直角三角形的判定
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定性质：(1)直角三角形的两个锐角互余。
(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
判定：(1)有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
(2)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(“斜边、直角边”或“HL”)基础题1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为( )A．35°B．55°C．56°D．65°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．104．如图，数轴上点A表示的实数是．5．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 7．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是( )A．5，12，13 .B．3，5，27C．6，9，14 . D．4，10，138．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝4，BC＝3，CD＝12 5.(1)求AD的长；(2)求证：△ABC是直角三角形．9.已知CD是△ABC的边AB上的高．若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．10．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC ＝BC＝3，则B′C的长为( )A．3 3 B．6 C．3 2 D.2112．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)13．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？。
直角三角形性质和判定-勾股定理
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勾股定理的应用
• 勾股定理的应用：勾股定理在几何勾 股定理计算两点之间的距离；在建筑学中，可以利用勾股定 理进行结构设计；在气象学中，可以利用勾股定理计算风速 和风力等级等。
03 直角三角形的判定
判定方法一：角判定法
总结词
通过一个直角来判断是否为直角三角 形
详细描述
如果一个三角形中有一个角为90度， 则该三角形是直角三角形。
判定方法二：边判定法
总结词
通过两条边的平方和等于第三边的平方来判断是否为直角三 角形
详细描述
如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角 形是直角三角形。
判定方法三：综合判定法
总结词
结合角和边来判断是否为直角三角形
01
02
03
勾股定理
直角三角形的两条直角边 的平方和等于斜边的平方， 即$a^2 + b^2 = c^2$。
毕达哥拉斯定理
直角三角形的斜边平方等 于两直角边的平方和，即 $c^2 = a^2 + b^2$。
锐角三角形性质
在锐角三角形中，任意一 边都小于其他两边之和， 即$a < b + c$，$b < a + c$，$c < a + b$。
逆定理的证明方法
01
02
03
04
勾股定理的逆定理可以通过勾 股定理的证明过程进行推导。
首先，根据勾股定理，直角三 角形的斜边平方等于两直角边
的平方和。
然后，假设三角形ABC的三边 满足a²+b²=c²，其中c是AB的
长度，即斜边的长度。
最后，根据三角形的性质，如 果一个三角形的三边满足勾股 定理，则这个三角形是直角三
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
直角三角形的判定和性质
等腰直角三角形的面积可以通 过其直角边计算，面积=1/2 * a * a = 1/2 * a^2。
30°-60°-90°的直角三角形
30°-60°-90°的直角三角形是具有30°和60°锐角的直角三角形，其中30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即c=2a，其中c为斜边，a为30°角所 对的直角边。
直角三角形中的三个角满足三角形内角和定理，即三角形的 三个内角之和等于180度。
直角三角形中的边长关系
直角三角形中，斜边是直角边中最长的一边，且斜边上的 中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即勾 股定理。
直角三角形的中线性质
直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。 直角三角形的中线性质还包括，中线与直角相对的边平行且等于该边的一半。
04
直角三角形的应用
在几何图形中的应用
01
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，在几何学中广泛应用于解决与
直角三角形相关的问题。
02
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两腰相等，且一个角为90
度。在几何图形中，等腰直角三角形
直角三角形的判定和性质
目 录
• 直角三角形的定义 • 直角三角形的判定 • 直角三角形的性质 • 直角三角形的应用 • 直角三角形的特殊情况
01
直角三角形的定义
定义
01
直角三角形是有一个角为90度的 三角形。
02
在直角三角形中，斜边是最长的 一边，两个锐角的角度之和为90 度。
直角三角形的表示方法
运动学
在描述物体的运动轨迹时，我们经常需要使用直角三角形来计算角度、速度和加速度等物 理量。例如，在抛体运动中，我们可以使用直角三角形来计算物体的射程和仰角。
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定直角三角形是初中数学中常见的一个概念，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我们将探讨直角三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为直角三角形。
