根轨迹法的基本概念
合集下载
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
4-1 根轨迹法基本概念
4.4.2 根轨迹与系统性能 1.稳定性 稳定性 当开环增益K从 变化 当开环增益 从0变化 到无穷时，根轨迹均在s 到无穷时，根轨迹均在 左半平面变化， 左半平面变化，不会进入 s右半平面，因此，对任 右半平面， 右半平面 因此， 均稳定。 意K值，系统均稳定。 值 2.稳态性能 稳态性能 因为开 因为开环系统只有一个 极点位于原点， 极点位于原点，所以系统 型系统， 为I型系统，其静态速度 型系统 误差系数为K。 误差系数为 。
i =1 1 j =1
比较开环传递函数与闭环传递函数可得： 环传递函数与闭环传递函数可得 比较开环传递函数与闭环传递函数可得： (1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通 闭环系统根轨迹增益， 闭环系统根轨迹增益 道根轨迹增益 道根轨迹增益。 对单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于 对单位反馈系统 闭环系统根轨迹增益等于 开环系统根轨迹增益 开环系统根轨迹增益。 (2)闭环零点由开环传递函数中前向通道传递函 闭环零点由开环传递函数中前向通道传递函 闭环零点由开环 数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。 数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。 对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 (3)闭环极点与开环零、极点及开环系统根轨迹 闭环极点与开环零、极点及开环系统根轨迹 闭环极点与开环零 增益K*有关 有关。 增益 有关。
第4章 线性系统根轨迹法 章
平顶山学院计算机科学与技术学院
根轨迹法是一种图解方法， 根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制 理论中对系统进行分析和综合的基本方法之 一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方 程的根（即系统的闭环极点） 平面上的分 程的根（即系统的闭环极点）在s平面上的分 因此， 布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十 分方便， 分方便，特别是对于高阶系统和多回路系 应用根轨迹法比用其他方法更为方便， 统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便， 因此在工程实践中获得了广泛应用 中获得了广泛应用。 因此在工程实践中获得了广泛应用。本章主 要介绍根轨迹的概念， 要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规 则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法 能的方法。 则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法。
自动控制第五章根轨迹法
15
绘制根轨迹的规则
【例5-2】已知负反馈系统的开环传递函数为：
解：(1)根轨迹的分支数和对称性 开环极点分别为： 系统的根轨迹有三条分支 (2)根轨迹的起点与终点 起始于系统的三个开环极点，并趋向于无穷远处
K1 Kb
j Kc
K1
(3)根轨迹的渐近线
Kc K1
16
绘制根轨迹的规则
闭环特征根s1，s2 随着K1值得 改变而变化。
(1) K1= 0：s1 = 0，s2 = 2，是根轨迹的起点，用“”表示。 j K1 (2) 0 < K1<1 ：s1 ，s2 均是负实数。 K1 s1 ，s2 。 s1从坐标原点开 始沿负实轴向左移动； s2从（2， K1= 0 K1= 0 K1=1 j0）点开始沿负实轴向右移动。 1 0 2 (3) K1= 1： s1 = s2 = 1，重根。
+
﹣
K s(0.5s+1)
C(s)
式中，K为系统的开环比例系数。 K1 = 2K 称为系统的开环 根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
K1 ( s) 2 s 2s K1
系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + 2K1 = 0
4
一、根轨迹
用解析法求得系统的两个闭环特征根为：
s1,2 1 1 K1
K1
分离角为：
Kb
Kc K1
17
绘制根轨迹的规则
一般情况下，如果根轨迹位于实轴上相邻的开环极点之间， 则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根 轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可在 无穷远处），则这两个零点之间至少存在一个汇合点。
根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
根轨迹的基本概念
j 1 j i 1 i
m
n
上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。
当根轨迹增益kg<0时：
根轨迹方程可写为：
| kg | s z j
j 1
m
s p
i 1
m j 1
n
e
n m j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
的旁边。
根轨迹的两种类型：
180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0)
的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的 点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨
称 Gk (s) 1 或 k ×
g
(s z ) (s p )
j1
j
m
i1 n
i
1
为负反馈系统根轨迹方程
4.1.2
根轨迹的幅值和相角条件
当根轨迹增益kg>=0时： 根轨迹方程可写为：kg s Nhomakorabea z j
j 1
m
kg
1
(s z )
i
m
s p
i 1
不满足相角条件，所以点B不是根轨迹上 的点。
Im
B A
A2
p2
s2
s
A1
p1
Re
利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg
上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：
kg s( s 2) s 1 j1
1 ， kg 2
m
n
上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。
当根轨迹增益kg<0时：
根轨迹方程可写为：
| kg | s z j
j 1
m
s p
i 1
m j 1
n
e
n m j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
的旁边。
根轨迹的两种类型：
180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0)
的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的 点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨
称 Gk (s) 1 或 k ×
g
(s z ) (s p )
j1
j
m
i1 n
i
1
为负反馈系统根轨迹方程
4.1.2
根轨迹的幅值和相角条件
当根轨迹增益kg>=0时： 根轨迹方程可写为：kg s Nhomakorabea z j
j 1
m
kg
1
(s z )
i
m
s p
i 1
不满足相角条件，所以点B不是根轨迹上 的点。
Im
B A
A2
p2
s2
s
A1
p1
Re
利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg
上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：
kg s( s 2) s 1 j1
1 ， kg 2
根轨迹法基本概念
KG0 (s)
则闭环特征方程为:
1 K num 0 den
特征方程旳根随参数K旳变化而变化,即为闭环根轨迹.
