实验6数据拟合及参数辨识方法(精)
参数估计与拟合76页PPT文档
目 标 ： 估 计 , 或 者 更 为 一 般 地 ， 估 计 ( 1 , . . . , m )
如 果 f(x ;)为 真 ， 则 有
n
要想在统计上将相对误差减少到 5%，总共需要多少个事例？ 由信息不等式，任何估计量的方差下界为
Vˆ1 b2
2logL
E
2
对于本问题，b=0，
L i n 1fxi, 1 2 ni n 11xi
ˆ=0.10
Vˆ0.0052=2.5105
带入不等式可以求得 n 1.2 105。
6/28/2019
BESIII 暑期讲习班
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估计量的方差: 图解法
考 虑 单 参 数 情 况 下 ， 将 l o g L ( ) 在 ˆ 附 近 展 开 ，
l o g L () l o g L (ˆ ) l o g L ( ˆ ) 2 1 ! 2 l o g 2 L ˆ( ˆ ) 2 ...
的矩阵(Hessian矩阵)是通过有限差值来估计。
调用 CERN 的 MINUIT 软件包中的 HESSE 程序
6/28/2019
BESIII 暑期讲习班
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例子：估计实验所需的统计量
质子与反质子弹性散射实验，观测量为散射角 x=cos，服从
f (x;)=0.5×(1+x)， 其中 是反映反质子极化的参数。目前测量值为0.10±0.02 ，
应使得下式定义的似然函数
n
L() f (xi ,) i1
数据拟合
%%%%%%%数据拟合根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y =f(x)，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近。
这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。
曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。
本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用MATLAB软件进行曲线拟合。
§5.1 引例拟合问题引例一电阻问题已知热敏电阻电阻值与温度的数据：求温度为63度时的电阻值。
拟合问题引例二给药问题一种新药用于临床之前，必须设计给药方案。
药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。
一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室，室内血药浓度是均匀的。
快速静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降。
当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。
临床上，每种药物有一个最小有效浓度c 1和一个最大有效浓度c 2。
设计给药方案时，要使血药浓度 保持在c 1~c 2之间。
本题设c 1=10，c 2=25(ug/ml).要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。
从实验和理论两方面着手：在实验方面, t=0时对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg 后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得血药浓度c(ug/ml)如下表:1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。
2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。
§5.2 最小二乘法给定平面上的点(x i , y i )，（i = 1,2,…,n ），进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。
数据拟合方法(免费)
2 数据拟合方法在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。
为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。
需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。
数据拟合方法与数据插值方法不同，它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。
数据拟合方法求拟合函数，插值方法求插值函数。
这两类函数最大的不同之处是，对拟合函数不要求它通过所给的数据点，而插值函数则必须通过每一个数据点。
例如，在某化学反应中，测–33显然，连续函数关系是客观存在的。
但是通过表中的数据不可能确切地得到这种关系。
何况，由于仪器和环境的影响，测量数据难免有误差。
因此只能寻求一个近拟表达式y = ϕ(t )寻求合理的近拟表达式，以反映数据变化的规律，这种方法就是数据拟合方法。
数据拟合需要解决两个问题：第一，选择什么类型的函数)(t ϕ作为拟合函数（数学模型）；第二，对于选定的拟合函数，如何确定拟合函数中的参数。
数学模型应建立在合理假设的基础上，假设的合理性首先体现在选择某种类型的拟合函数使之符合数据变化的趋势（总体的变化规律）。
