上海市交大附中2019届高三数学一模试题(含解析)
精品解析：【全国百强校】上海市交大附中2019届高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)
上海市交大附中高三9月份开学考试注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题.1.方程组的增广矩阵是______．【答案】【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。
2.若直线的参数方程为，则直线的倾斜角是_______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为y+2（x﹣3），求出其斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，直线l的参数方程为，则其普通方程为y+2（x﹣3），其斜率k，则有tanθ，且0°≤θ＜180°，则θ＝120°；故答案为：120°．【点睛】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题3._______．【答案】【解析】【分析】利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可．【详解】由二项式定理系数的性质可得，．故答案为：．【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题4.已知数列的前项的和，则当为正偶数时，______．【答案】【解析】【分析】由已知求得，当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3，验证a2＝3适合，由此可得当n为正偶数时的a n．【详解】由，得＝1，；当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3．验证＝3适合上式，∴当n为正偶数时，．故答案为：2n﹣2n+3．【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．5.函数是奇函数，那么______．【答案】【解析】【分析】求f（﹣x）＝，再根据f（x）为奇函数，可得出＝-整理化简即可求出a的值．【详解】由题f（﹣x）＝函数是奇函数，∴- f（﹣x）＝，即-解得2,∴故答案为-1【点睛】本题考查奇函数的定义，多项式的运算，多项式相等的充要条件，准确利用定义计算是关键，是基础题6.若函数无最值，则的取值范围是______．【答案】a或a【解析】【分析】由题意函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，可得a的取值范围．【详解】由题意，函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，∴a2﹣8≥0，则a或a；故答案为：a或a．【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，考查对数函数的性质，明确真数无最值是突破点，准确利用二次函数的△≥0解决问题是关键，是中档题7.△的内角，，的对边分别为，，，已知△的面积为，，则______．【答案】【解析】【分析】直接利用三角形的面积公式和正弦定理求出sinBsinC的值，进一步利用三角函数关系式的变换即可求出A 的值．【详解】已知△ABC的面积为，则：S△ABC acsinB，整理得：3csinBsinA＝2a，由正弦定理得：3sinCsinBsinA＝2sinA，由于sinA≠0，故：sinBsinC，由于：6cosBcosC＝1，所以：cosBcosC，所以：cosBcosC﹣sinBsinC，所以：cos（B+C），故：cosA，A所以：A．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.设，是虚数单位，已知集合，，若，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围．【详解】由题意，集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示点的轨迹为（1，1+b），半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴．可得：，故答案：，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题9.从双曲线（，）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____．【答案】【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，，所以，又是线段的中点，为中点，所以，所以即，故应填入.考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.关于的方程恰有3个实数根，，，则__________．【答案】2【解析】【分析】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，判断f（x）的奇偶性，由题意可得f（0）＝0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f（x）＝0的解，即可得到所求和．【详解】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）＝（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a＝f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）＝0有三个实数根，∴f（0）＝0，即0a＝0，故有a，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）0，可设＝0，且2+arcsin（cos）0，2+arcsin（cos）0，由y＝x2和y arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y arcsin（cosx）arcsin（sin（x））（x））＝x，则﹣π＜x＜0时，y arcsin（cosx）＝﹣x，由y＝x2和y arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则2+2+2＝0+1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查函数与方程，函数的奇偶性，反三角函数的定义和性质，函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．12.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.【答案】①②④【解析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【详解】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．故答案为：①②④【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和推理能力，对每个选项举出反例说明是关键，属于基础题．二、选择题。
上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题(含精品解析)
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题。
1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，行列式中第3行第2列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则_____．【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点、，是坐标原点，则___．【答案】2【解析】【分析】先画出函数的图象，通过图象分析出点A是P、Q的中点，然后根据向量的运算法则进行运算．【详解】作出函数的图象如图：由图象可知：图象关于点A对称，所以点A是点P与点Q的中点∴2∴•．故答案为2.【点睛】本题考查了反三角函数的图象与性质及向量的运算，解题的关键是通过画图分析出A点是中点．11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题。
2019交大附中高三开学考
交大附中高三开学考数学试卷一. 填空题1. 已知集合2{|log 1}A x x =<，1{|0}2x B x x -=<+，则A B = 2. 已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re z = 3. 已知点(2,1)A ，(3,5)B ，(5,2)C ，则△ABC 面积是4. 若1()21x f x a =+-是奇函数，则实数a = 5. 已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k =6. 已知P 为2214x y -=上动点，O 为坐标原点，M 为OP 中点，则点M 的轨迹方程为 7. 已知平面向量PA 、PB 满足22||||4PA PB +=，||2AB =，设2PC PA PB =+，则||PC ∈8. 已知()3sin()6f x x πω=-（0ω>）和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图像的对称轴完全相同，则[0,]2x π∈时()f x 的取值范围是9. 已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α=10. 关于x 不等式|2|6ax +<解集为(1,2)-，则实数a =11. 甲、乙、丙三人传球，每个人得到球后，等可能地传给其余两人，从甲开始传，设传n 次球后回到甲手中的概率为()P n ，则(1)P n +可用()P n 表示为12. 从1，2，3，⋅⋅⋅，n 这n 个连续正整数中，任取3个不同的数构成等差数列，已知这样的等差数列最多有180个，则n =二. 选择题13. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个14. 设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则20191222019222a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ ） A. 2 B. 0 C. 1- D. 115. 若()|1||2|f x x x a =+++的最小值是3，则实数a 的值为（ ）A. 5或8B. 1-或5C. 1-或4D. 4-或816. 已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 以上都不是三. 解答题17. 已知0a >，1a ≠，0b >，1b ≠，0M >.（1）求证：log log n a a M n M =；（2）求证：log log log a b a M M b=.18. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AD 、DC 、1CC 、11A B 的中点.（1）求证：P 、Q 、R 、S 共面；（2）求直线AB 与平面PQRS 所成角的正弦值.)BA BC cCB CA ⋅=⋅.（1）求角B 的大小；（2）若||6BA BC -=ABC 面积的最大值.20. 给定椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），称圆心在原点O C 的“准圆”，若椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴上一个端点到F （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）设点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作椭圆C 的切线1l 、2l ，试判断直线1l 、2l 是否垂直，并说明理由；（3）过点(,)22a b 作椭圆C 的“准圆”的动弦MN ，过点M 、N 分别作“准圆”的切线，设两切线交于点Q ，求点Q 的轨迹方程.21. 定义：对任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，称[]x 为x 的整数部分，{}x 为其相应的小数部分，{}[]x x x =-，函数()[]f x x =，(){}g x x =.（1）求方程2[]10x x --=的解；（2）用周期函数定义证明()g x 是周期函数；（3）对数列{}n a ，2n n a =，*n ∈N ，设函数()[][]n n n a x h x a x-=，212(,)n n x a a -∈，令()n h x 值域中元素和为n b ，求数列{}n b 前2019项和.参考答案一. 填空题1. (01)，2. 03. 1124. 125. 3或56. 2241x y -=7. [0,2]8. 3[,3]2-9. 1 10. 4- 11. 1(1)(1())2P n P n +=- 12. 20二. 选择题13. D 14. C 15. D 16. A三. 解答题17.（1）证明略；（2）证明略.18.（1）证明略；（219.（1）4B π=；（2）1)2.20.（1）椭圆方程为2213x y +=，准圆方程为224x y +=；（2）1l 、2l 垂直；（38y +=.21.（1）x =（2）证明略；（3）2019201912(12)2n b =⋅-.。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市交通大学附属中学(交大附中)2019年-自主招生数学试卷 (PDF版 含答案)
2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。
篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有人.7、已知,,,a b c n 是互不相等的正整数，且1111a b c n +++也是整数，则n 的最大值是.8、如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.9、若关于x 的方程()()2460x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m =.10、设ABC 的三边,,a b c 均为正整数，且40a b c ++=，当乘积abc 最大时，ABC 的面积为.11、如图，在直角坐标系中，将AOB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -，()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为.二、解答题12、如图，数轴上从左到右依次有,,,A B C D 四个点，它们对应的实数分别为,,,a b c d ，如果存在实数λ,满足：对线段AB 和CD 上的任意M W，其对应的数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(),,,,a b c d λ为“完美数组”。
精品解析：【全国百强校】上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题(解析版)
