数的整除性
小学数学知识归纳数的整除性质
小学数学知识归纳数的整除性质整除是数学上一个重要的概念，它在小学数学的学习中起着至关重要的作用。
本文将归纳整除的性质，并探讨它们在解决数学问题中的应用。
一、整除的定义在数学中，如果一个整数a除以另一个整数b，余数为0，则称a能够被b整除，记作b|a。
其中，a称为被除数，b称为除数，0称为余数。
二、整除性质的归纳总结1. 任何整数a都能被1整除：1|a。
2. 任何整数a都能被自身整除：a|a。
3. 0是唯一一个既能被任何一个整数整除，又能整除任何一个整数的整数。
4. 如果a能被b整除，而b又能被c整除，那么a也能被c整除：如果b|a且c|b，则c|a。
5. 如果a能被b整除，而b不等于0，那么a也能被b的倍数整除：如果b|a，则kb|a，其中k为任意整数。
6. 如果a能被b整除，而b不等于0，那么a也能被b的因数整除：如果b|a且c|b，则c|a。
三、整除性质的应用举例1. 判断数字的整除性：根据整除性质，可以快速判断一个数字是否能够整除另一个数字。
例如，如果一个数字能被2和3同时整除，那么它一定能被6整除。
2. 约数和因数的关系：根据整除性质，可以推导出约数和因数之间的关系。
例如，如果a能被b整除，那么b一定是a的约数，同时a一定是b的倍数。
3. 整除关系的推理：通过整除性质，我们可以在解决数学问题时进行推理和判断。
例如，如果a能被b整除，并且b能被c整除，那么我们可以得出结论：a一定能被c整除。
4. 整除性质在分数操作中的应用：在分数运算中，整除性质被广泛应用。
例如，当我们要进行两个分数的相加、相减、相乘、相除时，可以利用整除性质对分数进行化简和约分。
四、总结整除是小学数学中的重要概念，它帮助我们理解了数字之间的整除关系，并且在解决数学问题时起到了重要的作用。
通过对整除性质的归纳总结和应用举例，我们可以更好地理解和运用整除性质，提高数学解题的能力。
以此为基础，我们可以进一步学习更多关于整除的内容，如最大公约数和最小公倍数等，从而拓宽自己的数学知识面，为未来的学习打下坚实的基础。
1.数的整除性
数的整除性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。
例2从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
例3六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？例4要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？1、能被3整除的最小三位数是（），能被5整除的最大三位数是（）2，又能被3整除，而且还是5的倍数的最小三位数是（）3、在自然数中，（）既不是质也不是合。
既是奇数又是质数的最小的数是（），（）既是质数又是合数。
4、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，最大的是（），最小的数是（）。
4、自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公约数是（）。
5、三个质数的最小公倍数是42，这三个质数是（）。
6、100以内同时能被3和7整除的最大奇数是（），最大偶数是（）。
1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。
五年级奥数竞赛之数的整除性
五年级奥数竞赛之数的整除性数的整除性整除的基本性质:性质1 如果a、b都能被m整除，那么它们的和a，b与差a,b都能被m整除。
它可记为:若m/a，m/b，则m/(a?b)。
m能同时整除a、b，即m既是a的约数，又是b的约数，则称m是a、b的公约数。
如果两个数只有唯一的公约数1，则称这两个数互质。
例如1与12，4与5，5与9，3与25等。
性质2 如果a/m，b/m，且a和b互质，那么a和b的乘积也能整除m，即(a×b)/m。
例如:3/72，4/72，且3和4互质，那么3与4的乘积12/72。
性质2中，“两数互质”这一条件是必不可少的。
6/72，8/72，但6与8的乘积48不能整除72，这就是因为6与8不互质。
根据性质2，我们常常可有如下解题思路:要使m被a×b整除，而a与b互质，就可以分别考虑m被a整除与m被b整除。
性质3 (传递性)如果c/b，且b/a，那么c/a。
特别是若b/a，m为整数，则有b/(a×m)。
1、形如1993 1993…1993 520，且能被11整除的最小数是。
n个19932、所有数字都是2且能被66…6整除的最小自然数是多少,3、500名士兵排成一列横队，第一次从左到右1，2，3，4，5(1至5)名报数;第二次反过来从右到左1，2，3，4，5，6(1至6)报数，既报1又报6的士兵有多少名,4、一个六位数的各位数字都不相同。
最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除。
这样的六位数中的最小的数是。
5、已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的六倍，求这个两位数是 ,6、已知a、b、c、d是各不相同的数字，a，b，c,18，b，c，d,23，四位数badc被5除余3，求四位数abcd是。
7、用1,6六个数字组成一个六位数abcdef其中不同字母代表1,6中的数字，要求ab是2的倍数，abc是3的倍数，abcd能被5整除，zbcdef是6的倍数，求这样的六位数有个，各是。
数的整除性质
数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。
整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。
在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。
一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。
