函数奇偶性与单调性

有关函数单调性、奇偶性的综合应用

函数的单调性是对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质，它反映了函数()f x 在区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质，主要讨论的是函数的对称性．作为函数的两个最重要的性质，我们往往将二者结合起来研究．本文将针对这一方面的综合应用举例说明．

例1 已知()y f x =是奇函数，它在(0,)+∞上是增函数，且()0f x <，试问1()()

F x f x =在(,0)-∞上是增函数还是减函数？证明你的结论． 【分析】根据函数的单调性的定义，可以设210x x x ∆=-<，进而判断21()()Y F x F x ∆=-2111()()f x f x =-=1212()()()()

f x f x f x f x -的正负号． 【解析】任取12(,0)x x ∈-∞、，且210x x x ∆=-<

，则有21()()0x x x -∆=--->． ()y f x =在(0,)+∞上是增函数，且()0f x <

，

∴

12()()0f x f x ---<， 又()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-

所以12()()0f x f x ->．

于是21()()Y F x F x ∆=-2111()()f x f x =-=1212()()()()

f x f x f x f x -0>， ∴1()()

F x f x =在(,0)-∞上是减函数． 【评析】本题最容易发生的错误是一开始就在(0,)+∞内任取21x x <，展开证明，这样就不能保证12,x x --在(,0)-∞内的任意性而导致错误．

例2 已知函数()y f x =，(1,1)x ∈-，即是偶函数又是减函数，解不等式(1)(23)0f x f x -+-<．

【解析】先求(1)(23)f x f x -+-的定义域：

111

1231x x -<-<⎧⎨-<-<⎩得0212

x x <<⎧⎨<<⎩，∴定义域为{|12}x x << ∴不等式(1)(23)0f x f x -+-<即可写为：(1)[(23)]0f x f x ----<， 因为函数()y f x =是偶函数，有(23)(23)f x f x --=-， 原不等式就是(1)(23)0f x f x ---<，

已知函数是减函数，所以(1)(23)0x x x ∆=--->，即43

x <

， 由于x ∈{|12}x x <<，所以原不等式解集为：4{|1}3x x <<． 【评析】利用函数的性质，将不等式(1)(23)0f x f x -+-<中函数符号f 去掉，化为普通的不等式，同时要注意函数的定义域对x 的限制．