微积分大一基础知识经典讲解
大一微积分基础知识点精简
大一微积分基础知识点精简微积分是数学的一个分支，是研究变化率和累积量的数学工具。
在大一学习微积分时，我们需要掌握一些基础知识点，这些知识点对于深入理解微积分的原理和应用都非常关键。
本文将对大一微积分的基础知识点进行精简介绍。
1. 导数导数是微积分的核心概念之一，表示函数在某一点的变化率。
数学上用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率。
2. 函数的极限函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
例如，当x趋近于无穷时，f(x)趋近于某个值L，则称L为函数f(x)在x趋近于无穷时的极限。
3. 连续性函数在某点处连续，意味着在该点函数的值与极限值相等。
换句话说，函数在该点的图像没有断裂、间断或跳跃。
连续性是函数可导性的基本前提。
4. 定积分定积分是微积分的另一个重要概念，表示曲线下某一区间上的面积。
数学上用∫表示定积分，其中积分上下限分别表示积分的区间。
5. 不定积分不定积分是定积分的逆运算，表示求函数的原函数。
数学上用∫f(x)dx表示函数f(x)的不定积分。
6. 微分方程微分方程是包含导数的方程，常常用来描述自然规律和物理现象。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
以上是大一微积分的一些基础知识点的精简介绍。
通过对这些知识点的掌握，我们可以建立起微积分的基本思维框架，并在后续的学习中逐渐深入理解微积分的原理和应用。
希望本文对大家的学习有所帮助。
微积分大一基础知识经典讲解
Chapter1 Functions(函数)1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B.2)The set A is called the domain(定义域) of the function.3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain.⇔=)()(x g x f :N ote1)(,11)(2+=--=x x g x x x f Example )()(x g x f ≠⇒2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c2) power functions0,)(≠=a x x f a3) exponential functions1,0,)(≠>=a a a x f xdomain: R range: ),0(∞4) logarithmic functions1,0,log)(≠>=a a x x f adomain: ),0(∞ range: R5) trigonometric functionsf (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc xGiven two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by))(())((x g f x g f =Note )))((())((x h g f x h g f =Example If ,2)()(x x g and x x f -==find each function and its domain.gg d ff c fg b gf a ))))))(())(()x g f x g f a = Solution )2(x f -=422xx -=-=]2,(}2{:domain -∞≤or x xxx g x f g x f g b -===2)())(())(()]4,0[:02,0domain x x ⇒⎩⎨⎧≥-≥ 4)())(())(()xx x f x f f x f f c ==== )[0, :domain ∞xx g x g g x g g d --=-==22)2())(())(()]2,2[:022,02-⇒⎩⎨⎧≥--≥-domain x x 4.Definition An elementary function(初等函数) is constructed using combinations (addition 加, subtraction 减, multiplication 乘, division 除) and composition starting with basic elementary functions.Example )9(cos )(2+=x x F is an elementary function.)))((()()(cos )(9)(2x h g f x F xx f xx g x x h ===+=2sin 1log)(xex x f xa-+=Example is an elementary function.1)Polynomial(多项式) FunctionsRx a x a xa x a x P n n nn ∈++++=--0111)( where n is a nonnegative integer.The leading coefficient(系数) ⇒≠.0n a The degree of the polynomial is n . In particular(特别地),The leading coefficient ⇒≠.00a constant function The leading coefficient ⇒≠.01a linear functionThe leading coefficient ⇒≠.02a quadratic(二次) function The leading coefficient ⇒≠.03a cubic(三次) function2)Rational(有理) Functions}.0)(such that is {,)()()(≠=x Q x x x Q x P x f where P and Q are polynomials.3) Root Functions4.Piecewise Defined Functions(分段函数)⎩⎨⎧>≤-=111)(x if x x if x x f Example5.6.Properties(性质) 1)Symmetry(对称性)even function : x x f x f ∀=-),()( in its domain.symmetric w.r.t.(with respect to 关于) the y -axis.odd function : x x f x f ∀-=-),()( in its domain. symmetric about the origin.2) monotonicity(单调性)A function f is called increasing on interval(区间) I if I in x x x f x f 2121)()(<∀< It is called decreasing on I if I in x x x f x f 2121)()(<∀> 3) boundedness(有界性)belowbounded )(xex f =Example1abovebounded )(xex f -=Example2belowand above from bounded sin )(x x f =E xample34) periodicity (周期性) Example f (x )=sin xChapter 2 Limits and Continuity1.Definition We write L x f ax =→)(limand say “f (x ) approaches(tends to 趋向于) L as x tends to a ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily(任意地) close to L by taking x to be sufficiently(足够地) close to a (on either side of a ) but not equal to a .Note a x ≠means that in finding the limit of f (x ) as x tends to a , we never consider x =a . In fact, f (x ) need not even be defined when x =a . The only thing that matters is how f is defined near a .2.Limit LawsSuppose that c is a constant and the limits )(lim and )(lim x g x f ax ax →→exist. Then)(lim )(lim )]()([lim )1x g x f x g x f ax ax ax →→→±=±)(lim )(lim )]()([lim )2x g x f x g x f ax ax ax →→→⋅=0)(lim )(lim )(lim )()(lim)3≠=→→→→x g if x g x f x g x f ax ax ax axNote From 2), we have )(lim )(lim x f c x cf ax ax →→=integer. positive a is ,)](lim [)]([lim n x f x f nax n ax →→=3. 