空间解析几何(李养成,郭瑞芝编著)思维导图
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空间解析几何,李养成(新版),第一章_第二节
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 x ,y ,z . 1+ 1+ 1+
特别地，当λ=1时， 即坐标中点公式.
例1.2.1 已知三角形三顶点 P i xi , yi , zi ) i , 求 PP 1 2P 3 的重心的坐标. 解 如图所示，设 PP 1 2P 3 的三条中线为 PM i i , 其 i ， 三条中 M 中顶点 Pi 所对的对边上的中点为 i 线的公共点为 G(x,y,z ) . 可得 PG =GM. 即重心G 将P 1M 1分成定比 2.
约定：当分母为零时，分子亦为零.
证明: 据定理1.1.3，向量 v1 ,v2 共线的充要条件是其中 一个向量可用另一个向量来线性表示，不妨设 v1 =v2 ，
于是
(X1 ,Y1 , Z1 ) ( X 2 ,Y2 , Z2 ) ( X 2 , Y2 , Z2 ),
由此得到 X 1 X 2 ,Y1 Y2 , Z1 Z2 ，
X 1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z 2 =0. X 3 Y3 Z 3
证明: 三个向量 v1, v2 , v3 共面的充要条件是 即存在不全为0的实数 , , 使得 v1 v2 v3 0.
由此可得到
X 1 X 2 X 3 0, Y1 Y2 Y3 0, Z Z Z 0. 2 3 1
因为 M 1 为 P2 P3 的中点，
x2 x3 y2 y3 z2 z3 所以 M 1 2 , 2 , 2 .
据定比分点公式，得G的坐标
x2 x3 x1 +2 1 1 1 2 x = (x1 +x2 +x3 ), y (y1 +y2 +y3 ), z (z1 +z2 +z3 ). 1 2 3 3 3 x1 +x2 +x3 y1 +y2 +y3 z1 +z2 +z3 PP P , , . 所以 1 2 3 的重心为 G 3 3 3
特别地，当λ=1时， 即坐标中点公式.
例1.2.1 已知三角形三顶点 P i xi , yi , zi ) i , 求 PP 1 2P 3 的重心的坐标. 解 如图所示，设 PP 1 2P 3 的三条中线为 PM i i , 其 i ， 三条中 M 中顶点 Pi 所对的对边上的中点为 i 线的公共点为 G(x,y,z ) . 可得 PG =GM. 即重心G 将P 1M 1分成定比 2.
约定：当分母为零时，分子亦为零.
证明: 据定理1.1.3，向量 v1 ,v2 共线的充要条件是其中 一个向量可用另一个向量来线性表示，不妨设 v1 =v2 ，
于是
(X1 ,Y1 , Z1 ) ( X 2 ,Y2 , Z2 ) ( X 2 , Y2 , Z2 ),
由此得到 X 1 X 2 ,Y1 Y2 , Z1 Z2 ，
X 1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z 2 =0. X 3 Y3 Z 3
证明: 三个向量 v1, v2 , v3 共面的充要条件是 即存在不全为0的实数 , , 使得 v1 v2 v3 0.
由此可得到
X 1 X 2 X 3 0, Y1 Y2 Y3 0, Z Z Z 0. 2 3 1
因为 M 1 为 P2 P3 的中点，
x2 x3 y2 y3 z2 z3 所以 M 1 2 , 2 , 2 .
据定比分点公式，得G的坐标
x2 x3 x1 +2 1 1 1 2 x = (x1 +x2 +x3 ), y (y1 +y2 +y3 ), z (z1 +z2 +z3 ). 1 2 3 3 3 x1 +x2 +x3 y1 +y2 +y3 z1 +z2 +z3 PP P , , . 所以 1 2 3 的重心为 G 3 3 3
第三章_第一节 空间解析几何,李养成(新版),
它们的图像都是一条直线，z轴！
x y z a , 例3.1.4 讨论方程组 a 的图像. x y ax
x y z a 解：方程组的图像是球面 a a 与母线平行于z轴的圆柱面 x y 的交线
F x, y, z , G x, y, z
称为空间曲线的一般方程 注： (1)表示同一条曲线的方程不唯一。 (2)曲线上点的坐标都满足方程，
z
S1 S2
o
C
y
满足方程的点都在曲线上， x试考察方程
第3章 常见的曲面
本章在初步介绍空间图形与方程之间的一般关系 后，对柱面、锥面、旋转曲面以及二次曲面(包括椭球 面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛 物面)进行讨论.
