第二章汇交力系资料
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第二章 汇交力系
均为光滑接触。求：Ａ、Ｂ、Ｃ三处的约束力。(OO1=1.414R)
解：1）分析柱1 ，受力图（b）：
ΣFx=0 FNB cos45º-FNA=0 ΣFy=0 FNB sin45º-P=0 得FNB =1.414P FNA =P
2) 分析柱2，受力图（c）
ΣFx=0 FNC -FNB cos45º =0
F =P⋅tgα
FB
=
P
cos α
又由几何关系：
tgα =
r2
−(r−h)2 r−h
=0.577
F=11.5kN , FB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系， 碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 23
例 连杆机构OABC受铅直力P和水平力F作用而在图示位置平衡。 已知P=4kN，不计连杆自重，求力F的大小。
O a FX b x 一致时，投影为正，反之为负。
12
根据投影求合力 : F =
cos α = Fx ; cos β = Fy
F
F
Fx2 + Fy2
.投影的性质：1）力在垂直于投影轴上的投影为零。
2）力在平行投影轴时的投影为力的大小。 3）力在相互平行的投影轴上的投影相等。
投影和分力的区别：
1）分力是矢量，投影是标量； 2）分力与合力之间遵循平行四边形法则，投影与合
B
3）列平衡方程求解：
∑Fx =0 F - FA·cosθ = 0
∑Fy =0 FB - FA·sinθ = 0
FA = F cosθ
( ) = 20 8 42 + 82 = 22.4kN
FA
FB
（b）
FD = FA ⋅sinθ = (F cosθ ) ⋅sinθ = F ⋅tgθ
解：1）分析柱1 ，受力图（b）：
ΣFx=0 FNB cos45º-FNA=0 ΣFy=0 FNB sin45º-P=0 得FNB =1.414P FNA =P
2) 分析柱2，受力图（c）
ΣFx=0 FNC -FNB cos45º =0
F =P⋅tgα
FB
=
P
cos α
又由几何关系：
tgα =
r2
−(r−h)2 r−h
=0.577
F=11.5kN , FB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系， 碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 23
例 连杆机构OABC受铅直力P和水平力F作用而在图示位置平衡。 已知P=4kN，不计连杆自重，求力F的大小。
O a FX b x 一致时，投影为正，反之为负。
12
根据投影求合力 : F =
cos α = Fx ; cos β = Fy
F
F
Fx2 + Fy2
.投影的性质：1）力在垂直于投影轴上的投影为零。
2）力在平行投影轴时的投影为力的大小。 3）力在相互平行的投影轴上的投影相等。
投影和分力的区别：
1）分力是矢量，投影是标量； 2）分力与合力之间遵循平行四边形法则，投影与合
B
3）列平衡方程求解：
∑Fx =0 F - FA·cosθ = 0
∑Fy =0 FB - FA·sinθ = 0
FA = F cosθ
( ) = 20 8 42 + 82 = 22.4kN
FA
FB
（b）
FD = FA ⋅sinθ = (F cosθ ) ⋅sinθ = F ⋅tgθ
第二章--平面汇交力系
2a P
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
《工程汇交力系》PPT课件
n
n
n
FR Fxi i Fyi j Fzi k
(a)
i1
i1
i1
合力
FR FRx i FRy j FRz k
(b)
FRx 、FRy 、FRz分别为合力 FR在x、y、z轴上的投影
比较(a)、(b)可得
FRx Fx FRy Fy
即空间汇交力系的合力 在任一坐标轴上的投影，等 于各力在同一轴上投影的代
过汇交点，合力的力矢由力多边形的封闭边表示。 矢量式为
n
FR F1 F2 Fn Fi 简写为 FR F i 1
二、汇交力系平衡的几何条件
汇交力系合成结果为一合力，因此，汇交力系作用下刚 体平衡的必要充分条件是力系的合力等于零。矢量形式为
平衡
FR F 0
汇交力系的合力
n
FR Fi i1
将各分力表示为
Fi Fxi i Fyi j Fzi k
Fxi 、Fyi F、zi 分别为第i个分力
在x、y、z轴上的投影
n
n
n
可得
FR Fxi i Fyi j Fzi k
(a)
i1
i1
i1
三、汇交力系合成的解析法
Fx 0 Fy 0
FOC
3 5
FBC
2 0 2
FOC
4 5
FAC
4 5
0
Fz 0
P
FAC
3 5
FBC
2 0 2
x
例4 杆OC的0端由球铰支承，C端由
绳索AC及BC系住，使杆 OC处于水平位 置如图所示。若在C点悬挂重为P＝ 1kN的重物，略去杆OC的重量，试求 两绳的拉力及杆OC的力。
第二章 汇交力系
x
§2–3 力的投影.力沿坐标轴的分解 3 力的投影.
