分式运算的几种技巧
2019中考数学分式运算的几点技巧
2019中考数学分式运算的几点技巧
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一. 分段分步法
例1. 计算：
解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算
(答案：)
二. 分裂整数法
例2. 计算：
解：原式
说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
同类方法练习题：有一些。
分式的运算技巧
分式概念形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：（A,B,C为整式，且B、C≠0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
分式方程的运算
分式方程的运算主要包括以下几个步骤：
确定分母：首先需要找到分式方程中的分母，并确保它们在运算过程中不会为零。
约分：如果分子和分母有公因式，可以进行约分，简化方程。
乘法法则：如果需要将分式相乘，需要将分子和分母分别相乘。
除法法则：如果需要将一个分式除以另一个分式，可以将其转化为乘法形式，即除以一个分式等于乘以它的倒数。
加减法则：如果需要将多个分式相加减，首先需要将它们的分母统一，然后进行加减运算。
检验：最后需要检验运算结果是否正确，可以通过将结果代入原方程进行验证。
请注意，在进行分式方程运算时，需要注意运算的顺序和符号，以及确保分母不为零。
同时，也需要注意化简和整理方程的过程，避免出现分数和小数的混淆。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式运算的技巧方法
分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法，主要涉及到分数的加减乘除等运算。
下面给出一些分式运算的技巧方法：一、分式的加减运算：1.确定两个分式的分母是否相同，如果相同，则可以直接将两个分子相加或相减，分母保持不变。
2.如果分母不同，则需要寻找一个公共分母，并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。
最后再将两个分子相加或相减。
二、分式的乘除运算：1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘，并将分母相乘，得到的分子和分母再化简为最简形式。
2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘，再将两个分子相除，两个分母相除，得到的分子和分母再化简为最简形式。
3.对于有多个分式相乘或相除的情况，可以先进行一些分式的合并，再进行乘除运算。
三、分式的化简：1.将分子和分母的最大公因数约分，使得分式变为最简形式。
2.将分子和分母进行因式分解，然后进行约分化简。
3.分式相加或相减时，可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母，再进行化简运算。
四、分式的整理：1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。
2.使用括号来整理分子或分母，减少操作的复杂性和错误的发生。
五、化简复杂分式：1.对于复杂的分式，可以先分解分子和分母，再进行化简运算。
2.对于双重分式（一个分子或分母是另一个分式的情况），可以使用变量来进行整理和化简。
3.对于有多个分式相加或相减的情况，可以先将分式按照一定的规律进行合并，再进行化简运算。
六、变量的运算：1.在分式中使用变量进行运算时，可以运用代数的基本运算规则进行计算。
2.在变量的运算中，可以利用代数的性质进行合并和化简，最后得到一个最简形式。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法1.分数的乘法和除法：分数的乘法：分数的乘法可以直接将分子和分母相乘。
例如，计算2/3*4/5，可以直接计算出8/15分数的除法：分数的除法可以转化为乘法的逆运算。
例如，计算2/3÷4/5，可以将除法转化为乘法，即2/3*5/4=10/12，再进行约分得到5/62.分数的加法和减法：分数的加法：对于相同分母的分数，直接将分子相加即可；对于不同分母的分数，需要先进行通分，然后再进行相加。
例如，计算2/3+4/5，需要先找到两个分数的最小公倍数（如15），然后进行通分，计算得到10/15+12/15=22/15分数的减法：分数的减法可以转化为加法的逆运算。
例如，计算2/3-4/5，可以将减法转化为加法，即2/3+(-4/5)=10/15+(-12/15)=-2/153.分数的化简：分数的化简即将分数表示成最简形式。
最简形式的分数是指分子和分母没有公共因子，即它们的最大公约数为1、例如，将4/6化简成最简形式，找到最大公约数（如2），然后将分子和分母同时除以最大公约数，得到2/3化简还可以使用质因数分解的方法，将分子和分母分别进行质因数分解，然后约去公共的质因数。
例如，将20/30化简成最简形式，将分子和分母分别进行质因数分解（20=2*2*5，30=2*3*5），然后约去公共的质因数2和5，得到2/34.分数的比较：分数的比较可以通过交叉相乘的方法。
对于两个分数a/b和c/d，可以将它们转换为分数的乘法形式，即a/b和c/d可以写成a*d和b*c。
然后，将乘积进行比较，即比较a*d和b*c的大小。
例如，比较2/3和3/5的大小，可以计算2*5和3*3的大小，得到10和9，所以2/3大于3/55.分数的倒数和相反数：分数的倒数是指分子和分母互换位置，例如，分数3/4的倒数即为4/3、分数的相反数是指分子加上负号，例如，分数3/4的相反数即为-3/46.分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、化简、消去分母等方法进行求解。
分式运算的常见应用技巧
∴不等式组的解集为－1<x<1，即整数x＝0，
则A＝－
1. 3
技巧10 整体法求值 12．【中考·齐齐哈尔】先化简，再求值：
1－ 2 x
x2－4 x＋4 － x＋4 ，
x 2－4
x＋2
其中x2＋2x－15＝0.