上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A. 7对B. 8对C. 9对D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】求出函数y x关于原点对称的函数为y x，x＞0，利用数形结合判断当x＞0时，f（x）＝3与y x，x＞0的交点个数即可【详解】当时，，此时关于原点对称的点此时与没有交点，函数关于原点对称的函数为，即，，若函数图象上存在关于原点对称的点，等价为当时，与，的交点个数即可，作出函数在时的图象如图，由图象知，函数分别关于对称，且函数的最大值为，当时，得，即，故当时，与，的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合，是中档题2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A. 8桶B. 9桶C. 10桶D. 11桶【答案】B【解析】【分析】主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形【详解】易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。
2019届上海市交大附中高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)
2019届上海市交大附中高三上9月开学摸底考试数学试题一、单选题1．已知集合，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B正确. 2．在空间直角坐标系中，若点在第Ⅵ卦限，则与点关于轴对称的点在（）A．第Ⅰ卦限B．第Ⅲ卦限C．第Ⅴ卦限D．第Ⅶ卦限【答案】A【解析】根据点P的卦限得坐标x，y，z的符号，再得对称点的坐标的符号，从而可得对称点的卦限．【详解】因为点P（x，y，z）在第Ⅵ卦限，所以x＜0，y＞0，z＜0，点P关于y轴的对称点为（﹣x，y，﹣z），在第Ⅰ卦限．故选：A．【点睛】本题考查了空间向量运算的坐标表示，熟记每个卦限的坐标符号是解决问题的关键，属基础题．3．设，，为实数，则实数“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】D【解析】首先求出方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线的充要条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断．【详解】∵方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线，∴，∴AB＜0且C≠0；∵ABC＜0推不出AB＜0且C≠0，AB＜0且C≠0推不出ABC＜0；∴实数“ABC＜0”是“方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线”的非充分非必要条件．故选：D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，熟记双曲线的方程的特点，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题4．已知、、、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、、，使得，则三个角、、（）A．都是钝角B．至少有两个钝角C．恰有两个钝角D．至多有两个钝角【答案】B【解析】根据，移项得，两边同时点乘，得•0，再根据正实数，和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，从而得到结论．【详解】∵λ1λ2λ3，∴，两边同时点乘，得•，即||•||cos∠COA+cos∠BOC＝﹣0，∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角．故选：D．【点睛】本题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题二、解答题5．如图所示，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点.（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比.【答案】（1）（2）【解析】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，在△中，利用余弦定理求，即可求解（2）分别求和，再求比值即可【详解】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，设圆柱的底面半径为，即，，在△中，，又所以直线与所成角的大小等于.（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，，且平面，，，∴.【点睛】本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．6．（1）已知是定义在上的奇函数，求实数、的值；（2）已知是定义在上的函数，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝lg lgb＝0，解可得b，又由f（x）+f（﹣x）＝0，可得a的值，即可得答案．（2）根据题意，分析可得不等式ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，转化为两个函数y=和y=ax，先求相切的临界情况，再由不等关系，即可得答案．【详解】（1）是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝lg lgb＝0，则b，且f（x）+f（﹣x）＝lg（ax）+lg（ax）﹣2lg lg[（x2+2）﹣a2x2]﹣lg2＝lg[（1﹣a2）x2+2）]﹣lg2＝0，即（1﹣a2）x2＝0恒成立；可得：a＝±1；故a＝±1，b；（2）若f（x）＝lg（ax）﹣lgb为定义在R上的函数，则ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，令y=此函数为焦点在y轴上的双曲线的上支，令y=ax,当y=ax与y=相切时，两式联立消去y,得,，故ax恒成立时，﹣1<a<1即a的取值范围为（-1，1）．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，对数函数的运算性质，函数值域，不等式恒成立，数形结合思想，第（2）转化为两个函数交点问题是关键，属于中档题．7．某工厂在生产产品时需要用到长度为的型和长度为的型两种钢管.工厂利用长度为的钢管原材料，裁剪成若干型和型钢管，假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.（1）要使裁剪的废料率小于，共有几种方案剪裁？请写出每种方案中分别被裁剪型钢管和型钢管的根数；（2）假设一根型钢管和一根型钢管能成为一套毛胚，假定只能按（1）中的那些方案裁剪，若工厂需要生产套毛胚，则至少需要采购多少根长度为的钢管原材料？最终的废料率为多少？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）设每根原材料可裁剪a根A型和b根B型钢管，则，再由废料率小于得故即可设计方案，（2）设用方案一裁剪x根原材料，用方案二裁剪y根原材料，共裁剪得z套毛胚，则z＝2x+4y，由得即可求出答案．【详解】（1）设每根原料可裁剪成根型钢管和型钢管，则即根据题意，废料率为故满足条件的a与b的值为方案一：废料率为；则可裁剪成2根A 型钢管和5根B型钢管.方案二：废料率为.则可裁剪成4根A型钢管和2根B型钢管.（2）设用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛坯，则,即，故由题，所以所以至少采购100根长度为4000mm的钢管原材料，其中方案一裁剪40根，方案二裁剪60根，废料率为.【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，准确计算不等式组的解是关键，属于中档题．8．在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.（1）若，，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线：上时，位置向量终点总在抛物线：上，曲线和关于直线对称，问直线与向量满足什么关系？【答案】（1）（2）见证明（3）直线与向量垂直【解析】（1）根据题意，算出7，10，代入的表达式并化简整理，即可得到（，）；（2）设（x'，y'），终点在直线Ax+By+C＝0上，由题中的表达式解出（x，y）满足的关系式，从而得到点（，）在直线Ax+By+C＝0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C＝0，说明向量的终点也在一条直线上；（3）设，则，取，解出关于和t的坐标形式，结合的终点在抛物线x2＝y上且终点在抛物线y2＝x上，建立关于和t的方程，化简整理得到±（，）．再由曲线C和C′关于直线l：y ＝x对称，算出l的方向向量满足•0，从而得到直线l与向量垂直．【详解】（1）根据题意，7，10，∴.（2）设，，则，∴于是故，从而w，由于、不全为零，所以，也不全为零.于是的终点在直线上.（3）设，则，对任意实数，取，则，∵的终点在曲线上，∴.①由于为任意实数，比较①式两边的系数得，，，从而，，∴.对曲线中任意点，可知落在曲线上，反之亦然，故曲线：与曲线：关于直线：对称，的方向向量，∵，∴，即直线与向量垂直.【点睛】本题考查向量的坐标运算，相关点法求轨迹，着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．9．设函数，，，若对任意成立，且数列满足：，.（1）求函数的解析式；（2）求证：；（3）求证：.【答案】（1）；（2）（证明略）；（3）（证明略）【解析】（1）由题令，解x=-1,所以-4≤f(-1)≤-4,则f(-1)=-4，得a=b-4，进而得对任意成立，由判别式整理解得b=2,即可得a=-2,则f(x)可求；（2）由得，进而，累乘得（3）由（2）得，累加得，再由证明数列递增，得则证得；欲证，即证,则需证，由，放缩归纳得，再证明即可【详解】（1）由题对任意成立，令，解x=-1,所以-4≤f(-1)≤-4,则f(-1)=-4又，则f(-1)=a-b=-4，即a=b-4所以对任意成立，即,则整理得∴b=2,则a=-2所以（2）由（1）知，，∴, ∴,所以又（3）由（2）知所以所以又,又,为递增数列，所以所以由（2）可知，欲证，即证,则需证∵,∴所以=所以=2因为2018<所以,则>所以证得，即证得所以【点睛】本题主要考查数列综合，不等关系与不等式以及数列求和，放缩法证明不等式，转化化归能力，是难题三、填空题10．方程组的增广矩阵是______．【答案】【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.【考点】本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。
上海市交大附中高考数学一模试卷解析版.doc
2019年上海市交大附中高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知定义域为R的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有（）A. 7对B. 8对C. 9对D. 以上都不对【答案】B【解析】解：当x=0时，f（x）=-，此时（0，-）关于原点对称的点（0，）此时与f（x）没有交点，函数y=x-关于原点对称的函数为-y=-x-，即y=x+，x＞0，若函数图象上关于原点对称的点，等价为当x＞0时，f（x）=3与y=x+，x＞0的交点个数即可，作出函数f（x）在x＞0时的图象如图，由图象知，函数分别关于x=1，x=3，x=5，x=7，x=9对称，且函数的最大值为f（2k-1）=3，当y=x+=3时，得x=，即x=7，故当x＞0时，f（x）=3与y=x+，x＞0的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B．求出函数y=x-关于原点对称的函数为y=x+，x＞0，利用数形结合判断当x＞0时，f （x）=3与y=x+，x＞0的交点个数即可本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合是解决本题的关键．2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有（）A. 8桶B. 9桶C. 10桶D. 11桶【答案】B【解析】解：易得第一层有4碗，第二层最少有3碗，第三层最少有2碗，所以至少共有9个碗．故选：B．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．3.已知f（x）=x2+3x，若|x-a|≤1，则下列不等式一定成立的是（）A. |f（x）-f（a）|≤3|a|+3B. |f（x）-f（a）|≤2|a|+4C. |f（x）-f（a）|≤|a|+5D. |f（x）-f（a）|≤2（|a|+1）2【答案】B【解析】解：∵|x-a|≤1，∴a-1≤x≤a+1，∵f（x）是二次函数，∴f（x）在区间[a-1，a+1]上单调时，|f（x）-f（a）|取得最大值为|f（a+1）-f（a）|或|f （a-1）-f（a）|，而|f（a+1）-f（a）|=|（a+1）2+3（a+1）-a2-3a）|=|2a+4|≤2|a|+4，|f（a-1）-f（a）|=|（a-1）2+3（a-1）-a2-3a|=|-2a-2|=|2a+2|≤2|a|+2．∴|f（x）-f（a）|≤2|a|+4，故选：B．结合二次函数的图象可知，当f（x）在区间[a-1，a+1]单调时，|f（x）-f（a）|的最大值为|f（a+1）-f（a）|或|f（a-1）-f（a）|，从而得出结论．本题考查了二次函数的性质，利用函数的最值研究恒成立问题的思路，同时结合函数图象分析问题是关键．4.若，且，，则的取值范围是（）A. B. [0，2]C. D.【答案】D【解析】解：∵，且，，∴•-•-•+||2≤0，∴4≥-•+•+•，∴2=||2+||2+||2+2•-2•-2•≤4+4+4-8=4，∴≤2，又由，得：=2，故≥-=2-2，故的取值范围是，故选：D．由，得：=2，故≥-=2-2，结合，得≤2，进而得到答案．本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模，难度中档．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|-1＜x＜2}，则A∪B=______．【答案】{x|-1＜x≤2}【解析】解：∵集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|-1＜x＜2}，∴A∪B={x|-1＜x≤2}．故答案为：{x|-1＜x≤2}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．6.若复数z=4+3i，其中i是虚数单位，则|z2|=______．【答案】25【解析】解：由z=4+3i，得z2=（4+3i）2=16+24i+9i2=7+24i，则|z2|=|7+24i|=．故答案为：25．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．7.函数，则f[f（-1）]=______．【答案】0【解析】解：f（-1）=f（2）=f（5）=5-4=1所以f[f（-1）]=f（1）=f（4）=0故答案为0先根据函数的解析式求出f（-1）的值，再求出f[f（-1）]=f（1）=f（4）=0．求分段函数的值，关键是判断出自变量所属的范围，然后将自变量的值代入相应段的解析式求出值．8.已知sin（α-）=，则cos（α-）=______．【答案】±【解析】解：∵sin（α-）=，∴cos（α-）=±=±．故答案为：±根据sin（α-）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α-）的值即可．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=______．