Fx = F cosα
Fy = F cos β
Fz = F cosγ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
Fx cosα = F Fy cos β = F Fz cosγ = F
§2–3 力的投影.力沿坐标轴的分解 3 力的投影.
二、力在平面上的投影： 力在平面上的投影： 由力矢F 的始端A 和末端B向投影平面oxy引 垂线， 垂线，由垂足A′到B′所构成的矢量A′ B′ ，就 是力在平面Oxy上的投影记为Fxy。 即： Fxy = F cosθ
ϕ
FB
D
(b)
x
P
又
ϕ = 14°2' sinϕ = 0.243 , cosϕ = 0.969
联立求解， 联立求解，得
FB = 750 N
§2–4 4
汇交力系合成与平衡的解析法
如图所示， 例题 2-5 如图所示，用起 重机吊起重物。 重机吊起重物。起重杆的A端 用球铰链固定在地面上， 用球铰链固定在地面上，而B 拉住， 端则用绳CB和DB拉住，两绳 分别系在墙上的C点和D点， 连线CD平行于x轴。已知 CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平 面与水平面间的夹角∠ 面与水平面间的夹角∠EBF= kN。 30o ,重物G=10 kN。如不计 起重杆的重量, 起重杆的重量,试求起重杆所 受的力和绳子的拉力。 受的力和绳子的拉力。
§2–2 汇交力系合成与平衡的几何法
2、力的多边形规则： 力的多边形规则： 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（ 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称 为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形， ）。加上一封闭边 为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称 为力多边形。 为力多边形。
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
第二章 汇交力系
工程力学（静力学部分） 工程力学（静力学部分）
第 2 章
汇 交 力 系
第 2 章
汇 交 力 系
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成 2. 汇交力系的平衡条件
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成 基本概念 一 力的合成 1.汇交力系的合成 基本概念
力的可传性原理 加减平衡力原理 (principle of transmissibility of a force) 作用于刚体上的力可沿其作用线滑移至 刚体内任意点而不改变力对刚体的作用 F 效应。 效应。
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成
汇交力的合成定理：汇交（共点）力系可以 汇交力的合成定理： 汇交（ 共点） 合成为一个合力，其作用点为公共作用点， 合成为一个合力 ， 其作用点为公共作用点 ， 合 力的力矢由力多边形封闭边表示。 力的力矢由力多边形封闭边表示。即
F R ＝F1 ＋F2 ＋F3 ＋ …＋Fn ＝ ∑Fi 即 F R ＝ ∑Fi
30º
W
FAC W
C
′ FAB
′ FAC
2. 汇交力系的平衡条件
下面的问题是如何确定 FAB 和
v y
FAC
个力构成平面汇交力系， 这3个力构成平面汇交力系，建立参 个力构成平面汇交力系 考坐标系 静力平衡方程为
FAB
A
v x
W
FAC
B
∑F
X
= 0 与∑F = 0 Y
FAB
A
FACsin30-FAB=0 FACcos30-W=0 解得： 解得：FAC＝W/cos30 FAB=Wtg30
FR = (∑Fx ) + (∑Fy ) + (∑Fz )
2 2 2
∑
第 2 章
汇 交 力 系
第 2 章
汇 交 力 系
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成 2. 汇交力系的平衡条件
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成 基本概念 一 力的合成 1.汇交力系的合成 基本概念
力的可传性原理 加减平衡力原理 (principle of transmissibility of a force) 作用于刚体上的力可沿其作用线滑移至 刚体内任意点而不改变力对刚体的作用 F 效应。 效应。
1.汇交力系的合成 1.汇交力系的合成
汇交力的合成定理：汇交（共点）力系可以 汇交力的合成定理： 汇交（ 共点） 合成为一个合力，其作用点为公共作用点， 合成为一个合力 ， 其作用点为公共作用点 ， 合 力的力矢由力多边形封闭边表示。 力的力矢由力多边形封闭边表示。即
F R ＝F1 ＋F2 ＋F3 ＋ …＋Fn ＝ ∑Fi 即 F R ＝ ∑Fi
30º
W
FAC W
C
′ FAB
′ FAC
2. 汇交力系的平衡条件
下面的问题是如何确定 FAB 和
v y
FAC
个力构成平面汇交力系， 这3个力构成平面汇交力系，建立参 个力构成平面汇交力系 考坐标系 静力平衡方程为
FAB
A
v x
W
FAC
B
∑F
X
= 0 与∑F = 0 Y
FAB
A
FACsin30-FAB=0 FACcos30-W=0 解得： 解得：FAC＝W/cos30 FAB=Wtg30
FR = (∑Fx ) + (∑Fy ) + (∑Fz )
2 2 2
∑
汇交力系
3
汇交力系的合成 几何法（矢量法） 一、几何法（矢量法）
为作用在A点的力系 点的力系， 设 { F1 , F2 , F3 } 为作用在 点的力系，求其合力