解：原式＝ x－2 x
( x－2)2 － x＋4 ( x＋2)( x－2) x＋2
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从 左向右上升，y随着x的增大而增大；
当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从 左向右下降，y随着x的增大而减小．
＝
x－x 2·xx＋ －22
－
x＋4 x＋2
＝
x＋2－ x＋4 x x＋2
∵x2＋2x－15＝0，
( x＋2)2－x( x＋4)
＝
x( x＋2)
＝
4 x2＋2x ,
∴x2＋2x＝15. ∴原式＝ 4 .
15
点拨： 本题考查了分式的化简求值，解题关键是掌
握分式的基本运算．先按照分式计算的顺序(先算 乘除，再算加减)化简分式．再根据题目的需要， 灵活运用条件x2＋2x－15＝0转化整体代入求值．
图). 它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线.
感悟新知
知识点 1 正比例函数的图象
知1－讲
分式技巧
一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分 例1 计算2312+++x x x +4222--x xx2、分离整数 例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x3、裂项相消 例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x4、分组通分 例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a二、分式方程的特殊解法1、交叉相乘法 例1．解方程：231+=x x2、化归法 例2．解方程：012112=---x x3、左边通分法 例3：解方程：87178=----x x x4、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+5、观察比较法 例5．解方程：417425254=-+-x x x x6、分离常数法 例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x7、分组通分法 例7．解方程：41315121+++=+++x x x x三、条件分式求值的常用技巧1、整体代入法例1. 若分式73222++y y 的值为41，则21461y y +-的值为 . 例2. 已知a 1+b 1=4，则bab a b ab a 323434-+-++= 。
例3. 已知a 2-3a+1=0，求142+a a 的值。
2、参数法例4. 已知c z b y a x ==，求证：22ax ca bc ab zx yz xy =++++例5.已知532-==z y x ，求xz y x 232++的值．三、倒数法例6.已知a 1+b 1=61，b 1+c 1=91，a 1+c 1=151，求bc ac ab abc ++的值。
例7.已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z===≠+++且求证ab ac bc abc x -+=2四、主元法例8.已知：2a-3b+c=0,3a-2b-6c=0,且abc ≠0,求2223333242ac c b b a c b a +-+-的值．例9.已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b++的值.五、变形代入法 例10.（非负变形）. 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值.例11.（归类变形）. 已知a c c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a。
分式加减法运算法则
分式加减法运算法则分式加减法运算法则：1. 分式加法：分式加法是把分子相加或者相减，而分母保持不变，用一个新分式来表示和或差。
一般格式是：（分子1/分母）➕（分子2/分母）=（分子1+分子2/分母）。
2. 分式减法：分式减法也是把分子相减或者相加，而分母保持不变，用一个新分式来表示差。
一般格式是：（分子1/分母）➖（分子2/分母）=（分子1-分子2/分母）。
3. 分式整体乘法：分式整体乘法是将两个分式的分子相乘，而分母相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）×（分子2/分母2）=（分子1×分子2/分母1×分母2）。
4. 分式整体除法：分式整体除法是将分式的分母相乘，而分子相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）÷（分子2/分母2）=（分子1×分母2/分母1×分子2）。
5. 一般的分式的运算：在分式加减法和分式乘除法之后，还可以进行一般的计算，比如：（分子/分母）+（x/分母）+3=（分子+x+3×分母/分母）。
其中的 +x 和+3 就是一般的计算。
因此，在做分式加减法和乘除法的时候，我们首先要确定每个分式中分子和分母，然后根据其法则做整体或一般计算，得出正确结果。
此外，分母一般不能为0，否则会出现无穷大或者不可定义解答；分子和分母要使用相同的符号，否则会导致结果的正负不正确；如果分子和分母出现了负数，要根据实际情况将负号带到分子或者分母，以便能够得到正确的答案。
此外，分式的运算还有一个重要的技巧，即分数化简，就是用数学技巧找出分数的最简形式。
