高等数学(微积分) 郑州大学网考资料及答案

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郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.73.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19323222=+zx ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ；（4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】（一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+ 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得R z 21=所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==（三）（1）、（2）联立消去x 得R z 21=所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D .习题7.82.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}|1,,='''=t t z t y t x {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x '''={}{}20023,2,13,2,1|0t t t t tt ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须与垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,s i n c o s 2,c o s |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .习题8.11.求下列函数的的定义域，并画出定义域的图形. （3）221yx z w --=；（4）19222222-++---=z y x z y x u .【解】（3）要使函数表达式有意义，必须满足 0122>--y x 即 122<+y x 故所求函数的定义域为(){}1|,22<+=y x y x D . （4）要使函数表达式有意义，必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-++≥---.01,09222222z y x z y x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤++.1,9222222z y x z y x 故所求函数的定义域为(){}91|,,222≤++<=z y x z y x D .3.求下列各极限. （1）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x 111lim3,2,1,,；（2）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0,；（3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→；（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→；（5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,；（6）()()2220,0,lim yx yx y x +→. 【解】（1）因为函数()zy x z y x f 111,,++=是三元初等函数，其定义域为(){}0,0,0|,,≠≠≠=z y x z y x D ，且()D ∈3,2,1，所以三元函数()zy x z y x f 111,,++=在()3,2,1处连续，从而有 ()()611312111111lim3,2,1,,=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x . （2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0, ()()y x y x 1sinlim0,0,→=()()0001sin lim 0,0,=+=+→xy y x . 【其中()()y x y x 1sinlim 0,0,→()()01sin lim 0,0,==→xy y x 均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→()()()e e xy xyxyxyy x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→1tan 10,0,1lim.（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→()()()0.lim 22220,0,=+-=→xy y x y x y x .【上述结论中用到12222≤+-y x y x 及()()0lim 0,0,=→xy y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,()()()()11lim 22220,0,+++++=→y x y x y x y x()()().lim 220,0,y x y x y x ++=→()().0210111lim220,0,=⨯=+++→y x y x 【上述结论中用到()y x yx y x y x y x +=++≤++≤2220，()()()0lim 0,0,=+→y x y x 及夹逼准则】.（6）()()2220,0,lim y x y x y x +→()()0.lim 2220,0,=+=→y y x x y x .【上述结论中用到1222≤+yx x 及()()0lim 0,0,=→y y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】.4.证明极限()()4220,0,lim y x xy y x +→不存在.【证】（一）让动点()y x P ,沿直线0=y 趋于点()0,0O 时，()4220lim y x xy y x +=→000.lim 4220=+=→x x x . （二）让动点()y x P ,沿抛物线x y =2趋于点()0,0O 时，()42202lim y x xy xy x +=→21.l i m 220=+=→x x x x x .习题8.21.证明：函数()444,y x y x f +=在原点()0,0处连续，但不存在偏导数()0,0x f '，()0,0y f '.【证明】（一）因为()()()()0,00,lim0,0,f y x f y x ==→，所以，()y x f ,在()0,0处连续.（二）因为()()x f x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0()xx x ∆-+∆=→∆00lim4440 xx x ∆∆=→∆0l i m不存在，所以不存在偏导数()0,0x f '；由轮换对称性知，也不存在偏导数()0,0y f '. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.（1）x y y x z 33-=；（2）xy z ln =；（3）xy e z x sin =；（4）xyz arctan =；（5）()yxy z +=1；（6）2yxe z y=.【解】（1）323y y x xz-=∂∂；x y x y z 233-=∂∂ . （2）因y x z ln ln +=，故x x z 1=∂∂；yy z 1=∂∂. （3）xy ye xy e xzx x cos sin +=∂∂； xy xe y z x cos =∂∂ （4）x x y x y xz '⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222222y x y x y y x x +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=； yx y x y xz'⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222221y x x x y x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=. （5）()()xy y ye xy z +=+=1ln 1；()()[]x xy y xy y e x z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y xy y e xy y .111ln ()1211-++=y xy xy y ；()()[]y xy y xy y e y z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x xy y xy e xy y .11)1ln(1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln(1()()[]xy xy xy xy y ++++=-)1ln(111. （6）2y e x z y =∂∂；422.y y e y e x y z y y -=∂∂()422y y y xe y -=()32yy xe y -=. 3.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ,4,4:22y y x z 在点()5,4,20M 处的切线方程及切线对于x 轴的倾角的度数. 【解】（一）Γ的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===Γ416,4,:2x z y x x （x 为参数）.点0M 对应参数2=x ，故切向量为{}1,0,12,0,1|2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x x s 切. 所以，点()5,4,20M 处的切线方程为150412-=--=-z y x . （二）因为()()1244,2||4,2)4,2(22=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='xy x f x x ，所以切线对于x 轴的倾角的度数为41arctan πα==. 4.求下列函数的所有二阶偏导数.（1）()y x z 32sin +=；（2）42244y y x x z +-=；（3）xy z 2=；（4）yxy x y x z arctan arctan 22-=. 【解】（1）()y x xz32cos 2+=∂∂； ()y x y z 32cos 3+=∂∂；()y x x z 32sin 422+-=∂∂；()y x y x z 32sin 62+-=∂∂∂；()y x yz32sin 922+-=∂∂. （2）2384xy x xz-=∂∂； 3248y y x y z +-=∂∂； 2222812y x x z -=∂∂；xy y x z 162-=∂∂∂；2222128y x yz +-=∂∂. （3）()x xy xy x z '=∂∂2.2121()x yy xy 212.2121==；()y xy xy y z '=∂∂2.2121()yx x xy 212.2121==. xyx y x y x y x z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂；xyx x y y x z 421.121212=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂∂； xyy xy x y x y z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂. （4）yx y x y x z arctan arctan22-=. x x y xy x y x x z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y y x y x y x y x x y x 1.11.11a r c t a n 222222 223222a r c t a n 2yx y y x y x x y x +-+-= ()2222a r c t a n 2y x yy x x y x ++-=y x y x -=a r c t a n 2； y y y x y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222.11a r c t a n 21.11y x y x y y x y x x y x 222223a r c t a n 2yx xy y x y y x x ++-+= ()y xy yx x y xa r c t a n 22222-++=y x y x a r c t a n 2-=.⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂2222.112arctan 2arctan 2x y x y x x y y x y x x z x 222a r c t a n 2yx xyx y +-=. 11.112a r c t a n 222-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂∂x x y x y x y x y x z y 12222-+=y x x 2222yx y x +-=； y y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂arctan 222 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22.112a r c t a n 20y x y x y y x 222a r c t a n 2yx xyy x ++-=. 5.验证下列等式.（1）设xy xe z =，证明： z yz y x z x=∂∂+∂∂；（2）证明函数r u 1=，222z y x r ++=满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ；（3）证明()bx e t x T tab sin ,2-=满足热传导方程22xTa t T ∂∂=∂∂，其中a 为正常数，b 为任意常数.【证】（1）因⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∂∂x y e x y e x e x z x y x y x y 12；x yx y e x e x y z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂1.所以，z xe ye x y e x y z y x z x x y x y x y ==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂1.（2）()x z y x z y x x r '++++=∂∂22222221()r xx z y x =++=221222；①x r dr du x u ∂∂=∂∂.【因为①】32.1rx r x r -=-=. 623322.3..1rx r r x r r x x x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂【因为①】 5226233.3..1rx r r r x r x r --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=； ② 同理可得522223ry r y u --=∂∂； ③ 522223r z r z u --=∂∂ ④所以，222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂【因为②，③，④】()5222233r z y x r ++--=033522=--=rr r . （3）由()bx e t x T t ab sin ,2-=，得()[]bx e ab bx ab e tTt ab t ab sin sin 2222---=-=∂∂. ① []bx be b bx e xTt ab t ab cos .cos 22--==∂∂.[]b bx be x T tab .sin 222-=∂∂-bx e b t ab sin 22--=. ② 所以有22xTa t T ∂∂=∂∂bx e ab t ab sin 22--=.6.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=,0,0,0,1cos ,22222222y x y x y x y x y x f 求()0,0x f '，()0,0y f '.【解】因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0 ()[]()xx x x ∆-+∆+∆=→∆001cos0lim222201coslim 0=∆∆=→∆x x x 【上述结论中用到11cos ≤∆x及0lim 0=∆→∆x x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】，所以，()00,0='x f . 同理，()00,0=''y f .习题8.31.求下列函数的全微分.（1）yxy x z +=24；（2）32y x ez +=；（3）xyz u =；（4）z xy u =.【解】（1）因为y xy x z 18+=∂∂，224yx x y z -=∂∂，所以 dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y xy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22418. （2）因为()xyx y x e xz'+=∂∂+2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y x eyx 2.2122222222y x xe y x +=+；由轮换对称性知，2222yx ye y z yx +=∂∂+.所以dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=()ydy xdx yx e y x ++=+2222. （3）因为yz x u =∂∂，xz y u =∂∂，xy zu=∂∂，所以，x y d z x z d y y z d x dz zu dy y u dx x u du ++=∂∂+∂∂+∂∂=. （4）z xy u =. 因为z y x u =∂∂，1-=∂∂z xzy y u ，y xy zuz ln =∂∂，所以， ydz xy dy xzy dx y dz zu dy y u dx x u du z z z ln 1++=∂∂+∂∂+∂∂=-. 2.求下列函数在指定点的全微分.（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .【解】（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .因为x zy x y x z x u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y y x z z1111； yz y x y x z y u '⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2111y x y x z z ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂211.ln z y x y x z u z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-2111ln 1z y x y x z z.所以dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-dx y y x z z1111dy y x y x z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2111dz z y x y x z z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2111ln 1.从而 ()dy dx du -=1,1,1|.4.求曲面22:y x z S +=在点()2,1,10M 处的切平面方程和法线方程.【解】令()z y x z y x F -+=22,,. 则曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 ()()(){}000,,M F M F M F z y x '''= {}(){}1,2,21,2,2|2,1,1-=-=y x .所以S 在点0M 处的切平面方程为()()()02.1121.2=---+-z y x . 化简得0222=--+z y x . 法线方程为122121--=-=-z y x . 6.利用全微分求近似值. （1）()()3397.102.1+；【解】（1）令(),,33y x y x f z +==则()()332133223,,23,yx y y x f yxyx x y x f y y x +='+='-.取03.0,02.0,2,100-=∆=∆==y x y x ，则有()()()()()03.02,102.02,12,103.02,02.01-⨯'+⨯'+≈-+y x f f f f ，即：()()().95.203.0202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+8.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,1sin ,222222y x y x y x xy y x f证明：（1）()y x f ,在点()0,0处连续且偏导数存在；（2）()y x f ,在点()0,0处可微. 【证】（1）因为()y x f y x ,lim 0→→01sinlim 220=+=→→yx xy y x 【无穷小乘以有界量还是无穷小量】()0,0f =，所以()y x f ,在点()0,0处连续. 又因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim000lim 0=∆-=→∆x x ，所以()00,0='x f ；同理()00,0='y f ，所以()y x f ,在点()0,0处偏导数存在.（2）()y x f ,在点()0,0处的全增量为()()()()()220,01s i n0,00,0|y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆.因为 ()()[]()()22000,00,0limy x yf x f z y x y x ∆+∆∆'+∆'-∆→∆→∆()()()()01sinlim22220=∆+∆∆+∆∆∆=→∆→∆y x y x yx y x ，所以，()y x f ,在点()0,0处可微. 【上述结论用到了()()()()22221sin0y x y x yx ∆+∆∆+∆∆∆≤()()()()22221s i n.y x y x y x ∆+∆∆+∆∆∆=()()[]()()()[]()()()0,0,02121222222→∆∆→∆+∆=∆+∆∆+∆≤y x y x y x y x及夹逼准则 . 】习题8.41.求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设uv e z =，而2,sin x v x u ==，求dxdz ；（2）设()xyx z ln =，求xz∂∂，y z ∂∂；（3）设()xy y x yf x z ,222+=，求xz∂∂，y z ∂∂. 【解】（1）因为uv ve u z =∂∂，uv ue v z =∂∂；x dx du cos =，x dxdv2=.所以由全导数公式，有 ()x x x x e x ue x ve dxdvv z dx du u z dx dz x x uv uv cos sin 22.cos ..2sin 2+=+=∂∂+∂∂=. 【另解：因为x x e z sin 2=，故 ()'=x x e dx dz x x sin 2sin 2()x x x x e x x c o s s i n 22s i n2+=.】（2）()[]x x xy e x z '=∂∂ln ln ()[]x x xy x xy e '=ln(ln ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x xy x y e x xy 1.ln 1)ln(ln ln()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x y x y x xy ln )ln(ln ln ()()()x x y x y xy xy ln ln ln ln 1+=-； ()()()y xy xy x x yz '=∂∂ln ln .ln ()()x x x xy ln ln .ln =. （3）()()()[]x x xy y x f y x xy y x f y x xz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]y f x f y x xy y x f xy .2..,.221222'+'++=；()()()[]y y xy y x f y x xy y x f y x yz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]x f y f y x xy y x f x .2..,.212222'+'++=.2.设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y x xy z ϕ，其中()u ϕ是可微函数，证明： +∂∂x z x xy z y z y +=∂∂. 5.设()221,,z yx e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求xu∂∂，y u ∂∂. 6.求下列函数的22xz ∂∂，y x z ∂∂∂2和22y z∂∂.（1）()y xy f z ,=；（2）()y x e y x f z +=,cos ,sin . 【解】（1）由()y xy f z ,=得1f y xz'=∂∂，21f f x y z '+'=∂∂； []()11211122f y f y y f y xz x ''=''=''=∂∂；[]()1211112111112f y f xy f f f x y f f y f yx z y ''+''+'=''+''+'=''+'=∂∂∂； [][]()()22121122221121121222f f x f x f f x f f x x f f x y z y y ''+''+''=''+''+''+''=''+''=∂∂. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.（2）由()y x e y x f z +=,cos ,sin 得31.c o s f e f x xzy x '+'=∂∂+；32.sin f e f y y z y x '+'-=∂∂+； [][]x y x x f e f x xz ''+''=∂∂+3122.c o s()[]13111cos cos .sin f e f x x f x y x ''+''+'-=+ ()[]33313.cos f e f x e f e y x y x y x ''+''+'++++[][]y y x y f e f x yx z ''+''=∂∂∂+312.c o s ()[]333231312sin sin cos f e f y e f e f e f y x y x y x y x y x ''+''-+'+''+''-=++++； 33223231312sin cos sin cos f e f ye f e f xe f y x y x y x y x y x ''+''-'+''+''-=++++； [][]y yx y f e f y y z ''+''-=∂∂+3222.s i n()[]23222sin sin .cos f e f y y f y y x ''+''-+'-=+ ()33323sin f e f y e f e y x y x y x ''+''-+'++++ 33223232222sin 2sin .cos f e f e f ye f y f y y x y x y x ''+'+'''-''+'-=+++. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.8.