首先，让我们来了解直角三角形的定义。
直角三角形是指一个三角形中，其中一个角为90度的三角形。
这个角称为直角，通常用一个小方块来表示。
直角三角形有一个重要的性质，即勾股定理。
勾股定理是直角三角形的基本定理之一，它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方和。
这个定理可以用一个简单的公式来表示：c² = a²+ b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示直角边的长度。
利用勾股定理，我们可以判定一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三条边满足勾股定理，那么它就是一个直角三角形。
例如，如果一个三角形的边长分别为3、4和5，那么它就是一个直角三角形，因为3² + 4² = 5²。
除了勾股定理外，直角三角形还有一些其他的性质。
首先，直角三角形的两条直角边是相互垂直的。
这意味着，如果一个三角形的两条边互相垂直，那么它就是一个直角三角形。
这个性质可以用来判定一个三角形是否为直角三角形，而不需要使用勾股定理。
例如，如果一个三角形的两条边的斜率的乘积为-1，那么它就是一个直角三角形。
另外，直角三角形的两条直角边的长度也具有一定的关系。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，如果我们已知一个直角三角形的斜边和其中一条直角边的长度，我们可以通过勾股定理计算出另一条直角边的长度。
在实际应用中，直角三角形的性质和判定方法经常被用于测量和计算。
例如，我们可以利用直角三角形的性质来测量一个高楼的高度。
通过在地面上测量一个直角三角形的一条直角边和斜边的长度，再利用勾股定理计算出高楼的高度。
此外，直角三角形的性质还被广泛应用于建筑、航海、导航等领域。
例如，在建筑设计中，我们可以利用直角三角形的性质来确定房屋的角度和尺寸。
直角三角形的判定
猜想：大边所对的角是什么角？
问：三边之间有什么关系？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 。
反过来
逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满 足 a2
+
2 b
=
2 c ，那么这个三角形是直
角三角形。
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
0 是 ∠ A=90 ____ _____ ;
不是 ____
_____ ;
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a=9 b=40 c=41
0 ∠ B=90 ____ _____ ; 是 0 ∠ C=90 是 _____ _____ ;
• 例２已知:在△ ABC中, AB=３cm，AC=４cm， BC=5cm，AD是BC边上的高。求: AD的长。
4, 三角形三边长a、b、c满足条件 (a b) c 2ab, 则此三角形是(
2 2
)
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等边三角形
中考链接
已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
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回顾
直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角的和为90°(互余 )； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方 ； 反之,一个三角形满足什么条件， 才能是直角三角形呢?
思考:
一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形?
直角三角形的全等判定
N
B
已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON.
求证:∠AOP=∠BOP.
已知△ABC ，请找出一点P，使它到三边的距离 都相等（只要求作出图形，并保留作图痕迹）.
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。 A
B
C
议一议
蓄势待发
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要增加一个什么条件?把它们分别写出来. 增加AC=BD; C D 增加BC=AD; 增加∠ABC=∠BAD ; B A 增加∠CAB=∠DBA ;
请将证明过程规范化书写出来.
学以致用
1. 如图，两根长度为12米的绳子，一端 系在旗杆上，另一端分别固定在地面两 个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离 相等吗？请说明你的理由。 解：BD=CD ∵ ∠ADB=∠ADC=90°
∵AB=AC（已知） AD=AD（公共边）
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) ∴BD=CD
填一填
忆一忆
相等 ，对 1、全等三角形的对应边 ---------, 相等 应角----------2、判定三角形全等的方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS
3、认识直角三角形 Rt△ABC 直角三角形的两个 锐角互余。
A
直 角 边 斜边角三角形， 工作人员想知道两个直角三角形是否 全等，但每个三角形都有一条直角边 被花盆遮住,无法测量。 (1) 你能帮他想个办法吗？
B’
如图在Δ ABC和Δ A’B’C’中， ∠ C= ∠ C’=RT ∠
AB=A’B’，AC=A’C’ 说明Δ ABC和Δ A’B’C’ 全等的由。 分析：AC=A’C’，无论RTΔ ABC和RTΔ A’B’C’的位置如 何。我们总是可以通过作旋转、平移、轴对称变换得到图形， 如图，即Ａ‘Ｃ’ 和ＡＣ重合，点Ｂ'和点Ｂ分别在ＡＣ两 侧.