拟合函数的选择比较灵活，可以选择线性函数、多项式函数、指数函数、三角函数或其它函数，这应根据数据分布的趋势作出选假设拟合函数是线性函数，即拟合函数的图形是一条平面上的直线。
而表中的数据点未能精确地落在一条直线上的原因是实验数据的误差。
则下一步是确定函数y= a + b x中系数a 和b 各等于多少？从几何背景来考虑，就是要以a 和b 作为待定系数，确定一条平面直线使得表中数据所对应的10个点尽可能地靠近这条直线。
一般来讲，数据点将不会全部落在这条直线上，如果第k 个点的数据恰好落在这条直线上，则这个点的坐标满足直线的方程，即a +b x k = y k如果这个点不在直线上，则它的坐标不满足直线方程，有一个绝对值为k k y bx a -+的差异（残差）。
参数辨识方法
参数辨识方法指通过实验数据或观测结果，推断或估计系统或模型的参数值的一类方法。
这些方法通常用于建立数学模型、探索系统行为、优化控制策略等领域。
以下是几种常见的参数辨识方法：
1. 最小二乘法（Least Squares Method）：最小二乘法是一种常见的参数辨识方法，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异来估计参数。
它适用于线性和非线性模型，并可考虑测量误差。
2. 极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）：极大似然估计是一种统计方法，用于通过最大化观测数据的似然函数来估计参数。
它适用于概率模型和随机过程的参数辨识。
3. 遗传算法（Genetic Algorithms）：遗传算法是一种优化算法，可以用于参数辨识问题。
它模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异等操作，通过迭代搜索来找到最优参数组合。
4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）：粒子群优化算法是一种启发式优化算法，模拟鸟群或鱼群的行为，通过协作和信息共享来寻找最优参数组合。
5. 系统辨识理论（System Identification Theory）：系统辨识理论提供了一系列数学和统计方法，用于从实验数据中推断系统的结构和参数。
它涵盖了许多方法，包括参数估计、频域分析、时域分析等。
这些方法的选择取决于具体的应用和问题领域。
不同方法有不同的假设和适用条件，需要根据实际情况选择合适的参数辨识方法来获得准确的参数估计。
第六章数据拟合方法
* 2 5.6615
9 8 7 6 5 4 3 2 1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、 超定方程组的最小二乘解
a0 将拟合函数以向量表示： a 1 ( x) 0 ( x) 1 ( x) n ( x) ( x ) y （ i =1,2,…, m ） 令 i i an
n
m
k
( xi ) j ( xi )]a j k ( xi ) yi
i 1
m
即
m m i 1 i 1
(k 0,1,, n)
m i 1
a0 k ( xi )0 ( xi ) a1 k ( xi )1 ( xi ) an k ( xi ) n ( xi ) k ( xi ) yi
Bezier曲线的数学表达式：
若给定控制多边形顶点P0 ,P1 ,……, Pm坐标
(x0 ,y0 ) ,……(xm ,ym )，则相应的Bezier多项式 定义为： m
x(t ) c t (1 t )
k 0 m k k m k k m
mk
xk yk
y (t ) c t (1 t )
1 1 1 1
1 1 4 a0 2 4 10 a 1 3 9 18 a2 4 16 26
记系数矩阵为，则 4 10 30 T 10 30 100 30 100 354 故正规方程组为
若m>n+1，则此方程组称超定方程组（方程个数>未知数
n
m
实验6 数据拟合及参数辨识方法
实验6 数据拟合及参数辨识方法一、实验目的及意义[1] 了解最小二乘拟合的基本原理和方法；[2] 掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；[3] 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。
[4] 了解各种参数辨识的原理和方法；[5] 通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实际问题的过程；通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。
这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图；3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。
三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据各种数值解法步骤编写M文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）应用实验1．旧车价格预测某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中x i表示轿车的使用年数，y i表示相应的平均价格。
