机器人静力学与动力学
机器人学_第六讲 静力学与动力学
J
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l1
cos1
l2
cos(1
2
)
l2 sin(1 2 )
l2
cos(1
2
)
JT
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l2 sin(1 2 )
l1 cos1 l2 cos(1 2 )
l2 cos(1 2 )
J T (q)F
Y0
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
1 90 2 90
1 l1Fx l2Fy 2 l2Fy
-90
l1 τ2
l2
Y0
τ1
90
X0
Fy F Fx
第六讲 2 动力学分析
机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。
机器人动力学的用途：
/projects/leglab/ robots/robots.html
相应满足静力平衡条件的关节驱动力矩
J T (q)F
2，已知关节驱动力，确定机器人手部对外界环境的作用力或
负荷的质量。
F J T (q)1
第六讲 1 静力学分析-机器人的静力计算
例，下图所示的二自由度平面关节机器人，已知手部端点力
F=[Fx,Fy]T,求相应于端点力F的关节力矩（忽略关节摩擦）。
m2 gl1(1 c1) m2 gp2 (1 c12 )
Ep Epi ,i 1,2
第六讲
2 动力学分析- 二自由度平面关节机器人的动力学方程
Y0
X0
l1
p1
θ1
m1
l2
m2
θ2
p2
5 系统动力学方程
L Ek Ep
Fi
机器人静力分析与动力学培训
2.1.2 机器人速度分析 对式 dX=J(q) dq 左、右两边各除以 dt 得 或表达为 v为机器人末端在操作空间中旳广义速度； 为机器人关节在关节空间中旳关节速度；J(q)为确定关节空间速度与操作空间速度v之间关系旳雅可比矩阵。 对于前面图示机器人 若令J1，J2分别为雅可比旳 第1列矢量和第2列矢量，则有 式中：右边第一项表达仅由第一种关节运动引起旳端点速度；右边第二项表达仅由第二个关节运动引起旳端点速度；总旳端点速度为这两个速度矢量旳合成。因此，机器人速度雅可比旳每一列表达其他关节不动而某一关节运动产生旳端点速度。 假如已知旳 及 是时间旳函数，即， ， 则可求出该机器人手部在某一时刻旳速度 v =f (t)，即手部瞬时速度。 反之，假如给定机器人手部速度，可解出对应旳关节速度为 式中：J–1称为机器人逆速度雅可比。
雅可比矩阵（6自由度机器人）联络机器人关节速度与末端旳笛卡儿速度设：（为便于体现，写成分块矩阵旳形式）
1、已知各关节旳速度求操作臂末端旳速度
假如但愿工业机器人手部在空间按规定旳速度进行作业，则应计算出沿途径每一瞬时对应旳关节速度。不过，当雅可比旳秩不是满秩时，求解逆速度雅可比J –1 较困难，有时还也许出现奇异解，此时对应操作空间旳点为奇异点，无法解出关节速度，机器人处在退化位置。
推而广之，对于n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量 q 表达，q= [q1, q2, …, qn]T，当关节为转动关节时qi=θi；当关节为移动关节时qi=di，dq= [dq1，dq2, … , dqn]T，反应了关节空间旳微小运动。机器人末端在操作空间旳位置和方位可用末端手爪旳位姿 X 表达，它是关节变量旳函数，X=X(q)，并且是一种6维列矢量。 dX=[dX，dY，dZ，φX，φY，φZ]T 反应了操作空间旳微小运动，它由机器人 末端微线位移和微小角位移(微小转动)组 成。有 dX=J(q)dq 式中：J(q)是6×n维偏导数矩阵，称为 n自由度机器人速度雅可比。
试论述机器人静力学,动力学,运动学的关系
试论述机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人学是一门研究机器人的运动、力学和控制的学科。
其中，机器人的静力学、动力学和运动学是机器人学中的三个重要分支，它们之间存在着密不可分的关系。
静力学是研究机器人在静止状态下的力学特性，主要包括机器人的力学结构、质心位置、静态稳定性等。
在机器人的设计和控制中，静力学是非常重要的，因为只有在机器人的静态稳定性得到保证之后，机器人才能进行安全和可靠的运动。
静力学的研究成果，可以为机器人的控制系统提供重要的参考依据。
动力学是研究机器人在运动状态下的力学特性，主要包括机器人的动力结构、速度、加速度、惯性等。
在机器人的控制和规划中，动力学是一个非常重要的研究方向，因为只有了解机器人的动态特性，才能更加有效地控制机器人的运动。
动力学的研究成果，可以为机器人的控制系统和运动规划提供重要的参考依据。
运动学是研究机器人运动的几何特性和空间关系的学科，主要包括机器人的位置、朝向、运动轨迹等。
在机器人的控制和规划中，运动学是非常重要的研究方向，因为只有了解机器人的运动特性，才能更加有效地控制机器人的运动。
