你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗

dy d F dF F dy ( ) dx dx y dx y dx
你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？
d F ( y F ), 所以(2’’)式左端等于 dx y
于是(2’’)式就化 为 d F
dx ( y y
F ) 0,
d F 即 dx ( F y y ) 0
你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？
由于
d F d F dF ( y F ) ( y ) dx y dx y dx d dy F dF ( ) dx dx y dx
dy d F F d 2 y dF ( ) 2 dx dx y y dx dx
所以
y C1 1 ( y) 2
你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？
即
y2 y 1 2 C1
上方程为变量可分离方程：
dx 2 2 y C1 C1 dy
两端积分，得
x y C1ch( C2 ) C1
这是悬链线方程，其积分常数由边界条件决定.
将上式两边对x积分，得
y F F C (C为常数) y (3)
(3)式就是当(1)式中的F不显含x，即F=F(y,y’)时， 使I 取得极值，y=y(x)应该满足Euler方程.现在 来解决开始提出的问题.
你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？
由熟知的旋转面的面积公式 I 2 a y 1 ( y) 2 dx
由于F=F(y,y’)，根据二元复合函数求导法则，有
dF F dy F dy dx y dx y dx
所以
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F dy dF F dy y dx dx y dx
将上式代入(2’)，得
dy d F dF F dy ( ) ( ) 0 dx dx y dx y dx (2)
你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？
设通过两点(a,A),(b,B) 的曲线用y=y(x)表示， 将此曲线绕x轴旋转得一旋转曲面. 问如何选 取曲线y=y(x)方能使旋转面的面积为最小？ 解：解决这个问题需要用到变分法. 一般说，变 分法就是求下述形式的定积分（设y=y(x)）
I F ( x, y, y)dx
方程(2)称为变分法中的Euler方程.
当(1)式中的F不显含x时，即F=F(y,y’),这时 (2)式两端同乘以-y’，则得
d F F y ( ) y 0 dx y y
即
dy d F F dy ( ) ( ) 0 dx dx y y dx
(2)
你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？
b
来求使I 最小的曲线y=y(x).
这时(1)式中的函数F为
F y 1 ( y) 2
由于函数F 不显含x，所以y=y(x)应满足Euler方 程(3),注意到 F yy
y 1 ( y) yy 1 ( y) 2
2
,
所以(3)式化为
y
y 1 ( y) 2 C.
a b
(1)
的极值问题，式(1)这种函数叫做泛函. 象函 数的微分理论中的极值问题一样，泛函理论中 也有极值问题. 变分法研究的对象就是求泛函 的极值.
你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？
在一定的条件下，可以证明：使(1)式取得 极值时的函数y=y(x)必须满足（证明从略）：
F d F ( )0 y dx y (2)