =-⋅+，*N n ∈且2n ≥，()()()2111n T n n n λ-≤-+23(1)n n n λ⋅⇔≥+， 令23(1)n n c n n ⋅=+，2n ≥，则136331222n n c n c n n +==-≥>++，即1n n c c +>，当2n ≥时，数列{}n c 是递增数列，即min 2()3n c c ==，因此，3λ≥，所以实数λ的最小值是3.【点睛】方法点睛：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}·n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>C经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1x =交于点Q ，设AP PB λ=，(,)AQ QB μλμ=∈R ，求证：λμ+为定值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）由离心率得c a =，由椭圆过一点．得221614a b +=，两者结合可解得,a b ，得椭圆方程； （Ⅱ）设直线l 方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程后可得1212,x x x x +，由AP PB λ=，AQ QB μ=，把,λμ用12,x x 表示，然后计算λμ+并代入1212,x x x x +即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意2221614ab =⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22142x y +=； （Ⅱ）易知直线l 斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22142(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元y 整理得2222(12)163240k x k x k +-+-=， ∴21221612k x x k +=+，212232412k x x k -=+， 把1x =代入(4)y k x =-得3y k =-，即(1,3)Q k -，由AP PB λ=，得124(4)x x λ-=-，1244x x λ-=-， 由AQ QB μ=，得121(1)x x μ-=-，1211x x μ-=-， ∴11121222224125()841(4)(1)x x x x x x x x x x λμ---+++=+=----22222264880812120(4)(1)k k k k x x --+++==--， ∴λμ+为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得1212,x x x x +，把它代入题中需求的量化简可得结论．。

2024学年山东省枣庄市第三中学高二上数学期末学业质量监测试题含解析

2024学年山东省枣庄市第三中学高二上数学期末学业质量监测试题含解析

可得 a8 a16 16, a8a16 14 ，根据等比数列的性质，可得 a6a18 a4a20 a8a16 14
则 a6a18 a8
a4a20 a16
14 a8
14 a16
14(a8 a16 ) a8a16
16 .
故选：B.
10、B
【解题分析】根据正弦定理直接计算可得答案.
a2 b2
∴ x2 a2b2 c2 ， a2 b2
可得 b2 ac ， c2 ac a2 0 ，即 e2 e 1 0 ，又 e 1
解得 5 1 e 1. 2
故选：C. 8、B 【解题分析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
详解】对于 A，如 a 5,b 10 ，满足条件，但 b2 a2 不成立，故 A 不正确；
A.54
B.71
C.81
D.80
4．焦点坐标为（1，0） 抛物线的标准方程是（ ）
A.y2=-4x
B.y2=4x
的 C.x2=-4y
D.x2=4y
5．已知 F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2 ，线段 PF1 的垂直平分线过 F2 ，
若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ，则
x y 4
15．若
x,
y
满足约束条件
x
y
2
，则
z
2x
y
的最小值为________.
y 3
16．已知函数 f（x）=ex-2x+a 有零点，则 a 的取值范围是___________ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12
分）已知椭圆 C :

2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线x -y +1=0的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．135︒D ．150︒【答案】B【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【详解】直线10x y -+=的斜率1k =，设其倾斜角为0180θθ︒≤︒（＜），tan 1θ∴=，得45θ=︒．故选B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2．在二项式()412x +的展开式中，含3x 的项为（ ） A ．332x B ．316x C ．38x D ．34x【答案】A【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得含3x 的项．【详解】解：二项式()412x +的展开式的通项公式为142r r rr T C x +=⋅⋅，令3r =，故开式中含3x 项为33334232x C x =⋅⋅， 故选：A3．已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列一定能得到l α⊥的是（ ） A ．l m ∥，m α⊥ B ．l m ⊥，m α∥C ．αβ⊥，l β∥D ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α【答案】A【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A 正确，举反例可判定BCD 错误.【详解】A. 若m α⊥，则直线m 与平面α内的所有直线都垂直，又l m ∥，∴l 与平面α内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得l α⊥，故A 正确；B.若m α∥，设过m 的平面β与α交于n ，则根据线面平行的性质定理可得//m n ，在平面α内，作直线l n ⊥,则l m ⊥，而此时l 在平面α内，故B 错误；C. 若αβ⊥，设=a αβ，在平面α内作直线l a //，则l β⊄，由线面平行的判定定理可得l β∥，而此时l 在平面α内，故C 错误；D.若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，当,m n 平行时，l 与平面α可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D 错误. 故选：A.4．现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．35种【答案】C【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求.【详解】从7人中选3人,有3735C =种选法，其中甲、乙都不入选的有3510C =种选法，所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有351025-=种, 故选：C5．已知直线()()1:2220l m x m y +--+=，直线()2:3250l x m y ++-=，若12l l ⊥，则m =（ ） A ．2或－5 B ．－2或－5C ．2或5D ．－2或5【答案】D【分析】直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=垂直的充要条件是12120A A B B +=，根据题意即可得到：()()()32220m m m +--+=，然后解得结果即可 【详解】根据题意，由12l l ⊥，则有： ()()()32220m m m +--+= 解得：2m =-或5m = 故选：D6．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为264cm π和236cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接AB ，则线段AB 长度的最小值是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD 41cm【答案】A【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求. 【详解】设外球和内球的半径分别为R 和r ,则22464,436R r ππππ==,解得4,3R r ==, 当B 在大球的过A 的半径上时AB 的长最小， ∴AB 长度的最小值是()1R r cm -=, 故选：A7．过等轴双曲线()2220x y a a -=>的右焦点F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若FMN 的面积为2，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】求出过右焦点F 与y x =垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M 的坐标，根据对称性得点N 的坐标，则可得表示出FMN 的面积，然后解方程即可. 【详解】双曲线为22221x y a a-=，右焦点()2,0Fa ，由已知双曲线的一条渐近线方程为y x =， 则过右焦点F 与y x =垂直的直线为2y x a =-+， 联立2y x y x a =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2222x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨取22,22M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则根据对称性得22,22N a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2222221222FMNa a Sa a ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 解得2a = 故选：B.8．如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为()01p p <<，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦ B ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦C ．()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦D ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦【答案】C【分析】要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统X 能正常工作的概率为()P X ，该系统正常工作的概率为:(){}()()P AB C D P AB C P D ⎡⎤⎡⎤⋃⋂=⋃⎣⎦⎣⎦()()()()()()()11P AB P C P D P A B P C P D ⎡⎤=-=-⋃⎣⎦()()()()()()()2111111P AB P C P D p p p ⎡⎤⎡⎤=---=---⎣⎦⎣⎦,故选：C. 二、多选题9．已知圆221:1O x y +=的半径为1r ，圆222:3440O x y x y +--+=的半径为2r ，则（ ）A ．12r r >B ．12r r <C ．圆1O 与圆2O 外切D ．圆1O 与圆2O 外离【答案】BC【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.【详解】解：圆221:1O x y +=的半径为11r =，圆()22239:224O x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的半径为232r =，故12r r <,故B 对，A 错；圆心距1252d r r ===+，故圆1O 与圆2O 外切，故C 对，D 错；故选：BC. 10．若()20222202201220221x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．展开式中所有的二项式系数之和为20222B ．展开式中二项式系数最大的项为第1012项C ．01a =D ．12320220a a a a +++⋅⋅⋅+= 【答案】ABC【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.【详解】展开式中所有项的二项式系数和为01202220222022202220222C C C ++⋯+=,故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；在二项式展开式中，令0x =可得01a =，故C 正确；令1x =可得0120220a a a ++⋯+=,∴1202201a a a +⋯+=-=-,故D 错误. 故选：ABC11．如图，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 线交于两点A ，B ，与抛物线的准线交于点D ，1BF =，则（ ）A ．2BD =B ．32p =C ．点A 到准线的距离为2D ．点F 为线段AD 的中点【答案】ABD【分析】作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，计算得到32p =，逐项分析，得到答案. 【详解】如图所示：作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，直线的斜率为3，所以tan 3,HFB ∠=∴,3HFB π∠=所以6BDE π∠=，故||2||2||2DB BE BF ===，故A正确； 又∵1BF =，∴1313,,222p HF HB B ⎛==- ⎝⎭代入抛物线，得32p =（12p =-舍去），故B 正确； 对于C ，由B 选项得，直线AB 方程为：333y x = 2590216x x -+=，即91044x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故94A x =,故点A 到准线的距离为32A px +=，故C 错误； 对于D, 由C 选项得,3AF FD ==, 点F 为线段AD 的中点, 故D 正确. 故选：ABD ．12．如图，点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上运动，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于E ，F 两点．设BP x =，()EF f x =，则（ ）A ．动点E 5B ．线段EF 6C ．324f =⎝⎭ D 33x <<())263f x x =【答案】ABD【分析】作出线段EF 运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可． 【详解】线段EF 运动形成的图形如图所示： 动点E 运动形成的轨迹长度为112154BE ED +=+=A 正确； 线段EF 运动形成的图形为平行四边行1BED F 其面积为1136222222BEFS SEF BP ==⨯⋅=⨯=B 正确； 当3BP =31222f =⎝⎭，故C 错误； 33x <<332x -=())263f x EF x ==，故D 正确；故选：ABD三、填空题13．计算：2344A C +=______． 【答案】16【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.【详解】234443416A C +=⨯+=故答案为：16.14．已知向量()1,2,3a =-，()1,3,6b λλ=---，若a b ∥，则实数λ=______． 【答案】1- 【分析】由题意可知136123λλ--==--，解方程，即可求出结果. 【详解】因为a b ∥，所以136123λλ--==--，所以1λ=-. 故答案为：1-.15．甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同．”则他们五人不同的名次排列共有______种情况．（用数字填写作答） 【答案】14【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步计数原理可得．【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有336A =种，若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的2人中选1人为成绩最好，再选一人为成绩最差的，其它任意排，故有1122228A A A =种，故共有6814+=种， 故答案为：14．16．如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为______．【答案】8 17【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点F为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面α也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率【详解】根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面α分别交两个球于点1F 和点2F ，则可得：点1F 和点2F 是椭圆的两个焦点当且仅当2G 在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值如上图所示，2G C 为圆柱的高，11O F 为球的半径，则12F F 为2c ，12G G 为2a ，然后建立以1A 为坐标原点，以11A E 为x 轴，以12AG 为y 轴的平面直角坐标系， 易知：21835G A ，113O F圆1O 的方程为：()2239x y -+=设直线12G G 的斜率为k ，则该直线的方程为：5y kx =+ 根据相切可知：点1O 到直线12G G 的距离为32531k k解得：815k =-故直线12G G 的方程为：8515y x则有：196,5G 则123425G G a因1112O F G G ，则直线11O F 的方程为：1538yx联立直线12G G 和直线11O F 的方程：()85151538y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得：17545,1717F 则1195G F a c解得：85c =故椭圆的最大离心率为：817c e a故答案为：817【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题. 四、解答题17．已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点．(1)求C 的离心率和渐近线方程； (2)若15MF =，求2MF ．【答案】(1)2e =，y = (2)29MF =【分析】（1）由已知直接求a 、b 、c ，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为c a -. (1)由题知：b =4c =所以222a c b =-=所以双曲线C 的离心率2e =，渐近线方程为3y x =±. (2)由双曲线定义知：1224MF MF a -==15MF =29MF ∴=，或21MF =又12c a <-=，故21MF =不满足29MF ∴=.18．如图所示，在Rt AOB △中，6OAB π∠=，斜边4AB =．现将Rt AOB △以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=，点D 是线段AB 的中点．(1)求直线CD 与OA 所成角的余弦值； (2)求点B 到平面OCD 的距离． 【答案】63【分析】（1）取OB 中点M ，连接DM ，则可得CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角，在CDM 中计算其余弦值即可；（2）过B 作BN OD ⊥交OD 于N ，通过证明BN ⊥面OCD 可得线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，在ODM △中计算BN 的长度即可. (1)取OB 中点M ，连接DM ，CM ,因为D ,M 分别为BA ，BO 的中点，则//DM AO 则CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角， 因为AO ⊥面O ,则DM ⊥面O ， 又CM ⊂面O ，则DM CM ⊥,2BOC π∠=，222215CM OC OM ∴=+=+=，又11343222DM AO ==⨯⨯=, 228CD CM DM ∴=+=36cos 48DM CDM CD ∴∠===, 即直线CD 与OA 所成角的余弦值为64； (2)过B 作BN OD ⊥交OD 于N ， ,,CO OB CO OA OB OA O ⊥⊥=，CO ∴⊥面OAB ，又BN ⊂面OAB ， CO BN ∴⊥，又,BN OD CO OD O ⊥=，BN ∴⊥面OCD ，则线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，232OBDSBN =⨯=，3BN ∴=.即点B 到平面OCD 的距离为3.【点睛】19．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件()1,2,3i A i =表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．(1)分别求()1P BA ，()2P BA ，()3P BA 和()P B 的值；(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【答案】(1)()1112P BA =，()216P BA =，()313P BA =，()P B 712=.(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.【分析】（1）利用条件概率公式()()(|)i i i P BA P A P B A =,计算即可求得()1P BA ，()2P BA ，()3P BA ；三式求和即得()P B ；（2）利用条件概率公式分别计算()1|P A B ，()2|P A B ，()3|P A B ，最大者即为所求箱号. (1)由已知可得()()()12313P A P A P A ===,()()()123123|,|,|443P B A P B A P B A ===,∴()111111()(|)3412P BA P A P B A ==⨯=，()222121()(|)346P BA P A P B A ==⨯=，()333131()(|)333P BA P A P B A ==⨯=，∴()P B ()()()1231117126312P BA P BA P BA =++=++=. (2)()()()111112|7712P A B P A B P B ===，()()()22126|7712P A B P A B P B ===，()()()33143|7712P A B P A B P B ===，()3|P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,M p p -在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点，且MFN △的面积为3，求直线l 的方程．【答案】(1)24y x =；1x =- (2)2340x y -+=或240x y +-= 【分析】（1）将点M 代入计算即可；（2）设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，与抛物线方程联立，消去x ，可求出0y ，再求出直线与x 轴交点坐标，再利用0122MFN S y FQ =-△列方程求解即可. (1)由已知得()221p p p =-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-; (2)由（1）得()1,2M ，()1,0F ，设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，联立()2421y x x k y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得24840y ky k -+-=，024y k ∴+=，则042y k =-又直线l 与x 轴交点坐标为()21,0Q k -+，()0112242211322MFN S y FQ k k ∴=-=--⋅-+-=△ 解得32k或12k =- 所以直线l 的方程为()3212x y =-+或()1212x y =--+， 即2340x y -+=或240x y +-=.21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值； (3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析 21 (3)存在，1AP =【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC ⊥CD ,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD ⊥平面ACEF ,从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得； （3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. (1)∵AD BC ∥，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为直角梯形， 又∵1AB BC ==，∴∠BAC =45°，AC 2∴∠CAD =45°， 又∵AD =2,∴CD 2222?·cos 4222222AD AC AD AC CAD +-∠=+-⨯⨯⨯= ∴222AC CD AD +=,∴AC CD ⊥,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,CD ⊂平面ABCD , ∴CD ⊥平面ACEF , 又∵AF ⊂平面ACEF , ∴CD ⊥AF(2)∵四边形ACEF 为矩形，∴AF ⊥AC ,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,AF ⊂平面ACEF , ∴AF ⊥平面ABCD ,CE ⊥平面ABCD ∴AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF ⊥平面ABCD ,AF //CE ,∴CE ⊥平面ABCD ， 又∵30EDC ∠=︒，∴CE =CDtan 30°, ∴A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE), DF ⎛=- ⎝⎭,由AC ⊥CE ,AC ⊥CD ,CE ∩CD =C ,∴AC ⊥平面CDE , ∴平面CDE 的法向量为()1,1,0AC =,∴直线DF 与平面CDE所成的角的正弦值为··4AC DFAC DF==(3)若ACEF 为正方形，则与（2）同理可得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.∴A(0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE 设()0,0,(0P t t <,平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()2,0,,2,1,0PD t BD =-=-,则2020x tz x y -=⎧⎨-=⎩,令x t =,则2,2y t z ==,(),2,2n t t =,平面ABD 的法向量为()0,0,1m =, ∴22cos ,3m n t ==+,解得1t =， 在线段AF 上存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23，线段AP 的长为1.22．如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQMD DQ-是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)2212516x y +=(2)是定值，为15.【分析】（1）设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，根据条件可得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y - ，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC 与x 轴交于点Q 的坐标，，直接计算MD DQMD DQ-即可得答案. (1)设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ， 则由已知2PF r =，110PF r =-， 消去r 得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，设为22221,0x y a b a b+=>>，则210a =，5a ∴=，225916b ∴=-=则E 的方程为2212516x y +=；(2)设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -联立221625400x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(1625)32164000k y kmy m +++-=， 21212223216400,16251625km m y y y y k k -∴+=-=++，又直线AC 的方程为121112()y y x x y x x y +=-+- 令0y =， 得112111222122211221()()2()x y x y ky m y ky m ky y m y y x y y y y y y y ++++++===+++2222164003222516251625321625m km k m k k km m k -⎛⎫⋅+- ⎪++⎝⎭==-+， 即25,0Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()111151255555555MD DQ m MD DQDQ MD m m m m-∴=-=-=-=----MD DQMD DQ -∴是定值，且为15.。