常用的分数化简诀窍就是先分子分母分别除以最大公约数，然后将分子和分母比较，可以将分母统一为最小值，再算出最终结果。
例如，有分式等式：（4/8）=（2/4），明显可以看出它们的最简形式应该为：（1/2）=（1/2），所以，我们只要在做分数运算的时候注意分数化简，就可以得出正确的答案。
总之，分式加减法和乘除法运算都要掌握其基本原理和规律，熟悉一般计算技巧，注意分数化简，以及分母不能为0，就可以得出正确的结果了。
分式求值的常用技巧
分式求值的常用技巧分式是一种特殊类型的数学表达式，它包含有一个或多个数（称为分子）除以另一个数（称为分母）。
分式可以代表有理数和算术运算，例如加法、减法、乘法和除法。
在解决分式求值问题时，有一些常用的技巧可以帮助我们简化计算和得出结果。
1.化简分式首先，我们可以通过化简分式来简化计算过程。
化简分式的目的是找到分子和分母的最大公约数，并将分子和分母都除以它，使分式更简单。
例如，考虑分式12/24，我们可以找到最大公约数为12，并将分子和分母都除以12，得到1/2、这样，原分式就被化简为最简分式。
2.找到分子和分母的公因式在一些分式中，分子和分母可能有一个或多个公因式。
我们可以通过找到它们来简化计算。
例如，考虑分式16/24，我们可以发现分子和分母都可以被2整除。
我们可以将16除以2得到8，24除以2得到12，从而得到化简后的分式8/12、然后，我们可以继续找到8和12的最大公约数，并将它们化简为最简分式。
3.交换分子和分母的位置有时候，分式的分子和分母的位置可以互换。
我们可以利用这个性质来简化计算。
例如，考虑分式1/4，我们可以将分子和分母互换，得到4/1、然后，我们可以将4除以1得到4，从而得到最简分式44.将分式转化为小数形式有时候，将分式转化为小数形式可以更便于计算。
我们可以通过将分子除以分母来得到分数的小数形式。
例如，考虑分式3/5，我们可以将3除以5得到0.6、这样，我们就得到了分式的小数形式。
5.使用乘法和除法的性质在进行分式求值时，我们可以利用乘法和除法的性质来简化计算。
例如，考虑分式(2/3)*(4/5)，我们可以将分子和分母相乘得到8/15、同样的，如果我们考虑分式(2/3)/(4/5)，我们可以将分子乘以分母的倒数得到(2/3)*(5/4)，然后进行乘法操作得到10/12，最后化简为5/66.使用加法和减法的性质在进行分式求值时，我们还可以利用加法和减法的性质来简化计算。
例如，考虑分式(2/3)+(4/5)，我们可以找到两个分数的公共分母，然后将分子相加得到一个新的分数作为结果。
分式运算的若干技巧
分式运算的若干技巧
在数学中，分式的运算经常被用来解决一些复杂的方程，这使得计算机科学、物理学及工程学方面的研究都变得更加得心应手。
尽管分式运算看起来有点复杂，但是通过一些有效的技巧，可以让分式运算变得简单易行。
以下是一些有效的分式运算技巧：
1、约分：约分是分式运算中最基本也是最常用的技巧，约分的目的是将分子和分母同时约简，在计算机科学上分式约分可以减少计算量，同时也有助于保持正确的结果。
2、简单运算：有时候分式运算中也可以使用简单运算，比如加减乘除等操作，比如：2/3 + 3/4 = 10/12。
3、使用分母的公约数：如果要将两个或多个分式相加减，那么，可以先将分母转化为同一个公约数，然后在进行加减操作，比如：2/3 + 3/4 = 8/12。
4、共轭分式：共轭分式是一种特殊的分式，其分子和分母的和等于1。
这种可以使用在分式的乘法、除法中，比如：3/5 * 5/3 = 3/5 * 3/5 = 1/1。
5、指数运算：指数不仅可以用来记录分式，也可以用来解决分式运算中的问题，比如：(2/3)^2 = 4/9。
6、求分式的逆数：对于一般的分式，求其逆数的步骤是：将分子和分母互换，然后用分子的取反数再除以分母，比如：2/3的逆数为：-2/3。
7、分式的混合运算：有时候也可以在分式运算中结合上述种运
算来完成混合运算，比如：(2/3 + 3/4) * 5/6 = 20/36。
以上就是一些常见的分式运算技巧，其实还有更多复杂的技巧，这里只是简单介绍了一些最基本的运算技巧。
当然，想要掌握这些技巧，不光是要理论知识，更重要的是要多加练习，不断的练习才能掌握这些技巧，实现分式运算中的高效率。
分式运算的八种技巧
技巧1、直接约分法:
通过公式提公因式，直接约分即可！技巧2、整体通分法:
技巧3:顺次相加法:
先计算前两项，通分化简的结果再和第三项结合计算！技巧4:通分换元法
每个多项式有相同项的时候，可以考虑换技巧5:裂项相消法:
通过把每一项变形，达到与其它项相抵消技巧6:整体带入法
每一项通分整理后，把相同的项整体带入
技巧7:倒数求值法
直接求不方便，可先求其倒数
技巧8:消元法
多个参数计算，可用一个参数表示出其它
分式的基本性质，以及通分、约分都是分式运算的基础！。
分式的加减运算知识点总结
分式的加减运算知识点总结分式是数学中常见的一种数学表达形式，它涉及到分数的加减运算。
在学习分式的加减运算过程中，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对分式的加减运算进行总结，并提供一些解题技巧和注意事项。
一、分式的加法分式的加法是指两个分式相加的运算，其运算规则如下：1. 如果两个分式的分母相同，那么它们的分子相加即可，分母保持不变。
例如：a/b + c/b = (a + c)/b2. 如果两个分式的分母不同，我们需要先找到一个公共分母，然后将分子按照公共分母进行等比扩展，再相加。
具体步骤如下： a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)二、分式的减法分式的减法是指两个分式相减的运算，其运算规则如下：1. 如果两个分式的分母相同，那么它们的分子相减即可，分母保持不变。
