schrodinger方程
第二章波函数和Schrodinger方程
3.量子态Ψ1+eiθΨ2和Ψ1+Ψ2表示同一量子态吗?
§3 力量子算符公设
任意可观测的力学量，都可以用相应的线性厄米算符来表示
(一）力学量平均值
在统计物理中知道，当可能值为离散值时，一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。
玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。
玻恩假定：描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”，而则表示概率密度
例题1：电子的自由平面波波函数
在空间各点发现光子的概率相同
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
干涉花样取决于概率分布，而概率分
布是确定的。
(2)入射弱电子流
波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ|2代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
粒子的经典概念：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
波的经典概念：
1. 物理量在的空间分布作周期性的变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。
薛定谔方程
薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
薛定谔方程
波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度 I A2 微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多， I
N
电子衍射实验解释:二者皆可. 这意味着粒子与波一一对应
物质波 波动：电子波的强度
I
2
（波函数模的平方）
微粒： W（单个电子在该处出现的几率） I N（电子数）
某时刻，在空间某地点，粒子出现的几率，正 结论 比于该时刻、该地点的波函数的模的平方。
i ( Et px )
( r , t ) 0e
自由粒子德布罗 意波的波函数
(r ,t )
2 i ( Et Pr ) h 0e
波函数
‘波函数’是什么？
3.波函数的物理意义：(Born解释)
光波
它既不是位移y； 又不是电*在势场中运动质量为m的一个粒子,有一个波函数
运动的稳定状态相联系,这个波函数满足定态薛定谔方程. 相应的常数E (参数),就是粒子在这个稳定状态的能量.
**方程的解 ( r )表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解
只有 E 为一些特定的值时，方程才有解，这些 E值叫本征值， ( r ) 叫本征函数. 与这些 E值对应的波函数
w
2
*
波函数是什么呢？
2
w *
2
与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢？
物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！
几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的 单次过程。 对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是 结论 没有意义的。 波函数所反映的只是微观粒 运动的统计规律。 宏观物体：讨论它的位置在哪里。 区别 微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大。
§1.3Schrodinger方程
E p2 2
为粒子质量
综合以上三式有：
i
t
p
2 2
2 p
2
px2 2
1
--------------自由粒子的 SchrÖdinger 方程
b.一般力场的 SchrÖdinger 方程
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
单电子体系Schrodinger方程的解及单电子原子波函数
★★★★★第四节 单电子体系Schrodinger 方程的解及单电子原子波函数第一部分 上节课复习内容：1、 Balmer 和Rydbery 的经验公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222111n n R ~ν Bohr 半径问题，2020me h a πε=Bohr 模型的提出，涉及的定态规则和频率规则最后Bohr 提出的公式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222111n n R ~ν，20348εch me R =，解释了R 的物理意义 Bohr 模型的缺点，再次强调微观粒子运动的波粒二象性问题2、 氢原子及类氢离子的Schrodinger 方程直角坐标空间的Schrodinger 方程形式ψ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡πε-∇μπ-E r Ze h 0222248 球极坐标空间的Schrodinger 方程形式ψ=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛πε-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛φ∂∂θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛θ∂∂θθ∂∂θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-μπE