第二讲 平面向量的解题技巧
解决初中数学解题困扰的利器掌握平面向量的运算技巧
解决初中数学解题困扰的利器掌握平面向量的运算技巧解决初中数学解题困扰的利器——掌握平面向量的运算技巧数学是一门抽象而又具有挑战性的学科，而初中数学的学习过程中，解题往往是困扰很多学生的难题。
然而，要解决这个问题并不难，只需要掌握好平面向量的运算技巧，就能在解答数学题目时游刃有余。
本文将为大家介绍平面向量的基本概念以及运算规则，希望对解决初中数学解题困扰有所帮助。
一、平面向量的基本概念在解决初中数学问题时，我们常常需要用到平面向量。
平面向量是指能够用有向线段来表示，具有大小和方向的量。
一个平面向量通常用字母加箭头来表示，例如：→AB，其中A、B为平面上的点。
有了这个基本概念，我们就可以更好地理解和应用平面向量来解决数学问题。
二、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法是我们在解决数学问题中常常用到的基本运算。
其规则如下：1. 平面向量的加法：设有两个平面向量→AB和→CD，则它们的和记作→AB + →CD。
要求得这两个向量的和，只需要将它们的对应分量分别相加即可。
例如，若→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)，则它们的和为→AB + →CD = (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 平面向量的减法：设有两个平面向量→AB和→CD，则它们的差记作→AB - →CD。
要求得这两个向量的差，只需要将它们的对应分量分别相减即可。
例如，若→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)，则它们的差为→AB - →CD = (x1 - x2, y1 - y2)。
通过掌握平面向量的加法和减法规则，我们能够更有效地解决初中数学解题过程中的运算问题。
三、平面向量的数量积和向量积除了加法和减法，平面向量还有两个重要的运算：数量积和向量积。
它们在解决数学问题中具有重要作用。
1. 数量积：数量积又称点积，它是两个向量的乘积。
计算数量积的公式为：→AB · →CD = AB·CD·cosθ，其中AB和CD分别为两个向量的模长，θ为它们之间的夹角。
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧和方法平面向量高中数学经典解题技巧:平面向量一、向量的有关概念及运算解题技巧:向量的有关概念及运算要注意以下几点:(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
(2)正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻(3)用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
a=(m,n)bp,q),(例1:(2010?山东高考理科?,12)定义平面向量之间的一种运算“?”如下，对任意的，，ab,,mqnp令?，下面说法错误的是( ),abababba,0A.若与共线，则? B.??2222)，,,()abab,(),a,(ab)bab,RC.对任意的,，有?? D. (?【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.,,,mqnp0ababba,,pnqma【规范解答】选B，若与共线，则有?，故A正确;因为? ,，而?,b,,mqnpabba，所以有?? ，故选项B错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点:该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策:解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性二、与平面向量数量积有关的问题解题技巧:与平面向量数量积有关的问题ababxxyyab,,,,，,00,其中、1(解决垂直问题:均为非零向量。
这一条件不能忽视。
1212222AxyBxyABxxyy(,),(,),||()()则,,，,||aaa,2(求长度问题:，特别地。
112212123(求夹角问题:求两非零向量夹角的依据abxxyy，1212cos(,).ab,, 2222||||abxyxy，，1122uuuruuurABAC,例2:1.(2010?湖南高考理科?,4)在RtABC,中，，C=90?AC=4，则等于( )A、-16B、-8C、8D、16 【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理. 【思路点拨】由于，C=90，因此选向量CA，CB为基底.uuuruuur2ABAC,【规范解答】选D .=(CB-CA)?(-CA)=-CB?CA+CA=16.【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路:一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离(长度).ccabab2. (2010?广东高考文科?,5)若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)?=30，则x= ( )A(6 B(5 C(4 D(3【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.8ab,【思路点拨】先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.(8)(6,3)(3,)abcx,,,,,,,8(1,1)(2,5)(6,3)8ab,【规范解答】选C. ，所以x,4,3018330，,xC. 即:，解得: ，故选.三、向量与三角函数的综合例3(在直角坐标系, xOy中,已知向量a,(,1,2),又点A(8,0),B(ksin,t)(0,,.t,R).,,2AB,a,且|OA|,|AB|,求向量OB (I)若;k,4,且tsin,取最大值为4时,求OA,OB.AB与向量a (II)若向量共线，当AB,(ksin,,8,t),？AB,a,？,ksin,，8，2t,0【解析】(1) …………2分22？|OA|,|AB|,？64,(ksin,,8)，t又,,4016540165，,,,kksinsin,,,,,,55,或解得 (4)分 ,,8585,,tt,,,,,55,,4016585，4016585,或…………6分？,OB(,)OB,,(,)5555AB与向量a共线,？t,,2ksin,，16 (II) ………………8分4322 tsin(2ksin16)sin2k(sin)？,,,,，,,,,,，kk4432 …………10分又k4,01,sin时,tsin取最大值为,？,,？,,,kkk32, 由,4,得k,8,此时,,OB,(4,8),k6,,,,OAOB(8,0)(4,8)32 ………………12分注:向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。
掌握初中数学中的平面向量解题技巧
掌握初中数学中的平面向量解题技巧平面向量是初中数学中的一个重要内容，解题技巧的掌握对于学生来说显得尤为关键。
在本文中，我们将分享一些帮助学生掌握初中数学中平面向量解题技巧的方法。
一、平面向量的定义和基本性质平面向量是一个有大小和方向的有序数对，通常表示为箭头。
在平面向量的研究中，我们需要关注以下几个关键概念：1. 向量的表示方法：向量可以使用坐标表示法、分解表示法或单位向量表示法进行表示。
每种表示方法都有其特定的应用场景和计算思路。
2. 向量的加法与减法：向量的加法与减法规律是平面向量的基本性质。