F3
A
F2 F1
F F R
F3
F2
R12
F R
F1
F3
F2
多 边
F1
FR 12 = F1 + F2
FR = FR 12 + F3
FR = F1 + F2 + F3
x
FRz = ∑ Fz
y
8
平 面 力 系
FRx = FRy =
∑ ∑
Fx = 0 Fy = 0
X Y轴可以不正交，也不一 轴可以不正交，
定取水平和铅直方向
Y 9N 10N 9N F 10N X X Y轴不正交时分力方向？ 轴不正交时分力方向？ Ｙ Ｆ Ｘ
9
如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 例：如图所示，重物 ， 钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上 铰接， 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车 上。杆AB与BC铰接，并 与 铰接 以铰链A、 与墙连接 如两杆和滑轮的自重不计， 与墙连接。 以铰链 、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和 所受的力 所受的力。 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆 和BC所受的力。
z
z
D
F3
ϕ
C
θ
C
ϕ
θ
F2
y
y B
A
F 1
B P
A 空 间 力 系
x
x
∑F ∑F ∑F
P
y
x
z
= 0 = 0 = 0
汇交力系的合成 几何法（矢量法） 一、几何法（矢量法）
为作用在A点的力系 点的力系， 设 { F1 , F2 , F3 } 为作用在 点的力系，求其合力
F3
A
F2 F1
F F R
F3
F2
R12
F R
F1
F3
F2
多 边
F1
FR 12 = F1 + F2
FR = FR 12 + F3
FR = F1 + F2 + F3
x
FRz = ∑ Fz
y
8
平 面 力 系
FRx = FRy =
∑ ∑
Fx = 0 Fy = 0
X Y轴可以不正交，也不一 轴可以不正交，
定取水平和铅直方向
Y 9N 10N 9N F 10N X X Y轴不正交时分力方向？ 轴不正交时分力方向？ Ｙ Ｆ Ｘ
9
如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 例：如图所示，重物 ， 钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上 铰接， 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车 上。杆AB与BC铰接，并 与 铰接 以铰链A、 与墙连接 如两杆和滑轮的自重不计， 与墙连接。 以铰链 、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和 所受的力 所受的力。 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆 和BC所受的力。
z
z
D
F3
ϕ
C
θ
C
ϕ
θ
F2
y
y B
A
F 1
B P
A 空 间 力 系
x
x
∑F ∑F ∑F
P
y
x
z
= 0 = 0 = 0
工程力学02 汇交力系
工程力学
第二章 汇交力系
FRx F1x F2 x F3 x F4 x F5 x 86.60 50 100 141.42 141.42 63.40kN
y F2
60
FRy F1 y F2 y F3 y F4 y F5 y
F1 O 30
50 86.60 0 141.42 141.42 F3 45 146.24kN F
F’BC
Fx 0, F 'BC cos F1 0
其中
D FD
F1
x
F 'BC FBC F 'BC FBC
最后求得
F F cos F1 F 'BC cos FBC cos cot 2 2 sin
工程力学
第二章 汇交力系
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
C
z O F x y
FC
O FA FT=F
B
FB
A
解:1） 取铰链 O为研究对象，受力图如图。
工程力学 2）列平衡方程，建立坐标系；
第二章 汇交力系
F 0, F 0, F 0,
x y z
FB sin FC sin 0 FA sin FB cos FC cos 0 FA cos FT 0
合力的表达式：
FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4
工程力学
第二章 汇交力系
1、力的多边形法则 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 得到一个开口的多边形，称为力多边形。 由开口的力多边形始点指向终点的封闭边为合力。合力的 作用点仍在力系的公共作用点上。此法称为力的多边形法则。 F3 d c F2 FR1 FR2 F4 b e F1 FR a F2 d
汇交力系［PDF］
第二章汇交力系汇交力系是指：作用在质点或刚体上的所有力的作用线的延长线汇交与同一点。
汇交力系分类：（a）平面共点力系：作用在质点或刚体上所有力的作用线在同一平面。
且作用在同一点上。
（b）空间共点力系：至少有三个力的作用线非共面。
但所有力作用在同一点上。
（c）平面汇交力系：作用在质点或刚体上所有力的作用线在同一平面。
但作用点不在同一点，而作用线的延长汇交于同一点。
（d）空间汇交力系：至少有三个力的作用线非共面。
且作用点不在同一点，而作用线的延长线汇交于同一点。
本章主要分析汇交力系的合成和平衡。
合成：将汇交力系情况下作用在质点或刚体上的力作为可沿其作用线自由移动的滑移矢量（将力矢量作为滑移矢量），利用矢量加法运算法则所得汇交点处和滑移矢量的过程称为汇交力系的合成。