r 4Ze sin r sin sin r r r r r 8h -022222222221110111222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛πε+μπ+φ∂ψ∂θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛θ∂ψ∂θθ∂∂θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂ψ∂∂∂r 4Ze E h 8sin r sin sin r r r r r 02222 积分元的形式：φθθτd drd sin r dxdydz d 2==3、分离变量原理及分离变量后球极坐标空间内的R 方程、Φ方程和Θ方程第二部分 本节课授课内容：1、Φ方程的解，引入磁量子数m2、R 和Θ方程的解，引入量子数n 和l3、量子数n 和l 的关系引言：由氢原子及类氢离子的Schrodinger 方程分离出来的三个方程：R 方程、Φ方程和Θ方程，怎么去解这三个方程的问题一、 Φ方程的解分离变量后的Φ方程为：ΦφΦ222m d d -= 移项后成为：0222=+ΦφΦm d d 这是一个常系数二阶齐次微分方程，它有二个复数形式的特解：φΦim m Ae =，m m ±=为了求解它，根据边界条件及函数的性质来解决。
schrodinger方程
— ^ ^ ^
坐标 x , 动量 p i, 角动量 L x p 等, 证明如 下对易关系：, p x ] i [x 量子态中任一个力学量 的平均值： A u ( r ) A u ( r )d r
* — ^ ^ ^
22013-2-28
几个定态问题
一维无限深势阱
势垒隧穿 一维简谐振子
2013-2-28
量子力学中的力学量
知道定态波函数后，求 坐标平均值: x u * ( x) xu( x)dx 动量平均值: p u * ( x)(i
^ ^ —
)u ( x)dx x 量子力学中的力学量都 由算符来表示，例如
2013-2-28
海森堡不确定关系实例
电子单缝衍射举例
例题3.1 例题3.2
2013-2-28
不确定关系引发的争论
2013-2-28
Schrodinger方程
( r , t ) 2 2 i [ V ( r , t )] ( r , t ) t 2m p V ( r , t )中，能量E和动量 p 分别替换成 2m 2
量子力学理论体系
2013-2-28
波函数
2013-2-28
算符公设
2013-2-28
波函数内积
2013-2-28
厄米算符
2013-2-28
带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程非平凡解的存在性
带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程非平凡解的存在性1. 引言1.1 研究背景在量子力学中，Schrodinger方程是描述物质波函数随时间和空间变化的基本方程。
在实际的物理系统中，常常会出现带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程，这种方程在研究凝聚态物质、光学和量子计算等领域具有重要的应用价值。
对于这类方程的非平凡解的存在性问题一直是一个备受关注的课题。
Hatree项是描述不同粒子之间的相互作用，对于含有多体相互作用的系统，Hatree项是不可忽略的。
而对数非线性项则来源于一些特殊物理系统中的非线性效应，它们在描述复杂系统的行为时发挥着关键作用。
研究带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程非平凡解的存在性，不仅可以深入理解量子物理现象，还有助于解决实际问题、推动技术发展和促进科学进步。
探究带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程非平凡解的存在性成为了理论物理学和应用数学领域的研究热点之一。
通过深入研究这一问题，我们可以更好地理解自然界中的复杂现象，为未来的科学研究和技术应用提供重要的理论支持。
1.2 研究意义带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程非平凡解的存在性研究具有重要的理论和应用意义。
在量子力学领域，Schrodinger方程描述了微观粒子的行为，并且对于理解原子、分子等微观粒子的性质至关重要。
而带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程更加贴近实际问题，能够更好地描述某些特殊情况下的量子系统。
通过研究这种方程的非平凡解存在性，可以深入理解量子系统的行为规律，为量子力学的发展提供新的理论基础。
2. 正文2.1 带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程简介i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + V(\mathbf{r})\Psi + g|\Psi|^2 \Psi + \lambda\ln(|\Psi|) \Psi\Psi是波函数，\hbar是约化普朗克常数，m是粒子的质量，V(\mathbf{r})是势能，g和\lambda是常数，\nabla^2是拉普拉斯算子。
第二章 薛定谔方程
2
py
2
pz 2 2 2 z
2