【答案】2n+1（n∈N*）【解析】解：当n≥2，且n∈N*时，a n=S n-S n-1=（n2+2n）-[（n-1）2+2（n-1）]=n2+2n-（n2-2n+1+2n-2）=2n+1，又S1=a1=12+2=3，满足此通项公式，则数列{a n}的通项公式a n=2n+1（n∈N*）．故答案为：2n+1（n∈N*）由数列的前n项和公式S n=n2+2n，表示出当n大于等于2时，前n-1项和S n-1，利用a n=S n-S n-1得出n大于等于2时的通项公式，把n=1代入此通项公式检验也满足，故得到数列的通项公式．此题考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式a n=S n-S n-1是解本题的关键，同时注意要把首项代入通项公式进行验证．10.已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的取值范围为______．【答案】[1，6]【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，0），联立，解得B（0，1）．化目标函数z=3x+y为y=-3x+z，由图可知，当直线y=-3x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1，当直线y=-3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为6．∴目标函数z=3x+y的取值范围为[1，6]．故答案为：[1，6]．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11.已知函数f（x）=a sin2x+b cos2x（a，b∈R，ab≠0），若其图象关于直线对称，则直线ax+by+2=0的倾斜角α=______．【答案】【解析】解：∵函数y=a sin2x+b cos2x（a，b不全为0）的图象关于直线x=对称，设sinθ=，cosθ=，∴y=a sin2x+b cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+θ），当x=时，2x+θ=+θ=+kπ，（k∈Z），∴θ=-++kπ=+kπ，（k∈Z），不妨取k=0时，得θ=；∴sinθ==，cosθ==，解得a=，b=1；∴直线l：ax+by+c=0可化为：x+y+c=0，它的斜率为k=-，∴倾斜角是；故答案为：．化简函数y=a sin2x+b cos2x为一个角的一个角的函数形式，利用x=是函数y=a sin2x+b cos2x图象的一条对称轴，求出a，b的值，然后求直线l的斜率与倾斜角．本题考查了三角函数与向量知识的综合应用问题，是综合题目．12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为______．（容器壁的厚度忽略不计）【答案】41π【解析】解：由题意，该球形容器的半径的最小值为=，∴该球形容器的表面积的最小值为=41π．故答案为41π由题意，该球形容器的半径的最小值为=，即可求出该球形容器的表面积的最小值．本题考查正棱柱的外接球，考查学生的计算能力，属于中档题．13.已知，且a0+a1+a2+…+a n=126，那么展开式中的常数项为______．【答案】20【解析】解：∵已知，且a0+a1+a2+…+a n=126，∴令x=1，可得a0+a1+a2+…+a n=2+22+…+2n==2n+1-2=126，∴n=6，那么=的展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•x3-r，令3-r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为=20，故答案为：20．由题意令x=1，可得n=4，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为______．【答案】55【解析】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知等边△ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足等式=λ的点P有两个，则实数λ的取值范围是______．【答案】（-，0]【解析】解：设PA=x（0≤x≤2），则PC=2-x．∴=+=-+，又=2×2×cos60°=2，∴λ==-（-+）=-=x2-x=（x-）2-．令f（x）=（x-）2-，则f（x）在[0，]上单调递减，在（，2]上单调递增，且f（0）=0，f（）=-，f（2）=2．∵满足等式=λ的点P有两个，∴关于x的方程f（x）=λ在[0，2]上有两解，∴．故答案为：（-，0]．设PA=x，得出式关于x的函数，根据函数的单调性得出λ的范围．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．16.过直线l：x+y=2上任意点P向圆C：x2+y2=1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为______．【答案】[，）【解析】解：∵点P为直线l：x+y=2上的任意一点，∴可设P（t，2-t），则过O、A、P、B的圆的方程为（x-）2+（y-）2=[t2+（2-t）2]，化简可得x2-tx+y2-（2-t）y=0，与已知圆的方程相减可得AB的方程为tx+（2-t）y=1，由直线OP的方程为（2-t）x-ty=0，联立两直线方程可解得x=，y=，故线段AB的中点Q（，），∴点Q到直线l的距离d==|2-|，∵t2-2t+2=（t-1）2+1≥1，∴0＜≤1，∴-1≤-＜0，∴1≤2-＜2，∴≤|2-|＜，即d∈[，）故答案为：[，）设P（t，2-t），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知cos2A-3cos（B+C）=1．（1）求角A的值；（2）若a=2，求△ABC周长的取值范围．【答案】解：（1）△ABC中，cos2A-3cos（B+C）=1，（2cos2A-1）-3•（-cos A）=1，2cos2A+3cos A-2=0，解得cos A=或cos A=-2（不合题意，舍去），∴cos A=，A=；（2）a=2，A=，由正弦定理可得====；∴b=sin B，c=sin C，∴a+b+c=2+（sin B+sin C）=2+[sin（-C）+sin C]=2+（cos C+sin C）=2+4sin（C+），∵0＜C＜，∴＜C+＜，∴＜sin（C+）≤1，2＜4sin（C+）≤4，则4＜2+4sin（C+）≤6，即4＜a+b+c≤6，∴△ABC的周长的取值范围是（4，6]．【解析】（1）根据二倍角公式化简求解即可求出角A的大小；（2）由正弦定理求得b、c的值，再利用三角恒等变换计算a+b+c的取值范围．本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的单调性应用问题，是中档题．18.在如图所示的组合体中，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比．【答案】解：（Ⅰ）如图，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∴∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，设正方形的边长为2，则△AOD中，OD=A1C=，AO=，AD=，∴cos∠AOD==∴∠AOD=；（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧AB的中点时，，，，∴．【解析】（Ⅰ）取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，利用余弦定理，可求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧弧AB的中点时，求出三棱柱ABC-A1B1C1的体积，求出三棱锥A1-ABC的体积为，从而求出四棱锥A1-BCC1B1的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比．本小题主要考查直线与直线的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．19.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON 段的建造费用为每百米3万元．（1）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；（2）设∠BAP=θ，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．【答案】解：（1）在△AOM中，|AO|2=|AM|2+|OM|2-2|AM|•|OM|cos∠AMO，∴，化简得：|AM|2+2|AM|-3=0，∵|AM|＞0，∴|AM|=1，则|ON|=|MN|-|AM|=2-1=1，3×1=3，答：小路ON段的建造费用为3万元．（2）由正弦定理得：，则，，∴，设小路AO段与ON段的建造总费用为f（θ），则，，∴，若θ0满足，且，列表如下：θ（，θ0）θ0（θ0，）f'（θ）-0+f（θ）↘↗则当θ=θ0时，f（θ）有极小值，此时也是f（θ）的最小值，∴，答：当cosθ=，小路AO段与ON段的建造总费用最小．【解析】（1）根据余弦定理求出|AM|，即可求出|ON|=|MN|-|AM|=2-1=1，即可求出小路ON段的建造费用；（2）由正弦定理可得则，，，即可表示出，根据导数和函数最值得关系即可求出小路AO段与ON段的建造总费用最小．本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求出函数解析式和运用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．20.过抛物线C：y2=2px（其中p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B两点的纵坐标之积为-16．（1）求抛物线C的方程；（2）当|AF|≠|BF|时，求的值；（3）对于x轴上给定的点D（n，0）（其中n＞2），若过点D和B两点的直线交抛物线C的准线P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．【答案】解：（1）过抛物线C：y2=2px（其中p＞0）的焦点F（，0）的直线为x=my+，代入抛物线方程，可得y2-2pmy-p2=0，可设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1y2=-p2=-16，解得p=4，可得抛物线的方程为y2=8x；（2）由直线AB过抛物线的焦点F，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，π+θ），由ρ=，可得+=+==，可得=•=1；（3）证明：设A（，y1），B（，y2），P（-2，s），由D（n，0），B，D，P三点共线可得=，可得s=，①设AP交x轴上的点为（t，0），即有=，代入①，结合y1y2=-16，可得=，即有8ny12-64nt=8ny12-（y1y2）2=8ny12-256，可得t=．即有直线AP与x轴交于一定点（，0）．【解析】（1）设直线AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，可得p=4，即有抛物线方程；（2）推得+=，即可得到所求值；（3）设A（，y1），B（，y2），P（-2，s），运用三点共线的条件：斜率相等，可得s，设AP交x轴上的点为（t，0），运用韦达定理，化简整理可得所求定点．本题考查直线和抛物线的位置关系，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于难题．21.已知数列{a n}为等比数列，a1=1，公比为q，S n为数列{a n}的前n项和．（1）若a3+a5=20，求；（2）若调换a5、a6、a7的顺序后能构成一个等差数列，求q的所有可能值；（3）是否存在正常数c、q，使得对任意正整数n，不等式总成立？若存在，求出q的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）因为数列{a n}为等比数列，a1=1，公比为q，且q≠1，a3+a5=20，所以q2+q4=20，解得q2=4（-5舍去），则==1+q4=1+16=17；（2）若调换a5，a6，a7的顺序后能构成一个等差数列，即若调换q4，q5，q6的顺序后能构成一个等差数列，由等差数列的性质可得1+q=2q2或1+q2=2q或q+q2=2，解得q=1或-或-2；（3）假设存在正常数c，q，使得对任意正整数n，不等式总成立．由，即为＜0，等价为c＜S n＜2c，若q=1，可得c＜n＜2c，不成立；由a1=1，a n＞0，S n≥1，可得c＜1，当q＞1时，S2＞2＞2c不可能成立；当＜q＜1时，＞2可得q n＜2q-1，即n＞log q（2q-1），由＜q＜1，可得log q（2q-1）＞1，即当n＞log q（2q-1），S2＞2，所以S n＜2c不可能成立；当q=时，＜2c，即1-（）n＜c，可得（）n＞1-c，即当n＞log（1-c）时，S n＜2c不成立；当0＜q＜时，S n=＜，所以当＜c＜1时，c＜S n＜2c恒成立，综上可得，存在正常数c，q，使得对任意正整数n，不等式＞2总成立，且q的取值范围是（0，）．【解析】（1）运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，求和公式计算即可得到所求值；（2）由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程即可得到所求值；（3）假设存在正常数c，q，使得对任意正整数n，不等式总成立．由不等式，即为＜0，等价为c＜S n＜2c，讨论公比q，结合题意，推得存在，求得q的范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查存在性问题的解法，以及分类讨论思想方法，化简整理和推理能力，属于难题．。
2019年3月上海交通大学附属中学2019届高三月考数学试题(解析版)
绝密★启用前上海交通大学附属中学2019届高三下学期3月月考数学试题（解析版）2019年3月一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用,着重考查二项展开式的通项公式,属于中档题．2.若,,用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值,结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时,,时,,时,,时,,时,,时,,∴,故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念,考查了集合中元素的确定性、互异性,是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根,则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组,可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根,∴+,（整理得：⇒,∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用,考查了复数相等的条件,是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇,人文类课题论文60篇,其他论文39篇,为了了解该校学生论文完成的质量情况,若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核,则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程,计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇,则,∴x＝18,故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用,考查了各层的抽样比,属于基础题.5.设,,行列式中第行第列的元素的代数余子式记作,函数的反函数经过点,则__________.【答案】2【解析】【分析】。