通过理解与运用这些规律，可以简化题目的计算过程。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法包括正数乘法和零向量的乘法。
这些操作能够对向量的大小和方向产生影响，需要注意运算法则。
二、平面向量的应用领域平面向量解题技巧在初中数学中广泛应用于以下几个领域：1. 向量的平行与垂直关系：通过向量的点积和叉积，可以判断两个向量之间的平行关系或垂直关系。
这种技巧在解决几何问题时尤为常见。
2. 向量的共线与共面关系：通过向量的线性运算和共面性质，可以判断多个向量之间的共线关系或共面关系。
这种技巧在解决多个向量同时出现的问题时非常有效。
3. 向量的位移与坐标计算：通过向量的位移计算和坐标运算，可以求解物体在平面上的运动问题。
这种技巧在解决位移、速度和加速度等物理问题时被广泛应用。
三、平面向量解题技巧的实例分析为了更好地理解和应用平面向量解题技巧，以下是几个实际问题的解析：1. 平面向量的加法与减法：已知向量A和向量B的坐标分别为(A1,A2)和(B1,B2)，则向量A加向量B的结果为(A1+B1, A2+B2)。
根据这个规律，我们可以解决诸如平行四边形对角线相等问题等。
2. 平面向量垂直关系的判断：已知向量A的坐标为(A1, A2)，如果A1×A2=0，则向量A与坐标轴正方向垂直。
这个技巧常在解决两条线段是否垂直或平行的问题时使用。
高中数学第二讲 平面向量的解题技巧
2008年高中数学第二讲 平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+.例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( )（A ）21+- （B ） BA BC 21--（C ） BA BC 21- （D ）BA BC 21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.解：21+-=+=，故选A.例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-===- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（2006年天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θc o s __．命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅==⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选 D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（2007年湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角AB C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．例10．（2007年广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=，∴sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（2007年山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，， （1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =，5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=． 又9a b +=22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （2006年湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值． 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。
平面向量知识点学习技巧
平面向量知识点学习技巧平面向量是数学中的重要概念，它在解决几何问题和代数运算中都起到了重要的作用。
掌握平面向量的知识点对于学生来说至关重要，因此在学习过程中，合理的学习技巧和方法十分必要。
本文将介绍一些平面向量的基本知识点，并结合实际学习经验，分享一些学习平面向量的技巧。
一、平面向量的基本概念和性质1. 平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，它可以用有向线段来表示。
通常用字母加上→来表示一个平面向量，如AB→表示由点A指向点B的平面向量。
平面向量还可以用坐标表示，比如AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是点A和点B的坐标。
2. 平面向量的运算法则平面向量的运算包括加法、减法和数乘。
加法运算满足平行四边形法则，即若有两个平面向量AB→和AC→，则它们的和等于AD→，其中D是平行四边形ABCD的对角线交点。
减法运算即加法的逆运算，即AB→ - AC→ = AB→ + (-AC→)。
数乘运算即将一个平面向量乘以一个实数，如kAB→ = k(x2 - x1,y2 - y1) = (kx2 - kx1, ky2 - ky1)。
3. 平面向量的数量积和向量积数量积又称点积或内积，用来衡量两个向量之间的夹角和方向关系。
它的计算公式为AB·AC = |AB| |AC| cosθ，其中θ为AB→和AC→之间的夹角。
向量积又称叉积或外积，其结果为一个向量，用来衡量两个向量之间的平行关系和面积大小。
计算公式为AB×AC = |AB| |AC| sinθ n，其中θ为AB→和AC→之间的夹角，n为单位向量。
二、学习平面向量的技巧1. 深刻理解基本概念在学习平面向量的过程中，首先要对平面向量的定义和表示方法有一个深刻的理解，这对于后续的学习非常重要。
要善于画图，通过图示化的方法来理解和表示平面向量，可以更清晰地把握其概念和性质。
2. 熟练掌握运算法则平面向量的运算是学习的重点和难点之一。
平面向量解题方法完全归纳与总结
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1、基底法
在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；
②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。
5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。
这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。
6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。
我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！。
平面向量几何法解题技巧
平面向量几何法解题技巧平面向量几何法是高中数学中的一项重要内容，它可以解决各种几何问题，包括线的垂直、平行、中点、角平分线等等。
本文将介绍平面向量几何法的基本概念、解题技巧以及应用实例，希望对读者有所帮助。
一、平面向量的基本概念平面向量是代表平面上的一定方向和大小的量，由一个有向线段和箭头来表示。
它可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x方向和y方向上的分量。
向量的大小表示为模长，一般用||AB||表示，其中AB 为向量的有向线段。
