函数图像与函数方程(学生版)

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第四讲正弦、余弦、正切函数的图象与性质(学生版)

第四讲正弦、余弦和正切函数的图像与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：、、、、。

余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：、、、、。

※ 学习评价1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( ) (2)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( ) (3)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． ( ) (4)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1.( )2、函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π23、若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A ．23B ．32C ．2D ．3例1 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间．变式：（1）已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2]（2）已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．例3 求下列函数的周期．(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R)； (2)y ＝cos(1－πx )(x ∈R)； (3)y ＝|sin x | (x ∈R)．例4 (1) 求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域. (2) 求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈R 的值域．※夯实基础1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)2、函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．3、求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心．4. 设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．5. 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．※能力提高6、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2 7、函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( ) A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )8、已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是 ( ) (A) )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B) )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ(C) )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D) )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 9、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.10．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－)(1x f (f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数． (2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．。

专题09 二次函数的图象与性质(6大考点)(学生版)

第三部分函数专题09二次函数的图象与性质（6大考点）核心考点核心考点一二次函数的图象与性质核心考点二与二次函数图象有关的判断核心考点三与系数a、b、c有关的判断核心考点四二次函数与一元二次方程的关系核心考点五二次函数图象与性质综合应用核心考点六二次函数图象的变换新题速递核心考点一二次函数的图象与性质（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m>2B．32m>C．1m<D．322m<<（2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数2(1)y a x=-，当0x>时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a>B．1a>C．1a≠D．1a<（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数2=23y x x--的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．知识点：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A 、P ，如果将线段P A 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PB ，就称点B 是点A 关于点P 的“放垂点”．如图2，已知点()4,0A ，点P 是y 轴上一点，点B 是点A 关于点P 的“放垂点”，连接AB 、OB ，则OB 的最小值是______．【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是__________．【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线2(0,0)y ax k a k =+><与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且14PC OC =．过点P 作DE AB ∥，分别交抛物线于D ，E 两点(点E 在点D 的右侧)，连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(用含a ，k 的式子表示)(2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若90ODC ∠=︒，4k =-，求a 的值．核心考点二与二次函数图象有关的判断（2021·广西河池·统考中考真题）点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（）A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，2331y x x =-++，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点()0,1C ；②抛物线3y 的对称轴可由抛物线1y 的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★知识点、直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…1-01234…2y ax bx c =++…8301-03…则这个函数图像的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()12-，C ．()1,8-D ．()4,3【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()212y x =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图，则1a ，2a ，3a 的大小关系为______.（用“>”连接）【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是______．【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线242y ax ax =-+．(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y 轴的交点坐标为_______；(2)若当x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为6-，求此时y 的最大值．核心考点三与系数a、b、c 有关的判断（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x -，有以下结论：①<0abc ；②若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；③当图象经过点(1,3)时，方程230ax bx c ++-=的两根为1x ，2x （12x x <），则1230x x +=，其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；②若点11,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；③10b -3c =0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．①4a +b ＝0；②5a +3b +2c ＞0；③若该抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣3有交点，则a 的取值范围是a 34≥；④对于a 的每一个确定值，如果一元二次方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0（t 为常数，t ≤0）的根为整数，则t 的值只有3个．知识点、二次函数图象的特征与a，b，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,h x =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。