2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城高二上学期期末数学试题一、单选题1．设等差数列的前n 项和为，若，，成等差数列，且，则的公差{}n a n S 2S 3S 5S 110a ={}n a （ ）d =A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】D【分析】根据等差数列的求和公式及等差中项化简求值即可.【详解】，，成等差数列，且，2S 3S 5S 110a =，3252S S S ∴=+，3221542310210510222d d d ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝∴⎭⎭解得．2d =-故选：D ．2．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的(1,2,3)A (3,2,1)C (4,3,0)D AB CD 位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B 【详解】因为，，，，所以,,可()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D (3,3,3),(1,1,1)AB CD =--=-得，所以，线与的位置关系是平行，故选B ．3AB CD =- AB CD ∥AB CD 3．已知直线与平行，则实数a 的值为1:(2)20l ax a y +++=2:10l x ay ++=A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．－1【答案】D【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a 2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：，若直线12122112211221000l l A B A B A C A C B C B C ⇔-=-≠-≠ 且（或）；4．设AB 是椭圆（）的长轴，若把AB 一百等分，过每个分点作AB 的垂线，22221x y a b +=0a b >>交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则的值是（ ）111121991||||||||||F A F P F P F P F B +++++ A ．B ．C ．D ．98a 99a100a101a【答案】D【分析】根据椭圆的定义，写出，可求出的和，又根据关12||||2i i F P F P a +=1112199||||||F P F P F P 、、、于纵轴成对称分布，得到结果．【详解】设椭圆右焦点为F 2，由椭圆的定义知，2，，，12||||2(1i i F P F P a i +==⋯99)．∴99121(||||)299198iii F P F P a a=+=⨯=∑由题意知，，，关于轴成对称分布，1P 2P⋯99P y ．∴9999112111(||)(||||)992i i i i i F P F P F P a ===+=∑∑又，11||||2F A F B a += 故所求的值为．101a 故选：D ．5．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦(0,2,1),(2,0,4)a b =--=值等于（ ）A ．B ．C ．D 25-25【答案】B【分析】利用数量积公式求异面直线的夹角的余弦值即可.【详解】因为，所以.4,|||a b a b ⋅=-==42cos cos ,105||||a b a b a b θ⋅-====故选：B【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于基础题.6．在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（ ）{}n a 212a =418a =A ．B ．C ．D ．8122-9122-10122-11122-【答案】B【分析】根据已知求出首项和公比，即可利用求和公式求出.【详解】设等比数列的公比为，q∵，∴，∵，∴.422a a q =21182q =⨯0q >12q =∵，∴，∴.21a a q =11a =()1010110911112211212a q S q ⎛⎫- ⎪-⎝⎭===---故选：B.7．已知数列满足，且对任意都有，则的{}n a 2123...=2n n a a a a ⋅⋅⋅⋅*()n N ∈*n ∈N 12111...n ta a a +++<t 取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】由，得，两式相除可得，从而可得数列2123...=2n n a a a a ⋅⋅⋅⋅2(1)12312n n a a a a --⋯=212n n a -= 为等比数列，首项为 ，公比为，进而可求出的值，可得答案1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭121412111...n a a a +++【详解】∵数列 满足，{}n a 2123(2*)nn a a a a n N ⋯=∈ 时， 时， ，可得 .1n ∴=122a n =≥；2(1)12312n n a a a a --⋯=212n na -= ，数列 为等比数列，首项为 ，公比为 .21112n n a -∴=1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1214.1211(1)11121224(1)134314n nn a a a -∴++⋯+==-<-∵对任意 都有，则 的取值范围为 N*n ∈12111...n t a a a +++<t 2[)3+∞，．故选：D.【点睛】此题考查等比数列的前项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题n8．设椭圆C ：的左、右焦点分别为、，P 是C 上的点，⊥，22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 2PF 1F 2F ∠=，则C 的离心率为12PF F 30 AB ．C ．D1312【答案】D【详解】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m，|F 1F 2|m ，故离心率e ＝D.121222F F c a PF PF ===+点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等,,a b c 式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用,,a b c b ,a c ,,a b c 椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果，，()2,1,4AB =--()4,2,0AD =，则下列结论中错误的是（ ）()1,2,1AP =--A ．B ．AP AB ⊥⊥ AP AD C ．是平面ABCD 的法向量D ．AP AP//BD【答案】D【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.【详解】因为，所以，故A 正确；2240AB AP ⋅=--+=AB AP ⊥ 因为，所以，故B 正确；4400AP AD ⋅=-++= ⊥AP AD 由A ，B 知，C 正确；与不平行，故D 错误．()2,3,4BD AD AB =-=()1,2,1AP =--故选：D.二、多选题10．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）2:0l ax by r +-=222:C x y r +=(,)A a bA ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线222,a b r +与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l 的距离()0,0C d =若点在圆C 上，则，所以(),A a b 222a b r +=d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点在圆C 内，则，所以(),A a b 222a b r +<d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点在圆C 外，则，所以(),A a b 222a b r +>d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点在直线l 上，则即，(),A a b 2220a b r +-=222=a b r +所以l 与圆C 相切，故D 正确.d =故选：ABD.11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线从点射入，经过抛物线上的24y x =1l ()3,1M 点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是()11,P x y ()22,Q x y 2l （ ）A ．B ．121=x x 43PQ k =-C ．D ．与之间的距离为4254PQ =1l 2l 【答案】ABC【分析】由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项PQ F 2124p x x =A ；点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率P M 1l P 2124p x x =Q 公式即可判断选项B ；根据抛物线的定义可知，，可判断选项C ；12||PQ x x p =++由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D ．1l 2l 1l 2l 12||d y y =-【详解】如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A 正确；PQ (1,0)F ∴21214p x x ==由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，P (1,14)Q (4,4)-，即选项B 正确；∴4141344PQ k --==--由抛物线的定义可知，，即选项C 正确；12125||4244PQ x x p =++=++=与平行，1l 2l 与之间的距离，即选项D 错误；1l ∴2l 12||5d y y =-=故选：ABC【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题．12．素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛.1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．4710131619 (7)1217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……………………该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n 出现在数阵中，则一定是合数，21n +反之如果正整数n 不在数阵中，则一定是素数，下面结论中正确的是（ ）A ．第4行第921n +列的数为80；B ．第6行的数公差为13；C ．592不会出现在此数阵中；D ．第10列中前10行的数之和为1255．【答案】BD【分析】依次判断选项正误即可.【详解】对于A ，第四行是以为首项，公差为9的等差数列，则第九列数为：13，故A 错误；138985+⨯=对于B ，由题第六行为等差数列，又，故B 正确；1221193213，a a d a a ==⇒=-=对于C ，若592不在数阵中，则一定是素数，但为合数，故C 错误.25921´+259211185⨯+=对于D ，由题可得第10列第1行为，第10列第2行，49331+⨯=79552+⨯=则第10列为以为首项，公差为的等差数列，则第10列中前10行的数之和为3121，故D 正确.10910312112552⨯⨯+⨯=故选：BD三、填空题13．过点且倾斜角是直线：的倾斜角的两倍的直线的方程为______．()2,1P l 1y x =-【答案】2x =【分析】求出直线的倾斜角，进而可得出所求直线的方程.【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，l 1l 45所以所求直线的倾斜角为，又过点，90()2,1P所以所求直线的方程为．2x =故答案为：2x =14．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.{}n a {}n b n n S n T 731n n S n T n -=+55a b =【答案】6【分析】利用等差数列前项和的性质，将项的比转化为和的比值.n 【详解】由已知得，，()()2112121212n n n n S a a n a ---=+=-()()2211121212n n n n b b T n b ---=+=-令n =5，则，，959S a =959T b =所以，5959793691a S b T ⨯-===+故答案为：6.15．在长方体中，，，点E 为AB 的中点，则点B 到平面1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =的距离为________．1D EC【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用即可D 1D EC n EB d n⋅=求解.【详解】∵在长方体 中,,，1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =点为的中点，E AB 以为原点，建立空间直角坐标系，如图：D ∴, ,,，(1,2,0)B (0,2,0)C (1,1,0)E 1(0,0,1)D即，，()1,1,0EC =-()10,2,1D C =-()0,1,0EB =设平面的法向量，1D EC (,,)n x y z =则，即，100n EC n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y y z -+=⎧⎨-=⎩令，则，所以1y =1,2x z ==(1,1,2)n =∴点 到平面的距离：B 1D ECn EB d n ⋅===四、双空题16．已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M22221(0)x y M a b a b +=>>：22221x y N m n -=：的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．【答案】21【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N 的22,m n离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得c ，解得椭圆M的离心率.2c a =【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以c 2c a =椭圆M的离心率为 1.c a ==双曲线N 的渐近线方程为，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为ny xm =±，222ππtan 333n m ∴==，222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，；．12［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为，椭圆22221x y m n -=n y x m =22221x y a b +=()00,A x y 的右焦点为．由题可知，为正六边形相邻的两个顶点，所以（O 为坐标原2(,0)F c 2,A F 260AOF ∠=︒点）．所以．因此双曲线的离心率．tan 60n m ︒==2e ===由与联立解得．n y x m =22221x y a b +=A因为是正三角形，所以．2AOF △||OA c =c =将代入上式，化简、整理得，即，解得222,n b a c ==-4224480a a c c -+=42840e e -+=，（舍去）．1e =1e =，双曲线的离心率为2．1；．12［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形由条件知双曲线N 在第一、三象限的渐近线方程为，于是双曲线N 的离心率为y =．2=设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为A ，椭圆的左、右焦点分22221x y m n -=22221x y a b +=别为．在中，．12,F F 12AF F △122112,,632AF F AF F F AF πππ∠=∠=∠=由正弦定理得．1212211212sin sin sin AF AF F F AF F AF F F AF ==∠∠∠于是．1212211212sin sin sin AF AF F F AF F AF F F AF +=∠+∠∠即椭圆的离心率．sin 2212sin sin 63c e a πππ===-+；．12【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．五、解答题17．已知等比数列的前项和为，且，.{}n a n n S 1310a a +=2420a a +=(1)求的通项公式；{}n a (2)求.1212nn S S S a a a ++⋅⋅⋅+【答案】(1)2n n a =(2)11222n n --+【分析】（1）设的公比为，根据题意求得的值，即可求得的通项公式；{}n a q 1,a q {}n a （2）由（1）求得，得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.122n n S +=-1122n n nS a -=-【详解】（1）解：设的公比为，{}n a q 因为，，则，1310a a +=2420a a +=42312a a q a a +==+又因为，解得，1311410a a a a +=+=12a =所以的通项公式为.{}n a 1222n n n a -=⨯=（2）解：由，可得，2n n a =11222212n n n S ++-==--则，11221222n n n n n S a +--==-所以.1211211122221212n n n n S S S n n a a a --++⋅⋅⋅+=-=-+-18．如图，在三棱锥中，为的中点.-PABC ,2,AB BC AB BC PA PB PC O ⊥=====AC (1)证明：平面；AC ⊥PBO (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值.M BC M PA C --【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）先证明和，再利用线面垂直的判定定理证明出平面；PO AC ⊥AC OB ⊥AC ⊥PBO （2）以为轴､轴､z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.,,OB OC OP x y 【详解】（1）为的中点，.,PA PC O = AC PO AC ∴⊥为的中点，.,= AB BC O AC AC OB ∴⊥平面，平面，,,,PO AC AC OB OB PO O OB ⊥⊥⋂=⊂ PBO PO ⊂PBO 平面.AC ∴⊥PBO（2）为的中点，,2,AB BC AB BC PAPB PC ⊥===== O AC AC =.222,BO PO PO OB PB PO OB ∴==∴+=∴⊥又平面，,,,AC OB AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂ PAC 平面.OB ∴⊥PAC 分别以为轴､轴､z 轴建立空间直角坐标系，如图.,,OB OC OP x y所以,,,,,()0,0,0O ()0,A )B ()C (P.M⎫⎪⎪⎭所以.(,0,AM PA ⎫==⎪⎪⎭ 记为平面的法向量，(),,n x y z = AMP 则，即，不妨令，则0 0n AMn PA ⎧⋅=⎨⋅=⎩y =⎪=⎩1z =().n = 而平面的法向量，APC ()1,0,0m = 易知二面角的平面角为锐角记为，则M PA C --θ.cos cos ,n m n m n m θθ⋅=====⋅19．某海面上有三个小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东45°方向处，,,O A B AO km 岛在岛的正东方向处．以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位B O 10km O O x 1km长度，建立平面直角坐标系，如图所示．(1)试写出的坐标，并求两岛之间的距离；,A B ,A B (2)已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船在岛的南偏西30°方向距,,O A B M O 岛处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？O 20km 【答案】(1)，(20,20),(10,0)AB (2)有触礁的危险【分析】（1）根据坐标的表示方法和两点间的距离公式求解；（2）利用点和直线的位置关系即可判断.【详解】（1）在的北偏东45°方向，在的正东方向AO km B O 10km.，(20,20),(10,0)A B ∴由两点间的距离公式知．||AB ==（2）设过三点的圆的方程为．,,O A B 220x y Dx Ey F ++++=将代入上式，得(0,0),(20,20),(10,0)O A B ，解得．222020202020010100F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩10300D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩圆的方程为，∴2210300x y x y +--=则该圆的圆心为，半径．()5,15r =设船起初所在的点为，则，M (10,M --又该船航线所在直线的斜率为1，该船航线所在的直线方程为．∴100x y -+-=圆心到此直线的距离．∴d <若不改变方向，该船有触礁的危险．．∴20．已知数列满足，且.{}n a ()*2144n n n a a a n N ++=-∈124,12a a ==(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；{}12n n a a +-{}n a (2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并1n n n b a a +=-2log n n a b n =21n n n n a b a a ++=加以解答.已知数列满足__________，求的前项和.（如果选择多个条件分别解答，按第{}n b {}n b n n T 一个解答计分）【答案】(1)证明见解析，()12nn a n =+⋅(2)答案见解析【分析】（1）利用递推公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；（2）若选①：利用错位相减法进行求解即可；若选②：根据对数的运算性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可；n 若选③：根据裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）因为，2144n n n a a a ++=-所以，又，于是，()211222n n n n a a a a +++-=-124,12a a ==2124a a -=所以是以4为首项2为公比的等比数列.{}12n n a a +-所以，两边除以得，.1122n n n a a ++-=12n +11122n n n n a a ++-=又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.122a =2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，即.12n n a n =+()12n n a n =+⋅（2）若选①：，即.1n n n b a a +=-()()()1221232n n n n b n n n +=+⋅-+⋅=+⋅因为，()12342526232n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ 所以.()2341242526232n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ 两式相减得，()()12314222232n n n T n +-=⨯++++-+⨯ ，()()()11142183222421n n n n n -++⨯-=+-+⨯=-+⨯+-所以.()1224n n T n +=+⨯-若选②：，即.2log n n a b n =22211log log 2log n n n n b n n n ++=+=+所以()222231log log log 1212n n T n n +⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭ ()21231log 122n n n n ++⎛⎫=⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭()()21log 12n n n +=++若选③：，即.21n n n n a b a a ++=11144114n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫-==- ⎪⎝⎭所以12231111111444n n n T a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()111111111441.42222n n n a a n n +-+⎡⎤⎛⎫=-=-=-⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦21．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记．CM BN a ==(0a<<（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）当MN 的长最小时求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2）；（3）||MN =a =||MN 13【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，B BA BE BC x y z 求得、、、、、的坐标．A C F E M N （1）直接由两点间的距离公式可得；||MN （2）把（1）中求得利用配方法求最值；||MN （3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接M N MN M N MN G ，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，AG BG G AG BG AGB ∠MNA MNB 再由与的夹角求解．GA GB 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，， ， ，()1,0,0A ()0,0,1C ()1,1,0F ()0,1,0E，， ．CM BN a == M ∴N ⎫⎪⎭（1）||MN ==（2），||MN ==当；a =||MN （3）由（2）可知，当，为中点时，最短，M N MN 则，0，，，，，取的中点，连接，，1(2M 1)21(2N 120)MN G AG BG 则，，，1(2G 141)4，，，，AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥是平面与平面的夹角或其补角．AGB ∴∠MNA MNB ，， 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 111(,,244GB =---．·1cos ,3·GA GB GA GB GA GB ∴===- 平面与平面夹角的余弦值是．∴MNA MNB 1322．双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.()22:10,0C ax by a b -=>>1y =（1）求双曲线的方程；C （2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；C D E 、OD OE 12211OE OD + （3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是(),0P t t ⎛> ⎝m C ,M N m ，是否存在直线（其中恒成立？（其中2,,,233πππθθ⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭00:l x x =0x <M N PM d d PN =分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.,M N d d,M N 0l 0x 【答案】（1）；（2）8；（3）存在且221241x y -=0112x t=【详解】分析：（1）根据题意，双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.易求求双曲C 1y =线的方程；C （2）设直线的斜率，显然OD k k ≠联立得，求出，，可证；221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩221124D x k =-2OD 2OE 22118OD OE +=（3）设直线方程(),y m x t m =-≠联立，（*），()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩()()222221248410m x m tx m t -+-+=∵，方程总有两个解，t >设，得到，()()112212,,,,M x y N x y x t x <<1212,x x x x +根据得，整理得，由M N d d 101202x x t x x x x t --=--112x t =t >0112x t =<在直线．详解：（1）双曲线；22:1241C x y -=（2）设直线的斜率，显然OD k k ≠联立得，221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩221124D x k =-，()2222211124D k OD OD k x k +==+=- ，222221*********k k OE k k ++==-- ；22222211124124811k k k k OD OE --+=+=++ （3）设直线方程(),y m x t m =-≠联立，（*），()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩()()222221248410m x m tx m t -+-+=∵，方程总有两个解，t >设，()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，()222121222418,124124m t m t x x x x m m -+-+==--根据得，M N PM d d PN =101202x x t x x x x t --=--整理得，2222222841211241248122124m t m t t m m x m t t t m -+⋅+⨯--==+-∵t>∴符合题目要求，存在直线．0112x t =<=点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题.。

山东省高二上学期期末数学试题(解析版)