直角三角形的五种判定方法
直角三角形的五种判定方法三角形是几何中最常见的几何体，也是中学课本中最基础的几何形状之一，而普通的三角形有等边三角形、等腰三角形和直角三角形，其中直角三角形的判定尤为重要，我们来看看直角三角形的五种判定方法。
一、据直角三角形两条直边的关系根据直角三角形定义，可知一个直角三角形有两条直边，按以下情况判断：1.如果两条直边相等，则是等腰直角三角形；2.如果两条直边长度比都是整数，而且两个比例相等，则是等比直角三角形；3.如果两条直边都不相等，也不是整数比，则是普通直角三角形。
二、据勾股定理根据公式a2 + b2 = c2，可知，一个直角三角形的斜边是由它的两条直边的平方和组成的，如果一个三角形满足这个关系，则它就是一个直角三角形。
三、据余弦定理余弦定理是一个最基本的三角形定理，它定义为：A2 = b2 + c2 - 2bccosA，在直角三角形中，A角的余弦等于该直角的边的比，如果一个三角形满足余弦定理，则它就是一个直角三角形。
四、据正弦定理正弦定理是另一个重要的三角形定理，它定义为：a/sinA =b/sinB = c/sinC，如果一个三角形满足正弦定理，则它就是一个直角三角形。
五、据直角三角形的特殊性另外，由于直角三角形有两条直边，其它线段成角以90度来表示，如果通过以上四种测量方法得知某个三角形有一个角是90度，那么，就可以判断它是一个直角三角形。
总结：以上就是直角三角形的五种判定方法，它们分别以不同的方式来检查一个三角形是否是直角三角形。
裁判一个三角形是否是直角三角形，应根据以上五种判定方法，综合考虑余弦定理、正弦定理，以及对直角三角形的特殊性的了解，可以轻松判定一个三角形的边的比例关系，从而判定是否是直角三角形。
直角三角形的判定
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距的结巴一根绳子分成等长的1 段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个 结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉 紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第 4个结处。 你知道这是什么道理吗？
试一试
画一个△ABC，使它的三边长分别为： １、6cm、8cm、10cm（单行同学做） ２、5cm、12cm、13c（双行同学做）
猜想：大边所对的角是什么角？
问：三边之间有什么关系？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 。
反过来
逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满
足 a2
+
2 b
=
2 c ，那么这个三角形是直
角三角形。
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
(2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 (4) a=9 b=40 c=41
0 是 ∠ A=90 ____ _____ ;
不是 ____
_____ ;
0 ∠ B=90 ____ _____ ; 是 0 ∠ C=90 是 _____ _____ ;
• 例２已知:在△ ABC中, AB=３cm，AC=４cm， BC=5cm，AD是BC边上的高。求: AD的长。
4, 三角形三边长a、b、c满足条件 ( a b) c 2ab, 则此三角形是(
2 2
)
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、等边三角形
中考链接
已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
直角三角形的全等判定
B’
如图在Δ ABC和Δ A’B’C’中， ∠ C= ∠ C’=RT ∠
AB=A’B’，AC=A’C’ 说明Δ ABC和Δ A’B’C’ 全等的由。 分析：AC=A’C’，无论RTΔ ABC和RTΔ A’B’C’的位置如 何。我们总是可以通过作旋转、平移、轴对称变换得到图形， 如图，即Ａ‘Ｃ’ 和ＡＣ重合，点Ｂ'和点Ｂ分别在ＡＣ两 侧.
请将证明过程规范化书写出来.
学以致用
1. 如图，两根长度为12米的绳子，一端 系在旗杆上，另一端分别固定在地面两 个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离 相等吗？请说明你的理由。 解：BD=CD ∵ ∠ADB=∠ADC=90°
∵AB=AC（已知） AD=AD（公共边）
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) ∴BD=CD
先把它转化为一个纯数学问题:
N
B
已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON.