1) 2)Note4.One-Sided Limits 1)left-hand limitDefinition We write L x f ax =-→)(limand say “f (x ) tends to L as x tends to a from left ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x less than a . 2)right-hand limitDefinition We write L x f ax =+→)(limand say “f (x ) tends to L as x tends to a from right ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x greater than a . 5.Theorem)(lim )(lim )(lim x f L x f L x f ax ax ax +-→→→==⇔=||lim Find 0x x → E xample1Solutionxx x ||limFind 0→ Example2Solution6.Infinitesimals(无穷小量) and infinities(无穷大量)1)Definition ⇒=∆→0)(lim x f x We say f (x ) is an infinitesimal as ∆∆→ where ,x issome number or .∞±Example1 2200lim x x x ⇒=→ is an infinitesimal as .0→xExample2 xxx 101lim⇒=±∞→ is an infinitesimal as .±∞→x2)Theorem 0)(lim =∆→x f x and g(x) is bounded.0)()(lim =⇒∆→x g x f xNoteExample 01sinlim 0=→xx x3)Definition ⇒±∞=∆→)(lim x f x We say f (x ) is an infinity as ∆∆→ where ,x is somenumber or .∞± Example1 1111lim1-⇒∞=-+→x x x is an infinity as .1+→xExample2 22lim x x x ⇒∞=∞→ is an infinity as .∞→x4)Theorem0)(1lim)(lim )=⇒±∞=∆→∆→x f x f a x x±∞=⇒∆∆≠=∆→∆→)(1limat possiblyexcept near 0)(,0)(lim )x f x f x f b x x13124lim423+-+∞→x x x x Example144213124limx xxxx +-+=∞→ 0=13322lim22++-∞→n n n n Example2 2213322limnnn n ++-=∞→ 32=xx x x 7812lim23++∞→E xample3 237812limxxxx ++=∞→ ∞= Note ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++-----∞→m n if m n if m n if b a b xb xb a x a x a n nm m mm n n n n x 0lim11011 ,0,0and constants are ),,0(),,,0(where 00≠≠==b a m j b n i a j i m , n arenonnegative integer.Exercises)6(),0(3122lim)1.12==⇒=-++∞→b a n bn ann)1(),1(1)1(lim )22-==⇒=--+∞→b a b ax xx x)2(),2(21lim)31-==⇒=-+→b a x b ax x43143lim)1.222=++∞→n n n n 51)2(5)2(5lim)211=-+-+++∞→n n n n n343131121211lim)3=++++++∞→nnn 1)1231(lim )4222=-+++∞→nn n n n 1))1(1321211(lim )5=+++∙+∙∞→n n n 21)1(lim )6=-+∞→n n n n∞=---→443lim)1.3222x x x x 23303)(lim)2x hxh x h =-+→343153lim)322=++++∞→x x x x x 503020503020532)15()23()32(lim)4∙=+++-∞→x x x x2)12)(11(lim )52=-+∞→xxx 0724132lim)653=++++∞→x x x x x42113lim)721-=-+--→x xx x 1)1311(lim )831-=---→xxx3211lim)931=--→x x x 61)31)(21)(1(lim)100=-+++→xx x x x21))1)(2((lim )11=--++∞→x x x x∞=-+→223)3(3lim)1.4x x x x ∞=++∞→432lim)23x x x∞=+-∞→)325(lim )32x x x1)2544(lim .52-=+++-∞→x x x x。
微积分大一考试必背知识点
微积分大一考试必背知识点微积分是数学中重要的一个分支，是描述变化和运动的工具。
对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些必备的知识点可以帮助他们更好地理解微积分的概念和应用。
下面是一些大一微积分考试中必背的知识点。
1. 无穷小与极限在微积分中，无穷小是一个基本概念。
对于函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于0，那么f(x)就是无穷小。
极限是无穷小的重要概念，表示函数f(x)在某一点的值的趋近情况。
大一考试中，对于极限的求解是一个重点，学生需要了解极限的定义、性质和求解方法。
2. 导数与微分导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
导数的求解是微积分的基本操作之一，对于大一学生来说，熟练掌握导数的计算方法是至关重要的。
此外，微分是导数的一个应用，表示函数在某一点上的线性近似。
在考试中，学生需要掌握导数和微分的定义、性质和计算方法。
3. 积分与不定积分积分是微积分的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的累积效应。
不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
对于大一学生来说，了解积分和不定积分的定义、性质和计算方法是必须的。
在考试中，学生需要掌握积分和不定积分的基本性质和计算方法。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，用于描述变化和运动的规律。
对于大一学生来说，掌握解微分方程的方法是考试的一个重点。
学生需要了解一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，并能够应用到实际问题中。
5. 泰勒展开与级数泰勒展开是微积分中的一个重要工具，用于将一个函数在某一点附近用无穷级数的形式表示。
对于大一学生来说，理解泰勒展开的思想和应用是必要的。
在考试中，学生需要掌握泰勒展开的定义和计算方法，并能够应用到函数的近似计算和函数性质的研究中。
6. 曲线的切线与法线切线和法线是微积分中常用的概念，用于描述曲线在某一点的特性。
对于大一学生来说，熟练掌握曲线的切线和法线的求解方法是必要的。
在考试中，学生需要了解切线和法线的定义和计算方法，并能够应用到曲线性质的研究中。
大一微积分主要知识点
大一微积分主要知识点微积分作为数学的重要分支，是大学数学课程中的一门基础课程。
学好微积分对于理解和掌握相关学科具有重要意义。
本文将介绍大一微积分主要的知识点，供学生参考。
1. 函数与极限大一微积分的起点是函数与极限。
函数是自变量和因变量之间的关系，通常用公式表示。