模长可以使用勾股定理计算：||AB||=√(a²+b²).向量的方向表示为方向角，它与x轴正方向的夹角记为α（0°≤α＜360°或0≤α＜2π），可以使用以下公式计算：α＝arctan(b/a) (a＞0)α＝π+arctan(b/a) (a＜0, b≥0)α＝-π+arctan(b/a) (a＜0, b＜0)α＝π/2 (a=0, b＞0)α＝-π/2 (a=0, b＜0)二、平面向量几何法的解题技巧1. 向量的加减两个向量的加法表示以一个向量为起点，以另一个向量为终点的有向线段，公式为：AB+BC=AC。
两个向量的减法则表示从一个向量的终点到另一个向量的起点的有向线段，例如：AC-AB=BC。
2. 向量的数量积向量的数量积是一个纯量（一个数），记作a·b，它定义为a和b的模长的乘积与它们夹角的余弦值的积，也就是a·b=||a||·||b||·cosα。
向量的数量积还可以用来求两个向量之间的夹角，公式为cosα=a·b/||a||·||b||。
3. 向量的叉积向量的叉积是一个向量，它表示的是由两个向量围成的平行四边形的面积和方向。
公式为：a×b=||a||·||b||·sinα·n，其中n为满足右手定则的单位向量，其方向与两个向量所在平面垂直，且a、b、n 组成一个右手系。
高中数学平面向量及其应用的解题技巧
高中数学平面向量及其应用的解题技巧高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
掌握平面向量的解题技巧，不仅能够帮助我们更好地理解数学知识，还能够提高解题的效率和准确性。
本文将从基本概念、解题方法和应用举例三个方面，介绍高中数学平面向量的解题技巧。
一、基本概念平面向量是空间中的一个有向线段，可以用有序数对表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
向量的模表示向量的长度，记作|AB|或||AB||。
向量的方向可以用与x轴正方向的夹角表示。
二、解题方法1. 向量的表示与运算在解题过程中，我们需要掌握向量的表示与运算方法。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(-2,1)，求向量A与向量B的和、差以及数量积。
解答：向量A与向量B的和为A+B=(3+(-2),4+1)=(1,5)；向量A与向量B的差为A-B=(3-(-2),4-1)=(5,3)；向量A与向量B的数量积为A·B=3×(-2)+4×1=-6+4=-2。
2. 向量的模和方向在解题过程中，我们需要计算向量的模和方向。
例如，已知向量A(3,4)，求向量A的模和方向。
解答：向量A的模为|A|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5；向量A的方向可以用与x轴正方向的夹角表示，tanθ=4/3，所以θ=arctan(4/3)≈53.13°。
3. 向量的共线与垂直在解题过程中，我们需要判断向量的共线与垂直关系。
例如，已知向量A(3,4)和向量B(6,8)，判断向量A与向量B是否共线或垂直。
解答：向量A与向量B的方向相同，且比值相等，即3/6=4/8=1/2，所以向量A与向量B共线。
三、应用举例1. 平面向量的线性运算已知向量A(2,3)和向量B(1,2)，求2A-3B的模和方向。
解答：2A-3B=2(2,3)-3(1,2)=(4,6)-(3,6)=(1,0)；2A-3B的模为|2A-3B|=√(1²+0²)=√1=1；2A-3B的方向与x轴正方向平行，即与x轴的夹角为0°。
(完整版)平面向量知识点及方法总结范文总结范文
(完整版)平面向量知识点及方法总结范文总结范文1平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理1.平面向量的基本定理2.共线向量定理。
二、平面向量的数量积r1.向量b在向量a上的投影：|b|co，它是一个实数，但不一定大于0.rrr「rr「r2.ab的几何意义：数量积ab等于a的模iai与b在a上的投影的积.三坐标运算：设a(某，y)，b(某2,y2)，则rr(1)向量的加减法运算：ab(某i某2,yiy2)，ab(某某,yy2)•(2)实数与向量的积：a(某,y)(某,y).uuLr(3)若A(某,y)，B(某2,y2)，则AB(某2某,y2y)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标(4)平面向量数量积：ab某某2yy2.(5)向量的模：ai2|a|2某2y2|a|■.某2y2.四、向量平行(共线)的充要条件rrrrrrrr2a//bab(b0)(ab)五、向量垂直的充要条件rrrrrrrabab0|ab||a、rrrr六・a(某,y1),b(某2,y2)copa,bf七、向量中一些常用的结论.三角形重心公式在厶ABC中，若A(某,y),B(某2,y2),C(某3,y3)，则重心坐标为G(_一，_竺_)•332.三角形“三心”的向量表示uuruuuuurr,“二、(1)GAGBGC0GABC的重心.uuruuuumuuuuuuum,“十、(2)PAPBPBPCPCPAPABC 的垂心•uuuuuuuuuuuuuuuuiuuuut(3)|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；3•向量PA,皑Puu中三终点A,B,C共线存在实数，，使得PAPBPC且1.—fuur1uuuuuir4.在厶ABC中右D为BC边中点则AD(ABAC)uuuuuu5.与AB共线的单位向量是_uuu-|AB|(|a||b|)某1y2y某20.b|某1某2某1某22::-22■.某1Y1.-2Y22七•向量问题中常用的方法（一）基本结论的应用rrrrrrrrr5.平面向量ab(4,2),cmab(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A、2B、1C、1D、2uuur16.ABC中AN—uuuruuu2uuuuuuNC,P是BN上一点若APACmAB贝Vm=311ULTuuur2uiT2uuu2uuu2uuu27.o为ABC平面内一点，若oABCoBCAoCAB则o是ABC心■-BA-8.（2022课标I理）已知向量a,b的夹角为600,a2,b1，贝Ua2b______________PBPCP0BF0C则ADC900,AD2，BC1,p是腰DC上的动点,m=A.2B.3C.4D.53.设a、b都是非零向量，下列四个条件中，能使rr阜里成立的条件是（）|a||b|rrrrrrrrrrA、abB、a//bc、a2bD、a//b且|a||b|mu4.已知点A1,3,B4,1，则与向量AB同万向的单位向量为2•已知ABC 和点M满足MAMB+MC0•若存在实数m使得ABACmAM成立，则A•ABC900B•BAC90°C•ABACD.ACBC1•设点M是线段BC的中点，点A在直线BC 外,uur2BCuuuuuu16,ABACuuruuuuuuuABAC贝VAM(A)8(B)4(C)2(D)1uuu$-umruuu9.如图，在△ABC中，ADAB,BCJ；3BD,AD1，则(B込也/0uuurumrACAD=(A)2品(C)厂（D灵r123uuuuuu10.已知点A1,1.B1,2.C2,1D3,4,则向量AB在CD方向上的投影为A3転B.C.3佢D37152222（二）利用坐标法12.已知直角梯形ABCD中，AD//BC（二）利用投影定11设ABC.F0是边AB上一定点,满足F0B4AB，且对于边AB上任一点P，恒有3uuuuuuPA3PB的最小值为13.（2022课标II理）已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,uuuPAuuuuuur（PBPC）的最小值是（B.34C.-23D.114.15.向量问题基底化uuv在边长为1的正三角形ABC中，设BCuuuvuuv2BD,CA3CE则ADuuvBE（2022天津理）在ABC中，/A60,uuuuuAB3,AC2.若BD2DC,uuuuuuruuuAEACAB(uuuruuuR)，且ADAE4，则的值为16•见上第11题（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题1.uuur1uuurABC中AN-NC,P是BN上一点若32.