设()[]z x f z ϕ+= ①，其中ϕ,f 可导，求dxdz . 【解】①式两端对x 求导并注意到z 是关于x 的函数，得 ()[]()[]x z x z x f dx dz '++'=ϕϕ()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++'=dx dz z z x f .1ϕϕ()[]()()[]dxdzz x f z z x f ..ϕϕϕ+''++'=. ② 由②式解得()[]()()[]z x f z z x f dx dz ϕϕϕ+'-+'=1.9.设()y x z z ,=由方程0ln 2=-+⎰-dt e z z xy t ①得到，求x z∂∂，yz ∂∂，y x z ∂∂∂2.【解】（一）①式两端对x 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=-∂∂+∂∂-x e xzz x z ，即 211x e x zz -=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ②由②式解得21x e zz x z -+=∂∂. ③ （二）①式两端对y 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=+∂∂+∂∂-y e yzz y z ，即 211y e y z z --=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ④ 由④ 式解得 21y e zz y z -+-=∂∂. ⑤ （三）由③式得212x y e z z y x z -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∂∂∂()2.112x e y z z -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=【代入④】 ()22.1.112x y e e z z z --⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=()22.13y x e z z--+-=.10.设f 可微，试验证：（1）()22yx f y z -=① 满足方程211y zy z y x z x =∂∂+∂∂；【证】()x y x f y x z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221()()[]x y x f y x f y '⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=222221()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--=xy x y x f yx fy2222222.()()222222y x f yx fxy-'--=； ()yy x f y y z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221.()()y y x f y y x f '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222211 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--+-=y y x y x f y x f y y x f 222222222.11()()()2222222221y x f yx f y y x f -'---=. 所以yz y x z x ∂∂+∂∂11()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--=2222221y x f y x f xy x ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'---+22222222211y x f y x f y y x f y ()221.1y x f y -=【由①式】..12y z y z y == （2）()y x f z ,=满足方程t z s z y z x z ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.22，其中t s y t s x -=+=,. 【证】y zx z s y y z s x x z s z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂..； yz x z t y y z t x x z t z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂... 故 t z s z ∂∂∂∂.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y z x z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y z x z .22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y z x z . 14.设函数()y x f ,具有二阶连续偏导数，且满足等式0512422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u . ①试确定b a ,的值，使等式在变换by x ay x +=+=ηξ,下化为02=∂∂∂ηξu. 【解】因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u1.1...；ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u b u a b u a u y u y u y u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ (2222222)2 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ② ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂y u y u y u y u u u y x u yy ηηξξηηηξξξηξ....2222222 ()22222..ηηξξ∂∂+∂∂∂++∂∂=ub u b a u a . ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂y u y u b y u y u a u b u a y uyy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)222222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=u b u ab u a . ④ 将②、③、④代入①式左边，得①左⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂=2222224ηηξξu u u ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂++∂∂+22222.12ηηξξu b u b a u a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂+222222225ηηξξu b u ab u a ()()()2222222512410121285124ηηξξ∂∂+++∂∂∂++++∂∂++=u b b u ab b a u a a 因此方程①化为()()()05124101212851242222222=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++ηηξξu b b u ab b a u a a . ⑤因此要使①在变换下化为02=∂∂∂ηξu，必须 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.05124,0512422b b a a 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,52,2b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,52b a 习题8.51.验证下列方程在指定点的邻域存在以x 为自变量的隐函数，并求dxdy. （1）4422y x y x +=+，在点()1,1；【解】令()4422,y x y x y x F --+=，则()342,x x y x F x -='，()342,y y y x F y -='，()01,1=F ，()()021,11,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程04422=--+y x y x在点()1,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，1=y 的函数()x y y =.由公式()()()()223321124242,,y y x x y y x x y x F y x F dx dy y x --=---=''-=. （2）xyy x arctan ln 22=+①，在点()0,1.【解】令()x y y x y x F arctan ln ,22-+=()xyy x arctan ln 2122-+=，则()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='2222.112.1.21,x y x y x y x y x F x 22y x y x ++=； ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x y y y x y x F y 1.112.1.21,22222y x x y +-=. ()00,1=F ，()()010,1,10,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程0arctanln 22=-+xyy x 在点()0,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，0=y 的函数()x y y =.由公式()()yx yx x y y x y x F y x F dx dy y x -+=-+-=''-=,,. 2.求下列方程所确定的隐函数()y x z z ,=的偏导数xz∂∂，y z ∂∂. （1）()0ln 22=+-xyz xyz xz ；【解】令()()xyz xyz xz z y x F ln 22,,+-=z y x xyz xz ln ln ln 22+++-=，则x yz z F x 122+-='；y xz F y 12+-='；zxy x F z 122+-='.所以zxy x x yz z F F x z zx 122122+-+--=''-=∂∂；z xy x y xz F F y z z y 12212+-+--=''-=∂∂. （2）()z y x f z +-=2.【解】令()()z z y x f z y x F -+-=2,,，则()z y x f F x +-'='2；()z y x f y F y +-'-='22；()12-+-'='z y x f F z .所以()()122-+-'+-'-=''-=∂∂z y x f z y x f F F x z z x ()()zy x f zy x f +-'-+-'=221； ()()1222-+-'+-'--=''-=∂∂z y x f z y x f y F F y z z y ()()1222-+-'+-'=z y x f zy x f y . 3.设()y x z z ,=满足方程03333=-++axyz z y x ，求22xz∂∂.【解】令()axyz z y x z y x F 3,,333-++=，则ayz x F x 332-='；axy z F z 332-='.所以a x y z a y z x F F x z z x 333322---=''-=∂∂a x y z x a y z --=22. ① 所以=∂∂22x z ()()()222222a x yz ay x z z x ayz axy z x x z ay -⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂---⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂【代入①】()()()2222222222.axyz ay axy z x ayz z x ayz axy z x axy z x ayz ay -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=()()[]()()()()[]()3222222222axy zaxy z ay x ayz z x ayz axy z axy zx x ayz ay ----------=()()323312a x yza z xy --=.4.设函数()z y x f u ,,=可微，其中()()x z z x y y ==,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 确定，求dx du . 【解】方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y e dx dz dx dz x z e dx dy xy xz 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y z dxdz dx dz x z y dx dy解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=.11,1122yzx xz yz dx dz yz x xy yz dx dy所以，由全导数公式得 dx dz f dx dy f f dx du z y x ..'+'+'= ()()z y x f yzx xz yz f yz x xy yz f '-++'-++'=.11.1122. 5.求曲面4:=+zy zx e e S ①在点()1,2ln ,2ln 0M 处的切平面方程.【解】令()4,,-+=zy z xe e z y x F ，则z xx e z F 1='；z yy e z F 1='；z yz xz e zye z x F 22--='.曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}()||1,2ln ,2ln 22,1,1,,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧--='''=z yz x z y z x M z y x e z ye z x e z e z F F F {}2ln 4,2,2-=.所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为()()().012ln 42ln 22ln 2=---+-z y x 即 ()02ln 422=-+z y x .8.求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++Γ,04532,03:222z y x x z y x ①在点()1,1,10M 处的切线方程与法平面方程.【解法一】方程组两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得⎩⎨⎧='+'-=-'+'+.0532,03222z y z z y y x ②将点()1,1,10M 代入②式有()()()()⎩⎨⎧='+'-=-'+'.015132,011212z y z y ③由③式解得 ()()1611,1691-='='z y . 故Γ在点()1,1,10M 处的切向量为()(){}{}1,9,16||161,169,11,1,1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=''=z y s 切. 所以，Γ在点()1,1,10M 处的切线方程L 为1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【解法二】（一）先求03:222=-++x z y x S 在点()1,1,10M 处的切平面方程. 令()x z y x z y x F 3,,222-++=，则32-='x F x ；y F y 2='；z F z 2='. 曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}{}(){}2,2,12,2,32,,||1,1,10-=-='''=z y x F F F n M z y x .所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为 ()()()012121.1=-+-+--z y x ，即 0322=-++-z y x . （二） Γ在点()1,1,10M 处的切线方程为⎩⎨⎧=-+-=-++-,04532,0322:z y x z y x L若进一步化L 为点向式，则为 1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【注意】解法二的一般思路叙述如下：欲求曲线()()⎩⎨⎧==Γ,0,,,0,,:z y x G z y x F 在其上某点()0000,,z y x M 处的切线方程.首先分别求出曲面()0,,:1=z y x F S 在点0M 处的切线平面01111=+++D z C y B x A . ①及曲面()0,,:2=z y x G S 在点0M 处的切线平面02222=+++D z C y B x A . ② 然后将方程①、②联立即为Γ在0M 处的切线方程.即⎩⎨⎧=+++=+++Γ.0,0:22221111D z C y B x A D z C y B x A请同学们思考此解法的理论依据是什么？10.设函数()y x z z ,=由方程0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x F ① 所确定，且F 为可微函数，求dz .【解】由①得0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x dF由微分形式的不变性，有0...321=⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'x z d F z y d F y x d F 即01.1.1.232221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'dz x dx x zd F dz z y dy z d F dy y x dx y F 于是有dy F z F y x dx F y F x z dz F z y F x .111212`132223'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎭⎫⎝⎛'-' 所以得223212`1321.11F zy F x dyF z F y x dx F y F x z dz '-''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-'=. 习题8.62.求133223++-=xy y x x z 在点()1,31M 处从1M 到()5,62M 的方向的方向导数. 【解】{}4,321==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==54,530h .()12363||1,3221=+-=∂∂y xy x x z M ；()963||1,3221-=+-=∂∂xy x y z M . {}().0549531254,53.9,121=⨯-+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂M h3.求xyz u =在点()2,1,51M 处从1M 到()14,4,92M 的方向的方向导数. 【解】{}12,3,421==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1312,133,1340h .()2||2,1,51==∂∂yz x u M ；()10||2,1,51==∂∂xz y u M ，()5||2,1,51==∂∂xy zuM . {}.1398131251331013421312,133,134.5,10,21=⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=M4.求()()222321ln ,,z y x z y x f +++=在点()1,1,20M 处的梯度. 【解】()523212||1,1,22220=+++=∂∂z y x x x f M ； ()523214||1,1,22220=+++=∂∂z y x y y f M ； ()533216||1,1,22220=+++=∂∂z y x z z f M . 所以，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=53,52,521,1,2gradf .5.求22z xy u -=在()1,1,2-M 处方向导数的最大值. 【解】()22||1,1,2-==∂∂-y x u M ；()42||1,1,2==∂∂-x y u M ，()22||1,1,2-=-=∂∂-z z uM，故 (){}2,4,21,1,2--=-g r a du ，所以方向导数的最大值为 ()()().622421,1,2222=-++-=-g r a d u6.求222z y x u ++=沿曲线()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ,sin 6,,2:3t z t y t x ππ在点()0,1,2M 处的切线方向的方向导数.【解】()0,1,2M 点对应参数1=t .Γ在点()0,1,2M 处的切向量为()()(){}(){}{}6,3,2c o s6,3,2,,||121-=='''===t t t t t z t y t x h π.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==76,73,720h .()42||0,1,2==∂∂x x u M ；()22||0,1,2==∂∂y y u M ，()02||0,1,2==∂∂z xuM . 所以有{}.276073272476,73,72.0,2,4=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂Mh9.设l 是曲面632:222=++z y x S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量，求zy x u 2286+=在A 点沿l 方向的方向导数. 【解】令()632,,222-++=z y x z y x F ，则x F x 4='；y F y 6='；z F z 2='.曲面S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量为 {}{}(){}{}1,3,2||2,6,42,6,4,,||1,1,1=='''=z y x F F F Az y x ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧==141,143,1420l . ()146866||1,1,122=+=∂∂y x z x x u A ；()148868||1,1,122=+=∂∂y x z y y u A ；()1486||1,1,1222-=+-=∂∂z y x z uA .所以，().14,148,1461,1,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂l ⎭⎬⎫⎩⎨⎧141,143,142()71114114143148142146=⨯-+⨯+⨯=. 习题8.71.求下列的极值：（1）()223333,y x y x y x f z --+==；【解】（一）解方程组()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.063,,063,22y y y x f x x y x f y x ⎩⎨⎧==2,0,2,0y x 得四个驻点：()()()().2,2,0,2,2,0,0,04321P P P P（二）()()().66,,0,,66,-=''==''=-=''=y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx.因为该函数不存在不可微点，故()00,0=f 为函数的极大值；()82,2-=f 为函数的极小值.（2）x xy y x z 82322+-+=；【解】（一）解方程组()()⇒⎩⎨⎧=-='=+-='.026,,0822,x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧-=-=26y x 故得唯一驻点：()2,60--P ；无不可微点.（二）()2,=''y x f xx，()2,-=''y x f xy ；()6,=''y x f yy .在()2,60--P 处，因为 ()022,6>=--''=xxf A ；()22,6-=--''=xy f B ；()62,6=--''=yy f C ， ()0826222>=--⨯=-=∆B AC ，故()242,6-=--f 为函数的极小值.（3）()()y y y x y x f ln 2,22++=；【解】（一）解方程组()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+='.0ln 12,,022,22y y x y x f y x y x f y x ⎩⎨⎧==-.,01e y x 故得唯一驻点：()10,0-e P ；无不可微点.（二）()224,y y x f xx+=''，()xy y x f xy 4,=''；()yx y x f yy 12,2+=''.在()10,0-e P 处，因为()024,021>+=''=--e e f A xx；()0,01=''=-e f B xy ；()e ef C yy =''=-1,0， ()0024222>-⨯+=-=∆-e e B AC ，故()ee f 1,01-=-为函数的极小值.（4）()y y x e z x 222++=. 【解】（一）解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='.022,,01422,222y e y x f y y x e y x f xyx x ⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,21y x 故得唯一驻点：⎪⎭⎫⎝⎛-1,210P ；无不可微点.（二）()()124,22+++=''y y x e y x f x xx，()()44,2+=''y e y x f x xy ；()x yy e y x f 22,=''. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,210P 处，因为021,21>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=e f A xx；01,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=xy f B ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=1,21yy f C e 2=，002222>-⨯=-=∆e e B AC ，故21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-为函数的极小值.2.求下列的极值：（1）()22222,y x y x y x f -+=在区域(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D ；【解】（一）内部解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.022,,012,22x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧==.0,0y x ；⎩⎨⎧-=-=.1,2y x （舍）；⎩⎨⎧=-=.1,2y x ；⎩⎨⎧-==.1,2y x （舍）； ⎩⎨⎧==.1,2y x .因此得区域D 内三驻点：()0,01P 、()1,22-P 、()1,23P .计算得()00,0=f ，()21,2=±f . （二）边界1.在区域D 的边界[]()2,0422∈=+y y x 上，由于。

郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.73.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆1323222=+z x ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ；（4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】（一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+ 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得R z 21=所以，Γ在zox 面上的投影曲线为.23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==（三）（1）、（2）联立消去x 得R z 21=所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D .习题7.82.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}|1,,='''=t t z t y t x {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x '''={}{}2023,2,13,2,1|0t t t t tt ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须s 与n 垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,s i n c o s 2,c o s |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .习题8.11.求下列函数的的定义域，并画出定义域的图形. （3）221yx z w --=；（4）19222222-++---=z y x z y x u .【解】（3）要使函数表达式有意义，必须满足 0122>--y x 即 122<+y x 故所求函数的定义域为(){}1|,22<+=y x y x D . （4）要使函数表达式有意义，必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-++≥---.01,09222222z y x z y x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤++.1,9222222z y x z y x 故所求函数的定义域为(){}91|,,222≤++<=z y x z y x D .3.求下列各极限. （1）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x 111lim3,2,1,,；（2）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0,；（3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→；（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→；（5）()()yx y x y x +-++→11lim220,0,；（6）()()2220,0,lim y x yx y x +→.【解】（1）因为函数()zy x z y x f 111,,++=是三元初等函数，其定义域为(){}0,0,0|,,≠≠≠=z y x z y x D ，且()D ∈3,2,1，所以三元函数()zy x z y x f 111,,++=在()3,2,1处连续，从而有 ()()611312111111lim3,2,1,,=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x . （2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0, ()()y x y x 1sinlim0,0,→=()()0001sin lim 0,0,=+=+→x y y x .【其中()()y x y x 1sinlim 0,0,→()()01sin lim 0,0,==→x y y x 均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→()()()e e xy xyxy xyy x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→1tan 10,0,1lim .（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→()()()0.lim 22220,0,=+-=→xy y x y x y x .【上述结论中用到12222≤+-y x y x 及()()0lim 0,0,=→xy y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,()()()()11lim 22220,0,+++++=→y x y x y x y x()()().lim 220,0,y x y x y x ++=→()().0210111lim 220,0,=⨯=+++→y x y x 【上述结论中用到()y x yx y x y x y x +=++≤++≤2220，()()()0lim 0,0,=+→y x y x 及夹逼准则】.（6）()()2220,0,lim y x y x y x +→()()0.lim 2220,0,=+=→y y x x y x .【上述结论中用到1222≤+yx x 及()()0lim 0,0,=→y y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】.4.证明极限()()4220,0,lim y x xy y x +→不存在.【证】（一）让动点()y x P ,沿直线0=y 趋于点()0,0O 时，()42200lim y x xy y x +=→000.l i m 4220=+=→x x x . （二）让动点()y x P ,沿抛物线x y =2趋于点()0,0O 时，()42202lim y x xy xy x +=→21.l i m 220=+=→x x x x x .习题8.21.证明：函数()444,y x y x f +=在原点()0,0处连续，但不存在偏导数()0,0x f '，()0,0y f '. 【证明】（一）因为()()()()0,00,lim0,0,f y x f y x ==→，所以，()y x f ,在()0,0处连续.（二）因为()()x f x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0()xx x ∆-+∆=→∆00lim4440 xxx ∆∆=→∆0l i m 不存在，所以不存在偏导数()0,0x f '；由轮换对称性知，也不存在偏导数()0,0y f '. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.（1）x y y x z 33-=；（2）xy z ln =；（3）xy e z x sin =；（4）xy z arctan=；（5）()yxy z +=1；（6）2yxe z y=.【解】（1）323y y x x z -=∂∂；x y x yz 233-=∂∂ . （2）因y x z ln ln +=，故x x z 1=∂∂；yy z 1=∂∂. （3）xy ye xy e x z x x cos sin +=∂∂； xy xe yzx cos =∂∂ （4）x x y x y xz '⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222222y x y x y y x x +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=； y x y x y xz'⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222221y x x x y x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=. （5）()()xy y ye xy z +=+=1ln 1；()()[]x xy y xy y e x z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y xy y e xy y .111ln ()1211-++=y xy xy y ；()()[]y xy y xy y e y z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x xy y xy e xy y .11)1ln(1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln(1()()[]xy xy xy xy y ++++=-)1ln(111. （6）2y e x z y =∂∂；422.y y e y e x y z y y -=∂∂()422y y y xe y -=()32yy xe y -=. 3.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ,4,4:22y y x z 在点()5,4,20M 处的切线方程及切线对于x 轴的倾角的度数. 【解】（一）Γ的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===Γ416,4,:2x z y x x （x 为参数）.点0M 对应参数2=x ，故切向量为{}1,0,12,0,1|2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x x s 切.所以，点()5,4,20M 处的切线方程为150412-=--=-z y x . （二）因为()()1244,2||4,2)4,2(22=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='xy x f x x ，所以切线对于x 轴的倾角的度数为41arctan πα==. 4.求下列函数的所有二阶偏导数.（1）()y x z 32sin +=；（2）42244y y x x z +-=；（3）xy z 2=；（4）yxy x y x z arctan arctan 22-=.【解】（1）()y x x z 32cos 2+=∂∂； ()y x yz32cos 3+=∂∂； ()y x x z 32sin 422+-=∂∂；()y x y x z 32sin 62+-=∂∂∂；()y x yz 32sin 922+-=∂∂. （2）2384xy x x z -=∂∂； 3248y y x yz+-=∂∂； 2222812y x x z -=∂∂；xy y x z 162-=∂∂∂；2222128y x yz +-=∂∂. （3）()x xy xy x z '=∂∂2.2121()x yy xy 212.2121==；()y xy xy y z '=∂∂2.2121()yx x xy 212.2121==. xyx y x y x y x z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂；xyx x y y x z 421.121212=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂∂； xyy xy x y x y z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂. （4）yxy x y x z arctan arctan 22-=.x x y xy x y x x z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y y x y x y x y x x y x 1.11.11a r c t a n 222222 223222a r c t a n 2yx y y x y x x y x +-+-= ()2222a r c t a n 2y x yy x x y x ++-=y x y x -=a r c t a n 2； y y y x y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222.11a r c t a n 21.11y x y x y y x y x x y x 222223a r c t a n 2yx xy y x y y x x ++-+= ()y xy yx x y xa r c t a n 22222-++=y x y x a r c t a n 2-=.⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂2222.112arctan 2arctan 2x y x y x x y y x y x x z x 222a r c t a n 2yx xyx y +-=. 11.112a r c t a n 222-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂∂x x y x y x y x y x z y 12222-+=y x x 2222yx y x +-=； y y x y x y z '⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂arctan 222 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22.112a r c t a n 20y x y x y y x 222a r c t a n 2yx xyy x ++-=. 5.验证下列等式.（1）设xy xe z =，证明： z yz y x z x=∂∂+∂∂；（2）证明函数r u 1=，222z y x r ++=满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ；（3）证明()bx e t x T tab sin ,2-=满足热传导方程22xTa t T ∂∂=∂∂，其中a 为正常数，b 为任意常数.【证】（1）因⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∂∂x y e x y e x e x z x y x y x y 12；x yx y e x e x y z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂1.所以，z xe ye x y e x y z yx z x x y x y x y ==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂1. （2）()x z y x z y x x r '++++=∂∂22222221()r xx z y x =++=221222；①x r dr du x u ∂∂=∂∂.【因为①】32.1rx r x r -=-=. 623322.3..1rx r r x r r x x x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂【因为①】 5226233.3..1rx r r r x r x r --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=； ② 同理可得522223ry r y u --=∂∂； ③ 522223rz r z u --=∂∂ ④ 所以，222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂【因为②，③，④】()5222233r z y x r ++--=033522=--=rr r . （3）由()bx e t x T t ab sin ,2-=，得()[]bx e ab bx ab e tTt ab t ab sin sin 2222---=-=∂∂. ① []bx be b bx e xTt ab t ab cos .cos 22--==∂∂. []b bx be x T t ab .sin 222-=∂∂-bx e b tab sin 22--=. ②所以有22xTa t T ∂∂=∂∂bx e ab t ab sin 22--=.6.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=,0,0,0,1cos ,22222222y x y x y x y x y x f 求()0,0x f '，()0,0y f '.【解】因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0 ()[]()xx x x ∆-+∆+∆=→∆001cos0lim222201coslim 0=∆∆=→∆x x x 【上述结论中用到11cos ≤∆x及0lim 0=∆→∆x x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】，所以，()00,0='x f . 同理，()00,0=''y f .习题8.31.求下列函数的全微分.（1）yxy x z +=24；（2）32y x ez +=；（3）xyz u =；（4）z xy u =.【解】（1）因为y xy x z 18+=∂∂，224y xx y z -=∂∂，所以 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y xy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=22418. （2）因为()xyx y xe xz'+=∂∂+2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y x eyx 2.2122222222y x xe y x +=+；由轮换对称性知，2222yx ye y z yx +=∂∂+.所以dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=()ydy xdx yx e y x ++=+2222. （3）因为yz x u =∂∂，xz yu=∂∂，xy z u =∂∂，所以，x y d z x z d y y z d x dz zu dy y u dx x u du ++=∂∂+∂∂+∂∂=. （4）z xy u =. 因为z y x u =∂∂，1-=∂∂z xzy yu ，y xy z u z ln =∂∂，所以， ydz xy dy xzy dx y dz zudy y u dx x u du z z z ln 1++=∂∂+∂∂+∂∂=-. 2.求下列函数在指定点的全微分.（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .【解】（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .因为x zy x y x z x u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y y x z z1111； y z y x y x z y u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2111y x y x z z； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂211.ln z y x y x z u z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-2111ln 1z y x y x z z.所以dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-dx y y x z z1111dy y x y x z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2111dz z y x y x z z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2111ln 1.从而 ()dy dx du -=1,1,1|.4.求曲面22:y x z S +=在点()2,1,10M 处的切平面方程和法线方程.【解】令()z y x z y x F -+=22,,. 则曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 ()()(){}000,,M F M F M F z y x '''= {}(){}1,2,21,2,2|2,1,1-=-=y x .所以S 在点0M 处的切平面方程为()()()02.1121.2=---+-z y x . 化简得0222=--+z y x . 法线方程为122121--=-=-z y x . 6.利用全微分求近似值.（1）()()3397.102.1+；【解】（1）令(),,33y x y x f z +==则()()332133223,,23,yx y y x f yxyx x y x f y y x +='+='-.取03.0,02.0,2,100-=∆=∆==y x y x ，则有()()()()()03.02,102.02,12,103.02,02.01-⨯'+⨯'+≈-+y x f f f f ，即：()()().95.203.0202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+ 8.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,1sin ,222222y x y x y x xy y x f证明：（1）()y x f ,在点()0,0处连续且偏导数存在；（2）()y x f ,在点()0,0处可微. 【证】（1）因为()y x f y x ,lim 0→→01sinlim 220=+=→→yx xy y x 【无穷小乘以有界量还是无穷小量】()0,0f =，所以()y x f ,在点()0,0处连续. 又因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0l i m000l i m 0=∆-=→∆x x ，所以()00,0='x f ；同理()00,0='y f ，所以()y x f ,在点()0,0处偏导数存在. （2）()y x f ,在点()0,0处的全增量为()()()()()220,01s i n0,00,0|y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆.因为 ()()[]()()22000,00,0limy x yf x f z y x y x ∆+∆∆'+∆'-∆→∆→∆()()()()01sinlim22220=∆+∆∆+∆∆∆=→∆→∆y x y x yx y x ，所以，()y x f ,在点()0,0处可微. 【上述结论用到了()()()()22221sin0y x y x yx ∆+∆∆+∆∆∆≤()()()()22221s i n.y x y x y x ∆+∆∆+∆∆∆=()()[]()()()[]()()()0,0,02121222222→∆∆→∆+∆=∆+∆∆+∆≤y x y x y x y x及夹逼准则 . 】习题8.41.求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设uv e z =，而2,sin x v x u ==，求dxdz ；（2）设()xyx z ln =，求x z ∂∂，yz ∂∂；（3）设()xy y x yf x z ,222+=，求x z ∂∂，yz∂∂. 【解】（1）因为uv ve u z =∂∂，uv ue v z =∂∂；x dx du cos =，x dxdv2=.所以由全导数公式，有 ()x x x x e x ue x ve dxdvv z dx du u z dx dz x x uv uv cos sin 22.cos ..2sin 2+=+=∂∂+∂∂=. 【另解：因为x x e z sin 2=，故 ()'=x x e dxdz x x sin 2sin 2()x x x x e x x c o s s i n 22s i n2+=.】（2）()[]x x xy e x z '=∂∂ln ln ()[]x x xy x xy e '=ln(ln ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x xy x y e x xy 1.ln 1)ln(ln ln()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x y x y x xy ln )ln(ln ln ()()()x x y x y xyxy ln ln ln ln 1+=-； ()()()y xy xy x x yz '=∂∂ln ln .ln ()()x x x xyln ln .ln =. （3）()()()[]x x xy y x f y x xy y x f y x xz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]y f x f y x xy y x f xy .2..,.221222'+'++=；()()()[]y y xy y x f y x xy y x f y x yz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]x f y f y x xy y x f x .2..,.212222'+'++=.2.设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y x xy z ϕ，其中()u ϕ是可微函数，证明： +∂∂x z x xy z y z y+=∂∂. 5.设()221,,z yx e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求x u ∂∂，yu ∂∂. 6.求下列函数的22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2和22yz∂∂.（1）()y xy f z ,=；（2）()y x e y x f z +=,cos ,sin . 【解】（1）由()y xy f z ,=得1f y x z '=∂∂，21f f x yz '+'=∂∂； []()11211122f y f y y f y xz x ''=''=''=∂∂； []()1211112111112f y f xy f f f x y f f y f yx z y ''+''+'=''+''+'=''+'=∂∂∂； [][]()()22121122221121121222f f x f x f f x f f x x f f x y z y y ''+''+''=''+''+''+''=''+''=∂∂. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.（2）由()y x e y x f z +=,cos ,sin 得31.c o s f e f x x z y x '+'=∂∂+；32.sin f e f y yz y x '+'-=∂∂+； [][]x y x x f e f xxz ''+''=∂∂+3122.c o s ()[]13111cos cos .sin f e f x x f x y x ''+''+'-=+ ()[]33313.cos f e f x e f e y x y x y x ''+''+'++++ [][]y y x y f e f x yx z ''+''=∂∂∂+312.c o s()[]333231312sin sin cos f e f y e f e f e f y x y x y x y x y x ''+''-+'+''+''-=++++； 33223231312sin cos sin cos f e f ye f e f xe f y x y x y x y x y x ''+''-'+''+''-=++++； [][]y yx y f e f y y z ''+''-=∂∂+3222.s i n()[]23222sin sin .cos f e f y y f y y x ''+''-+'-=+ ()33323sin f e f y e f e y x y x y x ''+''-+'++++ 33223232222sin 2sin .cos f e f e f ye f y f y y x y x y x ''+'+'''-''+'-=+++. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.8.设()[]z x f z ϕ+= ①，其中ϕ,f 可导，求dxdz . 【解】①式两端对x 求导并注意到z 是关于x 的函数，得()[]()[]x z x z x f dx dz '++'=ϕϕ()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++'=dx dz z z x f .1ϕϕ ()[]()()[]dxdzz x f z z x f ..ϕϕϕ+''++'=. ② 由②式解得()[]()()[]z x f z z x f dx dz ϕϕϕ+'-+'=1.9.设()y x z z ,=由方程0ln 2=-+⎰-dt e z z xy t ①得到，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2.【解】（一）①式两端对x 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=-∂∂+∂∂-x e xzz x z ，即 211x e xzz -=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ②由②式解得21x e zz x z -+=∂∂. ③ （二）①式两端对y 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=+∂∂+∂∂-y e yzz y z ，即 211y e yzz --=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ④由④ 式解得 21y e zz y z -+-=∂∂. ⑤ （三）由③式得212x y e z z y x z -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∂∂∂()2.112x e y z z -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=【代入④】 ()22.1.112x y e e z z z --⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=()22.13y x e z z--+-=.10.设f 可微，试验证：（1）()22yx f y z -=① 满足方程211y zy z y x z x =∂∂+∂∂；【证】()x y x f y x z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221()()[]x y x f y x f y '⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=222221()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--=xy x y x f yx fy2222222.()()222222y x f yx fxy-'--=； ()yy x f y y z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221.()()y y x f y y x f '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222211 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--+-=y y x y x f y x f y y x f 222222222.11 ()()()2222222221y x f yx f y y x f -'---=. 所以yz y x z x ∂∂+∂∂11()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--=2222221y x f y x f xy x ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'---+22222222211y x f y x f y yx f y ()221.1y x f y -=【由①式】..12y zy z y ==（2）()y x f z ,=满足方程t z s z y z x z ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.22，其中t s y t s x -=+=,. 【证】y zx z s y y z s x x z s z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂..； yz x z t y y z t x x z t z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂... 故 t z s z ∂∂∂∂.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y z x z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y z x z .22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y z x z . 14.设函数()y x f ,具有二阶连续偏导数，且满足等式0512422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u . ①试确定b a ,的值，使等式在变换by x ay x +=+=ηξ,下化为02=∂∂∂ηξu.【解】因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u1.1...；ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ubu a b u a u y u y u y u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ (2222222)2 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ②⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂y u y u y u y u u u y x u yy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)()22222..ηηξξ∂∂+∂∂∂++∂∂=ub u b a u a . ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂y u y u b y u y u a u b u a y uyy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)222222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=u b u ab u a . ④ 将②、③、④代入①式左边，得①左⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂=2222224ηηξξu u u ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂++∂∂+22222.12ηηξξu b u b a u a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂+222222225ηηξξu b u ab u a ()()()2222222512410121285124ηηξξ∂∂+++∂∂∂++++∂∂++=u b b u ab b a u a a 因此方程①化为()()()05124101212851242222222=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++ηηξξu b b u ab b a u a a . ⑤因此要使①在变换下化为02=∂∂∂ηξu，必须⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.05124,0512422b b a a 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,52,2b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,52b a 习题8.51.验证下列方程在指定点的邻域存在以x 为自变量的隐函数，并求dxdy. （1）4422y x y x +=+，在点()1,1；【解】令()4422,y x y x y x F --+=，则()342,x x y x F x -='，()342,y y y x F y -='，()01,1=F ，()()021,11,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程04422=--+y x y x在点()1,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，1=y 的函数()x y y =.由公式()()()()223321124242,,y y x x y y x x y x F y x F dx dy y x --=---=''-=. （2）xyy x arctan ln 22=+①，在点()0,1. 【解】令()x y y x y x F arctanln ,22-+=()xyy x arctan ln 2122-+=，则 ()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='2222.112.1.21,x y x y x y x y x F x 22y x y x ++=； ()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x y y y x y x F y 1.112.1.21,22222y x x y +-=. ()00,1=F ，()()010,1,10,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程0arctanln 22=-+xyy x 在点()0,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，0=y 的函数()x y y =.由公式()()yx yx x y y x y x F y x F dx dy y x -+=-+-=''-=,,. 2.求下列方程所确定的隐函数()y x z z ,=的偏导数x z ∂∂，yz∂∂. （1）()0ln 22=+-xyz xyz xz ；【解】令()()xyz xyz xz z y x F ln 22,,+-=z y x xyz xz ln ln ln 22+++-=，则x yz z F x 122+-='；yxz F y 12+-='；z xy x F z 122+-='. 所以z xy x x yz z F F x z z x 122122+-+--=''-=∂∂；z xy x y xz F F y z z y 12212+-+--=''-=∂∂. （2）()z y x f z +-=2.【解】令()()z z y x f z y x F -+-=2,,，则()z y x f F x +-'='2；()z y x f y F y +-'-='22；()12-+-'='z y x f F z . 所以()()122-+-'+-'-=''-=∂∂z y x f z y x f F F x z z x ()()zy x f zy x f +-'-+-'=221； ()()1222-+-'+-'--=''-=∂∂z y x f z y x f y F F y z z y ()()1222-+-'+-'=z y x f zy x f y . 3.设()y x z z ,=满足方程03333=-++axyz z y x ，求22xz∂∂.【解】令()axyz z y x z y x F 3,,333-++=，则ayz x F x 332-='；axy z F z 332-='. 所以a x y z a y z x F F x z z x 333322---=''-=∂∂a x y z x a y z --=22. ① 所以=∂∂22x z ()()()222222a x yz ay x z z x ayz axy z x x z ay -⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂---⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂【代入①】()()()2222222222.axyz ay axy z x ayz z x ayz axy z x axy z x ayz ay -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=()()[]()()()()[]()3222222222axyzaxyz ay x ayz z x ayz axy z axy zx x ayz ay ----------=()()323312a x yza z xy --=.4.设函数()z y x f u ,,=可微，其中()()x z z x y y ==,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 确定，求dx du . 【解】方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y e dx dz dx dz x z e dx dy xy xz 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y z dxdz dx dz x z y dx dy解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=.11,1122yzx xz yz dxdz yzx xy yz dx dy所以，由全导数公式得dx dz f dx dy f f dx du z y x ..'+'+'= ()()z y x f yzx xz yz f yz x xy yz f '-++'-++'=.11.1122. 5.求曲面4:=+zy zx e e S ①在点()1,2ln ,2ln 0M 处的切平面方程.【解】令()4,,-+=zy z xe e z y x F ，则z xx e z F 1='；z yy e z F 1='；z yz xz e zye z x F 22--='.曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}()||1,2ln ,2ln 22,1,1,,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧--='''=z yz x z y z x M z y x e z ye z x e z e z F F F{}2ln 4,2,2-=.所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为()()().012ln 42ln 22ln 2=---+-z y x 即 ()02ln 422=-+z y x .8.求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++Γ,04532,03:222z y x x z y x ①在点()1,1,10M 处的切线方程与法平面方程.【解法一】方程组两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得⎩⎨⎧='+'-=-'+'+.0532,03222z y z z y y x ②将点()1,1,10M 代入②式有()()()()⎩⎨⎧='+'-=-'+'.015132,011212z y z y ③由③式解得 ()()1611,1691-='='z y . 故Γ在点()1,1,10M 处的切向量为()(){}{}1,9,16||161,169,11,1,1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=''=z y s 切.所以，Γ在点()1,1,10M 处的切线方程L 为1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【解法二】（一）先求03:222=-++x z y x S 在点()1,1,10M 处的切平面方程. 令()x z y x z y x F 3,,222-++=，则32-='x F x ；y F y 2='；z F z 2='. 曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}{}(){}2,2,12,2,32,,||1,1,10-=-='''=z y x F F F n M z y x .所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为 ()()()012121.1=-+-+--z y x ，即 0322=-++-z y x . （二） Γ在点()1,1,10M 处的切线方程为⎩⎨⎧=-+-=-++-,04532,0322:z y x z y x L若进一步化L 为点向式，则为 1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【注意】解法二的一般思路叙述如下：欲求曲线()()⎩⎨⎧==Γ,0,,,0,,:z y x G z y x F 在其上某点()0000,,z y x M 处的切线方程.首先分别求出曲面()0,,:1=z y x F S 在点0M 处的切线平面01111=+++D z C y B x A . ①及曲面()0,,:2=z y x G S 在点0M 处的切线平面02222=+++D z C y B x A . ② 然后将方程①、②联立即为Γ在0M 处的切线方程.即⎩⎨⎧=+++=+++Γ.0,0:22221111D z C y B x A D z C y B x A请同学们思考此解法的理论依据是什么？10.设函数()y x z z ,=由方程0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x F ① 所确定，且F 为可微函数，求dz .【解】由①得0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x dF由微分形式的不变性，有0...321=⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'x z d F z y d F y x d F 即01.1.1.232221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'dz x dx x z d F dz z y dy z d F dy y x dx y F 于是有dy F z F y x dx F y F x z dz F z y F x .111212`132223'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎭⎫⎝⎛'-' 所以得223212`1321.11F zy F x dyF z F y x dx F y F x z dz '-''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-'=. 习题8.62.求133223++-=xy y x x z 在点()1,31M 处从1M 到()5,62M 的方向的方向导数. 【解】{}4,321==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==54,530h .()12363||1,3221=+-=∂∂y xy x x z M ；()963||1,3221-=+-=∂∂xy x y z M . {}().0549531254,53.9,121=⨯-+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂M h3.求xyz u =在点()2,1,51M 处从1M 到()14,4,92M 的方向的方向导数. 【解】{}12,3,421==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1312,133,1340h .()2||2,1,51==∂∂yz x u M ；()10||2,1,51==∂∂xz yuM ，()5||2,1,51==∂∂xy z u M . {}.1398131251331013421312,133,134.5,10,21=⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∂M h4.求()()222321ln ,,z y x z y x f +++=在点()1,1,20M 处的梯度. 【解】()523212||1,1,22220=+++=∂∂z y x x x f M ； ()523214||1,1,22220=+++=∂∂z y x y y f M ； ()533216||1,1,22220=+++=∂∂z y x z z f M . 所以，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=53,52,521,1,2gradf .5.求22z xy u -=在()1,1,2-M 处方向导数的最大值. 【解】()22||1,1,2-==∂∂-y x u M ；()42||1,1,2==∂∂-x y uM，()22||1,1,2-=-=∂∂-z z u M ，故 (){}2,4,21,1,2--=-g r a d u ，所以方向导数的最大值为 ()()().622421,1,2222=-++-=-g r a du6.求222z y x u ++=沿曲线()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ,sin 6,,2:3t z t y t x ππ在点()0,1,2M 处的切线方向的方向导数.【解】()0,1,2M 点对应参数1=t .Γ在点()0,1,2M 处的切向量为()()(){}(){}{}6,3,2c o s6,3,2,,||121-=='''===t t t t t z t y t x h π.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==76,73,720h .()42||0,1,2==∂∂x x u M ；()22||0,1,2==∂∂y yuM ，()02||0,1,2==∂∂z x u M . 所以有{}.276073272476,73,72.0,2,4=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂Mh9.设l 是曲面632:222=++z y x S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量，求zy x u 2286+=在A 点沿方向的方向导数. 【解】令()632,,222-++=z y x z y x F ，则x F x 4='；y F y 6='；z F z 2='.曲面S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量为 {}{}(){}{}1,3,2||2,6,42,6,4,,||1,1,1=='''=z y x F F F Az y x ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧==141,143,1420l . ()146866||1,1,122=+=∂∂y x z x x u A ；()148868||1,1,122=+=∂∂y x z y y u A ；()1486||1,1,1222-=+-=∂∂z y x z uA .所以，().14,148,1461,1,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂l ⎭⎬⎫⎩⎨⎧141,143,142()71114114143148142146=⨯-+⨯+⨯=. 习题8.71.求下列的极值：（1）()223333,y x y x y x f z --+==；【解】（一）解方程组()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.063,,063,22y y y x f x x y x f y x ⎩⎨⎧==2,0,2,0y x 得四个驻点：()()()().2,2,0,2,2,0,0,04321P P P P （二）()()().66,,0,,66,-=''==''=-=''=y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx.因为该函数不存在不可微点，故()00,0=f 为函数的极大值；()82,2-=f 为函数的极小值.（2）x xy y x z 82322+-+=；【解】（一）解方程组()()⇒⎩⎨⎧=-='=+-='.026,,0822,x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧-=-=26y x 故得唯一驻点：()2,60--P ；无不可微点.（二）()2,=''y x f xx，()2,-=''y x f xy ；()6,=''y x f yy .在()2,60--P 处，因为 ()022,6>=--''=xxf A ；()22,6-=--''=xy f B ；()62,6=--''=yy f C ， ()0826222>=--⨯=-=∆B AC ，故()242,6-=--f 为函数的极小值.（3）()()y y y x y x f ln 2,22++=；【解】（一）解方程组()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+='.0ln 12,,022,22y y x y x f y x y x f y x ⎩⎨⎧==-.,01e y x 故得唯一驻点：()10,0-e P ；无不可微点.（二）()224,y y x f xx+=''，()xy y x f xy 4,=''；()yx y x f yy 12,2+=''.在()10,0-e P 处，因为()024,021>+=''=--e e f A xx；()0,01=''=-e f B xy ；()e ef C yy =''=-1,0， ()0024222>-⨯+=-=∆-e e B AC ，故()ee f 1,01-=-为函数的极小值.（4）()y y x e z x 222++=. 【解】（一）解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='.022,,01422,222y e y x f y y x e y x f xyx x ⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,21y x 故得唯一驻点：⎪⎭⎫⎝⎛-1,210P ；无不可微点.（二）()()124,22+++=''y y x e y x f x xx，()()44,2+=''y e y x f x xy ；()x yy e y x f 22,=''. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,210P 处，因为021,21>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=e f A xx；01,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=xy f B ；⎪⎭⎫⎝⎛-''=1,21yy f C e 2=，002222>-⨯=-=∆e e B AC ，故21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-为函数的极小值.2.求下列的极值：（1）()22222,y x y x y x f -+=在区域(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D ；【解】（一）内部解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.022,,012,22x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧==.0,0y x ；⎩⎨⎧-=-=.1,2y x （舍）；⎩⎨⎧=-=.1,2y x ；⎩⎨⎧-==.1,2y x （舍）； ⎩⎨⎧==.1,2y x .因此得区域D 内三驻点：()0,01P 、()1,22-P 、()1,23P .计算得()00,0=f ，()21,2=±f . （二）边界1.在区域D 的边界[]()2,0422∈=+y y x 上，由于。

