论解析几何的作用与意义

论解析几何的作用与意义

【关键词】解析几何；方法；数学思想；指导意义

被认为是迄今为止最好的一本数学史《古今数学思想》的作者m·克莱因在该书序言中指出“通常一些课程所介绍的是一些似乎没有什么关系的数学片断。历史可以提供整个课程的概貌，不仅使得课程的内容互相联系，而且使它们与数学思想的主干也联系起来。”下面通过有关解析几何产生的历史，谈谈对解析几何教学提出了哪些要求。

1 解析几何的地位和作用

1.1 解析几何给几何研究提供一个新方法

笛卡尔希望通过解析几何给几何引进一个新的方法——我们现在称它为解析法，他的成就远远超过了他的希望。解析法即解析几何的基本研究方法，包括两个步骤：第一步选取坐标系建立曲线的方程，第二步通过方程研究曲线的几何性质，它们也称为解析几何的两个基本问题。解析几何中对直线和圆锥曲线等都是这样研究的。正如苏联著名几何学家波格列洛夫在他编的《解析几何》前言中指出的：“解析几何没有严格确定的内容，对它来说，决定性的因素，不是研究对象，而是方法。这个方法的实质，在于用某种标准的方式把方程（方程组）同几何对象（图形）相对应，使得图形的几何关系在其方程的性质中表现出来。”这里所说的标准方式就是通过建立坐标系。由于解析几何方法解决各类问题的普遍性，它已经成为几何研究中的一个基本方法，而且，它还被广泛应用于精

确的自然科学领域如力学和物理学之中。

既然解析几何的重要性在于它的方法，那么在解析几何教学中，应该将重点放在阐明解析几何的基本研究方法上，通过对具体对象的研究，使学生掌握解析几何的一般研究方法，而不是让学生死记具体结论。

1.2 解析几何把代数和几何结合起来

在解析几何创立之前，代数已经有了相当的发展。几何中关于圆锥曲线的研究也早已于公元前3世纪到2世纪就得到了充分考虑的发展。笛卡尔的贡献在于把代数和几何结合起来，把以前数学家们不感兴趣的代数上的不定方程和几何中的曲线联系起来，从而把代数方法引进了几何的研究。尽管解析几何的创立不是一个巨大的技术成就，但在方法论上确是一个了不起的创见。

由于有了解析几何，一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目的可以通过代数来达到，另一方面，给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义，又可以得到启发去提出新的结论。拉格朗日曾把这些优点写进他的《数学概要》中：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，以快速的步伐走向完善。”的确，17世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于解析几何，可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象的。恩格斯在《自然辩证法》中对于笛卡尔的功绩给予了很高的评价，他说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了

变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”

由于解析几何是通过代数方法研究几何问题的，先要把几何问题翻译为代数问题，再把用代数方法得到的代数结果翻译成几何，因此在解析几何教学中，要始终强调注意几何概念的代数表达式及代数表达式的几何意义。尤其在高等数学多元函数微积分的教学中作用和意义更明显。

几何问题借助于坐标系转化为代数问题，从而用代数方法来解决，这是解析几何的主要功能。由于代数和几何的结合是双向的，因此反过来，代数问题有时也能借助于坐标系转化为几何问题，用几何方法来解决。这就是说，解析几何是一个双刃的工具，而这后一方面的功能往往被忽视了。

1.3 解析几何提供了科学所迫切需要的数量工具

从解析几何产生的历史背景看，它是在科学技术迫切需要数量工具的情况下产生的。它的产生为微积分的创立铺平了道路。研究物理世界，似乎首先需要几何，物体基本上是几何的形象，运动物体的路线是曲线，把科学应用到短程测地学、航海学，日历计算，天文预测，抛射体的运动，以及笛卡尔曾经搞过的透镜设计时，都需要数量知识。而解析几何使人能把形象和路线表示成代数和形式，从而导出数量知识。

1.4 解析几何将变量思想引入数学研究，创立了变量数学的思想解析几何将变量的思想引入数学研究，创立了数学变量研究的思

想。解析几何的前三点贡献是大家所公认的，但对于第四点的认识，往往被忽视。而笔者认为该点恰恰是了解析几何对现代数学研究的最重要贡献。从解析几何的创立历史看，笛卡尔创立解析几何的本意是创立一种研究数学的新方法以及沟通代数与几何的研究方法，这一点也是众多数学家所认可的。自笛卡尔引入坐标开始，其在无形中将前几个世纪的常量数学研究带入变量数学的范畴，用运动的观点，把曲线看成为点的运动的轨迹。从而为后来的高等数学的发展奠定了坚实的思想基础，也促进了高等数学的飞速发展。拉格朗日将数学的成就在很大程度上归功于解析法及解析几何的创立。1.5 解析几何的创立开创了应用数学的先河，奠定近代数学发展的基础

解析几何所提供的研究问题的方法和变量思想为数学应用提供

了范例，推动数学在社会各领域的应用，使数学的作用日益突现，为近代数学发展奠定了基础。

2 解析几何对数学教学的指导意义

了解解析几何的地位和作用，对于解析几何的教学也有重要的指导意义。

在数学教学中，只注意讲授本课程的具体知识，而不重视向学生阐明在这些具体知识中的基本数学思想。教会学生根据基本数学思想探索解题的具体方法，是数学教学的一项重要任务。因为具体知识是由基本数学思想统帅的。因此，在教学中：

2.1 培养坐标、坐标变换和不变量思想

关于坐标变换下的不变量的思想，在解析几何教学中，具有重要的意义。因为只有坐标变换下的不变量，才有可能用来表示几何量及几何关系，而几何量及几何关系是与坐标系的选取无关。因而为能自由选取坐标系提供了理论根据。它解决了“解析法是可信的”这个问题。同时为将来学习一般二次曲线、曲面的分类提供了理论根据。因此，坐标变换的概念以及坐标变换下的不变量的概念，是解析几何的最基本的概念，它们与坐标系的概念以及坐标的概念和曲线方程的概念一起，共同组成解析几何的基础。关于不变量的思想，在数学中特别在几何学中，是很根本的思想之一。各种不同的几何学就是研究在各种不同的变换下的不变量。如欧氏几何和射影几何就是分别研究图形在刚体运动和射影变换下的不变性和不变量。因此及早地让学生接触关于不变量的思想是很有好处的，而且也是很必要的。

2.2 培养分类思想

分类思想是数学中的基本思想之一，它包含在从古到今数学的所有分支之中，不论是初等数学还是高等数学都离不开分类的思想。因此，有意识地培养学生具有这一思想是数学教育的任务之一。数学中分类的思想有时表现为明显的分类问题，最典型的例如关于平面上二次曲线的分类问题。用不变量对一般二次曲线进行分类，是解析几何中理论性较强的内容之一，如果学生在中学已经初步接触到关于不变量的思想，到那时就比较容易接受和理解了。

2.3 培养思维的灵活性和开拓性、创新性