（2022课标I理）已知向量a,b的夹角为2uuurAC11600,|a2,|b|uuuAPiuumAB贝Vm=3、uuur如图，在△ABC中，ADAB,BCuuurBD,ADuuruuuruuurACAD=(A)23(B)出2(C)17.设向量a,b,c满足a=b=1,ag)=c,bc=600，则c的最大值等于A.2B.318.若a,b,c均为单位向量，且ab0,(A)21(ac)(B)1(C)C.(b22c)D.10，则|abc|的最大值为(D)219.已知a,b是单位向量，ag）0.若向量c满足|c1,则c的取值范围是A.,2-1,,,2+1B..2-1,,.2+2C.1,,,2+1D.1,,「2+220.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是（A）a//b（五）向量与解三角形(B)a丄b(C)(D)a+b=ab21.在△ABC中,AB=2,uuuruuuAC=3ABgBC=1则BC4uurur22.已知平面向量,,（围_______ULT23.锐角三角形ABC中oATU0,ULToBTUUUTUTuUTUU0）满足，，（0,0）1,与-夹角1200，求取值范UUUoC,A300若coBinCUJUABcoCACinBUr、2moA求m。
平面向量问题的两个求解思路
平面向量问题的两个求解思路平面向量问题是高中数学中的重要内容，涉及到向量的加减、数量积、向量积等多个概念和运算。
在解决平面向量问题时，有两个常用的求解思路，分别是几何法和代数法。
一、几何法几何法是指通过图形直观地理解向量的性质和运算规律，从而解决平面向量问题的方法。
几何法的优点是能够帮助学生形成直观的几何感，加深对向量概念的理解，同时也能够提高学生的空间想象能力。
几何法的主要思路是通过图形构造和几何推理，确定向量的方向、大小和运算结果。
1. 向量的加减向量的加减可以通过平移法和三角形法进行求解。
平移法是指将一个向量平移至另一个向量的起点，然后连接两个向量的终点，所得的向量即为它们的和。
三角形法是指将两个向量的起点和终点连接成一个三角形，所得的第三条边即为它们的和，而两个向量的差则是以其中一个向量为底边，以另一个向量的负向量为高的平行四边形的对角线。
2. 向量的数量积向量的数量积可以通过向量投影和余弦定理进行求解。
向量投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度乘以另一个向量的模长，所得的结果即为它们的数量积。
余弦定理是指将两个向量的夹角余弦值乘以它们的模长之积，所得的结果即为它们的数量积。
3. 向量的向量积向量的向量积可以通过平行四边形法和行列式法进行求解。
平行四边形法是指将两个向量的起点相连，然后以它们为邻边构造一个平行四边形，所得的向量即为它们的向量积。
行列式法是指将两个向量的坐标表示成行列式的形式，然后按照行列式的定义进行计算，所得的结果即为它们的向量积。
二、代数法代数法是指通过向量的坐标表示和代数运算，从而解决平面向量问题的方法。
代数法的优点是能够提高学生的代数运算能力，同时也能够简化向量运算的复杂度。
代数法的主要思路是将向量的坐标表示成列向量或行向量的形式，然后按照向量的代数运算规律进行计算。
1. 向量的加减向量的加减可以通过向量的坐标表示和矩阵运算进行求解。
向量的坐标表示可以将向量表示成列向量或行向量的形式，然后按照矩阵加减法的规律进行计算。
第二讲 平面向量的解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题．3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．3．两非零向量平行、垂直的充要条件．4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式.例1（2007年卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解：22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ．例2．（2006年某某卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（2006年某某卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 21+- （B ） BA BC 21--（C ） BA BC 21- （D ）BA BC 21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 21+-=+=，故选A.例4． ( 2006年某某卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54（C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当222274134312525,,cos ,.55271432255a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭时当222274134312525,,cos ,.55271432255a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-===- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭时故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（2006年某某卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __．命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解:()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由()2311,1,2.231 2.x x b y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得23cos ,33a b a b a b⋅⨯===⋅+例6.（2006年某某卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41（D ）()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b xy x y =≠，则依题意有1,y =+1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D).点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.例8．（2007年某某卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4π，（Ⅰ）某某数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1-由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 例2．（2007年某某卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）某某数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（2007年某某卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值X 围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角AB C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 例10．