高等几何教学大纲.

《高等几何》课程教学大纲

课程编码：

课程性质：选修

学时数：54

学分数：3

适用专业：数学与应用数学

【课程性质、目的和要求】

高等几何的主要内容是具有悠久历史，至今仍富生命力的射影几何。它不仅在提高学生空间几何直观想象能力方面有独特的作用，而且在论证方法、思维方式方面还具有不同于初等几何、解析几何、高等代数的巧妙灵活的特点。

通过高等几何（或射影几何）的学习，可以使学生从较高的观点处理初等几何、解析几何的一些问题，以便更深入地理解中学几何教材，并掌握近代几何知识与方法，这对学生在几何方面观点的提高、思维的灵活、方法的多样性的培养都起着特别重要的作用，从而有助于学生数学素质的提高和科研能力的培养。

本课程在研究方法上利用代数法和综合法，目的之一是便于学生进一步学习高维空间上的射影几何，目的之二是加强直观性，以便开发智力，启迪思维。在内容编排上应做到由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，本课程应特别注意对概念及解题方法的分析。

通过本课程的学习，要求学生理解并熟练掌握平面射影几何的基本概念和理论。了解几何学的群论观点和各种几何学之间的联系和差别。学会统一处理几何问题的方法特别要学会利用二次曲线的射影理论处理仿射几何和度量几何方面的有关问题，以便提高学生分析问题和解决问题的能力。

【教学内容、要点和课时安排】

第一章仿射坐标与放射变换（8学时）

【目的要求】掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换；掌握仿射坐标系；熟练求出仿射变换的代数表示式；理解仿射性质。

【教学重点】仿射坐标系

【难点】仿射性质的理解

【教学内容】

第一节透视仿射对应

第二节仿射对应与仿射变换

第三节仿射坐标

第四节仿射性质

第二章射影平面（10学时）

【目的要求】掌握射影直线和射影平面，熟练掌握的笛萨格定理及其逆定理；理解并掌握齐次坐标，对偶原理；了解复元素的概念。

【教学重点】射影直线和射影平面的理解

【难点】笛萨格定理及其逆定理的应用

【教学内容】

第一节射影直线和射影平面

第二节齐次点坐标

第三节齐次线坐标

第四节对偶原则

第五节复元素

第三章射影变换与射影坐标（16学时）

【目的要求】掌握交比与调和比：(1)交比的定义；(2)交比的求法；(3)交比的性质；(4)交比的几何意义；理解一维射影变换：(1)一维基本型的透视对应；(2)一维基本型的射影对应；熟练掌握一维射影坐标；会求坐标变换式、自对应元素、对合元素；理解并掌握二维射影变换与二维射影坐标；熟练求出不变元素。

【教学重点】交比与调和比

【难点】对合的性质的灵活运用

【教学内容】

第一节点列的交比

第二节线束的交比

第三节一维射影变换

第四节一维基本形的对合

第五节一维射影坐标系

第六节二维射影变换

第七节二维射影变换的代数表示

第四章变换群与几何学（2学时）

【目的要求】掌握变换群：(1)变换群定义；(2)平面上几个重要的变换群；

理解变换群与几何学的关系(1)（F.Klein）的变换群的观点；(2)射影、仿射和欧氏几何学的比较。

【教学重点】射影、仿射和欧氏几何学的比较

【难点】（F.Klein）的变换群的观点

【教学内容】

第一节变换群

第二节变换群与几何学

第五章二次曲线的射影理论（8学时）

【目的要求】理解并掌握二次曲线的射影定义包括：二阶曲线与二级曲线的代数定义、性质、二次曲线的射影定义；会求曲线的切线；了解巴斯卡与布利安双定理的结论，包括：巴斯卡与布利安双定理及逆定理、巴斯卡与布利安双定理的特殊情况、巴斯卡与布利安双定理的应用；掌握极点与极线，配极原则；熟练求出点的极线，线的极点；理解二次曲线的射影分类的意义。

【教学重点】二次曲线的射影定义，配极原则

【难点】二次曲线的射影分类

【教学内容】

第一节二次曲线的射影定义

第二节Pascal和Brianchon定理

第三节极点与极线，配极原则

第四节二阶曲线的射影分类

第六章二次曲线的仿射性质和度量性质（10学时）

【目的要求】理解二次曲线的仿射性质；了解二次曲线的仿射分类；理解二次曲线的度量性质；了解二次曲线的度量分类

【教学重点】二次曲线的仿射性质、二次曲线的度量性质

【难点】二次曲线的仿射分类和度量分类

【教学内容】

第一节二次曲线的仿射性质

第二节二次曲线的仿射分类

第三节二次曲线的度量性质

第四节二次曲线的度量分类

【考核方式及评价结构比例】

闭卷考试（或平时成绩+试卷成绩×70%）。

【使用教材及主要参考书目】

教材：

梅向明、刘增贤、王汇淳、王智秋编：《高等几何》（第二版）高等教育出版社出版2000参考书目：

1、朱德祥：《高等几何》高等教育出版社出版1995

2、李杰、姬春秋、张勇：《高等几何》黑龙江朝鲜民族出版社2001