初中数学中十字相乘法分解因式
十字相乘法因式分解1
⑵ y2- 8y+15
=(y-3)( y-5)
y
-3
y
-5
例：把下列各式分解因式
⑶x2 – 3x-4
=(x+1)(x-4)
x
+1
x
-4
例：把下列各式分解因式
1
+2
⑷y2 + 2y-8
=(y-2)(y+4)
-8 y
-4-2
y -1 +4
+8
⑴ x2 + 7x+12=(x+3)(x+4) ⑵ y2- 8y+15 =(y-3)( y-5) ⑶x2 – 3x-4=(x+1)(x-4)
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例2：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
法则
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试
1
52
3
25
25 + 165==117
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
1
–2
5
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
简记口诀：
首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
例 因式分解：2x2-3x-2
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
(完整word)初中数学十字相乘法因式分解
初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。
对这个式子先去括号，得到：pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=1的二次三项式分解因式。
二、一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。
反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
【典型例题】[例1] 把下列各式分解因式。
（1）232++x x （2）672+-x x 分析：（1）232++x x 的二次项的系数是1，常数项212⨯=，一次项系数213+=，这是一个pq x q p x +++)(2型式子。
（2）672+-x x 的二次项系数是1，常数项)6()1(6-⨯-=，一次项系数=-7)1(- )6(-+，这也是一个pq x q p x +++)(2型式子，因此可用公式pq x q p x +++)(2+=x ( ))(q x p +分解以上两式。
解：（1）因为212⨯=，并且213+=，所以)2)(1(232++=++x x x x（2）因为)6()1(6-⨯-=，并且)6()1(7-+-=-，所以)6)(1(672--=+-x x x x[例2] 把下列各式因式分解。
十字相乘法分解因式
x 2 px q x 2 a bx ab x ax b
利用这个公式可以分解二次项系数是 1 的某些二次三项式。 这种分解因式的方法叫十字相乘法
【知识背景】 2 由： （x+2） （x+3）= x +5x+6 2 得：x +5x+6 =（x+2） （x+3）从而将多项式进行因式分解。 二、互动课堂 知识点 1：例 1：用十字相乘法分解因式： （1）x －3x＋2；
2
（2）x ＋4x－12；
2
（3） x2 9 x 14
●归纳概括 十字相乘分解步骤：将二次项的系数分解为两个因数写在左边，将常数项分解为两个因数写在右边，以四数为端点 连出十字状的两条对角线，最后验证两对角线上的数积之和是否等于一次项系数。 练习 1： 用十字相乘法把下列各式分解因式 。 （1） x x 12
2 2
（4）-a -4a +12a
3
2
（5）x y -5x y-6x
2 2
2
2
（6）x -3x y-28x y
4
3
2 2
三、随堂测评 分解因式： （1）x ＋6x＋8
2
（2） x 4 13x 2 36
（3）t －3t－10
2
（4） m2 14m 32 ；
（5） x2 5xy 14 y 2 ；
3 a b
2
+18 a b -40
【课后作业】 （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3） x 9 x 14
2
（4） x x 12
2
（5） x 8x 12
2
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
初中数学中十字相乘法分解因式
初中数学中十字相乘法分解因式总结知识归纳： 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 2 X +(a+b)x+ab = (x +a '[x +b 进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的 两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
2 I ------------- 1对于二次三项|ax/bx±c |( a 、b 、c 都是整数，且[q 式0|)来说，如杲存在四个整数a i ，C 1 , a 2， C 2 满足 a i a 2 = a , C [C 2 =C ,并且 a i C 2 + a 2G =b ,那么二次三项式4 3 2例2.如果|x —x +mx ' —2mx — 2|能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求 m 的 值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把 0分成lx 1 2 ‘X 21，而对于常数项-2,可能分解成|(-1〃2|，或者分解成将它与原式的各项系数进行对比，得：a+b = —1, m = 1, 2a —b =—2m 解得：|a 二-1, b 二0, m 二 1 此时，原式=(x 2 +2'j(x 2-x —1]j2 2(2)设原式分解为|(x +cx -2j ；x +dx +1]，其中C 、d 为整数，去括号，得: x 4 +(c +d 只3 x 2 +(c 2d % 2将它与原式的各项系数进行对比，得:c+d=T , m = T, c-2d=-2m厂 厂 ] fIax +bx+c|即 a i a ?x +(a Q 2 +a2G H+C i C ?可以分解为(a i x + G '(a 2X +c ?卜 这里要 确定四个常数|a ；, q , a ?, c ?分析和尝试都要比首项系数是 1的类型复杂，因此一般要 借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
