第三章传质微分方程及扩散传质
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第3章 微分方程
dxdydz t
流出-流入 积累率
( u ) ( u ) ( u ) x y z dxdydz x y z
dxdydz t
( u x ) ( u y ) ( uz ) 0 x y z t
P38
柱坐标中的表达式：
1 1 rur u uz 0 t r r r z
式中： r 径向坐标；z 轴向坐标；θ方位角
（2-14）
d u r dt
表示线速度
直角坐标系与柱坐标系的关系
P38
图2-2b 示出球坐标系与直角坐标系的关系。
x 向质量净出率：
x 向增加量
( u x )dx dydz x
① 质量净出率
x 向质量净出率： y 向质量净出率：
z 向质量净出率：
三向六面净出率：
（kg/s）
( u x )dx dydz x
( u y )dy dxdz y
( uz )dz dxy z
本节内容：
1.能量方程（ E.E. ）的建立 2. 其他坐标系下的形式 3. E.E.的简化
4. E.E.的应用举例
1. 方程的建立 ( E.E. )
衡算根据：热力学第一定律，即某过程中体系从环境中所吸
收的热量减去对体系所作功之差，等于该体系在过程前后的能量 变化，其数学表达式为：
在传热、传质过程中往往伴随有流体流动，因
此均需要用到C.E.。
2．连续性方程的另一表达式
( u ) 0 t
引入随体导数的概念，上式可写为：
( u ) 0 u u t t
或
流出-流入 积累率
( u ) ( u ) ( u ) x y z dxdydz x y z
dxdydz t
( u x ) ( u y ) ( uz ) 0 x y z t
P38
柱坐标中的表达式：
1 1 rur u uz 0 t r r r z
式中： r 径向坐标；z 轴向坐标；θ方位角
（2-14）
d u r dt
表示线速度
直角坐标系与柱坐标系的关系
P38
图2-2b 示出球坐标系与直角坐标系的关系。
x 向质量净出率：
x 向增加量
( u x )dx dydz x
① 质量净出率
x 向质量净出率： y 向质量净出率：
z 向质量净出率：
三向六面净出率：
（kg/s）
( u x )dx dydz x
( u y )dy dxdz y
( uz )dz dxy z
本节内容：
1.能量方程（ E.E. ）的建立 2. 其他坐标系下的形式 3. E.E.的简化
4. E.E.的应用举例
1. 方程的建立 ( E.E. )
衡算根据：热力学第一定律，即某过程中体系从环境中所吸
收的热量减去对体系所作功之差，等于该体系在过程前后的能量 变化，其数学表达式为：
在传热、传质过程中往往伴随有流体流动，因
此均需要用到C.E.。
2．连续性方程的另一表达式
( u ) 0 t
引入随体导数的概念，上式可写为：
( u ) 0 u u t t
或
第三章 传质微分方程及扩散传质
1 n!
f
(n)
( x 0 )( x x 0 )
n
n0
该式叫做函数f(x) 在点x0处的泰勒展开式。
18
§3.3 伴有均相化学反应的扩散
传质微分方程
N
A
C A t
A
0
nA
A t
A
0
19
两种类型化学反应;
1 传质相中均相反应
2 传质相中的非均相反应。 反应速度作为边界条件（因为控制体积内无化学反应发生）
2
x DCt
的值，再由图得
C C0 Cs C0
2
DCt
2 3 10
10
6 3600
查图得，C
C C0
s
C0
0 . 45
。
2
渗碳6小时，钢铁表面 0 . 3 10
m
处的碳浓度
13
w C 0 . 45 (1 . 27 0 . 1) 0 . 1 0 . 63 %
O 2 air
1 x O2
在整个扩散进程中WO2保持为常数（这一点从3-89式可以得出，或者，因为是串 联过程，扩散过程中通过不同球面的氧气质量是相等的）即：
W O 2 4 r N O 2 , rR 4 r N O 2 , rr
2 2
对（3-98）整理得：
w O2 dr r
2
（3–5）
2
即为菲克第二定律。 （3–5）可简写为
x
2
C t
D C
当组分向三维空间扩散时，则有
C t
C t
C t D [( 1 r
传质方程及扩散传质
总密度或总浓度恒定，DAB为常数，有化学反应的不稳态 三维对流传质过程。 7. 传质方程及扩散传质
d A
vx v y vZ A A A A( ) DAB ( 2 ) rA 2 2 d x y z x y z
2 2 2
10
常物性系统内不发生化学反应， 且不考虑主体流动情况
双组分系统不可压缩流体 带扩散的连续性方程 的传质微分方程
常物性 A B Const
d A 2 A 2 A 2 A DAB ( ) rA 2 2 2 d x y z
dC A 2C A 2C A 2C A DAB ( ) RA 2 2 2 d x y z
v x v y v Z 2c A 2c A 2c A cA ( ) DAB ( 2 2 2 ) RA d x y z x y z
7. 传质方程及扩散传质
d A
9
vx v y vZ 2A 2A 2A A( ) DAB ( 2 ) rA 2 2 d x y z x y z
IPx - OPx 组分A沿x方向在微元体净质量流量：
X
7. 传质方程及扩散传质
单位时间流入 单位时间流出 单位时间微元体 单位时间微元 微元体的质量 微元体的质量 生成 消耗 的质量 体的质量增量
5
IP
y方向：
Y
X
带扩散的连续性方程
7. 传质方程及扩散传质
单位时间流入 单位时间流出 单位时间微元体 单位时间微元 微元体的质量 微元体的质量 生成 消耗 的质量 体的质量增量
4
IP
x方向：
d A
vx v y vZ A A A A( ) DAB ( 2 ) rA 2 2 d x y z x y z
2 2 2
10
常物性系统内不发生化学反应， 且不考虑主体流动情况
