空间角及空间距离的计算知识点

空间角及空间距离的计算

1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，

过该点作另一条直线平行线，

2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A

为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小

指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？

而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一

找”、“二证”、“三计算”）

4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的

距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）

5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影，

线段OP 的长度为点P 到平面α的距离

长方体的“一角”模型

在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心

----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ⊂⊂⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，，

的平面角。

且则为二面角

a b ''︒︒如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异

面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90]

求法通常有：定义法和等体积法

等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有：

S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----===

P

C

B

A

c

b

a

④三棱锥P ABC -的高

h =

即

.111h 12

222c b a ++= 证：设直线AH 交BC 于D 点，由于H 点一定在△ABC 内部，所以D 点一定在BC 上，连结PD.

在△PAD 中，

PH =

=

⑤体积：1

6

V abc =

;

A