精品解析：上海市上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题(解析版)
交大附中高三月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、，是坐标原点，则__________.【答案】【解析】【分析】先分别观察函数和会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ 中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称所以所以故答案为：2.【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题13.，则角所在的象限是：（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得且不是x轴的轴线角，由此可得结论.【详解】由题意存在，∴不是x轴的轴线角，又, ∴，∴角所在的象限是第一或第二象限，故选D.【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题．14.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．15.已知，，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存在．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理得到，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos最小，最大，可得，从而得到结果.【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P为短轴端点时，最大是解题的关键，属于中档题．三、解答题17.函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ,；（2）在区间上的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由图可知A＝1，，从而可求ω；再由图象经过点（，1），可求得；（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝sin（2x），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）的最大值和最小值．【详解】（1）由图可知：，A＝1，∴T＝π，∴ω2，∴f（x）＝cos（2x+）又∵图象经过点，∴1＝cos（2），∴2kπ，k∈Z，∴2kπ，k∈Z，又∵||，∴，∴解析式为f（x）＝cos（2x）；（2）g（x）＝f（x）+sin2x＝cos（2x）+sin2x＝cos2x cos sin2x sinsin2x cos2x＝sin（2x）；当时，2x，当2x时，即x=时，g（x）的最大值为，当2x，即x=时g（x）的最小值为，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．【解析】【分析】（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．得，，设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，则，得，即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概念及公式，属于基础题.19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x 的函数，利用基本不等式求得最值.（2）设点，其中，，将表示为关于x、y的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..【详解】（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，∴，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，，∴，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题．20.已知曲线的方程为．（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明【解析】【分析】（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2）将代入，消去，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，，，设，，，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，，，即，∴，用替换中的，可得，∴，∴．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题．21.数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{a n}的通项公式；（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．根据b n＝B n﹣B n﹣1，数列{b n}满足．建立关系即可求解；②由，得，即．记，由①得，，由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．讨论整数成立情况即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．。
上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题(含答案)
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至第12题，每题5分，共54分）只要求直接填写结果，否则一律得零分．1、二项式()52x -的展开式中，3x 项的系数为 ．2、若{}1,2,3A =，{}3,5B =，用列举法表示{}2,A B a b a A b B *=-∈∈= ．3、已知b i +、()2,ai a b -∈R 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，则q = ．4、某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有 篇．5、设0,1a a >≠，行列式log 11201223a xD -=-中第3行第2列的元素的代数余子式记作y ，函数()y f x =的反函数经过点()1,2，则a = ．6、国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如右图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744， 也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，则n= （其中i 为虚数单位）． 7、在三棱锥D ABC -中，2A C BC ==3CD CD ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒．若其主视图、俯视图 如图所示，则其左视图的面积为 ．8、某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共 10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3） 各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为 ．9、已知()y f x =是周期为π的函数，且()sin ,0,2,,02x x f x x x ππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎤⎪-∈- ⎥⎪⎝⎦⎩，则方程()14f x =的解集为 ．10、若函数()()arcsin 1f x x =-的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函教的图像交于另外两点P 、Q ，O 是坐标原点，则()OP OQ OA +⋅= ．11、已知集合(){}22,1M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(),x y M ∈，均有(),x y M λμ∈，则称(),λμ是集合M 的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是 ． ①(){},1λμλμ+=； ②()22,143λμλμ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭； ③(){}22,2λμλμ-=； ④(){}2,4λμλμ=． 12、对任意x ∈R ，函数()f x 满足：()()()2112f x f x f x +-，()()2n a f n f n =-，数列{}n a 的前15项和3116-，数列{}n c 满足()12019nn n c c f ++=⎡⎤⎣⎦，若数列{}n c 的前n 项和的极限存在，则1c = ．二、选择题（每题5分，共20分） 13、cos cot 0θθ>，则角所在的象限是：（ ）A ．第二或第三象限B ．第一或第四象限C ．第三或第四象限D ．第一或第二象限14、如图，已知三棱锥P A BC -，PA ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．不能确定15、已知n ∈N ，x ∈R ，则函数()22lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图像是（ ）16、已知点P 为椭圆221916x y +=上的任意一点，点12,F F 分别为该椭圆的上下焦点，设1221,PF F PF F αβ=∠=∠，则sin sin αβ+的最大值为（ ）A 47 C ．98 D ．32三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．函数()()cos f x A x ωφ=+（0A >，0ω>，2πφ<）部分图像如图所示．（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()sin 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径．（1）若圆柱1OO 的体积V 为12π，2OA =，120AOP ∠=︒， 求异面直线1A B 与A P 所成的角（用反三角函数值表示结果）； （2）若圆柱1OO 的轴截面是边长为2的正方形，四面体1A A BP 的外接球为球G ，求,A B 两点在球G 上的球面距离．19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形 足球运动场地，如图所示，其中CD 是足球场地边线所在的 直线，球门AB 处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点P ）在运动场上观察球门的角APB ∠称为视角． （1）当运动员带球沿着边线1DD 奔跑时，设P 到底线的距离 为PD x =码，试求当x 为何值时APB ∠最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角APB ∠越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线 的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门 点，以AB 的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求 在球场区域11A DD A 内射门到球门AB 的最佳射门点的轨迹．20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知曲线C ()()2210x a y ax a -+->．（1）当12a =时，试确定曲线C 的形状及其焦点坐标； （2）若直线2:l y a =-交曲线C 于点M 、N ，线段M N 中点的横坐标为2-，试问此时曲线C 上是否存在不同的两点A 、B 关于直线l 对称？（3）当a 为大于1的常数时，设()11,P x y 是曲线C 上的一点，过点P作一条斜率为()2111a x y -的直线l ，又设d 为原点到直线l 的距离，12,r r 分别为点P 与曲线C 12r r d ⋅是一个定值，并求出该定值．21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的2,n n *∈N ≥恒成立，n S 为其前n 项的和，且484,36a S ==． （1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）数列{}n b 满足()12122321213212n n n k n k n n b a b a b a b a a --+-+++++=--，其中1,2,,,k n n *=∈N ．①证明：数列{}n b 为等比数列；②求集合()3,,,p m m p a a m p m p b b *⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ．参考答案一、填空题1、40-2、{}1,3±±3、54、185、26、1- 73 8、19339、()11arcsin 44x x k x k k ππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭Z 或 10、2 11、②③ 12、37二、选择题13、D 14、C 15、B 16、D 三、解答题17、（1）()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()g x 在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦33．18、（1）异面直线1A B 与A P 所成的角为23（2）,A B 两点在球G上的球面距离为R A GB ⋅∠．19、（1）()tan tan 3644tan tan 1tan tan 13644x x DPB DPAA PB DPB DPA x xDPB DPA -∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅ 28831115841584158424112x x x x x x===++⋅当且仅当1584x x=，即1211x =tan APB ∠311，又tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，∴当tan APB ∠取得最大值时，APB ∠最大，∴x =APB ∠取得最大值311； （2）过点P 作PE CD ⊥于E ，设点(),P x y ，其中0x >，440y <≤， ()tan tan 44tan tan 1tan tan 144x xEPB EPA y y A PB EPB EPA x xEPB EPA y y -∠-∠-+∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅-+()22222416881616162y xy x y y x x x x-===-+--+⋅， 当且仅当216y x x-=，即216x y =-时，tan APB ∠2416y -，此时轨迹方程为()2210,4401616y x x y -=><≤，其表示焦点为(0,42±，实轴长为8的等轴双曲线在0,440x y ><≤的一部分．