汇交力系的合成所确定的和滑移矢量不是一般合力，因为滑移矢量没有确定的起始点，而作为合力的力，按力的三要素，应该具有确定的作用点。
即力作为矢量，必须是具有确定起始点的特殊矢量。
汇交力系中作为滑移矢量所有力的矢量和称为主矢（量）。
虽然汇交力系一般不存在合力的概念，只有主矢（量）的概念。
但对共1点力系，由于所有作用在质点或刚体上的力作用在同一点，由平行四边形法则，将作用在同一点的所有力每两力合成一个合力（通过平行四边形法则），最终可得到一个合力（即共点力系存在合力），且主矢（量）就等于合力。
合成的实质：对于非共点的汇交力系，合成实质上是对刚体上作用所有力，应用力的可传递性和平行四边形法则得到的与原刚体上作用非共点汇交力系力学效应等效的用于力学分析研究的模型。
而共点力系的合成实质上是变形体上所有力应用平行四边形法则得到的与原变形体上作用共点力系学效应等效的用于力学分析研究的模型。
汇交力系的平衡：根据§1-1中物体（刚体）相对于给定惯性系（体）静止或作均速直线运动的平衡（状态）的定义，实质上是对给定惯性参考系（体），物体上所受其它物体作用的力为零。
第二章 汇交力系
同理： FRy F1y F2 y F3y Fy
§1 汇交力系的合成
5、汇交力系合成的解析法
应用合力投影定理求出力系合力的投影后，可用下式 求出合力的大小和方向： 合力的大小：
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向余弦：
汇交力系的合成 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
汇交力系的平衡条件 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
§1 汇交力系的合成
一、力的可传性
F
公理三：加减平衡力系原理 在刚体上增加或减去
一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应
F’ F”
F A
B
F
A
B
若{P1, P2 ,L , Pm} {0} 则 {F1, F2, , Fn}
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间， 板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和 夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图；
FA
O
G
FB
O
AG
60° B
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间，
板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和
夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图：
Fx + Fy = F
| F | = (Fx)2 + (Fy)2 x
= (Fx)2 + (Fy)2
α = atan (Fy /Fx)
§1 汇交力系的合成
三、汇交力系合成的解析法(投影法)
可见： 力F在垂直坐标轴上的投影分量与沿轴分解的分 力大小相等；力F在相互不垂直的轴上的投影分 量与沿轴分解的分力大小是不相等的。 力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小；而 分力的大小却不一定都小于合力大小。 力在任一轴上的投影可求，力沿一轴的分量不可 定。
理论力学第二章(汇交力系)
力多边形 各分力矢与合力矢构成的多边形。
2) 合力
力矢量合成的力多边形法则： 1) 各分力首尾相接，次序可变；
R 为封闭边。
z F3 FR F2 F1 x
5
2、空间汇交力系合成的几何法
r r r r r r FR = F1 + F2 + F3 + F4 = Σ Fi ,
合成为一个合力，合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点.
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
向两个坐标轴投影，
FR = FRx + FRy = (∑ Fix ) + (∑ Fiy )
2 2 2
2
FR
合力方向 FRx ∑ Fix FRy cos θ = = , sin θ = = FR FR FR 合力投影定理：
∑F
FR
iy
10 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FDA
P
FDB=FDC=289N。
18
例 ：起重机起吊重量P = 1 kN， ABC 在 yz 平面内，求：立柱 x’ AB、绳BC，BD，BE 的拉力。 解：B点有四个未知力汇 交，故先从C点求解，
[C] 平面汇交力系 z 750
B 450 E FBE FBD 450 450 D x A y 450 F BA 450 FCB FBC 300 FCA
汇交力系的平衡条件为：力系中各力在x、y、z三个坐标 轴的每一轴上投影之代数和均为零。 14 汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行封闭。
汇交力系平衡条件的应用
例：园柱物置于光滑的燕尾槽内，已知：P 为 500 N,求： 接触处A、B的约束力。
2) 合力
力矢量合成的力多边形法则： 1) 各分力首尾相接，次序可变；
R 为封闭边。
z F3 FR F2 F1 x
5
2、空间汇交力系合成的几何法
r r r r r r FR = F1 + F2 + F3 + F4 = Σ Fi ,
合成为一个合力，合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点.