项目1:已知系统旳开环传递函数模型为：
K Gk (s) s(s 1)(s 2) KG0(G)
利用下面旳ＭＡＴＬＡＢ命令可轻易地绘制出系统旳根轨迹 >>G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
引言
A.闭环系统旳稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程旳根。
B.当待定参数变化时特征根随之变 化，这个根旳变化轨迹就形成根轨迹。
C.用来研究根轨迹旳变化规律以及 和闭环系统性能间旳关系旳措施，称为 控制系统根轨迹分析法。
§4.2 根轨迹旳概念
要求： 1)掌握根轨迹旳概念 2)掌握根轨迹幅值条件和相角条件
2)相角条件是决定根轨迹旳充要条件， s平面上一点若满足相角条件,即为根轨迹 上旳一点。
3)幅值方程用于拟定根轨迹上一点旳K值;
根轨迹点
幅值方程
四. 根轨迹与系统性能
1.稳定性 假如系统特征方程旳根都位于S平面 旳左半部，系统是稳定旳，不然是不稳定旳。若
根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交
另一种问题是，经过解方程求得旳闭环 极点，是在系统参数一定旳情况下求得旳。 但当系统中旳参数变化时，如开环增益K变化 时，又得重新解方程求根，因而很不以便。
为了处理以上问题，1948年，伊万斯提 出了控制系统分析设计旳根轨迹法。
这种措施是根据反馈控制系统旳开环、闭 环极点传递函数之间旳关系，根据一定旳准 则，直接由开环传递函数旳零、极点，求出 闭环极点。从而，比较轻易旳得到系统旳性能.
要点： 1)根轨迹旳概念 2)闭环系统旳特征根旳根轨迹与开环 传递函数旳关系
根轨迹法根轨迹法
看出：模值方程与K*有关，而相角方程 与K*无关。因此，相角方程是决定闭环 根轨迹的充分必要条件，而模值方程是 用来确定根轨迹上各点对应的K*值。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.2 绘制根轨迹图的基本法则 法则1 根轨迹的分支数：
n 阶系统根轨迹有 n 条分支。
法则2 根轨迹的对称性： 根轨迹是关于实轴对称的。
K
j
K=2.5
2
K=1
1
K=0
K=0.5 K=0
-2 -1
K=1
-1
K=2.5
-2
K
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
二、根轨迹与系统的性能
稳 定 性 ： 只 要 K>0， 则根轨迹在s平面的左
K
j
K=2.5
2
半平面，因此，系统 是稳定的。
K=1
1
稳态性能：有一个开
K=0
K=0.5 K=0
法则3 根轨迹的起点、终点： 根轨迹起于开环极点 pi， 终止于开环零点 zj (m条)， 或趋于无穷
远点(n-m条)。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
j1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
i 1
令K* =0，得
m
j1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
根轨迹法
解 由已知：
N (s) s z1 D(s) (s p1)(s p2 )
N(s) 1
D(s) (2s p1 p2 )
东北大学《自动控制原理》课程组
27
4.2 根轨迹的绘制法则
代入分离点和会合点方程，有
D '(s)N(s) N '(s)D(s) (2s p1 p2 )(s z1) (s p1)(s p2 ) 0
东北大学《自动控制原理》课程组
24
4.2 根轨迹的绘制法则
如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹， 则在此区间上必有分离点。
如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹， 则在此区间上必有会合点。
东北大学《自动控制原理》课程组
25
4.2 根轨迹的绘制法则
WK
(s)
s(s
Kg 1)( s
4)
D(s) s(s 1)(s 4); N(s) 1 D(s) 3s2 10s 4; N(s) 0 D(s)N (s) D(s)N(s) 0
n
m
k
j 1
pj
i 1
nm
zi
1 40 30
5 3
东北大学《自动控制原理》课程组
35
4.2 根轨迹的绘制法则
7． 根轨迹的出射角和入射角
▪ 出射角 sc：根轨迹离开S平面上开环极点处的切 线与实轴的夹角。
▪ 入射角sr：根轨迹进入S平面上开环零点处的切 线与实轴的夹角。
东北大学《自动控制原理》课程组
19
4.2 根轨迹的绘制法则
证明：设 N z为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目， N p为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，
由辐角条件
m
n