20、（1）当12a =2211122x y x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，两边平方并化简得22134y x +=， ∴曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，其长半轴长为13，焦点坐标为1,02⎛⎫± ⎪⎝⎭； （2）将2:l y a =-代入()2222:110C a x y a -++-=，消去y ， 得()2223222420a x ax a --+-=224a=-，即2460a -=，解得2a =a =（舍），此时，:2l y =22:1C x y -=， 设:2A B l y x m =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，将A B l 代入22:1C x y -=，得222210x mx m -++=，则21244022m x x m⎧∆=->⎪⎨+=⎪⎩，,A B 的中点坐标为()2,m m -在对称轴l 上，∴222m m -=，解得2m =不满足0∆>，∴曲线C 上不存在不同的两点A 、B 关于直线l 对称；（3）222:11y C x a -=-，两焦点坐标为()1,0F a -、()2,0F a ，2211211y x a -=-，()()211111:a x l y y x x y --=-，即11211y yx x a -=-， ∴2222211121111a d x a x x a -===--+-，用(),x y --替换()()2210C x a y ax a -+=->中的(),x y ，可得()10C ax a =+>，∴2212111111r r ax ax a x ⋅=+⋅-=-，222212211111a d a x a a x -=-=--21、（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列满足44=a ，前8项和836=S 1134878362+=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩a d a d ，解得111=⎧∴⎨=⎩a d 所以数列{}n a 的通项公式为=n a n（2）①设数列{}n b 的前项和为n B ，由（1）及()()()*21212321nn k n k n k b a a n +-=+=-∈∑N 得()()()()212111212132123212(1)(2)nn k n k k n n k n k k b a n b a n n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑… 上两式相减，得到()()()11212231313213212-------=+++++n n n n n n b a b a b a b a n()1232251122----++++-n n n b a b a b a n ()()()1232251112222---⎡⎤=++++++++⎣⎦n n n n b a b a b a b a n()1232251122----++++-n n n b a b a b a n()()1212222-=+++++=-++n n n n n b b b b B b b所以()1*32222,-⋅=-+∈N …n n n B b n n 又()1113212-=+b a ，所以11=b ，满足上式 所以()1*2232--+=⋅∈N n n n B b n 当2≥n 时，2112232n n n B b ----+=⋅两式相减，得2132--+=⋅n n n b b ，()()12101122(1)20-----=--==--=n n n n n b b b所以112,2-+==n n n nb b b 所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列． ②由3=p m m p a a b b ，得11322--=m p m p ，即320p m p m-=>，∴p m >． 令p m n -=，显然*n ∈N ，此时320p m p m -=>变为332nm n m +=，即323n n m =-， 当1n =时，3m =-，不符题意；当2n =时，6m =，符合题意，此时8p =；当3n =时，95m =，不符题意； 当4n =时，1213m =，不符题意；当5n =时，1529m =，不符题意；下证当6n ≥，*n ∈N 时，方程3123n n<-：∵()()012221122nn n n n C C C n n =+≥++=++∴()()223321216410n n n n n n -+≥--=--≥⨯-> ∴233n n ->，显然230n ->，从而3123n n<- 当6n ≥，*n ∈N 时，方程323nnm =-没有正整数解． 综上所述：()(){}*3,|,,6,8p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ．。
上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题
2019年上海市交大附中高考数学一模试卷一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)1. 已知定义域为R的函数*(22,2],()21,055x k k k N f x x x ⎧∈-∈⎪=⎨-≤⎪⎩，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A. 7对B. 8对C. 9对D. 以上都不对 【答案】B【解析】解：当0x =时，1(5)f x =-，此时1(0,)5-关于原点对称的点1(0,)5此时与()f x 没有交点， 函数2155y x =-关于原点对称的函数为2155y x -=--，即2155y x =+，0x >， 若函数图象上关于原点对称的点，等价为当0x >时，()f x =2155y x =+，0x >的交点个数即可， 作出函数()f x 在0x >时的图象如图，由图象知，函数分别关于1,3,5,7,9x x x x x =====对称，且函数的最大值为3(2)1f k -=， 当21355x y +==时，得21455x =，即7x =， 故当0x >时，()f x =2155y x =+，0x >的交点个数有8个， 即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B ． 求出函数2155y x =-关于原点对称的函数为2155y x =+，0x >，利用数形结合判断当0x >时，()f x =2155y x =+，0x >的交点个数即可 本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合是解决本题的关键．2. 某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A. 8桶B. 9桶C. 10桶D. 11桶 【答案】B【解析】解：易得第一层有4碗，第二层最少有3碗，第三层最少有2碗，所以至少共有9个碗．故选：B ．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．3. 已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A.33()()f x f a a -≤+ B. 24()()f x f a a -≤+ C. ()()5f x f a a -≤+ D. 2|()()2|(1)f x f a a -≤+ 【答案】B【解析】解：∵1x a -≤，∴11a x a -≤≤+，∵()f x 是二次函数，∴()f x 在区间1,1[]a a -+上单调时，()()f x f a -取得最大值为|()(|1)f a f a +-或|()(|1)f a f a --， 而22()()()11313242())4f a f a a a a a a a +-+++--=+≤+=， 22|()()||()(11313||22||22|2|)2|f a f a a a a a a a a ---+---=--=+≤+=． ∴24()()f x f a a -≤+，故选：B ．结合二次函数的图象可知，当()f x 在区间1,1[]a a -+单调时，|()()|f x f a -的最大值为|()(|1)f a f a +-或|()(|1)f a f a --，从而得出结论．本题考查了二次函数的性质，利用函数的最值研究恒成立问题的思路，同时结合函数图象分析问题是关键．4. 若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A. [0,2]B. [0,2]C. 2,2]D. 2,2] 【答案】D【解析】解：∵2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，∴20a b a c b c c ⋅-⋅-⋅+≤，∴4a b a c b c ≥-⋅+⋅+⋅，∴222222244484a b c a b c a b a c b c +-=+++⋅-⋅-⋅≤++-=， ∴2a b c +-≤，又由0a b ⋅=，得：22a b +=， 故222a b c a b c +-≥+-=-，故a b c +-的取值范围是2,2]，故选：D ．由0a b ⋅=，得：22a b +=，故222a b c a b c +-≥+-=-，结合()()0a c b c -⋅-≤，得2a b c +-≤，进而得到答案．本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模，难度中档．二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5. 已知集合02{|}A x x =<≤，集合12{|}B x x =-<<，则A B =______．【答案】{x|-1<x ≤2}【解析】解：∵集合02{|}A x x =<≤ }，集合12{|}B x x =-<<，∴1|}2{A B x x =-<≤．故答案为：2{|}1x x -<≤．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．6. 若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则2z =______．【答案】25【解析】解：由43z i =+，得222431624972()4z i i i i =+=++=+，则272425z i =+==．故答案为：25．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．7. 函数4,(4)()(3)(4)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则[()]1f f -=______． 【答案】0【解析】解：12()())541(5f f f -===-=所以[()]()1140()f f f f -===故答案为0先根据函数的解析式求出1()f -的值，再求出[()]()1140()f f f f -===．求分段函数的值，关键是判断出自变量所属的范围，然后将自变量的值代入相应段的解析式求出值．8. 已知)in(1s 43πα-=，则)os(c 4πα-=______．【答案】【解析】解：∵)in(1s 43πα-=，∴cos 4(3)πα-==±．故答案为：3± 根据in 4(s )πα-的值，利用同角三角函数间的基本关系求出os 4(c )πα-的值即可． 此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9. 已知数列{}n a 的前n 项和为2*()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】*2)1(n n N +∈【解析】解：当2n ≥，且*n N ∈时，221()[()(2121)]n n n a S S n n n n -=-=+--+-22222)2(1n n n n n =+--++-21n =+，又211123S a ==+=，满足此通项公式，则数列{}n a 的通项公式*21()n a n n N =+∈． 故答案为：*2)1(n n N +∈由数列的前n 项和公式22n S n n =+，表示出当n 大于等于2时，前1n -项和1n S -，利用1n n n a S S -=-得出n 大于等于2时的通项公式，把1n =代入此通项公式检验也满足，故得到数列的通项公式． 此题考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式1n n n a S S -=-是解本题的关键，同时注意要把首项代入通项公式进行验证．10. 已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为______．【答案】[1,6]【解析】解：由约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩作出可行域如图，联立2224x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()2,0A ， 联立2241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得()0,1B ． 化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为1，当直线3y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为6．∴目标函数3z x y =+的取值范围为[1,6]．故答案为：[1,6]．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11. 已知函数sin 2cos ()(2,,0)f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图象关于直线6x π=对称，则直线20ax by ++=的倾斜角α=______． 【答案】23π【解析】解：∵函数 sin 2cos 2y a x b x =+(,a b 不全为0)的图象关于直线6x π=对称， 设sin θ=，cos θ=，∴sin 2cos 222)y a x b x x x =+=+(n 2)x θ=+， 当6x π=时，2,32()x k k Z ππθθπ+=+=+∈， ∴,32()6k k k Z πππθππ=-++=+∈，不妨取0k =时，得6θπ=；∴1sin 2θ==，cos θ==，解得a =1b =；∴直线l ：0ax by c ++=可化为：0y c ++=，它的斜率为k =∴倾斜角是23π； 故答案为：23π． 化简函数sin 2cos 2y a x b x =+为一个角的一个角的函数形式，利用6x π=是函数sin 2cos 2y a x b x=+图象的一条对称轴，求出,a b 的值，然后求直线l 的斜率与倾斜角．本题考查了三角函数与向量知识的综合应用问题，是综合题目．12. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90︒榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为______．(容器壁的厚度忽略不计)【答案】41π2=， ∴该球形容器的表面积的最小值为414414ππ⋅=． 故答案为41π2，即可求出该球形容器的表面积的最小值． 本题考查正棱柱的外接球，考查学生的计算能力，属于中档题．13. 