刘竞琰数论(5)余数问题(1)

教案

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数论(五)余数问题

【知识点概述】

一、带余除法的定义及性质：

1.带余除法的定义：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有

a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；

(1)当0

r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(2)当0

r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数)

性质1：余数小于除数

性质2：=⨯+

被除数除数商余数

除数（被除数-余数）商

=÷

=÷

商（被除数-余数）除数

性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

⨯除以5的余数等于例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)

313

⨯=。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319)⨯除以5的余数等于

3412⨯=除以5的余数，即2.

【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，

对于我们求一个数的n 次方除以一个数的余数时非常的有用。

二、数的同余

1.同余定义

若两个整数a、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a、b 对于模m 同余，用式子表示为：a≡b (mod m )

同余式读作：a 同余于b，模m

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a≡b (mod m )，

那么一定有a－b＝mk,k 是整数，即m|(a－b)

这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。

例如：（1）15365(mod 7)≡，因为36515350750

-==⨯（2）5620(mod 9)≡，因为56203694

-==⨯（3）900(mod10)≡，因为90090910

-==⨯由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为0(mod )a m ≡例如，我们表示a是一个偶数，可以写为2(mod 2)a ≡,

表示b为一个奇数，可以写为1(mod 2)

b ≡我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。）

性质1：a≡a（mod m）（反身性）

性质2：若a≡b (mod m ),那么b≡a (mod m )（对称性）

性质3：若a≡b (mod m )，b ≡c(mod m )，那么a≡c (mod m )（传递性）

性质4：a≡b (mod m ),c≡d (mod m ),那么a±c≡b±d (mod m )（可加减性）

性质5：若a≡b (mod m )，c≡d (mod m ),那么ac≡bd (mod m )

（可乘性）性质6：若a≡b (mod m )，那么a n ≡b n (mod m),（其中n 为自然数）欢迎关注奥数轻松学公众号 余老师薇芯：69039270

性质7：若ac≡bc(mod m)，（c，m）＝1,那么a≡b(mod m)

三.弃九法

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234189818922678967178902889923

++++=

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法性质，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边

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和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加、相减，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式5678953

++++=时，

5除以9的余数为5，6除以9的余数为6，7除以9的余数为7，8除以9的余数为8，9除以9的余数为0，余数的和为26，除以9的余数为8，等式右边的和53除以9的余数也为8，虽然余数相同，但是很容易发现5678935

++++=，所以弃九法只能告诉我们算式“一定是错的”或者“有可能是对的”。

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九