对于前三种曲面具有明显的几何特征,我们着重从 这些曲面的几何特性来建立它们的方程.
对于五种二次曲面，我们则从曲面的标准方程出 发来讨论它们的几何性质, 描述它们的几何形状.
z
点P 在该圆锥面上
L
cos OP, k cos
OP k OP k
cos
y
x
x y tan z , 整理得二次齐次方程
圆锥面的坐标式方程
习题8（1） 已知圆锥面的顶点为P0 (1, 2,3)，轴垂直于 平面 x y z ，半顶角为 ,求这圆锥面的 方程. 解 圆锥面的轴过点 P0 , 方向向量 v 2,2, 1.
特别地,当 C0 是原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
C0
空间解析几何,李养成(新版),第一章_第六节
提示:
(e1 , e1 , e2 ) 0
b e1 , e ,e . c
(1.6.1)
b, c . 由此可见，只要知道 e1, e2 , e3 , 就可以由坐标算出 a,
命题1.6.4 设向量 a, b, c 在仿射坐标系 O; e1 , e2 , e3 中的 坐标分别为 a , a , a , b ,b ,b , c ,c ,c ，则a, b, c 共面的 充要条件是 a a a b b b . c c c
由于d 是任取的，所以有 a+ b c = a c + b c.
2.混合积的坐标运算 取仿射坐标系O; e1 , e2 , e3 . 设向量 a, b, c 的坐标分别为 a , a , a , b ,b ,b , c ,c ,c .
利用向量形式表示各向量，得 a b c = ab ab e1 e2 ab ab e e
D
A
B
C
S AB AC 3V 所以从顶点 D 所引的高的长度 h 11
S
例1.6.3 证明：对任意四个向量 a,b,c,d，有
a b c d
a c a d bc bd
+ ab ab e e ce1 c e ce a a a b b c b a a a b c b c a a c b b a c e1 e e b
在直角坐标系下，向量的混合积有更简单的形式.
a,b,c
X
Y
Z Z . Z
X Y X Y
X1
证明： 由于(a, b, c ) X 2
第6章空间解析几何
为
a
与
b
的夹角)
c 的方向既垂直于
a ，又垂直于
b ，指向符
合右手系.
关于向量积的说明：
(1 )a a 0 . ( 0 si n 0 )
(2)a//b a b 0 . (a 0 ,b 0 )
向量积符合下列运算规律：
设 OPxi OQ yj ORzk
则 rxiyjzk
结论：点M r O M x i y j zk （x,y,z）
rxiyjzk 坐标分解式
rx,y,z 坐标表示式
x,y,z称为 r 在三个坐标轴上的分量；
x i y j z k 称为分向量。
xiyjzkx,y,z
两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
定义
向量a
与b
的数量积为a
b
ab |a||b|cos((a,b)).
a b |a |b ||cos b
|b |c o P j s a b ,r
a
|a |c o P s jb a ,r
OM1 1OAOB
O M x1 1 x2,y1 1 y2,z1 1 z2 即M坐标
一、方向角和方向余弦
1、夹角
设有非零向量 a ，b 。任取空间一点O，作
OA a，OB b ，规定不超过 的AOB
称为 a 与 b 的夹角。 (a ,b )(b,a)
说明 r 的坐标与原点O的位置无关，只与单位
向量 i j k 有关。
二、向量的线性运算
设 aax,ay,az bbx,by,bz
则 a b axb x,ayb y,azb z
空间解析几何28965-PPT文档资料25页
§7．7 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
空间解析几何,李养成(新版),第二章_第二节
x 3y z 0, 例2.2.3 求与直线 l0 : 平行且与下列两 x y z 4 0
l1 : x x1 y y1 z z1 ， X1 Y1 Z1 x x2 y y2 z z2 l2 : . X2 Y2 Z2
l1 与 l2 的相关 从图上易见， 两直线 位置 取决于三个向量 M1M 2 , v1, v2 的 相互关系.