（2007年某某卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值X 围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值X 围是25(,)3+∞例11．（2007年某某卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴= 又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=．又9a b +=22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （2006年某某卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-,()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx) ＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(2k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ； （Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力. 解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年某某卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC ==,[0,1].DM tDE t =∈ （I ）求动直线DE 斜率的变化X 围；（II ）求动点M 的轨迹方程。
初中数学中的平面向量如何进行运算与解题
初中数学中的平面向量如何进行运算与解题平面向量是初中数学中的一个重要概念，它在解决几何和代数问题时起着至关重要的作用。
本文将介绍平面向量的运算规则和解题方法，帮助读者更好地理解和应用平面向量。
一、平面向量的表示形式平面向量可以通过坐标形式或位置向量形式来表示。
1. 坐标形式：在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)分别是平面上的两个点，AB代表向量。
2. 位置向量形式：对于平面上的任意一点P(x, y)，以原点O(0, 0)为起点，可以得到P的位置向量为OP = (x, y)。
二、平面向量的加法与减法平面向量的加法与减法遵循如下规则：1. 加法：设向量AB = (x1, y1)，向量CD = (x2, y2)，则它们的和为：AB + CD = (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 减法：设向量AB = (x1, y1)，向量CD = (x2, y2)，则它们的差为：AB - CD = (x1 - x2, y1 - y2)。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点乘，表示为A·B。
1. 定义：设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A·B的数量积为：A·B = x1 * x2 + y1 * y2。
2. 性质：（1）A·B = B·A，数量积的交换律。
（2）A·A = |A|^2，数量积的性质，其中|A|表示向量A的模长。
四、平面向量的数量积的应用平面向量的数量积在求解各种几何问题中有着广泛的应用，以下是其中的两个例子：1. 判断垂直与平行关系：若向量A·B = 0，则向量A和向量B垂直；若向量A·B ≠ 0且 |A·B| = |A| * |B|，则向量A和向量B平行。
2. 求角的余弦：若向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的夹角θ的余弦值为：cosθ = (x1 * x2 + y1 * y2) / (|A| * |B|)。
平面向量五类解题技巧
平面向量五类解题技巧一、向量加减法的解题技巧向量加减法是平面向量里最基础也是很重要的部分哦。
比如说遇到那种给了几个向量，让求它们加起来或者减掉之后的向量的模长之类的题。
这时候呢，你可别傻乎乎地就直接硬算向量的坐标再去加减哦。
咱们可以利用三角形法则或者平行四边形法则。
就像如果是求两个向量相加，你就想象把这两个向量首尾相连，然后从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，这个新的向量就是它们相加的结果啦。
要是减法呢，把减向量的方向反过来，再用加法的法则就好啦。
比如说向量a - 向量b，就相当于向量a加上 - 向量b 哦。
这种直观的几何方法在很多选择题或者填空题里超级好用，可以快速得出答案，都不用去费劲算坐标呢。
二、向量数量积的解题技巧向量的数量积可是个很有趣的东西。
它有两种计算方法，一种是用向量的模长乘以它们夹角的余弦值，另一种是用向量的坐标相乘再相加。
当题目里给了向量的坐标，那肯定是用坐标法计算比较方便啦。
但是如果给的是向量的模长和夹角，那就得用前面那种方法咯。
而且数量积还有很多有趣的性质，比如两个向量垂直的时候，它们的数量积是0。
这在证明向量垂直或者根据垂直关系求向量里的参数的时候特别有用。
比如说给你两个向量，告诉你它们垂直，让你求其中一个向量里某个未知的系数，那你就直接根据数量积为0来列方程就好啦。
还有哦，如果两个向量平行，那它们数量积的绝对值就等于它们模长的乘积呢。
这也能用来解决不少关于向量平行的问题。
三、向量共线的解题技巧向量共线这个知识点在解题里也是经常出现的。
如果有两个向量a和b共线，那么就存在一个实数λ，使得a = λb。
这时候呢，要是题目里给了两个向量的坐标，那你就可以根据坐标对应成比例来求这个λ的值。
比如说向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，如果它们共线，那就有x1/x2 = y1/y2（当然要注意分母不能为0的情况哦）。
还有一种情况就是，如果题目里给了三个点A、B、C的坐标，要判断这三个点是否共线，你可以先求出向量AB和向量AC，然后看这两个向量是否共线就好啦。
平面向量的应用与解题技巧
平面向量的应用与解题技巧在数学中，平面向量是一个重要的概念，它在多个领域中得到广泛的应用，并且有许多解题技巧可供我们学习和运用。
本文将介绍平面向量的基本概念及其应用，并探讨一些解题技巧，希望能为读者提供帮助。
1. 平面向量的基本概念平面向量可以用有向线段来表示，它具有大小和方向两个特征。
我们通常用字母加上一个箭头来表示平面向量，比如AB→表示由点A指向点B的向量。
平面向量的大小通常用它的模表示，记作|AB→|，可以通过勾股定理求得。
2. 平面向量的加法与减法平面向量的加法与减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
（1）加法：将两个向量的对应分量分别相加即可。
例如，对于向量A→(a，b)和向量B→(c，d)，它们的和为C→(a+c，b+d)。
这意味着我们可以将向量的加法转化为对应分量的数加法，简化计算过程。
（2）减法：将第二个向量的对应分量取相反数，然后进行向量的加法运算。
例如，向量A→(a，b)减去向量B→(c，d)得到的结果为A→-B→(a-c，b-d)。
3. 平面向量的数量积和向量积平面向量的数量积和向量积是向量的重要运算，它们在几何和物理问题中广泛应用。
（1）数量积：数量积又称为点积，表示为A→·B→，计算公式为A→·B→=|A→||B→|cosθ，其中θ为A→与B→之间的夹角。
数量积的结果是一个实数，它可以判断两个向量之间的夹角大小和它们的相互关系。