已知232*012(1)(1)(1)(1)()n n n x x x x a a x a x a x n N ++++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么n 展开式中的常数项为______． 【答案】20 【解析】解：∵已知232*012(1)(1)(1)(1)()n n n x x x x a a x a x a x n N ++++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得210122(12)2222212612n nn n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n=的展开式的通项公式为316(1)r r r r T C x -+=⋅-⋅，令30r -=，求得3r =， 可得展开式中的常数项为3620C =，故答案为：20．由题意令1x =，可得4n =，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，二项展开式的通项公式，属于基础题．14. 已知正实数,x y 满足2342xy x y ++=，则54xy x y ++的最小值为______．【答案】55【解析】解：∵正实数,x y 满足2342xy x y ++=，∴42203x y x-=>+，0x >，解得021x <<． 则42216543423423[(3)]3133x xy x y x y x x x x -++=++=++=+++++33155≥⨯=，当且仅当1,10x y ==时取等号． ∴54xy x y ++的最小值为55．故答案为：55．正实数,x y 满足2342xy x y ++=，可得42203x y x-=>+，解得021x <<．则 42216543423423[(3)]3133x xy x y x y x x x x-++=++=++=+++++，再利用基本不等式的性质即可 得出．本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 已知等边ABC △的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式PA PB λ⋅=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是______． 【答案】1(,0]4-【解析】解：设02()PA x x =≤≤，则2PC x =-． ∴2x PB PA AB AC AB =+=-+， 又22cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=， ∴222211()224224()x x x x PA PB AC AC AB AC AB AC x x x λ=⋅=--+=-⋅=-=--． 令2(11(4))2f x x =--，则()f x 在1[0,]2上单调递减，在1(,2]2上单调递增， 且0(0)f =，()1124f =-，2(2)f =． ∵满足等式PA PB λ⋅=的点P 有两个，∴关于x 的方程()f x λ=在[0,2]上有两解，∴104λ-<≤． 故答案为：1(,0]4-． 设PA x =，得出式PA PB ⋅关于x 的函数，根据函数的单调性得出λ的范围．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．16. 过直线2l x y +=:上任意点P 向圆221C x y +=:作两条切线，切点分别为,A B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为______．【答案】[,2【解析】解：∵点P 为直线2l x y +=:上的任意一点，∴可设2(),P t t -，则过O A P B 、、、的圆的方程为222221()()[22()]24tt x y t t --+-=+-， 化简可得22()20x tx y t y -+--=，与已知圆的方程相减可得AB 的方程为21()tx t y +-=，由直线OP 的方程为(20)t x ty --=， 联立两直线方程可解得2244t x t t =-+，22244t y t t -=-+， 故线段AB 的中点222(,)244244t t Q t t t t --+-+， ∴点Q 到直线l的距离2122d t t ==--+， ∵222211)1(t t t -+=-+≥，∴210122t t <≤-+， ∴211022t t -≤-<-+，∴2112222t t ≤-<-+，∴21222t t ≤-<-+[,2d ∈故答案为：[,2设2(),P t t -，可得过O A P B 、、、的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB 的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q 的坐标，由点Q 到直线的距离公式和不等式的性质可得．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)17. 在ABC △中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，已知cos 23co 1)s(A B C -+=．(1)求角A 的值；(2)若2a =，求ABC △周长的取值范围．【答案】解：(1)ABC △中，cos 23co 1)s(A B C -+=，22cos 13()(co )s 1A A --⋅-=，22cos 3cos 20A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 2A =- (不合题意，舍去)， ∴1cos 2A =，3A π=； (2) 2a =，3A π=，由正弦定理可得sin sin sin b c a B C A ====；∴b B =，c C =，∴2s n sin )i a b c B C ++=+22sin()sin 3(]C C π=+-+32)s sin 2C C =++24sin 6()C π=++， ∵203C π<<， ∴5666C πππ<+<， ∴1si 1n 6(2)C π+≤<， 24sin 6()4C π+≤<， 则(4664sin )2C π<+≤+，即46a b c <++≤，∴ABC △的周长的取值范围是(4,6]．【解析】(1)根据二倍角公式化简求解即可求出角A 的大小；(2)由正弦定理求得b c 、的值，再利用三角恒等变换计算a b c ++的取值范围．本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的单调性应用问题，是中档题．18. 在如图所示的组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A B 、重合的一个点．(Ⅰ)若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1AC 与1AB 的所成角的大小；(Ⅱ)当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．【答案】解：(Ⅰ)如图，取BC 的中点D ，连接,OD AD ，则1OD AC ∕∕，∴AOD ∠ (或其补角)为异面直线1AC 与1AB 的所成角，设正方形的边长为2，则A O D △中，112OD AC ==，AO AD =，∴352cos AOD+-∠==∴AOD∠=；(Ⅱ)设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧AB的中点时，AB BC==，111212))33A BCC BV h r h-=⋅⋅⋅=，2V r hπ=圆柱，∴111:2:3A BCC BVVπ-=圆柱．【解析】(Ⅰ)取BC的中点D，连接,OD AD，则1OD AC∕∕，AOD∠(或其补角)为异面直线1AC与1AB的所成角，利用余弦定理，可求异面直线1AC与1AB的所成角的大小；(II)设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧弧AB的中点时，求出三棱柱111ABC A B C-的体积，求出三棱锥1A ABC-的体积为，从而求出四棱锥111A BCC B-的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥111A BCC B-与圆柱的体积比．本小题主要考查直线与直线的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．19. 一个创业青年租用一块边长为4百米的等边ABC△田地(如图)养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路,MN AP，其中,M N分别为,AC BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O(O与M N、不重合)处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，,A N为出入口(小路的宽度不计)．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．(1)若拟修的小路AOON段的建造费用；(2)设BAPθ∠=，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．【答案】解：(1)在AOM △中，2222cos AO AMOM AM OM AMO =+-⋅∠，∴222222cos 3AMAM π=+-， 化简得：2230AM AM +-=， ∵0AM >，∴1AM =，则211ON MN AM =-=-=，313⨯=，答：小路ON 段的建造费用为3万元．(2)由正弦定理得：sin sin sin()33AM AO OM θθ==-，则AO =OM =，∴sin sin 2sin sin ON MN AM θθθθθθ-=-=-=， 设小路AO 段与ON 段的建造总费用为()f θ，则9sin ()43sin f AO ON θθθθ-+=+=，63ππθ<<，∴2'()sin f θθθ=， 若0θ满足03cosθ=，且0ππθ<<，列表如下： 则当0θθ=时，()f θ有极小值，此时也是()f θ的最小值，∴03cos cos 4θθ==， 答：当3cos 4θ=，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．【解析】(1)根据余弦定理求出AM ，即可求出211ON MN AM =-=-=，即可求出小路ON 段的建造费用；(2)由正弦定理可得则AO =OM =，sin sin 2sin sin ON MN AM θθθθθθ-=-=-=，即可表示出9sin ()43sin f AO ON θθθθ-+=+=，根据导数和函数最值得关系即可求出小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求出函数解析式和运用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．20. 过抛物线22C y px =:(其中0p >)的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，且A B 、两点的纵坐标之积为16-．(1)求抛物线C 的方程；(2)当AF BF ≠时，求OF OFAF BF +的值；(3)对于x 轴上给定的点0(),D n (其中2n >)，若过点D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点．【答案】解：(1)过抛物线22C y px =:(其中0p >)的焦点(,0)2P F 的直线 为2x P my =+，代入抛物线方程，可得2220y pmy p --=， 可设1122,,()(),A x y B x y ，即有21216y y p =-=-，解得4p =，可得抛物线的方程为28y x =；(2)由直线AB 过抛物线的焦点F ，可设12, ,,()()A B ρθρπθ+， 由1cos p ρθ=-，可得111cos 1cos 212AF BF p p p θθ-++=+==， 可得212OF OFp AF BF p+=⋅=； (3)证明：设121()8,A y y ，222()8,y B y ，,()2P s -， 由,0 ,(),,D n B D P 三点共线可得22228s n n y y =---，可得2228(2)8n s ny y --=-，① 设AP 交x 轴上的点为(),0t ， 即有211112288s y y y t y -=---， 代入①，结合1216y y =-，可得1222118(8)8y n n y y y t =--， 即有222211121()86488256ny nt ny y y ny -=-=-， 可得4t n=． 即有直线AP 与x 轴交于一定点4(,0)n ．【解析】(1)设直线AB 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，可得4p =，即有抛物线方程；(2)推得112AF BF p+=，即可得到所求值； (3) 设121()8,A y y ，222()8,y B y ，,()2P s -，运用三点共线的条件：斜率相等，可得s ，设AP 交x 轴上的点为(),0t ，运用韦达定理，化简整理可得所求定点．本题考查直线和抛物线的位置关系，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于难题．21. 已知数列{}n a 为等比数列，11a =，公比为,n q S 为数列{}n a 的前n 项和．(1)若3520a a +=，求84S S ； (2)若调换567a a a 、、的顺序后能构成一个等差数列，求q 的所有可能值；(3)是否存在正常数c q 、，使得对任意正整数n ，不等式2n n S S c>-总成立？若存在，求出q 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)因为数列{}n a 为等比数列，11a =，公比为q ，且351,20q a a ≠+=，所以2420q q +=，解得24q = (5-舍去)， 则8484411111617S q qq S =+=+-=-=； (2)若调换567,,a a a 的顺序后能构成一个等差数列，即若调换456,,q q q 的顺序后能构成一个等差数列，由等差数列的性质可得212q q +=或212q q +=或22q q +=，解得1q =或12-或2-； (3)假设存在正常数,c q ，使得对任意正整数n ， 不等式2n n S S c>-总成立． 由2n n S S c >-，即为20n n S S c c-<-，等价为2n c S c <<，若1q =，可得2c n c <<，不成立；由11,0,1n n a a S =>≥，可得1c <，当1q >时，222S c >>不可能成立； 当112q <<时，121nq q->-可得21n q q <-， 即(log 21)q n q >-， 由112q <<，可得(og 1)l 21q q ->， 即当2(log 21,)2q n q S >->，所以2n S c <不可能成立； 当12q =时，11()22112nc -<-， 即11()2n c -<，可得1()12n c >-， 即当12(l g )o 1n c >-时，2nS c <不成立； 当102q <<时，1111n n q S q q-=<--， 所以当112(1)c q <<-时，2n c S c <<恒成立， 综上可得，存在正常数,c q ，使得对任意正整数n ， 不等式2n n S S c>-总成立， 且q 的取值范围是(10,2)． 【解析】(1)运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，求和公式计算即可得到所求值；(2)由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程即可得到所求值；(3)假设存在正常数,c q ，使得对任意正整数n ，不等式2n n S S c>-总成立．由不等式2n n S S c >-，即为20n n S S c c-<-，等价为2n c S c <<，讨论公比q ，结合题意，推得存在，求得q 的范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查存在性问题的解法，以及分类讨论思想方法，化简整理和推理能力，属于难题．。