2 2 2 1 2 2 2 [ p p p x y z ] 2 2 2 2 x y z
1 2 2 2 p
或
2 2 p2 2 2
考虑电子双缝衍射 一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状态，Ψ 是这 两种状态的叠加。
Ψ1
P
Ψ
S1
电子源
S2
Ψ2
感 光 屏
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一 个可能状态，其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力 学的态叠加原理。 空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*] 电子穿过狭 缝１出现在 Ｐ点的几率 密度 电子穿过狭 缝２出现在 Ｐ点的几率 密度 相干项 正是由于相干项 的出现，才产生 了衍射花纹。
微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确 定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的 可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完 全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题 就是要解决以下两个问题：
(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)波函数如何随时间演化。 这些问题在1926年Schrodinger 提出了波动方 程之后得到了圆满解决。
( 2)
(1)–(2)式
p2 对自由粒子， E 2
结构化学北大版第一章(4)势箱讲解
x nx ( x) B sin( 2mE ) B sin
对
nx 确定B值 ( x ) B sin
因为箱内粒子不能越过势箱，则粒子在箱内各处出现的几 率总和应满足根据归一化条件： ∫∞∣Ψ∣2dτ = 1 对一维势箱有： 所以
b
0
( x) dx 1
ψ3 0
E3
n=3
0
n=3
ψ3* ψ3
ψ2 0 ψ1 0
n=2 n=1
E2
0
n=2 n=1
ψ2* ψ2
E1
0
ψ1* ψ1
5.状态能量高低与波函数节点数之间 的关系 ------节点数（n – 1）越多，能量越高。
节点： 除边界外，Ψ = 0的点。
量子数 波函数 节点数 能量
n=1
n=2 n=3 … n=n
一维势箱的应用
粒子在箱中的平均位置 粒子的动量x轴分量PX
粒子的动量平方PX2
共轭体系中π电子的运动
箱中粒子出现的几率
1．粒子在箱中的平均位置
因为
X X , X X
X * X dx
0 ^
^
^
所以无本征值，只能求平均值。
x dx
2 0
解法二： 因为势箱中位能 V = 0 2 2 所以 n h
E T
8m
2
P T 2m
所以
2 x
n h P 2 4
2 x
2
2
共轭体系中π电子的运动
例1．丁二烯的离域效应
假定有两种情况：（ a ） 4 个 π 电子形成两个定
域 π 键；（ b ） 4 个 π 电子形成 π44 离域 π 键，每 两个碳原子间距离为ι。分析其能量。
schordinger方程
薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
Schrodinger方程的数值解法的开题报告
Schrodinger方程的数值解法的开题报告题目：Schrodinger方程的数值解法摘要：Schrodinger方程是解释量子力学的一种基本方程，它描述了粒子在势场中的运动状态。
由于Schrodinger方程的特殊性质，使用数值解法求解其解成为了一种常见的方法。
本文主要介绍Schrodinger方程的数值解法的原理和实现方式，并探讨其优缺点及改进方向。
关键词：Schrodinger方程，数值解法，势场1. 研究背景量子力学是20世纪最重要的物理学分支之一，它在描述微观世界的物理过程中发挥了巨大的作用。
而Schrodinger方程是量子力学中最基本的方程之一，它可以描述粒子在势场中的运动状态。
Schrodinger方程的数学性质比较特殊，解析求解并不容易，因此使用数值解法求解成为了一种常见的方法。
在现实世界中，许多物理问题都可以通过Schrodinger方程来描述，例如电子在晶体中的运动、原子核中质子和中子的运动等。
因此，Schrodinger方程的数值解法具有广泛的应用价值。
2. 研究内容本文将主要介绍Schrodinger方程的数值解法。
具体而言，将从以下几个方面进行研究：（1）Schrodinger方程的基本概念和数学形式；（2）Schrodinger方程的解析求解方法及其局限性；（3）常用的数值解法，包括有限差分法、有限元法、谱方法等；（4）数值解法的优缺点及改进方向。
3. 研究意义Schrodinger方程是解释量子力学的最基本方程之一，深入研究其解法可以帮助我们更好地理解量子力学的基本原理，同时也可以为解决实际问题提供有力的工具。
本文将对Schrodinger方程的数值解法进行深入研究，通过比较不同数值解法的优缺点，探讨其适用范围及改进方向，从而为数学物理领域的相关研究提供参考和启示。
4. 研究方法本文的研究方法主要包括文献研究和数值模拟两个方面。
在文献研究方面，将查阅相关的学术文献、书籍和网络资源，收集、整理和分析有关Schrodinger方程的数值解法的理论和实践经验。
§1.3Schrodinger方程