一次函数图象及性质-学生版

1．函数的概念：在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 2．函数的三种表示方法：（１）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成表格来表示函数的方法．（２）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=．（３）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 3．函数自变量的取值范围的确定：函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：（１）整式：自变量的取值范围是任意实数．（２）分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数．（３）根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（４）零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类． 4．函数图像：（1）函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．一次函数图像及性质知识回顾（2）函数图象的画法：①列表； ②描点； ③连线．（3）函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点(),P x y 中的x ，y 都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．一、一次函数的概念一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数．（1）一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．（2）当，时，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象（1）一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．（3）由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．三、一次函数的性质1．一次函数图象的位置y kx b =+k b 0k ≠y kx b =+0b =0k ≠y kx =y kx b =+0k ≠k b ()00，()1k ，0b ≠()0b ，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，y kx b =+()x y ，l l ()x y ，y kx b =+l y kx b =+y kx b =+l y kx b =+y kx b =+知识讲解一次函数，符号0b =图象性质随的增大而增大随的增大而减小在一次函数中：（1）当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．（2）当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．当0b =时，图象过原点．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．2．一次函数图象的增减性在一次函数中：（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；（2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．【例1】在下列等式中，y 是x 的函数的有（）223201x y x y -=-=，，||||y x y x x y ===，，．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】图中，表示y 是x 的函数图象是（）()0k kx b k =+≠k b 0k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <Ox yyx OOx yyx OOx yyxOy x y x y kx b =+0k >0k <0b >y x 0b <y x y kx b =+k b y kx b =+0k >y kx b =+y x 0k <y kx b =+y x 同步练习【例3】已知346=0x y +-，用含x 的代数式表示y 为；用含y 的代数式表示x 为．【例4】某商店进一批货，每件6元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x 件，应收货款y 元，那么y与x 的函数关系式是______________，自变量x 的取值范围是______________．【变式练习】电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通话均不超过3分钟，则每月应缴费y （元）与市内电话通话次数x 之间的函数关系式是________________ ．【例5】已知函数223y x =+，当11x =-时，相对应的函数值1y ＝______；当52-=x 时，相对应的函数值2y ＝______；当3x m =时，相对应的函数值3y ＝______．反过来，当11y =时，自变量x =______．【例6】已知,6xy =根据表中自变量x 的值，写出相对应的函数值． x … 4-3-2-1-21-0 21 1234… y …【例7】求出下列函数中自变量x 的取值范围．（1）52+-=x x y （2）324-=x xy （3）32+=x y（4）12-=x x y （5）321x y -= （6）23++=x x y（7）10+=x x y （8）|2|23-+=x x y （9）x x y 2332-+-=【例8】写出等腰三角形中一底角的度数y 与顶角的度数x 之间的函数关系．【变式练习】已知：等腰三角形的周长为50cm ，若设底边长为xcm ，腰长为ycm ，求y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围．【变式练习】用40m 长的绳子围成矩形ABCD ，设AB xm =，矩形ABCD 的面积为2Sm ，（1）求S 与x 的函数解析式及x 的取值范围；（2）写出下面表中与x 相对应的S 的值： x (8)99.51010.51112…S…（3）猜一猜，当x 为何值时，S 的值最大？（4）想一想，如果打算用这根绳子围成的面积比（3）中的还大，应围成么样的图形？并算出相应的面积．同步课程˙一次函数图像及性质【例9】2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离S （千米）与行进时间t （小时）的函数大致图像，你认为正确的是（）【变式练习】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车的速度继续匀速行驶，下面是行使路程s （米）关于时间t （分）的函数图象，那么符合这个同学行使情况的图像大致是（）【变式练习】如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（）【例10】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为( )OO O Ottt tSSSSDCBADCBAO O O O yyyyx xxx O O O O ttt tSSSSDCBABAO【变式练习】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP ∆的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）【例11】如果 A B 、两人在一次百米赛跑中，路程S (米)与赛跑的时间t (秒)的关系如图所示,则下列说法中正确的是 ( )A ．A 比B 先出发 B ．A B 、两人的速度相同 C ．A 先到达终点 D .B 比A 跑的路程多【变式练习】如下图左，甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到距离A 地18km 的B 地，他们离出发地的距离S （km ）和行驶时间t (h )之间的函数关系的图象如图所示.根据图中提供的信息，符合图象描述的说法是（）A ．甲在行驶的过程中休息了一会B ．乙在行驶的过程中没有追上甲C ．乙比甲先到了B 地D .甲的行驶速度比乙的行驶速度大DCBAOOOOtttt SSSSDCBADCBA3311123131yyyyxxxO O O O tSO BA【变式练习】如上图右，某校八年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程(千米)与所用时间(分钟)之间的函数图象，则以下判断错误的是( )A ．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟B ．步行的速度是千米/时C ．骑车同学从出发到追上步行同学用了分钟D ．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地【例12】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）（2）（3）（4）（5）（6）【变式练习】下列函数中，是正比例函数的是（）A ．