双组分系统不可压缩流体 带扩散的连续性方程 的传质微分方程
常物性 A B Const
d A 2 A 2 A 2 A DAB ( ) rA 2 2 2 d x y z
dC A 2C A 2C A 2C A DAB ( ) RA 2 2 2 d x y z
v x v y v Z 2c A 2c A 2c A cA ( ) DAB ( 2 2 2 ) RA d x y z x y z
7. 传质方程及扩散传质
d A
9
vx v y vZ 2A 2A 2A A( ) DAB ( 2 ) rA 2 2 d x y z x y z
IPx - OPx 组分A沿x方向在微元体净质量流量：
X
7. 传质方程及扩散传质
单位时间流入 单位时间流出 单位时间微元体 单位时间微元 微元体的质量 微元体的质量 生成 消耗 的质量 体的质量增量
5
IP
y方向：
Y
X
带扩散的连续性方程
7. 传质方程及扩散传质
单位时间流入 单位时间流出 单位时间微元体 单位时间微元 微元体的质量 微元体的质量 生成 消耗 的质量 体的质量增量
4
IP
x方向：
第三章 对流传质
所以局部传质系数:
D C A 3D k ( ) c Y 0 C C Y A 0 A 2 C
3D kc 2 C
C 1 3 1.026 Sc
4 . 64 x Re x
k x 1 /2 1 /3 c 0 . 332 R Sc cx D
令:
kc x Sh x D
在寿命te时间内的平均扩散流密度：
1t D D e J ( c c ) dt 2 ( c c ) A s b s b 0 t t t e e
根据传质系数的定义J kd(cs cb )，得到R.Higbie的溶质渗透理论的 传质系数公式：
D kd 2 πt e
丹克沃茨( P. V. Danckwerts )认为流体2的各微元与流体1 接触时间即寿命各不相同，而是按0～ ∞分布，服从统计分布 规律。 设Φ 为表示流体微元在界面上的停留时间分布函数，其单位 [s-1]。时间越长者，占据的比例越小。则Φ 与微元停留时间的关 系可用下图表示。
tdt(1Sdt ) t+dtdt t+dt -t t Sdt dt / t - Sdt
设S为一常数，则：
Aest
式中A为积分常数。
st Ae d t 1 0
A A st ( st ) 1 0 e d S S
故A=S，得：
( t)Se
d v x yx dy
c T q a y y
cA ji DAB y
速度 动量 热量 通量 物性系数 温度 梯度 质量 浓度
2.有效边界层模型
图中cs为界面处的浓度，cb为浓度边界层 外液体内部的浓度。在浓度边界层中浓度发 生急剧变化，边界层厚度c不存在明显的界 限，使得数学处理上很不方便。在浓度边界 层中，同时存在分子扩散和湍流传质。因此 在数学上可以作等效处理。在非常贴近与固 体的界面处，浓度分布成直线。因此在界面 处（即y=0）沿着直线对浓度分布曲线引一 切线，此切线与浓度边界层外流体内部的浓 度cb的延长线相交，通过交点作一条与界面 平行的平面，此平面与界面之间的区域叫做 有效边界层，用c’来表示。
D C A 3D k ( ) c Y 0 C C Y A 0 A 2 C
3D kc 2 C
C 1 3 1.026 Sc
4 . 64 x Re x
k x 1 /2 1 /3 c 0 . 332 R Sc cx D
令:
kc x Sh x D
在寿命te时间内的平均扩散流密度：
1t D D e J ( c c ) dt 2 ( c c ) A s b s b 0 t t t e e
根据传质系数的定义J kd(cs cb )，得到R.Higbie的溶质渗透理论的 传质系数公式：
D kd 2 πt e
丹克沃茨( P. V. Danckwerts )认为流体2的各微元与流体1 接触时间即寿命各不相同，而是按0～ ∞分布，服从统计分布 规律。 设Φ 为表示流体微元在界面上的停留时间分布函数，其单位 [s-1]。时间越长者，占据的比例越小。则Φ 与微元停留时间的关 系可用下图表示。
tdt(1Sdt ) t+dtdt t+dt -t t Sdt dt / t - Sdt
设S为一常数，则：
Aest
式中A为积分常数。
st Ae d t 1 0
A A st ( st ) 1 0 e d S S
故A=S，得：
( t)Se
d v x yx dy
c T q a y y
cA ji DAB y
速度 动量 热量 通量 物性系数 温度 梯度 质量 浓度
2.有效边界层模型
图中cs为界面处的浓度，cb为浓度边界层 外液体内部的浓度。在浓度边界层中浓度发 生急剧变化，边界层厚度c不存在明显的界 限，使得数学处理上很不方便。在浓度边界 层中，同时存在分子扩散和湍流传质。因此 在数学上可以作等效处理。在非常贴近与固 体的界面处，浓度分布成直线。因此在界面 处（即y=0）沿着直线对浓度分布曲线引一 切线，此切线与浓度边界层外流体内部的浓 度cb的延长线相交，通过交点作一条与界面 平行的平面，此平面与界面之间的区域叫做 有效边界层，用c’来表示。
对流传热传质
2
3 热对流
n
湍流流动
n
热对流：由于流体质点发生相对位移而引起的热量传递过 程 特点：热对流只发生在流体中，流体各部分间产生相对位 移 产生对流的原因：由于流体内部温度不同形成密度的差 异，在浮力的作用下产生流体质点的相对位移，使轻者上 浮，重者下沉，称为自然对流；由于泵、风机或搅拌等外 力作用而引起的质点强制运动，称为强制对流 流动的原因不同，热对流的规律也不同。在强制对流的同 时常常伴随有自然对流
n
在速度、热和传质的边界层内有如下特点
n
层内分子扩散传质起主要作用 层外为接近于无传质的等密度区
4 轴对称圆柱坐标的 边界层动量和能量方程式
n
工程上经常遇到 流体在 圆管和 圆环中的流动、传热和传质 问题，圆柱坐标是很好 的分析 坐标
n n
边界层动量方程 边界层能量方程
2
n