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
向两个坐标轴投影，
FR = FRx + FRy = (∑ Fix ) + (∑ Fiy )
2 2 2
2
FR
合力方向 FRx ∑ Fix FRy cos θ = = , sin θ = = FR FR FR 合力投影定理：
∑F
FR
iy
10 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FDA
P
FDB=FDC=289N。
18
例 ：起重机起吊重量P = 1 kN， ABC 在 yz 平面内，求：立柱 x’ AB、绳BC，BD，BE 的拉力。 解：B点有四个未知力汇 交，故先从C点求解，
[C] 平面汇交力系 z 750
B 450 E FBE FBD 450 450 D x A y 450 F BA 450 FCB FBC 300 FCA
汇交力系的平衡条件为：力系中各力在x、y、z三个坐标 轴的每一轴上投影之代数和均为零。 14 汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行封闭。
汇交力系平衡条件的应用
例：园柱物置于光滑的燕尾槽内，已知：P 为 500 N,求： 接触处A、B的约束力。
02.第二篇汇交力系
第二章 汇 交 力 系
汇交力系和力偶系是基本力系，任何复杂的力系都可以 等效简化为一个汇交力系和一个力偶系，所以汇交力系 和力偶系的合成是任何复杂力系简化的基础。
本章研究汇交力系的合成和平衡。
§2-1 汇交力系的合成
§2-2 汇交力系的平衡条件
§2.1 汇交力系的合成
§2-1 汇交力系的合成
一、力的可传性 二、汇交力系合成的几何法 三、汇交力系合成的解析法
Fz FR
若汇交力系是平面汇交力系，在与平面垂直Z轴方向的 合力∑Fz≡0，只有
FR Fx 2 Fy 2
tan FRy Fy
FRx
Fx
FRy FR
FRx
§2-2 汇交力系的平衡条件
§2-2 汇交力系的平衡条件
在汇交力系合成（几何法和解析法）后，得到合力 FR，汇交力系何时是平衡的？平衡的概念！二力平衡 公理。
三、 汇交力系平衡的的解析条件
平面汇交力系解析合成结果：
FR Fx 2 Fy 2
tan FRy Fy
FRx
Fx
平面汇交力系平衡的 平衡方程：
Fy F
Fx
FR
Fx 2
Fy 2 0
Fx 0 Fy 0
例2-2 如图所示, 重物G=20kN, 用钢丝绳挂在支架的滑轮B上, 钢
F4 F3
FR
F3
F4
F2
F2
F1
F1
F1
用力多边形求合力的方法叫力多边形法 ，几何法。几何法多用于 平面汇交力系的合成。
§2.1 汇交力系的合成
汇交力系可简化为一个合力, 其合力的大小与方向等 于各分力的矢量和（几何和）, 合力作用线通过汇交 点。合力与几何合成力的顺序无关。
汇交力系和力偶系是基本力系，任何复杂的力系都可以 等效简化为一个汇交力系和一个力偶系，所以汇交力系 和力偶系的合成是任何复杂力系简化的基础。
本章研究汇交力系的合成和平衡。
§2-1 汇交力系的合成
§2-2 汇交力系的平衡条件
§2.1 汇交力系的合成
§2-1 汇交力系的合成
一、力的可传性 二、汇交力系合成的几何法 三、汇交力系合成的解析法
Fz FR
若汇交力系是平面汇交力系，在与平面垂直Z轴方向的 合力∑Fz≡0，只有
FR Fx 2 Fy 2
tan FRy Fy
FRx
Fx
FRy FR
FRx
§2-2 汇交力系的平衡条件
§2-2 汇交力系的平衡条件
在汇交力系合成（几何法和解析法）后，得到合力 FR，汇交力系何时是平衡的？平衡的概念！二力平衡 公理。
三、 汇交力系平衡的的解析条件
平面汇交力系解析合成结果：
FR Fx 2 Fy 2
tan FRy Fy
FRx
Fx
平面汇交力系平衡的 平衡方程：
Fy F
Fx
FR
Fx 2
Fy 2 0
Fx 0 Fy 0
例2-2 如图所示, 重物G=20kN, 用钢丝绳挂在支架的滑轮B上, 钢
F4 F3
FR
F3
F4
F2
F2
F1
F1
F1
用力多边形求合力的方法叫力多边形法 ，几何法。几何法多用于 平面汇交力系的合成。
§2.1 汇交力系的合成
汇交力系可简化为一个合力, 其合力的大小与方向等 于各分力的矢量和（几何和）, 合力作用线通过汇交 点。合力与几何合成力的顺序无关。
工程力学第二章 汇交力系
第二章 汇交力系
汇交力系包括：平面汇交力系和空间 汇交力系。 指力的作用线汇交于一点的力系。
§2-1 汇交的合成 §2-2 汇交力系的平衡条件
§2-1 汇交力系的合成
平面汇交力系是指各力的作用线 在同一平面内且汇交于一点的力系。
空间汇交力系是指各力的作用线 在空间汇交于一点的力系。
一、力的可传性：作用在刚体上的力可以沿着其作 用线移动。
F ix F iy
0
0
0
F iy 0
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
或
按比例量得 F 2.3 k 8,F N 2.4 2 kN
C
A
例2-3 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC 杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fx 0
F B A F 1co s6 0 F 2co s3 00
解：AB、BC杆为二力杆。
取销钉B。 用解析法
Fx 0
Fcθ o F scθ o 0 s
BA
BC
得 F F
BA
BC
Fy 0
F sθ i n F sθ i n F 0
BA
BC
解得 FF1.3 1k 5N BA BC
选压块C
Fx 0
Fco θsF0
CB
Cx
解得 FFco θ tF l1.1 2k 5N
汇交力系包括：平面汇交力系和空间 汇交力系。 指力的作用线汇交于一点的力系。
§2-1 汇交的合成 §2-2 汇交力系的平衡条件
§2-1 汇交力系的合成
平面汇交力系是指各力的作用线 在同一平面内且汇交于一点的力系。
空间汇交力系是指各力的作用线 在空间汇交于一点的力系。
一、力的可传性：作用在刚体上的力可以沿着其作 用线移动。
F ix F iy
0
0
0
F iy 0
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
或
按比例量得 F 2.3 k 8,F N 2.4 2 kN
C
A
例2-3 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC 杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fx 0
F B A F 1co s6 0 F 2co s3 00
解：AB、BC杆为二力杆。
取销钉B。 用解析法
Fx 0
Fcθ o F scθ o 0 s
BA
BC
得 F F
BA
BC