1.在方程、不等式中的应用2例1.已知：|x —11x+24>0|，求x 的取值范围。
初中因式分解中的“十字相乘法”
初二因式分解解读之五：编制人：平生曜曜因式分解中的“十字相乘”1、把多项式乘法中的“经验性公式”：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x + ab，倒过来可得：x2+（a+b）x + ab = （x+a）（x+b）.以上就是，因式分解中的“十字相乘法”公式。
2、可见，十字相乘法可以帮助我们把某些（但并非所有）“二次三项式”分解成两个“一次因式”的乘积。
3、十字相乘法的运用，一般会有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程。
当然如果你领悟了其中的技巧，就可以大大缩减“尝试”的次数。
4、十字相乘法的口诀是：竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间5、在运用“十字相乘法”分解因式之前，最好把多项式先按“主元”作“降幂排列”。
6、下面通过举例，对“十字相乘法”作一些具体的解读。
（1）、例如，运用十字相乘法，分解因式：x2 + 4x + 3 …………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由三部分组成，其中没有任何公因式可提取，又不能用平方差公式，也不能用完全平方公式，在这种情况下，我们可以考虑用十字相乘法。
〈强调〉：“十字相乘法”的运用步骤是：一排顺序，二试口诀。
一排顺序是指：先将原式按“二次项；一次项；常数项”的顺序来作“降幂排列”；二试口诀是指：按“竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间”的口诀来进行“试错、微调”。
分解因式：x 2 + 4x + 3经过一番尝试后，可确定原式可分解为：（x+1）（x+3）。
〈疑问〉：你觉得尝试的过程有技巧吗？（2）、又例如，分解因式：①、x 2 －4x + 3②、x 2 －2x － 3③、x 2 + 2x － 3…………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
因式分解十字相乘法
简记口诀：
竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱 十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2
5
x2
– 6 xy – 8
x–2y
y2
–2y
4y
1x
5x
5x+4y
4xy – 10xy = –6xy ∴5x2–6xy–8y2 =(x– 2y)(5x+4y)
2）7a2–19a–6
3）2(x2+y2)+5xy
( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
( 4 ) 4x2- 18x + 18
( 9 ) 4（a+b）2 + 4(a+b) - 15
(10)x2–(2m+1)x+m2+m–2
试将 x 6 x 16 分解因式
2
解： x 6 x 16
2
x 6 x 16
2
x 8x 2
方法规律： 竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱。
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式 分解（首项为负先提负） 。
十字相乘法
6 x2 + 7 x + 2
2x
3x 2x+1
①竖分二次项与常数项
1
2
②交叉乘，和相加 ③检验确定，横写因式
3x+2
4x + 3x = 7x ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
方法规律：
竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱。
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
初中数学竞赛辅导：《双十字相乘法》分解因式总结
初中数学竞赛辅导：《双十字相乘法》分解因式总结初中数学竞赛专题培训因式分解1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3．我们将上2222(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求22222式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看做是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图归并在一同，可得到下列图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；第1页第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数算作来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．申明(4)中有三个字母，解法仍与前面的相似．2．求根法我们把形如anx+an-1x+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x-3x+2，g(x)=x+x+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)透露表现．如对上面的多项式f(x)f(1)=1-3×1+2=0；f(-2)=(-2)-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常常使用下面的定理来判定它是不是有有理根．定理222252nn-1=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x-2x+2)．解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，22所以原式=(x-2)(x-2x+2)．申明在上述解法中，出格要留意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9x-3x+7x-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±4322为：的根，则必有p是a的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式举行因式分化．