该 坐标系 下的连续性方 程：根据前面相同的 步骤，分析 圆柱坐标中控制容积各 个界面 流入和流出质流量和变化 率 ，在稳 定的情况下， 连续性 方程为
n
整个流场分为两个区域： 边界层区： 层内动量传递主要取决 于分子动量传递 层外势流区：可近似按 无粘性的势流理论计算
n
整个温场分为两个区域： 热边界层区： 层内分子导热起主要作 用 层外的近似等温区
传质边界层
n
当混合物 流体掠过平壁时，若 某一组成物的质量百 分 数和壁面 上的数值不等，就要引起传质，在近壁的一 薄层流体中有显著的密度梯度 ，称为传质边界层
n
n n n n n
1975年日本公司开发出了Thermoexcel-E 型沸腾换热强 化管，充分利用了这一思想，开创了高效相变传热管商业 生产的先河，从此国际上形成了一个极大的产业： 德国: Wieland； 美国: Wolverine； 芬兰: Outkupum； 中国：金龙 从气化核心这一技术科学问题的解决到多种商用沸腾 换热强化表面的开发给我们一个重要的启示：一个技术科 学理论问题的解决会变成生产力，会产生巨大经济效益。
扩散传质
xB
z2
z1
x B dz dz
z2
z1
x B 2 x B1 x BM xB 2 ln x B1
组分B的平均浓度是一对数平均值。
2013-8-8
例：在一细管中，底部的水在恒定温度293k下向干空气 蒸发，干空气的总压力为1.03125×105Pa,温度为293k,
设水蒸发后，通过管内△Z=15㎝的空气进行扩散，若
分离变量积分得： 即：
NA
z2 z1
DAB dz RT
pA 2 p A1
dPA
DAB NA ( p A1 p A2 ) RT Z
此即为等分子反向定态扩散的通量表达式
2013-8-8
2 DAB与DBA的关系：
∵NA+NB=0 NA=JA NB=JB
dC B dC A J B DBA J A DAB dz dz 又P=PA+PB=Const C=CA+CB=Const
2013-8-8
2 浓度分布： 由P202式15.12有： NA= －DABC（dxA/dz）+ xANA 整理得 ：
（ NB=0）
NA
CD ABdx A ( 1 x A ) dz
∵NA=Const
∴dNA/dz =0 即：
积分两次得： －ln（1－xA）= C1z+C2
2013-8-8
第十二章
分子 扩散引起的质量传递。
扩散传质
本章讨论在不流动介质（停滞介质）或固体中由于
分子扩散传质的机理与导热类似，二者均由于分子
的无规则运动而发生能量或质量的传递。 它们的区别在于： 导热过程中，在热流方向上没有介质质点的宏观运动， 而分子扩散传质时，虽然整个介质是不动的，但各组
z2
z1
x B dz dz
z2
z1
x B 2 x B1 x BM xB 2 ln x B1
组分B的平均浓度是一对数平均值。
2013-8-8
例：在一细管中，底部的水在恒定温度293k下向干空气 蒸发，干空气的总压力为1.03125×105Pa,温度为293k,
设水蒸发后，通过管内△Z=15㎝的空气进行扩散，若
分离变量积分得： 即：
NA
z2 z1
DAB dz RT
pA 2 p A1
dPA
DAB NA ( p A1 p A2 ) RT Z
此即为等分子反向定态扩散的通量表达式
2013-8-8
2 DAB与DBA的关系：
∵NA+NB=0 NA=JA NB=JB
dC B dC A J B DBA J A DAB dz dz 又P=PA+PB=Const C=CA+CB=Const
2013-8-8
2 浓度分布： 由P202式15.12有： NA= －DABC（dxA/dz）+ xANA 整理得 ：
（ NB=0）
NA
CD ABdx A ( 1 x A ) dz
∵NA=Const
∴dNA/dz =0 即：
积分两次得： －ln（1－xA）= C1z+C2
2013-8-8
第十二章
分子 扩散引起的质量传递。
扩散传质
本章讨论在不流动介质（停滞介质）或固体中由于
分子扩散传质的机理与导热类似，二者均由于分子
的无规则运动而发生能量或质量的传递。 它们的区别在于： 导热过程中，在热流方向上没有介质质点的宏观运动， 而分子扩散传质时，虽然整个介质是不动的，但各组
第三节扩散和单相传质
第三节--扩散和单相传质第三节扩散和单相传质（Diffusion & Mass transfer between phase）对于任何过程都需要解决两个基本问题：一是过程的极限，另一是过程的速率。
吸收过程的极限取决于吸收的相平衡关系，上节已作讨论。
本节讨论吸收过程的速率吸收过程涉及两相间的物质传递，它包括三个步骤：一、溶质由气相主体传递到两相界面，即气相内的物质传递。
二、溶质在界面上的溶解，由气相转入液相，即界面上发生的溶解过程三、溶质自界面被传递至液体主题，即液相内的物质传递。
一般来说，第②步界面上发生的溶解过程是很易进行的，其阻力很小。
因此，通常认为界面上气液两相的溶质浓度满足平衡关系。
这样，总传质过程速率将由两个单相即气相与液相内的传质速率所决定。
不论气相或液相，物质传递的机理有两种：一、分子扩散：当流体内部存在着某一组分的浓度差，则因分子的无规律的热运动使该组分由浓度较高处传递至浓度较低处，这种现象称为分子扩散。
如香水的气味扩散。
分子扩散也可由温度梯度、压力梯度产生，由温度梯度产生的分子扩散叫热扩散，如湿木棍一头加热，另一端会冒出热气或水滴。
在此讨论的分子扩散仅因浓度梯度产生的。
分子扩散与传热中由于温度差而引起的热传导相似。
二、对流扩散：在流动的流体中的传质不仅会有分子扩散，而且有流体的宏观运动也将导致物质的传递，这种现象称为对流传质。
对流传质与对流传热类似，且通常是指流体与某一界面之间的传质。
§5.3.1双组分混合物中的分子扩散一、费克定律1855年，费克揭示了分子扩散的基本规律对于T、P一定的一维定态的分子扩散速率与浓度梯度成正比，即or—扩散速率通量，—组分A在A、B双组分混合物中的扩散系数，—浓度梯度，费克定律的形式与傅立叶热传导定律相类似。