Fy 0
F sθ i n F sθ i n F 0
BA
BC
解得 FF1.3 1k 5N BA BC
选压块C
Fx 0
Fco θsF0
CB
Cx
解得 FFco θ tF l1.1 2k 5N
理论力学第2章-汇交力系
Fz F k
（2-5）
力在某一轴上的投影，等于该力与沿该轴方向的单 位矢量之标积。
这结论也适用于在任何一轴上的投影。
例如，设有一轴，沿该轴正向的单位矢量为n， 则力F在 轴上的投影为
F F n
设n在坐标系Oxy 中的方向余弦为l1 、l2 、l3 ，则
F Fxl1 Fyl2 Fzl3
F Fxi Fy j Fzk
（2-3）
i、j、k是沿坐标轴正向的单位
矢量，
Fx、Fy、Fz分别是力F在x、y、
z轴上的投影。
2.3.1.1 直接投影法
已知F与坐标轴正向的夹角分别为、、 ， cos
Fz F cos
（2-4）
Fx Fy
F F
i j
cos FR ,
k
FR z FR
F
z
FR
（2-12）
例2-2 如图所示平面汇交力系，已知： F1 20kN F2 30kN
F3 10kN F4 25kN 试求汇交力系的合力矢。
解 (1)求合力矢FR在坐标轴上的投影：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 10 3 15 5 2 12.5 2 12.93 kN
平面汇交力系：各力作用线在同一平面内且 汇交于同一点的力系。
空间汇交力系：各力作用线不在同一平面内 且汇交于同一点的力系。
2.1 汇交力系合成的几何法
2.1.1 合成的几何法
F1
A
F2 FR F3
F4
b F3
c
F2 a FR1
FR2 F4
F1 o FR
d
FR = F1 + F2 + F3 + F4
建筑力学 第二章 平面汇交力系
11
图示三角支架，求两杆所受的力。 例 1 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象， 节点为研究对象， 画受力图 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
− FNBC sin 30 0 − F = 0
解得： 解得：
FNBA FNBC
FNBC = −2 F = −60 KN
5
力投影的要点： 力投影的要点：
①力平移，力在坐标轴上投影不变； 力平移，力在坐标轴上投影不变； 力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； ②力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； 力平行于某轴， ③力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对 值为力的大小。 值为力的大小。
平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数和。 等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：
合力投影定理： 合力投影定理：
FRX = FX 1 + FX 2 + ⋅⋅⋅ + FXn = ∑ FXi FRY = FY 1 + FY 2 + ⋅⋅⋅ + FYn = ∑ FYi
6
平面平行力系：各力作用线平行的力系。 平面平行力系：各力作用线平行的力系。
平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面平行力系之外的平面力系。 平面平行力系之外的平面力系。
解： 轴销作为研究对象，画出其受力图。 1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
13
2、列出平衡方程： 列出平衡方程： 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
解得： 解得： 建立平衡方程： 由 ∑FX = 0 ，建立平衡方程： 解得： 解得： 为负值， 反力FNBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定 实际上受拉力。 指向相反。即杆AB 实际上受拉力。 指向相反。
图示三角支架，求两杆所受的力。 例 1 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象， 节点为研究对象， 画受力图 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
− FNBC sin 30 0 − F = 0
解得： 解得：
FNBA FNBC
FNBC = −2 F = −60 KN
5
力投影的要点： 力投影的要点：
①力平移，力在坐标轴上投影不变； 力平移，力在坐标轴上投影不变； 力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； ②力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； 力平行于某轴， ③力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对 值为力的大小。 值为力的大小。
平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数和。 等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：
合力投影定理： 合力投影定理：
FRX = FX 1 + FX 2 + ⋅⋅⋅ + FXn = ∑ FXi FRY = FY 1 + FY 2 + ⋅⋅⋅ + FYn = ∑ FYi
6
平面平行力系：各力作用线平行的力系。 平面平行力系：各力作用线平行的力系。
平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面平行力系之外的平面力系。 平面平行力系之外的平面力系。
解： 轴销作为研究对象，画出其受力图。 1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
13
2、列出平衡方程： 列出平衡方程： 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
解得： 解得： 建立平衡方程： 由 ∑FX = 0 ，建立平衡方程： 解得： 解得： 为负值， 反力FNBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定 实际上受拉力。 指向相反。即杆AB 实际上受拉力。 指向相反。
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
第二章汇交力系
上步骤.