极限是研究函数变化趋势的工具，表示变量无限接近某个值时的情况。
2. 导数导数是微积分的核心概念之一。
它描述了函数在某一点上的变化率。
导数可以用来求解函数的最大值、最小值，以及曲线的切线方程等。
3. 微分微分是导数的一种几何解释和应用。
微分可以近似地表示函数在某一点附近的变化情况。
微分在物理学、经济学等领域有广泛的应用。
4. 积分积分是微积分的另一个核心概念。
它是导数的逆运算，表示函数在某一区间上的累积效果。
积分可以计算图形下的面积、函数的定积分等。
5. 微分方程微分方程是描述自然现象及其变化规律的方程。
它通常包含未知函数及其导数、微分项等。
微分方程在物理学、生物学等领域有重要应用。
6. 一元函数的应用微积分在实际问题中有广泛的应用。
一元函数的应用包括最大最小值问题、曲线的凹凸性、函数的图像等。
7. 泰勒展开泰勒展开是将一个函数在某一点附近展开成幂级数的形式。
它在数值计算中有重要的应用，可以用来近似计算函数的值。
8. 多元函数与偏导数多元函数是有多个自变量的函数。
偏导数是多元函数在某一变量上的变化率。
多元函数与偏导数是微积分中扩展的概念。
9. 重积分重积分是对二重或三重积分的推广，用于计算曲面的面积、体积等。
重积分在物理学、工程学中有广泛的应用。
10. 曲线积分与曲面积分曲线积分是沿曲线对函数进行积分，曲面积分是对曲面上的函数进行积分。
曲线积分与曲面积分在物理学、电磁学等领域有重要的应用。
以上是大一微积分主要的知识点，这些知识点是学习微积分的基础。
通过深入学习和练习，可以更好地理解微积分，并应用于实际问题中。
希望本文对大一学生学习微积分有所帮助。
大一微积分知识点详细
大一微积分知识点详细微积分是大学数学的重要组成部分，作为大一学生，学习微积分是必不可少的。
微积分通过对函数的研究，帮助我们揭示数学规律，并应用于各个领域，如物理学、经济学和工程学等。
本文将详细介绍大一微积分的主要知识点，帮助你对该学科有更全面的了解。
一、函数及其性质函数是微积分中的基本概念之一，它描述了输入与输出之间的关系。
函数可以通过方程、图像或表格等多种形式表示。
在微积分中，函数的性质如连续性、可导性和导函数等非常关键。
1.1 连续性函数连续性是指函数在某一点的函数值与该点的极限值相等，即函数在该点没有间断。
连续性可以通过极限的定义来判断，如果函数在某一点的左右极限存在并相等，则函数在该点连续。
1.2 可导性函数的可导性是指函数在某一点的导数存在。
导数描述了函数在该点的变化率，也可理解为函数的斜率。
如果函数在某一点可导，则该点的切线即为函数的导数值。
1.3 导函数导函数是函数的导数函数，用来计算函数在每一点的导数值。
导函数由函数的极限定义得到，它是微积分中最基本的运算之一。
二、极限与连续性2.1 极限的概念极限是微积分的核心概念之一，表示函数在某一点无限接近某个值。
例如，当自变量趋近某一点时，函数的函数值也趋近于某个常数。
极限可以用符号表示，包括左极限、右极限和无穷大极限等。
2.2 极限的计算计算极限是微积分的重要内容之一，可以通过代数方法、函数性质以及洛必达法则等进行计算。
代数方法包括因式分解、有理化等，函数性质包括连续性、导数等，洛必达法则则是处理0/0型极限的有效方法。
2.3 连续性与极限的关系函数的连续性与极限密切相关。
当函数在某一点连续时，该点的极限等于函数值。
反之，如果函数在某一点的极限不等于函数值，则函数在该点不连续。
三、导数与微分3.1 导数的定义导数是函数的变化率，描述了函数在某一点的瞬时变化速度。
在微积分中，导数可以用极限的概念来定义，即函数在某一点的导数等于函数在该点的极限。
大一微积分知识点总结
大一微积分知识点总结微积分是高等数学的重要组成部分，对于大一的同学来说，是一门具有挑战性但又十分重要的课程。
以下是对大一微积分主要知识点的总结。
一、函数与极限函数是微积分的基础概念之一。
我们需要理解函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质。
比如，单调递增函数指的是当自变量增大时，函数值也随之增大；偶函数满足 f(x) ＝ f(x) ，奇函数满足 f(x) ＝ f(x) 。
极限是微积分中一个极其重要的概念。
极限的计算方法有很多，例如直接代入法、化简法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。
等价无穷小在求极限时经常用到，比如当 x 趋近于 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小。
洛必达法则则适用于“0/0”或“∞／∞”型的极限。
二、导数与微分导数反映了函数在某一点处的变化率。
对于常见的基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，要熟练掌握它们的求导公式。
导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
复合函数的求导法则是一个重点也是难点，需要通过链式法则来求解。
微分是函数增量的线性主部。
函数在某一点的微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量。
三、中值定理与导数的应用中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理在证明一些等式和不等式时非常有用。
利用导数可以研究函数的单调性、极值和最值。
当导数大于 0 时，函数单调递增；当导数小于 0 时，函数单调递减。
导数为 0 的点可能是极值点，但还需要通过二阶导数来判断是极大值还是极小值。
在实际问题中，经常需要通过求导数来找到最优解，比如求成本最小、利润最大等问题。
四、不定积分不定积分是求导的逆运算。
要熟练掌握基本积分公式，如幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
积分的方法有换元积分法和分部积分法。
换元积分法包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
分部积分法通常适用于被积函数是两个函数乘积的形式，比如 xe^x 。
微积分大一重要知识点
微积分大一重要知识点微积分是数学的一门重要分支，深受大一学生的关注和学习。
在大一学习微积分时，有一些重要的知识点需要掌握。
本文将介绍微积分大一重要知识点，希望能帮助大家更好地理解和应用微积分。
1. 导数与函数导数是微积分中的重要概念之一，是描述函数变化率的工具。
在大一学习微积分时，我们需要掌握导数的定义和求导法则，包括常用函数（如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的导数计算方法，以及导数的几何意义和应用（如切线、法线方程等）。
2. 不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，也叫做不定积分。
定积分是函数在某一区间上的积分值，也叫做定积分。
在大一学习微积分时，我们需要学习不定积分的基本法则（如幂函数、三角函数、指数函数等的积分法则），以及定积分的计算方法（如换元积分法、分部积分法等），并理解积分的几何意义和应用。
3. 泰勒展开与级数泰勒展开是将函数表示为幂级数的形式，是微积分中的重要工具之一。
在大一学习微积分时，我们需要学习如何根据函数的某一点展开泰勒级数，并掌握泰勒级数在函数逼近和计算中的应用。
4. 极限与连续极限是微积分中的核心概念，是函数性质研究的基础。
在大一学习微积分时，我们需要理解极限的定义，掌握常用函数的极限计算方法，以及极限的性质和应用。
连续是极限的重要应用之一，我们需要学习函数连续的概念，了解连续函数的性质和判定方法。
5. 偏导数与多元函数偏导数是多元函数中的导数推广，用于描述函数关于某一变量的变化率。
在大一学习微积分时，我们需要学习多元函数的偏导数计算方法，包括一阶偏导数和高阶偏导数，并理解偏导数在函数的切平面方程和近似计算中的应用。
6. 曲线积分与曲面积分曲线积分用于计算曲线上的一些物理量，如质量、电荷等。
曲面积分用于计算曲面上的一些物理量，如流量、电通量等。
在大一学习微积分时，我们需要学习曲线积分和曲面积分的计算方法，包括第一类曲线积分和第二类曲线积分，以及曲面积分和高斯积分、斯托克斯积分等。
大一数学微积分知识点总结
大一数学微积分知识点总结微积分是数学的重要分支，是应用广泛的数学工具之一。
作为大一学生，学习微积分是必不可少的一部分。
在这篇文章中，我将对大一数学微积分的一些重要知识点进行总结。
一、数列与极限1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
2. 数列的收敛性：数列可以分为收敛数列和发散数列。
3. 极限的定义与性质：数列中的极限是指随着项数无限增加，数列中的数逐渐趋于某个确定的值。