费克定律表明只要混合物中存在浓度梯度，必产生物质的扩散流。
对于气体混合物，费克定律也常用分压梯度来表示∵∴=对于双组分混合物，若则即（浓度梯度相等，方向相反）在双组分混合物中，产生物质A的扩散流的同时，必伴有方向相反的物质B 的扩散流。
化工基础 第三章 传质过程-I
如果没有实验数据，物质的分子扩散系数值 D可以由 经验或半经验公式进行估算。 （1）扩散组分A在气体B中的扩散系 T 1 1 2 D [ m / h] 1/ 3 1/ 3 2 P(v A vB ) M A M B 式中：D － 扩散系数 [m2/h]；
首先建立虚拟膜的概念。 浓度的变化也逐渐减慢，至 湍流流体经过固体壁面时， 外流区后几乎不存在浓度梯 在壁面附近有一个层流底层， 度了，如图3-I-1所示。 或称流体膜。若有扩散物质 从固体表面扩散出来（例如 食糖溶于水中，或萘升华到 空气中），则扩散物质只能 靠分子扩散通过层流底层， 分子扩散速度小，所以层流 底层中浓度差很大，即浓度 梯度大。在层流底层外，从 过渡区到外流区（湍流主 体），逐步依靠流体质点的 图3-I-1 位移和混和进行传质，
作用。
§2 传质设备
经验公式（ 3-I-2 ）虽然误差较大，但能说明影
响扩散的诸因素中，既有物质本身的性质如分子量
和摩尔体积，又有外部条件如温度和压力，而且使
用也比较方便，可用于估算D值。
从式（ 3-I-2 ）也可以看出，扩散系数与气体浓 度无关，但随温度升高和压力下降而加大。 如果已经知道在热力学温度T0和压力P0下的扩散 系数D0，则可按下式计算出它在热力学温度T和压力 P时的扩散系数D的数值：
有人认为在这种情况下这个膜层已经不复存在。
（ 2 ）在上述情况下，物质传递主要靠漩涡来进行，
即传质方式主要是对流扩散，而分子扩散很少。此时的 传质速率主要取决于流体力学条件，而与流体性质的关 系极小。
继双膜理论之后又陆续提出了一些理论，如溶质渗透
理论，表面更新理论，界面动力状态理论，无规漩涡模
型等。这些理论在说明自由界面的非稳态漩涡扩散和流 体力学影响因素等方面又大大向前发展了。它们所提出 的传质机理和实际情况更为接近。但是由于这些理论所 依据的主要参数（如表面单元暴露时间，新表面的形成 速率等）还难于直接测出，因此直接根据它们进行计算 来解决实际问题尚有困难，而只是在指导研究上有较大
传质微分方程
知识点1-2 传质微分方程
【学习指导】
1. 学习目的
通过本知识点的学习，应掌握用Euler观点推导传质微分方程的方法。
2. 本知识点的重点
传质微分方程的推导。
3. 本知识点的难点
本知识点无难点。
衡算式
(输入流体微元的质量速率)
+ (反应生成的质量速率)
= (输出流体微元的质量速率)
+ (流体微元内累积的质量速率)
或
(输出–输入) + (累积) – (生成) = 0
上述关系即为质量守恒定律表达式，若把表达式中各项质量速率分析清楚，即可得出传质微分方程。
各项质量速率的分析
(1) 输出与输入流体微元的质量流率
差设在点(x、y、z)处，流体流动的
速度向量为u(质量平均速度)，它
在直角坐标系中的分量为u x、u y、
u z，则组分A由于流动所产生的质
量通量ρA u在三个坐标方向上的分
量分别为ρA u x、ρA u y、ρA u z。
组分A
由于浓度梯度所产生的质量通量
j A在三个坐标方向上的分量分别为
j Ax、j Ay、j Az。
由此可得组分A 沿x
方向由流体微元左侧平面输入流
体微元的总质量流率为
(ρA u x+ j Ax)dydz
而由流体微元右侧平面输出的总质量流率为
m为基准推导，可得
（
(1-52) ，则有
（（。
第三章 传热传质问题的分析和计算
3-1
Southwest Petroleum University
(3-37)
86400
Southwest Petroleum University
例 3-4
r r r
(3-32)
r
3-1
Southwest Petroleum University
3-1
r
Southwest Petroleum University
q1 q2 q3 q4
流体滞留薄膜层内的温度分别必须满足
d 2t dt * * 2 ( N A M A c P , A N B M B c P ,B ) 0 dy dy
或
hm h
D
h
a
h cp
Southwest Petroleum University
动量交换与热交换的类比 在质交换中的应用
雷诺类比（动量传输与热量传输）
Cf Nu Cf 或 Nu St Re Pr Re Pr 2 2
当Pr=1时
Nu
Cf 2
Re
C f ---- 摩阻系数
Sh (0.037 Re 0.8 870) Sc 1 / 3
Southwest Petroleum University
例 3-2
(3-36)
Southwest Petroleum University
40.5
Southwest Petroleum University
例 3-3
3-1 3-1
Southwest Petroleum University
三传方程
在有质交换时，对二元混合物的二维稳态层流流动， 当不计流体的体积力和压强梯度，忽略耗散热、化学反应热 以及由于分子扩散而引起的能量传递时，对流传热传质交换 微分方程组应包括： u x u y 连续性方程 0 x y
质量传输的基本概念及基本定律
20:30:57
第10章 质量传输概述
28
元体质量平衡微分方程或带扩散的连续性方程
第10章 质量传输概述
20:30:57
26
10.3 元体质量平衡方程
方程的简化 固体一维不稳态扩散传质： 固体一维稳态扩散传质：
d 2Ci 0 2 dx
Ci 2 Ci Di x 2
菲克第二定律
0
d dCi r dr dr
N N i C M
第10章 质量传输概述 16
20:30:57
10.1 质量传输的基本概念