山东省高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．已知向量，，若，则（ ） ()2,1,3a = (),2,1b x x =- a b ⊥x =A ． B ．C ．D ．5-541-【答案】B【解析】根据，利用求.a b ⊥0a b ⋅= x 【详解】因为，所以，得. a b ⊥223(1)0a b x x ⋅=++-=5x =故选：B.2．已知数列13，，……，则是这个数列的（ ）11A ．第21项 B ．第23项 C ．第25项 D ．第27项【答案】B【分析】将.【详解】因为题中数列的第 n而 ==所以是题中数列的第23项. 故选：B. 3．抛物线的焦点坐标是（ ） 213y x =A ．B ．C ．D ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭1,012⎛⎫ ⎪⎝⎭30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】先将抛物线化为标准方程，即可求出焦点坐标. 213y x =【详解】由，所以抛物线的标准方程为：，即 ， 213y x =23x y =32p =∴所以抛物线的焦点坐标为： 213y x =304⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：D.4．已知直线和互相平行，则实数（ ） 1:70l x my ++=2:(2)320l m x y m -++=m =A ． B ．C ．或D ．或3-1-1-313-【答案】C【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解. 13(2)0m m ⨯--=2730m -⨯≠【详解】由题意，直线和互相平行，1:70l x my ++=2:(2)320l m x y m -++=可得且， 13(2)0m m ⨯--=2730m -⨯≠即且，解得或. 2230m m --=212m ≠1m =-3m =故选：C.5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（ ） 40.5 4.5A ．尺 B ．尺C ．尺D ．尺6.513.514.515.5【答案】D【解析】根据题意转化为等差数列，求首项.【详解】设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知1a 13540.5a a a ++=，芒种的日影长为，33340.513.5a a =⇒=12 4.5a =，解得：，， 11213.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩115.5a =1d =-所以冬至的日影长为尺. 15.5故选：D6．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量111ABC A B C -M 11A C BA a = BC b = 1BB c =与相等的是（ ）BMA ．B ．1122a b c --+ 1122+-a b c C ． D ．1122-++ a b c 1122a b c ++ 【答案】D【解析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项.,,a b c BM【详解】 11112BM BA AA A M BA BB AC =++=++()11111222BA BB BC BA BA BB BC =++-=++1122a c b =++ 故选：D7．已知椭圆与轴交于点A ，B ，把线段AB 分成6等份，过每个分点作轴的垂线交221369x y +=x x 椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C 的右焦点，则1P 2P 3P 4P 5P F （ ） 12345PF P F P F P F P F ++++=A ．20B ．C ．36D ．30【答案】D【分析】由题意知与，与分别关于y 轴对称，设椭圆的左焦点为，从而1P 5P 2P4P 1F ，，利用15111||||||||2PF P F PF PF a +=+=523||||2,||P F P F a P F a +==即可求解． 12345||||||||||5PF P F P F P F P F a ++++=【详解】由题意，知与，与分别关于y 轴对称 1P 5P 2P 4P 设椭圆的左焦点为，由已知a =6,1F 则，同时15111||||||||2PF P F PF PF a +=+=523||||2,||P F P F a P F a +==∴ 12345||||||||||530PF P F P F P F P F a ++++==故选：D ．8．已知圆O 的半径为5，，过点P 的2021条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长||3OP ={}n a 为，最长弦长为，则其公差为（ ） 1a 2021a A ．B ．C ．D ．1202011010310101505【答案】B【解析】可得过点P 的最长弦长为直径，最短弦长为过点P 的与垂直的弦，分别求出即可得出OP 公差.【详解】可得过点P 的最长弦长为直径，， 202110a ∴=最短弦长为过点P 的与垂直的弦，，OP 18a ∴==公差.∴20211212021120201010a a d -===-故选：B.二、多选题9．已知圆和圆的公共点为，，则（ ）221:1C x y +=222:40C x y x +-=A B A ． B ．直线的方程是 12||2C C =AB 14x =C ．D ．12AC AC ⊥||AB =【答案】ABD【解析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，判断C ，利用弦长公式求. AB AB 【详解】圆的圆心是，半径，圆，圆心，，1C ()0,011r =()222:24C x y -+=()2,022r =，故A 正确；122C C ∴=两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B 正确； AB 1414x x =⇒=，，，，所以不正确，故C 不正确；11AC =22AC =122C C =2221212AC AC C C +≠12AC AC ⊥圆心到直线的距离，D 正确. ()0,014x =14d =AB ===故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键选项是B 选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交弦所在直线方程.10．已知空间四点，则下列说法正确的是（ ） (0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(3,2,1)O A B C -A ．B ．2OA OB ⋅=-2cos ,5OA OB <>=-C ．点O 到直线D ．O ，A ，B ，C 四点共面BC 【答案】ABC【解析】计算数量积判断A ，求向量夹角判断B ，利用向量垂直判断C ，根据空间向量共面定理判断D ．【详解】， (0,1,2),(2,0,1)OA OB ==-，A 正确；02102(1)2OA OB ⋅=⨯+⨯+⨯-=-，B 正确； 2cos ,5OA OB <=- ，，所以O 到直线(1,2,2)BC = 2102(1)20OB BC ⋅=⨯+⨯+-⨯= OB BC ⊥ BC C 正确； ，(3,2,1)OC =假设若O ，A ，B ，C 四点共面，则共面，设， ,,OA OB OC OC xOA yOB =+则，此方程组无解，所以O ，A ，B ，C 四点不共面，D 错． 23221y x x y =⎧⎪=⎨⎪-=⎩故选：ABC ．11．若数列满足，，，则称为斐波那契数列．记}{n F 11F =21F =)(123,n n n F F F n n N *--=+≥∈}{n F 数列的前项和为，则（ ）}{n F n n S A ．B ．26571F F F =+681S F =-C ． D ．135910F F F F F +++⋅⋅⋅+=2222123678F F F F F F +++⋅⋅⋅+=【答案】BC【分析】由递推式分别求出，，，，再逐个选项判断即可． 3F 4F ⋯10F 【详解】因为，，， 11F =21F =*12(3,)n n n F F F n n N --=+∈…所以，，3212F F F =+=4323F F F =+=，，5435F F F =+=6548F F F =+=，， 76513F F F =+=87621F F F =+=，，98734F F F =+=109855F F F =+=所以，，，故错误；2664F =57166F F +=26571F F F ≠+A ，，，故正确；611235820S =+++++=8120F -=681S F =-B ，故正确；135910125133455F F F F F +++⋯+=++++==C，，2222123611492564104F F F F +++⋯+=+++++=781321273F F =⨯=所以，故错误． 2222123678F F F F F F +++⋯+≠D 故选：．BC 12．已知常数，点，动点M (不与A ，B 重合)满足：直线与直线的斜0a >(,0),(,0)A a B a -AM BM 率之积为，动点M 的轨迹与点A ，B 共同构成曲线C ，则关于曲线C 的下列说法正确的是(0)m m ≠（ ）A ．当时，曲线C 表示椭圆0m <B ．当时，曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆1m <-C ．当时，曲线C 表示双曲线，其渐近线方程为 0m >y =D ．当且时，曲线C 1m >-0m ≠【答案】BCD【解析】设，则，即曲线C 的方程为，然后利用椭圆和双曲线(),M x y y y m x a x a ×=+-22221x y a ma-=的知识逐一判断即可. 【详解】设，则，所以，即曲线C 的方程为(),M x y y y m x a x a ×=+-()222y m x a =-22221x y a ma-=当且时，曲线C 表示椭圆，故A 错误0m <1m ≠-当时，，曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故B 正确 1m <-22ma a ->当时，曲线C 表示双曲线，其渐近线方程为，故C 正确0m >y =当时，曲线C0m >=当时，曲线C D 正确10m -<<=故选：BCD三、填空题13．在直角坐标系中，直线的倾斜角是___. 30x +-=【答案】150︒【分析】求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为. 150︒故答案为：150︒14．已知双曲线＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝，则它的离心率为________．2222x y a b-【答案】2【详解】由题意，得e ＝2. c a 15．已知正方形的边长为分别是边的中点，沿将四边形折起，使二ABCD 2,,E F ,AB CD EF AEFD 面角的大小为，则两点间的距离为__________． A EF B --60 ,A C【分析】取BE 的中点G ，然后证明是二面角的平面角，进而证明，最AEB ∠A EF B --AG GC ⊥后通过勾股定理求得答案.【详解】如图，取BE 的中点G ，连接AG ,CG ，由题意，则是二面角,EF AE EF BE ⊥⊥AEB ∠的平面角，则，又，则是正三角形，于是A EFB --=60AEB ∠︒1AE BE ==ABE A,AG BE AG ⊥=根据可得：平面ABE ，而平面ABE ，所以，,,EF AE EF BE AE BE E ⊥⊥⋂=EF ⊥AG ⊂EF AG ⊥而，则平面BCFE ，又平面BCFE ，于是，，又,AG BE BE EF E ⊥⋂=AG ⊥GC ⊂AG GC ⊥，所以222174GC BC BG =+=AC ==四、双空题16．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，则__________；记{}n a n n S 1n a =+n a =[]x 表示不超过的最大整数，例如，若，设的前项和为，则x [][]3, 1.52π=-=-110n n a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦{}n b n n T __________．22T =【答案】 ； 60.21n -【分析】先根据并结合等差数列的定义求出；然后讨论n 的取值范围，讨论1,1,,2n n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 出分别取1,2,3,4,5的情况，进而求出.n b n T 【详解】由题意，，n =1时，，满足，()214nna S +=()2111114a a a +=⇒=10a >时，，于是，2n ≥()21114n n a S --+=()()()()221111112044nn n n n n n n n a a a S S a a a a ----++=-=-⇒+--=，因为，所以.所以，是1为首项，2为公差的等差数列，0n a >11202n n n n a a a a ----=⇒-={}n a 所以.()12121n a n n =+-=-若，即时，， 1112110102n a n n <⇒-<⇒<15n ≤≤1110n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则时，，1121121021201022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<610n ≤≤1210n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则时，， 2131232021301022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<1115n ≤≤1310n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则时，，3141343021401022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<1620n ≤≤1410n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则或22时，， 4151454021501022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<21n =1510n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦于是，. ()22123455260T =+++⨯+⨯=故答案为：2n -1；60.五、解答题17．在三角形中，已知点，，. ABC ()4,0A ()3,4B -()1,2C (1)求边上中线所在的直线方程；BC (2)若某一直线过点，且轴上截距是轴上截距的倍，求该直线的一般式方程. B y x 2【答案】(1) 35120x y +-=(2)或 430x y +=220x y ++=【分析】（1）求出中点，利用点斜式求方程即可；（2）直线过原点和不过原点利用截距式方程求解即可【详解】（1）∵，，()3,4B -()1,2C∴线段的中点的坐标为， BC D ()1,3-又边上的中线经过点，∴，BC ()4,0A ()()03441y x -=---即，35120x y +-=故边上中线所在的直线方程BC 35120x y +-=（2）当直线在轴和轴上的截距均为0时，可设直线的方程为， x y y kx =代入点，则，解得，()3,4B -43k =-43k =-所以所求直线的方程为，即；43y x =-430x y +=当直线在轴和轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为， x y 12x y m m+=代入点，则，解得， ()3,4B -3412m m-+=1m =-所以所求直线的方程为，220x y ++=综上所述，该直线的一般式方程为或. 430x y +=220x y ++=18．已知数列，若_________________． {}n a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①；2123n a a a a n ++++= ②，，；11a =47a =()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥③，点，在斜率是2的直线上． 11a =(),n A n a ()11,n B n a ++【答案】答案见解析.【分析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；n 若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥{}n a 即可；若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式； 12n n a a +-={}n a （2）利用裂项相消求和即可【详解】解：（1）若选①，由，2123n a a a a n ++++=所以当，， 2n ≥()212311n a a a a n -++++=- 两式相减可得：，()22121n a n n n =--=-而在中，令可得：，符合上式，2123n a a a a n ++++= 1n =11a =故．21n a n =-若选②，由（，）可得：数列为等差数列， 112n n n a a a -+=+N*n ∈2n ≥{}n a 又因为，，所以，即， 11a =47a =413a a d -=2d =所以．()11221n a n n =+-⨯=-若选③，由点，在斜率是2的直线上得：， (),n A n a ()11,n B n a ++()121n na a n n +-=+-即，12n n a a +-=所以数列为等差数列且．{}n a ()11221n a n n =+-⨯=-（2）由（1）知：， ()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以 111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭19．已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线 C x 3y x =2y x =(1)求圆的方程；C (2)若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且C ()1,0l C A B AB =l 的方程．【答案】(1)或 ()()22139x y -+-=()()22139x y +++=(2)或 10x y --=10x y +-=【分析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得C (),3a a 3a 的值，即可得出圆的标准方程；a C （2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为C l l l ，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.()1y k x =-k k l【详解】（1）解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，C (),3a a 3a因为圆心到直线， C 2y x =1a =±所以圆心的坐标为或，半径为，C ()1,3()1,3--3因此，圆的标准方程为或.C ()()22139x y -+-=()()22139x y +++=（2）解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为.C C ()()22139x y -+-=因为的距离AB =l d ===若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； l l 1x =C l 2所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，l l ()1y k x =-kx y k 0--=由题意可得， d ==1k =±所以，直线的方程为或，即或.l 1y x =-1y x =-10x y --=10x y +-=20．四棱锥底面为平行四边形，且，平面P ABCD -60,2,3ABC PA AB AD ∠==== PA ⊥.1,3ABCD BM BC =(1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由. PD N //PB AMN N (2)求直线与平面所成角的正弦值. PB PCD 【答案】(1)存在点，且，理由见解析； N 13PN ND =【分析】（1）连接相交于点，连接，利用线面平行的性质可得， AM BD 、O 、PO NO //NO PB 根据，可得答案；//AD BM 13BM BC =（2）以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面A 、、AM AD AP x y z 、、的法向量为，利用线面角的向量求法计算可得答案.PCD 【详解】（1）存在点，且时平面，理由如下： N 13PN ND =//PB AMN 连接相交于点，连接，则平面平面， AM BD 、O NO PBD =AMN NO 若平面，平面，平面，所以，//PB AMN NO ⊂AMN PB ⊄AMN //NO PB 因为，，所以， ，//AD BM 1133==BM BC AD 13=BO OD 13=PN ND 所以时平面； 13PN ND =//PB AMN（2）因为，，，113==BM BC 2AB =60ABC ∠= 由余弦定理可得，2222cos 603=+-⨯= AM AB BM AB BM 由可得， ，又平面，222AB AM BM =+AM BC ⊥AM AD ⊥PA ⊥ABCD 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， A 、、AM AD AP x y z 、、则，，，，，，()002P,,)1,0B-)C ()0,3,0D )1,2=--PB ()0,3,2=-PD ，)2,2=- PC 设平面的法向量为，PCD (),,n x y z =所以，即，令，则00PC n PD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩320220y z y z -=⎧⎪+-=2y =3,==z x 所以，2,3⎫=⎪⎪⎭n 设直线与平面所成角的为，PB PCD θ所以sin cos ,θ⋅====PB n PB n PB n所以直线与平面. PB PCD 21．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． {}n a {}n b 3nn na b =1a 23a 39a （1）求和的通项公式；{}n a {}n b （2）记和分别为和的前n 项和．证明：． n S n T {}n a {}n b 2nn S T <【答案】（1），；（2）证明见解析. 11()3n n a -=3n nnb =【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； 1a 29610q q -+=（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.,n n S T 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，{}n a 1a 23a 39a 所以，所以，21369a a a =+211169a q a a q =+即，解得，所以，29610q q -+=13q =11(3n n a -=所以. 33n n n na nb ==（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，211213333n n n n nT --=++++ ， 012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ n n S 230121123111112333323333n n nn S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 012111012222333---++++ 111233---+n n n n ．设， ⑧0121111101212222Γ3333------=++++ n n n则． ⑨1231111012112222Γ33333-----=++++ n n n 由⑧-⑨得． 1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭- n n n n n n n 所以． 211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n 因此． 10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n n T 故． 2nn S T <[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得， 11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，①211213333n n n n nT --=++++ ，② 231112133333n n n n nT +-=++++ ①②得 ， -23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---所以， 31(1)4323n n nn T =--⋅所以， 2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅所以. 2nn S T <[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知，令，且，即13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n 1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n 1+=-n n n b c c ，1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n 通过等式左右两边系数比对易得，所以．33,24αβ==331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，下同方法二．12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭[方法四]：导函数法 设，()231()1-=++++=- n n x x f x x x x x x由于， ()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦则．12121(1)()123(1)+-+-+=++++='- n nn nx n x f x x x nxx 又，1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n 所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'，下同方法二． 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；,n n S T 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n 1+=-n n n b c c n T 达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.22．已知椭圆的左､右焦点分别为，且，直线过与交于2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 122F F =l 2F C 两点，的周长为8．,M N 1F MN △(1)求的方程；C (2)过作直线交于两点，且向量与方向相同，求四边形面积的取值范围．1F C ,P Q PQ MNPQNM【答案】(1)；22143x y +=(2). (]0,6【分析】(1)根据给定条件直接求出半焦距，及长半轴长即可作答.c a (2)根据给定条件结合椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，设出直线l 的方程，与椭圆PQNM C 的方程联立，借助韦达定理、对勾函数性质计算作答.【详解】（1）依题意，椭圆半焦距，由椭圆定义知，的周长，解得，1c =1F MN △48a =2a =，2223b a c =-=因此椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，l l 1x my =+()()1122,,,M x y N x y 由消去并整理得：，则，221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690m y my ++-=122634m y y m +=-+122934y y m =-+，因与方向相同，即，又椭圆是以原点O 为对称中心的中心对称图形， PQ MN//PQ MN C 于是得，即四边形为平行四边形，其面积PQ MN =PQNM ，1121212222MNP MNFS S S F F y y ===⨯-A A 则，S ===，则，则，t =221,1t m t ≥=-224241313t S t t t==++显然在上单调递增，则当时，，即，从而可得，13y t t=+[)1,+∞1t =min 4y =[)4,y ∞∈+(]0,6S ∈所以四边形面积的取值范围为.PQNM (]0,6【点睛】结论点睛：过定点的直线l ：y =kx +b 交圆锥曲线于点，，则(0,)A b 11(,)M x y 22(,)N x y OMN A 面积； 121||||2OMN S OA x x =⋅-A 过定点直线l ：x =ty +a 交圆锥曲线于点，，则面积(,0)A a 11(,)M x y 22(,)N x y OMN A . 121||||2OMN S OA y y =⋅-A。

2022-2023学年山东省泰安市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省泰安市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