2y x =B ．x y 21=C ．2y x =D ．21y x =-【例13】若23y x b =+-是正比例函数，则的值是（）A ．0B ．23-C ．23 D ．【变式练习】已知，当m 取何值时，y 是x 的正比例函数？乙甲2.520.5O tS60545030y （千米）x （分钟）l2l1O 61l 2l y x 3062015x y +=-5xy =-21y x =--35x y =--()()212y x x x =---21x y -=b 32-2(1)1y m x m =-+-【变式练习】已知函数(为常数)是正比例函数，则_________．【例14】函数2y x =-的图象一定经过下列四个点中的（）A ．点()12，B ．点()21-，C ．点1(1)2-， D ．点1(1)2-，【变式练习】已知正比例函数(，为常数)，经过点(24)，，以下哪个点不在该正比例函数图图象上( )A ．点(24)--，B ．点(00)，C ．点(12)，D ．点(12)-，【例15】一次函数y x =-的图象平分（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限【例16】若直线y kx =经过点()53A -，，则k ＝______．如果这条直线上点A 的横坐标A x =13-，那么它的纵坐标A y ＝______．【例17】已知与x 成正比例，当时，，求与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数．【变式练习】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当2x =时，1z =；当3x =时，1z =-，求z 与x 的函数关系．【变式练习】已知与（m n ，为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？1(2)k y k x -=-k k =y kx =0k ≠k 2y -3x =1y =y y m +x n +【例18】下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限（）A ．B ．C ．D ．【变式练习】如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（）A ．B ．C ．D ．【例19】已知一次函数(为常数)的图象经过一、二、三象限，求取值范围．【变式练习】已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是__________．【例20】如果直线不经过第四象限，那么（填“”、“”、“”）．【变式练习】若一次函数2(1)12ky k x =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是_______．【例21】一次函数21y x =--的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式练习】若，，则经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限()23y x =-()3.14πy x =-π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()526y x =-y kx b =+y 00k b >>，00k b ><，00k b <>，00k b <<，(3)(2)y k x k =-+-k k (5)1y a x a =-+-a yxO y ax b =+ab 0≥≤=0ab >0bc <a ay x b c=-+【变式练习】直线1y kx b =+过第一、二、四象限，则直线2y bx k =-不经过第____象限．【例22】关于x 的一次函数21y kx k =++的图像可能正确的是（）【例23】函数y ax b =+和y bx a =+在同一坐标系中的可能是（）【变式练习】如图所示，直线l 1：y ax b =+和l 2：-y bx a =在同一坐标系中的图象大致是（）【例24】下列表示一次函数与正比例函数图象中，一定不正确的是（）A BC D DCBAy yyyxxxxDCBAO O OO y yyyxxxxy mx n =-y mnx =(m n 、为常数，0mn ≠且）OxyOxyOxyOxy【例25】已知函数y kx b =+的函数图像如左图，则2y kx b =+的图像可能是（）【例26】已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【例27】已知点都在直线上，则大小关系是（） A ． B ．C ．D ．不能比较【变式练习】已知一次函数的图象过点()03，与()21，，则这个一次函数随的增大而．【例28】已知一次函数()122y m x m =-+-，函数随的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m 的取值范围是___________．【例29】下列说法正确的是（）A ．若一次函数()212y m x m =-++的图象与y 轴交点纵坐标是3，则1m =±B ．若点()()111222P x y P x y ，、，在直线y kx b =+()0k <上，且12x x >，那么12y y >C ．若直线y kx b =+经过点()()11A m B m -，，，，当1m <-时，该直线不经过第二象限D ．直线y kx k =+必经过点()10-，【例30】一次函数321+-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______．一般的，一次函数y kx b =+与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______．y kx k =+y x ()()1242y y -，，，122y x =-+12y y ，12y y >12y y =12y y <y x y x 11-1-1-1-1O O O DCBA1111yxO yyyyxxxx同步课程˙一次函数图像及性质【变式练习】一次函数21)2y m x m =-++（的图像与y 轴的交点坐标是3，则m 的值是_______．【例31】已知一次函数y ax b =+的图像经过点()01，，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为_________．【例32】函数2y x =的图象与y 轴交于______，而函数23y x =-的图象与y 轴交于______点．因此，函数23y x =-的图象可以看作由直线2y x =向______平移______个单位长度而得到．当0b ＞时，直线y kx b =+可由直线y kx =向________平移______而得到；当0b ＜时，直线y kx b =+可由直线y kx =向________平移______而得到．【变式练习】（1）将直线向右平移2个单位所得的直线的解析式是______________．（2）直线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求所得到的直线的解析式．【习题1】正比例函数y kx =的图象是经过原点的一条（）A ．射线B ．双曲线C ．线段D ．直线【习题2】函数在________条件下，是的一次函数；在_________条件下，与成正比例函数．【习题3】已知是一次函数，求它的解析式．【习题4】已知函数)2()12(232+--=-n xm y m ．（1）当m n 、为何值时，其图象是过原点的直线；2y x =22y x =+()2211m y m xmn -=-+y x y x 1(2)2m y m x m -=-++课后练习同步课程˙一次函数图像及性质（2）当m n 、为何值时，其图象是过()04，点的直线；（3）当m n 、为何值时，其图象是一条直线且y 随x 的增大而减小．【习题5】（1）如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么( )A ．，B ．，C ．，D ．，（2）已知一次函数的图象经过(，)和(，)两点，且,，则( )A ．B ．，C ．，D ．（3）已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限（4）如图，一次函数的图象大致是( )【习题6】如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是_________________．y kx b =+y 0k >0b >0k >0b <0k <0b >0k <0b <y kx b =+1x 1y 2x 2y 12x x <12y y <0k >0k <0b >0k <0b <0k <y kx k =+y x 1y ax a=+DC B A OO O O yyyyxxxx 1y k x =2y k x =3y k x =4y k x =1l 2l 3l 4l 1k 2k 3k 4k同步课程˙一次函数图像及性质【习题7】将32y x =-先向左平移3个单位，在向上平移2个单位得到函数解析式为；将2433y x =-+先向下平移1个单位，在向右平移2个单位得到的函数解析式为．【习题8】点()()P a b Q c d ，、，在一次函数5y x =+的函数图像上，则()()a c d b c d ---的值为______．O yxl 4l 3l 2l 1。