运动学的研究成果，可以为机器人的运动规划和控制系统提供重要的参考依据。
综上所述，机器人的静力学、动力学和运动学之间存在着密不可分的关系。
在机器人的设计、控制和运动规划中，这三个分支相互作用，相互影响，共同推动了
机器人技术的不断发展。
第2章 机器人静力分析与动力学
起相互作用的力和力矩。机器人各关节的
驱动装置提供关节力和力矩，通过连杆传
递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。
关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力
和力矩之间的关系是机器人操作臂力控制
的基础。
精品课件
2.2.1 操作臂力和力矩的平衡
精品课件
如图2.3所示，杆i通过关节i和i+1分别与杆i–1和 i+1相连接，建立两个坐标系{i–1}和{i }。
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
2.3 机器人动力学方程
• 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉(NewtonEuler) 法、拉格朗日(Langrange)法、高 斯(Gauss)法、凯恩(Kane)法及罗伯逊-魏 登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。本节介 绍动力学研究常用的牛顿-欧拉方程和拉格 朗日方程。
精品课件
2.3.1 欧拉方程
• 欧拉方程又称为牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器 人机构的动力学方程是指：研究构件质心的运动使用牛顿 方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程。欧拉方 程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。
精品课件
2.3.2 拉格朗日方程
•
在机器人的动力学研究中，主要应用
拉格朗日方程建立起机器人的动力学方程。
这类方程可直接表示为系统控制输入的函
数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方
程也可建立比较方便而有效的动力学方程。
精品课件
精品课件
2.3.3 平面关节机器人动力学分析
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
精品课件
机器人静力学动力学
D1
D2
重力影响项
拉格朗日动力学方程理论应用
（1）已知各关节广义驱动力，构件质量、转动惯量，解
格朗日方程可求出各关节位移、速度、加速度表达式。 （ 2 ）已知末端夹持器轨迹、速度、加速度要求，解格 朗日方程可求出各关节为实现预定的运动参数所必须 施加在各关节上的广义驱动力
（3）为机器人运动控制提供理论基础
算简化
三 、拉格朗日方程法
一、力学分析思路进程（平面运动为例） 1、静力分析： 匀速运动或静止。不考虑惯性力，动载荷。 合外力或力偶距之和为零
F 0 M 0
• 2、 动力分析：变速运动。 • 解法 ①动力学方程法 •
F ma M J
• ②动静法—达伦伯原理－考虑惯性力 缺点：出现运动副反力
要准确实现预定的末端夹持器时变位姿及速 度，要按动力学方程求出各关节相应时变驱动
力矩。然后准确控制各伺服驱动马达的驱动力
矩。
• 二、动力学求解方法： • 常用以下两方法
• 1、牛顿—欧拉方程法
• (1)牛顿方程—刚体质心运动方程
dv F ma m dt
• (2)欧拉方程—刚体转动方程
M C I C I
构件刚体无弹性及塑性变形无间隙无摩擦等2实际各种干扰存在实际机械工作参数不准确性质量转动惯量等3动力学模型关节间耦合性极强参数相互影响解耦计算量惊人无法实时控制仅按拉氏方程开环控制准确实现预定运动规律不可能
• 第四章 机器人静力学 与动力学
Statics and Dynamics of Industrial Robot
(F F
i 1 i
n
gi
) 0
• 特点：不出现约束力，但方程数太多，解太多 的联立方程。
机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人的静力学、动力学和运动学是机器人技术研究中三个重要领域，它们之间存在
着相互关联，协同工作，构成了机器人技术的核心。
首先，机器人静力学是指机器人操作过程中机械结构在不变的平衡状态下运动学位置
及实时运动状态估计分析，被誉为机器人外部力分析和内力传递分析的基础学科。
它主要
通过建立机器人机械结构模型，利用关节形变、外力以及内力等物理变量，计算求解机器
人的内外力特性、机构的端部间的平衡、受力特性、稳定性及物体约束特性等。
其次，机器人动力学是指机器人的运动发生时，所做动力学建模、分析及控制的研究，因此它探讨的是关节力学、碰撞识别等方面的有关问题，它主要是要求在运动过程中求解
