应用随机过程 林元烈 第二章答案

∫
+∞
−∞
ξdF (ξ η | 1 ,η 2 , L ,η n )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
≤ ∫ ξ dF (ξ η | 1 ,η 2 ,L,η n )
−∞
+∞
= E ( ξ | η1 ,η 2 ,L,η n )
所以，有
E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) ≤ E ( ξ | η1 ,η 2 , L,η n )
EX = E[ E ( X | Y )] = E ( X | Y = 1) P(Y = 1) + E ( X | Y = 2) P (Y = 2) + E ( X | Y = 3) P(Y = 3) 1 = [3 + (5 + EX ) + (7 + Ex)] 3
所以 EX = 15
2，周日进入某商店地顾客数是随机变量 N ， X i 是第 i 个顾客所花的钱数，
=∫ f (ξ ,η1 ,η 2 ,L,η n ,η n +1 ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ,η n +1 ) ⋅ dξ dη n +1 f (η1 ,η 2 ,L,η n ,η n +1 ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) +∞ +∞ f (ξ ,η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) =∫ ∫ ξ dξ dη n +1 −∞ −∞ f (η1 ,η 2 , L,η n ) +∞ f (ξ ,η1 ,η 2 ,L,η n ) =∫ ξ dξ −∞ f (η1 ,η 2 ,L,η n )
X 1 , X 2 ,... 是独立同分布的随机变量序列，且与 N 相互独立。那么周日该商店一
天营业额的平均值是多少？（假定 EN ， EX 1 已知）。 答案：
E (∑ X i ) = E[ E (∑ X i ) | N ]
i =1 i =1 N
N
N
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
E (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ) = ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 , Lη n )dξ = ∫ ξf (ξ )dξ =Eξ
−∞ −∞
+∞
+∞
因此 （2）对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有 E (ξ | η1 ,η 2 ,L ,η n ) = Eξ
E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) =
+ X N = ∑ X i , 求 ξ 的分布， Eξ 和 Dξ .
i =1 N
, X n ,… 独立同 0－1 分布，且有
立. ξ = X 1 + X 2 + 答案：
4. 设 N 1 , N 2 , N 3 独立， N i 是参数为 λi 的泊松分布， i = 1,2,3. (1) 求 P ( N 1 + N 2 = n), n ∈ N ; (2) 求 P ( N 1 = k N 1 + N 2 = n), 0 ≤ k ≤ n; (3) 证明 N 1 + N 2 与 N 3 独立； (4) 求 E ( N 1 N 1 + N 2 ) 及 E ( N 1 + N 2 N 1 ).
= E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n )
（3）对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有
E[ξg (η1 ,η 2 ,L,η n ) | η1 ,η 2 ,L,η n ] = ∫ ξg (η1 ,η 2 , L,η n ) f (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
= g (η1 ,η 2 ,L,η n ) ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
答案：
答案： （1） 因为 ξ 与η1 ,η 2 , L,η n 独立，所以有
f (ξ ,η1 ,η 2 ,L,η n ) f (ξ ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) = = f (ξ ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) 从而，对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有 f (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n ) =
n =1 ∞ i =1 n
∞
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
n =1 ∞ i =1 n
= ∑ E (∑ X i )P ( N = n)
n =1 ∞ i =1
= ∑ nEX 1 P( N = n)
n =1
= EN ⋅ EX 1
3．设 X 1 , X 2 ,
P ( X n = 1) = p = 1 − P( X n = 0),0 < p < 1, N 是参数为 λ 的泊松分布，且与 {X n } 独
−∞
+∞
= g (η1 ,η 2 , L,η n ) E[ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ] 所以，有 E[ξg (η1 ,η 2 ,L ,η n ) | η1 ,η 2 ,L ,η n ] = g (η1 ,η 2 ,L ,η n ) E[ξ | η1 ,η 2 ,L ,η n ]
（4）由（3）知，取 ξ ≡ 1 ，即得结论。
（5）对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有
+∞
E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ]
−∞ +∞ +∞ −∞ −∞
= ∫ E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) f (η n +1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dη n +1 =∫
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
∫
ξf (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ,η n+1 ) f (η n+1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ dη n +1
ξ
= ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
对任意η1 ,η 2 ,L ,η n ,η n +1 有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) E (1 | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ) = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) 所以，有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) = E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ]
第二次作业答案(部分)
1，一矿工困在矿井中，要达到安全地带，有三个通道可选择。他从第一个通道 出去要走 3 小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走 5 个小时又返回原 处，从第三个通道出去要走 7 个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中 其中一个通道。试问他到达安全地点平均要花多长时间。 答案：设 X 表示矿工到达安全地点所需时间， Y 表示他选定的通道。则有