郑州大学微积分（下）测验试题（2）答案

高等数学（下册）高等数学（下册）测验试题（二）一、填空题（每小题4分，共20分）分）1设L 由o （0，0）沿y 轴到)2,0(A ，再沿2=y 到处)2,2(B ，再沿y x 22=回到)0,0(o ，则()()dy xy dx xy x xL223-+-ò.2-=2.设S 为柱面422=+yx 介于61££z 的部分，法向量指向内部，则.0222=++òòSdxdy z y x3.设L 为下半圆周(),0222£=+y R y x 则().422R ds y x L-=+ò4.设S 为平面222=++z y x 被三个坐标面相截在第一卦限的部分，则().322=++òòSdS z y x （注意：边界条件可以代入）（注意：边界条件可以代入）5．设L 为沿曲线x x y 22-=上从)0,2(A 到)0,0(o 的弧段，则.p =+-òL xdy ydx 二计算题（每小题7分，共70分）分）1。

求,||||dy x dx y I L +=ò其中L 是以o （0，0），)1,0(A ，)1,1(-B ，为顶点的三角形边界，方向为逆时针方向。

角形边界，方向为逆时针方向。

2．计算,22ò++-L y x xdyydx L 为1||||=+y x 所围区域边界的正向。

所围区域边界的正向。

3．计算()ds x L y òúûùêëé-+51232，L 为()22332+=x y 从2-=x 到1=x 的一段。

4．计算()(),z d xd y d z d x z y d y d z z x I +-+-=òòS其中S 是由曲线()21,0,££îíì==z xy z 绕z 轴旋转一周生成的曲面的内侧。

郑州大学考试题及答案

郑州大学考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 郑州大学位于哪个省份？A. 河南省B. 河北省C. 山西省D. 陕西省答案：A2. 郑州大学成立于哪一年？A. 1956年B. 1958年C. 1960年D. 1962年答案：B3. 郑州大学的主要校区位于郑州市的哪个区？A. 中原区B. 二七区C. 金水区D. 管城回族区答案：C4. 郑州大学是下列哪个联盟的成员？A. 九校联盟B. 211工程C. 985工程D. 双一流5. 郑州大学图书馆的藏书量超过多少万册？A. 100万B. 200万C. 300万D. 400万答案：C6. 郑州大学有多少个学院？A. 30个B. 35个C. 40个D. 45个答案：B7. 郑州大学有多少个博士后科研流动站？A. 5个B. 10个C. 15个D. 20个答案：C8. 郑州大学的校训是什么？A. 厚德博学，求是创新B. 求实创新，厚德载物C. 厚德载物，自强不息D. 明德博学，求是创新答案：A9. 郑州大学有多少个国家级重点学科？B. 5个C. 7个D. 9个答案：B10. 郑州大学在哪个年份被批准为博士学位授予单位？A. 1981年B. 1984年C. 1987年D. 1990年答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 郑州大学是河南省唯一的一所国家“211工程”重点建设高校，也是国家“________”重点支持建设的高校。

答案：双一流2. 郑州大学现有全日制普通本科生________万余人，各类研究生________万余人。

答案：5；23. 郑州大学拥有________个一级学科博士点，________个一级学科硕士点。

答案：30；504. 郑州大学校园占地面积________余亩，建筑面积________余万平方米。

答案：5700；2205. 郑州大学图书馆藏书量超过________万册，电子图书________余万册。

答案：300；1006. 郑州大学现有教职工________余人，其中专任教师________余人。

郑州大学远程教育学院入学测试机考专升本高等数学模拟题

郑州大学远程教育学院入学测试机考专升本高等数学模拟题1.设函数2sin 2(1)1()21x x f x x -⎧⎪-⎪⎨⎪-⎪⎩111x x x <=> 则1lim ()x f x →等于( )A. 0B. 1C.2D.不存在答案D2. 微分方程0=+'y y 的通解为（）A ． y=xe B. y= x e-C. y=C xe D. y=C xe-答案D3. 设0)0(=f ，且x x f x )(lim→存在，则 xx f x )(lim 0→ 等于（）A. )(x f 'B. )0(f 'C. )0(fD.)0(21f ' 答案B4.设()f x 为连续函数,则10()2xf dx '⎰等于( )A.(1)(0)f f -B.2[(1)(0)]f f -.2[(2)(0)]C f f -1D.2[()(0)]2f f -答案D5.设ln(z =则z zxy x y∂∂+∂∂等于( ) 1.2A B.2nC.1D.2 答案A6.设函数()f x 在点0x 处连续,则下列结论正确的是( ) A.000()()limx x f x f x x x →--必存在B.0lim ()0x x f x →=C.当0x x →时，0()()f x f x -不是无穷小量D.当0x x →时，0()()f x f x -必为无穷小量答案D7.设()f x '在点0x 的邻域内存在,且0()f x 为极大值,则000(2)()limh f x h f x h→+-等于( ) A.0 B.-2 C.1 D.2 答案A8.设(),()u x x ν在0x =处可得,且(0)1,(0)1,(0)2,02u u νν='=='=（），则 0()()2limx u x x x ν→-等于( )A.-2B. 0C.2D.4答案.D9.设(ln )1,()f x x f x '=+则等于( )21A.ln ln 2x x C ++2B.2x x C ++C.x x e c ++答案.C10. 设平面,0342:,012:21=+++=+-+z y x z y x ππ 则平面1π与2π的关系为( )A. 平行但不重和B. 重和C. 垂直D. 既不平行，也不垂直答案C11．设函数2()=ln(1)f x x a +⎨⎪⎩00x x ≠= 在0x =处连续，则a 等于（）A. 0B 14C. 1D.2 答案B12.设函数()y f x =的导函数()f x '的图像如图3-1所示,下列结论肯定正确的是( )A 在(-2,+∞)内，曲线()f x 是凹的 B.在(-2,.+∞)内,曲线()f x 是凸的 C.在（-2，+∞）曲线()f x 是单调增加的 D.在(-2,+∞)曲线()f x 是单调下降的2D.+2x xe e C+答案C13.过曲线ln y x x =上0M 点的切线平行直线2y x =,则切点0M 的坐标是( ) A.(1.0) B.(e,0) C.(e,1) D.(e,e) 答案.D14.若()(),sin (cos )f x dx F x C xf x dx =+⎰⎰则等于( ) A .(sin )F x C + B.(sin )F x C -+C.(cos )F x C +D. (cos )F x C -+ 答案D 15．级数()∑∞=-121n nn k（k 为非零正常数）（） A. 绝对收剑 B. 条件收剑 C. 发散D. 收剑性与k 有关答案A16.2sin(2cos )lim sin()2x x x ππ→-=( )A.-2B.-1C.2D.1 答案A 17.设10(2)(2)()limxx f h f f x eh-→--=则=( )A.12e -121B.4e --C.1212e - D.1214e - 答案B 18.sin 0limxt x e dtx→⎰=( )A.12B.-1C.-12D.1 答案D19.设函数x y y ='=则( )B.C.1 D.2 答案B20.设函数223ln 2.xy =+⋅+则'y =( )A.322()3ln3x x --+B.3223ln3x x + C.322()3ln3x x ----D.322ln3x x-+答案A21.设()ln ,f x x =则(sin )()df x df x =（）A.cos sin xxB. sin cos xx C. cos sin x x xD.sin x x答案C 22.已知广义积分ln k edxx x+∞⎰是收敛函数，则k 的取值范围是（） A.1k < B.1k ≤ C.1k ≥ D.1k > 答案D 23.设arcsin ()xf x e -=则cos '(sin )xf x dx =⎰（）A.xe c + B.xe - C.x ec -+D.xe 答案C24.设函数arccotz =2z x y∂=∂∂（）答案B25.交换二次积分次序'21(,)x xdx f x y dy +=⎰⎰（）A.13110122(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰B.11220(,)y ydy f x y dx -⎰⎰C. 113122001(,)y ydy dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰D.31022(,)y ydy f x y dx -⎰⎰答案A26.下列关系正确的是（） A. )()(x f dx x f d=⎰B. )()(x df dx x f d =⎰C. dx x f dx x f d )()(=⎰D. C x f dx x f d +=⎰)()( 答案B27.设)(x f 为连续函数，则())('⎰dt t f xa等于（）A. )()(a f x f -B. )()(x f a f -C. )(x fD. )(a f 答案C28．设函数,3xy z =则yz∂∂等于（） A. y y xln 3 B. y y xln 33 C. x xy 33 D. 133-x xy答案D29．222sin lim x m xx ∞→等于（）A. 0 B .2mC. 22mD. ∞ 答案A30.)n n →∞=（）A.0B.12C.1D.不存在答案B31. 0ln(1)limnx x x→+=（） A.n B.1nC.ne D.1ne 答案A 32.21lim()2xx x x →∞+=+（） A.2e B.12e C.1 D.2e - 答案D33.22356lim 43x x x x x →-+=-+（）A.12B.1C.54 D.∞答案A34.21sinlim32x x x x →∞=-（） A.0 B.1C.13 D.∞答案C35.22sin lim 23cos n n n xn n x→∞+=-（） A.不存在 B.12C.1D.2答案B36.要使函数()f x a bx =⎪-⎩00x x <≥在x =0处连续，则a ，b 的值分别为（） A.0，1B.11,22 C.1,2任意数 D.0，任意数答案C37.22sin(4)lim2x x x →-=-（） A.12 B.8 C.10 D.4答案D38.1lim sinln(1)x x x→∞+ A.1 B.0 C.2 D.不存在答案B39.设y =y '=（）A.2ln(1sin )x -B.22sin cos xxC.2sin cos x xD.sec x - 答案D40.0cos 2lim ln(12)x x e x x →+-=+（）A.1B.2C.12D.不存在答案C 41.01cos limln(1)x xx x →-=-（）A.1B.2C.12 D. 12-答案D 42.10lim(31)xx x -→+=（）A.-3B.-2C.3e - D.2e -答案C 43.设22lim()lim sin x x x x k x x x-→∞→∞-=，则k =（）A.1B.2C.ln2D.1ln22答案D44. 设曲线x e x y -=在点（0，-1）处与直线l 相切，则直线l 的斜率为（） A. ∞ B. 1 C. 0 D. -1 答案C45. 0x =是函数12sin ()||1xxf x x e =++的（）间断点 A.跳跃 B. 可去 C.无穷 D. 振荡答案B46.已知sin cos n y x nx =，则y '=（） A.1sincos(1)n n n x -+B.cos sin nn x nx - C.1sinsin cos n n nx x --D.2cos cos n nx x 答案A47.若y =y '=（）A.B.D.答案A48.已知2()cos3x x y e e x -=+，则dy =（） A.2222()cos33()sin3x x x x e e xdx e e xdx ----+ B.23()sin3x x e e xdx --+C.222()cos33()sin3x x x x e e xdx e e x ----+D.2()(2cos33sin3)x x e e x x dx -+- 答案A49. 设)(x f 在2=x 处可导，且2)2(='f ，则hf h f h 2)2()2(lim-+→等于（）A.21B . 1 C. 2 D. 4 答案B50.设函数()f x 的二阶导数存在，则(ln )y f x =的二阶导数为（）A.1(ln )f x x ' B.21[(ln )(ln )]f x f x x -'-''C.21(ln )[1(ln )]f x f x x '-' D.21[(ln )(ln )]f x f x x''+' 答案B51.设函数()y y x =是由方程cos sin()x y x y =+所确定，则dydx=（） A.cos cos()cos()sin y x y x y x y ++++B .cos cos()cos()sin y x y x y x y -+++C.cos cos()cos()sin y x y x y x y+++-D.cos cos()cos()sin y x y x y x y-++-答案B52.设函数()y y x =是由方程arctany x =所确定，则dydx=（） A.x yx y -+ B.y xx y -+ C.x yx y+- D.x yy x+- 答案C53.设函数()y y x =是由方程sin y e y x e -=所确定，则01x y dy dx===（）A.eB.-eC.1e D. 1e-答案C 54.极限30sin cos lim x x x xx→-=（） A.0B.12 C.13 D.∞答案C55.设函数1()sin sin 33f x a x x =+，如果()f x 在3x π=处取得极值，则a =（）A.0B.1C.2D.356.32399y x x x =--+的拐点坐标是（） A.（-1，14） B.（0，9） C.（1，-2） D.（3，-18）答案C57.设函数()sin f x x x =+，在区间[0,2]π上函数()f x （） A.无极值 B.有一个极大值，但无极小值 C.有一个极小值，但无极大值 D.有一个极大值和极小值答案A58.若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，则至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b aξ-'=-，其中ξ的取值范围为（）A. [,]a b ξ∈B. (,)a b ξ∈C. 2a bξ+= D. 2b aξ-=答案B59.在(,)-∞+∞内，若()0f x ''=，则函数()f x 是（） A.一次函数或常值函数 B.指数函数 C.二次函数 D.反比例函数答案A60. 设则x x f +='1)(，则)(x f 等于( ) A. 1 B. C x x ++2C. C x x ++22D. C x x ++2261.函数5y =的单调区间是（） A.（0，1）为单增区间 B.（1，2）为单减区间C.（0，2）为单增区间D.（0，1）为单增区间，（1，2）为单减区间答案D62.函数1()arctan 1xf x x-=+在[0,1]上的最值是（） A.最大值(0)4f π=B.最小值(1)0f =C.既无最大值，又无最小值D.最大值(0)4f π=最小值(1)0f =答案D63.曲线x y xe -=的拐点是（） A.（2，22e -） B.1(1,)e -C.2(2,2)e -，1(1,)e - D.无拐点答案A64.a ，b 为（）时点（1，3）是曲线321y ax bx =++的拐点 A.12a b =⎧⎨=⎩B.13a b =-⎧⎨=⎩C. 23a b =⎧⎨=⎩D. 31a b =⎧⎨=-⎩答案B65.函数()f x x =+(0,4]上的最值是（）A.(0)0f =为最小值B.(4)8f =为最大值C.(2)2f =+D.(0)0f =为最小值，(4)8f =为最大值答案B66.若()()F x f x '=，C 为任意常数，则下式成立的是（） A.()()F x dx F x C ='+⎰B. ()()F x dx f x C '=+⎰C. ()()f x dx F x C =+⎰D.()()f x dx F x C '=+⎰答案C 67.若()F x'=，则()F x =（）A.CB.2x C +C.ln x C +C答案A 68.若()F x '=(1)F π=，则()F x =（）A.arcsin x π+B.arccos x π+C.arcsin x π-D.arccos x π- 答案B 69.若()3x f x dx C =+⎰则()f x =（）A.xeB.3ln3xC.3ln3x D.13ln3x 答案B70.2sin xdx =⎰（）A.31sin 3x C + B..31sin cos 3x x C +C.1sin 224x x C -+ D.1sin 224x x C ++ 答案C71. 函数 x y sin = 在区间[]π,0上满足罗尔定理的ξ等于 A. 0B. 4πC. 2πD. π答案C72.22(1)(1)x dx x x +=+⎰（） A.ln x x C ++ B. ln x C +C. ln 2arctan x x C ++D.2ln1xC x ++ 答案C73.22sin cos dxx x =⎰（） A.tan cot x x C ++B.tan cot x x C -+C.2tan 2x C +D.2cot 2x C + 答案B74.22cos 2sin cos xdx x x =⎰（） A.2cot 22tan x x C -++B.4sin 2C x-+ C.2cot 2cot x x C ++ D.cot tan x x C --+答案D75.21xxe dx e=+⎰（） A.1ln(1)x x e e C --++ B.1ln(1)x x e e C +-++ C.1ln(1)x x e e C ++++ D.1ln(1)x x e e C -+++ 答案B76.cos x xdx =⎰（）A.2sin 2x x C + B.sin x x C +C.sin cos x x x C ++D.2cos sin 2x x x C ++ 答案C 77.=（）C B.C +C.12C x-+C答案D78.arctan x xdx ⎰A.211(1)arctan 22x x x C +-+ B. 211(1)arctan 22x x x C --+C. 211(1)arctan 22x x x C +++D. 211(1)arctan 22x x x C -+-+答案A 79.214dx x+∞=+⎰（） A.2πB.4πC.πD.8π 答案B 80.=（）arcsin 2xC +B. arcsin 2x C +C. arcsin 2x C +arcsin 2x C +答案C81.2229x x dx x+=+⎰（） A.2ln(9)3arctan3x x x C ++-+ B.2in(9)3arctan 3xx x C +--+C.2ln(9)3arctan 3x x x C -+++ D. 2in(9)3arctan 3xx x C ++++ 答案A 82. 将1)()(lim-=--→ax a f x f ax ，则函数)(x f 在a x =处（）A.导数存在，且有1)(-='a fB.导数一定不存在C. )(a f 为极大值D. )(a f 为极小值答案A83.4=⎰（）A.4arctan 22-B.5arc tan 22-C.5arctan 22+D.4arctan 22+ 答案B84.设()f x 在[,]a a -上连续，且()()f x f x -=-则()aaf x dx -=⎰（）A.2aB.0C.aD. D.02()af x dx ⎰答案B85.11x -⎰A.0B.2C.-2D.4答案A86.320cos sin x xdx π=⎰（）A.13 B.13-C.14-D.14答案D87.用定积分表示由抛物线2y x =和圆222x y +=所围成的面积是（）A. 1-⎰B.121)x dx -⎰C ．121x dx -⎰D.0dy答案B 88. ⎰ba xdx dx d arcsin 等于（）A. a ar b cos arcsin -B. 211x -C. x arcsinD. 0答案D.89. 下列关系正确的是（） A. ⎰-=11301dx xB. ⎰+∞∞-=03dx xC. ⎰-=1150sin dx xD. ⎰-=1140sin dx x答案C90.设(cot ,)xy z f x e -=且f 有一阶连续偏导数，则zx ∂=∂（）A.21sin xyf fye x u v -∂∂-+∂∂ B. 21sin xy ffye x u v -∂∂--∂∂ C.21sin xy ffye x u v -∂∂-∂∂ D. 21sin xyf fye x u v -∂∂+∂∂答案B91. .设 x y sin = ，则 0='x y 等于（）A.1B. 0C.-1D. -2答案A92. 设 x y z 2= 则 x z∂∂ 等于A. 122-x xyB. x y 22C. y y x ln 2D. y y x ln 22 答案D93．设函数)(x f 在),(+∞-∞内有定义，下列函数中必为奇函数的是（）．A ．)(x f y -=B ．)(2x xf y =C ．)(x f y --=D ．)()(x f x f y -+=答案B94．下列命题正确的是（）A ．∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n u 必定发散B. 若 ∑∞=1n n u 收剑，则∑∞=1n n u 必定收剑 C.若∑∞=1n n u 收剑，则 )1(1∑∞=+n n u 必定收剑D. 若∑∞=1n n u 收剑，则∑∞=1n n u 必定收剑答案D95.设()y y x =由方程221y x y xe ++=确定，则y '=（） A.22y y e xy xe -- B. 22y y e xy xe +-C. 22y y e xy xe ++ D. 22y y e xy xe -+答案A96．设x z xy y =+，则12x y zx ==∂∂，12x y z y ==∂∂分别为（） A 33,24 B. 53,24 C. 57,24 D. 51,24答案B97．函数1ln()z x y =+的定义域为（）．A ．0x y +≠B ．0x y +> 且 1x y +≠C ． 0x y +>D ． 1x y +≠答案B98．函数23()23x f x x x -=+-的间断点为（）．A ．1,2x x ==B ．3x =C ．1,3x x ==-D ．无间断点答案C99．设函数()(2)(3)(4)f x x x x =---，则方程()0f x '=有（）．A ．一个实根B ．两个实根C ．三个实根D ．无实根答案B100．已知2201dx a x+∞+⎰2π=，则a =（）． A ．0B ．2C ． πD ．1答案D。