高二年级考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线与直线平行，则实数k 的值为（）1:1l y kx =+2:3l y x =A. B. D. 313-13【答案】D 【解析】【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k 的值.【详解】因为直线与直线平行，1:1l y kx =+2:3l y x =所以两直线斜率相等，即.3k =故选：D.2. 已知等差数列的首项，公差，则（）{}n a 13a =2d =5a=A. 7 B. 9C. 11D. 13【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.【详解】因为等差数列的首项，公差，所以{}n a 13a =2d =5143811aa d =+=+=故选：C【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.3. 已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为2212516x y +=P P （）A. 2 B. 3C. 5D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义列方程，求得到另一个焦点的距离.P 【详解】根据椭圆定义可知，到两个焦点的距离之和为，所以到另一P 22510a =´=P 个焦点的距离为.1073-=故选：B.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.4. 已知空间向量，满足，则实数的值是（）()2,1,2a =-()4,2,b x =-a b ⊥x A. B. C. D. 5-4-45【答案】D 【解析】【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.0a b ⋅=x 【详解】由已知条件得出，解得.()241222100a b x x ⋅=⨯--⨯+=-=5x =故选：D.5. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）2260x y x +-=A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.(1,2)【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，2260x y x +-=22(3)9x y -+=C (3,0)C 3设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的(1,2)P P CP P弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为.2==故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A. B. C. D. 4315316311031【答案】B 【解析】【分析】设第一天织布的尺数为，则由题意有，据此可x ()234122225x ++++=得答案.【详解】设第一天织布的尺数为，则x ()234122225x ++++=.52153152131x x x -⇒⋅==⇒=-故选：B7. 设、是轴上的两点，点P 的横坐标为2，且，若直线PA 的方程为A B y PA PB=，则直线PB 的方程为（）10x y -+=A. B. 50x y +-=210x y --=C. D. 270x y +-=30x y +-=【答案】A 【解析】【分析】根据直线PA 的方程，确定出的倾斜角，利用且、在轴上，PA PA PB=A B y 可得的倾斜角，求出的坐标，然后求出直线的方程．PB P PB 【详解】解：由于直线的方程为，故其倾斜角为，PA 10x y -+=45︒又，且、是轴上两点，故直线的倾斜角为，||||PA PB =A B y PB 135︒又当时，，即，2x =3y =(2,3)P 直线的方程为，即．∴PB 3(2)y x -=--50x y +-=故选：A ．8. 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平,,PA PB PC 60︒PC 面所成角的余弦值是（）PABD. 12【答案】B 【解析】【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之PC PAB 间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分,,PA PB PC 析.【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为，PC PAB PD作于点G ，于点H ，连接，CG PD ⊥CH PA ⊥HG 易得，又平面，则平面，又CG PA ⊥,,CH CG C CH CG ⋂=⊂CHG PA ⊥CHG 平面，则，HG ⊂CHG PA HG ⊥有cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩故．cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠已知，60,30APC APD ∠=︒∠=︒故为所求．cos cos60cos cos cos30CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．,,PA PB PC ,,PA PB PC 60︒建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B 所以，(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-设平面的法向量，则PAB (,,)n x y z =00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，所以，1x =1,1y z ==-(1,1,1)n =-所以．cos ,||||PC n PC n PC n ⋅〈〉===⋅设直线与平面所成角为，所以，PC PABθsin |cos ,|PC n θ=〈〉=所以cos θ=故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（）A. 直线必过定点()24R y ax a a =-+∈()2,4B. 直线在y 轴上的截距为1310x y --=C. 过点且垂直于直线的直线方程为()2,3-230x y -+=210x y ++=D. 直线的倾斜角为120°10x +=【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B ，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；0x =对于C ，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D ，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A ，由直线方程，整理可得，当时，24y ax a =-+()24y a x =-+2x =，故A 正确；4y =对于B ，将代入直线方程，可得，解得，故B 错误；0x =310x y --=10y --=1y =-对于C ，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点230x y -+=20x y C ++=代入上式，可得，解得，则方程为，故C()2,3-()2230C ⨯-++=1=C 210x y ++=正确；对于D ，由直线方程，可得其斜率为，则10x ++=θ，解得，故D 错误.tan θ=150θ= 故选：AC.10. 已知椭圆内一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，22:142x y C +=11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭且M 是线段AB 的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是（）1F 2F A. 椭圆C 的焦点坐标为，()2,0()2,0-B. 椭圆C 的长轴长为4C. 直线与直线的斜率之积为1MF 2MF 14-D.AB =【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.【详解】依题意，椭圆，22:142x y C +=所以，所以焦点坐标为，A 选项错误.2,a b c ===)()12,F F 长轴长，B 选项正确.24a =，C 选项正确.1214MF MF k k ⋅==-设，则，()()1122,,,A x y B x y 222211221,14242x y x y +=+=两式相减并化简得，12121212121212121212,,1412y y y y y y y y x x x x x x x x +----=⋅⋅=-=-+---即直线的斜率为，直线的方程为，AB 1-AB ()131,22y x y x -=--=-+由消去并化简得，2232142y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 261210x x -+=所以，所以.121212,6x x xx +=⋅=AB ==故选：BCD11. 已知数列的前n 项和，则下列结论正确的是（）{}n a ()2*123N 43n S n n n =++∈A. 数列是递增数列 B. 数列不是等差数列{}n a {}n a C.，，成等差数列 D.，，成等差2a 4a 6a 63S S -96S S -129S S -数列【答案】BCD 【解析】【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A ，B ，分别计算出，n a n S {}n a 2a ，和，，，结合等差数列的定义判断选项C ，D.4a 6a 63S S -96S S -129S S -【详解】，()2*12S 3N 43n n n n =++∈ 时，，2n ∴≥()()22112121531134343212n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎢⎥⎣⎦时，，即，.1n =114712a S ==47,11215,2212n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩*N n ∈，因此数列不是单调递增数列，故A 错误；2117471212a a =<= {}n a 又时，不满足，1n =15212n a n =+数列不是等差数列，故B 正确；∴{}n a ，，，21712a =42912a =64112a =因此，，成等差数列，故C 正确；2a 4a 6a ，()63456153545632124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()96789155378932124S S a a a -=++=⨯+++⨯=．()129101112157110111232124S S a a a -=++=⨯+++⨯=成等差数列，故D 正确.6396129,,S S S S S S ∴---故选：BCD.12. 平行六面体中，各棱长均为2，设，ABCD A B C D -''''A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=则下列结论中正确的有（）A. 当时，2πθ=AC '=B. 和BD 总垂直AC 'C. θ的取值范围为2(0,3πD. θ=60°时，三棱锥的外接球的体积是C C B D -'''【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，求正方体对角线即可判断；对于B ，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C ，由正三棱锥的高与斜高的关系即可计算判断；对于D ，求出正四面体外接球体积A A BD '-C C B D -'''判断作答.【详解】平行六面体中，各棱长均为2，设ABCD A B C D -''''，A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=对于A ，时，该平行六面体为正方体，其体对角线长，A 正确；2πθ=AC '=对于B ，，，因此，AC AB AA AD '=++' BD AD AB =-22()()AC BD AB AA AD AD AB AD AB AA AD AA AB '⋅++--⋅'''=-⋅⋅=+ ，B 正确；22224cos 4cos 0θθ=-+=-对于C ，连接，如图，依题意，为正三棱锥，取中点E ，,,BD A B A D ''A A BD '-BD 令为正的中心，连，有平面，O A BD ' ,,AE AO EO AO ⊥A BD '正三棱锥的斜高，，则A A BD '-cos2cos22AE AB θθ==2sin4sin22BD AB θθ==，2OE BD θ==显然，，即，则，从而得AE OE >2cos22θθ>tan 2θ<(0,)23θπ∈，C 正确；2(0,)3πθ∈对于D ，当时，三棱锥为正四面体，三棱锥也是正四面体，60θ= C C B D-'''A A BD '-它们全等，由C 选项知，的外接AO ===A A BD '-球球心在线段AO 上，设球半径为，r 则有，整理得，解得222()r AO r OB =-+222(2)AO rAO OE ⋅=+r =于是得三棱锥外接球的体积，D 不正确.C C BD -'''343V π=⨯=故选：ABC【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 准线方程为的抛物线的标准方程是_______．2x =【答案】28y x =-【解析】【详解】抛物线的准线方程为，说明抛物线开口向左，且，所以抛物线2x =224p =⨯=的标准方程是．28y x =-14. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出C 43y x=±双曲线的一个离心率______．C 【答案】（答案不唯一）53【解析】【分析】分类讨论双曲线的焦点在轴、轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离C x y 心率公式计算可得.【详解】当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，C x b y xa =±43b a =所以离心率，53c e a ====当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，即，C y a y x b =±43a b =34b a =所以离心率，54c e a ====综上，可得双曲线的离心率为或.5354故答案为：（答案不唯一）.5315. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案7ICME -是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，11223781OA A A A A A A ===== 如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，12,,,n OA OA OA ⋅ {}n a 则此数列的通项公式为_____．n a =【解析】【分析】由图可知，由勾股定理可得,利1122378...1OA A A A A A A =====2211n n a a -=+用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形，1122378...1OA A A A A A A =====因为都是直角三角形，122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、,2211n n a a -∴=+是以1为首项，以1为公差的等差数列，2n a ∴，()2111n a n n∴=+-⨯=故答案为.na ∴=【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.16. 已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A 和B ，在线段AB()4,1P 22:142x y C +=上存在点Q ，满足，则的最小值为______．AP QB AQ PB ⋅=⋅ OQ【解析】【分析】设，，，由四点共线，用向量共线关系表()11,A x y ()22,B x y (),Q x y ,,,A P B Q 示两点坐标，又点在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出点在一条定直线上，,A B ,A B Q 再求最短距离即可.【详解】设，，，由，记()11,A x y ()22,B x y (),Q x y AP QB AQ PB⋅=⋅，又四点共线，设，则由已知，且，AP PB AQ QB = ,,,A P B Q PA AQ λ= 0λ>1λ≠.PB BQ λ=- 由，得，PA AQ λ=()()11114,1,x y x x y y λ--=--解得，同理，得，114111x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩PB BQ λ=- ()()22224,1,x y x x y y λ--=---解得，因为点在椭圆上，所以，即224111x x yy λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩A 224111142x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，①()()()22241142x y λλλ+++=+同理点在椭圆上，所以，即B 224111142x y λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=，②()()()22241142x y λλλ--+=-①-②得 ，因为164442x yλλλ+=0λ>所以，故点在定直线上，220x y+-=Q 220x y +-=的最小值为点到直线的距离.OQO 220x y +-=d ==故答案为.【点睛】解析几何中线段定比分点问题方法点睛：1.在平面直角坐标系中，已知，，，且，,()11,A x y ()22,B x y (),P x y AP PB λ=0λ≠且，那么我们就说P 分有向线段AB 的比为，则有:1λ≠-λ，这就是定比分点坐标公式.121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩当P 为内分点时，；0λ>当P 为外分点时， ().0λ<1λ≠-2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，直线与抛物线相交于A ，B 两点．2y x =-22y x =（1）求线段AB 的长；（2）证明：．OA OB ⊥【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得.AB（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.【小问1详解】设，，由，得．()11,A x y ()22,B x y 222y x y x =-⎧⎨=⎩2640x x -+=，126x x +=124x x =所以．AB ==【小问2详解】由（1）知：，，126x x +=124x x =所以，()121212122240OA OB x x y y x x x x ⋅=+=-++=所以，OA OB ⊥ 所以．OA OB ⊥18. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，O ABC -OA OB OC ，．3OA OC ==2OB =（1）求点到直线的距离；B AC（2）求直线与平面所成角的正弦值．OB ABC 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得【小问1详解】解：以为坐标原点，，，方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的O OB OC OAx y z 空间直角坐标系，则，，，所以，，()0,0,3A ()2,0,0B ()0,3,0C ()2,0,3AB =-()0,3,3AC =-．()2,0,0OB =取，，则，()2,0,3a AB ==-AC u AC ⎛== ⎝ 213a = a u ⋅= 所以点到直线．B AC ==【小问2详解】解：设是平面的一个法向量，则，所以，(),,n x y z = ABC 00AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 230330x z y z -=⎧⎨-=⎩取，解得，所以．2z =32x y =⎧⎨=⎩()3,2,2n = 设直线与平面所成角为，OB ABC θ则，sin cos ,OB n OB n OB n θ⋅====⋅所以直线与平面OB ABC 19. 在数列的首项为 ，且满足．{}n a 11a =132nn n a a ++=⋅（1）求证：是等比数列．{}2n na-（2）求数列的前n 项和．{}n a n S 【答案】（1）证明见解析；（2）.1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数【解析】【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即132n n n a a +=-+⋅11212n n nn a a ++-=--可求解；（2）由（1）求得，分当为偶数和当为奇数，两种情况讨论，结合等(1)2n nn a =-+n n 比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，即，{}n a 132n n n a a ++=⋅132nn n a a +=-+⋅则，111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++--+⋅--===----又由，可得，11a =1121a -=-所以数列表示首项为，公比为的等比数列.{}2n na -1-1-（2）由（1）知，所以，121(1)(1)n n n n a --=-⨯-=-(1)2n nn a =-+所以，12=222(1)1(1)n nn S ++++-+++- 当为偶数时，可得；n 12(12)=02212n n n S +-+=--当为奇数时，可得，n 12(12)=12312n n n S +--=--综上可得，.1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数20. 已知两个定点，，动点P 满足()1,0M -()1,0N MP =（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．【答案】（1）22610x y x +-+=（2）或1y x =-1y x =-+【解析】【分析】（1）设点，后由(),P x y MP =（2）由点N 到直线PM 的距离为1，可得，则可得直线PM 方程为30PMN ∠=︒或，将直线方程与轨迹方程联立可得点P坐标，后可得直)1y x =+)1y x =+线PN 方程.【小问1详解】设点P 的坐标为，因为(),xy MP ==整理得，所以点P 的轨迹方程为．22610x y x +-+=22610x y x +-+=【小问2详解】因为点N 到直线PM 的距离为1，，2MN =所以，直线PM 或30PMN ∠=︒所以直线PM 的方程为或.)1y x =+)1y x =+联立轨迹方程与，)1y x =+可得，)2226104101x y x x x y x ⎧+-+=⎪⇒-+=⎨=+⎪⎩解得或．得直线PM 的方程为时，2x =+2x =)1yx =+P 的坐标为或.直线PM 的方程为时，(2++(21-)1y x =+P 的坐标为或．(21+--(2-当P 的坐标为时，直线PN的方程为：(2+，即.11y x ==-1y x =-P 的坐标为时，直线PN的方程为：(21--+，即.11y x ==--1y x =-+P 的坐标为时，直线PN的方程为：(21+--，即.11y x ==--1y x =-+P 的坐标为时，直线PN的方程为：(2-，即.11y x ==-1y x =-综上可得直线PN 的方程为或1y x =-1y x =-+21. 歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体的底面ABCD 为一个矩形，EF ABCD -，，，棱，M ，N 分别是28AB EF ==6AD =//EF AB 5EA ED FB FC ====AD ，BC的中点．（1）求证：平面平面；EFNM ⊥ABCD （2）求平面与平面夹角的余弦值．BFC EFCD 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）证明以及，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；EM AD ⊥MNAD ⊥（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面法向量，根BFC EFCD 据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为，为的中点，所以．EA ED =M AD EM AD ⊥在矩形中，，分别是，的中点，所以．ABCD M N AD BC MNAD ⊥又，，平面，所以平面．EM MN M ⋂=EM MN ⊂EFNM AD ⊥EFNM 又平面，所以平面平面．AD ⊂ABCD EFNM ⊥ABCD 【小问2详解】在平面中，过作，为垂足．EFNM F FH MN ⊥H 因为平面平面ABCD ，平面平面，EFNM ⊥EFNM ⋂ABCD MN =平面，所以平面．FH ⊂EFNM FH ⊥ABCD 过作的平行线，交于点，则，，，H BC AB S 3HS =2HN=HF =以为坐标原点，以，，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示H HS HN HF的空间直角坐标系，则，，，，()3,2,0B ()3,2,0C -()3,6,0D --(0,0,F 所以，，，．(3,2,BF =--()6,0,0BC =-(3,2,CF =-()0,8,0CD =-设平面EFCD 的一个法向量为，则，所以，(),,m x y z = 00CF m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩32080x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取，解得，所以，z =20x y =-⎧⎨=⎩(m =-同理可得平面的一个法向量为．BFC ()n =设平面与平面夹角为．则，BFC EFCDθcos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==⋅ 所以平面与平面．BFC EFCD 22. 已知双曲线的左，右顶点分别为A ，B ，过点且不()2222:10,0x y C a b a b -=>>()6,0D 与x 轴重合的动直线交双曲线C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，．4PD BD ==（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 和直线分别交于点M ，N ，若恒成立，求t 的值．x t =MD ND ⊥【答案】（1）22142x y -=（2）或14t =103t =【解析】【分析】(1)由可得的值，再将点代入即可求解；4PD BD ==a ()6,4P (2) 设直线PQ 的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP 的方6x my =+程，求出点的坐标，利用即可求出结果.,M N MD ND ⊥【小问1详解】由题知，当PQ 与x 轴垂直时，，4PD BD ==所以，，642a OD BD =-=-=()6,4P 所以，解得，所以双曲线C 的方程为．2236414b -=22b =22142x y -=【小问2详解】设直线PQ 的方程为，，，6x my =+()11,P x y ()22,Q x y 由，得，226142x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22212320m my y -++=所以，．122122m y y m +=--122322y y m =-直线AP 的方程为，与联立，解得．同理可得()1122y y x x =++x t =()112,2t y M t x +⎛⎫ ⎪+⎝⎭．()222,2t y N t x +⎛⎫⎪+⎝⎭所以，，()1126,2t y DM t x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+ ()2226,2t y DN t x +=-+⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为恒成立，所以恒成立，MD ND ⊥0DM DN ⋅=又()()()()2212126222y y DM DN t t x x ⋅=-++++ ()()()()2212126288y y t t my my =-++++()()()21222112262864m y y m y y y y t t ++=++-+()()221624t t =--+所以，解得或．()()22462t t -=+14t =103t =。

山东省威海市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)

山东省威海市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)
17.如图，正方体 的棱长为1．
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）求平面 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）利用空间向量法求平面 与平面 所成角的正弦值.
【小问1详解】建立如图来自示的空间直角坐标系 ，平面PBC，
故直线MN到平面PBC的距离即为点N到平面PBC的距离，设为
，
，
点P到面ABCD的距离 ，
由 ，得 ，
，
得 .
20.已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于M，N两点，圆A为 的外接圆（点O为坐标原点）．
（1）求证：线段MN为圆A的直径；
（2）若圆A过点 ，求圆A的方程．
【答案】（1）证明过程见详解
则
，
设面 的法向量为 ，
，取 ，得 ，
即面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
即直线 与平面 所成角的正弦值 ；
【小问2详解】
由（1）知面 的一个法向量为 ，
又平面 的一个法向量明显为 ，
，
设平面 与平面 所成角为 ， ，
，
即平面 与平面 所成角的正弦值为 .
18.已知等比数列 的各项均为正数， ，10， 成等差数列，且 ．
【详解】对A，由题知 ， ， ，
所以， ， ，即 ，故A选项正确；
对B， ，即 ，故B选项错误；
所以， ，
对C， ，故C选项正确；
对D，当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以，当 为偶数时， 为单调递减数列，
所以， 的最大值为 ，故D选项正确.

山东省高二数学上学期期末

山东省高二数学上学期期末

高二文科数学试题2013.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.考生务必用黑色0.5mm 签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、座号填写在答卷纸和答题卡上，并将答题卡上的准考证号、考试科目及试卷类型用2B 铅笔涂写。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；第Ⅱ卷一律答在答卷纸上，答在其它地方无效。

3.试题不交，请妥善保存，只交答卷纸和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1.在区间]3 1[，上任取一个实数x ，则25.1≤≤x 的概率等于A ．32 B ．21C ．31D ．41 2.下列命题中，真命题是A ．0412>+-∈∀x x x ，R B ．1 0200-=+∈∃x x x ，R C ．01 2<--∈∀x x ，RD ．022 0200<++∈∃x x x ，R3.直线02=-y x 与直线042=+-a y x 的距离为5，则a 的值为A ．5±B ．10±C ．10D ．524.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．31x y =B ．x y tan =C ．x y 3=D ．x y lg =5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的 两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是A ．61 B ．31 C ．21 D ．16.在等差数列}{n a 中，已知1475=+a a ，则该数列前11项和=11SA ．196B ．132C ．88D ．777.若双曲线12222=-by a x 的焦距为10，点)1 2(，-P 在其渐近线上，则双曲线的方程为俯视图（第5题图）A ．1208022=-y xB ．1802022=-y xC ．152022=-y xD ．120522=-y x8.“1=a ”是“直线012=-+y ax 与直线03)1(=+++y a x 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.直线k y kx 31=+-，当k 变动时，所有直线都通过定点A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（3，1）D ．（2，1）10.已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相离，则三条边长分别为||a 、||b 、||c 的三角形是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上均有可能11.已知一个四面体其中五条棱的长分别为1，1，1，1，2，则此四面体体积的最大值是A ．123B ．122 C ．42 D ．33 12.已知直线)(a x k y +=)0(>a 与x 轴交于点A ，与直线c x =) 0(a c c <>，交于点M ，椭圆C 以A 为左顶点，以)0 (，c F 为右焦点，且过点M ，当2131<<k 时，椭圆C 的离心率的范围是A ．)32 0(，B ．)1 32(， C ．)1 21(， D ．)3221(，第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共计16分。

山东省青岛高二上学期期末考试数学试题(解析版)

山东省青岛高二上学期期末考试数学试题(解析版)