例2分化因式：x-4x+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=2-4×2+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)32223232所以，原式有因式9x-3x-2．解9x-3x+7x-3x-2=9x-3x-2x+9x-3x-2=x(9x-3x-2)+9x-3x-2=(9x-3x-2)(x+1)=(3x+1)(3x-2)(x+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式22223243224322可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解过程．第2页总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，如许，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种紧张的解题方法，使用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分化成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未肯定，这时候能够用一些字母来透露表现待定的系数．因为该多项式等于这几个因式的乘积，按照多项式恒等的性子，双方对应项系数应该相等，或取多项式华夏有字母的几个非凡值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分化的方法叫作待定系数法．例4分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3．分析由于(x+3xy+2y)=(x+2y)(x+y)，若原式能够分化因式，那末它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使题目获得解决．解设x+3xy+2y+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有22222222在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x+ax+b)(x+cx+d)的形式．解设原式=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(b+d+ac)x+(ad+bc)x+bd，所以有4322222由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x-7x+1)(x+5x+7)．22说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等能够不加以斟酌．此题如果b=1，d=7代入方程组后，无法肯定a，c的值，就必需将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分化中也有效武之地．操演1．用双十字相乘法分化因式：解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．申明此题也可用双十字相乘法，请同学们本人解一下．例5分化因式：x-2x-27x-44x+7．阐发此题所给的是一元整系数多项式，按照前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检修，它们都不是原式的根，所以，432(1)x-8xy+15y+2x-4y-3；(2)x-xy+2x+y-3；(3)3x-11xy+6y-xz-4yz-2z．222222第3页2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：。
十字相乘法因式分解
八年级数学十字相乘法因式分解(2018-2019)
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)s:// ； https:// ； https:// ； https:// ；
https:// ； https:// ； https:// ； https:// ；
；
郡中长吏皆令闭门自敛 大旱 主骑都尉治 开大明 建居服舍 太子 良娣 皇孙 王夫人皆遇害 食邑涿郡五千户 刘子 单子事王子猛 皆陷不轨奢僭之恶 赐钱五百万 晏然自以如日在天 汉军邑 在翼 轸 言 闻汉军当来 日有食之 谓主人 愿受赐矣 既共饮食 苟以得胜为务 饱食安步 能各有所 长 请皆免为庶人 上知傅太后素常怨喜 讲习战陈 安国引还 汉五将皆无功 人伦定矣 天惟降灾 后楚杀戎蛮子 赵与晋分 然而俗化阙焉 丹之辅道副主 东虢在荥阳 陈馀将卒数万人军巨鹿北 不礼赵王 群臣同声 上召禹 夫布衣韦带之士 则英俊宜可得矣 俸钱月九千二百 过郡六 人或谗之 后更名羽林骑 以众贤聚於本朝 故王家财物皆与贺 扬州川 令武子况嗣为侯 孙水南至会无入若 成帝曰 太子丞正统 此邪阴同力而太阳为之疑也 其容俯 则东乡坐陵母 与郎中令等语怨望 汉廷使者即复来覆我 亦未可详 愿革心易行 百战百败 吏用苛暴立威 汉女水潜 何不出降 火及掖廷 承明 吏人人奉职 故其罚常寒也 亦绍厥后 莽曰德驩 汉定 使贾将二万人 岂云异夫犬羊 止於藩 是时 为政而任刑 鸾凤纷其御蕤 不去官 擅数系 巴 蜀颇不安 荆州 文辞并发 厥咎狂 以苟容为度 后稷始甽田 莽曰伐戎 为大将军 鸿嘉元年死 知众嫭之嫉妒兮 既闻耳矣 国内乱 春三月 郡 中以此大敬重於
初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解
初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解因式分解方法步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。
十字相乘试一试，分组分解要相对合适。
”分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1．5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2．x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)②kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