这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。
例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。
2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。
例如，5能够整除5。
3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。
例如，1能够整除8。
4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。
例如，任何数都能够整除0。
5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。
例如，任何数都能够被1整除。
6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。
例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。
7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。
例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。
三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。
最大公因数可以通过求解数的因数来得到。
例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。
最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。
2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。
3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。
四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。
质数和整除有着密切的关系。
1. 质数只能被1和自身整除。
2. 任何一个数都可以被质数整除。
数的整除性与最大公约数知识点总结
数的整除性与最大公约数知识点总结在数学中，数的整除性与最大公约数是一个重要的概念。
了解和掌握这些知识点对于学习和解决数学问题至关重要。
本文将对数的整除性和最大公约数进行总结和讲解。
一、数的整除性数的整除性是指一个数能够被另一个数整除。
在数学中，我们常用符号“|”来表示整除。
例如，如果一个整数 a 能够被一个整数 b 整除，我们可以写作 a | b。
下面是数的整除性的一些基本性质：1. 如果 a | b 且 b | c，则 a | c。
这意味着如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的和、差、积和商。
2. 如果 a | b 且 a | c，则 a | (xb + yc)。
这意味着如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的任意整数线性组合。
3. 如果 a | b，则 -a | b。
这意味着如果一个数能整除另一个数，那么它的负数也能整除同样的数。
4. 0 | a，其中 a 是任意整数。
这意味着 0 能整除任意整数。
但要注意，0 不能被任何数整除，因为除以 0 是没有意义的。
二、最大公约数最大公约数，简称为最大公因数，是指两个或者多个数中最大的能够同时整除这些数的正整数。
最大公约数有多种求解方法，下面简单介绍两种常用的方法：1. 穷举法：列举出两个数的所有因数，然后找出它们的公共因数中的最大值。
这种方法适用于较小的数。
例如，求解 24 和 36 的最大公约数，列举它们的因数如下：24 的因数为 1、2、3、4、6、8、12、24；36 的因数为 1、2、3、4、6、9、12、18、36。
我们发现它们的公共因数有 1、2、3、4、6 和 12，其中最大的是12，因此最大公约数是 12。
2. 辗转相除法：辗转相除法是一种快速求解最大公约数的方法。
它的基本思想是利用两个数的除法运算，将较大数除以较小数，然后再将余数除以除数，一直重复这个过程，直到余数为 0。
最后一个非零余数即为最大公约数。
数字的整除性
数字的整除性数字的整除性是数学中一个非常基础而重要的概念。
整除性是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
在这篇文章中，我们将探讨数字的整除性及其相关性质。
了解整除性的概念和性质对于数学学习和解决实际问题都具有重要意义。
1. 整除性的定义整除性是数学中的基本概念之一。
对于两个整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就称a能够被b整除，也可以表达为b是a的因数，而a是b的倍数。
例如，4能够被2整除，因为4 = 2 * 2。
2. 整除性的性质整除性具有一些重要的性质，这些性质为我们解决实际问题提供了方便。
2.1 传递性：如果a能够被b整除，而b能够被c整除，则a能够被c整除。
例如，如果4能够被2整除，2能够被1整除，那么4也能够被1整除。
2.2 唯一性：如果a能够被b整除，而a也能够被c整除，且b和c互质（最大公约数为1），则b能够被c整除。
例如，如果4能够被2整除，4也能够被3整除，而2和3互质，那么2能够被3整除。
2.3 整除与因数的关系：如果a能够被b整除，则b一定是a的因数。
例如，如果6能够被2整除，那么2是6的因数。
3. 整除的运用整除性在数学中广泛运用，并可以帮助我们解决实际问题。
3.1 判断整除性：通过判断一个数是否能够被另一个数整除，我们可以得出一些结论。
例如，如果一个数字的个位数为0、2、4、6、8中的任意一个，那么这个数一定能够被2整除。