扩散通量 质量扩散通量： ji i i 摩尔扩散通量： J i Ci i M nA=jA+ωAn=jA+ωA(nA+nB) NA =JA + χAN=JA + χA(NA+NB)
20:30:57
第10章 质量传输概述
7
10.1 质量传输的基本概念
摩尔浓度：单位体积混合物中组分i的摩尔数
Ci i Mi
C CI
I 1
N
m ol
m3
摩尔分数：组分i的摩尔浓度除以混合物的总摩尔浓度
n Ci xi 100%; xi 1 C i 1
气体分压
直角坐标
20:30:57
圆柱坐标
第10章 质量传输概述 27
本章小结
主要内容：质量传输的基本概念，扩散传质基本定律，
带扩散的连续性方程（质量平衡微分方程）。
重点：质量传输的基本概念，扩散传质基本定律（菲克
第一定律、菲克第二定律）。
基本要求：掌握扩散传质、对流传质基本概念，菲克第
一定律、菲克第二定律物理意义。
扩散传质
在该条件下，水蒸气在空气中的扩散系数为0.25×10-4 m2/s，试计算定态扩散时的摩尔通量及其浓度分布，已 知293k时水的蒸汽压力为0.02338×105Pa。
2013-8-8
解：由于空气不溶于水，则为停滞组分，水蒸气扩散至管
口后就被流动空气带走，属于扩散组分A，NA 由下式确
定:
NA DAB P PA1 PA 2 PB 2 ln ZRT PB 2 PB1 PB1
NA
PA 2 1 D AB P P D AB P ln P PA 2 ln PA1 ZRT ZRT P PA1 1 P
2013-8-8
NA
PA 2 1 D AB P P D AB P ln P PA 2 ln PA1 ZRT ZRT P PA1 1 P
∴ dCA=－dCB
J A DAB dC A dC B J B ( DBA ) dz dz
∵dCA=－dCB
∴DAB = DBA
此式说明双组分系统中A与B作等分子方向定态
扩散时其互扩散系数相等。
2013-8-8
3 浓度分布 其浓度分布可对传质微分方程化简获得，方程为：
DC A 2C A 2C A 2C A DAB ( ) RA 2 2 2 D x y z
∴NA= (0.25×10-4 ×1.03125×105 )ln1.0232/ (8.314×293×0.15) =1.619×10-4 mol/(m2· s) 浓度分布： ZZ
xB x B1 xB 2 x B1
1
Z 2 Z1
xB 0.9764 1.0241
2013-8-8
代入通解：的浓度分布式为：
1 x A2 1 xA 1 x 1 x A1 A1
2013-8-8
解：由于空气不溶于水，则为停滞组分，水蒸气扩散至管
口后就被流动空气带走，属于扩散组分A，NA 由下式确
定:
NA DAB P PA1 PA 2 PB 2 ln ZRT PB 2 PB1 PB1
NA
PA 2 1 D AB P P D AB P ln P PA 2 ln PA1 ZRT ZRT P PA1 1 P
2013-8-8
NA
PA 2 1 D AB P P D AB P ln P PA 2 ln PA1 ZRT ZRT P PA1 1 P
∴ dCA=－dCB
J A DAB dC A dC B J B ( DBA ) dz dz
∵dCA=－dCB
∴DAB = DBA
此式说明双组分系统中A与B作等分子方向定态
扩散时其互扩散系数相等。
2013-8-8
3 浓度分布 其浓度分布可对传质微分方程化简获得，方程为：
DC A 2C A 2C A 2C A DAB ( ) RA 2 2 2 D x y z
∴NA= (0.25×10-4 ×1.03125×105 )ln1.0232/ (8.314×293×0.15) =1.619×10-4 mol/(m2· s) 浓度分布： ZZ
xB x B1 xB 2 x B1
1
Z 2 Z1
xB 0.9764 1.0241
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代入通解：的浓度分布式为：
1 x A2 1 xA 1 x 1 x A1 A1
传质学第三章
二、
菲克第一定律
1858年，菲克（Fick）参照了傅里叶（Fourier）于1822年建 立的导热方程，获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量 公式。 假设有一单相固溶体，横截面积为A，浓度C不均匀，在dt 时间内，沿方向通过处截面所迁移的物质的量与处的浓度梯度成正 比：
∆C ∆m ∝ A∆t ∆x
cs − cx x = erf ( ) cs − c0 2 Dt
例1：含0.20%碳的碳钢在927 ℃进行气体渗碳。假定表面C含量增 加到0.9%，试求距表面0.5mm处的C含量达0.4%所需的时间。已知 D972=1.28 ×10 -11 m2/s 解：已知c s，x，c0，D，c x代入式得 erf（）=0.7143 查表得erf（0.8）=0.7421，erf（0.75）=0.7112，用内差法可得 erf 0.8 =0.7421 erf 0.75 =0.7112 β=0.755 因此，t=8567s=2.38h
威尔基和张方程：
3.2.3 气体分子扩散系数
富勒半经验式
1 × 10 T D AB =
−7
1.75
p VA
(
1 1 M + M B A + VB
1 3
1 2
1
3
)
2
式中： D—分子扩散系数，m2/s VA,VB—分别为组分A，B分子体积cm3/mol MA，MB—分别为组分A，B的摩尔质量g/mol; P—体系的总压atm； T—体系的温度，K。
第三章 分子扩散
３.１ 扩散动力学方程 １ 扩散动力学方程——菲克定律 菲克定律
一、基本概念 1.扩散通量 扩散通量 扩散通量——单位时间内通过单位面积的物质的量。 用J表示，为矢量（因为扩散流具有方向性） 量纲：摩尔数/（时间.长度2） 量纲 单位：mol/（m2. s） 单位
传输原理课件-7 传质方程及扩散传质
守 多组分系统中，流体作多维流动