4. 重要极限：常见的数列极限有等差数列的极限、等比数列的极限等。
二、函数与导数1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。
2. 导数的定义与性质：导数描述了函数在某一点上的变化率，是微积分的核心概念之一。
3. 常见函数的导数：常见函数的导数包括常数函数的导数、幂函数的导数、三角函数的导数等。
4. 高阶导数与导数运算法则：高阶导数是指函数的导数再求导数的结果，导数运算法则包括和差法则、乘法法则、链式法则等。
三、微分学的应用1. 泰勒展开与近似计算：泰勒展开是将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法，可以用来进行近似计算。
2. 极值与最值：通过求函数的导数，可以确定函数的临界点，从而找到函数的极值与最值。
3. 曲线的凹凸性与拐点：通过求函数的二阶导数，可以判断函数在某一区间内的凹凸性以及存在的拐点。
四、定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质：定积分是用来计算曲线下面的面积或求函数的积分值。
2. 不定积分的概念与性质：不定积分是定积分的逆运算，是求函数原函数的过程。
3. 常见函数的积分公式：常见函数的积分公式有基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
4. 定积分的应用：定积分在求曲线下面的面积、求平均值、计算物体的质量与重心等方面有广泛应用。
五、微分方程1. 微分方程的概念与分类：微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程，可以分为常微分方程和偏微分方程。
2. 一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程可以通过分离变量、齐次方程、线性方程等方法求解。
大一微积分理论知识点
大一微积分理论知识点微积分是数学中非常重要的一个分支，其理论知识点为我们深入了解和应用微积分奠定了基础。
下面将介绍大一学生在学习微积分时需要掌握的一些理论知识点。
一、导数与导数的应用1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，可以通过极限来定义。
2. 导数的基本性质：导数具有线性性、可导函数的和差积商的导数、导数的复合等性质。
3. 微分学基本定理：导数可以用来求函数的极值、判别函数的单调性等。
4. 高阶导数：高阶导数表示对函数进行多次求导的结果。
5. 泰勒公式与泰勒展开：泰勒公式可以将函数近似表示为多项式的形式，用于计算复杂函数的近似值。
二、积分与积分的应用1. 不定积分与定积分：不定积分是求导运算的逆运算，用于确定函数的一个原函数；定积分是求函数在一定区间上面积的运算。
2. 积分的计算方法：常用的计算方法包括换元积分法、分部积分法、定积分的几何意义等。
3. 微积分基本定理：微积分基本定理将导数和积分联系在一起，反映了导数和积分的基本性质。
4. 曲线长度与曲面面积的计算：利用积分可以计算曲线长度和曲面面积，对应于一维和二维几何问题的求解。
三、微分方程1. 微分方程的概念与分类：微分方程是含有未知函数及其导数的方程，根据方程中未知函数、自变量和导数的不同形式，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。
2. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程，常见的一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程、一阶齐次与非齐次线性方程等。
3. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中最高阶导数为高阶的微分方程，可以通过特征方程、待定系数法等方法求解。
4. 常微分方程的应用：常微分方程在物理、化学、工程等领域中有广泛的应用，例如模拟振动系统、生长模型、电路分析等问题。
总结起来，大一微积分的理论知识点主要包括导数与导数的应用、积分与积分的应用以及微分方程。
这些知识点对于建立数学思维、掌握分析问题的方法和提高数学应用能力具有重要作用。
大学大一微积分知识点总结
大学大一微积分知识点总结微积分是数学中的重要分支，也是大多数理工科专业学生必修的一门课程。
在大学的微积分课程中，学生们需要掌握一系列基本的知识点，并能够运用这些知识点解决实际问题。
本文将对大学大一微积分课程的知识点进行总结，以帮助学生们更好地理解和掌握微积分的内容。
一、导数与微分1. 导数的定义及求导法则导数表示了函数在某一点上的变化率，可以通过定义或者求导法则来计算。
求导法则包括常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。
2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数表示导数的导数，可以通过递归地求导来计算。
隐函数求导用于求解含有隐含变量的函数的导数。
二、微分应用1. 最值与极值利用导数的概念和性质，可以求解函数的最值和极值问题。
其中，极值点需要通过导数的一阶和二阶导数条件进行判断。
2. 曲线的凹凸性与拐点利用导数的一阶和二阶导数可以判断曲线的凹凸性和拐点位置，从而帮助分析曲线的性质和形状。
3. 泰勒公式与近似计算泰勒公式是一种利用函数在某一点的导数信息来逼近函数值的方法，可以用于计算函数在某一点的近似值。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与性质不定积分表示函数的原函数，可以通过反向计算导数来求解。
不定积分具有线性性质和换元积分法则等特点。
2. 基本积分公式与常见积分表达式基本积分公式包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数的积分等常用积分表达式，学生需要熟练掌握。
3. 定积分的概念与性质定积分表示函数在一定区间上的累积效果，可以通过面积的概念来理解。
定积分具有线性性质、积分中值定理等特点。
4. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用牛顿-莱布尼茨公式表示定积分与不定积分之间的关系，可以简化定积分的计算。
定积分的应用包括求曲线下的面积、求弧长、求体积等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念与分类微分方程描述了函数与其导数之间的关系，可以根据方程中未知函数的阶数和自变量的个数进行分类。
2. 一阶常微分方程的解法一阶常微分方程的解法包括可分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等方法。
大学微积分l知识点总结一
大学微积分l 知识点总结第一部分大学阶段准备知识 1、不等式：ab 2ba ≥+2121n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++()时取等号为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ2、函数周期性和对称性的常用结论1、若fx+a=±fx+b,则fx 具有周期性；若fa+x=±fb-x,则fx 具有对称性; 口诀：“内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性1若fx+a=fb+x,则T=|b-a| 2若fx+a=-fb+x,则T=2|b-a| 3若fx+a=±1/fx,则T=2a 4若fx+a=1-fx/1+fx,则T=2a 5若fx+a=1+fx/1-fx,则T=4al n sin =∂正弦 l m cos =∂余弦 m ntan =∂正切n m cot =∂余切 m l sec =∂正割 n lcsc =∂余割∂=∂cot 1tan ∂=∂csc 1sin ∂=∂sec 1cos商的关系：∂∂=∂=∂∂csc sec tan cos sin ∂∂=∂=∂∂sec csc cot sin cos平方关系：()()sina cosa 1cosa-1sina 2a cot sina cosa -1cosa 1sina 2a tan cosa 1212a cos cosa -1212a sin 22+==⎪⎭⎫⎝⎛=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=a -3tan a 3tan tana a 3tan a -3cos a 3cos cosa 4a 3cos a -3sin a 3sin sina 4a 3sin ππππππ 万能公式：()ββtan tan 1-tan •∂+=∂和差化积公式：()()⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=+21-cos 21sin 2sin sin ϕθϕθϕθ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=21-sin 21cos 2sin -sin ϕθϕθϕθ ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=+21-cos 21cos 2cos cos ϕθϕθϕθ ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=21-sin 21sin 2-cos -cos ϕθϕθϕθ原式得证，由题，22b a x x cos x sin 1x x +=∴===⎪⎭ ⎝+⎪⎭ ⎝M M 4、数学归纳法数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立;例如：前n个奇数的总和是n2,那么前n个偶数的总和是：n2+n最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立,这种方法由下面两步组成：①递推的基础：证明当n=1时表达式成立②递推的依据：证明如果当n=m时成立,那么当n=m+1时同样成立1第一数学归纳法5、初等函数的含义概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数;有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方基本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数6、二项式定理：即二项展开式,即a+b n 的展开式()nn n k k -n k n 1-n 1n n 0n n b ...b a ...b a a C b a C C C ++•++•+=+称为二次项系数其中kn C表示项，用项，它是第叫做二次项展开式的通1k k k -n kn 1k b a ++•T Cn n y∞→8、其他一些知识点10不是正数,不是负数;是自然数;0是偶数,偶数分为：正偶数、负偶数和0 （2）正偶数称为“双数” （3）正常数：常数中的正数（4）质数：又称“素数”;一个大于1的自然数,如果除了1和它自身以外,不能被其他自然数整除的数,否则称为“合数”;最小的质素数是2;1既不是素数,也不是合数;（5）exp ：高等数学中,以自然对数e 为底的指数函数 （6）在数学符号中,sup 表示上界；inf 表示下界 （7）≡：表示恒等于（8）0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义,递推公式为：n=nn-1因为1的阶乘为其中,e n 11n→⎪⎭⎫⎝⎛+,e 为初等函数,又称“幂指函数”,e 即根据此公式得到,e ≈2.7181n 1-1n2→⎪⎭⎫⎝⎛ ()()61n 21n n n ...21222++=+++()233321n n n ...21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++()1-a a-a s a ...a a s 1n n 2+=+++=()()()()()1-n 2-n 1-n n n b ...b a a b -a b -a +++=x sinx 0x →→时， x tanx → 2x 21cosx -1→列举一些趋向于0的函数：()0lnn 10n a 1a 0c -n b0b 0a 0q 1q b nan →→→→④，＞③，＞，＞②，＜①柯西极限存在准则：3斯托尔茨定理设数列n y 单调增加到无穷大,则11lim lim--∞→∞→--=n n n n n n n n y y x x y x ()[]()a x g f x g f x f x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→00lim lim )().4(是连续函数：如：nn n S S n S --++++=-2232 (2523211)32n 解题思路： 函数的连续性和间断点问题 1如何讨论并确定函数的连续性①若该函数是初等函数,则该函数在其定义域区间均连续②若是一元函数,则可对其求导,其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续的x f x )()0=00)''()'(''''''00x )('''x x )()''()'(''''''0.0x )(εδδεεδεδε≥----∈∃∀x f x f x x x x x f x x x f x f x f x x x x x x f ，但是＜，尽管、存在，总＞，无论对多么小的＞上，存在定义在集合不一致连续：设函数小。
大一微积分的知识点
大一微积分的知识点微积分是数学的一门基础学科，主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。
在大一的学习阶段，微积分作为数学的重要组成部分之一，是理科类专业学生必修的一门课程。
本文将为大一学生介绍微积分的一些基本知识点，包括极限、导数、积分和微分方程等。
一、极限在微积分中，极限是最基本的概念之一。
它用于描述一个变量逐渐接近某个特定值的趋势。
通常用符号“lim”表示极限。
极限主要分为左极限和右极限两种情况。
左极限是指当自变量趋近于某个特定点时，函数的取值逐渐接近该点的情况，用符号“lim(x→a-)”表示；右极限则相反，用符号“lim(x→a+)”表示。
当左极限和右极限相等时，称为函数在该点处有极限，用符号“lim(x→a)”表示。
二、导数导数是描述函数变化率的概念，用于计算函数在某一点的切线斜率。
设函数y=f(x)，x的变化量为Δx，对应的y的变化量为Δy。
当Δx趋近于0时，Δy与Δx之比趋近于一个确定的常数k，即Δy/Δx=k。
而导数就是该极限值，用符号“dy/dx”表示。
导数的概念可以推广到高阶导数，表示函数的变化率随着自变量变化的速度。
三、积分积分是导数的逆运算，用于计算曲线下的面积和函数的累积量。
通过积分可以得到曲线下的面积、弧长、体积等物理意义上的量。
积分的符号表示为∫(f(x)dx)，表示对函数f(x)关于自变量x进行积分。
定积分是积分的一种特殊形式，表示在一定区间上的积分运算。
四、微分方程微分方程是包含导数的方程，研究函数与其导数之间的关系。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程是只包含自变量的一阶或高阶导数的方程，而偏微分方程则包含多个自变量的偏导数。
微分方程在自然科学和工程技术领域中有广泛的应用，特别是在物理学、生物学、经济学等领域中起着重要的作用。
总结：微积分作为数学的重要分支，为我们研究和描述自然界的变化提供了强大的工具。
通过学习微积分的基本知识点，我们可以更好地理解函数的性质以及其在实际问题中的应用。
大一微积分期末知识点总结
大一微积分期末知识点总结微积分作为数学的重要分支，是应用广泛且基础性强的学科。
在大一学习微积分，我们需要熟练掌握一些基础知识点，以便能够在期末考试中取得好成绩。
本文将对大一微积分期末知识点进行总结，以帮助同学们更好地复习。
1. 极限与连续1.1 极限的定义及运算法则在微积分中，极限是一个基本的概念，可以描述函数在某一点的趋近情况。
极限的定义为:当自变量趋近于某个确定值时，函数的极限是一个确定值。
常见的极限运算法则有加减乘除法则、复合函数极限法则等等。
1.2 连续函数的概念连续函数是极限的重要应用，指的是在一个区间上，函数的值能够无间断地接近于函数的极限值。
连续函数的特点是：函数在定义域上无间断点，满足极限的条件。
2. 导数与微分2.1 导数的定义及运算法则导数是描述函数变化率的概念，用来衡量函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义为：在自变量趋近于某一点时，函数在该点的极限。
常见的导数运算法则有常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等等。
2.2 微分的概念及应用微分是导数的基本应用之一，可以对函数进行近似线性化处理。
微分的定义为：函数在某点的导数乘以自变量与该点的差值。
微分在求解一些极值问题中有重要的应用。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的概念及基本公式不定积分是微积分的重要内容之一，也称为原函数。
不定积分的定义为：求导数为原函数的过程。
常用的不定积分公式有基本初等函数积分公式、换元积分法等。
3.2 定积分的概念及性质定积分是微积分中对曲线下面的面积进行求解的方法。
定积分的计算方法有基本定积分的计算法则、曲线的参数方程法、曲线的极坐标方程法等。