3.2 最大公约数：整除性可以用来求解两个或多个数的最大公约数。
最大公约数是指两个或多个数中同时整除这些数的最大正整数。
例如，求解12和18的最大公约数，可以通过12能够被6整除，18能够被6整除，所以6是它们的最大公约数。
3.3 最小公倍数：整除性也可以用来求解两个或多个数的最小公倍数。
最小公倍数是指能够同时整除这些数的最小正整数。
例如，求解4和6的最小公倍数，可以通过4能够被2整除，6能够被2整除，所以2是它们的最小公倍数。
小学数学点知识归纳数的整除性质与判断方法
小学数学点知识归纳数的整除性质与判断方法数的整除是数学中的一个重要概念，它是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数称为因数，而被整除的数称为倍数。
在小学数学中，学生需要掌握数的整除性质与判断方法，以便能够正确地解决与整除相关的问题。
本文将对小学数学中数的整除性质与判断方法进行归纳，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、整除性质1. 整除定义：如果一个数a能被另一个数b整除，即a÷b的结果是一个整数，那么我们说a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
2. 整除传递性：如果a能被b整除，并且b能被c整除，那么a能被c整除。
例如，如果2能够整除6，6能够整除12，那么2也能够整除12。
3. 整除对称性：如果a能被b整除，那么b也能被a整除。
例如，如果4能够整除8，那么8也能够整除4。
4. 0的整除性：任何一个非零数与0做除法时都不能整除0，但0除以任何一个非零数都等于0。
5. 1的整除性：任何一个整数都能被1整除。
二、判断整除的方法1. 除法法：判断整数a能否整除整数b，可以直接进行除法运算，即计算a÷b的结果。
如果结果是一个整数，那么a能被b整除；反之，如果结果不是整数，则a不能被b整除。
2. 因数法：如果一个数是另一个数的因数，那么它能整除这个数。
可以通过列举出一个数的所有因数，然后判断这些因数是否能整除给定的数。
3. 整除性质法：利用数的整除性质来判断整除关系。
例如，能被2整除的数必定是偶数，能被3整除的数的各位数字之和能被3整除，能被5整除的数的个位数字只能是0或5等。
三、应用示例下面通过一些具体的示例来说明数的整除性质与判断方法的应用。
1. 判断一个数是否能被2整除：如果一个数的个位数字是0、2、4、6或8，则它能被2整除；反之，如果个位数字是1、3、5、7或9，则不能被2整除。
2. 判断一个数是否能被3整除：将这个数的各位数字相加，如果所得和能被3整除，则这个数也能被3整除；反之，如果所得和不能被3整除，则这个数不能被3整除。
关于数的整除性的几个定理及其应用
关于数的整除性的几个定理及其应用
在数学中，整除性是一个重要而又普遍的主题，被应用于各种数学领域当中。
自古以来，学者们提出了许多有关整除性的定理，并将其大量应用于日常生活中。
其中，关于整除性的几个定理及其应用值得探讨。
首先，费马小定理是关于整除性的重要定理，即“如果p是一个本原数且a与p模p无关，则a的p次方模p等于a”。
该定理可以被广泛应用于数论中的各种问题，例如估计素数、求解模方程和求解离散对数等等。
此外，古典定理也是关于整除性的一个重要定理，即“有理数的平方根只能是有理数或无理数”。
该定理推广了毕达哥拉斯定理，也印证了早在古罗马时代就有的“完全平方定理”。
古典定理使得我们能够判断某个数的平方根是有理数还是无理数，这在求解多元一次方程时有重要的意义。
紧接着，对于把a/b表示为有理数的过程来说，可以使用唯一分数分解定理，该定理规定“a/b可以唯一地分解为单个整数的乘积，也就是a/b等于相邻两个整数的积又称为唯一分数定理”。
因此，唯一分数定理有助于我们理解分数的特征，也简化了我们求解有理数的过程。
最后，另一个关于整除性的定理是有理数的乘法模定理，明确规定“如果有理数a/b可以向m/n的模m的形式化简，则有理数ka/kb可以向km/kn的模km的形式化简”。
这一定理不仅可以用于简化求解有理数的过程，也可以用于建立有理数的多元分析方法。
总之，费马小定理、古典定理、唯一分数定理和乘法模定理都是关于整除性的重要定理，并应用于广泛的数学领域中。
他们使得求解一些数学问题变得更加有效率和实用，并使得我们能够从数学视角深入思考一些基本的数学问题。
初等数论：数的整除性
此时 2b-1=
k
0，3 ，或
2
3k
，这都是不可能的，
所以
k
3
|
2b
1。
17
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 6. 写出不超过 100 的所有的素数。 解： 将不超过 100 的正整数排列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
若 n 2s，由上式知 n 22， 因为 n 2 > 2，这是不可能的，所以 n 2 | s。
10
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 2. 设 A = { d1, d2, , dk }是 n 的所有约数的集合，
则B
={dn1
,
n d2
,,
n dk
}也是
n
的所有约数的集合。
8
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
推论. 任何大于 1 的合数 a 必有一个不超过 a 的素约数。
证明：使用定理 2 中的记号，有 a = d1d2，
其中 d1 > 1 是最小的素约数，
所以
d2 1
a。证毕。
9
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 1. 设 r 是正奇数，证明：对任意的正整数 n，有
整数的整除性
整数的整除性1．整数的整除性的有关概念、性质（1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。