i j Nz N p (1 2)
根轨迹法PPT课件
定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法
n
m n 长除 s pi z j s nm1 K j 1 渐近线与实轴的交点 i 1 nm
K*≦时，s≦，取前两项
改写为模和相角的形式
n m
s
nm
p z 两边开（n－m）次方
a＝
i 1 i
k 1)180 (2 j 1 p a z K e n＝m s n m 1＋
四个开环极点： 一个开环零点:
p1 0, p2 1 j, p3 1 j, p4 4
z 1
n-m=4-1=3
渐近线与实轴交点：
(0) (1 j ) (1 j ) (4) (1) 5 i 1 j 1 a＝ nm 4 1 3 渐近线与实轴正方向的夹角：
法则1 根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；若开环零点数 少于开环极点个数，则有 n-mn条根轨迹终止于无穷远处。 m 根轨迹方程
K
起点:K*=0
n
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 n j
m
( s pi ) K (s z j ) 0
z
i 1 n j 1
m
i
p
j
4.3 绘制根轨迹的基本法则
1、根轨迹的起点和终点 2、根轨迹的分支数、连续性和对称性 3、实轴上的根轨迹 4、根轨迹的渐近线 5、根轨迹的分离点 6、根轨迹的起始角和终止角 7、根轨迹与虚轴的交点 8、闭环特征方程根之和与根之积
4.3.1绘制根轨迹的基本法则
s
1 nm
j (2 k 1) nm
பைடு நூலகம்
m n 长除 s pi z j s nm1 K j 1 渐近线与实轴的交点 i 1 nm
K*≦时，s≦，取前两项
改写为模和相角的形式
n m
s
nm
p z 两边开（n－m）次方
a＝
i 1 i
k 1)180 (2 j 1 p a z K e n＝m s n m 1＋
四个开环极点： 一个开环零点:
p1 0, p2 1 j, p3 1 j, p4 4
z 1
n-m=4-1=3
渐近线与实轴交点：
(0) (1 j ) (1 j ) (4) (1) 5 i 1 j 1 a＝ nm 4 1 3 渐近线与实轴正方向的夹角：
法则1 根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；若开环零点数 少于开环极点个数，则有 n-mn条根轨迹终止于无穷远处。 m 根轨迹方程
K
起点:K*=0
n
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 n j
m
( s pi ) K (s z j ) 0
z
i 1 n j 1
m
i
p
j
4.3 绘制根轨迹的基本法则
1、根轨迹的起点和终点 2、根轨迹的分支数、连续性和对称性 3、实轴上的根轨迹 4、根轨迹的渐近线 5、根轨迹的分离点 6、根轨迹的起始角和终止角 7、根轨迹与虚轴的交点 8、闭环特征方程根之和与根之积
4.3.1绘制根轨迹的基本法则
s
1 nm
j (2 k 1) nm
பைடு நூலகம்
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
第4章 根轨迹法
j 1 i 1 n
(2k 1)180 (2k 1)
k 0, 1, 2,
zj
4.2 绘制根轨迹的基本规则
1.根轨迹的对称性
根轨迹关于实轴对称。因为系统的闭环极 点为实根或复根，复根共轭成对出现且关于 实轴对称，因此系统的根轨迹关于实轴对称。
2.根轨迹的条数（分支数）
zj
[例4-3]
已知单位负反馈系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s ( s 2)( s 4)
试概略绘制该系统的根轨迹。
[解] 根据开环传递函数可知，无系统的开环
零点，则m=0；开环极点有3个，即n=3，分别 为 p1 0 、p2 2 和 p3 4 。将开环极点 用“×”在复平面上标出，如图4-4所示。根据 根轨迹绘制规则确定其根轨迹。
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) 180 90 90 180
1
zp j
l
[例4-4] [解]
p p 180
2 1
jω
×j 2
-2
-1
0 0
σ
j2 ×
图4-5 例4-4系统的根轨迹
4.4 本章小结
第4 章
根轨迹法
根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本规则 参量根轨迹的绘制 本章小结
4.1 根轨迹法的基本概念
1948年，伊凡斯（W.R.Evans）提出 了一种简便的求解闭环极点的图解方 法—根轨迹法。
4.1.1 根轨迹
根轨迹定义
根轨迹与系统性能的关系
根轨迹定义