注意:
最好建立一个方程求解出一个未知量,尽量避免求 解方程组.
33
[例9] 已知 P=2kN
求CD杆受力及铰链A的约束力 RA
解：①选AB杆为研究对象,画出受力图 ②建立坐标系,列平衡方程
X 0
RAcos SCD cos450 0
Y 0 P RA sin SCD sin450 0
由EB=BC=0.4m，
t g
EB 0.4 1 AB 1.2 3
③解平衡方程得:
0 P cos 45 SCD 4.24 kN ； R A SCD 3.16 kN 0 0 34 sin 45 cos45 tg cos
例10 在图示的绳索结构中, 已知A物块重20KN,B物块
方向与梁的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试
求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的
自重不计。
B C
a a
30º
A
(a)
16
例 题 5
解：
1.取梁AB作为研究对象。
60º
2.画出受力图。
(b)
30º
3.作出相应的力多边形。 4.由力多边形解出：
60º
30º
FA FB
17
三、汇交力系合成的解析法（投影法）
FRx FRy FRz
X Y
i 1 n i 1 i 1 n i
n
i
——合力投影定理：合力在任一轴上的投影 等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 合力的方向：
Z
2
i
合力的大小：
FR
FRx
FRx FRx
2
2
cosF cosF
注意:
最好建立一个方程求解出一个未知量,尽量避免求 解方程组.
33
[例9] 已知 P=2kN
求CD杆受力及铰链A的约束力 RA
解：①选AB杆为研究对象,画出受力图 ②建立坐标系,列平衡方程
X 0
RAcos SCD cos450 0
Y 0 P RA sin SCD sin450 0
由EB=BC=0.4m，
t g
EB 0.4 1 AB 1.2 3
③解平衡方程得:
0 P cos 45 SCD 4.24 kN ； R A SCD 3.16 kN 0 0 34 sin 45 cos45 tg cos
例10 在图示的绳索结构中, 已知A物块重20KN,B物块
方向与梁的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试
求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的
自重不计。
B C
a a
30º
A
(a)
16
例 题 5
解：
1.取梁AB作为研究对象。
60º
2.画出受力图。
(b)
30º
3.作出相应的力多边形。 4.由力多边形解出：
60º
30º
FA FB
17
三、汇交力系合成的解析法（投影法）
FRx FRy FRz
X Y
i 1 n i 1 i 1 n i
n
i
——合力投影定理：合力在任一轴上的投影 等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 合力的方向：
Z
2
i
合力的大小：
FR
FRx
FRx FRx
2
2
cosF cosF
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z
空间汇交力系平衡
FR = 0
∴
X 0 -FTsin300cos450-SCD=0A
Y 0 -FTsin300sin450-SBD=0
Z 0 FTcos300-G=0
300 o
上式即为空间汇交力系的平衡方程
Cy
例:等长杆BD、CD铰接于D点
并用细绳固定在墙上A点而位
于水平面内，D点挂一重G的 物块，不计杆重，求杆及绳的 x
B
600 300 C
A
A.Leabharlann 300QQ
解：取力系的汇交点A为研究对象
作受力图
按一定比例尺作出已知力Q的大小和方向
600 Q
根据汇交力系平衡的几何条件,该三个力所构成的力三角形必自行 封闭,故可在力Q的始端和末端画出FTB和FTC
按同样的比例即可量得FTB和FTC的大小。
§2 合成与平衡的解析法 y
一.力在轴上的投影
X
Y
∴ FR
FR
2 x
FR
2 y
(
X )2 ( Y)2
arctg Y X
五.平面汇交力系的平衡方程及其应用
平面汇交力系平衡
FR = 0
∴
X i 0
Yi 0
上式即为平面汇交力系的平衡方程
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。
B
600 300 C
y
A
F1 BC F2 AC
即外分反比定理。
.
A
..