（2）向量积：向量积又称为叉积，表示为A→×B→，计算公式为A→×B→= |A→||B→|sinθn→，其中θ为A→与B→之间的夹角，n→为垂直于A→和B→所确定的向量。
向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于A→和B→所在的平面，并遵循右手法则。
4. 平面向量的应用平面向量广泛应用于解决几何问题、物理问题和工程问题。
（1）几何问题：平面向量可以用来表示几何图形的性质，比如线段的垂直、平行、共线等关系。
平面向量解题技巧
平面向量解题技巧1. 什么是平面向量？平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
它可以用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，线段的方向表示向量的方向。
平面向量常用字母加箭头表示，如a⃗。
平面向量有两个重要的性质：大小和方向。
大小表示向量的长度，也称为向量的模或向量的大小，用|a⃗|表示。
方向表示向量的指向，可以用一个角度来表示，也可以用一个有向角度来表示。
2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示法和基本向量表示法来表示。
2.1 坐标表示法在平面直角坐标系中，每个向量可以用两个有序实数(x,y)来表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
这种表示方法称为坐标表示法。
2.2 基本向量表示法在平面直角坐标系中，我们可以选取两个互相垂直的单位向量i⃗和j⃗作为基本向量，它们的长度都为1。
任意向量a⃗可以表示为a⃗=xi⃗+yj⃗，其中x和y为实数。
这种表示方法称为基本向量表示法。
3. 平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种运算。
3.1 平面向量的加法设a⃗=(x1,y1)，b⃗⃗=(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的和记作a⃗+b⃗⃗，定义为(x1+x2,y1+y2)。
即a⃗+b⃗⃗=(x1+x2,y1+y2)。
3.2 平面向量的数乘设a⃗=(x,y)是平面上的一个向量，k是实数，ka⃗定义为(kx,ky)。
即ka⃗=(kx,ky)。
3.3 平面向量的减法设a⃗=(x1,y1)，b⃗⃗=(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的差记作a⃗−b⃗⃗，定义为a⃗−b⃗⃗=a⃗+(−b⃗⃗)。
即a⃗−b⃗⃗=(x1−x2,y1−y2)。
4. 平面向量的性质平面向量具有一些重要的性质，包括相等性、共线性、平行性和垂直性。
4.1 相等性两个向量a⃗和b⃗⃗相等，记作a⃗=b⃗⃗，当且仅当它们的坐标相等，即x1=x2，y1=y2。
4.2 共线性两个向量a⃗和b⃗⃗共线，当且仅当它们的坐标成比例，即x1x2=y1y2。
平面向量的解题技巧
平面向量的解题技巧
平面向量的解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 理解平面向量的性质：平面向量有大小和方向，可以进行加减法、数乘等运算。
理解平面向量的性质是解题的基础。
2. 建立坐标系：建立一个适当的坐标系，可以方便地表示平面向量的位置和方向。
通常可以选择直角坐标系或极坐标系。
3. 平面向量的表示方法：平面向量可以用坐标表示，也可以用向量表示。
在解题时，灵活选择适当的表示方法，使问题变得简化。
4. 平面向量的运算法则：平面向量可以进行向量的加法、减法和数乘运算。
根据运算法则，可以进行组合运算，简化计算过程。
5. 理解平面向量的几何意义：平面向量可以表示平移、旋转和缩放等几何变换。
在解题时，可以把平面向量与几何问题相联系，更好地理解和解决问题。
6. 利用向量的性质解题：平面向量具有一些特殊的性质，如平行、垂直、共线等。
在解题时，可以利用这些性质将问题转化为已知的条件，从而更好地解决问题。
总之，平面向量的解题技巧在于灵活运用向量的定义、表示、
运算法则和几何性质，以及适当选择合适的坐标系和表示方法，从而解决平面向量相关的问题。
高一数学第2讲 平面向量(知识点串讲)(解析版)
第2讲 平面向量（知识点串讲）知识整合1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1、判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( ) (2)BA →＝OA →－OB →.( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( )(4)已知a ，b 是两个非零向量，当a ，b 共线时，一定有b ＝λa (λ为常数)，反之也成立．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ [跟踪训练]1、有下列命题：①两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 是平行四边形；④若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C [对于①，两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同，①正确；对于②，若|a |＝|b |，方向不确定，则a ，b 不一定相等，∴②错误；对于③，若|AB →|＝|DC →|，AB →，DC →不一定相等，∴四边形ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ，④正确；对于⑤，若a ∥b ，b ∥c ，当b ＝0时，a ∥c 不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误．综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．] 知识整合2．向量的线性运算如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.例2、(2019·山东东营检测)如图所示，BC →＝3CD →，O 在线段CD 上，且O 不与端点C ，D 重合，若AO →＝mAB →＋(1－m )AC →，则实数m 的取值范围为________.【答案】⎝⎛⎭⎫－13，0 [设CO →＝kBC →，则k ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∴AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋kBC →＝AC →＋k (AC →－AB →)＝(1＋k )AC →－kAB →. 又AO →＝mAB →＋(1－m )AC →，∴m ＝－k . ∵k ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∴m ∈⎝⎛⎭⎫－13，0.] [跟踪训练]2、(2019·山东潍坊调研)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．12【答案】B [∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝⎛⎭⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＋μ＝12＋14＝34.] 知识整合4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．(2)若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.