高等数学微积分教材答案

高等数学微积分教材答案第一章：导数与微分1.1 导数的定义1.1.1 极限的概念1.1.2 函数的极限1.1.3 导数的定义及计算方法1.2 导数的基本性质1.2.1 可导性与连续性的关系1.2.2 导数的四则运算法则1.2.3 导数的链式法则1.3 高阶导数与隐函数微分1.3.1 高阶导数的定义1.3.2 隐函数的导数计算方法1.4 微分的定义与微分公式1.4.1 微分的定义1.4.2 微分的性质1.4.3 微分公式第二章：微分学的应用2.1 函数的单调性与极值2.1.1 函数单调性的判定2.1.2 函数的极值与最值2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的凹凸性定义2.2.2 函数的拐点2.3 泰勒公式与函数的近似计算 2.3.1 泰勒公式的定义2.3.2 泰勒公式的应用2.4 最值问题与优化问题2.4.1 最值问题的分析方法2.4.2 优化问题的数学建模第三章：不定积分3.1 原函数与不定积分3.1.1 原函数的定义与性质3.1.2 不定积分的定义3.2 积分基本公式3.2.1 基本积分公式3.2.2 积分的线性性质3.3 第一类换元积分法3.3.1 第一类换元积分法的基本思想 3.3.2 第一类换元积分法的具体步骤3.4 分部积分法与第二类换元积分法 3.4.1 分部积分法的定义与应用3.4.2 第二类换元积分法的基本原理第四章：定积分与定积分的应用4.1 定积分的定义与性质4.1.1 定积分的几何意义4.1.2 定积分的性质4.2 定积分的计算方法4.2.1 定积分的基本计算方法4.2.2 定积分的换元法4.3 定积分的应用4.3.1 曲线与曲面的长度4.3.2 曲线与曲面的面积4.3.3 物理应用中的定积分4.4 微积分基本定理与不定积分的计算方法 4.4.1 微积分基本定理4.4.2 不定积分的计算方法第五章：数项级数5.1 数项级数的概念与性质5.1.1 数项级数的定义5.1.2 数项级数的性质5.2 收敛级数的判别法5.2.1 正项级数的判别法5.2.2 任意项级数的判别法5.3 幂级数与函数展开5.3.1 幂级数的收敛半径5.3.2 幂级数的函数展开5.4 常数项级数的求和5.4.1 等比级数的求和5.4.2 绝对收敛级数的求和第六章：级数的应用6.1 函数展开与泰勒级数6.1.1 函数展开与泰勒级数的概念6.1.2 泰勒级数的求法6.2 常微分方程与级数解6.2.1 常微分方程的基本概念6.2.2 幂级数解的构造6.3 分析几何中的级数应用6.3.1 曲线与曲面的参数方程6.3.2 空间曲线与曲面的求交问题6.4 物理学中的级数应用6.4.1 物理学中的振动问题6.4.2 物理学中的波动问题总结高等数学微积分教材涵盖了导数与微分、微分学的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、数项级数和级数的应用等内容。

郑州大学网络教育高等数学期末考试复习题及参考答案

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函数的极值点一定是函数的驻点。收藏
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连续周期函数的原函数为周期函数。
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B.
仅有水平渐近线
C. 仅有铅直渐近线
D. 既有水平渐近线，又有铅直渐近线
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2
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C.
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A. 充分必要条件
B. 必要条件
C. 既非充分也不必要条件
D. 充分条件
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整理大学微积分题目带答案

第 1 页共 2 页
微积分初步模拟试题答案及评分标
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第 2 页共 2 页微积分初步模拟试题答案及评分标准
（供参考）
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
⒈(2,3)∪(3,+∞) ⒈0 ⒈27(1+ln3) ⒈e x 2+C ⒈4
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
⒈D ⒈C ⒈B ⒈A ⒈ C
三、（本题共44分，每小题11分）
⒈解：lim x→2x 2−3x+2
x 2+x−6=lim x→2(x−1)(x−2)(x+3)(x−2)=15 11分 ⒉解：y ′=2xe 1x +x 2e 1x (−1x 2) 9分
=e 1x (2x −1) 11分 ⒋解：∫(2x −1)10dx =12∫(2x −1)10d(2x −1)=122(2x −1)11+C 11分
⒌解：∫xe x dx =xe x |01−∫e x dx =e −e x |01=1
11分
四、应用题（本题16分）
解：设矩形的边长分别为x,y （厘米），则有2x +2y =120
又旋转成的圆柱体的体积为
V =πx 2y =πx 2(60−x)
求导得
V ′=3πx(40−x)
令V ′=0得x =40,(x =0舍去）。

V ′′=3π(40−2x)|x=40<0，说明x =40是极大值点，故当x =40,y =20厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。

16分
整理丨尼克
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郑州大学2013级微积分(上)试题(a卷)及其参考答案

dy dx
tan y
C1 .
④
④为可分离变量型，由④得到
tan
1 y
C1
dy
dx
即
ln siny C1 x ln C2
化简得
siny C1 C2e x
为①的通解.又注意到当 p 0 时，当 y 0 时，可得①的平凡解 y C .
10.求方程 y 2 y y xe x e x ① 的一个特解. 【解】与①对应的齐次方程的特征方程为 r 2 2r 1 0 ，解之得， r1 r2 1.
将②、③、④代入①有
e x 6ax 2b x 1e x ，即
6ax 2b x 1
⑤
第5页
郑州大学 2013—2014 学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案
比较⑤式知
6a 1, 2b 1,
，解之得
a
1 6
,
b
1 2
.
故
y*
x 2e x
1 6
x
1 2
.
二、求解下列各题（每题 10 分，共 20 分） 1．（1）设平面图形 A 由抛物线 y x2 ，直线及 x 轴所围成，求平面图形 A 绕 x 轴旋转一周所形成的立体体积.
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
解： y
x2 1
x2 1 2
1； x2 1 3

郑州大学2013级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案

＝1
得分评卷人
【解】
lim
x

2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x

lim
x

1
1 x
2

1 x2

lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x

0
f
sin
xdx .
【证明】

（1）
设
2 2
g u du

I .令 u t
则
I

2

g tdt

2

2

2
g

t
dt

2 2
g
u du
（因为
gu
为奇）

2

2
g u du

I
，

即得到
I I .因此必有
1 1 ex
dx

ex 1 ex
dx

1 1 ex
d
1
ex
ln 1 ex C ；
【解法二】
1 1 ex
dx

1
ex 1
ex
e
x
dx

dx
1
1 e
x
d
1

e
x
x ln 1 e x
C；

郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题2008-2009学年第一学期期末试题

郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题2008-2009学年第一学期期末试题合分人：复查人：一、求下列极限（每小题5分，共20分） 1. ()111limcos 1xx x xe x -→-=--2. ()()21ln 10lim cos x x x +→=3. 01lim cot x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.21cos x t dt →-=二．求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分） 1．设()()()F x x a f x =-，其中()f x 为连续函数，求().F a '2．设函数()x y y =由方程()22y f x y =+确定，其中()f t 具有一阶连续导数，求.dy3．设()ln sin 0,xx y x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭求.y '4．求方程220y y y '''++=的通解.三．求下列积分（每小题6分，共30分） 1. 411dx x =-⎰2. 2=郑州大学软件学院____________________专业_____________ 班姓名_______________学号______________________密封线内不要答题———————————密———————————————封———————————————线————————————3. 220sin sin 21cos x xdx xπ+=+⎰4. 设()0,ln x f x >=求()22.xf x dx -'⎰5.()2111ln dx x x +∞=+⎰四．求解下列各题（共10分）讨论方程12x xe e-=的根的个数.五．设()f x 有连续导数，且()()()2220x f x xt f t dt x '=-+⎰（1），求()f x （共10分）六.求曲线ln y x =与与x 轴及直线x e =所围图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周所生成的立体的体积.（10分）———————————密———————————————封———————————————线————————————密封线内不要答题郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题 2008-2009学年第一学期期末参考答案一、（每小题5分，共20分）1．()()()ln 11111111ln lim lim lim cos 1cos 1cos 1x x x x x x x x x x e x x e x e x e x ---→→→---==------ ()11l n 1l i m 1s i n 1x x x e x -→--==-+- .()()()()22cos 111ln 1cos 1ln 1002.lim cos lim 1cos 1x x x x x x x x -+-+→→⎧⎫=+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭()2cos 11ln 12.x x e e --+==其中，()2200cos 112limlim .2ln 1x x x x x x →→--==-+ 20000111tan tan 3.lim cot lim lim lim tan tan x x x x x x x x x x x x x x x→→→→--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222000s e c 1t a n l i ml i m l i m 0.222x x x x x x x xx →→→-====()220001cos 1cos 124.lim lim .451022x x x x xt dt x x x x →→→→--====++二．（每小题5分，共20分）.1．解：()()()()()()()limlim lim x a x a x a F x F a x a f x F a f x f a x a x a→→→--'====--.2．解：方程两边同时关于x 求导，得：()()2222.y f x yx y y '''=++ (1)所以， ()()2222212xf x y y yf x y '+'='-+ (2)故 ()()22222.12xf x y dy dx yf x y'+='-+3．解：两边取对数，得：2ln ln .lnsin ln .y x x x =- 上式两边同时关于x 求导，得：11c o s1.l n s i n l n .2.l n .s i n x y x x x y x x x'=+- 所以 11.lnsin ln .cot 2.ln y y x x x x x x ⎡⎤'=+-⎢⎥⎣⎦ln sin 11..lnsin ln .cot 2.ln .xx x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4．解：特征方程为 2220r r ++=，特征根为1r i =-±，故通解为 ()12cos sin .x y e C x C x -=+ 三．（每小题6分，共30分）42222111111111.12112121dx dx dx dx x x x x x⎛⎫=+=+ ⎪--+-+⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 111l n.a r c t a n.412x x C x+=++-22112.x -+==-+11arcsin arcsin arcsin .22x x C x C =++=+另解：令sin ,x t =则cos ,dx tdt =原式22sin 1cos21.cos sin sin2cos 224t t t tdt tdt dt t C t -====-+⎰⎰⎰ 郑州大学软件学院____________________专业_____________ 班姓名_______________学号______________________密封线内不要答题———————————密———————————————封———————————————线————————————11sin .cos arcsin .222t t t C x C =-+=+ 3.222222000sin sin2sin sin21cos 1cos 1cos x x x x dx dx dx xx x πππ+=++++⎰⎰⎰ 其中 ()()22222000sin 1cos arctan cos 1cos 1cos 4|x dx d x x x x ππππ=-=-=++⎰⎰； ()()22222000sin211cos ln 1cos ln2.1cos 1cos |x dx d x x x xπππ=-+=-+=++⎰⎰ 所以，220sin sin 2ln 2.1cos 4x x dx x ππ+=++⎰4.解：因为()()ln 0.f x x > 故()()2,0xf x e x -==>.()()()()22222222|xf x dx xdf x xf x f x dx ----'==-⎰⎰⎰()()()()221122222224.|xx f f e dx e e ee ------=+--=++=⎰5()()()()2211111.ln arctan ln .21ln 1ln |dx d x x x x x π+∞+∞+∞===++⎰⎰ 四．共10分）解：令()()1,0,2x f x xe x e-=-∈+∞，则()()1x x x f x e xe x e ---'=-=- 令()0,f x '=得唯一驻点 1.x =因为当(),1x ∈-∞时，()0;f x '>而当()1,x ∈+∞时，()0.f x '< 因此 ()111122f e e e-=-=为函数的最大值. 又()011lim lim ;22x x x f x xe e e++-→→⎛⎫=-=⎪⎝⎭ ()11111l i m l i m l i m l i m .2222x x x x x x x x x f x e e e ee e e →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭ 综合以上信息可以画出函数()12x y f x xe e-==-之草图. 从图易见方程12x xe e-=恰有两根. 五．（共10分）解：由（1）式显然得()00.f =()()()2220x xf x x f t dt t f t dt x ''=-+⎰⎰ (2)(2)式两边关于x 求导，得 ()()()()2222xf x xf t dt x f x x f x x ⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦⎰即 ()()022xf x x f t dt x ''=+⎰即()()22f x xf x x '=+ ，也就是 ()()22f x xf x x '-= （3）此为一阶线性微分方程，故其通解为()()222222xdx xdx x x f x e xe dx C f x e xe dx C ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2221x x x e eC C e -⎡⎤=-+=-⎣⎦（4）将()00.f =代入（4）式，得1C =，所以()21x f x e =-.六.（10分）解：（一） 22111ln ln 2ln |ee e x V xdx x x xdx ππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()1112ln 2.ln 12212.|ee ee xdx e x x dx e e e e πππππππ⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦=-+-=-⎰⎰ （二）2211112ln 2ln 2.ln 222|eee e y x x x V x xdx xd x dx πππ⎛⎫⎡⎤===- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰()()22222111.222|e x e e e e πππππ=-=--=+———————————密———————————————封———————————————线————————————密封线内不要答题。

大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)

大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷学院：专业：行政班：姓名：学号：座位号：----------------------------密封--------------------------一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞=，则级数1nn a∞=∑（）；A.一定收敛，其和为零B. 一定收敛，但和不一定为零C. 一定发散D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（）；A. 623(, , )777B. 623(, , )777-C. 623( ,, )777--D. 623(, , )777--3、设32()x x y f t dt =⎰，则dy dx=（）；A. ()f xB. 32()()f x f x +C. 32()()f x f x -D.2323()2()x f x xf x -4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在C. 必为初等函数D. 不一定存在二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数11n n n ∞=+∑必定____________（填收敛或者发散）。

2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。

3、定积分121sin x xdx -=⎰__________ _。

4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2()lim ()x a f x g x →=__________。

三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 )1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ⎰2、( 本小题7分 )若()0)f x x x =>，求2'()f x dx ⎰。

郑州大学远程教育学院高等数学模拟试卷1.