根轨迹：当控制系统的开环传递函数的某个 参数从零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上 的变化轨迹称之为根轨迹。 根轨迹法：利用根轨迹进行线性控制系统分 析和设计的方法称为根轨迹法。 [例4-1]单位负反馈控制系统如图4-1所示， 试分析参数K变化对系统性能的影响
(2k 1)180 (2k 1)
k 0, 1, 2,
zj
4.2 绘制根轨迹的基本规则
1.根轨迹的对称性
根轨迹关于实轴对称。因为系统的闭环极 点为实根或复根，复根共轭成对出现且关于 实轴对称，因此系统的根轨迹关于实轴对称。
2.根轨迹的条数（分支数）
zj
[例4-3]
已知单位负反馈系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s ( s 2)( s 4)
试概略绘制该系统的根轨迹。
[解] 根据开环传递函数可知，无系统的开环
零点，则m=0；开环极点有3个，即n=3，分别 为 p1 0 、p2 2 和 p3 4 。将开环极点 用“×”在复平面上标出，如图4-4所示。根据 根轨迹绘制规则确定其根轨迹。
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) 180 90 90 180
1
zp j
l
[例4-4] [解]
p p 180
2 1
jω
×j 2
-2
-1
0 0
σ
j2 ×
图4-5 例4-4系统的根轨迹
4.4 本章小结
第4 章
根轨迹法
根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本规则 参量根轨迹的绘制 本章小结
4.1 根轨迹法的基本概念
1948年，伊凡斯（W.R.Evans）提出 了一种简便的求解闭环极点的图解方 法—根轨迹法。
4.1.1 根轨迹
根轨迹定义
根轨迹与系统性能的关系
根轨迹定义
根轨迹：当控制系统的开环传递函数的某个 参数从零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上 的变化轨迹称之为根轨迹。 根轨迹法：利用根轨迹进行线性控制系统分 析和设计的方法称为根轨迹法。 [例4-1]单位负反馈控制系统如图4-1所示， 试分析参数K变化对系统性能的影响
第四章 根轨迹法
m
(s p )
i i 1
n
1
K*从0 到无穷大变化
由于s为复数，所以根轨迹方程的另一种表示方法:
模值方程：
K
*
sz
i 1 i
m
i
s p
i 1
n
1
相角方程:
(s z ) (s p ) (2k 1) , k 0,1,2
i 1 i i 1 i
m
n
绘制根轨迹利用相角方程，求根轨迹上某 点对应的K*值则用模值方程。
4-2 常规根轨迹的绘制法则
一、绘制根轨迹的基本法则
1.根轨迹的起点与终点 K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点， K* =∞时对应的根轨迹点称根轨迹的终点
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开 环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根 轨迹终于无穷远处（无限零点）。
s 4s 4 K 0
2
s2 2 2 1 - K
由 s1 2 2 1 K s2 2 2 1 - K 可得闭环极点的变化情况：
K=0 0 < K <1 K=1 K=2 1<K<∞ K= ∞ s1=0 s2=-4 s1 s2为不等的负实根 s1=-2 s2=-2 s1=-2+2j s2=-2-2j s1 s2 实部均为-2 s1=-2+j ∞ s2=-2-j ∞
K=0 0 < K <1 K=1 1<K<∞
s1=0 s2=-4 s1 s2为不等的负实根 s1=-2 s2=-2 s1 s2 实部均为-2
由根轨迹可知： 1）当K=0时,s1=0,s2=-1,这两点恰是开环传递 函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点. 2）当0<K< 1 时,s1,2都是负实根,随着k的增 长,s1从s平面的原点向左移,s2从-1点向右移。 3) 当K= 1时, s1,2 = -2,两根重合在一起, 此时系统恰好处在临界阻尼状态。 4) 1 <K<∞,s1,2为共轭复根,它们的实部恒等于2，虚部随着K的增大而增大,系统此时为欠阻 尼状态。
根轨迹法
(S ) n i1
j 1 m
;m f l,n q h
(s pi ) K * (s z j )
i 1
j 1
1）闭环系统根轨迹增益＝开环系统前向通路根轨迹增益
2）闭环零点＝开环前向通路传递函数的零点 和反馈通路传递函数的极点组成
3）闭环极点与开环零点、开环极点和根轨迹增益都有关。
根轨迹法的基本任务：如何由已知的开环零极点分 布和根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。
特征根为： s1,2 1 1 2K 1 1 K*
6
自动控制理论
根轨迹法
K＝0
全部闭环极点，标注在S 平面上，连成光滑的曲线
根轨迹
[讨论]：
特征根为： s1,2 1 1 2K 1 1 K*