系统运动参数或者特征值，实现机器人动态分析与控制，研究动力学模型对机器人系统动
态性能的影响。
最后，机器人运动学是指动作规划及机器人运动控制之间相关问题的研究，通过研究
机器人通过方向轮，电机和关节的作用实现有用运动的方法，涉及关节角度、运动轨迹、
几何关系、姿态成份的工程化方法。
它是对机器人机械结构分析和动力学建模的补充，探
讨机器人各关节及机构动作之间相互关系，以及机器人运动要求下，机器人运动解的计算
及实现方法，使得机器人拥有大量的姿态组合，增加机器人的全局适应性。
由此可以看出，机器人的静力学、动力学和运动学形成了一个完整的研究体系，它们
相互交织，共同工作，它们提供了对机器人运动的有效把握，从而实现机器人的运动目标。
因此，机器人的静力学、动力学和运动学十分重要，它们是实现机器人运动控制的基础，
也将在机器人研究中发挥重要作用。
第3章 工业机器人静力学和动力学分析
注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第3章工业机器人静力学及动力学分析3.1 引言在第2章中，我们只讨论了工业机器人的位移关系，还未涉及到力、速度、加速度。
由理论力学的知识我们知道，动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。
要对工业机器人进行合理的设计和性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。
在本章中，我们将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。
在后面的叙述中，我们所说的力或力矩都是“广义的”，包括力和力矩。
工业机器人作业时，在工业机器人和环境之间存在着相互作用力。
外界对手部（或末端操作器）的作用力将导致各关节产生相应的作用力。
假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力和外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。
工业机器人静力学就是分析手部上的作用力和各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。
关节的驱动力和手部施加的力之间的关系是工业机器人操作臂力控制的基础，也是利用达朗贝尔原理解决工业机器人动力学问题的基础。
工业机器人动力学问题有两类：(1)动力学正问题——已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。
(2)动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。
研究工业机器人动力学的目的是多方面的。
动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。
动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。
利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。
工业机器人动力学模型主要用于工业机器人的设计和离线编程。
在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。
机器人静力分析与动力学
静力平衡方程
静力平衡方程是进行静力分析 的核心工具，它描述了机器人 受到的外力与内力之间的平衡 关系。
建立静力平衡方程需要考虑机 器人的质量分布、惯性、重力 以及关节摩擦力等影响因素。
通过求解静力平衡方程，可以 得到机器人在给定外力作用下 的变形、应力分布等重要参数 。
未来机器人技术将朝着更智能化、更灵活、更高效的方向发展，同时机器人在 医疗、农业、家庭等服务领域的应用也将越来越广泛。
02
机器人静力分析
静力分析的基本概念
静力分析是研究机器人在给定外力作用下的响应，通过静力分析可以确定机器人的 变形、应力分布、应变以及机器人结构的稳定性等。
静力分析主要基于静力平衡原理，即机器人受到的外力总和为零，处于静止状态。
排爆与救援
军事机器人用于排除爆炸物、救 援行动，保障人员安全。
05
机器人未来的挑战与展望
机器人技术的瓶颈与突破
材料科学
目前，许多机器人仍然受到材料科学的限制。为了制造更轻、更 强、更耐用的材料，需要进一步研究和开发新的材料。
感知与认知
机器人的感知和认知能力仍然有限。为了更好地适应环境，机器人 需要更强大的感知和认知能力。
能源与动力
目前的机器人能源供应仍然是一个问题。为了提高机器人的续航能 力和效率，需要研发更高效的能源和动力系统。
机器人在各领域的发展趋势
1 2 3
工业
随着工业机器人的智能化和自主化的发展，工业 机器人将能够更好地适应各种生产环境，提高生 产效率和产品质量。
医疗
随着医疗技术的进步，医疗机器人将更加精细化 和个性化，能够更好地满足患者的需求，提高医 疗水平和治疗效果。
第四章-静力学与动力学P讲解
约束.