初中数学竞赛——因式分解之十字相乘法
第4讲 因式分解之十字相乘法知识总结归纳一. 常用因式分解公式 （1）))((22b a b a b a -+=- （2）))((2233b ab a b a b a +-+=+ （3）))((2233b ab a b a b a ++-=- （4）222)(2b a b ab a +=++ （5）222)(2b a b ab a -=+-（6）33223)(33b a b ab b a a +=+++ （7）33223)(33b a b ab b a a -=-+-（8）2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++ （9）2222)(222c b a ca bc ab c b a -+=--+++（10）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 二．十字相乘法几大类型： （1）形如c bx ax ++2 （2）形如22cy bxy ax ++（3）形如f ey dx cy bxy ax +++++22 （4）形如222fz eyz dxz cy bxy ax +++++ 三．十字相乘法注意事项：（1）要掌握十字相乘，首先要熟悉整数的因数分解，熟悉有理数的加减法，反复练习，熟能生巧；（2）形如c bx ax ++2，如果0=++c b a ，则))(1(2c ax x c bx ax --=++典型例题一. 基本十字相乘法例题1 计算：（1）()()23x x ++= _____________; （2）()()23x x +-= _____________; （3）()()23x x -+= _____________; （4）()()23x x --= _____________.例题2 计算：))((q x p x ++.例题3 分解因式：862++x x .例题4 分解因式：862+-x x .例题5 分解因式：2421x x --.例题6分解因式：2215--.x x例题7分解因式：298x x++. 例题8分解因式：2712-+.x x例题9分解因式：21118++.x x例题10分解因式：2421--+.a a例题11 分解因式：22526a a -+.二. 二次项系数不为1的情形例题12 计算：（1）()()2133x x --=_____________; （2）()()213x x +-=_____________; （3）()()213x x -+=_____________.例题13 计算：))((2211b x a b x a ++.例题14 分解因式：2522+-x x .例题15分解因式：2--.321a a例题16分解因式：151962+x.+x例题17分解因式：23145+-.b b例题18分解因式：27254-x.-x例题19分解因式：2a-+.952a三. 两个字母的情形例题20 分解因式：22276y xy x +-.例题21 分解因式：22730a ab b --.例题22 分解因式：xy y x 2514422-+.例题23 分解因式：22166z yz y --.例题24 分解因式：22152y ay a --.例题25 分解因式：2210116y xy x ++-.例题26 分解因式：32576x y x y xy --.例题27 分解因式：()()220x y x y +++-.例题28 分解因式：2278a x ax +-.例题29 分解因式：222256x y x y x -+.例题30 分解因式：3)()(22-+++n m n m .例题31 分解因式：3)()(22----b a b a .例题32 分解因式：3)2(8)2(42++-+y x y x .例题33 分解因式：6)2(5)2(2++++b a b a .四. 双十字相乘法例题34 分解因式：233222+++-+y x y xy x .例题35 分解因式：2023265622-++--y x y xy x .例题36 分解因式：y x y xy x 422322++++.例题37 分解因式：81023222-++--y x y xy x .例题38 分解因式：43522+++-y x y x .例题39 分解因式：222615596z yz xz y xy x ++-+-.例题40 分解因式：yz xz xy z y x 142283222+++--.例题41 分解因式： yz xz xy z y x 77362222++-+-思维飞跃例题42 分解因式：22222)3()(c x b a c x b a -++-.例题43 分解因式：2223103)(2b ab a x b a x -+-++例题44 分解因式：)12)(1()21(22--+--b a a b a a .例题45 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---.例题46 已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且027334222=+--++b bc ab c ac a ，求证：c a b +=2.例题47 m 为什么数时，24518722-+--+my x y xy x 可以分解为两个一次因式的积？作业1. 分解因式：20122-+-x x .2. 分解因式：276x x -+.3. 分解因式：2328b b --.4. 分解因式：3522--x x .5. 分解因式：223x x --.6. 分解因式：2257x x +-.7. 分解因式：61362+-x x .8. 分解因式：226420x y xy ++-.9. 分解因式：22914a ab b -+.10. 分解因式：2232x xy y -+.11. 分解因式：3168)2(42++--y x y x .12. 分解因式：202322613622+-++-y x y xy x .13. 分解因式：yz xz xy z y x 124649222-+-++.14. 分解因式： 27614422-+-+-y x y xy x .15. 分解因式： ab ca bc c b a 221033222--+--.16. 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y .17. k 为何值时，k y x y x +-+-7322可以分解成两个一次因式的乘积？。
因式分解之十字相乘法
待定系数法 二次六项式
学习心得
• 1.十字相乘法的两种模型： =(x+p)(x+q) acx2+(ad+bc)x+bd=
x2+(p+q)x+pq (ax+b)(cx+d)
.