2022新高考数学高频考点题型归纳11函数图像(学生版)

专题11函数图像一、关键能力1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题. 二、教学建议1．学生应掌握图象的平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；2．函数图象的应用很广泛，研究函数的性质、解决方程解的个数、不等式的解等都离不开函数的图象，对图象的控制能力往往决定着对函数的学习效果．3．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．三、自主梳理 1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―——————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――——————―→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――——————→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――——————―→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )―――——————→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ⑥y ＝f (x )――——————―→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)翻折变换（☆☆☆）①y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)；②y ＝f (x )――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|．(4)伸缩变换①y ＝f (x ) 至 y ＝f (ax )．②y ＝f (x ) 至 y ＝af (x )．――——————―——————―→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变四、高频考点+重点题型考点一、作图例1-1（対称、翻折、分段作图）画下列函数图像 (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x 2－2|x |－1;例1-2.（平移作图）(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝x ＋2x －1．例1-3（周期、类周期函数作图）定义函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--2,)2(2121|,23|84x x f x x 则函数g (x )＝xf (x )－6在区间[1，2n ](n ∈N *)内所有零点的和为( )A ．nB ．2n C.34(2n －1) D.32(2n －1)对点训练1．已知函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，则下列图象错误的是（）A ．()y f x =的图象：B ．()1y f x =-的图象：C ．()y fx =的图象：D ．()y f x =-的图象：对点训练2.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数的定义域为R ，满足，且当时，．若对任意，都有，则m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．考点二、识图例1-1.（由解析式选图像）【2020·天津卷】函数241xy x =+的图象大致为（）()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦A BC D例2-2．（由图像选解析式）（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =-- C ．()()y f x g x = D ．()()g x y f x =例2-3.（实际应用识图像）在2 h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )例2-4（两个函数图像对比）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是()对点训练1.函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()对点训练2．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A．y＝||2xexB．y＝2(1)||xx exC ．y ＝|2|xe xD ．y ＝22xe x对点训练3.（2020·江西临川一中模拟）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O ，O 1，O 2，若一动点P 从点A 出发，按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，设P 的运动路程为x ，y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象为( )对点训练4.（2021·四川高三三模（理））函数()()log a f x x b =--及()g x bx a =+，则()y f x =及y g x 的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．考点三、利用图像解不等式例3-1（转化为两个图像的上下方）【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞例3-2（图像在x 轴的上下方）函数f (x )是定义域为(－∞，0)∈(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值范围为________．对点训练1.（2021·浙江高三专题练习）若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦对点训练2.函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为________．考点四、利用图像求解方程问题例4-1.（方程根的个数）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.例4-2．已知12,x x 是方程x2210,log 10x x x +=+=的两个根，则12x x +=对点训练1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f （x －1），x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)对点训练2.若满足225xx +=, 满足()222log 15x x +-=, 则+＝考点五、利用图像研究函数性质例5-1.（利用图像研究单调性）1x 2x 1x 2x已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)例5-2（利用图像研究函数最值或值域）对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值 _．对点训练1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是_____．对点训练2.（2020·全国高三其他（文））已知函数在区间的值域为，则（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8()()()22241x x f x x x ee x --=--++[]1,5-[],m M m M +=巩固训练一、单项选择题1．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为________． A. 4 B. 3 C. 2 D. 62.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A.{x |－1＜x ≤0} B.{x |－1≤x ≤1} C.{x |－1＜x ≤1} D.{x |－1＜x ≤2}3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．4.（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数()f x 与()g x 的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A ．(())y f g x =B ．()()y f x g x =C ．(())y g f x =D ．()()f x yg x =5.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题7．设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（）A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．8．观察相关的函数图象，对下列命题的真假情况进行判断，其中真命题为（）A ．10x ＝x 有实数解B ．10x ＝x 2有实数解C ．10x >x 2在x ∈(0，＋∞)上恒成立D ．10x ＝－x 有两个相异实数解．三、填空题9．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．10．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x （x >0），－－x （x ≤0）与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是________．四、解答题11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0．(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．12．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．。

第37讲三次函数的图像与性质(学生版)

第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。

第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义

第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第3讲一次函数的图象和性质(1)学习目标：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象，结合函数图象，能体会出函数的变化情况学习重点：函数的图象学习难点：函数图象的画法学习过程引入:信息1：下图是一张心电图，信息2：下图是自动测温仪记录的图象,他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化，你从图象中得到了什么信息？问题：正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2，你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？一般地,对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph）.•已经知道了形如y=•kx•（k•是常数， k ≠0 )的函数，•叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．那么正比例函数的图象有什么特征呢？范例：例1．画出下列正比例函数的图象，并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．1．y=2x 2．y=—2x2．y=列表表示几组对应值：y3．两个图象的共同点:都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=—2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限． 1比较可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x•的图象从左向右上升,经过一、三象限,即随x增大y也增大;函数y=—x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．归纳：正比例函数图象的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x〉0时,图象经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k〈0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降,即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线,•我们可以称它为直线y=kx．思考：经过原点与点（1，k)的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单?为什么?经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k)．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象:1．y=x 2．y=-3x练习1、某函数具有下面的性质：（1）．它的图象是经过原点的一条直线．（2）．y随x增大反而减小．121232请你举出一个满足上述条件的函数,写出解析式，画出图象．2。

函数、方程、不等式以及它们图像_课件

2019/11/28
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解：由于x的任意性，则只有当 T1的时候可能恒成立 ①当 T1时，sik ( n x 1 ) sik n x k () sik nx 恒成立 k2m ，mZ
②当T1时，
sik (n x 1 ) sik n x k () sikn 恒x 成立
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解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
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解：又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
abc2c，且 ab1c
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11
解：即a,b是一元二次方程 x2(1c)xc2c0的两个不相等的根，且两根都大于c，令 f(x)x2(1c)xc2c，则图像与 x轴有两个交点且都在 (c,) 内，又图像开口向上
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解：
函数、方程、不等式以及它们的图像
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函数是中学数学的一个重要概念。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。
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和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
2
f(x)f(y)f1xxyy 。（1）证明： f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
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（2）对于数列 {x n } ，若