例如：a/b - c/b = (a - c)/b2. 如果两个分式的分母不同，我们需要按照分式的加法规则，将减数取负号，再进行分式的加法运算。
具体步骤如下：a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)三、分式的整数与分式的加减在分式的加减运算中，常常需要与整数进行运算。
我们可以将整数转化为分母为1的分式，然后按照分式的加减运算规则进行计算。
具体步骤如下：a + b/c = a/1 + b/c = (ac + b)/ca - b/c = a/1 - b/c = (ac - b)/c四、分式的加减运算示例为了更好地理解分式的加减运算，下面给出一些示例：例1：计算 2/3 + 5/6解：首先找到两个分式的最小公倍数，最小公倍数为6。
将分子按照公共分母扩展，得到：2/3 + 5/6 = 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2例2：计算 3/4 - 1/2解：两个分式的分母相同，直接将分子相减，得到：3/4 - 1/2 = 2/4 = 1/2例3：计算 1/2 + 3解：将整数转化为分子为1的分式，得到：1/2 + 3/1 = 1/2 + 6/2 = 7/2例4：计算 3 - 2/5解：将减数取负号，转化为加法运算，得到：3 - 2/5 = 3 + (-2/5) = 15/5 - 2/5 = 13/5在进行分式的加减运算时，还需要注意一些细节问题：1. 约分：在进行加减运算前，通常需要对分式进行约分，以简化计算过程。
分式运算的几种技巧
分式运算的几种技巧分式运算是数学中常见的一种运算形式，也是解决实际问题中经常使用的一种方法。
在进行分式运算时，我们可以运用一些技巧来简化运算，提高计算效率。
下面将介绍几种常用的分式运算技巧。
1.化简分式化简分式是指将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去分子和分母中的公因式。
这样可以使分式的形式变得更简单，计算也更方便。
例如，对于分式$\dfrac{4x^2}{8x^3}$，我们可以将分子和分母都除以$4x^2$，得到$\dfrac{1}{2x}$。
2.扩展分式扩展分式是指将分数表达式进行相乘或相除，以得到更大的分子或分母。
这种方法在化简有理函数、做分式方程的分母有理化等问题中经常使用。
例如，对于分数$\dfrac{1}{2}$，如果要得到一个分子为3的分式，我们可以将$\dfrac{1}{2}$扩展为$\dfrac{3}{6}$。
3.分解分式分解分式是指将分式分解为其它分式的和或差。
这种方法在化简复杂的分式、分数的加减运算等问题中非常有用。
例如，对于分式$\dfrac{3x+6}{2x+4}$，我们可以将其分解为$\dfrac{3(x+2)}{2(x+2)}$，然后约去分子和分母中的公因式，得到$\dfrac{3}{2}$。
4.分数的合并与拆分分数的合并与拆分是指将多个分数合并成一个分数，或者将一个分数拆分成多个分数。
这种方法在分数的加减运算中经常使用。
例如，对于两个分数$\dfrac{2}{3}$和$\dfrac{5}{6}$，如果要将它们合并成一个分数，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后将分子相加得到$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}$。
如果要将一个分数拆分成多个分数，我们可以找到它们的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
5.分式的通分通分是指将两个或多个分母不同的分式的分母进行相乘，使它们的分母相同。
五年级数学技巧如何解决分式运算问题
五年级数学技巧如何解决分式运算问题分式是数学中非常常见的运算形式，而在五年级的数学学习中，分式的运算是一个相对难度较高的内容。
因此，如何采用适当的数学技巧解决分式运算问题，成为了五年级学生需要掌握的重要技能之一。
本文将介绍几种常用的数学技巧，帮助五年级学生解决分式运算问题。
一、化简分式化简分式是解决分式运算问题的第一步，也是基础中的基础。
对于一个分式，如果分子和分母有相同的公因数，就可以进行化简。
例如，对于分式3/6，可以通过将分子和分母同时除以3，得到化简后的分式1/2。
这样一来，分式的计算就变得更加简单明了。
二、分式的相加与相减在解决分式的相加与相减问题时，我们需要先找到分式间的公共分母。
例如，对于分式1/3和1/4的相加，我们可以找到它们的最小公倍数12，然后将分子按照公共分母进行加减，即可得到1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12。
同理，对于分式的相减也可以采用相同的方法。
三、分式的乘法与除法分式的乘法与除法相对于相加与相减来说，稍微有些复杂。
在进行分式的乘法时，我们可以直接将分子和分母相乘，例如，1/2 × 2/3 =2/6 = 1/3。
而在进行分式的除法时，我们需要将除号变为乘号，并且将除数倒置，然后进行分式的乘法，例如，1/2 ÷ 2/3 = 1/2 × 3/2 = 3/4。
四、分式的化简与换算当我们进行分式运算时，有时候会遇到需要换算的情况，例如将混合数转化为带分数的形式，或者将带分数转化为假分数的形式。
这时，我们只需要运用一些简单的数学技巧即可完成换算。
例如，将混合数3 1/2转化为带分数的形式，我们可以将整数部分与分数部分的和除以分母，即3 1/2 = (3 × 2 + 1)/2 = 7/2。
类似地，我们也可以将带分数转化为假分数的形式，例如7/2 = 3 1/2。