高等数学(一模拟试卷第一套选择题：1-10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项市符合题目要求的。

⎧1. 设函授f (x = ⎪x , ⎨ln(1+x ,x ≠0 则x=0处连续，则a 等于（⎪⎩a x =0 A ． 0 B .12C. 1D. 22. 设y=sin 2x,则y '等于（）.A. –cos 2xB. cos 2xC. –2cos 2xD. 2cos 2x 3. 过曲线y=xln x上M 0点的切线平行与直线y=2x,则切点M 0的坐标是（ A. （1，0） B.（e,0） C.（e,1） D.（e,e ）'4. 设 f(x为连续函数，则⎛x⎝⎰a f (t dt ⎫⎪⎭等于（） A. f(t B. f(t- f(a C. f(xD. f(x- f(a5. 若x 0为f(x的极值点，则（）A. f '(x 0 必定存在，且f '(x 0 =0B. f '(x 0 必定存在，且f '(x 0 不一定等于零C. f '(x 0 不存在，或f '(x 0 =0D. f '(x 0 必定不存在 6. ⎰1sin2x dx 等于（）A. -1sin x +c B. 1sin x +c C. -cot x +c D. cot x +c ））7. 平面π1:x -2y +3z +1=0π2:2x +y =2=∂z ∂x的位置关系为（）C. 平行D. 重合A. 垂直B.斜交 8. 设z=tan(xy,则y -cos (xy2等于（）y cos (xy2A.B. C.y -(xy2D.y +(xy29．级数∑(-1n =1∞nk n2（k 为非零正常数）（）A. 绝对收剑B. 条件收剑C. 发散D. 收剑性与k 有关10．微分方程y '+y =0的通解为（）A ． y=e x B. y= e -x C. y=Ce x D. y=Ce -x 11．求lim x →∞二、填空题：11-20小题，每小题4分，共40分。

郑州大学历届微积分试题(含答案)

l
→
→
在(0,+∞)内有定义且有连续的导数，还满足f(1) = 1, 求f(x)
微积分（下）理工共 52 页第 1 页
十二、（10 分）
xy ⎧ , ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ 2 设f(x, y) = ⎨ x + ( x − y ) 2 ⎪0 , ( x, y ) = (0,0) ⎩ 证明f(x, y)在(0,0)点不连续，但f x (0,0) = f y (0,0) = 0
n==(FxFyFz)=( 2 3, 2 3, 2 3 )
切平面方程 ( x − 3) + ( y − 3) + ( z − 3) = 0 四、（5 分）设函数 u（x,y），v（x,y）由下述方程组 ⎧ xu 2 + yv 2 = 0 ⎨ ⎩ xu − yv = 1
' x
所确定,求偏导数 u x ，v x
x
y
y⎞ ∂z ∂z ⎛ f ⎜ x − y, ⎟, 其中 f 可微，求 , . ∂x ∂y x⎠ ⎝
/
∂z = ∂x
(x )
y
/
x
y ⎞⎤ ⎛ y⎞ y⎡ ⎛ f ⎜ x − y , ⎟ + x f ⎜ x − y, ⎟ = y ⎢ x⎠ ⎝ x ⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦
x
x
y −1
⎡ / y⎞ y ⎛ f ⎜ x − y , ⎟ + x ⎢ f .1 + 1 x⎠ ⎢ ⎝ ⎣
u 2 + 2uv ' u2 , vx = 两端对 x 求导解， u = 2ux + 2vx 2uy + 2vy ∂2z x 五、（5 分）设函数 z = f ( x, ), 其中f具有连续的二阶偏导数, 求 2 y ∂x

郑大微分方程一、二、三章习题解答

习题解答习题1.11．一质量为m 的物体，从高度0s 处以初速度0v 铅直向上抛出．设空气的阻力与速度成正比，试求物体的运动规律所满足的微分方程，并写出初始条件．解如图建立坐标系，设时刻t 时物体的高度为()x t ．因物体所受的合力为f mg k dx dt =+，方向向下，由Newton 第二定律可得22d x dx m mg k dt dt=--（0k >为常数），化简后可得微分方程220d x k dxg dt m dt++=．若令dx dt v =，则得速度v 满足的一阶微分方程0dv kv g dt m++=，相应的初始条件为0(0)v v =．2．一高温物体在C20的恒温介质中冷却．设在冷却过程中降温速度与物体和其所在介质的温度差成正比．已知物体的初始温度为0u ，试求物体的温度)(t u 所满足的微分方程，并写出初始条件．解设时刻t 时物体的温度为)(t u ，由Newton 冷却定律可得微分方程(20)duk u dt=--（0k >为常数），相应的初始条件为0(0)u u =．3．已知曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，试求这曲线所满足的微分方程．解如图所示建立坐标系，设所求曲线为()y y x =，曲线上的坐标为(,)x y ，过点(,)x y 处的切线上的坐标为(,)X Y ，则切线方程为'()Y y y X x -=-，易见该切线在纵轴上的截距为'b y xy =-．由条件可知'2x yy xy +-=，整理可得微分方程11'02y y x -+=．习题1.24．求下列两个微分方程的公共解：24'2y y x x =+-，242'2y x x x y y =++--．解公共解当然满足关系式2424222y x x x x x y y +-=++--，化简，得22()[2()1]0y x y x -+-=．所以2y x =和212y x =-可能是两个方程的公共解．进一步验证可知前者是公共解，而后者不是．5．求微分方程2''0y xy y +-=的直线解．解设直线解为y ax b =+，则2()0a a x ax b +-+=．比较同次幂系数得a b =，2a a =，故0a b ==，或1a b ==．亦即所求的直线解为0y =或1y x =+．6．试求下列曲线族所满足的微分方程：（1）2y cx x =+，（2）12x x y c e c xe =+；（3）平面上的一切圆．解（1）从2y cx x =+，'2y c x =+消去c 可得微分方程2'0xy x y --=．（2）从12x x y c e c xe =+，12'(1)x x y c e c x e =++，12"(2)x x y c e c x e =++消去12,c c 可得微分方程"2'0y y y -+=．（3）从222()()x a y b c -+-=，()()'0x a y b y -+-=， 21'()"0y y b y ++-=，3'"()"'0y y y b y +-=消去,,a b c 可得微分方程22[1(')]"'3'(")0y y y y +-=．7．给定微分方程22234'x y y xy ，证明其解曲线关于坐标原点(0,0)O 成中心对称的曲线，也是此微分方程的解曲线．证明设00(,)x y 是方程22234'x y y xy 的积分曲线上任意一点，根据题意，我们只需证明00(,)x y --也是方程22234'x y y xy 的解即可．事实上，设()y y x =为任意积分曲线，00(,)x y 为其上任一点，则2223000004'()()()x y x y x x y x ．又设1()y y x =为与积分曲线()y y x =关于坐标原点成中心对称的曲线，则010()()y x y x =--，010'()'()y x y x =-．代入上式，得2223010100104'()()()x y x y x x y x ，即2223010100104()'()()()()x y x y x x y x ，即00(,)x y --也是方程22234'x y y xy 的解．习题1.31．试用图像法作出如下微分方程的方向场和积分曲线的略图：（1）||'xy xy y；（2）2)1(' y y ；（3）xy y 1'；（4）22'y x y =-．解（1）当0xy >时，(,)1f x y º，即在第一、第三象限任何点的方向斜率均为1；当0xy <时，(,)1f x y ?，即在第二、第四象限任何点的方向斜率均为1-．由此不难画出方向场及积分曲线的略图．（2）易见2(,)(1)f x y y =-满足解的存在唯一性条件．考察等斜线2(1)y k -=（0k ³），即 1y k =?．当0k =时，1y =（容易验证它是一条积分曲线）。

郑州大学高等数学(下)试题参考答案

2008级高等数学下册试题（985）一、填空题（每小题3分，共 15分1微分方程250y y y '''++=的通解为________________. 2、设区域D 为221x y +≤，则()22____________.Dx y dxdy +=⎰⎰3．已知两直线的方程是1212321:,:,101211x y z x y zL L ---+-====- 则过1L 且平行于2L 的平面方程是________________.4、设S 是平面15x y z ++=被圆柱面221x y +=截出的限部分，则曲面积分_____________.Syds =⎰⎰5、设(){}222,,|1x y z xy z Ω=++≤，则2___.x d x d y d z Ω=⎰⎰⎰ 二、选择题（每小题3，共 15 1. 级数14n n n∞=∑的和为()A ()49A ； ()29B ； ()19C ； ()8.9D 2. 已知()(),f x f y 在区域(){},|1D x y x y =+≤上连续，且()()0,0.f x f y >> 则()()()()().Da f yb f x d x d y Bf x f y +=+⎰⎰ ()A a b -； ()B a b +； ()()2C a b +； ()()2.D a b -3. 曲线积分⎰+-Lyx xdyydx 22等于()A ，中L 为221x y +=，正向. ()2A π-； ()2B π； ()C π； ().D π4. 设曲线积分()()sin cos x L f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且()01,f =则()f x 等于()D()4x xe e A -+； ()4x xe e B --； ()2x xe e C --； ().2x xe e D -+ 5. 设()f x 在点0x =的某个邻域内二阶可导，且()30sin 1lim,2x x xf x x →+=则()()0.f C ''= ()1A ； ()0B ； ()43C ； ()2.3D 三、计算、证明题（每题10分，共 70分）1．证明：曲面 ()30xyz a a =>上任一点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为一定数.2. 叙述格林公式并计算曲线积分()()222210.LI xy y dx xy x x dy =---+-⎰其中L 是以()()()()0,0,1,0,1,1,0,1为顶点的正方形的正向边界曲线. 3．()()22x y dx ydyx y +++是否为某个二元函数(),u x y 的全微分？若是，求(),.u x y 4．计算曲面积分()dS y x S⎰⎰+22，其中曲面S 为锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 5．求幂级数()n n x n n ∑∞=+111在()1,1-∈x 内的和函数.6．计算曲面积分⎰⎰∑+zdxdy y ydzdx x 22，∑是柱体(){}h z a y x z y x ≤≤≤+=Ω0,|,,222的外侧.7．（本题有两小题，周六课时的同学都做，周五课时的同学任选一题）（1）计算三重积分⎰⎰⎰Ω,2dxdydz z 其中区域Ω是由()⎩⎨⎧≤-++≤++2222222222,2z y x z y x 所确定. （2）设函数()u f 具有连续导数且(),00=f 求 ().1lim222222240dv z y xft t z y x t ⎰⎰⎰≤++→++π答案一、1、解：原微分方程对应的特征方程为2250r r ++= 得特征根为：12r i =-±，故通解为：()12cos2sin2.x y e c x c x -=+ 2、解：()212220..2Dx y dxdy d r rdr ππθ+==⎰⎰⎰⎰3、3、解：可取所求平面的法向量为1013211i jkn i j k =-=-+.点法式方程为： ()()()1.132 1.30x y z ---+-=，即320.x y z -++= 4、解：由对称性知，显然0.Syds =⎰⎰5、解：由轮换对称性222.x dxdydz y dxdydz z dxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故()2122222200011sin .33x dxdydz x y z dxdydz d d d ππθϕϕρρρΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4.15π= 二、ABADC1、解：令()()11,1,1.n n s x nx x ∞-==∈-∑则()011xnn x s x dx x x ∞===-∑⎰，()()21.11x s x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭- 故 12111111114..4444449114n n n n n n s -∞∞==⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑ 2、解：由对称性()()()()Daf y bf x I dxdy f x f y +=+⎰⎰=()()()()Daf x bf y dxdy f x f y ++⎰⎰相加得： ()()211.22D I a b dxdy a b a b =+=+=+⎰⎰3、解：⎰⎰-=-=-=+-L LA xdy ydx yx xdyydx .2222π（A 为L 所围成的区域的面积）. 4、解：因为()()sin cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，故 (){}()sin cos xf x e y f x y y x⎡⎤∂-∂-⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∂∂，化简，得 ()()xf x f x e'+= 由公式：()1121122dx dx x x x x x f x e e e dx c e e c e ce ---⎛⎫⎡⎤⎰⎰=+=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰又代入()01,f =得：1.2c =所以，().2x x e e f x -+=5、解：()()3s i n 12x x f x x x α+=+， ()()221sin .2xf x x x x x α=-+()()()22001sin 0lim lim 12x x x f f x x o x x →→⎡⎤==-+=-⎢⎥⎣⎦()()()()22001sin 1020lim limx x x x o x f x f x f x x→→-++-'==3201s i n 2l i m x x x x x →-+=罗比塔）=0 ()()()22cos sin ''.2x x xf x x x x x x xαα-=-++ ()()()()()2200cos sin '.20''0"0lim limx x x x x x x x x x f x f x f x xαα→→--++--== 330cos sin lim x x x x xx→-+=（罗比塔）34=，故 ()40.3f ''= 三、1、证：任取曲面3:0xyz a ∑-=上一点()0000,,M x y z令 ()3,,F x y z xyz a =-，则曲面在0M 点处的切平面的法向量为()()(){}{}00000000,,,,.x y zn F M F M F M y zx z x y'''==所以曲面在0M 点处的切平面为：3330000001.333x y za a a y z x z x y ++= ()()33399322300000000011333999 (32222)a a a a a V a y z x z x y x y z a ====2、解：格林公式的叙述这里略去.()()()()()222221022210LDxy x x xy y I xy y dx xy x x dy dxdy x y ⎡⎤∂-+-∂--⎢⎥=---+-=-∂∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()2210221010.DDy x y y dxdy dxdy =--+---==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰3、解：一）因为()y Py x y x Q ∂∂=+-=∂∂32在整个xoy 平面上除原点外恒成立，所以，()()22x y dx ydyx y +++是某一个函数()y x u ,的全微分二）()()()()()⎰+++=y x y x ydy dx y x y x u ,0,122,=()()⎰⎰+++x y y x dx y x y ydy 02122.1ln y x y y x +-++=4、解：.21S S S +=其中,:221y x z S +=dxdy y z x z dS 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.=()();22.22201222221πθπ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr r r d dxdy y x dS y xxyD S ,1:2=z S .122d x d y d x d y y z x z dS =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=，()();21.2010222221πθπ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr r r d dxdy y xdS y xxyD S所以()dS y xS⎰⎰+22()++=⎰⎰dS y x S 122()().2121122π+=+⎰⎰dS y xS 5、解：()nn x n n ∑∞=+111n n x n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1111-=∑∞=n n x n11nn x n ∑∞=+111 设()∑∞==11n n n x x s 则().111111x x n x x s n n n n -=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='∑∑∞=∞=- 所以， ()().1ln 110011x dx xs x s x --=-+=⎰ 即 x x n n n --=∑∞=1ln 11 设()∑∞=++=1121n n n x x s则().111112x x x n x x s n n nn -=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='∑∑∞=∞=+ 则 ()().1ln 10022x x dx x x s x s x ---=-+=⎰ 故 n n x n ∑∞=+111().1ln 1111211x x x s x n x x n n ---==+=∑∞=+所以 ()nn x n n ∑∞=+111=x --1ln .1ln 1x x --- (-1,1)6、解：原式()()xdydz d z zy y y x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=22()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y x 22==⎰⎰⎰dz r rdr d a h πθ202⎰⎰πθ203adr r d h .24ha π=7、解：（1）解法一：（先一后二）二重积分利作极坐标即为柱面坐标法：联立()⎩⎨⎧=-++=++,22,222222222z y x z y x 消z , xoy 坐标面上投影区域为.3:22≤+y x Ddz dxdy z⎰⎰⎰Ω2dr z r dz z rdr d r r r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-----334423442220|22223.2πθπ ()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=3323242432dr rr r π（令t r sin 2=）4330042.32cos sin .32cos sin 33t tdt t tdt ππππ=-⎰⎰⎰+32sin cos 32.2ππtdt t ⎰-303sin cos 32.2ππtdt t 5915π=采用球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域：.21Ω⋃Ω=Ω ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,20,30,20:1ρπϕπθ 202,:,3204cos ,θπππϕρϕ≤≤⎧⎪⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩则dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+22 ρρϕρϕϕθππd d d ⎰⎰⎰=20302222.cos sin ρρϕρϕϕθπππϕd d d ⎰⎰⎰+2023cos 40222.cos⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰204302cos .sin 2ρρϕϕϕππd d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ϕππρρϕϕϕπcos 404232cos .sin 2d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=||20530351cos 312ρϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰237cos .sin 32.32512ππϕϕϕπd .1559π= （2）()()ρρρϕϕθππd f d d dv z y xft t z y x 220222sin 2222⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++≤++ ().420ρρρπd f t⎰=，所以，()()420222404lim1lim2222t d f dv z y x f t tt t z y x t πρρρππ⎰⎰⎰⎰→≤++→=++（洛必达）()3204.4l i m tt t f t ππ→= ()t t f t 0l i m →=()()().000lim 0f t f t f t '=--=→。