正切函数和余切函数的图像与性质(二)(学生版)

年级：高一辅导科目：数学课时数：课题正切函数和余切函数的图像与性质1、让学生掌握正切函数的图像，性质教学目的2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等教学内容【知识梳理】正切函数y tan x x R ，且 x k k z 的图象，称“正切曲线”2余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：x | x k , k z ，22．值域： R3．当xk , k k z 时y0 ，当x k, k k z 时y 0224．周期性：5．奇偶性：Ttan x tan x 奇函数6．单调性：在开区间k ,k k z内，函数单调递增22余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的性质：1．定义域：x R且x k , k z2．值域： R，3．当 xk , k k z 时 y 0 ，当 x k, k k z 时 y 0224．周期： T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间k , k 1上函数单调递减【典型例题分析】例 1、用图象解不等式tan x 3 。

变式练习： tan x1。

例 2、作出函数 ytan x , x 0,2 且 x ,3的简图1 tan2 x2 2例 3、求下列函数的定义域。

cot x cot x csc x1、 y2、 ytan x1变式练习：求下列函数的定义域。

（1）y cos x tan x；（2）y log2 (cot x1)1（ 3）y1 tan x例 4、求函数y tan 3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性3变式练习：画出函数y cot( x)tan x 的图像，并指出其定义域，值域，最小正周期和单调区间。

2例5、（ 1）求y tan2 x 4tan x1的值域；（ 2）若x,时，y k tan(2x) 的值总不大于零，求实数k 的取值范围。

633变式练习：求函数 y tan2x tan x 1的最大值、最小值，并求函数取得最大值最小值时自变量x 的集合。

数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质

XXX
PART 03
二次函数与一元二次方程关系
REPORTING
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 来求解。
配方化为两个一次方程的乘积，然后分别解这两个一次方程得到原方程的解。
利用二次函数图像解一元二次方程
观察二次函数图像与x轴的交点情况，若有一个交点，则对应的一元二次方程有一个实数根；若有两个交点，则对应的一元二次方程有两个实数根；若没有交点，则对应的一元二次方程没有实数根。
利用二次函数的对称性，可以确定一元二次方程的根的和与积，进一步求解一元二次方程。
通过分析二次函数图像的开口方向、顶点坐标等特征，可以判断一元二次方程的根的范围和性质。
练习题目2
已知二次函数$y = -x^2 + 2x + 8$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程，并判断该函数图像与坐标轴的交点情况。
练习题目3
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$和$C(1,-8)$，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像开口方向、顶点坐标和对称轴方程。
当函数图像关于原点对称时，函数表达式由f(x)变为-f(-x)，即图像在原点处中心对称。
伸缩变换规律
当函数图像在x轴方向伸缩a倍时，函数表达式由f(x)变为f(ax) ，若a>1则图像在x轴方向压缩为原来的1/a，若0<a<1则图像在x轴方向拉伸为原来的a倍。
当函数图像在y轴方向伸缩b倍时，函数表达式由f(x)变为 bf(x)，若b>1则图像在y轴方向拉伸为原来的b倍，若0<b<1 则图像在y轴方向压缩为原来的1/b。

第8讲二次函数的解析式和图象变换(学生版)

知识导航经典例题1在平面直角坐标系中，抛物线2已知二次函数的图象以3已知抛物线4在平面直角坐标系中，二次函数5若二次函数知识导航经典例题1如果将抛物线2如果将某一抛物线向右平移3将抛物线4已知抛物线知识导航经典例题1将二次函数2抛物线3将二次函数4先作二次函数1在平面直角坐标系中，抛物线2如图，已知抛物线帝通过数来统治宇宙。

这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别。

他们很重视数学，企图用数来解释一切。

宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。

他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。

这在今天看来很平常的事，但在当时的哲学和实用数学界，这算是一个巨大的进步。

但是，他们同时任意地把非物质的、抽象的数夸大为宇宙的本原，认为'万物皆数'，'数是万物的本质'，是'存在由之构成的原则'，而整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。

毕达哥拉斯将数神秘化，说数是众神之母，是普遍的始原，是自然界中对立性和否定性的原则。

毕达哥拉斯本人以发现勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世。

这定理早已为巴比伦人所知，不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。

他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理（勾股定理）。

任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理。

这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．【毕达哥拉斯定理】毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了'三角形内角之和等于两个直角'的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

【黄金分割】然而，最让毕达哥拉斯学派出名的却是他们中的一个'叛逆者'--希帕索斯，正是他发现了第一个无理数根号2的存在，从而在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

指数与指数函数图像及性质(学生版)