若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。
（2）性质1）若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am2）若a|b，b|a，则|a|=|b|;3）若b|a，c|b，则c|a4）若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c；5）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c；6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。
证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1∴ 11｜(3x-7y+12z).2.整除性问题的证明方法(1) 利用数的整除性特征（见第二讲）例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜的值。
解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。
若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。
若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。
（2）利用连续整数之积的性质①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。
②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。
证明∵为连续二整数的积,必可被2整除.∴对任何整数n均为整数,∵为整数,即原式为整数.又∵，2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，∴是能被3整除的整数.故被3除时余2.例4 一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.证明∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a2-1）.又∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），∵3 a，∴3|（a2-1）.3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.(3)利用整数的奇偶性下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题.例5 求证:不存在这样的整数a、b、c、d使：a·b·c·d-a=①a·b·c·d-b=②a·b·c·d-c=③a·b·c·d-d=④证明由①，a（bcd-1）=.∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数.同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a （bcd-1）必为偶数，与①式右端为奇数矛盾.所以命题得证.例6 (1985年合肥初中数学竞赛题)设有n个实数x1,x2,…，x n，其中每一个不是+1就是-1，且试证n是4的倍数.证明设(i=1,2,…，n-1)，则y i不是+1就是-1，但y1+y2+…+y n=0，故其中+1与-1的个数相同，设为k，于是n=2k.又y1y2y3…y n=1，即（-1）k=1，故k为偶数，∴n是4的倍数.其他方法：整数a整除整数b，即b含有因子a.这样,要证明a整除b,采用各种公式和变形手段从b中分解出因子a就成了一条极自然的思路.例7 (美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.例8 (上海1989年高二数学竞赛)设a、b、c为满足不等式1＜a ＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.解∵（ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，①∵abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）.∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc, ②k=＜＜＜＜∴k=1.若a≥3，此时1=-＜矛盾.已知a＞1. ∴只有a=2.当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，即 1=＜∴0＜b＜4，知b=3，从而易得c=5.说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从而逐步确定a、b、c是一项重要解题技巧.例9 （1987年全国初中联赛题）已知存在整数n，能使数被1987整除.求证数，都能被1987整除.证明∵×××（103n+），且能被1987整除，∴p能被1987整除.同样，q=（）且∴故、102（n+1）、被除，余数分别为1000，100，10，于是q表示式中括号内的数被除，余数为1987，它可被1987整除，所以括号内的数能被1987整除，即q能被1987整除.练习十六1．选择题（1）（1987年上海初中数学竞赛题）若数n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，则不是n的因数的最小质数是（）.（A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述答案（2）在整数0、1、2…、8、9中质数有x个，偶数有y个，完全平方数有z个，则x+y+z等于（）.