上海交大附中高三(上)摸底数学试卷(解析版)
上海交大附中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1．已知全集U=R，集合A={x|x≤﹣2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（∁U A）∩B={x|﹣2＜x＜1}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≤﹣2}，∴∁U A={x|x＞﹣2}，∵B={x|x＜1}，∴（∁U A）∩B={x|﹣2＜x＜1}．故答案为：{x|﹣2＜x＜1}【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．【考点】集合的相等．【专题】集合．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．3．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先由二次不等式的解集形式，判断出，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及“三个二次”（三个二次指的是：二次函数，一元二次不等式，一元二次方程）之间的关系，“三个二次”之间的关系及应用是数形结合思想的典型代表．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S20=30，则S30=60．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由给出的数列是等差数列，可知数列的第一个10项和，第二个10项和，…仍然构成等差数列，结合S10=10，S20=30，列式求解S30的值．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，则S10，S20﹣S10，S30﹣S20仍然构成等差数列，由S10=10，S20=30，得2×20=10+S30﹣30，∴S30=60．故答案为：60．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，关键是对性质的理解与运用，是中档题．5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=2b2，则=．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理代入进行化简即可．【解答】解：∵c（acosB﹣bcosA）=2b2，∴由余弦定理可得ac•﹣bc•=2b2，即a2+c2﹣b2﹣b2﹣c2+a2=4b2，即a2=3b2，则a=b，∴=．再利用正弦定理可得=，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，比较基础．要求熟练掌握相应的公式．6．若点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，则y0的取值范围是（3，+∞）．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】由不等式与平面区域的关系可得y0的不等式，解不等式可得．【解答】解：∵点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，∴（2﹣2×3+5）（1﹣2y0+5）＜0，解得y0＞3故答案为：（3，+∞）【点评】本题考查不等式与平面区域，属基础题．7．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】掷一枚硬币，正面向上的概率是，将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，相当于做了三次独立重复试验，利用独立重复试验的概率公式写出结果．【解答】解：由题意知掷一枚硬币，正面向上的概率是，将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，相当于做了三次独立重复试验，∴恰好出现一次正面的概率是故答案为：【点评】本题考查独立重复试验的概率公式，解题的关键是看出试验符合什么条件，注意应用概率的公式，本题是一个基础题．8．已知b∈R，若（1+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】通过化简可知（1+bi）（2﹣i）=（2+b）+（2b﹣1）i，利用纯虚数的定义计算即可．【解答】解：∵（1+bi）（2﹣i）=（2+b）+（2b﹣1）i为纯虚数，∴，解得b=﹣2，∴|1+bi|===，故答案为：．【点评】本题考查复数求模，弄清纯虚数的概念是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．9．已知，且x+2y=1，则的最小值是．【考点】两向量的和或差的模的最值．【专题】计算题．【分析】根据要求的向量可以表示成两个向量的和的形式，把两个向量的系数用一个字母来表示，求向量的模长，利用二次函数的最值，做出结果．【解答】解：∵x+2y=1∴•===84y2﹣72y+16∴当y=时，原式=，故答案为：，【点评】本题考查向量的模长的最值，本题解题的关键是表示出向量的模长，再用函数求最值的方法来求解，这是这一类题目共同的特征．10．已知一圆锥的底面是半径为1cm的圆，若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积是cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中，圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的3倍，分析圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答．【解答】解：∵圆锥的底面半径r=1cm，侧面积是底面积的3倍，∴圆锥的母线长l=3cm，故圆锥的高h==2cm，故圆锥的体积V=Sh=πr2•h==cm3，故答案为：．【点评】本题考查的是圆锥的体积求解问题．在解答的过程当中充分体现了圆锥体积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．11．抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线与该抛物线相交于A，B两点，直线AF，BF 分别交抛物线于点C，D．若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则=．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设AF的方程是y=（x﹣1），与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∴AF的方程是y=（x﹣1）设k0=，则AF：y=k0（x﹣1），与抛物线方程联立，可得k02x2﹣（2k02+4）x+k02=0，利用韦达定理x3x1=1∴x3=，∴y3=k0（x3﹣1）=﹣即C（，﹣）同理D（，﹣）∴k2==2k1，∴=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b=5．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为定义域和值域都是[a，b]，说明函数最大值和最小值分别是a和b，所以根据对称轴进行分类讨论即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4=+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：①当b＜2时，函数在区间[a，b]上递减，又∵值域也是[a，b]，∴得方程组即，两式相减得（a+b）（a﹣b）﹣3（a﹣b）=b﹣a，又∵a≠b，∴a+b=，由，得3a2﹣8a+4=0，∴a=∴b=2，但f（2）=1≠，故舍去．②当a＜2＜b时，得f（2）=1=a，又∵f（1）=＜2，∴f（b）=b，得，∴b=（舍）或b=4，∴a+b=5③当a＞2时，函数在区间[a，b]上递增，又∵值域是[a，b]，∴得方程组，即a，b是方程x2﹣3x+4=x的两根，即a，b是方程3x2﹣16x+16=0的两根，∴，但a＞2，故应舍去．故答案为：5【点评】本题考查了二次函数的单调区间以及最值问题，属于基础题．13．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列说法（1）y=f（x）的最大值为；（2）y=f（x）是以π为最小正周期的函数；（3）y=f（x）在区间（，）上单调递减；（4）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是（1）（2）（3）．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），由三角函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：化简可得f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+）=cos（2x+﹣）+cos（2x+）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x++）=sin（2x+）∴函数f（x）的最大值为，（1）正确；函数的周期T==π，（2）正确；由2kπ+＜2x+＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，当k=0时可得函数y=f（x）在区间（，）上单调递减，（3）正确；（4）y=cos2x的图象向左平移个单位后，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）≠sin（2x+），错误；综上可知（1）（2）（3）正确，故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及两角和与差的三角函数公式和诱导公式，属中档题．14．定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；④为函数f（x）=x2的一个承托函数．其中正确的命题有①③．【考点】函数最值的应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）①举例可以说明，如f（x）=cosx，则g（x）=B （B＜﹣1）就是它的一个承托函数，且有无数个，反例如y=tanx或y=lgx就没有承托函数；②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；③要说明g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；即证明F（x）=e x﹣2x 的图象恒在x轴上方；④举反例即可．【解答】解：①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确；②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；③令F（x）═|3x|﹣2x=，可见在x≥0时，函数F（x）单调递增，最小值F（0）=0，在x＜0时，函数F（x）单调递减，最小值大于F（0）=0，∴F（x）≥0在R上恒成立，符合定义∴命题③正确；④x=1时，g（1）=，f（1）=1，显然g（1）＜f（1），当x=时，g（）=，f（）=，显然g（）＞f（），命题④不正确．故答案为：①③【点评】本题是新定义题，考查对题意的理解和转化的能力，要说明一个命题是正确的，必须给出证明，如③，对于存在性命题的探讨，只需举例说明即可，如①，对于不正确的命题，举反例即可，如②③，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15．在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3项的系数为（）A．210 B．120 C．80 D．60【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求得（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3 的项，可得含x4y3项的系数．【解答】解：在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3 的项为•x3••2•y3=120x4y3，故含x4y3项的系数为120，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足=0，则△ABC一定是（）A．等腰非等边三角形 B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】高阶矩阵．【专题】选作题；矩阵和变换．【分析】方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，配方可得结论．【解答】解：方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，所以a=b=c，故选：B．【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．17．甲乙两人进行相棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是（）A．0.6 B．0.8 C．0.2 D．0.4【考点】概率的基本性质．【专题】计算题．【分析】欲求甲不输的概率，利用等量关系：甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，把相关数值代入即可求解．【解答】解，根据题意，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2所以甲不输的概率为0.4+0.2=0.6．故选A．【点评】本题考查了等可能事件的概率，解答本题的关键是要判断出“甲获胜的概率，和棋的概率和乙获胜的概率的和是1”．18．圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心坐标是（）A．（1，）B．（，）C．（，）D．（2，）【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用化为直角坐标方程，进而得出．【解答】解：圆ρ=（cosθ+sinθ）即（cosθ+sinθ），∴，化为．∴圆心坐标是，∴=1，θ=arctan1=．极坐标为．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，属于基础题．三．解答题（本大题共五题，满分74分，12+14+14+16+18=74）19．已知角α的终边经过点P（，﹣）．（1）求sinα的值．（2）求式•的值．【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．【解答】解：（1）∵|OP|=，∴点P在单位圆上．由正弦函数的定义得sinα=﹣（2）原式==..由余弦的定义可知，cosα=即所求式的值为【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，推理能力，是基础题．20．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（﹣）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．