指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。

（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。

(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。

,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。

2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。

(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。

5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。

第七讲函数图像及函数与方程解析版

第七讲：函数图像、函数与方程【考点梳理】 1、函数的图象 (1)平移变换：0,0,||()()a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−→=-向右移个单位向左移个单位 0,0,||()()+b b b b y f x y f x b ><=−−−−−−→=向上移个单位向下移个单位(2)伸缩变换：101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−−−−−→=纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍1,01,()()A A A A y f x y Af x ><<=−−−−−−−−−−−−→=横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍(3)对称变换：()()x y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称()()y y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称()()y f x y f x =←−−−−→=--关于原点对称(4)翻折变换：()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−→=去掉轴左侧图象，保留轴及右侧图象将轴右侧的图象翻折到左边()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴及其上方图象将轴下方的图象翻折到上方去2、函数与方程(1)判断二次函数()f x 在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程()0f x =的判别式0,0,0∆>∆=∆<来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数()f x 在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又()()0f a f b ⋅<，则()y f x =在区间(,)a b 内有唯一零点．【典型题型讲解】考点一：函数的图像【典例例题】例1．（多选题）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,xf x a a ag x a x =->≠=-且的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足；当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足，所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC【方法技巧与总结】1.熟练掌握高中八个基本初等函数的图像的画法2.函数的图像变换：平移，对称、翻折变换【变式训练】1.已知图①中的图象是函数()y f x =的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--【答案】C 【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x =的图象在y 轴右侧的部分，然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的， ∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x =-. 故选：C.2.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-，作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，3.若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】因为函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数.所以01a << .因为函数()log 1a y x =-，定义域为()()11,-∞-+∞，故排除A 、B.当1x >时，函数()()log 1log 1a a y x x =-=-在1,上单调递减.当1x <-时, 函数()()log 1log 1a a y x x =-=--在()1-∞-单调递增. 故选:D.由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.4.函数()ln f x x x =的图象如图所示，则函数()1f x -的图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】将函数()f x 的图象作以y 轴为对称轴的翻折变换，得到函数()f x -的图象，再将图象向右平移一个单位，即可得到函数()()()11f x f x -=--的图象．故选：D ．考点二：求函数的零点或零点所在区间判断【典例例题】例1.已知函数()f x 满足()()1f x f x =--，且0x 是()e x y f x =+的一个零点，则0x -一定是下列函数的零点的是（）A ．()e 1xy f x =-B ．()e 1xy f x =--C ．()1e xy f x =+ D ．()e xy f x =-【答案】A 【详解】因为()()1f x f x =--，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数．由已知可得()00e 0x f x +=，即()00e x f x =-．所以()00e 1x f x -=-，所以()00e 1x f x --=，故0x -一定是()e 1x y f x =-的零点，故A 正确，B错误；又由()00e1x f x --=，得()001e x f x --=，所以()0011120e e e e x x x x f x -----+=+=≠，故C 错误；由()()000000e e e e 0x x x x f x f x -----=--=-≠，故D 错误.故选：A ．例2.函数()e 26xf x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,1【答案】C 【详解】函数()e 26x f x x =+- 是R 上的连续增函数, 2(1)e 40,(2)e 20f f =-<=->,可得(1)(2)0f f <,所以函数()f x 的零点所在的区间是(1,2). 故选：C【方法技巧与总结】求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 【变式训练】1.已知函数()()21,01,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则1()2y f x =-的所有零点之和为（）A B C ．2 D ．0【答案】D 【详解】0x ≥时，由21(1)02x --=得1x =±，0x <时，由1102x +-=得12x =-或32x =-，所以四个零点和为1311022-=．故选：D ．2．已知函数()24x f x x =+-，()e 4x g x x =+-，()ln 4h x x x =+-的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序是（） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】C 【详解】由已知条件得()f x 的零点可以看成2x y =与4y x =-的交点的横坐标，()g x 的零点可以看成e x y =与4y x =-的交点的横坐标，()h x 的零点可以看成ln y x =与4y x =-的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出2x y =，e x y =，ln y x =，4y x =-的函数图象，如下图所示, 可知c a b >>，故选：C .3.（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________．【答案】9【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-，显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称，在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=，所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：94．若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________. 【答案】y x z << 【详解】依题意，0,0,0x y z >>>，223log 3log x x x x ⋅=⇔=，3232y yy y ⋅=⇔=，ln 3z z ⋅=3ln z z⇔=，因此，2log 3x x ⋅=成立的x 值是函数12log y x =与43y x=的图象交点的横坐标1t ， 23y y ⋅=成立的y 值是函数22x y =与43y x=的图象交点的横坐标2t ， ln 3z z ⋅=成立的z 值是函数3ln y x =与43y x=的图象交点的横坐标3t ，在同一坐标系内作出函数1223log ,2,ln xy x y y x ===，43y x=的图象，如图，观察图象得：213t t t <<，即y x z <<，所以x 、y 、z 由小到大的顺序是y x z <<. 故答案为：y x z <<6.函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（） A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】2()log f x x x =+为(0,)+∞上的递增函数，222111112log log 3log 03333332f ⎛⎫=+=-<-< ⎪⎝⎭=-，21111log 02222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()22222251log log 353log 333333f ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭()221log 32log 2703=->()()22222333511log log 354log 3log log 04444443281f ⎛⎫=+=-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，则函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为12,23⎛⎫⎪⎝⎭故选：B考点三：函数零点个数的判断【典例例题】例1.函数()32,03e ,0xx x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩的零点个数为___________. 【答案】2 【详解】当0x ≤时，令320x +=，解得x =0<，此时有1个零点；当0x >时， ()3e x f x x =-+，显然()f x 单调递增，又1215e 0,(1)2e>022f f ⎛⎫=-+<=-+ ⎪⎝⎭，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.故答案为：2.例2.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【详解】∴()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数，故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.2.利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案3.利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。