郑州大学版高等数学（上册）第一章课后详解答案

1 习题1.11.求下列函数的定义域. （1）234y x x=-（2）2ln 3x y x -=-（3）24y x =-（4）11arcsin 33xy x-=+-解：（1）只要分母不为零即可，即0x ¹且4x ¹.定义域为(,0)(0,4)(4,)-¥+¥ （2）只要203x x ->-即可，故定义域为(2,3)（3）只要240x -³即可，故定义域为(,2][2,)-¥-+¥ （4）只要30x ->并且1113x --££即可，易解得定义域为[2,3)-2. 下列各对函数是否相同？为什么？（1）(),()1x f x g x x==；（2）3433(),()1f x x x g x x x =-=-. 解：（1）不同，因为定义域不同，()f x 的定义域为{|0,}x x x ¹Î ，而()g x 的定义域为全体实数. （2）相同，因为定义域相同，均为全体实数，对应法则也相同. 3. 求下列函数的反函数，并指出其定义域. （1）22(0)y x x =+³（2）31xy =-解：（1）由22y x =+可得222y x =+，故222x y =-，由于0x ³，所以22x y =-原函数的反函数为22y x =-，定义域为2x ³（2）由31x y =-可得13xy +=，所以3l o g (1)x y =+，故原函数的反函数为3log (1)y x =+，定义域为1x >-4. 判断下列函数的奇偶性（1）sin ()cos x xf x x x -=（2）2()ln(1)f x x x =++（3）1()ln 1xf x x-=+（4）()2x xa a f x -+=解：（1）由于sin()sin sin ()()cos()cos cos x x x x x x f x f x x x x xx x----+--====---，所以()f x 为偶函数.（注：其中用到了sin()sin ,cos()cos x x x x -=--=）（2）22221()ln(()1)ln(1)ln()ln(1)1f x x x x x x x x x-=-+-=+-==-++++()f x =-，所以()f x 为奇函数. （3）11()ln ln ()11x xf xf x x x+--==-=--+，所以()f x 为奇函数. （4）()()2xx a af x f x -+-==，所以()f x 为偶函数. 5.下列函数在指定区间内是否有界？下列函数在指定区间内是否有界？（1）21,(,1],(1,0)y x =-¥-- （2）2,(1,2),(2,)1y x =+¥-解：（1）在(,1]-¥-上，2101x <£，故有界；而在(1,0)-上，函数无上界，故无界. （2）在(1,2)上，函数无上界，故无界；而在(2,)+¥上，2021x <<-，故有界. 6. 将下列复合函数进行分解将下列复合函数进行分解（1）3sin (32)y x =+ （2）ln ln ln y x = （3）y x x =+ （4）2tan xy e=解：（1）3,sin ,32y u u t t x ===+ （2）ln ,ln ,ln y u u t t x === （3）,y u u x x ==+ （4）2,,tan uy e u t t x ===7. 已知2(1)3f x x x +=-，求(),(1)f x f x -解：令1x t +=，则1x t =-， 22(1)()(1)3(1)54f x f t t t t t +==---=-+，由于函数与变量符号的选择无关，故2()54f x x x =-+22(1)(1)5(1)4710f x x x x x -=---+=-+8. 设1,||1,()0,||1,()1,||1xx f x x g x e x <ìï===íï->î，求[()],[()]f g x g f x解：当0x <时，0()1xg x e <=<，故[()]1f g x =，当0x =时，()1g x =，故[()]0f g x =，当0x >时，()1xg x e =>，故，故 [()]1f g x =-. 当||1x <时，()1f x =，故[()]g f x e =，当||1x =时，()0f x =，故[()]1g f x =，当||1x >时，()1f x =-，故1[()]g f x e=. 综上，1,0,[()]0,0,1,x f g x x x <ìï==íï->î 11,||1,[()]1,||1,,||1e e x gf x x x <ìï==íï>î9. 两个单调增加的函数的复合函数是否一定单调增加？它们的乘积又如何？两个单调增加的函数的复合函数是否一定单调增加？它们的乘积又如何？答：两个单调增加的函数的复合函数一定单调增加.但是乘积不一定但是乘积不一定设()y f u =与()u g x =能够复合，并且都是单调增的函数，即对任意的12x x <，都有，都有12()()g x g x <；对任意的12u u <，都有12()()f u f u <.特别对11()u g x =，22()u g x =，显然有12u u <，故12(())(())f g x f g x <，即证复合函数仍为单调增. 下面看乘积，例如()()f x g x x ==，显然在(,)-¥+¥都是单调增的，但是2()()f x g x x = 在(,)-¥+¥并不是单调增的，而()()xf xg x e ==，显然在(,)-¥+¥都是单调增的，都是单调增的，2()()xf xg x e = 仍在(,)-¥+¥上单调增. 10. 设()f x 是周期为p 的奇函数，当(0,]2x pÎ时，()sin cos 2f x x x =-+；当(,]2x pp Î时，求()f x 的表达式. 解：由于()f x 是周期为p 的函数，所以()(0)f f p =，又()f x 是奇函数，可知(0)0f =. 当(,0)2x pÎ-时，(0,)2x p -Î，由()f x 是奇函数可得()()(sin()cos()2)sin cos 2f x f x x x x x =--=----+=+- 当(,)2x pp Î时，(,0)2xpp -Î-，由s i n ()s i n ,c o s ()c o s x x x x p p -=--=-以及()f x周期为p ，可知()()sin()cos()2sin cos 2f x f x x x x x p p p =-=-+--=---综上可得sin cos 2,(,)()20,x x x f x x p p p ì---Îï=íï=î11. 设1()2y f t xx =-，且21|52x t y t ==-+，求()f x 解：由题即知211|(1)522x t y f t t ==-=-+，故2(1)210f t t t -=-+.令1t x -=，则，则1t x =+，22(1)()(1)2(1)109f t f x x x x -==+-++=+.所以2()9f x x =+ 12. 设(sin )1cos 2x f x =+，求(cos )2xf解：利用二倍角公式22cos 12sin 2cos 122x x x =-=-2(sin )1cos 22sin 22xx f x =+=-，令sin 2xt =，则2()22f t t =-.从而2(cos )22cos 1cos 22x x f x =-=-. 习题1.21. 从图象上观察并写出下列极限从图象上观察并写出下列极限（1）0lim 2,lim 2,lim 2,lim 2x x xx x x x x ®®¥®-¥®+¥（2）130lim ln ,lim ln ,lim ln ,lim ln x x x x x x x x +®®+¥®® （3）02lim cos ,lim cos ,lim cos ,lim cos x xx x x x x x p ®®+¥®-¥®（4）1lim arctan ,lim arctan ,lim arctan ,lim arctan x x x x x x x x ®®+¥®-¥®¥解：图略. （1）0lim 21xx ®=，lim 2xx ®¥不存在，lim 20xx ®-¥=，lim 2xx ®+¥=+¥（也是不存在）（也是不存在）（2）1lim ln 0x x ®=，0lim ln x x +®=-¥（不存在），lim ln x x ®+¥=+¥（不存在），3lim ln ln 3x x ®= （3）0lim cos 1x x ®=，lim cos x x ®+¥不存在，lim cos x x ®-¥不存在，2lim cos 0x x p®= （4）1lim arctan 4x x p ®=，lim arctan 2x x p ®+¥=，lim arctan 2x x p ®-¥=-，lim arctan x x ®¥不存在. 2. 设函数21,0,()0,0,1,0x x f x x x x ì->ï==íï-<î求当0x ®时，函数的左、右极限，并说明当0x ®时函数的极限是否存在. 解：左极限00lim ()lim (1)1x x f x x --®®=-=，右极限200lim ()lim (1)1x x f x x ++®®=-=-，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x ®时函数的极限不存在. 3. 求函数||()x f x x=当0x ®时的左、右极限，并说明当0x ®时函数的极限是否存在. 解：左极限000||lim ()lim lim 1x x x x x f x x x ---®®®-===-，右极限000||lim ()lim lim 1x x x x x f x x x+++®®®===，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x ®时函数的极限不存在. 4. 设函数1,1,()0,1,1,1x x f x x x x +<ìï==íï->î求013lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x ®®® 解：当0x ®时，只关心离0很近的那些点，所以可以认为1x <，故00lim ()lim(1)1x x f x x ®®=+=当1x ®时，11lim ()lim(1)2x x f x x --®®=+=，11lim ()lim(1)0x x f x x ++®®=-=，左右极限都存在但是不相等，所以1lim ()x f x ®不存在. 当3x ®时，只关心离3很近的那些点，所以可以认为1x >，故33lim ()lim(1)2x x f x x ®®=-=. 5. 设2||lim arctan 3||2x ax x x bx x p ®¥+=--①，求,a b 的值. 解：解：（1）当x ®+¥时，可以认为0x >，故||x x =，故=-++¥®x bx x ax x 32lim 3232lim -+=-++¥®b a x bx x ax x ，从而2.32arctan 32lim p -+=-++¥®b a x x bx x ax x ，所以由①式，可知22.32p p -=-+b a ，即213a b +=--； ② （2）当x ®-¥时，可以认为0x <，故||x x =-，故3232lim +-=+--¥®b a x bx x ax x ，从而÷øöçèæ-+-=+--¥®232arctan 32lim p b a x x bx xax x ，所以由①式，可知213a b -=+. 综上，可得方程组2323a b a b +=-ìí-=+î，解得32a b =ìí=-î. （注：lim arctan 2x x p ®+¥=，lim arctan 2x x p ®-¥=-） 6. 设2||()43||x x f x x x +=-.求：求：（1）lim ()x f x ®+¥；（2）lim ()x f x ®-¥；（3）0lim ()x f x +®；（4）0lim ()x f x -®；（5）0lim ()x f x ®. 解：由于23,0,2||43()2143||,0.437x x x x x x x f x x x x x x x x +ì=>ï+ï-==í--ï=<ï+î 故易得（1）lim ()3x f x ®+¥= （2）1lim ()7x f x ®-¥= （3）0lim ()3x f x +®= （4）01lim ()7x f x -®= （5）0lim ()x f x ®不存在（左右极限都存在但是不相等）. 习题1.31. 下列函数在自变量怎样的变化过程中为无穷小量？在怎样的变化过程中为无穷大量？（1）242x y x -=-；（2）311y x =+；（3）21xy =-；（4）1xy e =解：（1）2422x y x x -==+-在2x =处无定义由22lim lim (2)0x xy x ®-®-=+=，可知此函数在2x ®-时为无穷小量；由lim lim(2)x x y x ®¥®¥=+=¥，可知此函数在x ®¥时为无穷大量. （2）311y x =+在1x =-处无定义.由31lim lim 01x x y x ®¥®¥==+，可知此函数在x ®¥时为无穷小量；由3111lim lim 1x x y x ®-®-==¥+，可知此函数在1x ®-时为无穷大量. （3）由00lim lim(21)0xx x y ®®=-=，可知此函数在0x ®时为无穷小量；由lim lim (21)xx x y ®+¥®+¥=-=+¥，可知此函数在x ®+¥时为无穷大量. （4）1xy e =在0x =处无定义.由100lim lim 0xx x y e --®®==，可知此函数在0x -®时为无穷小量；由100lim lim xx x y e ++®®==+¥，可知此函数在0x +®时为无穷大量. 2. 两个无穷小量的商是否为无穷小量？请举例说明. 答：不一定，比如说当0x ®时，2x 与2(2)x 都是无穷小量，2201lim 0(2)4x xx ®=¹，故不是无穷小量，又2x 与x 都是无穷小量，200lim lim 0x x xx x®®==，是无穷小量. 3. 求下列极限. （1）sin lim x x x ®¥；（2）2arctan lim x x x ®¥；（3）3113lim()11x x x ®---；（4）2211lim 23x x x x ®-+-（5）322lim()2121x x x x x ®¥-+-；（6）321lim 34x x x x ®¥--+；（7）342lim 1x x x x ®¥+-+；（8）33221lim 423x x x x ®¥++-；（9）11lim ()1nx x n x +®-Î-Z ；（10）0()lim ()nnx a x a n x +®+-ÎZ 解：（1）由于|sin |1x £，可知sin x 在(,)-¥+¥上为有界函数，而当x ®¥时，10x®，为无穷小量，有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，故sin 1lim lim(sin )0x x xx x x®¥®¥== （2）由于|arctan |2x p<，可知arctan x 在(,)-¥+¥上为有界函数，而当x ®¥时，210x ®，为无穷小量，故22arctan 1lim lim(arctan )0x x x x x x®¥®¥== （3）2332111131323lim()lim()lim()111113x x x x x x x x x x x ®®®++-+-====---++ （通分，消元）（通分，消元）（4）22111121lim lim 23342x x x x x x x ®®-+===+-+ （5）3232222(21)(21)lim()lim 2121(21)(21)x x xxx x x x x x x x ®¥®¥--+-=+-+-3232lim 4221x x xx x x ®¥--=-+-23111lim 1114422x xx x x®¥--==--+- （6）322211lim lim 1134134x x x x x x x x x ®¥®¥--==¥-+-+ （7）3344411122lim lim 0111x x x x x x x x x®¥®¥+-+-==++ （8）33323122121lim lim 1142342423x x x x x x x x ®¥®¥++===+-+-（注：5，6，7，8类型相同，当x ®¥时，多项式的商的极限主要看分子分母的次数，分子次数大于分母次数，则极限为¥；分子次数小于分母次数，则极限为0；分子次数等于分母次数，极限为最高次项系数的商.做法见上）做法见上）（9）12121111(1)(1)lim lim lim(1)11nn n n n x x x x x xx xxn x x ----®®®--+++==+++=（10） 122200()lim lim n n n n n n n n x x a na x C a x x aa x a x x--®®++++-+-= 122210lim(())n n n n n x naC axx na----®=++=4. 设21lim 31x x ax b x ®++=-，求,a b 的值. 解：由于1lim(1)0x x ®-=，故21lim()0x x ax b ®++=，从而2x ax b ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x ax b x x c ++=-+，则1,a c b c =-=-.由极限211limlim ()1x x x ax b x c x®®++=-+- 13c =--=可知4c =-.故5,4a b =-=5. 设322()2ax bx cx df x x x +++=+-，满足：（1）lim ()1x f x ®¥=；（2）1lim ()0x f x ®=，求,a b ，,c d 的值. 解：由lim ()1x f x ®¥=可知分子次数等于分母次数，且此时极限为b ，故有0,1a b ==. 由1lim ()0x f x ®=，可知21lim()0x x cx d ®++=，从而2x cx d ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x cx d x x e ++=-+，则1,c e d e =-=-.由极限2211lim lim 22x x x cx d x e x x x ®®+++=+-+ 1012e +==+可知1e=-故2,1c d =-=. 6. 设()g x 在0x =的某邻域内有界，且(),0,()0,0.xg x x f x x ¹ì=í=î求0lim ()x f x ®. 解：()g x 在0x =的某邻域内有界，而当0x ®时x 为无穷小量，从而可知0lim ()0x f x ®=. 7. 设1lim ()x f x ®存在，且21()23lim ()x f x x x f x ®=+，求().f x 解：由题可知，只需求出1lim ()x f x ®即可，在21()23lim ()x f x x x f x ®=+两边同时求当1x ®时的极限21111lim ()lim(23lim ())23lim ()x x x x f x x x f x f x ®®®®=+=+，易解得1lim()1x f x ®=-，从而2()23f x x x =-. 习题1.41. 利用数列极限存在的准则Ⅰ，求下列极限. （1）222111lim()(1)()n nn n n ®¥+++++ （2）1lim nn n ®¥（3）22212lim()2n n n n n n ppp®¥++++++ （4）lim 123n n n n ®¥++解：（1）设222111(1)()n a nn n n =+++++ ，显然有2222222211111111()()()()nn n a n n n n n n n n n n n n ++=+++<<+++=++++ ，而，而 2211lim lim 0()n n n n n n n ®¥®¥++==+，由两边夹原理可知222111lim()0(1)()n n n n n ®¥+++=++ . （2）当1n >时，11nn >，令11nn n a -=，则显然0n a >.且由二项式公式有且由二项式公式有2(1)(1)12nn n n n n n n n a na a a -=+=++++ ，故2(1)2n n n n a ->，从而201n a n <<-. 而2lim 01n n ®¥=-，不等式左边常数也是0，由两边夹原理可知lim 0n n a ®¥=，从而1lim 1nn n ®¥=. （3）设222122n na n n n n p p p=++++++ ，显然有22222222(1)1212(1)2()2()n n n n n n n an n n n n n n n n n n n p p p p p p p p ++=+++<<+++=++++++++ 而22(1)(1)1lim lim 2()2()2n n n n n n n n n p p ®¥®¥++==++，由两边夹原理可知222121lim()22n n n n n n ppp ®¥+++=+++ . （4）显然312333nnnnnnn<++< ，而lim 3lim 333n n n nn n ®¥®¥==，由两边夹原理可知lim 1233n n nn ®¥++=. 2. 利用数列极限存在的准则Ⅱ，求下列数列的极限求下列数列的极限（1）2,22,222,+++ ；（2）1103,(3)n n n x x x x +<<=-（3）111,(),(,0)2n n nbx a x x a b +==+>. 解：（1）显然数列为单调增的，设122a =<，222222a =+<+=，依次得322222a a =+<+=，归纳可得2n a <.即数列有上界，由单调有界原理可知此数列有极限，不妨设为a .对12n n a a +=+两端同时取极限，可得2a a =+，解得2a =或者1a =-（显然不可能）.故数列极限为2. （2）（i ）当132x =时，2113(3)2x x x =-=，依次可得32n x =，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为32. （ii ）当132x ¹时，利用几何算术平均值不等式可知1121133(3)22x x x x x +-=-<=，依次可得302n x <<（1n >）.而131211n n n x x x+=->-=（1n >），故此数列除了1x 以外，均为单调增加的，且有界.由单调有界原理可知数列2{}n n x ¥=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为a .对1(3)n n n x x x +=-两端同时取极限，可得(3)a a a =-，解得32a =或者0a=（显然不可能）.故数列极限为32. 