（1）证明：AB1⊥BC1；（2）求点B到平面AB1C1的距离；（3）求二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【专题】综合题．【分析】（1）以C点为坐标原点，CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出AB1与BC1的方向向量，代入数量积公式，得到其数量积为0，即可得到AB1⊥BC1；（2）求出平面AB1C1的一个法向量，则AB的方向向量，代入到公式，即可求出点B到平面AB1C1的距离；（3）结合（2）的结合，再求出平面AB1A1的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．【解答】证明：（1）如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，题意A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2）．∵，∴∴AB1⊥BC1解：（2）设的一个法向量，由得令∵，∴点B到平面AB1C1的距离．（3）解设是平面A1AB1的一个法向量由∴令∵，∴二面角C1﹣AB﹣A1的大小为60°．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到面的距离，异面直线的夹角，其中建立适当的空间坐标系，将问题转化为向量夹角及向量长度问题是解答本题的关键．22．已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积S ABCD的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）设椭圆E的标准方程为，由已知|PF1|+|PF2|=4，，由此能求出椭圆E的标准方程．（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，S△ABCD=4S△OAB，设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用弦长公式能求出S△BCD的最大值．【解答】解：（I ）设椭圆E 的标准方程为，由已知|PF 1|+|PF 2|=4，得2a=4，∴a=2，…又点P （1，）在椭圆上，∴，∴b=， 椭圆E 的标准方程为=1．…（II ）由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形，∴S ▱ABCD =4S △OAB ，设直线AB 的方程为x=my ﹣1，且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，得（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0， ∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣，… S △OAB =+=|OF 1||y 1﹣y 2|= ==6，…令m 2+1=t ，则t ≥1，S △OAB =6=6，…又∵g （t ）=9t+在[1，+∞）上单调递增 ∴g （t ）≥g （1）=10，∴S △OAB 的最大值为．∴S ▱ABCD 的最大值为6．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．23．给定数列{c n }，如果存在常数p 、q 使得c n+1=pc n +q 对任意n ∈N *都成立，则称{c n }为“M 类数列”． （1）若{a n }是公差为d 的等差数列，判断{a n }是否为“M 类数列”，并说明理由；（2）若{a n }是“M 类数列”且满足：a 1=2，a n +a n+1=3•2n ．①求a 2、a 3的值及{a n }的通项公式；②设数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，且集合M={n|≥λ，n ∈N *}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．【考点】数列的应用．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过a n+1=a n +d 与c n+1=pc n +q 比较可知p=1、q=d ，进而可得结论；（2）①通过a 1=2、a n +a n+1=3•2n 计算出a 2、a 3的值，进而利用数列{a n }是“M 类数列”代入计算可知数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，计算可得结论；②通过①可知2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，利用2b n =（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）计算可知b n =2n ﹣1，从而M={n|≥λ，n ∈N *}，分别计算出当n=1、2、3时λ的值，进而可得结论．【解答】（1）结论：公差为d 的等差数列是“M 类数列”．理由如下：∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，∴a n+1=a n +d ，此时p=1、q=d ，即公差为d 的等差数列是“M 类数列”；（2）①∵a 1=2，a n +a n+1=3•2n ，∴a 2=3•2﹣a 1=4， =8，又∵数列{a n }是“M 类数列”，∴，即，解得：p=2，q=0，即a n+1=2a n ， 又∵a 1=2，∴数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，∴数列{a n }的通项公式a n =2n ； ②由①可知a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，即2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，∴2b n ﹣1+22b n ﹣2+23b n ﹣3+…+2n ﹣1b 1=3•2n ﹣4（n ﹣1）﹣6=3•2n ﹣4n ﹣2，∴22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1=3•2n+1﹣8n ﹣4，∴2b n =（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）=（3•2n+1﹣4n ﹣6）﹣（3•2n+1﹣8n ﹣4）=4n ﹣2，即b n =2n ﹣1，∴集合M={n|≥λ，n ∈N *}={n|≥λ，n ∈N *}，当n=1时，λ≤=；当n=2时，λ≤=；当n=3时，λ≤=；当n ≥4时，λ≤=；又∵集合M={n|≥λ，n ∈N *}中有且仅有3个元素，∴＜λ≤，故实数λ的取值范围是（，]．【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．。
上海市交大附中2019届高三数学一模试题(含解析)
上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A. 7对B. 8对C. 9对D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】求出函数y x关于原点对称的函数为y x，x＞0，利用数形结合判断当x＞0时，f （x）＝3与y x，x＞0的交点个数即可【详解】当时，，此时关于原点对称的点此时与没有交点，函数关于原点对称的函数为，即，，若函数图象上存在关于原点对称的点，等价为当时，与，的交点个数即可，作出函数在时的图象如图，由图象知，函数分别关于对称，且函数的最大值为，当时，得，即，故当时，与，的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合，是中档题2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A. 8桶B. 9桶C. 10桶D. 11桶【答案】B【解析】【分析】主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形【详解】易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。
故选【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。
3.已知，若，则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先令a=0,排除A，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B成立【详解】令a=0，则，即-1≤x≤1,≤4,此时A,C,D不成立，下面证明选项B成立=≤≤=≤≤故选：B．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．4.若，且，，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】如图所示：，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离。
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1、填写信息、稳定情绪
试卷一发下来，立即忙于答题是不科学的，应先填写信息。
如本
答题卡上涂清“试卷类型”写清姓名和准考证号等，这样做不但是考
试的要求，更是一剂稳定情绪的良药。
2、总览全卷，区别难易。
打开试卷后，看看哪些是基础题，哪些是中档题，哪些是难题或
压轴题，按先易后难的原则，确定解题顺序，逐题进行解答。
力争做
到“巧做低档，题全做对；稳做中档题，一分不浪费，尽力冲击高档题，做错也无悔。
”
3、认真审题灵活作答
审题要做到：一不漏掉题，二不看错题，三要审准题，四要看全
题目的条件和结论。
要遵循“审题要慢，做题要快”的原则。
坚决避
免因审题不清或审题时走马观花，粗心大意造成失分现象。
如《父辈》看成《父亲》要求介绍漫画，应该是说明文，写成了记叙文。
4、过程清晰，稳中求快，要注意“三要”
①要书写清晰，卷面整洁。
特别是数学、理综解题过程要力求完整。
我们提的口号是“争取多写一步”。
文科作文和文综要注意卷面整洁。
②一次成功。
要提高第一次做题的成功率，不要认为反正还得检
查而粗枝大叶。
即使查出错误再去纠正，在时间上也是不合算的。
③科学地使用草稿纸。
利用草稿纸也有学问，利用好了能帮助思考，节省时间，储存记忆；反之就要扰乱思维，浪费时间。
使用的方法不应该是先正中间写
一写，然后边缘，拐解，最后填空，结果自己都很难看清。
而应该是：一卷面上不写解答过程的题，把过程在草稿纸上演算，标上题号以便
检查时用；二是卷面要求写解答过程的题，如果思路很清楚就直接写
在卷面上，不必在草稿纸上写一遍又抄一遍，要在草稿纸上标出记号。
四折叠草稿纸也是一种方法。
5、注重策略，减少失误。
①答题顺序策略。
做题是按顺序做还是先易后难做，科学的方法是按顺序做与先易
后难相结合。
先把自己有把握的题一次性做好，再逐一攻克难度较大
的题。
如文综卷，按顺序仍然是先做容易基础题，先易后难，但由于
地理一般给一个空间概念，历史给一个时间线索，政治给予认识，评
价等。
如果有的同学看了材料分析后做政治评价比较容易，也可以先
做政治题。
也就是说你不一定按照试卷的顺序答，可以灵活处理，但
是必须坚持一个原则“先易后难”。
正象一个饿汉赶火车，火车马上要开，又点了一桌菜，怎么吃？“先吃豆腐红烧肉，再吃牛肉过油肉，
第三排骨香酥鸡，最后螃蟹清蒸鱼”。
②时间分配讲策略。
如果答题过程，时间分配不合理，极易导致发生失误。
有人开始
过于紧张，盲目抢速度，思维展不开，能力和水平发挥不出来；有人
开始缺乏时间观，或慢条斯理地答题，或着眼于局部，被某道题缠住
无法脱身，或对某道题很有把握，在它上面费了好多心思，期望做得
尽善尽美，等到觉醒时，时间已过大半，慌忙中只好加快速度，慌中
添乱，忙中出错，结果降低了正确率；有人做题时浅尝辄止，粗略一
看感觉不会就轻易放弃，结果拉下了一大片的题没有做，引起心理极
度恐慌；有人太“贪心”，不论会不会，从头到尾把每个题动笔做一做，结果是每个题都做了，但出错太多。
正确的做法是稳扎稳打，准确快速解题，力争动笔就要得分，凡
是会做的题，确保一遍成功。
③对待难题、易题讲策略。
（综合最忌讳：东一榔头西一棒槌）
实际上，考生之间拉开距离的并不是难题，而是易题。
因为难题
对绝大多数考生而言，得分的可能性较少，你难我也难；但在简单题
目上，你错别人不错，你失分多，别人失分少，自然你的得分比别人
少。
所以对于中低档题，要竭尽全力，确保得全分得高分，对于难题
不要心存畏惧，尽力去做，但也不要纠缠不休，要敢于暂时放弃，去
做后面的题，后面的题不一定是难题。
失去有时就是拥有，放弃局部，
实际上就是为了获得整体。
难易题不是绝对的，比如数学最后一道题一般是压轴题，是难题，
但正好你做过或比较熟悉，那么对于你来讲，它就是易题应先拿上。
政治难题中如果是主观题，要尽量写上几句，要么与书本相关的书本
知识和时政知识写一点，要么把题目材料抄一些，或者把题目材料“翻译”，整理成自己的语言，组成一个“形似”完整的答案。
上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题
一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)
1.已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有( )
A. 7对
B. 8对
C. 9对
D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数y x关于原点对称的函数为y x，x＞0，利用数形结合判断当x＞0时，f （x）＝3与y x，x＞0的交点个数即可
【详解】当时，，此时关于原点对称的点此时与没有交点，函数关于原点对称的函数为，即，，
若函数图象上存在关于原点对称的点，
等价为当时，与，的交点个数即可，
作出函数在时的图象如图，由图象知，函数分别关于对称，且函数的最大值为，
当时，得，即，
故当时，与，的交点个数有8个，
即函数图象上关于原点对称的点有8对，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题
的关键．注意利用数形结合，是中档题
2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉
方便面至少有( )
A. 8桶
B. 9桶
C. 10桶
D. 11桶【答案】B
【解析】
【分析】
主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形
【详解】易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。
故选
【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，
左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。
3.已知，若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先令a=0,排除A，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B成立
【详解】令a=0，则，即-1≤x≤1,≤4,此时A,C,D不成立，下面证明选项B成立
=≤≤=≤≤
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确
推理计算是关键，是基础题．
4.若，且，，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
如图所示：，，，
∵，∴点C在劣弧AB上运动，。