如
x2 y2 l2
8
x
2 A
y
2 A
r2
xB
x
2
A
yB
yA 2
l2
yB 0
9
（2）定常约束和非定常约束 约束条件随时间变化的称
非定常约束. 不随时间变化的约束称定常约束.
x2 y2 l0 vt 2
17
总结：虚功原理解题步骤
分析系统所受主动力 选择虚位移
求力在虚位移上的虚功 静平衡系统虚功之和为零
求解
18
y
x z
忽略摩擦力和重力
F
利用虚功原理建立静力平衡方程，令
1, , i , , n T 为各关节驱动力；
T
F Fx , Fy , Fz , M x , M y , Mz 为操作空间广义力；
fi x1, y1, z1, , xn , yn , zn 0 i 1, 2, , s
n为质点数，S 为约束方程数.
11
2 虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何
无限小的位移称为虚位移 .只与约束条件有关.
虚位移 r, x, 等
y
A
rA
O
M
rB
q q1,, qi ,, qn T 为关节空间转角；
p
x
,
y
, z
,
x
,
y
,z
T
为操作空间位移；
于是，操作机的总虚功是：
机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人静力学,动力学,运动学的关系机器人静力学、动力学和运动学是机器人研究领域的三个重要分支。
它们相互交叉，彼此受益，共同构成了机器人技术的完整体系。
静力学，又称静态学，是研究物体在力学作用下的运动状态和形状变化的学科。
静力学的概念先由古希腊哲学家亚里士多德提出，是研究物体在力学作用下其位置改变和力学状态的学科，它是机器人学的基础理论，它可以帮助我们了解机器人的结构装配、控制方式、总体运动规律及机器人的力学响应等。
动力学是研究物体动力运动的活动特性及受力特性的学科，其主要研究内容是计算物体运动的轨迹、受力特性和作用力等。
它是机器人技术重要的理论基础，可以用来设计机器人运动控制系统，例如驱动机构控制、坐标系变换和轨迹规划等，帮助提高机器人的运动性能和精度。
机器人运动学是研究机器人运动空间及运动规律的学科，其主要研究内容包括机器人的轨迹定义、关节运动学、反向运动学等，它可以帮助分析机器人系统的性能、识别机器人的失效原因，为机器人运动控制设计提供理论支撑。
机器人静力学、动力学和运动学紧密相互联系，它们是机器人技术的三个重要分支。
静力学可以提供机器人的运动规律，动力学则提供机器人从静态到动态运动的转归，运动学可以分析机器人的运动规律。
由于三者相互交叉，彼此受益，它们共同构成了机器人技术的完整体系。
机器人静力学、动力学和运动学的研究不断发展，它们在各种领域的应用也在不断拓展，如机器人制造、积木机器人、服务机器人、智能机器人等，其作用日益凸现。
未来，编程、控制、传感等设计将继续优化，将有助于构建更加完善可靠的系统、更加灵活多样的机器人。
总之，机器人静力学、动力学和运动学之间有着密不可分的联系，它们共同构成了一个完整的机器人技术体系。
随着未来机器人技术的发展，它们将发挥更大的作用，为人类更多的工作和生活带来更多的便利。
机器人静力学和动力学
r
是速度分析时引出的雅可比矩阵， 式中 J ——是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应 是速度分析时引出的雅可比矩阵 的偏速度。 的偏速度。 上式是针对操作机的关节力和执行器参考点 Pe 间所产生的 力和力矩之间的关系式。 力和力矩之间的关系式。 该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可 进行变换。这种变换关系， 比矩阵 J 进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固 联直角坐标系中的广义力变幻， 联直角坐标系中的广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐 标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。 标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。
于是，操作机的总虚功是： 于是，操作机的总虚功是：
τ = [τ 1 , ⋅ ⋅ ⋅, τ i , ⋅ ⋅ ⋅, τ n ]
r
T
r T r ur T u r δW = τ δ q − Q δ p
根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功 虚功之和 虚功之和)为 ， 根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和 为0， 即
ur
9
利用虚功原理建立静力平衡方程， 利用虚功原理建立静力平衡方程，令
ur T Q = Fex , Fey , Fez , M ex , M ey , M ez r T δ q = [δ q1 , ⋅ ⋅ ⋅, δ qi , ⋅ ⋅ ⋅, δ q n ] u r T δ p = δ xe , δ y e , δ z e , δϕ x , δϕ y , δϕ z
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递 在操作机中， 在操作机中，任取两连杆 L i ， i +1 。设在杆 Li +1上的 Oi +1 点 L uu r ur ur 作用有力矩 M i +1和力 F i +1；在杆 L i 上作用有自重力 G i 过质 〔 u r uu r r 的向径。 心 C i ）；i 和 rCi 分别为由 Oi 到 Oi +1 和 C i 的向径。 uu r ur M i +1 F i +1