试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？由题意知用matlab编程：t=1:1:10;r=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204];aa=polyfit(t,r,2);a=aa(1)b=aa(2)c=aa(3)y=polyval(aa,t);plot(t,r,'k+',t,y,'r')z=a*4.5*4.5+b*4.5+c图像如下：z = 955.7047从而可知第4.5年的预测结果为956辆2．机器人识别定形工具柄问题机器人在不同层次上应用于工业生产、水下探测、核点开发、军事研究等领域和部门。
数学实验报告数据拟合
实验报告一·实验指导书解读本次实验是通过两个变量的多组记录数据利用最小二乘法寻求两个变量之间的函数关系！两个变量之间的函数关系要紧有两种：一是线性关系（一次函数）；二是非线性关系（非一次的其它一元函数）。
因此本实验做两件事：一是线性拟合（练习1）；二是非线性拟合（练习2、3、4）。
练习2是用多项式函数拟合，练习3是用指数函数、对数函数、双曲函数、三角函数、分式有理多项式函数等初等函数拟合，练习4是用分段函数（非初等函数）拟合。
二、实验打算1.用线性函数拟合程序线性拟合曲线ft1可由如下mathematica程序求出：lianxi1biao= { {100,45} , {110,51} , { 120,54} , {130,61} , {140,66} , {150,70} , {160,74} , {170,78} , {180,85} , {190,89} }ft1=Fit[lianxi1biao,{1,x},x]gp = Plot [ ft1 , {x,100,190} , PlotStyle -> { RGBColor[1,0,0]} ]fp = ListPlot [ lianxi1biao,PlotStyle->{PointSize[],RGBColor[0,0,1]} ]Show[fp,gp]a= ;b= ;f[x_]=a*x+b;dareta=Sum[(lianxi1biao[[i,2]]-f[lianxi1biao[[i,1]]])^2,{i,1,10}]修改、补充程序:要说明拟合成效，要紧从形（大多数散点是不是在拟合曲线上或周围）与量（残差是不是小）！计算残差的程序：假设对两个变量的多组记录数据已有程序biao={{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}}而且通过Fit取得线性拟合函数y=ax+b咱们能够先概念函数（程序）f[x_]:=a*x+b再给出计算残差的程序dareta=Sum[(biao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]])^2,{i ,1, n}]程序说明：biao[[i]]是提取表biao的第i行，即{xi,yi}biao[[i ,1]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即xibiao[[i ,2]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即yibiao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]] 即yi-(a*xi+b)实验思路1、先对练习1的十组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；2、对练习1的十组数据中的九组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；3、对练习1的十组数据中的八组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；4、对练习1的十组数据中的七组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效；5、对练习1的十组数据中的六组数据线性拟合，并从形与量看拟合成效。
实验数据处理与拟合技巧
实验数据处理与拟合技巧在科研和实验工作中，数据的处理和拟合是非常重要的环节。
仅靠实验数据本身并不足以揭示事物之间的关系和规律，因此我们需要借助统计学和数学方法对数据进行处理和分析，从而找出其中的规律和趋势。
以下将介绍一些实验数据处理与拟合的技巧。
一、数据预处理数据预处理是指在进行数据拟合前对原始数据进行处理，以减少误差和噪声的影响，使数据更加准确和可靠。
常见的数据预处理方法包括数据平滑、异常值处理和数据缺失处理。
1. 数据平滑数据平滑是指通过去除噪声和异常值，使数据呈现出平滑的趋势。
常用的方法有移动平均、低通滤波和加权平均等。
移动平均是一种简单有效的平滑方法，通过计算一段时间内数据的平均值来消除噪声。
低通滤波则是通过滤波器对数据进行处理，去除高频噪声。
加权平均可以根据数据点的重要性进行加权处理，使得重要数据点对拟合结果的影响更大。
2. 异常值处理异常值是指与其他数据点明显不符的数据，可能是由于测量误差或其他因素引起的。
处理异常值可以有效避免其对数据拟合结果的干扰。
常用的方法有删除、替换和修正。
删除即将异常值从数据集中剔除，但需谨慎，以免丢失有价值的信息。
替换则是用邻近值或统计方法替代异常值，修正则是根据异常值的特点进行修正处理。
3. 数据缺失处理数据缺失是指实验数据中存在一些缺失的数据点，可能是由于设备故障或其他原因导致的。
数据缺失会对数据拟合和分析产生不利影响，因此需要进行处理。
常用的方法有删除、插值和模型估计。
删除是将缺失点从数据集中删除，但同样需要注意避免信息的丢失。
插值是利用数据点的邻近值进行插值计算，填补缺失点。