综合（i ）（ii ）可知数列极限为32. （3）（i ）当1x a b ==时，2111()2bx x b x =+=，依次可得n x b =，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为b . （ii ）当1x b ¹时，利用几何算术平均值不等式可知211111()2b bx x x b x x =+>= ，依次可得n x b >（1n >）而11()02n n n n b x x x x +-=-<（1n >），故此数列除了1x 以外，均为单调减小的，且有下界b .由单调有界原理可知数列2{}n n x ¥=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为A .对11()2n n nb x x x+=+两端同时取极限，可得1()2bA A A=+，解得A b =或者A b =-（显然不可能）.故数列极限为b . 综合（i ）（ii ）可知数列极限为b . 3. 若lim nn x a ®¥=，证明：lim ||||n n x a ®¥=. 证明：由lim n n x a ®¥=，可知对0e ">，都0N $>，当n N >时，就有||n x a e -<.从而当n N >时，||||||n n x a x a e -£-<，由定义可知lim ||||n n x a ®¥=. （注：此结论对函数极限也同样成立，即“若lim ()x f x A®·=，则lim |()|||x f x A ®·=”.反过来不对.但是有“若lim |()|0x f x ®·=，则lim ()0x f x ®·=”，对数列也成立.） 4. 对于数列{}nx ，若212lim lim k k k k x x a -®¥®¥==，证明：lim n n x a ®¥=. 证明：第一种证法，用几何意义来说（不严格）.由212lim lim k k k k x x a -®¥®¥==可知，对0e ">，数列21{}k x -中落在区间(,)a a e e -+外的只有有限多项，数列2{}k x 中落在区间(,)a a e e -+外的也只有有限多项.而对于数列{}n x 来说，来说，其中的项不在数列其中的项不在数列21{}k x -之中就在数列2{}k x 之中，从而落在区间(,)a a e e -+外的也只有有限多项.由几何意义即知lim n n x a ®¥=. 第二种证法：用极限定义.由21lim k k x a -®¥=，可知对0e ">，都10K $>，当1k K >时，就有21||k x a e --<.由2lim k k x a ®¥=，可知对上述的0e >，都20K $>，当2k K >时，就有2||k x a e -<.令12max{,}K K K =，2N K =，则当n N >时，有||n x a e -<.由定义可知lim n n x a ®¥=.习题1.51. 求下列各极限. （1）0sin 5lim x x x ® （2）0sinlim (0)sin x ax b bx ®¹ （3）30tan sin lim x x x x ®- （4）1lim sin x x x ®¥ （5）lim(1)mx x k x ®¥- （6）22lim()1x x x x ®¥++ (7) cot 0lim(13tan )x x x ®- (8) 111lim(32)x x x -®- （9）2sin 0lim(1)x x x ®+ （10）lim tan n x n n ®¥ （11）11lim(sin cos )x x x x®¥+ （12）2sec 2lim(1cos )x x x p®- 解：（1）0sin 5sin 5lim lim(5)55x x x x xx®®==（2）0sin sin lim lim()sin sin x x ax axbx ax a bxax bx bx b®®==（3）23200022sin tan sin sin 1cos sin 112lim lim()lim()cos cos 24()2x x x xx x x x x x x x x x x x ®®®--=== （4）1sin 1lim sin lim 11x x x x xx®¥®¥== （当x ®¥时，10t x =®）（5）令xt k =-，则mx mkt =-，且当x ®¥时，t ®¥，所以11lim(1)lim(1)lim[(1)]mxmkt t mk mk x t t k e x t t---®¥®¥®¥-=+=+= （6）2221lim()lim(1)11x xx x x x x ®¥®¥+=+++，令1t x =+，则1x t =-，且当x ®¥时，t ®¥，所以22(1)2222111lim()lim(1)lim[(1)](1)1xt t x ttx e x tt t--®¥®¥®¥+=+=++=+ （7）令3tan t x =-，则3cot x t =-，且当0x ®时，0t ®.所以所以31cot 33lim(13tan )lim(1)lim[(1)]xtt x t t x t t e ---®®®-=+=+= （8）111111lim(32)lim[13(1)]x x x x x x --®®-=+-，令3(1)t x =-，则当1x ®时，0t ®，所以，所以1313311lim(32)lim(1)lim[(1)]xtt x t t x t t e ----®®®-=+=+= （9）2122sin sin 00lim(1)lim[(1)]xxx xx x x x e ®®+=+= （10）因为00tan sin 1lim lim 1cos x x x x x x x®®== ，由数列极限与函数极限的关系可知1tan 1lim lim tan 11n n n n n n ®¥®¥==，从而当0x ¹时，tanlim tan lim n n x x n n x xx n n®¥®¥==当0x =时，lim tan 0n x n n ®¥=.综合可知lim tann xn x n ®¥=. （11）1111lim(sin cos )lim[1(sincos 1)]x xx x x xx x®¥®¥+=++- 11(sin cos 1)111sin cos 111lim [1(sin cos 1)]x x xx xx x x +-+-®¥ìüïï=++-íýïïîþ，令11sincos 1t x x=+-，则当x ®¥时，0t ®，又1111lim (sincos 1)lim sin lim (cos1)x x x x x x xx x x®¥®¥®¥+-=+- 2111sin cos 12()2lim lim 1lim 1111x x x x x x xxx ®¥®¥®¥--=+=+=，故11lim(sin cos )xx e x x®¥+=. （12）令cos t x =-，则22sec x t =-，且当2x p ®时，0t ®，所以，所以212sec 222lim(1cos )lim(1)lim[(1)]xtt t t x x t t e p---®®®-=+=+=. 2. 求下列各极限. （1）011lim x x xx ®+-- （2）lim (11)x x x ®+¥+-- （3）0sin 4lim 11x x x ®+- （4）22220lim (,0)x x m m m n x n n ®+->+- （5）01lim []x x x +® （6）22limcos 2sin x x x x ®+¥+ （7）lim (ln(1)ln )x x x x ®+¥+- （8）0lim cos xx x +®. 解：（1）00011(11)(11)2lim lim lim1(11)11x x x x x x x x x x x x x x x®®®+--+--++-===++-++- （2）22lim (11)lim lim 0111111x x x x x x x x x x®+¥®+¥®+¥+--===++-++-（3）0sin 4sin 4(11)sin 4(11)lim lim lim 11(11)(11)x x x x x x x x x x x x ®®®++++==+-+-++sin 4lim 4(11)84x xx x ®=++=（4）222222222200()2lim lim 2()x x x m m x x n n n nm m x n n x x m m ®®+-++===+-++ （分子分母同时有理化）（分子分母同时有理化）（5）讨论0x +®时函数的极限时，我们只关心那些离0很近的正数，不妨设01x <<，有11x>，故1111[]x x x -<£，不等式三边同时乘以x ，不改变不等号的方向，故有111(1)[]1x x x x x x -<£=，而001lim (1)lim (1)1x x x x x++®®-=-=，不等式右边为常数1，由两边夹原理可知01lim []1x x x+®=. （6）利用函数的性质可知22211ln(cos 2sin )ln(1sin )22cos 2sin x x x xxxx x ee+++==，其中20ln(1sin )ln 2x £+£，2ln(1sin )x +为有界函数，而当x ®+¥时，10x ®，为无穷小量，故21lim ln(1sin )0x x x®+¥+=.从而可得220lim cos 2sin 1xx x x e ®+¥+== （7）111lim (ln(1)ln )lim ln lim ln(1)lim ln[(1)]ln 1xx x x x x x x x x x e x x x ®+¥®+¥®+¥®+¥++-==+=+== （8）11000lim cos lim (cos )lim[1(cos 1)]xxxx x x x x x +++®®®==+-1c o s 1c o s 10l i m {[1(c os 1)]}x x xx x +--®=+-，而2222sin2sincos1122limlim lim 24()2x x x x xx xxx +++®®®---===-，故12lim cos xx x e +-®=. 习题1.61. 比较下列无穷小的阶. （1）当0x ®时，323x x +与sin x （2）当1x ®-时，1x +与31x +（3）当0x ®时，3tan x x x +与(1cos )x x + （4）当0x ®时，211x +-与211x -- 解：（1）由于3232200033lim lim lim(3)0sin x x x x x x xx x xx®®®++==+=，故323x x +是sin x 的高阶无穷小. （2）由于3211111lim lim 113x x x xx x ®-®-+==+-+，故1x +是31x +的同阶无穷小. （3）由于33tan tan lim lim lim 0(1cos )(1cos )(1cos )x x x x x xx xxx x x x x x ®®®+=+=+++，故3tan x x x+是(1cos )x x +的高阶无穷小. （4）由于2222220011(11)lim lim 111(11)x x x x x xx x ®®+-+-==--++，故211x +-与211x --是等价无穷小. 2. 证明：当0x ®时，时，（1） x x 21~1+；（2）322(tan )x x o x +=证明：（1）由于001lim(11)lim 02x x x x ®®+-==，从而要证x x 21~1+只需计算极限即可.011lim lim 111(11)22x x x x xx x ®®+-==++，由定义即知x x 21~1+. （2）由于3200lim(2)lim tan 0x x x x x ®®+==，从而要证322(tan )x x o x +=只需计算极限即可. 3232200022lim lim lim(2)0tan x x x x x x xx x x x ®®®++==+=，由定义即知322(tan )x x o x +=. 3. 利用极限的运算法则和无穷小的有关性质求下列极限. （1）21lim cos 1xx e x ®-- （2）21lim sin 1x x x x ®¥+ （3）311lim tan x x xx®+-- （4）sin 01lim ln(13)xx e x ®-+ （5）201cos lim x kx x ®- （6）01tan 1tan lim 1x x x x e ®+--- （7）3321tan 1limsin 1x x x ®-- （8）2013sin coslim(1cos )tan x x x x x x ®++ （9）011lim tan x x x +®+- （10）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x®¥+-+. 解：（1）22021lim lim 21cos 12xx x e xx x ®®-==---（2）222211lim sin lim lim 111x x x x x x x x x x x x®¥®¥®¥===+++ （x ®¥时，10x ®，所以11sin x x ）（3）333000011(11)(11)1111lim lim lim lim tan tan tan tan x x x x x x x x x x x x x x®®®®+--+----+---==- （由()x xa a~1+）001111532lim lim 236x x xx x x ®®-=-=+=（4）sin 001sin 1lim lim ln(13)33xx x e x x x ®®-==+ （5）222220001()1cos 1cos 2lim lim lim 4(1cos )(1cos )x x x kx kx kx k x x kx x kx ®®®--===++ （6）001tan 1tan 2tan lim lim 1(1tan 1tan )x x x x x xe x x x ®®+--=-++- 02lim 1(1tan 1tan )x xx x x ®==++-，其中第一步用到了有理化. （7）33333322111tan 1111lim lim lim 12sin 11x x x x x x x x ®®®--===+-- （8）22201113sin cos3sin coscos 3sin lim limlimlim (1cos )tan (1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx x®®®®++==+++++01cos33lim 2(1cos )2x x x x ®=+=+，其中第二项中，01lim cos 0x x x ®= （无穷小乘以有界函数仍为无穷小）穷小）（9）00111lim lim 2tan (11)x x x x x x x ++®®+-==++ （10）3131lim [sin ln(1)sin ln(1)]lim sin ln(1)lim sin ln(1)x x x x x x x x x x®¥®¥®¥+-+=+-+3131lim ln(1)lim ln(1)lim lim 312x x x x x x x x x x x x®¥®¥®¥®¥=+-+=-=-= 习题1.71. 讨论函数2,01,()2,1 2.x x f x x x ì££=í-<£î 在1x =处的连续性. 解：由于211lim ()lim 1(1)x x f x x f --®®===，故()f x 在1x =处左连续，又11lim ()lim(2)1(1)x x f x x f ++®®=-==，故()f x 在1x =处右连续，因此()f x 在1x =处连续. 2. 求函数23()6x f x x x +=+-的连续区间，并求极限2lim ()x f x ®、3lim ()x f x ®-、0lim ()x f x ®. 解：由于()f x 为初等函数，所以()f x 在(,3)-¥-、(3,2)-和(2,)+¥上都连续. 2lim ()x f x ®=¥，2333311lim ()lim lim 625x x x x f x x x x ®-®-®-+===-+--，031lim ()62x f x ®==-- 3. 讨论下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）21()2f x x x =+- （2）sinx y x =（3）21()cos f x x= （4）112xy =解：（1）由于()f x 为初等函数，故只有两个间断点，1x =和2x =-，而221211lim lim 22x x x x x x ®®-==¥+-+-，所以这两个都是第二类间断点. （2）由于sin xy x=为初等函数，故只在sin 0x =处间断，从而间断点为x k p =（k ÎZ ）.当0k =时，0lim 1sin x x x ®=，故0x =为可去间断点；当0k ¹时，lim sinx k x x p ®=¥，故x k p =（0k ¹）为第二类间断点. （3）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而当0x ®时()f x 的左右极限都不存在，故0x =为第二类间断点. （4）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而11lim 2x x-®=¥（当0x -®时，1x®-¥，120x®），故0x =为第二类间断点为第二类间断点 4.已知函数24,0,(),0,2,0x x f x a x x b x ì+<ïï==íï+>ïî在0x =处连续，求a与b 的值. 解：由于()f x 在0x =处连续，故()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，从而2lim ()lim 42lim ()lim(2)x x x x f x x a f x x b b--++®®®®=+====+=，即得2a b ==. 5. 证明：方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根. 证明：令5()31f x x x =--，显然()f x 在[1,2]上连续.又(1)13130f =--=-<，5(2)23213261250f =--=--=> ，由零点定理可知(1,2)x $Î，使得()0f x =即方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根. 6. 证明：方程3sin x x =在区间(,)2p p内至少有一个实根. 证明：令()3sin f x x x =-，显然()f x 在[,]2p p上连续.又()3sin 302222f p p p p=-=->，()3sin 0f p p p p =-=-<，由零点定理可知(,)2px p $Î，使得()0f x =.即方程3sin x x =在区间(,)2pp 内至少有一个实根. 7. 确定,a b 的值，使下式成立. （1）21lim ()01x x ax b x ®+¥+--=+ （2）2lim (1)0x x x ax b ®-¥-+--=. 解：（1）由221(1)()1lim ()lim011x x x a x a b x bax b x x ®+¥®+¥+--++---==++可知分子次数小于分母次数，从而10a -=，0a b +=故1a =，1b =-. （2）由22222(1)(12)1lim (1)lim 1x x a x ab x b x x ax b x x ax b®-¥®-¥--++--+--=-+++ 2221(1)(12)(1)lim 01111x a x ab b x a bx x x®-¥--++-==--+++可知21a=（若21a ¹，则极限为¥）且1a ¹（若1a =，则极限不能确定），因此1a =-.并且120ab +=，故12b =. 8. 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，且()a f x b ££，证明：必存在点[],c a b Î，使得()f c c =. 证明：令()()F x f x x =-，显然()F x 在区间[],a b 上连续，()()0F a f a a =-³，()()0F b f b b =-£. （i ）若()0F a =，取c a =即得. （ii ）若()0F b =，取c b =即得. （iii ）若()F a 与()F b 都不等于0，则有()()0F a F b < ，由零点定理可知(,)c a b $Î，使得()0F c =，即()f c c =. 综合（i ）（ii ）（iii ）可得必存在点,c a b ，使得()f c c =. 复习题11. 已知2()x f x e =，[()]1f x x j =-，且()0x j ³，求()x j 并写出它的定义域. 解：2()[()]1x f x ex j j ==-，故2()ln(1)x xj =-，而()0x j ³，所以()ln(1)x x j =-，其定义域为(,0]-¥. 2. 设函数1,0,()1,0.x f x x ³ì=í-<î 2,0,()1,0.x x g x x x ì³=í-<î 求[()]f g x ，[()]g f x . 解：当0x ³时，2()0g x x =³ ，所以[()]1f g x =；当0x <时，()10g x x =->，所以[()]1f g x =.因此[()]1f g x º. 当0x ³时，()10f x =³ ，所以2[()]11g f x ==；当0x <时，()10f x =-<，所以[()]1(1)2g f x =--=.因此1,0,[()]2,0.x g f x x ³ì=í<î. 3. （1）设()f x 定义在区间(,)l l -内，判断函数1()[()()]2F x f x f x =+-与1()[()()]2G x f x f x =--的奇偶性；的奇偶性；（2）证明：定义在区间(,)l l -内的任何函数()f x 都可以表示为一个偶函数与一个奇函都可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和. 解：（1）由11()[()(())][()()]()22F x f x f x f x f x F x -=-+--=-+=可知()F x 为偶函数；由1()[()()]()2G x f x f x G x -=--=-，可知()G x 为奇函数. （2）显然()()()f x F x G x =+，故得证. 4. 设函数()f x 在(,)-¥+¥内有定义，()g x 是()f x 的反函数，求()2xyf =及(21)y f x =+的反函数. 解：由()2xy f =可得()2xg y =，故2()x g y =，所以()2xy f =的反函数为2()y g x =；由(21)y f x =+可得21()x g y +=，故()12g y x -=，所以(21)y f x =+的反函数为()12g x y -=. 5. 求下列极限. 。

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