4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念与分类微分方程是微积分的重要应用领域，用来描述未知函数及其导数之间的关系。
常见的微分方程类型有一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程等。
4.2 解微分方程的基本方法解微分方程是微积分的核心内容，可以通过分离变量法、齐次线性微分方程法、变化常数法等方法来求解微分方程。
大一高等数学微积分知识点
大一高等数学微积分知识点微积分作为大一高等数学的重要组成部分，是数学学习中的基础与核心内容。
掌握微积分的知识点对于学生来说至关重要。
本文将从微积分的基本概念、导数、积分以及应用等方面介绍一些大一高等数学微积分的知识点。
一、基本概念1. 函数与极限：函数是自变量与因变量之间的关系。
极限是函数在某一点上的特殊取值方式，表示随着自变量的趋近，函数值的趋近情况。
2. 连续与间断：在一个区间内，如果函数在任意点上都连续，则函数在该区间内连续。
如果存在某一点使得函数在该点不连续，则函数在该点间断。
二、导数1. 导数的定义：导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
导数的定义为函数在该点上的极限。
2. 基本求导法则：常见函数的求导规则包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
通过基本求导法则，可以求得函数在某一点的导数。
三、积分1. 定积分：定积分是求函数在一个区间上的总量的方法。
它表示函数在该区间内的面积或曲线长度。
2. 不定积分：不定积分是求函数的原函数的过程，结果表示函数的“积分”。
四、应用1. 最值与最优化问题：利用微积分的知识可以求解函数的最值问题，比如最大值、最小值问题。
在应用中，还可以通过最优化问题来做出最佳决策。
2. 曲线的切线与法线：导数的概念可以帮助我们计算曲线在某一点的切线斜率，进而求得切线方程。
同时，利用切线的垂直性质，可以求得曲线在该点的法线方程。
以上仅为大一高等数学微积分的一些基本知识点的介绍，针对每个知识点还有更加深入的理论和应用。
学生应该通过课堂学习、习题练习与实际运用，逐步掌握微积分知识，建立起扎实的数学基础。
掌握微积分知识不仅对于学习数学学科有很大帮助，也对于其他学科的学习和科学研究具有重要作用。
希望学生通过努力学习，能够将微积分知识应用到实际问题中，提升自己的数学素养。
大一微积分基础考试必背知识点
大一微积分基础考试必背知识点微积分是数学的一门重要分支，也是大学数学教学中的一门必修课程。
在大一微积分基础考试中，掌握一些必备的知识点能够帮助学生更好地应对考试，提高成绩。
本文将介绍大一微积分基础考试中的一些必背知识点，以供参考。
一、函数与极限1. 函数的定义与分类：函数的定义，常见函数的分类（多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）。
2. 函数的极限：极限的定义，极限的运算法则，常用极限公式（如sin x/x的极限等），函数的左右极限与无穷远处的极限。
3. 无穷小与无穷大：无穷小的定义与性质，无穷大的定义与性质，无穷小的比较、运算法则。
二、导数与微分1. 导数的概念与计算方法：导数的定义，导数的几何意义，导数的计算方法（基本初等函数的导数、常数乘法法则、和差法则、乘积法则、商法则等）。
2. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的概念与计算，高阶微分的概念与计算。
3. 微分与线性近似：微分的几何意义，微分的应用（线性近似、误差估计等）。
三、微分中值定理1. 罗尔定理：罗尔定理的条件和结论，罗尔定理的几何解释。
2. 拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理的条件和结论，拉格朗日中值定理的几何解释。
3. 柯西中值定理：柯西中值定理的条件和结论，柯西中值定理的几何解释。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的定义，常用不定积分公式（如基本初等函数的不定积分、分部积分法、换元积分法等），定积分与不定积分的关系。
2. 定积分的定义与性质：定积分的定义，定积分的几何意义，定积分的性质（线性性、可加性、保号性等）。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式的表述与应用。
以上是大一微积分基础考试中的一些必背知识点，希望对你的备考有所帮助。
在复习中，要结合教材和课堂笔记进行系统学习，多做一些相关的例题和习题，加强对概念的理解和运用能力。
同时，也要注重对公式和性质的记忆，以便在考试中能够熟练运用。
加油，祝你考试顺利！。
微积分大一上册知识点总结
微积分大一上册知识点总结微积分是数学的一个重要分支，广泛应用在物理、工程、经济学等领域。
大一上册微积分的学习内容主要包括导数、微分、积分和应用等方面的知识。
下面将对这些知识点进行总结。
第一部分：导数导数是微积分的基础概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于函数y=f(x)，其导数表示为f'(x)或dy/dx（读作“y对x的导数”）。
1. 导数的定义：导数的定义是极限的一种形式，即f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx，也可以理解为函数曲线上某一点切线的斜率。
2. 基本导数公式：常见的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数规则。
特别地，对于常数函数f(x) = C，其导数为f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n（n为常数），其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 导数的运算法则：导数具有一些运算法则，例如，对于函数f(x)和g(x)的和、差、积和商函数，其导数满足f'(x) ± g'(x)，[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，以及 [f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
第二部分：微分微分是导数的一个重要应用，可以用于近似计算和优化问题。
微分表示函数在某一点附近的局部线性逼近。
1. 微分的定义：对于函数f(x)，它在点x处的微分表示为df(x) = f'(x)dx，其中df(x)表示函数值的微小变化，dx表示自变量x的微小变化。
2. 高阶导数和高阶微分：函数的二阶导数表示为f''(x)，三阶导数表示为f'''(x)，依此类推。
同样地，高阶微分表示为d^2f(x)、d^3f(x)等。
大一微积分知识点总结
大一微积分知识点总结微积分是数学中非常重要的一个分支，也是大一学生必修的一门课程。
通过学习微积分，我们能够深入理解数学的本质，并运用微积分工具解决实际问题。
下面是对大一微积分涉及的一些重要知识点的总结。
1. 函数与极限在微积分中，函数是一个非常重要的概念。
我们通过函数来描述自变量与因变量之间的关系。
而极限则是函数中一个核心的概念，表示自变量趋近于某个值时，函数的趋势或变化情况。
在求极限的过程中，常常用到一些基本的极限公式，例如：lim(x→a) c = c，其中 c 为常数；lim(x→a) x = a；lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)；lim(x→a) (f(x) · g(x)) = lim(x→a) f(x) · lim(x→a) g(x)；lim(x→a) (f(x) / g(x)) = [lim(x→a) f(x)] / [lim(x→a) g(x)]，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。
2. 导数与微分导数是微积分中的另一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
我们通过求导数来研究函数的性质和描述函数的变化情况。
对于给定的函数 f(x)，它的导数 f'(x) 可以通过求极限的方式来得到，即：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h 表示自变量的增量。
而微分则是导数的一个应用，用于近似计算函数的变化量。
微分可以通过以下公式来表示：df(x) = f'(x)·dx3. 积分与定积分积分是微积分中的另一个重要概念，是导数的逆运算。
通过积分，我们可以求得函数在一定区间上的累积变化量。