高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知为等差数列，，，则数列的公差（ ） {}n a 135105a a a ++=24699a a a ++={}n a d =A ． B ． C ． D ．2-1-21【答案】A【分析】根据等差数列下标和性质和通项公式直接求解即可.【详解】由等差数列性质知：，，13533105a a a a ++==2464399a a a a ++==，，.335a ∴=433a =432d a a ∴=-=-故选：A.2．双曲线的焦点坐标是（ ）2213y x -=A ．B ．C ．D ．()0,2±()2,0±()(0,【答案】B【分析】根据双曲线方程可得，然后根据可得，最后得出结果. ,a b 222c a b =+c【详解】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且 x 1,a b ==2222c a b c ∴=+⇒=所以双曲线的焦点坐标为 ()2,0±故选：B3．已知抛物线C ：，焦点为F ，点到在抛物线上，则（ ）()220y px p =>1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭AF =A ．3 B ．2 C ．D ．9454【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】因为点在抛物线上，，解得， 1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭12p∴=2p =利用抛物线的定义知 524A p AF x =+=故选：D4．直线与直线平行，则两直线间的距离为（ ）:120l x y m -+=2:610l mx y +-=A B C D 【答案】B【分析】先根据直线平行求得，再根据公式可求平行线之间的距离. m 【详解】由两直线平行，得，故， 216m -⨯=⨯3m =-当时，，，此时， 3m =-1:3690l x y --=2:3610l x y -+=12//l l 故两直线平行时. 3m =-又之间的距离为 12,l l d =故选：B.5．圆心在x 轴上且过点的圆与y 轴相切，则该圆的方程是（ ） (A ． B ． 2240x y x +-=2240x y x ++=C ． D ．2240x y y +-=2240x y y ++=【答案】A【分析】根据题意设出圆的方程，列式即可求出．【详解】依题可设圆的方程为，所以，解得．()()2220x a y r r -+=>()2213a r a r ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩2,2a r ==即圆的方程是． 2240x y x +-=故选：A ．6．如图，在直三棱柱中，，．为的中点，则直111ABC A B C -1AB BC ==120ABC ∠=︒M 11A C 线与平面所成的角为（ ）BM 11ABB AA ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【分析】设点到平面的距离为，通过等体积法求得，再求线面角的正M 11A B B h 1111B A B M M A B B V V --=h 弦即可得解.【详解】如图所示：不妨设，，由余弦定理可得,12AB BC ===120ABC ∠=︒11AC AC ==，11B M ===所以BM ===， 111111111222A B M A B C S S ==⨯⨯=△△11122A B B S =⨯=△设点到平面的距离为，M 11A B B h则，1111111111133B A B M M A B B A B M A B B V V S BB S h --=⇒⋅=⋅⇒=△△解得 h =所以直线与平面所成角的正弦值为， BM 11ABB A 12h BM =所以直线与平面所成角为30°. BM 11ABB A 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过等体积法求得点到平面的距离，再由高比斜M 11A B B 线段可得线面角的正弦.7．已知等差数列的前n 项和为，公差，若（，），则{}n a n S 2d =-2022n n S S -=*n ∈N 2021n ≤1a =（ ） A ．2023 B ．2022C ．2021D ．2020【答案】C【分析】根据题意令可得，结合等差数列前n 项和公式写出，进而得到关于的1n =12021S S =2021S 1a 方程，解方程即可.【详解】因为，令，得， 2022n n S S -=1n =12021S S =又，， 20211202120211010S a d =+⨯2d =-11a S =所以，有， 202112021(2020)S a =-112021(2020)a a =-解得. 12021a =故选：C8．已知斜率为1的直线与椭圆相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中()2222:10x y C a b a b +=>>点为P ，若直线OP 的斜率为，则椭圆C 的离心率为（ ）．12-A ．BCD ．5712【答案】B【分析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a ,b 之间的关系. 【详解】如图：依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：y x m =+，解得：，代入得， 22221y x m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩21222211m bx x a b +=-+y x m =+222211m a y a b =+故P 点坐标为，由题意，OP 的斜率为， 222222,1111m m b a a b a b ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪++⎝⎭12-即，化简得：，，，222222111211m a a b m b a b +=--+2212b a =22222a b b c ==+22212c b a ==e =故选：B.二、多选题9．已知为等差数列的前n 项和，且，，则下列结论正确的是（ ） n S {}n a 113a =-333S =-A ．B ．是先递减后递增的数列 215n a n =-{}n aC ．是和的等比中项D ．的最小值为12a 8a 48a n S 49-【答案】ACD【分析】根据题干条件得到，从而求出通项公式，判断出是递增数列；求出，，2d =81a=129a =，从而判断C 选项，根据，可知在时取得最小值，求出最小4881a =710a =-<810a =>n S 7n =值，从而判断D 选项.【详解】由题意得：，因为，所以．所以通项公式为：313333S a d =+=-113a =-2d ={}n a ，A 选项正确；由于，所以为递增数列，B 选项错误；通()1321215n a n n =-+-=-20d =>{}n a 过计算可得：，，，其中，C 正确；因为为递增数列，且81a=129a =4881a =212848a a a =⋅{}n a ，，故在时取得最小值，，D 选项正确．710a =-<810a =>n S 7n =74749S a==-故选：ACD10．已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差直()()2,0,2,0A B -P 2PA PB -=线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（ ） A ． B ． 1y x =+31y x =+C ． D ．24y x =+3y =+【答案】AD【分析】先求出P 点的轨迹方程为的右支，结合双曲线的渐近线斜率与选项中直线斜率2213y x -=进行比较，得到有无交点，进而求出答案.【详解】因为，故P 点的轨迹方程为双曲线的右支，其中，，则2PA PB AB -=<1a =2c =，所以双曲线为（），渐近线方程为，的斜率为222413b c a =-=-=2213y x -=0x >y =1y x =+，故与（）有交点，A 正确； 1<2213y x -=0x >的斜率，且与y 轴交点为，故与（）无交点，B 错误；31y x =+3>()0,12213y x -=0x >的斜率y 轴交点为，故与（）无交点，C 错误； 24y x =+2>()0,42213y x -=0x >（）有交点，D 正确.3y =+<2213y x -=0x >故选：AD11．已知数列为等差数列，为等比数列，的前项和为，若，{}n a {}n b {}n a n n S 16113a a a π++=，则（ ） 1598b b b =A ． 1111S π=B ． 210461sin2a ab b +=C ． 3783a a a π++=D ． 374b b +≥【答案】ACD【分析】根据题意得，，再根据等差数列与等比数列的性质依次求解即可得答案. 6a π=52b =【详解】解：因为数列为等差数列，为等比数列，，，{}n a {}n b 16113a a a π++=1598b b b =所以，即，，即，1611633a a a a π+==+6a π=315958b b b b ==52b =对于A 选项，，故正确；()1111161111112a a S a π+===对于B 选项，，所以，故错误；对于C 选项，2210646522,4a a a b b b π+====21046sinsin 12a ab b π+==设等差数列的公差为，则，故正确； {}n a d 37866663233a a a a d a d a d a π++=-++++==对于D 选项，由得，故，当且仅当时等号成52b =37,0b b >374b b +≥==372b b ==立，故正确； 故选：ACD12．棱长为2的正方体的侧面(含边界)内有一动点，则（ ）1111ABCD A B C D -11ABB A PA ．若，则 1111,1B P mB B nB A m n =++= 1110B P B D ⋅= B ．若，则11(01)A P A B λλ=<< 110C P B D ⋅= C ．若，则 ()11111111,22B P PA A E A C A D ==+ 1123E B P A ⋅=-D ．若，则存在非零向量使()1111112A E A C A D =+ 1B P 111B P A E ⋅=-【答案】BCD【分析】对于每一个选项中所出现的向量用基底表示，然后通过分析或计算数量积就可以对每一个选项进行判断.【详解】对于A ，，1111,1B P mB B nB A m n =++=则 11111111(1())B P n B B nB A B B A B B n B =+-=-+ ，111111()B P B B B A B B n BP nBA ⇒-=-⇒= 从而可知点在线段上，由于不垂直侧面，故不成立，所以A 错误； P 1BA 11B D 11ABB A 1110B P B D ⋅=对于B ，易证，，从而可知平面，111A C B D ⊥11BC B D ⊥1B D ⊥11A BC 由，可知点在线段上，因此，所以，B 正确；11(01)A P A B λλ=<< P 1BA 11B D C P ⊥110C P B D ⋅=对于C ， 11B P A E ⋅= ()()11111111111224PA AC A D PA AC A D +=+⋅⋅()()11111111111112431()6B A B AC AD AC A D B B A +=+=⨯⋅+⋅()11111111()26B B A B A D B A =+⋅+11111111111111221()6B B B B B A B A D A B A A A B D ⋅+⋅+⋅+⋅=，故C 正确； 12(0040)63=+-+=-对于D ，设，1111B P B B B A λμ=+所以11B P A E ⋅= ()()1111111111111111(222)()AC A D A B A D B B B A B B B A λμλμ+=++⋅+⋅ ()111111112(2)B B B A A B A D λμ+⋅=+11111111111111221()2B B B B B A B A D A B A D A B A λλμμ⋅+⋅+⋅+=⋅，得，从而可知不会是零向量，故D 正确.1(004)0221μμ+-+-==-=12μ=1B P 故选：BCD三、填空题13．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为________. 【答案】6π【详解】试题分析：由题意得，所以圆柱的表面积为 22,2r h ==22+26.r rh πππ=【解析】圆柱的表面积14．已知等比数列满足：，，，则公比______. {}n a 127a =91243a =230a a <q =【答案】13-【分析】根据等比数列的通项公式可得，结合即可求出公比.891=a a q 232310a a a q =<【详解】设等比数列的公式为q ， 则，即， 891=a a q 8127243q =解得，13q =±又，所以，232310a a a q =<0q <所以.13q =-故答案为：.13-15．已知 为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点 在双O ()2222:10,0x y C a b a b-=>>)FP 曲线 上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为C P C A B OAPB ______.【答案】##120.5【分析】求出双曲线的方程，可求得双曲线的两条渐近线方程，分析可知四边形为矩C C OAPB 形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得， C a b =c ==1a b ==所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为， C 221x y -=C 0x y ±=则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，， C OA PA ⊥OB PB ⊥OA OB ⊥所以，四边形为矩形，OAPB 设点，则，不妨设点为直线上的点，()00,P x y 22001x y -=A 0x y -=.2200122OAPB x y S PA PB -=⋅==矩形故答案为：.1216．数列满足，前12项的和为298，则______．{}n a ()2141nn n a a n ++-=-1a =【答案】4【分析】当为偶数时，可求出前项中偶数项的和；当为奇数时，可用表示出前项中奇数n 12n 1a 12项的和，从而可求出的值.1a 【详解】当为偶数时，， n 241n n a a n ++=-所以，，， 247a a +=6823a a +=101239a a =+所以 ；1220418669a a a a a a +++=++当为奇数时，，即n 241n n a a n +-=-241n n a a n +=+-所以，，，，313a a =+5311114a a a =+=+7511933a a a =+=+9712760a a a =+=+，11913595a a a =+=+所以()()11226101543792811S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以. 1696205298a =++=14a =故答案为：.4四、解答题17．已知直线，以点为圆心的圆C 与直线l 相切．120l y --=()0,2-(1)求圆C 的标准方程；(2)过点的直线交圆C 于A ，B 两点，且，求的方程． ()3,1-l '8AB =l '【答案】(1) 22(2)25x y ++=(2)或 3x =4390x y +-=【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径，即可得到圆C 的标方程；r （2）根据弦长公式可求出圆心C 到直线的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨论思想l '即可求出．【详解】（1）设圆C 的半径为r ，∵C 与l 相切，∴，5r ==∴圆C 的标准方程为．22(2)25x y ++=（2）由可得圆心C 到直线的距离．||8AB =l '3d ==∴当的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到的距离为3，符合条件； l '3x =(0,2)C -3x =当的斜率存在时，设，圆心C 到直线的距离，解得，l ':1(3)l y k x +=-'l '3d ==43k =-此时的方程为，即．l '41(3)3y x +=--4390x y +-=综上，的方程为或．l '3x =4390x y +-=18．已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a *31260,16,a a a n N -==∈（I ）求数列{an }的通项公式； （II ）若数列{bn }的通项bn 满足，求{bn }的前n 项和Sn 的最小值及取得最小值时n 的值.92nb n a +=【答案】（I ）；（II ）当时，取得最小值为4nn a =4n =n S 16-【分析】（I ）设出公比，由已知列出方程求出首项和公比即可； （II ）求得，得出，利用二次函数性质可求. 29n b n =-n S 【详解】（I ）设等比数列的公比为，且，{}n a q 0q >则，解得，23111216016a a a q a a a q ⎧-=-=⎨==⎩144a q =⎧⎨=⎩4n n a ∴=（II ），，92nb n a +=()22log 9log 4929n n n b a n ∴=-=-=-，()()2272984162n n n S n n n -+-∴==-=--则当时，取得最小值为.4n =n S 16-19．已知抛物线，拋物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3．()2:20C y px p =>（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）过的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，交直线于点E ，直线BF 交直线()1,0-4x =-于点D ，是否存在这样的直线l ，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线=1x -//DE AF l 的方程．【答案】（1）抛物线C 的方程为，准线方程为；（2）存在直线或28y x =2x =-1)y x +．1)y x =+【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式l (1)y k x =+(0)k ≠y 大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等，由此列k //DE AF DE AF 方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程. k l 【详解】（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以， 13132p+=4p =28y x =即准线方程为.2x =-（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.l l (1)y k x =+(0)k ≠1122(,),(,)A x y B x y 联立得，消去得.28(1)y xy k x ⎧=⎨=+⎩y 2222(28)0k x k x k +-+=由,解得所以.224(28)40k k ∆=-->k <<k <<0k ≠由韦达定理得,. 212282k x x k -+=121=x x 直线的方程为,BF 22(2)2y y x x =--又,所以,所以,1D x =-2232D y y x -=-223(1,)2yD x ---因为,所以直线与直线的斜率相等 //DE AF DE AF 又,所以.(4,3)E k --221133232y k x yx -+-=--整理得,即,121222yy k x x =+--1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--化简得,,即.121211122x x x x ++=+--121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++12+7x x =所以,整理得, 2282=7k k -289k =解得. 经检验,符合题意.k =k =所以存在这样的直线,直线的方程为或． l l 1)y x +1)y x =+20．已知数列满足，. {}n a 11a =()*11n n n n a a a a n ++-=∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)记，其中表示不超过的最大整数，如，. []lg n n b a =-[]x x []0.60=[]lg 661=（i ）求、、；1b 23b 123b （ii ）求数列的前项的和. {}n b 1000【答案】(1)； 1n a n=(2)（i ），，；（ii ）. 10b =231b =1232b =1893【分析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 公式；（2）（i ）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得、、的值；1b 23b 123b （ii ）分别解不等式、、，结合题中定义可求得数列的前0lg 1n ≤<1lg 2n ≤<2lg 3n ≤<{}n b 1000项的和.【详解】（1）解：因为，，则，可得， 11a =()*11n n n n a a a a n ++-=∈N 221a a -=212a =，可得，以此类推可知，对任意的，.331122a a -=313a =N n *∈0n a ≠由，变形为， ()11N n n n n a a a a n *++-=∈111111n n n n n n a a a a a a +++-=-=是一个以为公差的等差数列，且首项为，1n a ⎧⎫∴⎨⎩⎭1111a =所以，，因此，. ()1111n n n a =+-⋅=1n a n=（2）解：（i ），则， [][]lg lg n n b a n =-=[][]1lg100b ===，则，故，1023100<< 1lg10lg 23lg1002=<<=[]23lg 231b ==，则，故；1001231000<<2lg100lg123lg10003=<<=[]123lg1232b ==（ii ），当时，即当时，， lg10003= 0lg 1n ≤<110n ≤<[]lg 0n b n ==当时，即当时，， 1lg 2n ≤<10100n ≤<[]lg 1n b n ==当时，即当时，， 2lg 3n ≤<1001000n ≤<[]lg 2n b n ==因此，数列的前项的和为.{}n b 100009190290031893⨯+⨯+⨯+=21．如图，在四棱锥中，面．，四边形满足P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA AB AD ===ABCD ，，，点为中点，点为边上的动点AB AD ⊥//BC AD 4BC =M PC E BC（Ⅰ）求证：平面．//DM PAB （Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存E P DE B --23BE 在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，．23【解析】（Ⅰ）由题意有，，又，以以为空间坐标原点建立如图所示空PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥A 间直角坐标系．证明，，为共面向量即得．DM AP AB（Ⅱ）设，，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用(2,,0)E a 04a <<PDE BDE AP法向量夹角的余弦的绝对值等于求得即可．23a 【详解】（Ⅰ）因为平面，所以，，又，所以，，PA ⊥ABCD PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥PA AB AD 两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示． A 则，，，(0,0,2)P (2,0,0)B (0,2,0)D (2,4,0)C点为中点，故 M PC (1,2,1)M 故，(1,0,1)DM =又，(0,0,2)AP =u u u r(2,0,0)AB =u u u r 所以1122DM AP AB =+u u u u r u u u r u u u r 所以，，为共面向量，平面，DM AP ABDM ⊄PAB 所以平面． //DM PAB （Ⅱ）设，(2,,0)E a 04a <<依题意可知平面的法向量为，，BDE (0,0,2)AP =u u u r (0,2,2)DP =-(2,2,0)DE a =-u u u r 设平面的法向量为，则，PDE (,,)n x y z =2202(2)0n DP y z n DE x a y ⎧⋅=-+=⎨⋅=+-=⎩令，则． 1z =2,1,12a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭r 因为二面角的余弦值为，P DE B --23所以， 2cos ,3AP n AP n AP n⋅==⋅u u u r ru u u r r uuu r r ，解得或．23=1a =3a =所以存在点符合题意，E 当或时，二面角的余弦值为．1BE =3BE =P DE B --23【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查二面角问题，解题方法是空间向量法，建立空间直角坐标系后，证明线面平行，只要证明直线的方向向量可用平面的一个基底表示即可，而二面角则是利用二面角的余弦值与二面角的两个面的法向量夹角的余弦值相等或相反求解．22．已知椭圆经过点)(2222:10y xC a ba b+=>>2⎫⎪⎪⎭(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B是椭圆C的上，下顶点，点P是直线上的动点，直线PA与椭圆C的另一交6y=点为E，直线PB与椭圆C的另一交点为F．证明：直线EF过定点．【答案】(1)；2219yx+=(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，列出的方程组，通过解方程组，即可求出答案.,a b（2）法一：设，，；当时，根据点的坐标写出直线PA的方)(,6P t)(11,E x y)(22,F x y0t≠,A P程，与椭圆方程联立，可求出点的坐标；同理可求出点的坐标，然后即可求出直线EF的方E F程，从而证明直线EF过定点.法二：首先根据时直线EF的方程为，可判断出直线EF过的定点M必在y轴上，设为0=t0x=；然后同方法一，求出点，的坐标，根据，即可求出的值.)(0,M m E F ME MF∥m【详解】（1）由题意，知，解得，．222224519a ba b cca⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩3a=1b=所以椭圆C的标准方程为．2219yx+=（2）法一：设，，，)(,6P t)(11,E x y)(22,F x y当时，直线PA的方程为，由，得．0t≠33y xt=+223399y xtx y⎧=+⎪⎨⎪+=⎩)(22120t x tx++=解得，所以．所以． 1221t x t =-+212331t y t -=+222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝同理可得．2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝所以直线EF 的斜率为， )()()()()()(22222222222222733327313399391624612991EFt t t t t t t t t k t t t t t t t t t ----+--+-++===++++++所以直线EF 的方程为，整理得， 222233932141t t t y x t t t ⎛--⎫-=+⎪ ++⎭⎝293342t y x t -=+所以直线EF 过定点．30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝当时，点E ，F 在y 轴上，EF 的方程为，显然过点．0=t 0x =30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝综上，直线EF 过定点．30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝法二：当点P 在y 轴上时，E ，F 分别与B ，A 重合，直线EF 的方程为， 0x =若直线EF 过定点M ，则M 必在y 轴上，可设． )(0,M m 当点P 不在y 轴上时，设，，，)()(,60P t t ≠)(11,E x y )(22,F x y 则直线PA 的方程为，由，得，33y x t =+223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩)(22120t x tx ++=解得，所以，所以， 1221t x t =-+212331t y t -=+222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝同理可得，2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝所以，． )(222332,11m t m tME t t ⎛⎫--- ⎪=-⎪ ++⎭⎝)(22232796,99m t m t MF t t ⎛⎫-++- =⎪⎪ ++⎭⎝ 因为E ，F ，M 三点共线，所以，ME MF∥所以， )()(222222327933261919m t m m t m t tt t t t +-+---⨯=⨯++++整理得，)()(22330m t -+=因为，所以，解得，即． 230t +>230m -=32m =30,2M ⎛⎫⎪ ⎭⎝所以直线EF 过定点．30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝。