例3、(2019·山东青州月考)已知O 为△ABC 内一点，且2AO →＝OB →＋OC →，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B [设线段BC 的中点为M ， 则OB →＋OC →＝2OM →.因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →， 则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14⎝⎛⎭⎫AB →＋1t AD →＝14AB →＋14tAD →. 由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.][跟踪训练]3、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【答案】(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1. 知识整合5．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝x 2－x 12y 2－y 12.6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例4、(2019·山东潍坊检测)如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ． 12B ．－12C ．1D ．－1【答案】A [法一：由题意得AE →＝AD →＋12AB →＝BC →＋AB →－12AB →＝AC →－12AB →，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12.法二：利用坐标法，以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)， 设正方形的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12， 1，∴AE →＝⎝⎛⎭⎫12， 1，AB →＝(1,0)，AC →＝(1,1)，则⎝⎛⎭⎫12， 1＝λ(1,0)＋μ(1,1)，∴λ＋μ＝12.][跟踪训练]4、(2019·山东青岛调研)已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．3D ．－3【答案】D [向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，则a ＋b ＝(2，m ＋1)，a ∥(a ＋b )，则－(m ＋1)＝2，解得m ＝－3.] 知识整合7．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π].8．平面向量的数量积9．①交换律：a ·b ＝b ·a ；②数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . (2)平面向量数量积运算的常用公式①(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. ②(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. ③(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 10．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.注：两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线．例5、(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A [如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，∴AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116.] [跟踪训练]5、(2018·天津卷)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0【答案】C [如图，连接MN .∵BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，∴AM AB ＝13＝AN AC ，∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13，∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)， ∴BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.]。
掌握高中三年数学中的平面向量的运算技巧
掌握高中三年数学中的平面向量的运算技巧平面向量是高中数学中的重要内容之一，掌握平面向量的运算技巧对于解决与几何有关的问题非常重要。
在高中三年的数学学习中，我们需要通过练习和理论学习来掌握平面向量的各种运算技巧。
本文将介绍平面向量的加法、减法、数量积和向量积等运算技巧。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量进行相加得到一个新的向量。
设有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为：c = a + b其中c为向量a和向量b的和向量。
对于平面向量的加法，我们可以利用平行四边形法则进行计算。
即将向量a的起点与向量b的起点相连，得到一个平行四边形，从向量a的终点到向量b的终点，得到的向量就是向量a和向量b的和向量c。
二、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量a和b，它们的减法运算可以表示为：c = a - b其中c为向量a减去向量b所得到的差向量。
与加法相似，平面向量的减法也可以利用平行四边形法则进行计算。
即将向量a的起点与向量b的起点相连，得到一个平行四边形，从向量b的终点到向量a的终点，得到的向量就是向量a减去向量b所得到的差向量c。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
设有两个向量a和b，它们的数量积运算可以表示为：c = a · b其中c为向量a和向量b的数量积，可以通过向量的模长和夹角cosθ来计算：c = |a| |b| cosθ数量积具有以下性质：1. 如果向量a与向量b垂直，则它们的数量积为0；如果数量积为0，则向量a与向量b垂直。
2. 数量积满足交换律，即a·b = b·a。
3. 数量积满足分配律，即(a+b)·c = a·c + b·c。
四、平面向量的向量积平面向量的向量积也称为叉积或外积，表示两个向量之间的叉乘。
设有两个向量a和b，它们的向量积运算可以表示为：c = a × b其中c为向量a和向量b的向量积，可以通过向量的模长和夹角sinθ来计算：|c| = |a| |b| sinθ向量积具有以下性质：1. 向量a与向量b的向量积垂直于向量a和向量b所在的平面。
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π 3 cos 2 的最大 4
，B，C 的对边分别为 a，b，c ， 解： （Ⅰ）设 △ ABC 中角 A
2
4 2 4 4
例 3． （2006 年广东卷）如图 1 所示，D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD ( ) （A） BC 1 BA （B） BC 1 BA
2
2
（C） BC 1 BA
2
（D） BC 1 BA
2
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解： CD CB BD BC 1 BA ，故选 A.