对于给定的函数 f(x)，它的不定积分表示形式为∫f(x) dx。
而定积分则是对函数在某一区间上的积分，可以表示为：∫[a,b] f(x) dx其中，[a, b] 表示积分的区间。
大一微积分前五章知识点总结
大一微积分前五章知识点总结微积分是数学的重要分支，它的应用广泛且深远。
作为大一学生，学习微积分是我们深入理解数学和科学的基础。
在大一的微积分课程中，前五章的知识点是我们建立起微积分基础的关键。
本文将对大一微积分前五章的知识点进行总结，帮助大家更好地掌握这些重要的概念和技巧。
第一章：导数导数是微积分的核心概念之一。
它描述了函数的变化率，并且在计算曲线的斜率和速率等问题中起到了重要作用。
在学习导数时，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 利用极限的定义计算导数：通过求极限的方式，我们可以得到函数的导数。
对于一个函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
2. 导数的几何意义：导数可以解释为函数曲线在某一点上的切线的斜率。
这个概念有助于我们理解函数的变化趋势以及求解最值等问题。
3. 常见函数的导数：对于常见的函数（如多项式函数、三角函数、指数函数等），我们需要熟悉它们的导数公式，并能够熟练地应用这些公式进行求导。
4. 高阶导数：导数的概念可以推广到高阶导数，表示函数的变化率的变化率。
高阶导数在函数的凹凸性和曲率等问题中有重要的应用。
第二章：微分学微分学是导数的应用。
它帮助我们研究函数的性质和应用，包括函数的极值、最值、增减性以及函数模型的建立等。
下面是关于微分学的几个重要知识点：1. 微分的定义和性质：微分是导数的应用之一，它表示函数在某一点附近的近似变化。
微分的定义和求解方法对于后续的应用问题具有重要意义。
2. 函数的极值与最值：利用导数的概念，我们可以找到函数的极值点（包括最大值和最小值）。
这里需要注意的是，极值点必然是函数导数为零或不存在的点。
3. 函数的增减性：通过对函数的导数进行区间判断，我们可以得到函数的增减性。
这个概念可以帮助我们研究函数的单调性和区间划分等问题。
4. 函数模型的建立：利用微分学的知识，我们可以建立函数模型，描述实际问题中的变化规律。
这对于工程、经济等领域的问题求解具有重要意义。
大一经济数学微积分知识点
大一经济数学微积分知识点微积分是经济学和数学中的重要分支，它提供了解决各种经济问题的工具和方法。
在大一的经济数学课程中，学生们将接触到一些基本的微积分知识点。
本文将介绍一些大一经济数学微积分的重要知识点，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 函数与导数在微积分中，函数是一个十分基础的概念。
函数可以描述各种经济变量之间的关系，例如需求曲线、供给曲线等。
函数的导数是描述函数变化率的工具，它可以帮助我们求解函数的极值，判断函数的凹凸性等。
在经济学中，导数有着广泛的应用，例如弹性系数的计算、边际成本的评估等。
2. 一元函数的微分学微分学是微积分的核心内容之一。
在大一的经济数学课程中，我们学习了一元函数的微分学。
通过求解函数的微分，我们可以更加深入地理解函数的性质和行为。
例如，微分可以帮助我们计算函数某一点的切线斜率，从而得到函数在该点的局部线性近似。
这对于理解经济曲线的弹性、边际意义等具有重要意义。
3. 一元函数的积分学积分学是微积分的另一大分支，它与微分学密切相关。
在大一的经济数学课程中，我们学习了一元函数的积分学。
通过计算函数的积分，我们可以对函数进行累积求和，从而获得一些重要的经济意义。
例如，积分可以帮助我们计算经济变量的总量、平均值等。
此外，积分还可以帮助我们解决一些应用问题，例如计算经济曲线下的面积等。
4. 多元函数的微分学与积分学在实际的经济问题中，我们经常遇到多个变量同时变化的情况。
为了解决这类问题，我们需要学习多元函数的微分学和积分学。
通过对多元函数的求导和积分，我们可以研究多个变量之间的关系，并得到一些重要的经济结论。
例如，通过求解多元函数的偏导数，我们可以计算经济变量之间的边际效应；通过对多元函数的多重积分，我们可以计算多个经济变量的累积效应。
5. 应用案例分析在学习微积分的过程中，经济学教师通常会结合一些实际案例进行分析。
通过这些案例，我们可以将微积分理论与实际经济问题相结合，更好地应用所学知识。
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Chapter1 Functions(函数)1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B.2)The set A is called the domain(定义域) of the function.3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain.⇔=)()(x g x f :Note1)(,11)(2+=--=x x g x x x f E xample )()(x g x f ≠⇒ Elementary Functions(基本初等函数)1) constant functionsf (x )=c2) power functions0,)(≠=a x x f a3) exponential functions1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞4) logarithmic functions1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R5) trigonometric functionsf (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc xGiven two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by))(())((x g f x g f =Note )))((())((x h g f x h g f =Example If ,2)()(x x g and x x f -== find each function and its domain.g g d f f c f g b g f a ))))))(())(()x g f x g f a = Solution )2(x f -=422x x -=-=]2,(}2{:domain -∞≤or x xx x g x f g x f g b -===2)())(())(()]4,0[:02,0domain x x ⇒⎩⎨⎧≥-≥ 4)())(())(()x x x f x f f x f f c ==== )[0, :domain ∞x x g x g g x g g d --=-==22)2())(())(()]2,2[:022,02-⇒⎩⎨⎧≥--≥-domain x x An elementary function(初等函数) is constructed using combinations (addition 加, subtraction 减, multiplication 乘, division 除) and compositionstarting with basic elementary functions.Example )9(cos )(2+=x x F is an elementary function.)))((()()(cos )(9)(2x h g f x F x x f x x g x x h ===+=2sin 1log )(x e x x f x a -+=E xample is an elementary function.1)Polynomial(多项式) FunctionsR x a x a x a x a x P n n n n ∈++++=--0111)( where n is a nonnegative integer.The leading coefficient(系数) ⇒≠.0n a The degree of the polynomial isIn particular(特别地),The leading coefficient ⇒≠.00a constant functionThe leading coefficient ⇒≠.01a linear functionThe leading coefficient ⇒≠.02a quadratic(二次) functionThe leading coefficient ⇒≠.03a cubic(三次) function2)Rational(有理) Functions}.0)(such that is {,)()()(≠=x Q x x x Q x P x f where P and Q are polynomials.3) Root FunctionsDefined Functions(分段函数)⎩⎨⎧>≤-=111)(x if xx if x x f Example 5.