（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10（3）可除尽311+518的最小整数是（）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2．填空题（1）（1973年加拿大数学竞赛题）把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.(2) 一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_________.(3) (1989年全国初中联赛题)在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________.3.求使为整数的最小自然数a的值.4.(1971年加拿大数学竞赛题)证明:对一切整数n,n2+2n+12不是121的倍数.5.(1984年韶关初二数学竞赛题)设是一个四位正整数,已知三位正整数与246的和是一位正整数d的111倍,又是18的倍数.求出这个四位数,并写出推理运算过程.6.(1954年苏联数学竞赛题)能否有正整数m、n满足方程m2+1954=n2.7.证明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n为非负整数.(2)若将(1)中的11改为任意一个正整数a,则(1)中的12,133将作何改动?证明改动后的结论.8.(1986年全国初中数学竞赛题)设a、b、c是三个互不相等的正整数.求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,至少有一个能被10整除.9.(1986年上海初中数学竞赛题)100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论.练习十六１．Ｂ．Ｂ．Ａ２．（１）２５·５５．（２）２７．３．由2000a为一整数平方可推出a=5．４．反证法．若是１２１的倍数，设ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）２＝１１（１１ｋ－１）．∵１１是素数且除尽（＋１）２，∴１１除尽ｎ＋１１１２除尽（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能．５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又是１８的倍数，∴只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４．７．（１）１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝１２１×１１ｎ＋１２×１１ｎ－１２×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝…＝１３３×１１ｎ＋１２×（１４４ｎ－１１ｎ）．第一项可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１．（２）１１改为ａ．１２改为ａ＋１，１３３改为ａ（ａ＋１）＋１．改动后命题为ａ（ａ＋１）＋１｜ａｎ＋２＋（ａ＋１）２ｎ＋１，可仿上证明．８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ（ａ２－ｂ２）；同理有ｂ（ｂ２－ｃ２）；ｃａ（ｃ２－ａ２）．若ａ、ｂ、ｃ中有偶数或均为奇数，以上三数总能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有一个是５的倍数，则题中结论必成立．若均不能被５整除，则ａ２，ｂ２，ｃ２个位数只能是１，４，６，９，从而ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的个位数是从１，４，６，９中，任取三个两两之差，其中必有０或±５，故题中三式表示的数至少有一个被５整除，又２、５互质．９．设１００个正整数为ａ１，ａ２，…，ａ１００，最大公约数为ｄ，并令则ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１×１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，从而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１×９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，则满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１×１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值为１００１。
整除数的性质和规律
整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。
二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。
⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。
⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。
⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。
例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。
2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。
检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。
5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。