(约定):在根轨迹图中，用╳表示开环极点，用 表示开环零点(有限值)。粗线表示根轨迹，箭 头表示某一参数增加的方向。
K*
10
自动控制理论
根轨迹法
2 根轨迹与系统性能
1、稳定性：
K *＝0
根轨迹不会进入S 平面的右半平面
该系统对于所有的K都稳定
2、稳态性能：
G(s)
K s(0.5s
1)
K* s(s 2)
原点处有一个极点
Ⅰ型系统
系统的稳态误差:由开环一个极点为0可知,系统为Ⅰ型,相
应地,有
Kv K 1 K*
4
自动控制理论
根轨迹法
根轨迹法的优点：
1： 从已知的开环零、极点的位置及某一变化参数 来求取闭环极点的分布，即解决闭环特征式的求根 问题。
2： 系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定，而系 统的稳态性能和动态性能与闭环零、极点在S平面 的位置密切相关。根轨迹图不仅可以直接给出闭环 系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零极 点应该怎样变化才能满足给定闭环系统的性能指标 要求。
第四章 根轨迹法
2 当 K1 a 时，则两根为实数且相等，即
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a
根轨迹法的定义
根轨迹法的定义
根轨迹法是一种数学方法，用于求解线性微分方程组的解。
它以偏微分方程的根作为曲线的轨迹，通过曲线的轨迹，求解偏微分方程的解。
它是一种精简的方法，可以求解复杂的线性微分方程组。
根轨迹法的基本思想是，将偏微分方程的根作为变量的变化趋势，由根轨迹求出未知变量的函数表达式。
具体来说，可以将偏微分方程组的根分成m段，每段用一个参数来描述，每段的参数值由第一段的终点函数值决定，结合根的连续性，可以求出任意段的根轨迹。
根轨迹法具有计算方便、精确性高、数值解不易出现振荡等优点，是解决线性微分方程组的有效方法。
根 轨迹法
第三章
(五) 《礼记》中说：“入境而问禁，入国而问
俗，入门而问讳。”俗话说“十里不同风、 百里不同俗”“到什么山唱什么歌”，这 些对劳动人民有益的格言都说明尊重各地 不同风俗与禁忌的重要性。尊重习俗原则
上一页 下一页 返回
第三章
1. 仪表是指人的容貌，是一个人精神面貌的
外观体现。一个人的卫生习惯、服饰与形 成和保持端庄、大方的仪表有着密切的关 系。清洁卫生是仪容美的关键，是礼仪的
上一页 下一页 返回
第三章
3. 放松。女性应两膝并拢；男性膝部可分开 一些，但不要过大，一般不超过肩宽。双 手自然放在膝盖上或椅子扶手上。在正式 场合，入座时要轻柔和缓，起座要端庄稳 重，如古人所言的“坐如钟”。若坚持这 一点，那么不管怎样变换身体的姿态，都 会优美、自然。不可随意拖拉椅凳，从椅 子的左侧入座，沉着安静地坐下。女士着
角均等于π。 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点
当K*由零至无穷大变化过程中，几条根轨迹在s平面某一点 相遇后立即分开，这一点称为分离点。最常见的分离点出现在 实轴上，实轴上的分离点有两种情况：i)实轴上的根轨迹相向 运动，在某一点相遇后进入复数平面，如图4-7的A点；ⅱ)复数 平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴上相遇，然后趋向实轴上
上一页 下一页 返回
第三章
2. 服饰是一种文化，反映一个民族的文化素
养、精神面貌和物质文明发展的程度；着 装是一门艺术，能体现个人良好的精神面 貌、文化修养和审美情趣。既要自然得体， 协调大方，又要遵守某种约定俗成的规范 或原则。不但要与自己的具体条件相适应， 还必须时刻注意客观环境和场合上一，页与下时一页间、返回
上一页 返回
§4-3 根轨及草图绘制举例
例4-7 若开环系统传递函数为
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(s z )
i 1 i
m
n m d ln ( s p j ) d ln ( s zi ) j 1 i 1 ds ds
j 1
n
d ln(s p j ) ds
n
i 1
m
d ln(s zi ) ds
m 1 1 s p j 1 i 1 s zi j
2 10Biblioteka 6、根轨迹的起始角和终止角： 根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处 切线与正实轴的夹角：
p1 (2k 1) ( p1 zi ) ( p1 p j )
证明：
m n
F ( s) K
*
(s z ) (s p ) 0
i 1 i j 1 j
n dF ( s) d * m K ( s zi ) ( s p j ) 0 ds ds i 1 j 1
(s p ) K (s z )
1 0 若无开环零点，则： i 1 d zi
m
注意：
一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这