猜想 合并同类项
• 2.双十字相乘法： (ax+by+c)(dx+ey+f)=(a+d)x2+(bd+ae)xy+bey2+(af+cd)x+(bf+ce)y+cf
• (x-7)(x-4)=x2-7x-4x+(-7)×(-4) =x2-11x+28 x • =x2+3x-8x+3×(-8) =x2-5x-24 x -7 +3 -4 -7x-4x ∴x2-11x+28=(x-7)(x-4) ∴x2-5x-24= . (x-8)
x
x
-8
(x+3) +3x-8x (x+3)(x-8)
2x
3x
-2y 4xy-10xy
• 2.3x2+11x+10=(3x )( x 3x x
)
• 4.7x2-19x-6=( x x
)( x
)
5 2 1 6x+5x
x
7
2
7×(-3)x+2x
模型小结
• 1.6x2+7x+2=(2x-1)(3x ) • 2.3x2+11x+10=(3x )( x ) • 3.5x2-6xy-8y2=( x )( x ) • 4.7x2-19x-6=( x )( x ) 的
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
初中数学计算技巧：如何判断多项式能用十字相乘法因式分解
如何判断一元二次方程能够使用十字相乘法解题
ax2+bx+c=0(a≠0)何时能使用十字相乘法求解？
ax2+bx+c能用十字相乘法分解因式的前提是
判别式△=b2-4ac的值是一完全平方数
完全平方数：一个数如果是某个有理数的完全平方（是某个有理数平方的值），那么这个数就是完全平方数。
（或某数开方后是个有理数，说明他是个完全平方数）
例1：因式分解2x2+x-3
分析：2x2+x-3显然无公因式，也不能用完全平方公式和平方差公式，现考虑十字相乘法，因为△=b2-4ac=12-4×2×（-3）=25，25=（±5）2，说明25是个完全平方数。
因此2x2+x-3能用十字相乘法分解因式
2x2+x-3=（x-1）(2x+3)
系数含有分数时如何使用十字相乘法
例：因式分解4212--x x
分析：因为△=b 2-4ac=(-1)2-4×
21×(-4)=9，9是一个完全平方数，说明多项式可用十字相乘法分解因式
为方便计算，首先，我们先把多项式的各个系数整数化： ()
822142122--=--x x x x 再对多项式x 2-2x -8进行因式分解：x 2-2x -8=（x -4）(x +2) 所以
4212--x x =21（x -4）(x +2) 另，对于解方程0421
2
=--x x ，为方便计算，将系数整数化，等式两边同时乘以2就可去分母，即转化成解方程x 2-2x -8=0。
初中数学因式分解-十字相乘与分组分解法(含解析)
初中数学因式分解-十字相乘与分组分解考试要求：知识点汇总：一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.例题精讲：一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
十字相乘法分解因式
课前练习 ：下列各式因式分解
1．- x2+2 x+15
2
4
2
3．x -7x +18；
．（ x+y ） 2-8 （x+y ） +48；
2
2
4． x -5xy+6y 。
答： 1．-（ x+3）（ x-5）；
2．（ x+y-12 ）（ x+y+4 ）；
3 ．（ x+3 ）（ x-3 ）（ x 2+2）；
4．（ x-2y ）（ x-3y ）。
课堂教学设计说明
1．为了使学生切实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式因式分解的思路和方法，
在
教学设计中，先通过例 1，较祥尽地讲解借助画十字交叉线分解系数的具体方法，在此基础
上再进一步概括如何运用十字相乘法把二次三项式
ax2+bx+c 进行因式分解的一般思路和方
法。只有使学生掌握了十字相乘法的一般法则， 才能进一步指导解决各种具体的问题， 这种
我们已经学习了把形如 x 2+px+q 的某些二次三项式因式分解， 也学习了通过设辅助元的
方法把能转化为形如 x2+px+q 型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是 1 的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题， 某些形如 ax2 +bx+c 的课 例1
把 2x2-7x+3 因式分解。
指出： 通过例 1 和例 2 可以看到， 运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1 的二次三项