五、解决实际问题在数学学习中，我们学习的知识最终都要应用到实际问题中。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
分式的运算技巧
分式概念形如〔A、B是整式，B中含有字母〕的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。
注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。
无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
方法：数看结果，式看形。
分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
代数式分类整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无理式和有理式统称代数式。
分式的根本性质分式的分子和分母同时乘以〔或除以〕同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：〔A,B,C为整式，且B、C≠0〕运算法那么约分根据分式根本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
约分步骤：单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
分式的乘法法那么：〔1〕两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用字母表示为：分式的加减法法那么：同分母分式的加减法法那么:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
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分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一、 整体通分法例1 计算：211---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111+--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法例2 计算22212324+-++-+x x x x x x分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。
解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x三、 分组加减法例3计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ） =442-a +142--a =)1)(4(1222--a a四、 分离整数法例4 计算3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)11243++++-----+-++--x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243+-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x =。
五、 逐项通分法例5 计算：44322x a x 4x a x 2x a 1x a 1--+-+-- 分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算1x 21x 11x 12+-+--1x 81x 484+-+-六、 裂项相消法例6 计算：1111...(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)a a a a a a a a +++++++++++. 分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111(1)1=-++a a a a ，这样可抵消一些项. 解：原式=11111111()()()...()11223910a a a a a a a a -+-+-++-+++++++ =111010(10)-=++a a a a 七、 整体代入法例7．已知1x +1y=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵1x +1y =5∴xy ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 练习：若11x y -=5，求3533x xy y x xy y+---的值．八、 公式变形法例8．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a =5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a)2-2]2-2=(52-2)2-2=527练习：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值． 九、 设中间参数法例9．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c+=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-y x y x 3__________。
（2）已知6z 5y 4x ==，则z 3z 4y 3x 2+-=_____________。