§ 1.2 Schrodinger 方程一、Schrodinger 方程 二、概率守恒三、不含时Schrodinger 方程 四、定态一、 S chrodinger 方程1.量子力学方程应满足的条件 a. 方程中要含有ψ对t 的导数.b.态叠加原理要求：ψ及ψ对时空的导数应为线性.c.方程中不能含有描写确定状态的参量，否则方程不具有普遍意义. 2.方程的建立a.自由粒子的SchrÖdinger 方程 自由粒子的波函数：)(23)2(1),(Et r p i pet r -⋅=πψ该波函数对时间的导数：()1))((------ψ=ψ-=∂ψ∂p ppE E i i ti该波函数对空间的导数为：p x p x p p x pp p i i x p i xψ-=ψ⋅=∂ψ∂⇒ψ=∂ψ∂22222 同理，pyppypp zp yψ-=∂ψ∂ψ-=∂ψ∂22222222; 整理有：p p p z y y ψ-=ψ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂22222222即()2222222-----ψ=ψ∇-⇒ψ-=ψ∇pp p p p p 对于自由粒子能量和动量之间的关系为：为粒子质量μμ22p E =综合以上三式有：pp t i ψ∇-=ψ∂∂222μ--------------自由粒子的SchrÖdinger 方程b.一般力场的SchrÖdinger 方程由（1）（2）两式可以看出，粒子能量和动量作用在波函数上和下列算符相当：ti E ∂∂→()()()[]∇-→⇒∇-⋅∇-=∇-→=i p i i p p p 222. 我们一般写为：能量算符------∂∂=ti E ˆ －－－－－动量算符＝∇=∇-ii p ˆ那么，zi p y i p x i pz y x ∂∂-∂∂-∂∂- ＝＝＝ˆ;ˆ;ˆ 对于自由粒子μ22p E =，两边都乘上波函数ψ=ψμ22p E用算符表示为ψ∇-=ψ∂∂222μt i 类比，对于一般力场()r V p E +=μ22其中()r V代表粒子所受到的势能函数，今后如不特别说明，势能函数总为实数，即 )()(*r V r V =这样，E. Schrodinger 在1926年建立了非相对论粒子的波函数随时间演化的方程在理论力学中，系统的哈密顿量)(22r V mp H +=，如果令 )(2)(2ˆˆ222r V m r V m p H +∇-=+= 则Schrodinger 方程可表示为),(ˆ),(t r H tt r iψ=∂ψ∂其中Hˆ代表粒子的Hamilton 量。
Schrodinger 方程
p2 E= +V(r ) = H 2µ p2 EΨ = [ +V(r )]Ψ 2µ
ℏ2 2 ∂ iℏ Ψ ( r , t ) = [ − ∇ + V ( r )]Ψ ( r , t ) 2µ ∂t ˆ = HΨ (r , t ) ˆ 算符， 式中 H 是体系的 Hamilton 算符，亦常称为 Hamilton 量。
2 2
1 2 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ 2 + + 2 = − 2 [ px + p2 + pz ]Ψ y 2 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
1 ∇ Ψ = − 2 p 2Ψ ℏ
2
或
ℏ2 2 p2 − ∇ Ψ= Ψ 2µ 2µ
∇=i
∂ ∂ ∂ +j +k ∂z ∂x ∂y
p2 E= 2µ
所 以
∂ ℏ2 2 iℏ Ψ = − ∇Ψ ∂t 2µ
1. 2. 3. 4. 5. 经典力学中物体的运动方程 引进量子力学运动方程的基本考虑 自由粒子满足的方程 势场 U(r) 中运动的粒子 多粒子体系的Schrodinger方程
1. 经典力学中物体的运动方程
dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m 时刻，已知初态是： dt
t = t0
??????????????????????????????2222???xxetzpypxpipxpiaexxzyx????????????????????????????12222222222zyxpppzyx?????????????????????22222222??zypzpy同理有????????????221222222pp??或?22pe?讨论
高二物理竞赛课件：量子力学之Schrodinger方程的矩阵形式
一下，这里求得的本征值与前面使用本征值方程求得的本征值 是完全相同的。我们只不过是另一表象下求解相同的问题。
将求得的求其方程的根 i , i 1, 2,3, n, 分别代入原齐
次线性方程组
F11 i a1
F21a1
Fn1a1
F12a2
Schrodinger方程的矩阵形式
Schrodinger方程的矩阵形式
i (x, t) Hˆ (x, t) t
按力学量算符 Q的本征函数展开
(x, t) an (t)un (x)
n
i
t
an (t)un (x) Hˆ an (t)un (x)
n
n
左乘 um*(t) 对 x 整个空间积分
1 x,2 x,3 x, n x,
本征值 1, 2 , 3, n ,
Q表象
久期 方程
F11 F12
F21
F22
F1n F2n
a1
a2
a1
a2
Fn1 Fn2
Fnn
an
本征代数方程组
an
求解线
性代数
方程组
a11
a22
a12
a23
a13
1
0
0
Y11
0
,
Y10
1
,
Y11
0
0
0
1
我们还知道Lx在这个共同表象下的矩阵形式
0 1 0
Lx
2
1 0
0 1
1
0
因此在这个共同表象下，Lx的本征方程为：
0 1
2
1 0
0 1
量子力学课件-薛定谔方程
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量本征态时，粒子能量是确定的，就是 能量本征值。
（三）求解定态问题的步骤