(1) l1 与 l2 异面 M1M 2 , v1, v2 不共面；
A1 x B1 y C1 z D 1 0, 若给定直线的一般方程 A2 x B2 y C2 z D2 0. 则它的方向向量可取为
重点知识
B1 v B2
C1 C1 , C2 C 2
A1 A1 , A2 A2
B1 B2
.
例2.2.1 化直线 l 的一般方程
1 : A1 x B1 y C1 z D 1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0.
那么 (1) 1 与 2 相交的充要条件是 A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 ;
A1 B1 C1 D1 (2) 1 与 2 平行的充要条件是 A B C D ; 2 2 2 2 A1 B1 C1 D1 (3) 1 与 2 重合的充要条件是 A B C D . 2 2 2 2
口答： 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0, y 3z 1 0
(2) 2 x y z 1 0,
(3) 2 x y z 1 0,
4x 2 y 2z 1 0
4x 2 y 2z 2 0
《空间解析几何》课件
了解空间解析几何在计算机图形 学中的应用，如3D建模、动画制 作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
高等数学《空间解析几何(第1章)》课件
个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ 共__面__向__量___； 7、两向量_模__相__等__且__方__向，相我同们称这两个向量相等； 8、两个模相等、__方__向__相__反____的向量互为逆向量； 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
数学几何图形概念思维导图
数学几何图形概念思维导图几何是研究空间和形状的数学分支。
在几何中，图形是最基本的概念之一。
图形是由一组点和它们之间的连接线组成的。
在数学中，几何图形可以通过概念思维导图来清晰地展示和总结。
概念思维导图是一种以图形化方式展示信息和构建关联的工具。
它通过将主题和子主题以及它们之间的关系用图形表示出来，帮助我们更好地理解和记忆知识内容。
下面是一个数学几何图形概念思维导图的示例：(图片描述：概念思维导图)圆形是一个基本概念，它由一个具有相同半径的圆心和一条半径组成。
圆形在几何中非常常见，它具有许多重要的性质。
其中一些性质包括：1. 直径：直径是通过圆心的任意两点的线段，它的长度等于圆的半径的两倍。
2. 弧：弧是圆的一部分，它由一个起点、一个终点和一个连接这两点的曲线组成。
3. 弧长：弧长是圆上的弧的实际长度。
它可以通过圆的周长和圆心角的度数来计算。
4. 正切：正切是从圆心到圆上某个点的直线与半径的比值。
在三角函教程中，正切是一个重要的概念。
接下来，我们来看看另一个常见的几何图形——矩形。
矩形是一个有四个直角的平面图形。
它有一些重要的性质，如：1. 面积：矩形的面积等于其长度乘以宽度。
2. 对角线：矩形的对角线是连接相对顶点的线段，它们相等且交于中点。
3. 周长：矩形的周长是所有边长的和。
除了圆形和矩形之外，还有许多其他几何图形的重要概念需要我们掌握。
例如三角形、正方形、梯形等等。
每个图形都有其独特的性质和公式，通过概念思维导图，我们可以有效地组织和记忆这些知识。
几何图形的理解对于解决实际问题和应用数学知识至关重要。
无论是在建筑设计、地理测量还是计算机图形学等领域，几何都扮演着重要角色。
因此，我们应该努力学习和掌握几何图形的概念和性质。
通过本文的思维导图，我们可以清晰地了解和回顾数学几何图形的相关概念。
希望这个思维导图能帮助你更好地理解和应用几何知识，提高数学学习的效果。
让我们一起努力，探索数学的美妙世界！。
空间解析几何ppt课件
空间解析几何
目录
第一部分 向量代数 第二部分 空间曲面和曲线 在几何空间中:
空间对象 — 点, 线, 面 基本工具 ：向量代数
数量关系 — 坐标, 方程组, 方程
目录
1 向量及其线性运算 2 向量的内积 外积与混合积 3 平面及其方程 4 空间直线方程 5 曲面及其方程 6 空间曲线及其方程
第一节向量及其线性运算
|
a a
|
ea
向量单位化：一个非零向量除以它的模的 结果是一个与原向量同方向的单位向量.