模型估计则是利用其他变量和模型对缺失数据进行估计，补充缺失值。
二、数据拟合数据拟合是指将实验数据与数学模型进行对比和拟合，以求解模型参数和预测未知数据。
常见的数据拟合方法有线性回归、非线性拟合和最小二乘法。
1. 线性回归线性回归是一种常用的拟合方法，用于分析自变量和因变量之间的线性关系。
计算实验技术数据拟合技巧分享
计算实验技术数据拟合技巧分享在科学研究和工程技术领域中，拟合实验数据是非常常见的一项技术。
通过拟合实验数据，我们可以找到合适的函数模型来描述实验现象，并做出相应的预测和分析。
在本文中，我将分享一些计算实验技术数据拟合的技巧和经验。
首先，拟合实验数据的第一步是选择合适的函数模型。
通常情况下，我们可以根据实验数据的特点和物理规律来选择一个适合的函数模型。
例如，如果实验数据呈现出指数增长或衰减的趋势，我们可以选择指数函数作为拟合模型。
如果实验数据呈现出周期性的变化，我们可以选择三角函数或周期函数作为拟合模型。
除了选择函数模型外，我们还需要确定函数中的参数。
这可以通过使用拟合算法来完成。
常见的拟合算法有最小二乘法、非线性最小二乘法和曲线拟合法等。
在实际拟合过程中，我们需要根据实验数据的特点和要求选择合适的拟合算法。
在选择拟合算法时，我们还需要考虑数据的误差情况。
实验数据通常会受到各种因素的干扰，从而引入误差。
为了准确地拟合实验数据，我们需要将误差考虑在内。
在拟合过程中，我们可以使用加权最小二乘法来处理带有误差的数据。
通过赋予不同数据点不同的权重，我们可以更好地拟合实验数据并降低误差对拟合结果的影响。
除了选择合适的函数模型和拟合算法外，数据预处理也是拟合实验数据的重要环节。
通过数据预处理，我们可以去除实验数据中的噪声和异常值，从而提高拟合结果的准确性。
常用的数据预处理方法包括平滑法、滤波法和去噪法等。
通过对数据进行适当的处理，我们可以消除一些不必要的干扰，使得拟合结果更加可靠。
在进行实验数据拟合时，我们还需要进行结果的评估和验证。
一种常见的评估方法是计算拟合误差。
拟合误差是拟合数据和实验数据之间的差异，通过计算拟合误差，我们可以评估拟合结果的准确性和可信度。
此外，我们还可以使用图形比较、统计检验或交叉验证等方法对拟合结果进行验证。
最后，拟合实验数据的过程也是一个不断优化的过程。
在实际拟合过程中，我们可能会遇到各种问题和挑战。
化学反应中的实验数据拟合方法
化学反应中的实验数据拟合方法在化学研究中，实验数据拟合是十分重要的一个环节。
当我们进行化学反应实验时，要比较实验数据和已知理论值之间的差异，并确定实验结果的准确性和可靠性，这就需要运用实验数据拟合方法。
实验数据拟合方法是利用数学模型，将实验结果与理论结果进行比较、分析和优化，最终得出一组或多组最优数据。
在化学反应研究中，实验数据拟合主要用于确定反应动力学方程和确定反应速率常数等。
那么，如何进行实验数据拟合呢？首先，我们需要了解实验数据的来源和处理方式。
在化学反应实验中，我们需要对实验数据进行稳定性和重复性测试，然后进行数据处理，得到一系列反应物浓度、反应时间、反应速率等数据。
用这些数据，结合化学反应机理和反应定律，在计算机中编写数学模型，并用标准数学方法求解方程组得出参数。
这个过程中，最常用的方法为最小二乘法和非线性最小二乘法。
最小二乘法是求解一组数据中离均差平方和最小的参数，以达到最优化拟合的目的。
在化学反应中，最小二乘法可以用于研究反应物浓度与反应速率之间的关系。
通过对不同反应条件下的实验数据进行拟合，得出反应动力学方程和反应速率常数等。
非线性最小二乘法是在最小二乘法基础上发展起来的一种方法，它可以解决非线性化学反应系统的实验数据拟合问题。
利用该方法，可以解决由于多种化学反应机制交错导致的复杂数学模型和曲线交叉点等问题。
实验数据拟合技术是化学研究中的重要方法之一，它可以为化学反应机理和反应速率常数等提供定量的实验数据支持，进而提高研究的准确性和可靠性。
因此，熟练掌握实验数据拟合方法对于化学领域的专业人员来说，是非常必要的。
总之，在进行化学反应研究时，实验数据拟合是不可或缺的一个步骤。
使用实验数据拟合方法，可以更加准确地得出反应动力学方程和反应速率常数等数据，从而得出更加客观准确的研究结论。
《数据拟合方法》PPT课件
n
n
记 J(a1,a2,am)
2 i
[f(xi)yi]2
i1
i1
nm
[ akrk(xi)yi]2 (2) i1 k1
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
最小二乘法的求解：预备知识
超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1r12a2 r1mamy1 (nm) rn1a1rn2a2rnmamyn
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x)
（1）
其中 a1,a2, …am 为待定系数。
第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
即 Ra=y
其中
r11 r12 r1m
a1
y1
R ,
a
,
y
rn1 rn2 rnm
am
yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
n
如果有向量a使得
(ri1a1ri2a2 rim amyi)2达到最小，
i1
则称a为上述超定方程的最小二乘解。
最小二乘法的求解
所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
(x)
( x ) ...