Z
恒 非稳态和有化学反应的条件下传质
定 以双组分（A、B）混合物系统为例
OPz IPy
律 流体的质量平均速度为v，
三个分量： vx， vy， vZ，
传
流动方向上存在A的 浓度梯度引起的
输
过
流体宏观运动时的主
程
体流动引起的
：
组分A的生成（或消耗）
IPx
dz
OPx
dx dy
方式。 ➢ 扩散与材料生产和使用中的物理过程有密切关系，例如：凝
固、偏析、均匀化退火、冷变形后的回复和再结晶、固态相 变、化学热处理、烧结、氧化、蠕变等等。
7. 传质方程及扩散传质
扩散：由构成物质的微粒(离子、原子、分子)的
热运动而产生的物质迁移现象称为扩散。扩散的
宏观表现是物质的定向输送。
扩散的分类
微元体的质量 微元体的质量 生成消耗的质量 体的质量增量
IP - OP + R
=S
y方向： 组分A沿y方向在微元体净质量流量: IPy - OPy
[ ( Av y jAy ) dy]dxdz
y
z方向： 组分A沿z方向在微元体净质量流量: IPz - OPz
[ ( Avz jAz ) dz]dxdy
组分A沿x方向输出微元体总的质量流量：OPx
[( Avx
jAx )
(Avx
x
jAx )
dx]dydz
组分A沿x方向在微元体净质量流量：IPx - OPx Y
[ ( Avx jAx ) dx]dydz
x
IPx
dz
OPx
dxdy
OPy IPz
X
传质微分方程
传质微分方程与传热学利用微元体导出导热微分方程类似，在传质问题上也是以微元体为控制体为研究对象导出传质微分方程。
1．原理: 质量守恒原理组分A 通过控制体的质量守恒关系为：由控制体流入的组分A 的量--由控制体流出的组分A 的量 == 控制体内组分A 的质量积累2．方程的导出① 单位时间内从x 方向流入控制体的组分A 质量：dydz n M x a ,1=② 单位时间内从x 方向流出控制体的组分A 质量：dydz dx x n n Mx a x a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=,,2③单位时间内从x 方向流入控制体的组分A 质量的净增量： dxdydz x n dydz dx x n n dydz n MM Mx a x a x a x a x ∂∂-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=-=∆,,,,21 ④ 同理，dxdydz yn My a y∂∂-=∆,，dxdydz zn Mz a z∂∂-=∆,⑤ 单位时间内从3个方向流入控制体的组分A 质量的净增量： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∆+∆+∆=∆dxdydz z n dxdydz y n dxdydz x n MMMM z a y a x a zy x ,,, ⑥ 单位时间内控制体内组分A 的质量积累：dxdydz A τρ∂∂⑦ 根据质量守恒定律：dxdydz z n y n x n dxdydz z A y A xA A⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂,,,τρ 既是：，0)(,,,=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zn yn xn z A y A x A A τρ⑧ 由于z A A ABz A u zD n ρρ+∂∂-=, 所以，zu zD zn z A A ABz A ∂∂+∂∂-=∂∂)(22,ρρ，yu yD yn y A A ABy A ∂∂+∂∂-=∂∂)(22,ρρ，xu xD xn x A A ABx A ∂∂+∂∂-=∂∂)(22,ρρ⑨ 将（8）中各式代入（7）式， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂z u y u x u z y xD A z A y A x AA A AB Aρρρρρρτρ222222 而zu yu xu d d A zA yA xA ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρτρτρ因此，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=222222z y x D d d A A A ABA ρρρτρ ⑩上式可写成，A AB A D D D ρτρ2∇=，同时有，A AB AC D D DC 2∇=τ——斐克第二定律。
第三章对流传质
C
1
1.026 3 Sc
2）每个微元内某组元的浓度为cb，由
于自然流动或湍流，若某微元被带到 界面与另一流体（流体1）相接触，如 流体1中某组元的浓度大于流体2相平 衡的浓度则该组元从流体1向流体2微 元中迁移；
3）微元在界面停留的时间很短，以te 表示。经te时间后，微元又进入流体2
内。此时，微元内的浓度增加到
cb+c；
设Φ为表示流体微元在界面上的停留时间分布函数，其单位 [s-1]。时间越长者，占据的比例越小。则Φ与微元停留时间的关 系可用下图表示。
流体微元在界面上的停留时间分布函数
材料成型传输原理－－质量传输
0 (t)dt 1
该式的物理意义是界面上不同停留时间的微元面积的总和为1，即停留时
间为t的微元面积占微元总面积的分数：(Φ(t)/1)。
4.64 x or 4.64
u
x Rex
t tw t tw
3y
2 t
1 2
y
t
3
t
Pr 1 3 1.026
1
4.53 Pr 3
1
Re 2 x
CA CA0 3 ( y ) 1 ( y )3
CA CA0 2 C 2 C
d vx
dy
qy
a
cT
y
菲克扩散定律
ji
DAB
cA y
动量
速度
热量通量 物性系数 温度梯度
质量
浓度
材料成型传输原理－－质量传输