求证:∠AOP=∠BOP.
已知△ABC ，请找出一点P，使它到三边的距离 都相等（只要求作出图形，并保留作图痕迹）.
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。 A
B
C
议一议
蓄势待发
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要增加一个什么条件?把它们分别写出来. 增加AC=BD; C D 增加BC=AD; 增加∠ABC=∠BAD ; B A 增加∠CAB=∠DBA ;
角的内部，到角两边距离相等 你还能得出什么结论？ 的点，在这个角的平分线上。
做一做
你能用一个三角板作任意角的 角平分线吗？
M
● ● ●
如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上
A
分别取点M,N,使OM=ON; 再过点M作OA的垂线,
直角三角形-的性质判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。
直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。
3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
直角三角形全等的判定
人潮溪中学
回顾与思考
1.全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等。 2.判别两个三角形全等的方法有： SSS、SAS、ASA、AAS
尝试探究：
（1）画一画：作一个Rt∆ABC,
（2）剪一剪：把所画的Rt∆ABC剪下来
使∠C=90˚,BC=3cm,AB=5cm
（3）叠一叠：将你和同桌剪下来的三角形 叠在一起，你有什么发现
2、如图，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于 点F，且DE=DF.试问：AB与A ∴∠BED=CFD=90˚. 在Rt∆BDE和Rt∆CDF中， ∵BD=CD,DE=DF, ∴Rt∆BDE≌Rt∆CDF(HL). ∴∠B=∠C. ∴AB=AC.
E B
F
C D 方法二：连接AD, 所以Rt∆ADE和Rt∆ADF，有一条公 共边AD.∴Rt∆ADE≌Rt∆ADF(HL)、 Rt∆BDE≌Rt∆CDF(HL). ∴AE=AF,BE=CF, ∴AB=AE+BE=AF+CF=AC
总结：直角三角形全等的判定
所有三角 形的判定 直角三角 形的判定
边边边 （SSS） 边边边 （SSS）
A B' A'
C'
B C
如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与 BC 中点D 的支架．求证：△ABD≌△ACD ． （要有两种方法）
证明：∵ D 是BC 中点， ∴ BD =DC． 在△ABD 与△ACD 中， B D AB =AC ， BD =CD ， ∵ AD =AD ， ∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）． A
C
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯 的 倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
直角三角形全等判定
A
B
C B′
AB=AB BC=B C
A′ C′
∴Rt△ABC≌Rt△ABC (HL)
试一试
1.使两个直角三角形全等的条件是（
D ）
A.一个锐角对应相等
C.一条边对应相等
B.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
2.如图，AD⊥BE,垂足C是BE的中点，AB=DE,若要证
△ABC≌ △DEC,可以根据（
在△BED和△CFD中 ∠DEB=∠DFC ∠ B =∠ C BD=CD △ BED ≌ △CFD (AAS) ∴BE=CF
中考 试题
已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线 上， EAAD，FDAD，AE=DF，AB=DC . 求证：ACE=DBF. 证明 ∵ AB=DC, E F ∴ AB+BC=DC+BC, 即 AC=BD. 又∵ AE=DF, EAC=FDB =90°. A B C D ∴ △AEC≌△DFB ∴ ACE=DBF.
B
F E G
C
D
巩固练习
1、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述 条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C 解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
AB=AB,
A B AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD D (全等三角形对应边相等).
2
90°
4、已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC， BC⊥BD． 求证： AD＝ BC. 证明：连接 DC . ∵ AD⊥AC，BC⊥BD， ∴∠A=∠B= 90°. 在Rt△ADC和Rt△BCD中， DC=CD， AC=BD， ∴Rt△ADC≌Rt△BCD (HL). ∴AD=BC.