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量()1,,2a m m =+-，()2,1,4b =-，且a b ⊥，则m 的值为（ ） A ．103-B ．10-C ．10D ．103【答案】B【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值. 【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-. 故选：B. 2．抛物线214x y =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．116x =-C ．1y =-D ．116y =-【答案】D 【解析】求出1216p =，即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】因为124p =， 所以1216p =， 故准线方程为116y =-． 故选：D310+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．23π C ．6πD ．56π 【答案】C【分析】将直线方程转化为斜截式，进而可得倾斜角.【详解】10+=，即y =，所以倾斜角α满足tan α=，[)0,απ∈， 所以6πα=，故选：C.4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q ，且满足2616a a =，则5a =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】A【分析】根据{}n a 是等比数列，则通项为11n n a a q -=，然后根据条件可解出112a =，进而求得58a =【详解】由{}n a 为等比数列，不妨设首项为1a由2616a a =，可得：26261216a a a =⋅=又0n a >，则有：112a = 则451282a =⨯=故选：A5．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，2CQ QB =，P 为线段OA 的中点，则PQ 等于（ ）A ．112233a b c ++B ．112233a b c --C ．112233a b c -++D ．121233a b c -++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由已知2132PQ OC CQ OP c CB OA =+-=+-2121()()3232c OB OC a c b c a=+--=+--121233a b c =-++，故选：D ．6．若圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．()6,+∞ B ．[)6,+∞C ．(]4,6D ．[]4,6【答案】B【分析】先求出圆心()3,5-到直线4320x y --=的距离为5，由此可知当圆的半径为516r =+=时，圆上恰有三点到直线4320x y --=的距离为1，当圆的半径516r >+= 时，圆上恰有四个点到直线4320x y --=的距离为1，故半径r 的取值范围是51=6r ≥+，即可求出答案.【详解】由已知条件得()()22235x y r -++=的圆心坐标为()3,5-，圆心()3,5-到直线4320x y --=为()2243352543d ⨯-⨯--==+，∵圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是51r ≥+，即6r ≥，即半径r 的取值范围是[)6,+∞. 故选：B .7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,4 B ．[)4,+∞ C ．(]1,2 D ．[)2,+∞【答案】C【分析】根据双曲线的定义求得2PF ，利用2PF c a ≥-可得离心率范围． 【详解】因为122PF PF a -=，又213PF PF =，所以13PF a =，2PF a =， 又2PF c a ≥-，即a c a ≥-，2ca≤，所以离心率(1,2]e ∈． 故选：C ．8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME —7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=，1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{}n a ，令22n n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【分析】由题意可得n OA 的边长，进而可得周长n a 及n b ，进而可得n S ，可得解. 【详解】由1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=，可得2OA =3OA =⋅⋅⋅，n OA =所以112n n n n n a OA OA A A ++=++=， 22n n b a ===-所以前n 项和12213211n n S b b b n n n =+++=-+-+++-=+，所以9919S =， 故选：B. 二、多选题9．已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t +=-<<++，则下列说法错误的是（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】ABC【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c =则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为c e a ==，焦距为2c =椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x 轴上，a b =c =.故选：ABC .10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（ ）A ．若2111n S n n =-+，则212n a n =-B ．若()2,n S pn qn p q =+∈R ，则{}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 为等差数列，10a >，69S S =，则78S S >D ．若数列{}n a 为等差数列，150S >，160S <，则8n =时，n S 最大 【答案】BD【分析】根据等差数列的性质，逐项分析即可得到结果.【详解】由于2111n S n n =-+，当1n =时，211111119a S ==-⨯+=-，若212n a n =-，则当1n =时，1211210a =⨯-=-，又091-≠-，故A 错误；因为()2,n S pn qn p q =+∈R ，当1n =时，11a S p q ==+；当2n ≥且*n N ∈时，()()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn q p -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦， 当1n =时，上式亦满足，所以2n a pn q p =-+；所以()()()*12122,n n a a p n q p pn q p p n +-=+-+--+=∈⎡⎤⎣⎦N ，所以{}n a 是首项为p q +，公差为2p 的等差数列；故B 正确；若数列{}n a 为等差数列，10a >，69S S =，则96789830S S a a a a -=++==，即80a =，所以78S S =，故C 错误；若数列{}n a 为等差数列，150S >，160S <， 所以()115158151205S a a a+==>⨯，()()()1161168916160882a a a a a a S +⨯==++<=，所以80a >，890a a +<，即80a >，90a <，设等差数列{}n a 的公差为d ，所以980d a a =-<，所以等差数列{}n a 是递减数列， 所以在等差数列{}n a 中，当8n ≤且*n N ∈时0n a >，当9n ≥且*n N ∈时0n a <， 所以8n =时，n S 最大，故D 正确. 故选：BD.11．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点A ，B 距离之比是常数()0,1λλλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足MA =，则下列说法正确的是（ ）A ．点M 的轨迹围成区域的面积为32πB ．ABM 面积的最大值为C ．点M 到直线40x y -+=距离的最大值为D ．若圆()()222:11C x y r ++-=上存在满足条件的点M ，则半径r 的取值范围为【答案】ABD【分析】根据直接法求点M 的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项.【详解】由题意，设点(),M x y ， 又2MA MB =， 所以()()2222222x y x y ++=⋅-+，化简可得()22632x y -+=，所以点M 的轨迹为以点()6,0N 为圆心，42为半径的圆， 所以点M 的轨迹围成的区域面积为32π，A 选项正确； 又点(),M x y 满足42,42y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以(10,822ABMSAB y ⎤=⋅∈⎦，B 选项正确； 点()6,0N 到直线40x y -+=的距离()22604524211d -+==>+-，所以直线与圆相离，所以点M 到直线40x y -+=距离的最大值为524292+=，C 选项错误；由D 选项可知圆C 与圆N 有公共点，所以4242r CN r -≤≤+， 且()()22610152CN =++-=，即425242r r -≤≤+， 所以292r ≤≤，D 选项正确； 故选：ABD.12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为侧面11BCC B 的中心，F 是棱11C D 的中点，若点P 为线段1BD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．PE 的长最小值为12B ．PE PF ⋅的最小值为148-C ．若12BP PD =，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98D ．若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的值可以是23π 【答案】BCD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设1(,,)BP BD λλλλ==--，(01)λ≤≤，得(1,1,)P λλλ--，然后用空间向量法求得PE ，判断A ，求得数量积PE PF ⋅计算最小值判断B ，由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C ，结合正方体的对称性，利用1BD 是正方体的外接球直径判断D ．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则11(,1,)22E ，(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，1(0,,1)2F ，1(1,1,1)BD =--，设1(,,)BP BD λλλλ==--，(01)λ≤≤，所以(1,1,)P λλλ--，11(,,)22PE λλλ=--，(PE λ==13λ=时，min PE =，A 错；1(1,,1)2PF λλλ=---，111()(1)()()(1)222PE PF λλλλλλ⋅=--+-+--2713()1248λ=--，所以712λ=时，min 1()48PE PF ⋅=-，B 正确；12BP PD =，则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点，112(,,)333P ，取AC 上靠近C 的三等分点G ，则12(,,0)33G ，12(0,,)33PG =-，显然PG 与平面11CDD C 的法向量(1,0,0)垂直，因此//PG 平面11CDD C ，所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行，作//CM PG 交11C D 于点M ， 设(0,,1)M k ，则(0,1,1)CM k =-，由//CM PG 得21(1)33k --=，解得12k =，则M 与F 重合，因此取11A D 中点N ，易得//NF AC ，截面为ACFN ，它是等腰梯形，2AC =，22NF =，52AN CF ==，梯形的高为22225222h ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭324=， 截面面积为12329(2)2248S =+⨯=，C 正确；(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，(1,1,0)AC =-，1(1,1,1)BD =--，11100AC BD ⋅=-+=，1AC BD ⊥，同理11AB BD ⊥，所以1BD 是平面1ACB 的一个法向量，即1BD ⊥平面1ACB ，设垂足为1O ，则111123AO C CO B B OA π∠=∠=∠=，1BD 是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，至少旋转23π．D 正确． 故选：BCD ．三、填空题13．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的值为___________. 【答案】1-【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数m 的值. 【详解】由直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行， 得()()132012620m m m m ⎧⨯--=⎪⎨⨯--≠⎪⎩，即1m =-. 故答案为：1-.14．已知等差数列{}n a 的公差为1，且3a 是2a 和6a 的等比中项，则{}n a 前10项的和为___________. 【答案】40【分析】利用等比中项及等差数列通项公式求出首项1a ，再利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 前10项的和.【详解】设等差数列的首项为1a ，由已知条件得2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++，()()()2111215a a a +=++，解得112a =-，则10110910402S a d ⨯=+=. 故答案为：40.15．如图，把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，则折纸后异面直线AB ，CD 所成的角为___________.【答案】π630° 【分析】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，进而DEC ∠（或其补角）是所求角，算出答案即可.【详解】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，设所求角为02πθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，于是cos |cos |DEC θ=∠.设原正方形ABCD 边长为2，取AC 的中点O ，连接DO ,BO ，则2BO DO =,BO AC DO AC ⊥⊥，而平面ACD ⊥平面ABC ，且交于AC ，所以DO ⊥平面ABEC ，则DO OE ⊥.易得，22BE AC ==//BE AC ，而,BO AC ⊥则.BO BE ⊥于是，2210OE BO BE =+=2223DE DO OE +=在DCE 中，2DC CE ==，取DE 的中点F ，则CF DE ⊥，所以3cos FE DEC CE ∠==即3cos θ6πθ=.故答案为：6π.16．抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线()220y px p =>，一条平行于抛物线对称轴的光线从点()3,1A 向左发出，先经抛物线反射，再经直线3y x =-反射后，恰好经过点A ，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】216y x =【分析】根据抛物线的聚焦特点，()3,1A 经过抛物线后经过抛物线焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，再经直线3y x =-反射后经过点A ，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为B ，抛物线的焦点为F ，则可得：1,12B p ⎛⎫⎪⎝⎭抛物线的焦点为：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭则直线BF 的方程为：11222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭设直线BF 与直线3y x =-的交点为M ，则有： 112223p y x p p y x ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=-⎪⎪⎝⎭⎨ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩解得：2222436,2121p p p M p p p p ⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭则过点M 且垂直于3y x =-的直线的方程为： 222222436563212121p p p p p y x x p p p p p p ----=-++=-++-+-+-根据题意可知：点()3,1A 关于直线2256321p p y x p p --=-++-的对称点1A 在直线BF 上设点()122,A x y ，1AA 的中点为C ，则有： 2231,22x y C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭直线1AA 垂直于2256321p p y x p p --=-++-，则有：22113y x -=- 点C 在直线2256321p p y x p p --=-++-上，则有：2222135632221y x p p p p ++--=-++- 点1A 在直线BF 上，则有： 2211222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭化简得：()80p p -= 又0p > 故8p =故答案为：216y x =【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键 四、解答题17．已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为(1)求圆A 的方程；(2)若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22124x y ++-= (2)1x =或3450x y ++=【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可. (1)不妨设圆的半径为R ，根据垂径定理，可得：()22213R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-= (2)当直线l 的斜率不存在时，则有：1x = 故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：22421k d k--==+解得：34k =- ，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段AB ，11B C 的中点.(1)求点F 到平面1A CE 的距离；(2)求平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值. 【答案】6 6【分析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出平面1A CE 的法向量和EF 的坐标，点F 到平面1A CE 的距离||||EF n d n ⋅=.计算即可求出答案. （2）由（1）知平面1A CE 的法向量，在把平面11BCC B 的法向量表示出来，平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值为cos ||||m nm n θ⋅=⋅，计算即可求出答案.(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2和E ，F 分别为线段AB ，11B C 的中点知，1(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0),(1,2,2)A E C F =.设平面1A CE 的法向量为(,,)n x y z =.11(2,2,2),(0,1,2)AC A E =--=-.则1122200(1,2,1)200x y z n AC n y z n A E ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎩. =(1,1,2)EF -.故点F 到平面1A CE 的距离122||6||141EF n d n -++⋅===++.(2)平面11BCC B 的法向量(0,1,0)m =， 平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值26cos ||||6m n m n θ⋅===⋅19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()2,0F -，点F 到短袖的一个端点的6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，若2OA OB ⋅>-，求k 的取值范围.【答案】(1)22162x y += (2)12k >或12k <-【分析】（1）根据焦点坐标可得2c =，根据点F，然后根据222a b c =+即可；（2）先设联立直线l 与椭圆的方程，然后根据韦达定理得到A ，B 两点的坐标关系，然后根据2OA OB ⋅>-建立关于直线l 的斜率k 的不等式，解出不等式即可. (1)根据题意，已知椭圆C 的左焦点为()2,0F -，则有：2c = 点Fa =则有：b =故椭圆C 的方程为：22162x y += (2)设过点F 作斜率为k 的直线l 的方程为：()2y k x =+ 联立直线l 与椭圆C 的方程可得： ()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 则有：()222231121260k x k x k +++-=,直线l 过点F ，所以0∆>恒成立，不妨设A ，B 两点的坐标分别为：()()1122,,,A x y B x y ，则有：21221231k x x k +=-+ 212212631k x x k -=+ 又1212OA OB x x y y ⋅=+且()()2121222y y k x x =++则有：()()()()222212121212121222142OA OB x x y y x x k x x k x x k k x x ⋅=+=+++=++++将21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+代入后可得：2210631k OA OB k -⋅=+ 若2OA OB ⋅>-，则有：22164031k k ->+ 解得：12k >或12k <- 20．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，112AD CD BC CF AB =====.(1)求证：EF BC ⊥；(2)点M 在线段BF （不含端点）上运动，设直线BE 与平面MAC 所成角为θ，求sin θ的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)510⎝⎦【分析】（1）过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，利用正余弦定理可证AC BC ⊥，再利用线线垂足证明线面垂直，进而可得证；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角的正弦值. (1)证明：由已知可得四边形ABCD 是等腰梯形， 过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，则21122BH -==， 在Rt BCH 中，221314CH BC BH =-=-=， 则332sin 1CBH ∠==60CBH ∠=°， 在ABC 中，由余弦定理可得，22212cos 4122132AC AB BC AB BC CBH =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， 又CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，CF AC ∴⊥，BC CF C ⋂=，BC ，CF ⊂平面BCF ，AC ∴⊥平面BCF ， 又ACFE 为矩形，//AC EF ∴，则EF ⊥平面BCF ， 而BC ⊂平面BCF ，EF BC ∴⊥；(2)CF ⊥平面ABCD ，且AC BC ⊥，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B ，()0,0,1F，)E，M BF ∈，∴设()0,1,M a a -，则()0,1,CM a a =-，又()3,0,0CA =，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =， 由()1030n CM a y az n CA x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取y a =，得()0,,1n a a =-， 又()3,1,1BE =-，sin cos ,5BE n a BE n BE na θ⋅-∴=====⋅，()0,1a ∈，21112,1222a ⎛⎫⎡⎫∴-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，则sin θ∈⎝⎦.21．已知等差数列{}n A 的首项为2，公差为8.在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1k a ，2k a ，⋅⋅⋅，nk a ，⋅⋅⋅是从{}n a 中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，11k =，23k =，令n n b nk =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)2,()n a n n N +=∈； (2)11()3424n n n S =+-⋅ 【分析】（1）由题意在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，可知{}n a 的公差824d ==，进而可求出其通项公式； （2）根据题意可得1=23n n k a -⨯，进而得到1=3n n k -，再代入n b 中得1=3n n b n -⋅，利用错位相减即可求出前n 项和n S . (1)由于等差数列{}n A 的公差为8，在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差824d ==，{}n a 的首项和{}n A 首项相同为2，则数列{}n a 的通项公式为22(1)2,()n a n n n N +=+-=∈. (2)由于1k a ，2k a 是等比数列的前两项，且11k =，23k =，则132,6a a ==，则等比数列的公比为3， 则1=23n n k a -⨯，即112=23=3n n n n k k --⨯⨯⇒，1=3n n n b nk n -=⋅.01221132333(1)33n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯①.12313132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②.①减去②得11213(13)1121333313()31322n n nn n n S n n n --⨯--=++++-⋅=+-⋅=-+-⋅-.11()3424n n n S ∴=+-⋅. 22．已知圆()22:24F x y -+=，点()2,0E -，点G 是圆F 上任意一点，线段EG 的垂直平分线交直线FG 于点T ，点T 的轨迹记为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 上一点()()002,0M y y >，动圆()()222:20N x y r r -+=>，且点M 在圆N外，过点M 作圆N 的两条切线分别交曲线C 于点A ，B . （i ）求证：直线AB 的斜率为定值；（ii ）若直线AB 与2x =交于点Q ，且2BQM AQM S S =△△时，求直线AB 的方程. 【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）答案见解析（ii ）4623310x y ++=或2211130x y +-=【分析】（1）通过几何关系可知2ET TF -=，且42EF =>,由此可知点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点，且实轴长为2的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；（2）（i ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及0MA MB k k +=求出()()2230k k m ++-=，即得到直线AB 的斜率为定值；（ii ）由（i ）可知124x x m +=，由已知可得122122AQM BQMS x S x -==-△△，联立方程即可求出1x ，2x 的值，代入2123x x m =+即可求出m 的值，即可得到直线方程.(1)由题意可知2ET TF TG TF FG -=-==, ∵4EF ==,且2EF >,∴根据双曲线的定义可知，点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点，且实轴长为2的双曲线， 即1a =，2c =，2223b c a =-=， 则点T 的轨迹方程为2213y x -=； (2)（i ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+， 联立2213y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()2223230k x kmx m ----=， 其中230k -≠，且()()22224433k m k m ∆=+-+()221230m k =-+>，12223km x x k +=-，212233m x x k+=--， ∵曲线C 上一点()()002,0M y y >，∴()2,3M ，由已知条件得直线MA 和直线MB 关于2x =对称，则0MA MB k k +=， 即121222033x x y y --+=--，整理得()()()()121223320x y y x --+--=， ()()()()121223320x kx m kx m x -+-++--=()()()1212223430kx x m k x x m +--+--=， ()()()2222322343033k m km m k m k k +---+--=--，()()221230k m k m +++-=，即()()2230k k m ++-=， 则2k =-或32m k =-，当32m k =-，直线方程为()3223y kx k k x =+-=-+，此直线过定点()2,3，应舍去， 故直线AB 的斜率为定值2-.（ii ）由（i ）可知124x x m +=，2123x x m =+由已知得12AQM BQMS S =△△，即122122AQM BQM S x S x -==-△△， 当122122x x -=-时，2122x x =-， 1211224x x x x m +=+-=，即1423m x +=，2823m x -=， 2124282333m m x x m +-=⋅=+，解得1m =或3123m =-， 但是当1m =时，0∆=，故应舍去，当3123m =-时，直线方程为4623310x y ++=， 当122122x x -=--时，2162x x =-，即164x m =-，286x m =-， ()()21264863x x m m m =--=+，解得1m =（舍去）或1311m =， 当1311m =时，直线方程为2211130x y +-=,故直线AB 的方程为4623310x y ++=或2211130x y +-=.。

山东省高二上学期期末数学试题(解析版)