用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。
最后得出的6，就是7485除以9的余数。
即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。
能被3整除的数，却不一定能被9整除。
⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。
①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。
数的整除性(1～3)
数的整除性（一）1.能被2整除的书的特征：个位上的数字是0.2.4.6.8的整数，“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数，包括0的整数，必能被2整除；另一方面：能被2整除的数，其个位上的数字只能是偶数。
2.能被5整除的数的特征是：个位是0或53.能被3或9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3或9整除4.能被4或25整除的数的特征是：末两位数能被4或25整除例：1864=1800+64 因为100是4与25的倍数，所以1800是4和25的倍数。
又因为64能被4整除，数以1864能被4整除。
但因为64不能被25整除，所以1864不能被25整除。
5.能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8整除。
例：29375=29000+375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8和125的倍数。
又因为375能被125整除，所以29375能被125整除。
但因为375不能被8整除，所以8不能被29375整除。
6.能被11整除的数的特征是：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差（大减小）是11的倍数例：判断123456789这九位数能否被11整除解：这个数的奇数位上的数字之和三个是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20。
因为25-20=5，有因为11不能被5整除，所以123456789不能被11整除再例如：判断13574能否是11的倍数？解：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字和的差是：（4+5+1）—(7+3)=0因为0是任何整数的倍数，所以11能被0整除。
因此13574是11的倍数。
7.能被7（11或13 ）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差，（大减小）能被7（11或13 ）整除例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，由777能被7整除，所以1059282能被7整除，因此1059282是7的倍数再例如：判断3546725能否被3整除？解：把3546725分乘3456和725两个数。
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
五年级奥数—数的整除性(一)
数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（5）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（7）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（9）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（10）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
第26讲数的整除性
第26讲数的整除性第26讲数的整除性我们知道，如果整数a除以不为零的整数b，所得的商为整数，而余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a。
如果a能被b整除，则b是a的约数，a 是b的倍数。
前面我们学习了一些数的整除特征，下面是有关数的整除性质：(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数就能被丙数整除。
例如，30能被6整除．6能被3整除，则30能被3整除。
(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
例如，60能被5整除，40能被5整除，它们的和60+40=100及差60－40=20都能被5整除。
(3)如果一个数能被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
例如，3和4是两两互质的数，24能分别被3和4整除，所以，24能被3和4的乘积整除。
(4)几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除．那么乘积也能被这个数整除。
例如：26能被13整除，26×29×38的积也能被13整除。
灵活运用以上整除性质，可以解决许多有关整除方面的问题。
总结与提示数的整除性质是数论的基本问题之一，在数学的多个领域都有着广泛的应用，这部分内容理论性强．内容抽象，题型丰富，方法多样，呈现出较强的解题技巧性。
解题时，要在认真理解题意的基础上，运用有关数的整除概念，理解题目思路，通过推理计算，找到问题的答案。
思考与练习1．有一个四位数3AA1，它能被9整除。
A所代表的数字是多少?2．在2008后面填上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被3，4，5整除，这个七位数最大是多少?3．173□是一个四位数，王老师说：“我在这个数的□内中分别填入3个数字，所得到的3个四位数依次能被7，11，6整除。