B
C
R
§3.平面力偶系 力偶： 等值、反向、不共线的两个平行力
一.力偶的性质
（F，F’） 力偶臂
②力偶对任一点的矩完全取决于力偶矩 m =±Fd
mo (F) mo (F)
逆正 + － 顺负
F • x F (d x) Fd
O. x
三要素: 大小、转向、作用平面
γ
F
一.力在空间的表示:
二.力在空间直角坐标轴上的投影
Oβ
y
α
φ
x
F X 2 Y2 Z2
二次投影法:
cos X
F
cos Y
F
cos Z
F
三.力沿空间直角坐标轴的分解 Fx=Xi Fy=Yj Fz=Zk
F=Xi+ Yj + Zk 四.空间汇交力系的合成
z
F γ
空间汇交力系用几何法合成
O
y
并不方便,因为空间几何图形不易
B
D
约束反力。
解：研究力的汇交点D（空间力系不用取隔离体） G
画受力图
第三章 力偶理论
§1.力对点的矩(力矩)
mo(F)=±Fd
矩心
逆正 顺负
+
力臂 －
.
F
Od
合力矩定理:
mo(F1)=F 1sinα1L= F 1yL=Y1L
mo(F2)=F 2sinα2 L= F 2yL=Y2L y
mo(F3)=F 3sinα3 L= F 3yL=Y3L
900-φ
2
有90 90 即 2 时不会滑出.
2
第六章 空间力系 z
§1.空间汇交力系
各力的作用线在空间任意分布且交于 同一点.
γ
F
一.力在空间的表示:
二.力在空间直角坐标轴上的投影
Oβ
y
α
φ
x
F X 2 Y2 Z2
75＞FB 72.17
NC B FB
能平衡， FA= FB=72.17N。
NA
NB
练习题：图示楔块夹角α，各接触面间的摩擦角均为φ，欲使楔块不 滑出，α=？楔块自重不计。
解：考察一个侧面，受力如图：
F
作辅助线，
Rm
当 Rm cos 0 即 0 θ 90 时,
θ φ
楔块不会滑出,而
N
α
(90 )
第二章 汇交力系
合成的几何法.平衡的几何条件
F1 F2
O
F1 F2
O
F3
F3
Fn
Fn
FR
F1 F2
F2
F1
F3
O O
F3
Fn
FR Fn 合力 FR=ΣFi
FR
合力 FR 为力多边 形的封闭边
汇交力系平衡的几何条件: 力多边形自行封闭
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。
d
③.只要保持力偶矩不变，力偶可以在
作用平面内任意转移； 只要保持力偶
矩不变，可以调整力偶中力和力臂的大 小，而不改变力偶对物体的作用效果。
二.平面力偶系的合成与平衡条件
R
R’
结论: 平面力偶系可以合成, 合成的结果为一合力偶,合力偶的力偶 矩等于各个分力偶的力偶矩的代数和。
M=Σm 平面力偶系的平衡方程： Σm =0
m1
m2 L
m3
练习题：图示折梯，两角的fA=0.2， fB=0.6，AC中间D点作用力 P=500N，不计梯重，问能否平衡？若能， FA、 FB各为多少？
解：先整体：
C
ΣM B
0
NA 375
ΣY 0 NB 125
P
BC为二力杆，受力如
图，由平衡方程：
D
125
F B
72.17 3
而 : F Bmax NB fB FA A
+)
mo(R)=RsinαL = R yL
. . =(ΣY)L O α3 A
结论: mo (R) mo (F)
L
α α1
α2
x
§2.两平行力的合成 一. .同向两平行力的合成
R=F1+F2
F1 BC F2 AC
即内分反比定理。
D
A.
F2
.
.B
C
R
二.不等两反向平行力的合成
R = F2- F1
表示. 所以常用解析法.
φ
合力投影定理:
x
将空间汇交力系的各力分别投影到空间直角坐标系的三个轴上,
根据矢量投影法则,合力在某轴上的投影等于各个分力在该轴上投影
的代数和:
FR (X )2 (Y )2 (Z )2
cos X ， cos Y ，cos Z
FR
FR
FR
五.空间汇交力系的平衡条件
=Fcosα
α
x
a
b
F Fx2 Fy2
二.力的分解 一个力在没有限制的情况下,可以分解为无数组力。 只有在正交坐标系下，分力的大小才等于投影。
F 三.合力投影定理
y
x
结论:
F R x Fx X FR y Fy Y
四.合成的解析法
∵ FRx FR y
Fx Fy
A.
x
Q
Q
解：
1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图
3).建立坐标系
4).列出对应的平衡方程
X 0 FT B sin 60 0 FT C sin 30 0 0
Y 0 FT B cos 600 FT C cos300 Q 0
5).解方程
z
§3.空间汇交力系
各力的作用线在空间任意分布且交于 同一点.
例：一工件上需钻三个孔，钻头力偶矩分别为m1=100kNm， m2=200kNm， m3=300kNm。求夹具对工件的约束反力。
A
A
L
L
B
B
解：研究工件，受力如右图所示。主动力系为一力偶系，根据力偶
的性质，反力也必为一反力偶，由力偶系的平衡方程
Σm =0 有
m1+ m2+ m3-NAL=0 解得
NA