• 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准 条件求解能量 E 的 本征值问题，得：
若V(r)是库伦场势，则方程的解代表库伦场中粒子的态。
若V(r)是谐振子势场，则方程的解代表谐振子势场中粒子的态。
……
态叠加原理： 一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原 理。
•
（2）几率流密度与时间无关
i J n (r , t ) [nn n n ] 2
i [ n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / ) 2 n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / )]
ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻 ψ(r,0)的定态波函数。
能量本征值方程
[ h 2 V ] E 2
ˆ E 表达成 H
（1）上述方程的形式特点是： 一个算符作用于一个函数上等于一个常数乘以该函数， 这种形式的等式在《数学物理方法》中，叫本征值方程， 本征值方程中的那个待求函数叫本征函数， 方程右边的那个与本征函数相乘的常数叫本征值。
i [ n ( r ) n ( r ) n ( r ) n ( r )] 2
作
定态Schrodinger 方程
n (r ) n (r )
（2）几率密度流与时间无关
i J n (r , t ) [n (r , t )n (r , t ) n (r , t ) n (r , t )] 2
i [ n (r ) exp(iEnt / ) n (r ) exp( nt / ) iE 2 n (r ) exp( nt / ) n (r ) exp(iEnt / )] iE
§2.5 定态Schrodinger 方程
1.定态Schrodinger方程
2.Hamilton算符和能量本征值方程
3.求解定态问题的步骤 4.定态的性质
1.定态Schrodinger方程
有外场情况下的定态 Schrodinger 方程：
2 i ( r , t ) [ 2 V ( r )]( r , t ) t 2
和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。
此方程称为定态 Schrodinger 方程，ψ(r)也可称为定 态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。
2.Hamilton算符和能量本征值方程 （1）Hamilton 算符
i t E [ 2 V ] E 2
vr不随时间变用分离变量法一个是时间的函数一个是坐标的函数要相等必定等于一个常数波函数此方程称为定态schrodinger方程r也可称为定态波函数或可看作是t0时刻r0的定态波函数
量子力学基本假定 I
波函数完全描述粒子的状态,从这个波函数可
以得出体系的所有性能。波函数应该满足连续、
有限、单值条件。
量子力学基本假定 II
3.求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。步骤：
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形式上看，将能量关系 E
^
^ 算符： i , p i. E t 如果势能不显含时间薛 定谔方程可以利用分离 变量法求解 令 ( r , t ) u(r)f(t), 带入方程解得： ( r , t ) u(r)e-iEt/ 其中u(r)满足的方程为
2 2 [ V ( r , t )]u(r) Eu(r) 2m 不显含时间变量，称为 定态Schrodinger方程
2013-2-28
几个定态问题
一维无限深势阱
势垒隧穿 一维简谐振子
2013-2-28
量子力学中的力学量
知道定态波函数后，求 坐标平均值: x u * ( x) xu( x)dx 动量平均值: p u * ( x)(i
^ ^ —
)u ( x)dx x 量子力学中的力学量都 由算符来表示，例如
量子力学理论体系
2013-2-28
波函数
2013-2-28
算符公设
2013-2-28
波函数内积
2013-2-28
厄米算符
2013-2-28
测量公设
Байду номын сангаас
2013-2-28
动力学演化公设
2013-2-28
全同粒子公设
相同的基本粒子不可区分
/classes/751.
mf1i.fall02/
2013-2-28
Schrodinger equation
邹平
2013-2-28
海森堡不确定关系
波函数的几率解释 对于波，根据傅立叶变 化的性质有xk x 1 / 2, 将德布罗意 关系p x k x带入，可得xp x / 2. 同样可得yp y / 2, zp z / 2. 频率与时间t同样是一对傅立叶变换 对，也满足t 1 / 2, 所以有Et / 2. 因为粒子具有波粒二象 性，状态用波函数来描 述，而波的傅 立叶变换对自然就有了 不确定关系
— ^ ^ ^
坐标 x , 动量 p i, 角动量 L x p 等, 证明如 下对易关系：, p x ] i [x 量子态中任一个力学量 的平均值： A u ( r ) A u ( r )d r
* — ^ ^ ^
2013-2-28
力学量的本征方程
2013-2-28
2013-2-28
海森堡不确定关系实例
电子单缝衍射举例
例题3.1 例题3.2
2013-2-28
不确定关系引发的争论
2013-2-28
Schrodinger方程
( r , t ) 2 2 i [ V ( r , t )] ( r , t ) t 2m p V ( r , t )中，能量E和动量 p 分别替换成 2m 2