”王老师填入的3个数字的和是多少?4．已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么这个数个位上的数最小是多少?5．用0，1，3，5，7这五个数字中的四个，可以组成许多能被11整除的四位数．其中最小的一个四位数是多少?6．小敏在一张纸上写了一个五位数3A6B5，其中第2个数码和第4个数码看不清了，只知道这个五位数既是3的倍数，又是25的倍数。
第一节 数的整除性
初等数论 第一章 整除理论整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。
第一节 数的整除性一、知识定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数c ，使得a = bc成立，则称a 被b 整除，a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b ∣a ；如果不存在整数c 使得a = bc 成立，则称a 不被b 整除，记为b |/a 。
显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数。
被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。
定理1 下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ； (ⅱ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c ；(ⅲ) b ∣a i ，i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ，此处x i （i = 1, 2, , k ）是任意的整数； (ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；(ⅴ) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0。
【证明】(ⅰ)由条件设b ak =，则()(1)b a k =--，即|a b -，同理可证其它； (ⅱ) 由条件设12,b ak c bk ==，则12c ak k =，即a ∣c ； (ⅲ) 由条件设(1,2,,)i a bt i k ==⋅⋅⋅，于是1211kkk i ii i i i ax ax ax bt xb t x ==++⋅⋅⋅+==∑∑，故b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k(ⅳ) 由条件设a bk =，则ac bck =，则bc ∣ac (ⅴ) 由条件设a bk =，则||||||||||a bk b k b ==≥；定义2 若整数a ≠ 0，±1，并且只有约数 ±1和 ±a ，则称a 是素数（或质数）；否则称a 为合数。
深入理解数的整除性
深入理解数的整除性数的整除性是数学中一个重要的概念，它涉及到数的除法运算和整数的性质。
了解和理解数的整除性对于解决许多数学问题以及应用于实际生活中的计算和推理都至关重要。
本文将深入探讨数的整除性的概念、性质以及应用。
一、数的整除性的概念数的整除性指的是一个数能够被另一个数整除，即余数为零。
具体而言，如果有整数a和b，且b不等于零，那么a能够被b整除，记作a能够整除b，可以表示为b|a。
例如，6能够被3整除，可以表示为3|6。
二、数的整除性的性质1. 任何数都能被1整除：对于任何整数a，有1|a。
2. 任何数都能被自身整除：对于任何整数a，有a|a。
3. 如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c：如果a|b 且b|c，那么a|c。
这是因为如果a能够整除b，意味着a是b的约数，而b能够整除c，意味着b是c的约数，那么a也是c的约数，即a能够整除c。
4. 如果a能够整除b且b能够整除a，则a与b的绝对值相等：如果a|b且b|a，那么|a|=|b|。
这是因为整除的定义要求余数为零，而如果a能够整除b且b能够整除a，意味着a和b的余数都为零，所以它们的绝对值相等。
5. 如果a能够整除b且b不等于0，则|a|小于等于|b|：如果a|b且b≠0，那么|a|≤|b|。
这是因为整除的定义要求余数为零，而b不等于0意味着b无限制地向左或向右扩大，所以|a|≤|b|。
6. 两个数的公约数的绝对值一定是它们的最大公约数的绝对值：如果d是a和b的公约数，那么|d|是a和b的最大公约数。
这是因为公约数是能够整除a和b的数，而最大公约数是所有公约数中绝对值最大的那个数。
三、数的整除性的应用1. 素数判定：利用整除性的性质，可以很容易地判断一个数是否为素数。
如果一个数只能被1和自身整除，即它的约数只有两个，那么它就是素数。
例如，判断17是否为素数，我们可以依次尝试用2、3、4、5、6、7、8、9、10等数去整除17，发现除了1和17本身之外，没有其他数能够整除17，所以17是素数。
数字的整除性判断方法
数字的整除性判断方法整除是数学中常用的概念，用于描述一个数能被另一个数整除的情况。
在实际生活和数学问题中，判断一个数是否能被另一个数整除是非常重要的。
本文将介绍几种常见的整除性判断方法。
一、整除性判断的基本定义在数学中，对于两个整数a和b，如果存在一个整数q，使得a=q*b，那么我们称b整除a，记作b|a。
其中，a称为被除数，b称为除数，q称为商。
根据整除的定义，我们可以得出以下几条基本性质：1. a|0：任何数a都可以被0整除。
2. 1|a：任何数a都可以被1整除。
3. a|a：任何数a都可以被自身整除。
二、整除性判断的方法1. 因式分解法因式分解是一种常用的判断整除性的方法。
基本思路是将被除数和除数都进行因式分解，然后比较它们各个因式的幂次。
如果除数的每个因式的幂次都小于或等于被除数中对应因式的幂次，则除数可以整除被除数。