二、向量的线性运算
(3) 两个向量的平行关系（共线定理）
定 理 设 向 量 a 0 ， 那 么 向 量 b 平 行 于 a 的 充 分 必 要 条 件
是 ： 存 在 唯 一 的 实 数 ， 使 b a .
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形. D
证 AM MC
b
BM MD
A
a
C
M
B
AD AMMD MCBM BC
AD与 BC 平行且相等, 结论得证.
二、向量的线性运算
(2)单位向量的表示
设e a表示与非零a同 向方 量向的单位向
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a 0，故0，即.
证毕
二、向量的线性运算
注：此定理是建立数轴和 坐标的理论依据. 设 O 及 点 单 i确 位 定 O ,向 x 了 量 数
对于轴上任一点P, 对应一个向O量P,
由O 于 /P /i,所以，必数 存 x, 在唯
使 O P x i , 则 O P 与 实 数 x 一 一 对 应 .
1 向量概念 2 向量的线性运算 3 空间直角坐标系 4 利用坐标作向量运算 5 向量的模与方向角
目录
第一部分 向量代数 第二部分 空间曲面和曲线 在几何空间中:
空间对象 — 点, 线, 面 基本工具 ：向量代数
数量关系 — 坐标, 方程组, 方程
目录
1 向量及其线性运算 2 向量的内积 外积与混合积 3 平面及其方程 4 空间直线方程 5 曲面及其方程 6 空间曲线及其方程
第一节向量及其线性运算
|
a a
|
ea
向量单位化：一个非零向量除以它的模的 结果是一个与原向量同方向的单位向量.
二、向量的线性运算
(3) 两个向量的平行关系（共线定理）
定 理 设 向 量 a 0 ， 那 么 向 量 b 平 行 于 a 的 充 分 必 要 条 件
是 ： 存 在 唯 一 的 实 数 ， 使 b a .
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形. D
证 AM MC
b
BM MD
A
a
C
M
B
AD AMMD MCBM BC
AD与 BC 平行且相等, 结论得证.
二、向量的线性运算
(2)单位向量的表示
设e a表示与非零a同 向方 量向的单位向
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a 0，故0，即.
证毕
二、向量的线性运算
注：此定理是建立数轴和 坐标的理论依据. 设 O 及 点 单 i确 位 定 O ,向 x 了 量 数
对于轴上任一点P, 对应一个向O量P,
由O 于 /P /i,所以，必数 存 x, 在唯
使 O P x i , 则 O P 与 实 数 x 一 一 对 应 .
1 向量概念 2 向量的线性运算 3 空间直角坐标系 4 利用坐标作向量运算 5 向量的模与方向角
42空间解析几何
y
f ( x2 y2 , z) 0
8
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f (y, z) 0 o
y x
f ( y, x2 z2 ) 0
9
例 求 yOz 坐标面上的抛物线 成的旋转曲面的方程。
解: 绕 z 轴旋转时, 将 y 改换成
绕 z 轴旋转所 ，即得，
d Prj n P1P0
P1P0 n n
n P0
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
28
(5) 两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
16
2. 平面及其方程
(1) 平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n (A , B, C), 求该平面的方程.
任取点M(x, y, z) , 则有
M0M n
故
M0M n 0
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
30
例 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x y 2z 6 0, (2) x 2 y z 1 0, (3) 2x y z 1 0, (4) 2x y z 1 0,
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
f ( x2 y2 , z) 0
8
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f (y, z) 0 o
y x
f ( y, x2 z2 ) 0
9
例 求 yOz 坐标面上的抛物线 成的旋转曲面的方程。
解: 绕 z 轴旋转时, 将 y 改换成
绕 z 轴旋转所 ，即得，
d Prj n P1P0
P1P0 n n
n P0
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
28
(5) 两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
16
2. 平面及其方程
(1) 平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n (A , B, C), 求该平面的方程.
任取点M(x, y, z) , 则有
M0M n
故
M0M n 0
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
30
例 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x y 2z 6 0, (2) x 2 y z 1 0, (3) 2x y z 1 0, (4) 2x y z 1 0,
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
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