山东省高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ） (1,3,5)P A ． B ． (1,3,5)--(1,3,5)--C ． D ．()1,3,5--()1,3,5---【答案】C【分析】直接根据空间点关于轴对称的结论即可得到答案.x 【详解】根据空间点关于轴对称，则轴上坐标不变，轴上坐标取相反数， x x ,y z 故点P 关于x 轴的对称点的坐标是. ()1,3,5--故选：C.2．已知直线，且，则实数a 的值为（ ） ()1: 4 10 l x a y +-+=2: 5 50l a x y ++=12//l l A ．5 B ．1 C ．5或 D ．1-1-【答案】D【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.【详解】直线，，由解得或， ()1: 4 10 l x a y +-+=2: 5 50l a x y ++=(4)50a a --=5a =1a =-当时，直线与重合，不符合题意， 5a =1: 10 l x y ++=2: 5 5 50l x y ++=当时，直线与平行， 1a =-1: 5 10 l x y -+=2: 5 50l x y --=所以实数a 的值为. 1-故选：D3．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为（ ） A ．42 B ．22 C ．20 D ．15【答案】B【分析】根据给定的信息，利用组合知识分类列式求解作答.【详解】依题意，求电平信号种数可以有3类办法，电平信号的6个数字中有4个0，有种， 46C 电平信号的6个数字中有5个0，有种，电平信号的6个数字中有6个0，有种，56C 66C 由分类加法计数原理得满足条件的电平信号种数为.456666C C C 156122++=++=故选：B4．已知P （B ）=0.3，，，则=（ ） ()0.9P BA =∣(0.2PB A =∣()P A A ．B ．C ．D ．671713110【答案】A【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解. ()()()()()||P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅()P A 【详解】由全概率公式可得： ()()()()()||P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅可得，解得：. ()()()0.30.910.2P A P A =⨯+-⨯()17P A =则. 6()7P A =故选：A.5．已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A ；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B ，则A ，B 的值分别为（ ） A ．，5 B ．，10 C ．，5 D ．，10 15128151281525615256【答案】B【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概B 率公式计算值即可.A 【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得,X ()1~10,2X B 门大炮总得分的期望值为，10∴1102102B =⨯⨯=， 373101115(3)C 122128A P X ⎛⎫⎛⎫∴===⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.6．羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为34（ ） A ．B ．C ．D ．13252345【答案】A【分析】求出甲获胜的概率、甲获得冠军且比赛进行了三局的概率，利用条件概率公式求概率即可.【详解】由甲获胜的概率为，33133313274444444432⨯+⨯⨯+⨯⨯=而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为，133313944444432⨯⨯+⨯⨯=所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为. 927132323÷=故选：A7．3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm ，下底直径为8cm ，高为8cm （数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（ ）A B C D 【答案】C【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点， C 以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， OC x O OC y 建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点. A B 由题意可知，设，则，3,4,8A B A B x x y y ==-=()3,A m ()4,8B m -设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为22221(0,0)x y a b a b -=>>3=所以，所以方程可化简为，b =()22288*x y a -=将和的坐标代入式可得，解得， A B ()*()222272812888m a m a ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩12m a ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩则笔筒最细处的直径为. 2a =故选：C.8．已知，，满足，则的最小值为（ ） ()0,0O ()3,0A (),P a b2PO PA =214a b +-A B ．C ．D ．4210-【答案】D【分析】由可整理得到点轨迹方程，设，，可将所求式子化2PO PA =P 42cos a θ=+2sin b θ=，由此可得最小值.()10θϕ+-【详解】由得：，整理可得：， 2PO PA =()222243a b a b ⎡⎤+=-+⎣⎦()2244a b -+=则可令，，，42cos a θ=+2sin b θ=[)0,2πθ∈（其中）， ()21442cos 4sin10a b θθθϕ∴+-=+++-1tan 2ϕ=则当时，()sin 1θϕ+=min 21410a b +-=-故选：D.二、多选题9．已知方程，其中，则（ ） 221mx ny +=220m n +≠A ．时，方程表示椭圆 0mn >B ．时，方程表示双曲线 0mn <C ．时，方程表示抛物线0n =D ．时，方程表示焦点在轴上的椭圆 0n m >>x 【答案】BD【解析】当时，表示双曲线，时表示焦点在x 轴上的双曲线，0mn <22+111x y m n =0,0m n ><表示焦点在y 轴上的双曲线；当时表示焦点在y 轴上的椭圆，当时表0,0m n <>0m n >>0n m >>示焦点在x 轴上的椭圆.【详解】若，则不表示椭圆，故A 错误；0,0m n <<221mx ny +=若，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若，则表示焦0,0m n ><22111x y m n -=-0,0m n <>22111y x n m -=-点在y 轴上的双曲线，故B 正确；当时，若，则方程表示两条垂直于x 轴的直线，若则不表示任何图形，故C 错0n =0m ≠0m =误；时，，表示焦点在x 轴上的椭圆，D 正确. 0n m >>110n m<<22111x y m n +=故选：BD【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程，由标准方程判断焦点的位置，属于基础题. 10．下列四个关系式中，一定成立的是（ ）A ．3477C C =B ．222334100101C C C C ++⋅⋅⋅+=C ．()111A A m m n n n +++=D ．若m ，，且，则 *n ∈N 2023m n <≤20232023C C m n<【答案】AC【分析】根据组合数性质与排列数性质判断.【详解】由组合数性质知一定成立，A 正确；3477C C =，B 错；222222223341003341033041001401+111C C C C C C C C C C C ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=-=-=+=- ，C 正确；()()()()()()()()111A 11111111A m m n n n n n n n m n n n n m ++⎡⎤+=+--+=+-+-++=⎣⎦ 由组合数性质知且，当时，递增，当时，递*n ∈N 2023n ≤11012n ≤≤2023C n 10122023n ≤≤2023C n减，因此D 错． 故选：AC ．11．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与X ()103P X ==()E X ()D X X 方差，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． ()()1P X E X ==()324E X +=C ． D ． ()324D X +=()49D X =【答案】AB【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此X 2(1)3P X ==()E X ()D X 分别计算四个选项得出结果．【详解】随机变量服从两点分布，其中，，X 1(0)3P X ==2(1)3P X ∴==，122()01333E X =⨯+⨯=，2221222()(0)(1)33339D X =-⨯+-⨯=在A 中，，故A 正确；(1)()P X E X ==在B 中，，故B 正确； 2(32)3()23243E X E X +=+=⨯+=在C 中，，故C 错误； 2(32)9()929D X D X +==⨯=在D 中，，故D 错误． 2()9D X =故选：AB ．12．已知正方体中，AB =2，P 为正方体表面及内部一点，且，1111ABCD A B C D -1AP AB AD λμ=+其中，，则（ ）[0,1]λ∈[0,1]μ∈A ．当时，PD 1λμ+=B ．当时，存在点P ，使得 21λμ+=AP BD ⊥C ．当时，直线AP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围是 12μ=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．当时，三棱锥的体积为定值 12λ=1P BC D -【答案】ABD【分析】当时,点P 在上，求出的最小值判断A ，取的中点，连接1λμ+=1BD PD AB K ，是上的动点，平面，可判断B ，取的中点分别为111,,KD AC AC P 1KD BD ⊥11ACC A11,AD BC ,N M ，当时，点P 的轨迹是NM 上的动点，可求直线AP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围12μ=判断C ，取AB ，的中点G ，H ，当时，点P 的轨迹是GH 上的动点，可证平面11D C 12λ=//GH ，判断D.1BC D 【详解】当时,点P 在上，如图，1λμ+=1BD在中，1BD DA 111sin DD D BD BD ∠===时，取得最小值为A 正确；1PD BD ∴⊥PD 1sin BD D BD ⨯∠==取的中点，连接，，AB K 111,,KD AC AC 2AB AK ∴=112AP AB AD AK AD λμλμ∴=+=+ 当时，是上的动点，在正方体中平面，故存在点为 21λμ+=P1KD BD ⊥11ACC A P 平面与的交点时，使，故B 正确； 11ACC A 1KD AP BD ⊥如图，取的中点分别为，当时，点P 的轨迹是NM 上的动点，易得平面11,AD BC ,N M 12μ=//MN ABCD ，故P 到平面的距离为定值1，设直线AP 与平面ABCD 所成角为，当P 点在N 时AP 的α投影最小，最大，此时，当点P 在N时AP 的投影最大，最小，此时αtan 1NFAFα==αAP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围是，故C tan ME AE α===⎤⎥⎦错误；取AB ，的中点G ，H ，当时，点P 的轨迹是GH 上的动点，易得平面11D C 12λ=1//,GH BC GH ⊄，平面，平面，故点P 到平面的距离为定值，三棱锥1BC D 1BC ⊂1BC D //GH ∴1BC D 1BC D ∴的体积为定值，故D 正确.1P BC D -故选：ABD三、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布，且，，则()2,N μσ()200.5P X >=()300.24P X >=______．(1030)P X ≤≤=【答案】0.52##1325【分析】先根据对称性得到，结合求出答案.20μ=()300.24P X >=【详解】由对称性可知，，故. 20μ=(1030)12(30)120.240.52P X P X ≤≤=->=-⨯=故答案为：0.5214．如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得2x my =解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 2x my =将代入，得，所以． ()2,2A -2x my =2m =-22x y =-设，代入，得． ()03,B y 092y =-0 4.5y =-所以拱桥到水面的距离为． 4.5m 故答案为：4.5.15．在正六棱柱中，若底面边长为1，高为3，则BC 到平面的距离111111ABCDEF A B C D E F -11ADC B 为______．【分析】取的中点，证明平面，平面平面，再11,,AD BC B C ,,O M N //BC 11ADC B OMN ⊥11ADC B 求出斜边上的高作答.Rt OMN △【详解】在正六棱柱中，取的中点，连接111111ABCDEF A B C D E F -11,,AD BC B C ,,O M N ，如图，,,MN OM ON，平面，平面，则平面， 11////B C BC AD BC ⊄11ADC B AD ⊂11ADC B //BC 11ADC B 平面，则平面，平面， 11//,MN BB BB ⊥ABCDEF MN ⊥ABCDEF AD ⊂ABCDEF 即，而，即有，，平面， MN AD ⊥OM BC ⊥OM AD ⊥OM MN M = ,OM MN ⊂OMN 则平面，又平面，因此平面平面， AD ⊥OMN AD ⊂11ADC B OMN ⊥11ADC B 在平面内过作于，而平面平面， OMN M MH ON ⊥H OMN 11ADC B ON =于是平面，线段长即为BC 到平面的距离，MH ⊥11ADC B MH 11ADC B，中，，1cos30OM =⨯=3MN =Rt OMN △ON ==所以BC 到平面的距离11ADC BOM MN MH ON ⋅===四、双空题16．如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．()2210169y x x +=≤()22102516x y x +=>，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两1F 2F 3F 123F F F A yt =A B 点，且中点为，点的轨迹方程为______．AB M M【答案】8+()221016y x x +=>【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分1F 2F 3F 别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程.A B M M 【详解】由，，是相应半椭圆的焦点， 1F2F 3F 可得，，， (1F (20,F ()33,0F 所以，，，12F F =134F F==234F F ==故所求周长为；448++=+设，(),Mx y 联立直线与，得，y t =()2210169y x x +=≤x =即点，A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立直线与，得 y t =()22102516x y x +=>x 即点，且不重合，即，B t ⎫⎪⎭,A B 4t ≠又为中点，M AB 所以2x t ty t ⎧⎪==⎪⎨⎪+==⎪⎩即，整理可得，，x =0x >22116y x +=0x >故答案为：，.8+()221016y x x +=>五、解答题17．已知的展开式中，所有项的系数之和是512．3nx ⎛ ⎝(1)求展开式中含项的系数；3x (2)求的展开式中的常数项.11(21)nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】(1)27 (2) 17【分析】（1）利用赋值法得所有项的系数和，求解n ，然后利用二项式展开式通项公式求解即可；（2）把式子化简为，然后分别利用二项式展开式通项公式求解常数项即可.()()992121x x x--+【详解】（1）因为的展开式中，所有项的系数之和是512．3nx ⎛ ⎝所以令，得，所以， 1x =2512n =9n =所以的展开式通项公式为， 3nx ⎛ ⎝()()13991922199C 3C 31rr rr rr r r T x x x ----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，解得，所以展开式中含项为， 3932r -=8r =3x ()8813399C 3127T x x =-=所以展开式中含项的系数为27.3x （2）由（1）知，，从而， 9n =()()()9921112121n x x x x x -⎛⎫+-=-+⎪⎝⎭因为的展开式的通项为，()921x -()()919C 21rrrr T x -+=-所以的常数项为，()921x -()()099109C 211T x =-=-又的常数项为，()921x x-()()98889C 2118x x--=所以的展开式中的常数项为.()91121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭11817-+=18．已知抛物线经过点，为抛物线的焦点，且． 2:2(0)C y px p =>(),P a a ()0a >F 5PF =(1)求抛物线的标准方程；C (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值（为坐标原点） ()4,0M l C A B ABO A O 【答案】(1) 24y x =(2)16【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，将点坐标代入抛物线方程求出，P 2a p =再根据焦半径公式计算可得；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程AB AB AB 为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据()()40y k x k =-≠()11,A x y ()22,B x y 面积公式计算可得.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，()2:20C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-由抛物线经过点，，()2:20C y px p =>(),P a a ()0a >可得，即， 22a pa =2a p =又，可得， 5PF =52pa +=解得，，2p =4a =故抛物线的标准方程为.C 24y x =（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，AB 4x =由，解得，此时，所以的面积．244y x x ⎧=⎨=⎩4y =±8AB =ABO A 184162S =⨯⨯=当直线的斜率存在时，设直线的方程为．AB AB ()()40y k x k =-≠由得，． ()244y k x y x ⎧=-⎨=⎩24160ky y k --=216640k ∆=+>设，，由根与系数的关系得，， ()11,A x y ()22,B x y 124y y k+=1216y y =-所以 1212ABO AOM BOM S S S OM y y =+=⋅-△△△12OM =， 16=>综上所述，面积的最小值为．ABO A 1619．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织2022了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概2312率是.每个人回答是否正确互不影响． 14(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率； 1(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为2515，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率． 25【答案】(1) 1718(2) 1930【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可求得乙、丙回答正确的概率，结合对立事件概率公式可求得结果；（2）根据全概率公式直接计算即可.【详解】（1）记甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，则事件A B C 相互独立； ,,A B C 由题意知：，，，()23P A =()12P AC =()14P BC =，， ()()()132243P AC P C P A === ()()()114334P BC P B P C ∴===则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率.1()213171111133418p P ABC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）记该问题回答正确为事件，甲、乙、丙抢到答题机会分别为事件， D 123,,A A A 则，，，，，， ()125P A =()215P A =()325P A =()123P A A =()213P B A =()334P C A =.()()()()()()()112233P D P A A P A P B A P A P C A P A ∴=++2211321935354530=⨯+⨯+⨯=20．如图，已知直角梯形，，，，，四边形ABCD //AB CD AD DC ==2AB DC =90ADC ∠=︒为正方形，且平面⊥平面．AFCE ACFE ABCD(1)求证：⊥平面；BC ACFE (2)点M 为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． EF BF MAB 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由余弦定理得到，再由勾股定理逆定理得到，结合面面垂直得到24BC =BC AC ⊥线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】（1）已知直角梯形ABCD ，，，//AB CD AD DC =，所以为等腰直角三角形，90ADC ∠=︒ADC △可得，，，2AC ==45CAB ∠=︒AB =所以在中，由余弦定理得， CAB △28422cos 454BC =+-⨯⋅︒=所以，得．222AB AC BC =+BC AC ⊥因为平面平面ABCD ，平面平面，平面， ACFE ⊥ACFE ⋂ABCD AC =BC ⊂ABCD 所以⊥平面．BC ACFE （2）根据（1）中所证可得：两两垂直，,,CA CB CF 故以C 为坐标原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系： ,,CA CB CF ,,x y z 则，，，．()2,0,0A ()0,2,0B ()1,0,2M ()0,0,2F ，，，(2,2,0)AB =- (1,2,2)BM =-(0,2,2)BF =-设为平面MAB 的一个法向量，(),,m x y z =由，取，则， ()()()(),,2,2,0220,,1,2,2220m AB x y z x y m BM x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ 2x =2,1==y z 故，(2,2,1)m =设直线与平面所成角为，BF MAB θ则．||sin cos ,||||m BF m BF m BF θ⋅=〈〉==⋅即直线与平面 BF MAB 21．新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．(1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；(2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．【答案】(1)员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率 (2)应选择第二种方案，理由见解析【分析】（1）根据超几何分布求出员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率，比较大小即可得出答案；（2）分别求出选择方案一和方案二的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，比较方差和期望的大小即可得出答案.【详解】（1）用表示员工所获得的奖励额．X 因为，， ()2325C 3100C 10P X ===()112325C C 63150C 105P X ====所以，()()100150P X P X =<=故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率． （2）第一种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为1X 1X 1X 60 160 260P 310 35110所以的数学期望为， 1X ()13316016026014010510E X =⨯+⨯+⨯=的方差为； 1X ()2221331(60140)(160140)(260140)360010510D X =-⨯+-⨯+-⨯=第二种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为2X 2X 2X 100 150 200P 310 35110所以的数学期望为， 2X ()233110015020014010510E X =⨯+⨯+⨯=的方差为， 2X ()2222331(100140)(150140)(200140)90010510D X =-⨯+-⨯+-⨯=又因为（元），()()1250050070000E X E X ==所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小， 故应选择第二种方案．22．已知椭圆的短轴长为，且过点．()2222:10y x C a b a b+=>>4()1,3A (1)求椭圆的标准方程；C (2)直线与椭圆相交于、两点，以为直径的圆过点，求点到直线距离的最大值．C P Q PQ A A l【答案】(1)221124y x +=【分析】（1）根据椭圆过点，结合短轴长列方程，解方程即可；A （2）法一：当直线斜率不存在时，设点与的坐标，根据，解方程可得直线方程，当P Q AP AQ ⊥斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆，结合韦达定理及，可得y kx m =+AP AQ ⊥，即可得直线过定点，进而确定距离的最值.法二：将椭圆方程转化为322k m =+，设直线方程为，与椭圆联立构造齐()()()()2236331610y y x x -+-+-+-=()()131m x n y -+-=次式得，所以则，是方()()233616663011y y n m m m x x --⎛⎫+++++= ⎪--⎝⎭11131AP y k k x -==-22231AQ y k k x -==-程的两个根，则，即，代入直线方程，可得直线过定点，进而确定1263161m k k n +⋅==-+332m n =--距离的最值.【详解】（1）椭圆的短轴长为，所以，， C 424b =2b =代入点，得，所以 ()1,3A 29114a +=212a =椭圆的方程为；C 221124y x +=（2）法一：当直线斜率不存在时，则有、，直线的方程为：， l ()11,P x y ()11,Q x y -l 1x x =因为以直径的圆过点，所以，PQ A AP AQ ⊥， ()()()()()221111111133190AP AQ x x y y x y ⋅=-⋅-+---=-+-= 又，可得，解得或（舍去），22111124y x +=211210x x --=112x =-11x =当直线斜率存在时，设直线的方程为：，l l y kx m =+设点，()11,P x y ()22,Q x y 联立，得，221124y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22232120k x kmx m +++-=由韦达定理得，，12223km x x k -+=+2122123m x x k -=+()()()()12121133AP AQ x x y y ⋅=-⋅-+--()()()()12121133x x kx m kx m =-⋅-++-+-()()()()22121213113k x x m k x x m =++--+++-⎡⎤⎣⎦()()()222221221311333m km k m k m k k --=++--++-⎡⎤⎣⎦++， ()()()222222992233033k mk m m k m k m k k ---+---++-===++点点不在直线上，所以，则有，经检验，此时，满足题意， ()1,3A l 30k m +-≠230k m -+=0∆>所以直线的方程为，直线过定点l 13132222y kx m kx k k x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭综上，直线恒过定点，记作l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭13,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭则当时，点到直线距离最大，最大值为AM l ⊥A l AM ==法二：齐次化构造椭圆的标准方程为，即221124y x +=22312y x +=变形为， ()()223331112y x ⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦即， ()()()()2236331610y y x x -+-+-+-=设直线的方程为 l ()()131m x n y -+-=与椭圆方程联立构造齐次式为()()()()()()()()2236313316113y y m x n y x x m x n y ⎡⎤⎡⎤-+--+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()2261366136310n y m n x y m x =+-++--++-=即： ()()233616663011y y n m n m x x --⎛⎫+++++= ⎪--⎝⎭设点，()11,P x y ()22,Q x y则，是方程的两个根， 11131AP y k k x -==-22231AQ y k k x -==-又因为， AP AQ ⊥所以，即 1263161m k k n +⋅==-+332m n =--代入直线方程得：，()()336210n x y x -+--+=故直线过定点，记作记作l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭13,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭则当时，点到直线距离最大，最大值为AM l ⊥A l AM ==【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

山东省潍坊市安丘市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)

山东省潍坊市安丘市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)
解得 ，又 ，所以 ，
即数列 满足：
当 时， ，
当 时， ，所以 取得最大值时， ，选项D错误．
故选：AB．
10.已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）
A.
B.函数 在 上递增，在 上递减
C.函数 的极值点为 ，
D.函数 的极大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
【分析】
（1）由 可得 ，再由 时， 与条件作差可得 ，从而利用等差数列求通项公式即可；
（2）由 利用裂项相消求和即可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，解得 ，
当 时，由 ①可得，
②，
①－②： ，
∵ ，∴ ，∴ ，
即∴ ，
∴ 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
∴
综上所述，结论是： .
（2）由（1）可得
∴
小问2详解】
解：因为 ，
所以 ， ，
则 ，
令 ，则 或 ，
当 时，令 可得 ，
函数 的单调递增区间为 ；
当 时，令 ，可得 或 ，
函数 的单调递增区间为 ， ；
当 时， 在 上恒成立，
函数 的单调递增区间为 ；
当 时，令 可得： 或 ，
函数 的单调递增区间为 ， ；
综上可得：当 时单调递增区间为 ，当 时单调递增区间为 ， ，
对D，函数 的极大值为 ，故D错误.
故选：ABD.
11.已知斜率为 的直线l经过抛物线C： （ ）的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若 ，则以下结论正确的是（）
A. B.
C. D.F为AD中点
【答案】BCD
【解析】

山东省潍坊市诸城市2022高二数学上学期期末考试试题(含解析)