两相邻极点之间必有分离点；
如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）
之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。
如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们
之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会 合点。
（3）由于K*连续变化，故根轨迹具有连续性。
3、根轨迹的渐近线： n-m条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处，渐近线与实轴交 点和夹角为：
n m pi z j j 1 a i 1 nm (2k 1) a nm
4、实轴上的根轨迹
实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总 和为奇数，该区域为根轨迹。
渐近线与实轴夹角为： 渐近线与实轴交点为：
j = (2k + 1)p p 3p , k = 0,1j 1 = , j 2 = 3- 1 2 2
0- 2- 3+ 1 =- 2 3- 1
s =
4、求分离点：
1 1 1 1 = + + d+1 d d+ 2 d+ 3 d = - 2.47
j
2.47
3
1 2 3 [1 2 3 4 5 ]
0 3600 [1800 3600 0 0] 1800
5、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上相遇后又分开的点称为分离点或会 合点。
n 1 1 分离点坐标d的求解： d z i 1 j 1 d p j i m
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本法则
4-3 广义根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
根轨迹是开环系统的某一参数从零变化到无穷时， 闭环系统特征方程式的根在S平面上变化的轨迹。
举例：
R( s )
-
K s (0.5s 1)
C (s)
( s )
K
*
s pn s zm
起点：
终点：
K * 0 s pi
i 1, 2,
K * s zi
n m0
j 1, 2,
m
K
*
lim
s
s p1 s z1
s pn s zm
lim s
s
nm
2、根轨迹的分支数及对称性和连续性 （1）根轨迹分支数＝特征根个数。 （2）由于闭环特征根是实根或共轭复根，故根轨迹对 称于实轴。
二、根轨迹方程
1 G( s)H ( s) 0
G( s ) H ( s ) K
*
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
K*
( s zi ) (s p )
j 1 j
m i 1
m
i 1 n
1
模值条件： ( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1)
特征方程的根 性、系统性能）
运动模态
系统动态响应（稳定
因此利用根轨迹，可以分析系统稳定性、稳态性能和动态性 能。 （1）稳定性：根轨迹都在S左半平面，闭环系统稳定。
2 （2）稳态性能：ess * K
（3）动态性能：0<K*<1，两个不等负实根，过阻尼系统； K*＝1，两个相等负实根，临界阻尼系统； K*>1，一对共轭复根，欠阻尼系统；
* j 1 j i 1 i m d n * d (s p j ) K (s zi ) ds j 1 ds i 1
n
m
(1) (2)
(2) (1)
d n (s p j ) ds j 1
(s p )
j 1 j
n
d m ( s zi ) ds i 1
K* s 2 2s K *
s1,2 1 1 K *
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K * 0, s1 0, s2 2 K * 1, s1 1, s2 1 K * 5, s1 1 2 j , s2 1 2 j K * 2, s1 1 j , s2 1 j
j 1
n
相角条件： K
*
s p sz
i 1 j 1 m
n
j
i
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º 根轨迹。
4-2
绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
s p1 s z1
n
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
G( s) H (s) = 例题：单位反馈系统的开环传递函数为：
K *( s + 1) s( s + 2)( s + 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。 2、实轴上根轨迹为[-3,-2]，[-1，0] 3、求渐近线：