机器人基础原理 第6章 静力学及动力学建模
2
q k
j 1 k 1 q j
• 连杆3的动能为:
T
3
3
T3
T3
1
3
3 T
K3 dK3 Trace
( rp rp dm) q j qk Nhomakorabea2
q
q
j 1 k 1 j link3
k
link3
2024/2/17
gT Ti i rdm gT Ti
link i
i
rdm
link i
g T Ti mi i ri mi g T Ti i ri
2024/2/17
13
动能和位能的计算
• 连杆i上位置ir 处的质点dm，其位能为：
dPi dmg r g Ti rdm
T0
T
i
• 机械手系统的总位能为：
I
q i q
k
j
Ti T TiT
Ti TiT
Ii
Ii
Trace
Trace
q j
qk
qk q j
n
i
Ti Ti T
L
Trace
Ii
q p i 1 k 1
qk q p
2024/2/17
机器人基础原理 第6章静力学及动力学建模
• 当不考虑机器人的柔性时，可将机器人视为多刚体
系统。
• 机器人动力学建模方法主要有两种：
• 一种是基于能量平衡的拉格朗日方程方法，
• 另一种是基于力平衡的牛顿-欧拉方程方法。
第二章 机器人静力分析与动力学
假如已知外界环境对机器人末杆的作用力和力矩，那么可 以由最后一个连杆向零连杆(机座)依次递推，从而计算出 每个连杆上的受力情况。
2.2.2 机器人力雅可比
为了便于表示机器人手部端点的力和力矩(简称为端点广义力F )，可 将 fn，n+1和nn，n+1合并写成一个6维矢量
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，利用虚功 原理推导机器人手部端点力F 与关节力矩τ的关系。
2.1 2.2 2.3 2.4
机器人雅可比矩阵 机器人静力分析 机器人动力学方程
机器人的动态特性
2.1 机器人雅可比矩阵 机器人雅可比矩阵J（简称雅可比）揭示了操作空间与 关节空间的映射关系。不仅表示速度映射关系，也表示力 的传递关系。 也 称机器人雅可比矩阵J为机器人的速度雅可比，具体为： 它反映了关节空间微小运动dθ与手部作业空间微小位移 dX 的关系。J中元素是关于θ1及θ2的函数。
2.2 机器人静力分析
机器人各关节的驱动装置提供关节力和力 矩，通过连杆传递到末端执行器，克服外 界作用力和力矩。关节驱动力和力矩与末 端执行器施加的力和力矩之间的关系是机 器人操作臂力控制的基础。
2.2.1 操作臂力和力矩的平衡 如图示，杆 i 通过关节 i 和 i+1 分别与杆 i–1和 i+1相连 接，建立两个坐标系{i–1}和{i}。
换言之：机械手的操作速度与关节速度间的线性变换定义
为机械手的雅可比矩阵。
x x(q ) J (q)q x
xi (q) J ij (q) , q j i 1,2,,6, j 1,2,, n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
例1 求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图)。 解：设已知
5
6
7
二、操作机的静力平衡
设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩 i(广
义驱动力，指向 zi 的正向)，在末端执行器的参考点 Pe处
将产生力 F e和力矩 M。e 由于 F、e M是操e 作机作用于外界
应提供的关节力或关节力矩，记作 ，i 其大小为
i k Fi
kMi 3
当忽略杆件自重时 Gi ，上式可简记为 ：
i
Fi
i
R i 1
M
i i
r i
i
R i 1
0
F
i 1 i 1
i
Ri
1
M
i i 1
若以 i0 表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节 则有 ：
n
i i0 ki (r i,C j G j ) j i
式中 J ——是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应 的偏速度。
上式是针对操作机的关节力和执行器参考点 Pe间所产生的 力和力矩之间的关系式。
该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比 矩阵 J 进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直 角坐标系中的广义力变换，这时应将关节空间与直角坐标空间 的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。
对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 故应取负值。
一 i起进行运算，
8
利用虚功原理建立静力平衡方程，令
1, , i , , n T 为各关节驱动力；
Q Fex , Fey , Fez , Mex , Mey , Mez T 为末端点广义力；
q q1,, qi ,, qn T 为各关节位移；
1
10.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递