山东省潍坊市诸城市2022高二数学上学期期末考试试题(含解析)
【详解】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，
∴ ,
∴x+y＝（x+y）（ ）＝5+ ≥5+2 ＝9，当且仅当x＝2y取等号，结合x+4y＝xy，
解得x＝6，y＝3
∴x+y的最小值为9，
故答案为A．
【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.
A. B. C.1D.0
【答案】C
【解析】
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，
故答案为 或 .
【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 或 转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 ( 的取值范围).
16.若函数 对于 时，恒有 ，则实数 的取值范围是_____．
【详解】（1）设 为等比数列 的公比，则由 ， ，
得 ，即 ，解得 或 （舍去），因此 ，
所以 的通项公式为 ；
（2）∵ 是首项为1，且 ，
所以数列 是公差为2的等差数列，
∴ ，
∴
【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．

山东省济南高二上学期期末考试数学试卷 有答案

山东省济南高二上学期期末考试数学试卷 有答案

山东省济南第一高二上学期期末考试数学试卷说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第4页，第Ⅱ卷为第4页至第5页。

考试时间120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷（选择题，共80分）一、选择题（每小题4分，共80分，每题只有一个正确选项。

）1. 下列不等式中成立的是 （ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b << D. 若0a b <<，则11>a b2. 错误！未找到引用源。

（ ）A. 30B. 60C. 30或150D. 60或1203. 椭圆的两个焦点分别为1(8,0)F -、2(8,0)F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为 （ ）A ．22136100x y += B ．221400336x y += C ．22110036x y += D ． 2212012x y += 4. 抛物线240y x -=上一点P 到焦点的距离为3，那么P 的横坐标是 （ ） A. 3 B. 2 C.25D. 2- 5. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列，若1a =1，则4S = ( ) A. 7 B. 8 C. 15 D. 166. 已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则“3a =”是“A B ⊆”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7. 经过点)62,62(-M 且与双曲线22134y x -=有共同渐近线的双曲线方程为（ ） A ．18622=-x y B ．16822=-x y C ．16822=-y x D ． 18622=-y x 8. 以下有关命题的说法错误的是 （ ） A. 命题“若0232=+-x x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”. B. “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件. C. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D. 对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥.9. 在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为 （ ）A. 20B. 22C. 24D. 2810. 在ABC △中，若2sin sin sin A B C =⋅且()()3b c a b c a bc +++-=，则该三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形11. 设{}n a 是等比数列，*m n s t N ∈、、、，则“m n s t +=+”是“m n s t a a a a ⋅=⋅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12. 若变量,x y 满足约束条件2,1,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为 （ ） A ． 43和 B ．42和 C ．32和 D ．20和13. 已知方程220(0,,0)ax by ab ax by c ab a b c +=++=≠≠>和其中，它们所表示的曲线可能是 （ ）A ．B ．C ．D ．14. 已知点()2,1A -，24y x =-的焦点是F ，P 是24y x =-上的点，为使PA PF +取得最小值，P 点的坐标是 （ ） A. 1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B. (2,-C. 1,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. (2,-- 15. 在数列{}n a 中，若对于任意的n N *∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S = （ ） A ．132B ．299C ．68D ．9916. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 （ ）A.54 B.53 C.52D.5117. 已知不等式201x x +<+的解集为{}|x a x b <<，点(,)A a b 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则21m n+的最小值为 （ ）A. B.8 C.9 D. 1218. 已知双曲线22 1 (0,0)m x n y m n ⋅-⋅=>>的离心率为2，则椭圆221m x n y ⋅+⋅=的离心率为 （ ）A ．13B C D19. 如图，1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左 支交于A 、B 两点，若△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )A B ．2 C 1 D ．120. 已知点00(1,0),(1,0),(,)A B P x y -是直线2y x =+上任意一点，以,A B 为焦点的椭圆过P ，记椭圆离心率e 关于0x 的函数为0()e x ，那么下列结论正确的是 （ ） A ．e 与0x 一 一对应 B ．函数0()e x 无最小值，有最大值 C ．函数0()e x 是增函数 D ．函数0()e x 有最小值，无最大值第Ⅱ卷（非选择题，共70分）注意事项：1.第Ⅱ卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔答在答题纸上答题，考试结束后将答题卡和答题纸一并上交。

2023-2024学年山东省临沂市临沂高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省临沂市临沂高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省临沂市临沂高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知空间向量()2,3,4a =-，()4,,b m n =- ，,R m n ∈，若//a b r r ，则m n -=（）A ．2B ．2-C ．14D ．14-【正确答案】C【分析】利用空间向量平行的性质即可.【详解】因为空间向量()2,3,4a =-，()4,,b m n =- ，,R m n ∈，如果//a b r r ，则a b λr r=，所以2434m n λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得1268m n λ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以6(8)14m n -=--=，故选：C.2．设直线l 的斜率为k，且1k -≤，直线l 的倾斜角α的取值范围为（）A ．π3π0,,π34⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．π3π,64⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π0,,π34⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【正确答案】D【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到1tan α-≤<结合正切函数的图象及[)0,πα∈，数形结合得到直线l 的倾斜角α的取值范围.【详解】由题意得：1tan α-≤因为[)0,πα∈，且3πtan14=-，πtan 3=画出tan y x =的图象如下：所以π3π0,,π34α⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭故选：D3．抛物线2y ax =的准线方程为1y =，则a 的值为（）A ．12-B ．2-C ．14-D ．4-【正确答案】C【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得抛物线的标准方程为21x y a =，准线方程为14y a=-，又准线方程是1y =，所以114a-=，所以14a =-.故选：C4．已知等比数列{}n a 的前n 项积n T 满足7232=T T ，则9T =（）.A ．128B ．256C ．512D ．1024【正确答案】C【分析】利用等比数列通项的性质，由7232=T T 可求得5a ，再由995T a =可求值【详解】等比数列{}n a 的前n 项积n T ，57345675232T a a a a a a T =⋅⋅⋅⋅==，52a =，99123456789592512T a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====.故选：C5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b -=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）A ．221124y x -=B ．223144y x -=C ．22144x y -=D ．221164y x -=【正确答案】B【分析】首先根据题意得到22222b c a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为()0,c ，一条渐近线方程为ay x b=，则焦点到渐近线的距离2d b ==，所以2222224234b a c a b c a b=⎧⎧⎪=⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，即双曲线方程为.223144y x -=故选：B6．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S <，20250S >”是“101210130a a ⋅<”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断201210130,0a a <>，由101210130,0a a ><时，即可说明不必要性.【详解】由20240S <，20250S >可得{}n a 单调递增，且公差大于0，故20230S <，()()120231202520232025202320250,022a a a a S S+⨯+⨯=<=>，即12023101220a a a +=<，12025101320a a a +=>，即101210130,0a a <>，因此101210130a a ⋅<，当101210130,0a a ><时，此时{}n a 单调递减，则不可能满足20240S <，20250S >，因此“20240S <，20250S >”是“101210130a a ⋅<”的充分不必要条件，故选：C7．设点P 是抛物线1C :24x y =上的动点,点M 是圆2C :22(5)(4)4x y -++=上的动点,d 是点P 到直线=2y -的距离,则||d PM +的最小值是（）A ．2B ．1-C ．D ．1【正确答案】B【分析】根据题意画出图像,将d 转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求||d PM +的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当112,,,F P M C 共线时,||d PM +取最小值为21FC r +-,算出结果即可.【详解】解:由题知圆2C :22(5)(4)4x y -++=,()25,4,2C r ∴-=()0,1F 为抛物线焦点,1y =-为抛物线准线,则过点P 向1y =-作垂线垂足为D ,如图所示:则1d PD =+,根据抛物线定义可知=PD PF ,1d PF ∴=+,||d PM ∴+=1PF PM ++,若求||d PM +的最小值,只需求PF PM +的最小值即可,连接2FC 与抛物线交于点1P ,与圆交于点1M ,如图所示,此时PF PM +最小,为2FC r -,()2min1d PMFC r +=+-,()()220,1,5,4,F C FC -∴= ()2min11d PMFC r ∴+=+-=-.故选:B8．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）与双曲线22221x y m n-=0m >0n >具有相同焦点1F 、2F ，P是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则22123e e +的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】B【分析】由椭圆和双曲线的定义以及余弦定理解得2212134e e +=，再由“1”的代换和基本不等式求得结果.【详解】设P 为第一象限的交点，12||,||,PF s PF t ==则由椭圆和双曲线的定义可知，22s t as a ms t m t a m+==+⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩∴在△12F PF 中由余弦定理得：2222242cos()()()()3c s t st a m a m a m a m π=+-=++--+-即：22234a m c +=∴222234a m c c+=，即：2212134e e +=∴222222211212222212129113113)(3)(6)(623444e e e e e e e e e e +=++=++≥+当且仅当222122129e e e e =，即22213e e =时，取得最小值为3.故选：B.二、多选题9．对于非零空间向量a ，b ，c，现给出下列命题，其中为真命题的是（）A ．若0a b ⋅< ，则a ，b的夹角是钝角B ．若()1,2,3a = ，()1,1,1b =-- ，则a b⊥C ．若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c= D ．若()1,0,0a = ，()0,2,0b = ，()0,0,3c = ，则a ，b ，c 可以作为空间中的一组基底【正确答案】BD【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.【详解】A ：当(1,0,0)a = ，(1,0,0)b =- 时，显然0a b ⋅< ，因为a b =-r r，所以a ，b 的夹角是平角，故本选项命题是假命题；B ：因为1(1)2(1)310a b ⋅=⨯-+⨯-+⨯= ，所以a b ⊥，因此本选项命题是真命题；C ：当()1,0,0a = ，()0,0,0b = ，()0,0,3c = 时，显然a b b c ⋅=⋅r r r r，但是a c ≠ ，因此本选项命题是假命题；D ：假设a ，b ，c是共面向量，所以有0(0,0,3)(1,0,0)(0,2,0)0230xc xa yb x y y =⎧⎪=+⇒=+⇒=⎨⎪=⎩，显然不可能，所以a ，b ，c 不是共面向量，因此a ，b ，c可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，故选：BD10．已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【正确答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，⋯.设第n 层有na个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A ．656S =B ．1n n n a a +-=C ．202310122023a =⨯D ．1232023111120231012a a a a ++++= 【正确答案】ACD【分析】根据1n n a a n --=由累加法可得()12n n n a += A.B.CA.B.CA.B.C,根据裂项相消法则可判断D.【详解】由题意得，11a =，212a a -=，323a a -=，…，1n n a a n --=，以上个式子累加可得()()11222+=++⋅⋅⋅+=≥n n n a n n ，又11a =满足上式，所以()12n n n a +=，由已知23a =，36a =，410a =，515a =，621a =，得166213610152156S a a a =++⋅⋅⋅+=+++++=,故A 正确;因为1n n a a n --=,则+1+1n n a a n -=,故B 错误;由通项公式得202320232024=101220232a ⨯=⨯,故C 正确；由()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，得122023111111111212122320232024202202143102a a a ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选.A C D12．在棱长为2的正方体ABCD —1111D C B A 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱11A D 上一点，且111[01]D Q D A λλ=∈，，，N 为线段AQ 的中点，则下列命题正确的是（）A ．CN 与QM 异面B ．三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关C ．不存在λ使得AM QM ⊥D ．当12λ=时，过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的面积为92【正确答案】BD【分析】证明//MN CQ 可判断A ；由等积法可判断B ；建立坐标利用向量数量积可判断C ；求出截面梯形的面积可判断D【详解】连AC ，CQ ，则M ，N 分别为AC ，AQ 的中点，MN 为AQC 的中位线.∴//MN CQ ，则CN ，QM 共面，A 错.111111213323A DMN N ADM ADM V S V --==⨯=⨯⨯⨯⨯= 为定值，B 对.如图建系()()110,0,2,2,0,2D A ，111D Q D A λ=，则()2,0,2Q λ()()1,1,0,12,1,22112AM QM AM QM λλλ=-=--⋅=-+= ，，0AM QM λ=⊥时，，C 错.截面如图所示，图形ACFQ ，过Q 作AC 的垂线垂足为G .222AG QG ===，∴1922S =⨯=，D 对.故选：BD 三、填空题13．已知两直线()()1:2350l m x m y +++-=，()2:6215l x m y +-=，若12l l ⊥，则实数m =______．【正确答案】1-或92-【分析】根据2112210A A l B B l +⇔=⊥，再解方程即可得答案．【详解】解：因为()()1:2350l m x m y +++-=，()2:6215l x m y +-=，且12l l ⊥，所以，()()()623210m m m +++-=，即()()221192910m m m m ++=++=，解得1m =-或92m =-；所以，实数1m =-或92m =-故1-或92-14．已知数列{}n a 满足12a =，112nn na a a +-=+，则2023a =_______.【正确答案】2【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.【详解】求不动点，设()12x f x x -=+，令()f x x =得：12x x x -=+，化简得：210x x ++=，显然该方程无解，这种情况下{}n a 一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规律即可，由题意，12a =，所以1211124a a a -==+，2321123a a a -==-+，3431425a a a -==-+，4541322a a a -==-+，565152a a a -==-+，6716122a a a a -===+，从而{}n a 是以6为周期的周期数列，故20233376112a a a ⨯+===.故215．已知平面α的一个法向量()2,2,1n =-- ，点(1,3,0)A --在平面α内，若点(,0,2)B m m -在平面α内，则m =___________【正确答案】2-【分析】利用向量垂直列方程，化简求得m【详解】根据题意可得(1,3,2)AB m m =+- ，因为平面α的一个法向量()2,2,1n =-- ，所以()21620AB n m m ⋅=-+-+-= ，解得2m =-，故2-16．如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，126F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P 与y 轴交于点A ，1APF △的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是______.【正确答案】3【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由126F F =求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的离心率【详解】设1APF △的内切圆在边1AF AP ，上的切点分别为,M N ，则11,,AM AN F M F Q PQ PN ===，又由12OAF OAF ≅△△，可得12=AF AF ，则11222F Q F M F N F P PN F P PQ ===+=+，则121222222PF PF F Q PQ PF F P PQ PF PQ -=+-=+-==，又122PF PF a -=，则22a =，即1a =，由126F F =，可得26c =，即3c =，则双曲线的离心率331c e a ===，故3四、解答题17．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，2AB =，14AA =，1160DAB A AB DAA ∠=∠=∠=︒，113A N NC = ，1D M MB = ，设AB a =，AD b = ，1AA c = ．(1)试用a ，b ，c 表示AM ，AN ；(2)求MN 的长度．【正确答案】(1)11133,22244AM a b c AN a b c =++=++(2)2【分析】（1）将,,a b c 当作基底，按照向量线性运算的规则计算即可；（2）运用向量求模的方法计算.【详解】（1）如图，连接AM ，AN ，111BD BC CC C D b c a =++=+- ，()11111122222AM AB BM a BD a b c a a b c =+=+=++-=++ ，111111AC A B B C a b =+=+ ，111333444A N A C a b ==+ ，113344AN A A A N a b c =+=++ ；（2）由条件得：22cos 602,24cos 604,24cos 604a b a c b c ︒︒︒=⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯= ，()133111244442MN MA AN a b c a b c a b c =+=-+++++=++ ，()()222221111424444216MN a c a b c a b a c b c ⎛⎫=++=+++++ ⎪⎝⎭ ()2221272244224444164=++⨯+⨯+⨯+⨯=，2MN MN ∴== ；综上，111222AM a b c =++ ，3344AN a b c =++ ，2MN =.18．已知直线l 经过两条直线230x y --=和4350x y --=的交点，且与直线20x y +-=垂直．(1)求直线l 的一般式方程；(2)若圆C 的圆心为点()3,0，直线l 被该圆所截得的弦长为C 的标准方程．【正确答案】(1)10x y --=(2)22(3)4x y -+=【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线l 的方程；（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．【详解】（1）解：由题意知2304350x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，∴直线230x y --=和4350x y --=的交点为(2,1)；设直线l 的斜率为k ，l 与直线20x y +-=垂直，1k ∴=；∴直线l 的方程为1(2)y x -=-，化为一般形式为10x y --=；（2）解：设圆C 的半径为r ，则圆心为(3,0)C 到直线:10l x y --=的距离为d =，由垂径定理得222||()42AB r d =+=+=，解得2r =，∴圆C 的标准方程为22(3)4x y -+=．19．已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =．(1)若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．【正确答案】(1)4133n a n =-；(2)7.【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得公差，即可写出通项公式；（2）根据等比数列的基本量，求得,n n a S ，再求解不等式即可.【详解】（1）设数列{}n a 为公差为d 的等差数列，由11a =，1070S =，可得110109702d +⨯⨯=，解得43d =，故()44111333n a n n =+-=-.（2）数列{}n a 为公比为q 的等比数列，由11a =，418a =，可得318q =，即12q =，则1111112,212212n n n n n a S --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，由100n n S a >，即1111210022n n --⎛⎫⎛⎫->⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得：2101n >，则7n ≥，故n 的最小值为7．20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ306（Ⅲ33【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅= ，即可证明出11C M B D ⊥；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M （Ⅰ）依题意，()11,1,0C M = ，()12,2,2B D =-- ，从而112200C M B D ⋅=-+= ，所以11C M B D ⊥；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA = 是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB = ，()2,0,1ED =- ．设(),,n x y z = 为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =- ．26cos ,626C CA n A C n A n ⋅<>=⋅⨯ ，230sin ,1cos ,6CA n CA n ∴<>=-<>= ．所以，二面角1B B E D --306（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =- ．由（Ⅱ）知()1,1,2n =- 为平面1DB E 的一个法向量，于是3cos ,3226AB n AB n AB n ⋅<>==-⨯⋅ ．所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为33.本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.21．已知数列{}n a 满足(12122n n a a a a n -+++-=- 且)*N n ∈，且24a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列()()1211n n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求证.213n T <【正确答案】(1)()*2n n a n =∈N (2)证明见解析【分析】（1）将已知条件与1212n n a a a a ++++-=- 两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；（2）利用裂项相消求和法求出n T 即可证明.【详解】（1）解：因为1212n n a a a a -+++-=- ，所以1212n n a a a a ++++-=- ，两式相减得12(2)n n a a n +=，当2n =时，122a a -=-，又24a =，所以1212,2a a a ==，所以()*12n n a a n +=∈N ，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以()*2n n a n =∈N ；（2）证明：()()()()11122111121212121n n n n n n n n a a +++==-------，所以2231111111111121212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1n ，得124n +，所以1121213n +--，综上，213n T <.22．如图，椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：经过点P （1，32），离心率e=12，直线l 的方程为x =4.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）22143x y +=（2）存在【详解】2231911124P a b+=（）由（，）在椭圆上得：①222,3a c b c =∴= ②②代入①得222221,4,3, 1.43x y c a b C ===∴+=椭圆：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力.。

山东省高二数学上学期期末

山东省高二数学上学期期末

汶上一中2012—2013学年高二3月质量检测数学（文）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.1.函数y =A ，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，则()A B =A ．11,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知向量()1,2a =，(),4x b =，若2=b a ，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．2±D ．4± 3.若1=+∈+y x R y x ,,，则y x ⋅有（ ）A. 最小值21B. 最大值21C.最小值41 D. 最大值414.已知函数)(x f y =的图象如图，则)(A x f '与)(B x f '的大小关系是（ ）A.)(A x f '>)(B x f 'B.)(A x f '<)(B x f 'C.)(A x f '=)(B x f 'D.不能确定 5.命题“已知b a ,为实数，若b a >，则b a >”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．46.经过点),(13-A ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为（ ）A ．122=-y x B.822=-y x C ．822=-y x 或822=-x y D.822=-x y7.双曲线19422=-x y 的渐近线的方程是（ ） A. 32y x =± B. 94y x =± C. 23y x =± D.49y x =±8．设实数,x y 满足约束条件：2212x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则22z x y =+的最大值为（ ）。

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