(x)
0
0
11
n
n
a a a y y ( , ,...,
0
1
m
*
) (
物理实验技术中的数据分析与参数拟合方法
物理实验技术中的数据分析与参数拟合方法引言在物理实验中，数据分析与参数拟合方法是十分重要的技术手段。
通过对实验数据进行适当的处理和分析，可以得到实验结果的更准确、更可靠的信息。
本文将介绍在物理实验中常用的数据分析与参数拟合方法，以及它们的应用。
一、数据处理在进行物理实验时，我们通常会得到大量的原始数据。
这些数据需要经过处理和整理，以便后续的分析和研究。
1.平均值计算一种最简单的数据处理方法是计算平均值。
通过对多次实验结果的测量值求平均，可以减小实验误差对结果的影响。
平均值可以通过简单地将所有数据相加后除以数据个数来计算得到。
2.误差分析在数据处理中，误差分析是非常重要的一环。
误差可以来源于实验仪器的不确定性、环境干扰以及测量者的技术能力等多个方面。
通过对误差的分析，可以评估实验结果的可靠性，并提供指导后续实验方案的依据。
误差分析通常分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于实验条件、仪器等因素引起的，能够被定量估计和纠正；而随机误差则是由于测量仪器的精度限制、环境因素等引起的，无法被完全纠正，只能通过大量实验数据的处理和分析来降低其影响。
二、参数拟合方法在物理实验中，我们经常需要通过实验数据求解物理现象背后的物理模型或理论公式中的参数。
参数拟合方法为我们提供了一种有效的手段。
1.线性拟合线性拟合是最基本也是最常见的拟合方法。
在线性拟合中，我们假设待求解的物理模型或理论公式是线性的。
通过最小二乘法，将实验数据拟合成一条直线，从而得到该线性模型中的参数值。
2.非线性拟合当物理模型或理论公式不满足线性的关系时，我们就需要使用非线性拟合方法。
非线性拟合是一种更复杂的拟合方法，需要使用数值优化算法来求解最优参数。
非线性拟合常常用于描述一些复杂的现象，例如指数衰减、对数增长等。
通过拟合实验数据，我们可以得到物理模型中的参数值，并对现象进行更深入的研究和理解。
3.最大似然法最大似然法是一种统计学中常用的参数估计方法。
数据拟合
%%%%%%%数据拟合根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y =f(x)，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近。
这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。
曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。
本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用MATLAB软件进行曲线拟合。
§5.1 引例拟合问题引例一电阻问题已知热敏电阻电阻值与温度的数据：求温度为63度时的电阻值。
拟合问题引例二给药问题一种新药用于临床之前，必须设计给药方案。
药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。
一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室，室内血药浓度是均匀的。
快速静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降。
当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。
临床上，每种药物有一个最小有效浓度c 1和一个最大有效浓度c 2。
设计给药方案时，要使血药浓度 保持在c 1~c 2之间。
本题设c 1=10，c 2=25(ug/ml).要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。
从实验和理论两方面着手：在实验方面, t=0时对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg 后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得血药浓度c(ug/ml)如下表:1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。
2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。
§5.2 最小二乘法给定平面上的点(x i , y i )，（i = 1,2,…,n ），进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。
第六章系统辨识与参数估计-数据预处理及相容性检验（精品）
1第六章 数据预处理及相容性检验6.1 前言航行器航行试验数据用于参数辨识之前，需要对试验数据进行预处理和数据相容性检验，目的在于尽可能消除含在数据中的各种噪声和系统误差，以提高辨识结果的准确度。
数据预处理包括：数据野值的识别、剔除与补正；数据加密；数据平滑与微分平滑；滤除高频噪声及以传感器位置校正等。
数据相容性检验的主要功能是将数据中的常值误差，特别是零位漂移误差辨识出来并重新建立没有常值误差的试验数据。