在操作机中，任取两连杆 L，i Li。1 设在杆 L上i1的 O点i1作 用有力矩 M和i力1 ；F在i1杆 上作Li用有自重力 〔过G质i
心 Ci）；ri和 rC分i 别为由 O到i O和i1 的C向i 径。
F i1
M i1
2
按静力学方法，把这些力、力矩简化到 Li 的固联坐标系 oi xi yi zi ，可得：
10
例2 如图，操作机的手爪正在持板手扭某一螺栓，手爪上 方 联接一测力传感器可测六维力向量(力和力矩)。试确定测力传 感器和扭动板手时力和力矩的关系。
11
解：
设在测力传感器上置坐标系 Sf ( Of uv)w，在螺栓上置坐标 系 S ( O )xy。z 在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚体的 无限小位移(平移和转动)可表示为六维向量，故对二者的微位
0
0
1
0
y
w 0 0 0 0 0 1 z
12
前式也可以从前图直观求得。
设 P 为相应于 q的关节广义力向量， Q为相应于 的p 末 端广义力向量，则可得：
Fx 1 0 0 0 0 0 Fu
Fy
0
1
0
0
00FvQ NhomakorabeaFz
M x
0 0
0 rz
1 ry
0 1
0 0
0 0
移可分别表示为：
p x, y, z,x , y ,z
q u, v, w,u ,v ,w
由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：
u 1 0 0 0 rz ry x
v
0
1
0
rz
0
rx
y
w 0 0 1
q
u
0
0
0
ry 1
rx 0
0 z
0
x
J
p
v
0
0
p xe , ye , ze ,x ,y ,z T 为末端点位移；
于是，操作机的总虚功是：
W
T
q
T
Q
p
根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和)为0，
即：
T
q
T
Q
p
0
9
由机器人运动微分关系可知， p J，q 则有 J T QT q 0
因为 qi 是独立坐标，则 q ，0所以有 JTQ
第十章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。
机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。
机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，难以 用于机器人实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象 的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其 适合于实时控制的要求，是机器人动力学研究追求的目标。
1．拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建 立机器人的动力学方程 。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、 J.M.Hollerbach等。计算量O(n4)，经优化O(n3)，递推O(n)。
2．牛顿—欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动 表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程 的动力学方程。代表人物Orin, Luh(陆养生)等。计算量O(n)。
Fi Fi1 Gi
M i M i1 ri F i1 rCi Gi
或
Fii
R F i
i 1
i1 i1
R0i Gi0
Mii
R M i
i 1
i1 i1
rii
R F i
i 1
i1 i1
rCii
R0i Gi0
式中 Gi0 mi(g 为mi杆 的L质i 量)。
求出 F和i M在i 轴zi上的分量，就得到了关节力和扭矩，它 们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所
二、机器人动力学研究的问题可分为两类： 1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器
人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 , 求 , 和 ，称为动力学正问题）。
2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力
（矩）（即已知 , 和，求 , 称为动力学逆问题 ）。
14
三、动力学研究方法：
Fw
Mu
J
T
P
M
y
rz
0
rx
0
1
0
M
v
M z ry rx 0 0 0 1 M w
上式也可直接用虚功原理求得。
13
10.2 机器人动力学概述
一、研究目的：
1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。2、 解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）
在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有 效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各 关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。