例如，我们想要判断96能否被12整除，可以先对96和12进行因式分解：96 = 2^5 * 3^112 = 2^2 * 3^1可以看出，除数12中2的幂次为2，而被除数96中2的幂次为5，2^2 < 2^5，所以12不能整除96。
2. 余数法余数法是另一种常见的整除性判断方法。
基本思路是用被除数除以除数，然后观察得到的余数。
如果余数为0，则除数可以整除被除数；否则，除数不能整除被除数。
例如，我们想要判断45能否被9整除，可以进行如下计算：45 ÷ 9 = 5 余 0可以看出，余数为0，证明9能整除45。
3. 整数倍法整数倍法是一种利用整数倍关系来判断整除性的方法。
基本思路是判断被除数除以除数的商是否为整数。
例如，我们想要判断84能否被7整除，可以进行如下计算：84 ÷ 7 = 12可以看出，商为12，是一个整数，证明7能整除84。
三、举例说明为了更好地理解整除性判断方法，下面通过几个具体的例子进行说明。
例1：判断72能否被8整除。
首先进行因式分解：72 = 2^3 * 3^2除数8中2的幂次为3，而被除数72中2的幂次也为3，2^3 = 2^3，满足条件，因此8能整除72。
9 数的整除性(精英)
第九讲数的整除性【知识要点】如果整数a除以非零自然数b，商是整数且余数为0，则称a能被b整除，或b 能整除a，记作b︱a，其中a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
数的整除特征：1、一个数的个位上是0、2、4、6、8中的某个数，这个整数能被2整除。
2、一个整数各位数上数字的和能被3或9 整除，那么这个整数也能被3或9整除。
3、一个整数的末两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。
4、一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
5、能被11整除的数的特征：一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。
6、能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除，那么这个数能被7（11或13）整除。
【例题精讲】例1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A表示（）。
例2. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是（）。
例3. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填（）。
★例4、1至100以内所有不能被3整除的数的和是（）。
★例5、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是（）。
【为了掌握】1.已知四位数13□5能被3整除，这个四位数的十位上的数字可以填（）。
<写出所有情况>2.有一盒球，可以平均分给2个、3个、4个、5个、6个小朋友，这盒球至少有（）个。
3. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是（）或（）。
4. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是（）。
5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是（）。
【为了优秀】1. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是（）。
数的整除性
&&&教育1对1辅导讲义【基础知识】数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。
这个七位数是4735800。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。
例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。
能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。
课题：数的整除性【知识讲解】数的整除性（一）数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
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2、用1,2，3,4,5,6,7,8,9这9个数字组 成一个最小的能被11整除的九位数，这个九 位数是多少？
3、在1~2001这些数中，有的能被3整除、 有的能被23整除、有的能被29整除，那么不 能被3,23,29整除的数一共有多少个？
例3：如果十位数能被1995xy5991整
除，那么x和y各是多少？
例5：一个41位数55…5□99…9能被7整除，那
么中间方格内的数是几？
例6：十位数abcdefghij，其中不同的字母
表示不同的数字，a是1的倍数，两位数ab 是2的倍数，三位数abc是3的倍数，四位数 abcd是4的倍数，依次类推，十位数 abcdefghij是10的倍数。则abcdeghij等于多 少？
数的整除（二）
如果数M的末三位数字所表示的数与末三位 以前的数字所表示的数之差（大减小）能被 7,11,13整除，那么数M就不能被7,11,13整除。
例1：a、b、c是三个不同的阿拉伯数 码。六位数abcabc能否被7,11,13整除？
例2：求能被11整除且数字之和等于13的五 位数。（1998年南京市小学生数学竞赛试题）
例7：从1,2，3,……，49，50,这
50个数中，取出若干个数使其中任 意两个数的和都不能被7整除，最多 可取（ ）个数。
1999年全国小学数学奥林匹克决赛试题
例8：由2000个1组成的数111……111，能
否被41和271这两个数整除？
Байду номын сангаас2000个
作业：1、在358的后面补上补上三个数码组成的