本章还以某型航行器的实测数据预处理为例，给出了具有实际应用意义的数据处理技术及结果。
6.2 数据处理的理论基础6.2.1 信号的分类用数学来描述待辨识系统的某一组输入和某一组输出时间函数间的关系是辨识的基础。
在选择信号的描述方法时，必须考虑信号表示的两个方面：①要表现出信号载有信息的属性；②要给出研究过程信息传递特性的方法。
按时间函数的特点来表达信息，可将信号分为连续信号和采样信号。
在许多情况下，信号的记录可以采用这两种信号中的任一种。
两种信号的记录均有各自的特点，但是利用计算机对记录的信号作处理时，往往需要采样信号，即使采用连续信号，也必须对信号作采样处理。
采样运算是线性运算，即当我们用算子ψ(.)表示这一运算时，对一切α和β，信号u(t)和y(t)均有ψαβαψβψ[()()][()][()]u t y t u t y t +=+(6-2-1)按幅度划分，信号可以分为模拟信号、量化信号和二进制信号。
二进制信号是量化信号的极限情况，量化运算是非线性运算。
因此，在处理量化信号时，这种非线性造成许多数学上的困难。
确定性信号与随机信号也是系统建模和参数辨识中常用的信号分析方式。
由于工程的实际环境，对随机信号的讨论更具有实际意义。
6.2.2 随机信号的描述为了讨论问题的方便，在此我们首先介绍随机信号的一些统计性质。
与确定性信号不一样，对随机信号询问其幅度的瞬时值是没有多少意义的，所以最有用的量是那些关于统计性质的量，如谱密度、数学期望值、方差和相关函数等。
2 实验指导书(2010.4)
页眉内容《数学实验》实验指导书龚劬重庆大学数学实验教学示范中心目录预备实验——桥梁分析.............................................................. 错误！未定义书签。
实验1 MATLAB软件入门.......................................................... 错误！未定义书签。
实验2 方程模型及其求解算法............................................... 错误！未定义书签。
实验3 收敛与混沌——迭代................................................... 错误！未定义书签。
实验4 微分方程模型、求解及稳定性分析........................... 错误！未定义书签。
实验5 插值方法....................................................................... 错误！未定义书签。
实验6 数据拟合及参数辨识方法........................................... 错误！未定义书签。
实验7 回归分析模型、求解及检验....................................... 错误！未定义书签。
实验8 连续系统与离散系统的计算机模拟........................... 错误！未定义书签。
实验9 线性规划模型、求解及灵敏度分析........................... 错误！未定义书签。
实验10 非线性规划与多目标规划模型及其求解................. 错误！未定义书签。
实验11 如何表示二元关系—图的模型及矩阵表示............. 错误！未定义书签。
实验6 曲线拟合与数据分析
实验6 曲线拟合与数据分析【实验目的】1.掌握利用Origin进行（非）线性拟合的方法。
2.掌握如何由自定义函数对数据拟合。
3.掌握利用Origin对数据进行插值与外推。
4.掌握如何实现重叠图形的分离。
实验6.1非线性拟合【实验内容】1.利用安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve Fitting\ Polynomial Fit.dat数据文件进行二次多项式拟合，拟合结果如下图。
图6- 1二次多项式拟合结果2.利用安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve Fitting\ Gaussian.dat文件进行非线性拟合，拟合结果如下图图6- 2非线性拟合结果3.分析分析报表，评估上面两题的拟合效果。
【实验步骤】1）多项式拟合1. 导入数据，通过【File 】→【Import 】命令打开安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\CurveFitting\ Polynomial Fit.dat 文件。
2. 选中A 、B 列数据，生成散点图。
3. 通过【Analysis 】→【Fitting 】→【Fit Polynomial 】命令打开Polynomial Fit 对话框。
图6- 3多项式拟合对话框4. 如图6-3示，输入输出数据关系Recalculate 选为Manual ，多项式次数Polynomial Order 设置为2。
单击OK 即可得6-1结果。
2） 非线性拟合1． 导入数据，通过【File 】→【Import 】命令打开安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\CurveFitting\ Gaussian.dat 文件。
