信息安全数学基础期末试卷及答案培训讲学

贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） A

信息安全数学基础

注意事项：

1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。

2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。

3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。

4. 满分100分，考试时间为120分钟。

一、设a,b 是任意两个不全为零的整数，证明：若m 是任一整数，则 [am,bm]=[a,b]m.(共10分) 解：

2

2

[,](3(,)(3(,)(2

(,)[,](2abm am bm am bm abm a b m

abm

a b a b m ====分）

分）

分）

分）

=

=

二、设

n=pq,其中

p,q

是素数.证明：如果

22=(mod ),,,a b n n a b n a b -+宎宎 则(,)1,(,)1n a b n a b ->+>（共10分）

证明：由2

2

2

2

=(mod ),|-,|()()a b n n a b n a b a b +-得即a a (2分）

又n pq =，则|()(),|()|(),pq a b a b p p a b p a b +-+-因为是素数，于是或a a a (2分） 同理，|()|()q a b q a b +-或a a (2分）

由于,n a b n a b -+宎?，所以如果|()p a b +a ，则|()q a b -a ，反之亦然. (2分） 由|()p a b +a 得(,)1n a b p +=> (1分） 由|()q a b -a 得(,)1n a b q -=> (1分）

三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分)

32(mod 7)x ≡

解：(1)求同余式31(mod 7)x ≡的解，运用广义欧几里得除法得：

5(mod7)x ≡ （5分）

（2）求同余式32(mod 7)x ≡的一个特解： 10(mod 7)x ≡ （4分） （3）写出同余式32(mod 7)x ≡的全部解： 102(mod7),0x t t ≡+= （1分）

四、求解同余式组：(共15分)

12

34(mod5)(mod 6)(mod 7)(mod11)

x b x b x b x b =⎧⎪=

⎪⎨=⎪⎪=⎩

解：令m=5.6.7.11=2310

1234 6.7.11462(15.7.11385(15.6.11330(15.6.7210(1M M M M ========分）分）分）分）

分别求解同余式'

M 1(mod ),1,2,3,4i i i M m i ≡= 得到：''''

12343,1,1,1(4M M M M ====分）

故同余式的解为：

12343462385330210(mod 2310)(2x b b b b ≡⋅⋅+⋅+⋅+⋅分）

五、求满足方程2

3

:51(mod 7)E y x x =++的所有点. (共10分)

解:对x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出y.

22222220,1(mod 7),1,6(mod 7)(21,0(mod 7),(22,5(mod 7),(13(mod 7),(11(mod 7),1,6(mod 7)(25,4(mod 7),2,5(mod 7)(16,2(mod 7),3,4(mod 7)(1x y y x y x y y y y x y y x y y =≡≡=≡≡=≡≡≡≡=≡≡=≡≡分）y 0(mod7)分）无解分）x=3,无解分）x=4,分）分）分）

六、判断同余式2

137(mod 227)x ≡是否有解.（共15分）

解:因为227是素数，2137901235

253227227227227227227⎛⎫⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

－－＝＝＝－ （分）

又2

2271226228

8

821(1)=13227⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭

－＝（－）＝－

－ （分） 又251

512271

8

22

522721==11322755⋅⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

－－－＝（－

）（－

）＝－ （分） 因此，13713227⎛⎫

⎪⎝⎭

＝－ （分）

同余式2

137(mod 227)x ≡无解. (3分)

七、设1m >是整数，a 是与m 互素的整数，假如()m ord a st =，那么

()s m ord a t =.（共10分）

解: 由()m ord a st =得：()1(mod )5st s t

a a m =≡（分）

由()m ord a st =知，t 是同余式()1(mod )s t

a m ≡成立的最小正整数，

故，()s

m ord a t =. (5分)

八、证明整数环Z 是主理想环. （共10分）

证：设I 是Z 中的一个非零理想.当a I ∈时，有00(1)a I a a I =∈=-∈及-.(2分) 因此，I 中有正整数存在. (1分)

设d 是I 中的最小正整数，则()I d = (1分) 事实上，对任意a I ∈，存在整数q,r 使得 (1分) ,0a dq r r d =+≤< (1分)

这样，由a I ∈及dq I ∈，得到r a dq I =-∈. (1分)

但r d <以及d 是I 中的最小正整数.因此，r=0，()a dq d =∈.(1分) 从而()I d ⊂，(1分)

又显然()d I ⊂.故()I d =，故Z 是主理想. (1分)

九、设p 是素数，则()P p =是整数环Z 的素理想. （共10分）

证：对任意整数a,b ，若(),|ab P p p ab ∈=则. (3分) 于是||.p a p b 或 (3分)

因此得到，a P b P ∈∈或. (3分)

因此，()P p =是整数环Z 的素理想. (1分)