2 x 3 1 x 1, 得 b 1, 2 . 2y 3 1 y 2.
a b 3 1 3 2 3 10 cos a, b . 2 2 2 2 10 ab 3 3 1 2
故填
例 6.（2006 年湖北卷）已知向量 a
命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想 解题的能力.
1 2 2 x , x y 1, 解:设 b x, y ( x y) ，则依题意有 2 3 x y 3. y 3 . 2 故选 B. 例 7.设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 a2 a3 0 .如果向量 b1 、 b2 、 b3 ，满足 bi 2 ai ，且 ai 顺
（Ⅰ）求实数 m 的值; （Ⅱ）求函数 f ( x) 的最小值. 解： （Ⅰ） f ( x) a b m(1 sin x) cos x ， f
π π π m 1 sin cos 2 ，得 2 2 2
m 1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x) sin x cos x 1
π π 2 sin x 1 ， 当 sin x 1时， 4 4
f ( x) 的最小值为 1 2 ．
例 9． （2007 年湖北卷理 16） 已知 △ ABC 的面积为 3 ，且满足 0 ≤ ABAC ≤ 6 ，设 AB 和 AC 的夹角为 ． （I）求 的取值范围； （II）求函数 f ( ) 2sin 2
则 b = （）
3,1 ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b 3 ，
3 10 . 10
3 1 （A） 2 ,2
1 3 （B） , 2 2
1 3 3 （C） , 4 4
（D） 1,0
1 7 例 4． ( 2006 年重庆卷)与向量 a = 7 , 1 , b , 的夹解相等，且模为 1 的向量是 ( )
2 2
4 3 (A) , 5 5 2 2 1 （C） 3 , 3 2 2 4 3 4 3 (B) , 或 , 5 5 5 5
命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.
常规解法：∵ a1 a2 a3 0 ，∴ 2a1 2a2 2a3 0. 故把 2 ai (i=1,2,3)，分别按顺时针旋
时针旋转 30o 后与 bi 同向，其中 i 1, 2,3 ，则（
） （B） b1 b2 b3 0 （D） b1 b2 b3 0
（A） b1 b2 b3 0 （C） b1 b2 b3 0
2
2 2 1 或 2 2 1 （D） , , 3 3 3 3
命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 4 3 4 3 c , 或 - , 时, c 1. 解：设所求平面向量为 c , 由 5 5 5 5 7 4 1 3 4 3 a c 1 2 5 2 5 c , 时, cos a , c . 2 2 2 2 5 5 a c 2 7 1 4 3 2 2 5 5 另一方面,当 7 4 1 3 4 3 a c 1 2 5 2 5 c , 时, cos a , c . 2 2 2 2 ac 2 5 5 7 1 4 3 2 2 5 5 当 7 1 1 7 的夹角相等.故选 B. 故平面向量 c 与向量 a = , ,b ,
由 sin 2 x
3π π 1，得 x 值的集合为 x x kπ ，k Z 4 8
π 2
例 2． （2007 年陕西卷文 17） 设函数 f ( x) a、b .其中向量 a (m, cos x), b (1 sin x,1), x R, 且f ( ) 2 .
转 30 后与 bi 重合，故 b1 b2 b3 0 ，应选 D.
巧妙解法：令 a1 = 0 ，则 a2 = a3 ，由题意知 b2 = b3 ，从而排除 B，C，同理排除 A，故选(D).
点评：巧妙解法巧在取 a1 = 0 ，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来 解决. 2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合 (1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而 综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的 双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解. (2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度 大. 例 8． （2007 年陕西卷理 17.）设函数 f(x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈ R,且函数 y=f(x)的图象经过点 ,2 ， 4 （Ⅰ）求实数 m 的值； （Ⅱ）求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合. 解： （Ⅰ） f ( x) a b m(1 sin 2 x) cos 2 x ， 由已知 f
第二讲
平面向量的解题技巧
【命题趋向】 由 2007 年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在 10 分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空 题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三 角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关 问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转 化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度 和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例 1 （ 2007 年 北 京 卷 理 ） 已 知 O 是 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， D 为 BC 边 中 点 ， 且 ） 2OA OB OC0 ，那么（ Ａ． AO OD Ｂ． AO 2OD Ｃ． AO 3OD Ｄ． 2 AO OD 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 2OA OB OC 2OA (DB OD) (DC OD) = 0, DB DC,2OA 2OD 0, AO OD. 故选 A． 例 2（ ．2006 年安徽卷） 在 ABCD 中， M 为 BC 的中点， 则 MN ______. AB a, AD b, AN 3NC ， （用 a、 b 表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解： 所以, MN 3 (a b) (a 1 b) 1 a 1 b . 由AN 3NC得4 AN 3AC=3(a b) ，AM a 1 b ，
π π π m 1 sin cos 2 ，得 m 1 ． 2 2 4 π ， 4
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x) 1 sin 2 x cos 2 x 1 2 sin 2 x
π 当 sin 2 x 1时， f ( x) 的最小值为 1 2 ， 4
2 2
2 2
例 5． （2006 年天津卷）设向量 a 与 b 的夹角为 ，且 a os __． (3,3) ，2b a (1,1) ，则 c
命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量 积处理有关角度的问题. 解: 设b x, y ,由2b a 2 x, y 3,3 2 x 3, 2 y 3 1,1 .