2． 选中A 、B 列数据，生成散点图。
3． 通过【Analysis 】→【Fitting 】→【NonLinear Curve Fit 】命令打开NLFit 对话框。
数学实验6(数据拟合)
实验6 数据拟合09304198 杨金飞一、实验目的：1．理解拟合方法的基本原理；2．掌握用MATLAB 进行各种拟合的方法；3．能够利用数据拟合方法解决实际问题。
二、实验内容：1．以下是某市的家庭收入x 与家庭储蓄y 的一组调查数据（单位：千元），试建立x 与y 的线性函数的经验公式。
X 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 3.8 4Y 0.08 0.22 0.31 0.4 0.48 0.56 0.67 0.75 0.8 1.0程序：x=[0.6,1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4,3.8,4]';y=[0.08,0.22,0.31,0.4,0.48,0.56,0.67,0.75,0.8,1.0]';p2 = polyfit(x,y,2)y=poly2str(p2,'x')运行结果：p2 =0.0056 0.2129 -0.0182y =0.0055832 x^2 + 0.21287 x - 0.0182432．某种树的平均高度h 与树的直径d 有如下的实验数据：直径（cm ） 15 20 25 30 35 40 45 50平均高度（m ） 13.5 17.2 19.8 21.9 24.2 25.4 27.1 28.2试建立h 与d 的抛物线型的经验公式，并估计直径分别为32、43、55cm 的数的高度。
程序：d=[15,20,25,30,35,40,45,50]';h=[13.5,17.2,19.8,21.9,24.2,25.4,27.1,28.2]';p2 = polyfit(d,h,2)h=poly2str(p2,'d')v2=polyval(p2,[32,43,55])运行结果：p2 =-0.0071 0.8711 2.3065h =-0.007119 x^2 + 0.87107 x + 2.3065v2 =22.8909 26.5995 28.6804答：直径为32、43、55cm 的数的高度分别为：22.8909、26.5995、28.6804 3在区间[0，8]上满足函数关系ce t at x +=cosM 文件：function f=fit2(a)t=[0,0.7273,1.4545,2.1818,2.9091,3.6364,4.3636,5.0909,5.8182,6.5455,7.2727,8];x=[0.3,0.5301,0.2768,-0.7525,-2.0092,-2.4158,-1.1489,1.6022,4.4668,5.5448,3.5794,-1.0463];f=a(1)*t.^a(2).*cos(t)+a(3)exp(a(4)*t)-x;运行程序：a0=[0.3 0.4 0.5 0.6]a=lsqnonlin ('fit2',a0)4．用Q ，K ，L 分别表示产值、资金和劳动力，在经济学中有一个著名的公式βαL aK Q = （0<α，β<1），式中α，β，a 要由经济统计数据确定。
数值分析实验之拟合
数值分析实验之拟合拟合是数值分析中的重要内容之一，通过对已知数据进行拟合，可以得到未知数据的近似值，从而进行预测和分析。
本次实验的目的是通过拟合方法，对给定的数据集进行曲线拟合，并分析拟合结果的准确性和适用性。
实验步骤：1.数据收集：从已有的数据集中选择一组适当的数据用于拟合实验。
这些数据可能是实验数据、调查数据或者通过其他方法获得的数据。
为了方便分析，我们选择一个二次曲线的数据集作为示例。
2. 选择拟合模型：根据数据的性质和曲线的特点，选择合适的拟合模型。
在本次实验中，我们选择二次曲线模型进行拟合。
该模型可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是待求的参数。
3.参数估计：通过最小二乘法等统计方法，对待求参数进行估计。
最小二乘法是常用的参数估计方法，它通过最小化残差的平方和来确定最佳参数估计值。
在本次实验中，可以利用MATLAB或者其他数值计算软件来实现最小二乘法。
4.拟合结果评估：将估计获得的参数代入拟合模型中，得到拟合曲线，并将其与原始数据进行对比。
在本次实验中，可以通过绘制原始数据和拟合曲线的图像，观察拟合效果的好坏。
5.拟合结果分析：分析拟合结果的准确性和适用性。
可以从图像上观察拟合曲线与原始数据的拟合程度，如果两者重合度较高，则拟合结果较为准确。
此外，还可以比较拟合曲线的误差和残差等指标，来评估拟合结果的质量。
实验结果分析：通过以上步骤，我们得到了二次曲线拟合的结果。
拟合曲线与原始数据的重合度较高，说明拟合效果较好。
此外，通过计算拟合曲线的误差和残差，可以得到更加准确的评估结果。
在本次实验中，我们选择了二次曲线模型进行拟合。
然而，在实际应用中，并不是所有的数据都适合二次曲线模型。
根据实际情况，选择合适的拟合模型非常重要。
如果选择不当，将会导致拟合结果的不准确和误导性。
总结：拟合是数值分析中一项重要的实验内容，通过对已知数据进行拟合，可以获得未知数据的近似值，并进行预测和分析。
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实验6 数据拟合及参数辨识方法