北师大版八年级数学上册二元一次方程与一次函数课件

二元一次方程组和对应的两条直线的关系
对应的一次函数y=-x+5与方程组
y=2x-1的图知识升华
思考：
解二元一次方程组有什么方法？反过来，求两个一次函数的交点又有什么方法？
小试身手
3、函数 y x 4和y 2x 1图象的交点为(1,3),
x 1
则方程组
x y
y 4的解为
二元一次方程与一次函数
老师的疑惑？
x+y=5这是什么？
二元一次方程
一次函数
（1）初步理解二元一次方程和一次函数的关系; （2）掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系; （3）掌握二元一次方程组的图象解法;
想一想
x y 5 ？ y x 5
二元一次方程
一次函数
思考：是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转换呢？
想一想：３.在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，试一试它的坐标满足方程x+y=5吗？
４.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？为什么？
小试身手
1. 方程x-y=1有一个解为
x=2 则相应
y=1
的一次函数y=x-1的图象上有一点为 (2,1) .
（
）
问题:图象法解方程组有哪些优缺点？
作业布置
1.完成导学案用图像法求二元一次方程组
2x+y=4
的解。
2x-3y=12
2.C组：习题5.7---1,3
B组：习题5.7---2
A组：继续深入研究二元一次方程组与一次函数图像之间的关系（尤其是实际问
题）
x-2y=-2（1）
2x-y=2 （2）

二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)

D．
例1.1.3若是二次函数，则的值是__________．
例1.1.4二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b的值为（）
A．-3
B．-1
C．2
D．5
随练1.1已知函数① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，其中二次函数的个数为（）
随练1.2已知函数，当 _________时，它是二次函数．
4.已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．
一．考点：二次函数解析式的求法．
二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
随练5.1已知一个二次函数过，，三点，求二次函数的解析式．
随练5.2将二次函数化为的形式，结果为（）
A．
B．
C．
D．
随练5.3已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．
随练5.4已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____．
2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点．
一．考点：的图象和性质．
二．重难点：的图象和性质，参数对图像的影响．
三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．
题模一：y=a^2+bx+c的图象和性质
例4.1.1已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）

一元二次函数图像

一元二次函数图像一、一元二次函数型式y ＝ax 2＋bx ＋c 或f (x)＝ax 2＋bx ＋c二、一元二次函数图像画法1、形状：抛物线2、开口：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下3、对称轴：x ＝－ab 2 4、与x 轴的交点：方程的根5、最大最小值：ab ac 424-三、例题1、 y ＝x 2－5x ＋6解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：x 2－5x ＋6＝0 x ＝2或x ＝3最小值：a b ac 424-＝－412、 y ＝x 2＋5x ＋6解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：x 2＋5x ＋6＝0 x ＝－2或x ＝－3 最小值：a b ac 424-＝－413、 y ＝－x 2＋5x －6解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：－x 2＋5x －6＝0 x ＝2或x ＝3最大值：a b ac 424-＝414、 y ＝－x 2－5x －6解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：－x 2－5x －6＝0 x ＝－2或x ＝－3 最大值：a b ac 424-＝415、 y ＝x 2－2x解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝1 方程根：x 2－2x ＝0 x ＝0或x ＝2 最小值：a b ac 424-＝－16、 y ＝－x 2－2x解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝－1 方程根：－x 2－2x ＝0 x ＝0或x ＝－2 最大值：a b ac 424-＝17、 y ＝x 2－2x ＋1解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－ab 2＝1 方程根：x 2－2x ＋1＝0 x ＝1最小值：a b ac 424-＝08、 y ＝－x 2＋2x －1解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－ab 2＝1 方程根：－x 2＋2x －1＝0 x ＝1最大值：ab ac 424-＝09、 y ＝x 2解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝0 方程根：x 2＝0x ＝0最小值：a b ac 424-＝010、 y ＝－x 2解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝0 方程根：－x 2＝0 x ＝0最大值：a b ac 424-＝011、 y ＝x 2＋x ＋1解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝－21 方程根：△＜0，方程无解最小值：a b ac 424-＝4312、 y ＝－x 2＋x －1解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝21 方程根：△＜0，方程无解最大值：a b ac 424-＝－43一元二次函数图像题1、y＝x2－7x＋102、y＝x2＋3x＋23、y＝－x2＋7x－124、y＝－x2－6x－85、y＝x2＋7x6、y＝－x2＋7x7、y＝x2＋4x＋48、y＝－x2＋6x－99、y＝x2＋x＋210、y＝－x2＋2x－4。

368 一次函数的图像及性质【学生版】

一次函数的图像及性质学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲主要学习一次函数的图像与性质，并要学会应用一次函数的图像及性质解决一些问题。