直角三角形的全等判定
A′
如图， 如图，在△ABC和△A’ B’ C’中，∠C=∠C’=Rt ∠， 和 中 ∠ AB=A’B’，AC=A’C’， ， ， 说明△ 全等的理由。 说明△ABC和△A’ B’ C’全等的理由。 和 全等的理由
解：作射线OP 作射线
A
∵PD⊥OA,PE⊥OB ⊥ ⊥ ∴∠PDO=∠PEO=Rt∠ ∠ ∴∠ ∠ 又∵OP=OP,PD=PE ∴Rt△PDO≌Rt △PEO（HL） △ ≌ （ ） ∴∠1= ∴∠ ∠2，即点 在∠AOB的平分线上 ，即点P在 的平分线上
D P O E
B
角平分线的性质： 角平分线的性质：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 ① 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 角平分线上的点到这个角的两边距离相等。 ② 角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
例3 已知ΔABC如图，请找出一点P ΔABC如图 已知ΔABC如图，请找出一点P，使它到三边 距离都相等（要求作出图形，并保留作图痕迹） 距离都相等（要求作出图形，并保留作图痕迹）
１．三角形全等的判定定理有哪些? 三角形全等的判定定理有哪些? SSS、 SAS 、ASA 、AAS 有两条边对应相等的两个三角形全等吗？ ２．有两条边对应相等的两个三角形全等吗？ ３．如果是两个直角三角形呢? 如果是两个直角三角形呢?
已知线段a、 ﹤ ，用直尺和圆规作Rt△ 已知线段 、c(a﹤c)，用直尺和圆规作 △ABC,使 使 ∠C=90° ，一直角边 ° 一直角边CB=a，斜边 ，斜边AB=c.
B C
B’ C’ A’
A
B C A
B’ C’ A’
直角三角形的判定是什么
直角三角形的判定是什么
判定方法是什么
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a²+b²=c²的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定四:有两个互补锐角的三角形是直角三角形。
判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。
（定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。
简称为HL）
决定6:如果两条直线相交，并且它们的斜率的乘积是负倒数，那么这两条直线是垂直的。
决定7:如果三角形斜边的中线等于斜边的一半，则该三角形是直角三角形。
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R。
直角三角形斜边怎么算
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a的平方+b的平方=c的平方，再开方，就可以得出c，也就是斜边的长度了。
勾股定理是一个基本的几何定理，意思是直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方。
直角三角形的判定和性质
直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）【典型例题讲解】例1：已知：如图△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于O 点，且BD=CE 求证：OB=OC.分析：欲证OB=OC 可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE 与△CBD 全等即可证明：∵CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，则∠BEC=∠CDB=90°∴在Rt △BCE 与Rt △CBD 中⎩⎨⎧==BC BC BDCE∴Rt △BCE ≌Rt △CBD(HL)∴∠1=∠2，∴OB=OC例2：已知：Rt △ABC 中，∠ACB 是直角，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于E ，求证：CD ⊥BE分析：由已知可以得到△DBE 与△BCE 全等即可证明DE=EC 又BD=BC ，可知B 、E 在线段CD 的中垂线上，故CD ⊥BE 。
证明：∵DE ⊥AB ∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90° ∴在Rt △DEB 中与Rt △CEB 中BD=BC BE=BE∴Rt △DEB ≌Rt △CEB （HL ） ∴DE=EC 又∵BD=BC∴E 、B 在CD 的垂直平分线上 即BE ⊥CD.例3：已知△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，过D 作DE ⊥AC ，F 为BC 中点，过F 作FG ⊥DC 求证：DG=EG 。
分析：在Rt △DEC 中，若能够证明G 为DC 中点则有DG=EG 因此此题转化为证明DG 与GC 相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。
证明：作FQ ⊥BD 于Q ，∴∠FQB=90°∵DE ⊥AC ∴∠DEC=90°∵FG ⊥CD CD ⊥BD ∴BD//FG ，∠BDC=∠FGC=90° ∴QF//CD ∴QF=DG ， ∴∠B=∠GFC ∵F 为BC 中点 ∴BF=FC在Rt △BQF 与Rt △FGC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FC BF GFC B FGC BQF∴△BQF ≌△FGC （AAS ）∴QF=GC ∵QF=DG ∴DG=GC∴在Rt △DEC 中，∵G 为DC 中点∴DG=EG【随堂练习】1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（ ）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）在下列定理中假命题是（ ）A ．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B ．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C ．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D ．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC 到D ，使CD=AC 则AC ：BD=（ ）A ．1：1B ．3：1C ．4：1D ．2：3（4）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE ，分别是斜边AB 上的高与中线，CF是∠ACB 的平分线。
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解:(1)最大边为17
172 =289
像15,17,8,能够ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为直角三角形三
(2)最大边为15 152 =225
∵15 +8 =225+64 =289 ∴152+82 =172
条边长的三个正整数，称为 勾股数 . 2 2 2 2 ∵13 +14 =169+196=365
巩固练习
4, 三角形三边长a、b、c满足条件 (a b) c 2ab, 则此三角形是( B )
2 2
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、等边三角形
巩固练习
5. 三角形的三边长 a, b, c 满足 a2 +b2 +c2 +50 = 6a + 8b +10c, 直角 此三角形为＿＿＿＿＿三角形 .