十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）例10．已知21a a a -+=7，求2421a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a)2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915练习：已知a+1a=5．则2421a a a ++=__________. 十一、 特殊值法(选填题)例11. 已知abc=1,则1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ca c ++=_________. 分析：由已知条件无法求出a 、b 、c 的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值． 解：令a=1，b=1，c=1，则原式=11111⨯+++11111⨯+++11111⨯++=13+13+13=1. 说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果． 练习：（1）已知：xyz ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z + （2）已知6z 5y 4x ==，则z 3z 4y 3x 2+-=________ 十二、 主元法例12. 已知xyz ≠0,且3x －4y －z=0,2x ＋y －8z=0,求2222x y z xy yz zx ++++的值. 解：将z 看作已知数，把3x －4y －z=0与2x ＋y －8z=0联立， 得 3x －4y －z=0,2x ＋y －8z=0.解得 x=3z,y=2z.所以，原式=222(3)(2)(3)(2)(2)2(3)z z z z z z z z z ++⋅+⋅+⋅=2214 1.14z z = 练习：已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算: 222a b c ab bc ac ++++混合运算练习题（1）2222223223xy y x y x y x y x y x ----+--+ （2）1111322+-+--+a a a a . (3) 21x x -－x －1(4)3a a --263a a a +-+3a (5)x y y y x x y x xy --++-222 (6)293261623xx x -+--+ (7)xy y x y x y x 2211-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- (8)a a a a a a 4)22(2-⋅+-- (9)232224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭(10))1x 3x 1(1x 1x 2x 22+-+÷-+- (11) )252(23--+÷--x x x x (12) (ab b a 22++2)÷b a b a --22(13)22321113x x x x x x x +++-⨯--+ (14)xx x x x x x x x 416)44122(2222+-÷+----+(15)计算：x x x x x x x x -÷+----+4)44122(22，并求当3-=x 时原式的值．【错题警示】一、 错用分式的基本性质例1 化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、错在颠倒运算顺序例2计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义？[错解]原式.由得.∴时，分式有意义.[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.[正解]由得且.∴当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义？[错解]当，得.∴当，原分式有意义.[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.[正解] ，得，由，得.∴当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.[错解]原式=.[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.[正解]原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时，分式的值为零.[错解]由，得.∴当或时，原分式的值为零.[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.[正解]由，得.由，得且.∴当时，原分式的值为零.七、错在“且”与“或”的用法例7 为何值时，分式有意义错解：要使分式有意义，须满足，即.由得，或由得.当或时原分式有意义.分析：上述解法由得或是错误的.因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与同时成立，才能保证一定成立.故本题的正确答案是且.八、错在忽视特殊情况例8解关于的方程.错解：方程两边同时乘以，得，即.当时，，当时，原方程无解.分析：当时，原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论，而忽视了的特殊情况的讨论.正解：方程两边同时乘以，得，即当且时，，当或时，原方程无解.。