一、实验目的及意义
[1] 了解最小二乘拟合的基本原理和方法；
[2] 掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；
[3] 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。
[4] 了解各种参数辨识的原理和方法；
[5] 通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实
际问题的过程；
通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。
这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容
1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；
2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图；
3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。
三、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；
2．根据各种数值解法步骤编写M文件
3．保存文件并运行；
4．观察运行结果(数值或图形)；
5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）
应用实验
1．旧车价格预测
某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中x i表示轿车的使用年数，y i表示相应的平均价格。
试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价
格大致为多少？
由题意知用matlab编程：
t=1:1:10;
r=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204];
aa=polyfit(t,r,2);
a=aa(1)
b=aa(2)
c=aa(3)
y=polyval(aa,t);
plot(t,r,'k+',t,y,'r')
z=a*4.5*4.5+b*4.5+c
图像如下：
z = 955.7047
从而可知第4.5年的预测结果为956辆
2．机器人识别定形工具柄问题
机器人在不同层次上应用于工业生产、水下探测、核点开发、军事研究等领域和部门。
当一个机器人工作时，经常需要识别那些从外形上看来是圆形或椭圆形的仪器或工具柄等基本设备，以便执行进一步的操作。
通常在所需操纵的工具柄上放置适当数量的传感器，这些传感器不断向四周发射电信号，机器人身上安置有接收电信号的硬件装置，根据这些信号，机器人将估算出各个传感器当时所在的位置，然后，再利用这些数据获得工具柄的位置。
由于硬件设备的限制和测量的随机偏差，所获得的传感器位置数据是有误差的。
因此，为了增强识别的准确性和可靠性，工具柄上放置的传感器应多于确定该定形曲线所需的最少点数。
（能否获得比较准确的工具柄位置，对机器人能否有效抓握、操作该工具柄起着关键的作用。
）
现有一个圆形工具柄，其边缘上放置了6个传感器，一机器人在某一个时刻测得这些传感器的位置坐标为：(1,7),(2,6),(5,8),(7,7),(9,5),(3,7),如何确定该圆形工具柄的圆心坐标和半径。
用matlab编程如下：
xdata=[1,2,5,7,9,3]';
ydata=[9,6,8,7,5,7]';
B=-(xdata.^2+ydata.^2);
A=[xdata,ydata,ones(6,1)];
X=A\B;
a=-1/2*X(1)
b=-1/2*X(2)
r=sqrt(-X(3)+1/4*(X(1)^2+X(2)^2))
alpha=0:pi/20:2*pi;
R=r;
x=a+R*cos(alpha);
y=b+R*sin(alpha);
plot(xdata,ydata,'o',x,y,'r')
axis equal
运行结果：
a =4.8007
b =6.2908
r =3.1901
图像：
3．经济增长模型
增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。
在科学技
术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。
用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q(K,L)。
经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：
Q(K,L) = aKαLβ， 0<α,β<1 （*）
式中α,β，a要由经济统计数据确定。
现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数α,β，a。
提示：由于（*）式对参数α,β，a是非线性的，因此，可以有两种方式进行拟合，一是直接使用MATLAB软件中的曲线或曲面拟合命令。
另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式，使用线性函数拟合。