不是 ____ _____ ;
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a=9 b=40 c=41
B=90° ____ ; 是 ∠ _____
C=90° 是 ∠_____ _____ ;
7
巩固练习
1. 满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( D ) A.b2=a2-c2 B. a:b:c=3:4:5 C.∠C=∠A-∠B D. ∠A:∠B : ∠C =3:4:5 2.下列各组线段中,能组成直角三角形的是( ) A. 5,6,7 B. 32,42,52 C. 5,11,12 D. 7,24,25 3.若一个三角形的三边长分别为: 3, 4, x , 5或 7 则此三角形是直角三角形的x的值是_________
你知道这是什么道理吗？
知识拓展：
（1）我们知道3、4、5是一组勾股数，那么
3k、4k、5k（k为正整数）也是一组勾股数吗？
（2）一般地，如果a、b、c是一组勾股数（c为最长 边），那么ak、bk、ck（k为正整数）也是一组勾股 数吗？
课堂小结：
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？
??
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13个结,一个工匠 同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手 分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会 得到一个直角三角形,其直角在第4个结处。
你知道这是什么道理吗？
试一试
试画出三边长分别为如下数据的三角形,看看 它们是一些什么样的三角形： １、a=3cm、 b=4cm、 c=5cm ２、a=4cm、 b=6cm、 c=8cm 3、a=5cm、 b=12cm、c=13cm
临汾一中
侯丽峰
回顾
1、勾股定理的内容是什么? 2、做一做:
(1)在直角△ABC中, ∠C=90°,a=5,b=12, 则c=__ .
(2)如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面
3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这 棵树折断之前的高度是 米.
思考:
如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a2 +b 2=c2 ,那么这个三角形是 直角三角形吗?
∴132+ 142 ≠ 152
∴以15, 8, 17为边长的
三角形是直角三角形
∴以13, 15, 14为边长的
三角形不是直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角 三角形？如果是, 哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=11 b=13 c=15
A=90; ° 是 ∠_____ ____
∴△ABC为直角三角形.
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 。
反过来
逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满
足 a2
+
2 b
=
2 c ，那么这个三角形是直
角三角形。
思考:勾股定理和勾股定理逆定理有何联系和区别？
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
=c2 ∴△ABC是直角三角形。
中考链接
已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
C
4 12 5
S四边形ABCD=36
D
B
3
A
13
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
将一根长绳打上等距离的13个结,一个工 匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两 个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧 绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在 第4个结处。
观察：
１、三角形的边长与它是否是直角三角形有什么关系 ? 2、大边所对的角是什么角？
猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数 量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能 是直角三角形呢？
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角 三角形。
几何语言: ∵ a2 + b2 = c2
例2、试说明： 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且 a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2(m>n,m,n是 正整数）, 那么△ABC是直角三角形。
解：∵ a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）
∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4 =(m2+n2)2