首先复习一下什么是函数及函数的三种表示法。

本次课的重难点点是一次函数图像与性质的应用，初步接触数形结合思想。

在中考中一次函数的图像与性质是必考点，难度中等，急需掌握。

知识梳理1.函数的定义及表示法1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。

例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。

对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是13、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义4. 函数的三种表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

公式法（解析法）：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）公式法（解析法）：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。

二次函数的图像及一元二次方程与二次函数的关系

第十五讲二次函数的图像与性质二次函数 y ax2bx c 图象的画法1、二次函数的表示方法：1.一般式： y ax2bx c 〔 a ，b， c 为常数，a0 〕；2.顶点式： y a( x h )2k 〔 a ， h ， k 为常数，a0 〕；五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式 y a(x h)2k ，y ax2bx c= a(x2b ca x2b b2(b2ca( xb24ac b2 x)x( ))a)4aa a a2a2a2a由此可见函数 y ax 2bx c 的图像与函数y ax 2的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。

2、二次函数y ax2bx c 的图像特征〔1〕二次函数y ax 2bx c ( a≠0)的图象是一条抛物线；3、二次函数 y ax2bx c 的性质1. 当a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b 2．2a2a4a 当 x b时， y 随x的增大而减小；2a当 x b时， y 随x的增大而增大；2a当 x b时， y 有最小值4acb2．2a4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．2a2a4a 当 x b时， y 随x的增大而增大；2a当 x b时， y 随x的增大而减小；2ab时， y 有最大值4ac2当 x b．2a4a3.常数项 c⑴当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；y 轴交点的纵坐标为负．⑶当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．例1 函数 y= x2 -2x -3 ,〔1〕把它写成y a(x m) 2k 的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的（2〕写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；（3〕求出图象与坐标轴的交点坐标；（4〕画出函数图象的草图；( 5 ) 设图像交x 轴于 A、 B 两点，交y 轴于 P 点，求△ APB 的面积；〔6〕根据图象草图，说出x 取哪些值时，①y=0;②y<0;③y>0.例 2、求抛物线y 1 x23x5的对称轴和顶点坐标。

二次函数及其图像和性质(学生版)

【知识梳理】二次函数1、二次函数的定义：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a,b,c 为常数，且a ≠0）的函数称为二次函数。

它的图像与性质是初中数学中的重要内容之一。

2、二次函数的对称轴及顶点坐标：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图像是抛物线，对称轴是直线x=—ab2，顶点坐标是（—a b 2，ab ac 442-）.①a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧，y随x 的增大而增大。

当x=—a b 2时，y 值最小，最小值为ab ac 442-。

②a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y随x 的增大而减小。

当x=—a b 2时，y 值最大，最大值为ab ac 442-。

3、二次函数的顶点式：二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)是一种重要的形式之一。

它的对称轴是直线x=h ，顶点坐标为（h ，k ）。

4、二次函数中a,b,c 的取值与函数图象的位置：（1）a ：确定二次函数的开口方向；（2）b ：在a 确定的前提下，b 的值确定—ab2的值大于、等于或小于0，从而确定函数图象的对称轴在y 轴的右边、y 轴还是y 轴的左边；（3）c ：二次函数的图像与y 轴的交点坐标是（0，c ），c 的值确定函数图像与y 轴的交点在x 轴的上方、原点教师姓名学科数学上课时间讲义序号(同一学生)学生姓名年级组长签字日期课题名称二次函数及其图像和性质还是在x轴的下方。

5、二次函数解析式的确定：①一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标。

根据条件，灵活选用上述各种不同的形式会给计算带来方便。

6、抛物线的平移与对称变换：（1）平移变换：①上、下平移：首先要化为顶点式y=a(x-h)2+k，不改变a的值，不改变h的值，然后向上为“+”，向下为“—”。

三角函数的图像与性质(学生版)

一部分，则 f(π2)＝________.
15．(精选考题·江苏)设定义在区间0，π2 上的函数 y＝6cosx 的图象与 y＝5tanx 的图象交于点 P，过点
P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1 与函数 y＝sinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为________．
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时，求 x0 的值．
17．求当函数 y＝sin2x＋acosx－12a－32的最大值为 1 时 a 的值．分析：先通过变形化为关于 cosx 的二次函数，配方后，根据函数式的特点，对 a 进行分类讨论．
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题型九：三角函数的图像变换
三角函数的图像与性质(学生版）
例 9：试述如何由 y= 1 sin（2x+ π ）的图象得到 y=sinx 的图象
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变试题：（1）指出将 y sin x 的图象变换为 y 1 cos(2x ) 1的图象的变换过程；
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（2）指出将 y sin x 的图象变换为 y 3sin(2x ) 1的图象的变换过程． 6
三角函数的图像与性质(学生版）
三、解答题 15．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知 3 月份达到最高价 8 千元，7 月份价格最低为 4 千元，该商品每件的售价为 g(x)(x 为月份)，且满足 g(x)＝f(x－2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式；(2)问哪几个月能盈利？
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图；
法二：图像变换法
先将 y＝sinx 的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(ω＞0)，最后将图