(性质)1)Symmetry(对称性)even function : x x f x f ∀=-),()( in its domain.symmetric respect to 关于) the y -axis.odd function : x x f x f ∀-=-),()( in its domain.symmetric about the origin.2) monotonicity(单调性)A function f is called increasing on interval(区间) I if I in x x x f x f 2121)()(<∀<It is called decreasing on I if I in x x x f x f 2121)()(<∀>3) boundedness(有界性)below bounded )(x e x f =E xample1above bounded )(x e x f -=E xamp le2below and above from bounded sin )(x x f =Example34) periodicity (周期性)Example f (x )=sin xChapter 2 Limits and ContinuityWe write L x f ax =→)(lim and say “f (x ) approaches(tends to 趋向于) L as x tends to a ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily(任意地) close to L by taking x to be sufficiently(足够地) close to a (on either side of a ) but not equal to a .Note a x ≠means that in finding the limit of f (x ) as x tends to a , we never consider x =a . In fact, f (x ) need not even be defined when x =a . The only thing that matters is how f is defined near a .LawsSuppose that c is a constant and the limits )(lim and )(lim x g x f ax a x →→exist. Then )(lim )(lim )]()([lim )1x g x f x g x f ax a x a x →→→±=± )(lim )(lim )]()([lim )2x g x f x g x f ax a x a x →→→⋅= 0)(lim )(lim )(lim )()(lim )3≠=→→→→x g if x g x f x g x f a x ax a x a x Note From 2), we have)(lim )(lim x f c x cf ax a x →→= integer. positive a is ,)](lim [)]([lim n x f x f n ax n a x →→= 3.2)NoteLimits1)left-hand limitDefinition We write L x f ax =-→)(lim and say “f (x ) tends to L as x tends to a from left ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x less than a .2)right-hand limitDefinition We write L x f ax =+→)(lim and say “f (x ) tends to L as x tends to a from right ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x greater than a .)(lim )(lim )(lim x f L x f L x f ax a x a x +-→→→==⇔= ||lim Find 0x x → Example1 Solutionxx x ||limFind 0→ Example2 Solution(无穷小量) and infinities(无穷大量)1)Definition ⇒=∆→0)(lim x f x We say f (x ) is an infinitesimal as ∆∆→ where ,x is some number or .∞±Example1 2200lim x x x ⇒=→ is an infinitesimal as .0→x Example2 xx x 101lim ⇒=±∞→ is an infinitesimal as .±∞→x 2)Theorem 0)(lim =∆→x f x and g(x) is bounded.0)()(lim =⇒∆→x g x f xNote Example 01sin lim 0=→xx x 3)Definition ⇒±∞=∆→)(lim x f x We say f (x ) is an infinity as ∆∆→ where ,x is some number or .∞± Example1 1111lim 1-⇒∞=-+→x x x is an infinity as .1+→x Example2 22lim x x x ⇒∞=∞→ is an infinity as .∞→x 4)Theorem0)(1lim )(lim )=⇒±∞=∆→∆→x f x f a x x ±∞=⇒∆∆≠=∆→∆→)(1lim at possibly ex cept near 0)(,0)(lim )x f x f x f b x x 13124lim 423+-+∞→x x x x E xample1 44213124lim xx x x x +-+=∞→ 0= 13322lim 22++-∞→n n n n E xample2 2213322lim nn n n ++-=∞→ 32= x x x x 7812lim 23++∞→E xample3 237812lim x x x x ++=∞→ ∞=Note ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++-----∞→m n if m n if mn if b a b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 011011 ,0,0and constants are ),,0(),,,0(where 00≠≠==b a m j b n i a j i m , n are nonnegative integer.Exercises)6(),0(3122lim )1.12==⇒=-++∞→b a n bn an n )1(),1(1)1(lim )22-==⇒=--+∞→b a b ax xx x )2(),2(21lim )31-==⇒=-+→b a x b ax x 43143lim )1.222=++∞→n n n n 51)2(5)2(5lim )211=-+-+++∞→n n n n n 343131121211lim )3=++++++∞→n n n 1)1231(lim )4222=-+++∞→n n n n n 1))1(1321211(lim )5=+++•+•∞→n n n 21)1(lim )6=-+∞→n n n n ∞=---→443lim )1.3222x x x x 23303)(lim )2x h x h x h =-+→ 343153lim )322=++++∞→x x x x x 503020503020532)15()23()32(lim )4•=+++-∞→x x x x 2)12)(11(lim )52=-+∞→xx x 0724132lim )653=++++∞→x x x x x 42113lim )721-=-+--→x x x x 1)1311(lim )831-=---→x x x 3211lim )931=--→x x x 61)31)(21)(1(lim )100=-+++→x x x x x21))1)(2((lim )11=--++∞→x x x x ∞=-+→223)3(3lim )1.4x x x x ∞=++∞→432lim )23x x x ∞=+-∞→)325(lim )32x x x 1)2544(lim .52-=+++-∞→x x x x。