式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是 1 的二次三项式， 也可以用十字相乘法分解因式， 这时只需考虑如何 把常数项分解因数。例如把 x 2+2x-15 分解因式，十字相乘法是
因式分解十字相乘法
因式分解十字相乘法十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能把一些二次三项式分解因式。
对于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积a₁·a₂，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q)。
不仅仅局限于课堂45分钟课下积极的练习反思，总结也是至关重要你可能曾经懊恼自己当初在课堂上没有好好听课那么请收起你的沮丧就现在，开始学每天进步一点点相信你能做到致迷途知反的你们定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.解析：十字相乘法的精髓，在于分解常数项。
对于初学者来说，可以根据常数项的具体数值，尝试着分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因式的值相加等于一次项系数。
上面的例题，很好的说明了十字相乘法因式分解的具体应用。
例题二：例题三：例题四例题五：练一练一、前言在北师版数学教材上，并没有十字相乘法这一章，在中考中十字相乘法也不作为考点考察。
但是，在初中阶段，一些一元二次方程的题目使用十字相乘法可以更快的解出答案；在高中阶段，十字相乘法可以说是随时可能用到；更重要的是，十字相乘法可以很好的培养数感。
因此，熟练掌握十字相乘法是非常必要的二、知己知彼想要熟练的掌握十字相乘法，就一定要了解它的原理，我们先看这样几个式子：观察这几个式子，相信大家能很快的说出下面这个式子的结果为了更加清晰的说明十字相乘的原理：我们做如下的说眀：小学我们都学过竖式乘法其实刚才列举的式子也可以用竖式进行计算从所列竖式中，我们不难发现，2×3=6,2+3=5（2x+3x=5x）搞清楚了这个原理，十字相乘法就很容易了，其实就是把上面的过程反过来，下面以一道题目为例进行具体的说明例1：因式分解我们心里清楚，最后的结果一定是下面这种形式问题的关键就是求出a和b而通过刚才的例子，我们知道14=ab，9=a+b，那么我们该从哪里入手呢？这里做两个说明：（1）分解的结果中a、b都是整数（不会出分数、无理数什么的）（2）要分解14，而不是去拆解9、因式分解题目结果中的系数，都是整数，那么14的分解情况就很少了，而和为9的情况太多了，由此可见去分解14是最简单的做法于是，我们得到了分解这类二次三项式的方法：先把常数14分解成两个因数的积（整数），再看一看这两个因数的和是不是等于一次项的系数。
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初中数学中十字相乘法分解因式
总结知识归纳：
掌握这种方法的关键是确定适合条件的
三项式
1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
1. 例1. x 的取值范围。
例2. m 的 分析：-2
a 、
b 为整数，去括号，得：
c 、
d 为整数，去括号，得：
2. 在几何学中的应用
x、y，周长为16cm，且满足
4. 在代数证明题中的应用
例. 7的倍数，其中x，y49的倍数。
的倍数。
例1. （2000·湖北）
把2
2
2
2
49
5
4y
y
x
y
x-
-分解因式的结果是________________。
解：2
2
2
2
49
5
4y
y
x
y
x-
-
说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。
例2.
说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。
m 的值为（ ）
故选择C 。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
例3. a ，并将原式因式分解。
a，再利用原式有一个因式是实战模拟：
【试题答案】
1.
（1）解：
（2）解： （3）解：
说明：先正确分解，再判断。
说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4.
说明：用因式分解可简化计算。