2.有效边界层模型
图中cs为界面处的浓度，cb为浓度边界层 外液体内部的浓度。在浓度边界层中浓度发 生急剧变化，边界层厚度c不存在明显的界 限，使得数学处理上很不方便。在浓度边界 层中，同时存在分子扩散和湍流传质。因此 在数学上可以作等效处理。在非常贴近与固 体的界面处，浓度分布成直线。因此在界面 处（即y=0）沿着直线对浓度分布曲线引一 切线，此切线与浓度边界层外流体内部的浓 度cb的延长线相交，通过交点作一条与界面 平行的平面，此平面与界面之间的区域叫做 有效边界层，用c’来表示。
第2讲 传质微分方程
4、无化学反应的一维稳态分子扩散 等摩尔逆扩散 单向扩散 5、有化学反应的一维稳态分子扩散
§3-2 传质微分方程
一、方程的导出
设系统中包含A、B两种组分， 在其中任取一微元控制体，如 图3-2-1所示。通过该控制体的 组分A保持质量守恒，即由控制 体流出的组分A的净通量+控制 体内组分A的质量累积率-控制 体内组分A的质量生成率=0，该 式称为质量守恒定律。 或写成 流入量-流出量+生成量=累积量
(3-31)
上节式(3-15)
mA DAB wA wA (mA mB ) NA CDAB yA yA (NA NB )
可以写成：
mA DAB wA A u NA CDAB yA CA u M
将上式分别代入式(3-24)和(3-28)：
布，既可以是质量浓度，也可以是物质的量浓度。比较简单的 初始条件就是初始浓度为常数：当t=0时，cA=cA0或A=A0。
边界条件：扩散组分在边界上的浓度分布，常用的边界条件有
三类： 1、第一类边界条件。它规定了边界面上的浓度值。 a、用物质的量浓度表示：CA=CA1; b、用摩尔分数表示：气体yA=yA1，液体xA=xA1； c、用质量浓度表示：A=A1； d、用质量分数表示：wA=wA1； e、当扩散系统为气体时，用分压表示：pA=pA1=yAp。
N A ,z dy A D AB C y A ( N A , z N B, z ) dz
因为NA,z=-NB,z，所以
N A ,z D AB C dy A dC A D AB dz dz
(3-44)
边界条件为：
z=z1, CA=CA1
z=z2, CA=CA2
将式(3-44)积分并代入边界条件得：
§3-2 传质微分方程
一、方程的导出
设系统中包含A、B两种组分， 在其中任取一微元控制体，如 图3-2-1所示。通过该控制体的 组分A保持质量守恒，即由控制 体流出的组分A的净通量+控制 体内组分A的质量累积率-控制 体内组分A的质量生成率=0，该 式称为质量守恒定律。 或写成 流入量-流出量+生成量=累积量
(3-31)
上节式(3-15)
mA DAB wA wA (mA mB ) NA CDAB yA yA (NA NB )
可以写成：
mA DAB wA A u NA CDAB yA CA u M
将上式分别代入式(3-24)和(3-28)：
布，既可以是质量浓度，也可以是物质的量浓度。比较简单的 初始条件就是初始浓度为常数：当t=0时，cA=cA0或A=A0。
边界条件：扩散组分在边界上的浓度分布，常用的边界条件有
三类： 1、第一类边界条件。它规定了边界面上的浓度值。 a、用物质的量浓度表示：CA=CA1; b、用摩尔分数表示：气体yA=yA1，液体xA=xA1； c、用质量浓度表示：A=A1； d、用质量分数表示：wA=wA1； e、当扩散系统为气体时，用分压表示：pA=pA1=yAp。
N A ,z dy A D AB C y A ( N A , z N B, z ) dz
因为NA,z=-NB,z，所以
N A ,z D AB C dy A dC A D AB dz dz
(3-44)
边界条件为：
z=z1, CA=CA1
z=z2, CA=CA2
将式(3-44)积分并代入边界条件得：
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erf(0) = 0 erf(1) = 1
1-erf(x) = erfc(x)
erfc( )=0, erfc(0)=1 erfc(x)为补余误差函数。
用 C C0 作纵轴， x 为横轴作图
Cs C0
2 Dt
12
1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
x/
由， C C0 1 erf ( x )
2）边界条件（某空间上的已知值）：
① 规定某界面的浓度；
② 规定某界面的化学反应速度；
③ 将对流传质作为边界条件。
9
例1 在1273K时，用CO CO2混合气体对低碳钢（wC 0.1）% 进行渗碳，设钢板内
部扩散为过程的控制步骤。钢板表面碳平衡浓度 wC 1.27%。求渗碳6小时后钢铁表
面下 0.3102 m处的碳浓度wC。
已知： DC 3 10 10 m2。.s 1
x 解：这是固体内部的扩散过程，故适用菲克第二定律，取扩散方向为 轴。
C
2C D
t
x 2
起始条件：扩散开始前，体系内浓度完全均匀，而为C0 (初始浓度)。
t 0
0 x
C C0
边界条件：①扩散开始后，界面的浓度立即为Cs，并且在扩散过程中保持不变，
即
x0
即
x0 0t
②当 x ， 0 t ，
C Cs C C0 。
将上述已知条件代入，解方程得：
C C0 1 erf ( x )
Cs C0
2 DCt
11
erf(x)称为高斯误差函数，
erf (x) 2 x ex2dx
0
1-erf(x)称为补余误差函数。 误差函数的性质：
Hale Waihona Puke erf(-x) = -erf(x)
（3–5）可简写为
C D2C t
当组分向三维空间扩散时，则有
C D(2C 2C 2C )
t
x2 y 2 z 2
（直角坐标系）
C
2C D(
1 C
1
2C 2C )
t
r 2 r r r 2 2 z 2
（圆柱坐标系）
C D[( 1 . (r 2 C )
1
. (sin C )
1
2C .]
