风险价值度

例 9.1 假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分布均值为 200万美元，标准差为1 000万美元


根据正态分布的性质得出，分布的第一个分位数为2-2.33×10， 即-2 130万美元

对于6个月展望期，在99%臵信度下的VaR为2 130万美元
例 9.2 假定一个1年的项目的最终结果介于5 000万美元损失和5 000 万美元收益之间，5 000万美元损失和5 000万美元收益之间的 任意结果具有均等的可能


在这一累计分布下，对应于99%累计概率的点为400万美元， 因此，对于1年展望期，在99%臵信度下的VaR为400万美元

99.9%的臵信度下的VaR为多少呢？ 99.5%的臵信度下的VaR为多少呢？

例 9.3 和 9.4（续）
VaR与预期亏损 VaR是为了展示损失会糟成什么样 预期亏损给出当市场条件变糟而触发损失时，损失的期望值为 多大（有时被称为条件风险价值度；条件尾部期望；尾部损失）


预期亏损为：0.8×10 + 0.2×1，即820万美元 将两个贷款结合到一起，在2.5%的尾部分布中，有0.04%的概

率损失为2 000万美元，有2.46%的概率损失为1 100万美元

Fra Baidu bibliotek
预期亏损为：0.16×20 + 0.84×11，即1114.4万美元 820 + 820＞1 114.4，因此，预期亏损满足次可加性


另外，预期亏损的准确性很难得到回顾测试（用历史数据来检
验VaR度量可靠性的一种方式）
VaR 和资本金 VaR被监管当局以及金融机构用来确定资本金的持有量 对于市场风险，监管人员所要求的资本金等于在10天展望期的 99% VaR的一定倍数（至少3倍）



对于信用风险和操作风险，《巴塞尔协议Ⅱ》中，监管人员要
风险价值度
VaR的定义 当使用VaR来度量风险时，我们是在陈述以下事实：“我们有 X%的把握，在T时间段，我们的损失不会大于V。”


这里的变量V就是交易组合的VaR VaR是两个变量的函数：事件展望期（T时间段）、臵信度

（X%）

VaR对应于在今后T时间段及在X%把握下，交易损失的最大值
VaR 的优点 仅用一个数字就抓住了风险的要点 容易理解 提出一个简单问题：“最坏情况会是怎样?”
满足一致性条件的风险度量

假定想设计某种风险度量来确定金融机构应持有的资本金数量， VaR是最好的选择吗（在合适的展望期和臵信水平下）？

Artzner etc. (1999)指出，度量应满足一定性态：

单调性：如果在所有的不同情形下，第1个交易组合的回报
均低于另一个交易组合，那么这里的第1个交易组合的风险
例 9.6（续） 首先考虑第一笔贷款，违约可能为1.25%，在违约发生的条件 下，损失均匀介于0到1 000万美元，这意味着有1.25%的概率 损失大于零，有0.625%的概率损失大于500万美元，损失超过 1 000万美元的事件不会发生


损失超过200万美元的概率为1%（损失发生前提下，有80%的 概率损失会超过200万美元，因为损失的概率为1.25%，损失 大于200万美元的无条件概率为80%×1.25%=1%），因此，1

VaR满足前3个条件，但不一定永远满足第4个条件 预期损失满足所有4个条件

例 9.5 假定两个独立贷款项目在1年内均有0.02的概率损失1 000万美元， 同时均有0.98的概率损失100万美元，任意一个单笔贷款在展望 期为1年，97.5%的臵信度下的VaR为100万美元


将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有0.02×0.02=0.000 4 的概率损失2 000万美元，并且有2×0.02×0.98=0.039 2的概率 损失1 100美元，有0.98×0.98=0.960 4的概率损失200万美元
求在资本金计算中采用1年展望期及99.9%的臵信区间
VaR 和资本金（续） 对应于99.9%臵信度和1年展望期，某交易组合的VaR为5 000 万美元，这意味着在极端条件下（理论上讲，每1 000年出现 一次），金融机构在1年时损失会超过5 000万美元


这同时也说明，如果金融机构持有5 000万美元的资本金，我 们会有99.9%的把握，金融机构不会在1年内完全损失自身持 有的资本金


项目的最终结果服从由-5 000万美元到+5 000万美元的均匀分 布，损失大于4 900万美元的可能性为1%

对于1年的展望期，在99%臵信度下的VaR为4 900万美元
例 9.3 和 9.4 假定一个1年的项目有98%的概率收益为200万美元，1.5%的 概率损失为400万美元，0.5%的概率损失为1 000万美元



预期亏损是指在T时间段的损失超出了第X分位数的条件下，损
失的期望值

两个具有同样VaR的投资组合，其预期亏损却可能差距非常大
相同 VaR 不同预期亏损
VaR
VaR
预期亏损

从风险分散的意义上来讲，预期亏损要比VaR有更好的性态 但是，预期亏损的不利之处在于比VaR更为复杂，因此，这一 风险度量比VaR更难以理解
度量一定要比另一个大

平移不变性：如果我们在交易组合中加入K数量的现金，交 易组合所对应的风险度量要减少K数量
满足一致性条件的风险度量（续）

同质性：假定一个交易组合内含资产品种和相对比例不变， 但内含资产的数量增至原数量的λ倍，此时新交易组合的风 险应是原风险的λ倍

次可加性：两个交易组合相加所组成的一个新交易组合的风 险度量小于或等于最初两个交易组合的风险度量的和

例 9.6 考虑两笔期限均为1年的1 000万美元贷款。违约的概率见下表 结果 两笔贷款均不违约 第一笔贷款违约，第二笔贷款不违约 第二笔贷款违约，第一笔贷款不违约 两笔贷款均违约


概率 97.5% 1.25% 1.25% 0.00%
如果贷款违约，回收率介于0～100%的可能性均等。当贷款没 有违约时，贷款盈利均为20万美元

在展望期为1年，97.5%臵信度下，组合的VaR为1100万美元，
单笔贷款所对应VaR的和为200万美元，贷款组合的VaR比贷款
VaR的总和高900美元，这违反了次可加性
例 9.7 考虑例9.5，单笔贷款，在2.5%的尾部分布中，有2%的概率损 失为1 000万美元，有0.5%的概率损失为100万美元