0 t C Cs
②当 x ，
，0 t 。 C C0
将上述已知条件代入，解方程得：
C C0 1 erf ( x )
Cs C0
2 DCt
10
例1 在1273K时，用 CO CO2 混合气体对低碳钢（wC 0.1%） 进行渗碳，
设钢板内部扩散为过程的控制步骤。钢板表面碳平衡浓度wC 1.27% 。求渗
t
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin 2
（球坐标体系）
求解三维扩散方程非常复杂，所以一般在制定实验方案时，近似地安排成一 维扩散，在特定边界条件下解（3–5）式一元二阶微分方程。
7
菲克第二定律成立的条件
① 无扩散引起的对流传质；
② 扩散体系内无化学反应；
③ 为常数。
适用于固体或静止流体中的扩散。
扩散介质中小体积单元如图所示 截面1进入体积单元的扩散流
x
x dx
J2
J1
J x
dx
截面2流出的扩散流
C J1 D x
J2
J1
J x
dx
假设：扩散过程无化学反应，那么扩散进入体积单元的量减去流出体积单元的量 等于体积单元内物质的积累量。
以 A dy.dz代表体积单元的截面积，
则
(J1
J2)A
在 x dx 处 A Ax .dydz xdx A Axdy.dz x
故在方向上A的净流出速度： nAx .dydz xdx nAx .dydz x
A在微分单元内的累积速度： A .dxdydz
设
A
dt 为单位体积单位时间内由于化学反应产生的A量，则A产生速度
为： A .dxdydz 。
2
质量守恒原理 • [体系内的积累 ]=[通过体系边界的净流入量]
稳态扩散
当达到稳态时，
故
，D
2C x 2
0
即
C 0 t
D C 常数 x
J D dC D C D C C 0
dx
x
x
8
菲克第二定律的应用 菲克第二定律：
C
2C D
t
x 2
已知条件：1）初始条件（时间上的已知值）：
t=0时，
CA CA0
t=0时， CA f (x)
t=∞时， CA f (x)
+ [体系内的净生成量] • 根据物理化学基本原理推导出来的所有模型，都
是以上式表示的原理为基础。 • 上式对质量、动量、能量都适用。
3
根据质量守恒原理，有：
n Ax .dydz
xdx
n Ax .dydz
x
A dt
dxdydz
Adxdydz
0
dxdydz
两边同时除以
，则有：
n Ax dx
xdx
n Ax dx
Cs C0
2 DCt
x
得知欲求时间t的扩散浓度，须先求出2
值。
x
0.3 10 2
1.18
DC t 的值，再由图得
2 DCt 2 31010 6 3600
C C0 Cs C0
C C0
查图得，Cs C0
0.45
x
A dt
A
0
即
dnAx x
A dt
A
0
x
n Ax
A dt
A
0
同样可推导在三维方向上：
x
n Ax
y
n Ay
z
n Az
A t
A
0
简写成
n A
A t
A
0
称为传质微分方程。
同理，对于以摩尔通量表示的形式为：
N A
C A t
A
0
4
§3.1.2 菲克第二定律
dy
2
J1
D
C x
1
dz
碳6小时后钢铁表面下0.3102 m处的碳浓度wC 。 已知： DC 3 10。10 m2 gs1
x 解：这是固体内部的扩散过程，故适用菲克第二定律，取扩散方向为 轴。
C 2C
D
t
x 2
起始条件：扩散开始前，体系内浓度完全均匀，而为C0 (初始浓度)。
t 0
0 x C C0
边界条件：①扩散开始后，界面的浓度立即为Cs，并且在扩散过程中保持不变，
第三章 传质微分方程及扩散传质
§3.1 传质微分方程和菲克第二定律 §3.2 伴有非均相反应的扩散 §3.3 伴有均相化学反应的扩散
化学反应动力学（第一章）—研究方法 一维扩散传质（第二章）—菲克第一定律
1
§3.1 传质微分方程
§3.1.1 传质微分方程推导：
dy
2 1
dz
x
x dx
A通过微分体积表面x处 dy.dz 表面的量，
C t
.dx.A
（3–1）
因为扩散流随变化，故
J2
J1
J x
dx
（3–2）
将（3–2）代入（3–1），得
J C （3–3）
x t
根据菲克第一定律
J D C x
代入（3–3）得
C
(D
C ) x
t
x
（3–4）
6
当D为常数，即不随扩散距离、浓度变化时，有
C
2C D
（3–5）
即为菲克第二定律。 t
x 2