微分计算及练习题

微分计算及练习题
一、概念 二、可微与可导的关系 三、微分近似计算 四、微分运算法则 五、复合函数的微分 六、理解举例
一、概念
1、引入实例 正方形边长改变时面积的改变量
设正方形边长为x0 ,则其面积为S x02
x
若边长改变x,则其面积变为S (x0 x)2
S S S (x0 x)2 x02 x0 S
(1) y f (2x 1)
解： dy d f (2x 1) f (2x 1)d(2x 1)
2 f (2x 1)dx
(2) y f (x2 1) 解： dy d f (x2 1) f (x2 1)d (x2 1)
2xf (x2 1)dx
(3) y f (sin x)
解： dy d f (sin x) f (sin x)d sin x
2x0x (x)2
x0
当 x 1时,(x)2就更小,此时有 S 2x0x
2x0x为S的主部
2、微分
设y f (x)在x0的某一邻域内有定义, 若有 y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)(x 0),其中A与x无关,
则称y f (x)在x0可微,且称Ax为f (x)在x0的微分,记作
R 0.01
R 0.01
0.13 (cm3)
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
四、微分运算法则
依微分与导数 的关系及求导 法则，我们有
1.d (C) 0(C为常数) 2.d(Cf (x)) Cdf (x)(C为常数)
3.d[ f (x) g(x)] df (x) dg(x)
当x
0时y
0 , 由上式得
d
y
x0
1 2
d
x
4. y e13x cos x, 求 dy 解 dy d (e13x cos x)
d(uv) vdu udv
cos xd (e13x ) e13xd (cos x)
(cos x)e13xd (1 3x) e13x ( sin xdx)
e13x 3cos x sin x dx
4.d[ f (x) • g(x)] g(x)df (x) f (x)dg(x)
5.d
f (x)
g(x)
g(x)df
(x) f (x)dg(x) [ g ( x)]2
(g(x)
0)
五、复合函数的微分
1、法则 设y f [g(x)]是由可微函数y f (u)和u g(x)复合而成, 则y f [g(x)]关于x可微,且有
cos xf (sin x)dx
(4) y f (ex )
解：dy d f (ex ) f (ex )dex ex f (ex )dx
微分计算练习题
1. 已知
求
解：因为
所以
2. 已知
求
解：方程两边求微分, 得
3. 设
由方程
确定,
求
解: 方程两边求微分, 得
3 x2 d x 3 y2 d y 3 cos 3x d x 6 d y 0
dy x1 2dx, dy x0 0
例3. 求
的近似值 .
解: 设 f (x) sin x ,
取
则 dx
180
sin 29 sin 29 sin cos ( )
180
6
6 180
1 3 (0.0175) 22
例4. 计算
的近似值 .
1
解:
(243 2)5
35 243
9
可得 dy 9x dx 16 y
所以切线斜率为
9x
3
K切
16 y
x2
y3 3
4
2
所以，所求切线方程为 y 3 3 3 x 2
求
隐 函 数 的 导 数 更 为 方 便 。
利 用 微 分 的 形 式 不 变 性
2
4
即 3x 4y 8 3 0
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近 .
特别当 x0 0 , x 很小时, f (x) f (0) f (0)x
常用近似公式: ( x 很小)
1x
证明: 令 f (x) (1 x)
得 f (0) 1, f (0)
当 x 很小时,
x
1 x
5. y ln(1 ex2 ), 求 dy
复合函数的微分
解
dy
1
1 e
x2
d (1 ex2 )
1 1 ex2
ex2 d(x2 )
2 xe x2 1 ex2
dx
6.
求椭圆
x2 y2 16 9
1在点
2,
3
3 2
处的切线方程。
解 将方程两边同时微分，得
1 2xdx 1 2ydy 0
16
导数也叫作微商
三、 微分在近似计算中的应用
y f (x0 )x o(x) 当 x 很小时, 得近似等式:
y f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x
令 x x0 x f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
x x(t) y y(t)
t [, ]
其中x(t), y(t)关于t可导,且有x(t) 0,求 dy dx
解： Q dy y(t)dt, dx x(t)dt, x(t) 0
dy y(t)dt y(t) ,t [, ]
dx x(t)dt x(t)
例8 设y f (u)可微,求下列函数的微分
d f [g(x)] f [g(x)]g(x)dx f [g(x)]dg(x) 注： 上述结论中的等式 dy f (g(x) dx f (u)du
称为一阶微分的形式不变性，即对于一阶微分来说，不管是对于自变量， 还是中间变量，微分的形式是一样的，都有
dy f (x)dx
六、理解举例
例7 （参数方程函数求导法则） 设参数方程
即 dy f (x0 )x
线性主部
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
当 f (x0 ) 0 时 , lim y lim y x0 dy x0 f (x0 )x 1 lim y 1 f (x0 ) x0 x
所以 x 0 时 y 与 dy 是等价无穷小, 故当 x
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
定理 : 函数
在点 x0可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
dy f (x0 )x
“充分性”已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f
(x0 )
y x
f
(x0 )
( lim 0 ) x0
故 y f (x0 )x x f(x0 )x o(x)
3(1
2
1
)5
243
(1 x) 1 x
3 (1 1 2 ) 5 243
3.0048
例5. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需 用铜多少克 .
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
R 1 4 R2R R 1
x
x
例1 求 5 0.99的近似值
解： 取f (x) 5 x, x0 1, x 0.01,则有
5 0.99 f (1 0.01) f (1) f (1)(0.01)
1 0.01 0.998 5
例2 设y x2,求dy, dy x1 , dy x0
解： dy d (x2 ) (x2 )dx 2xdx
很小时, 有近似公式
y dy
2.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dy f (x0 )x tan x
当 x 很小时, y dy 当y x 时，
记பைடு நூலகம்
y x dx 称x为自变量的微分, 记作 dx 则有 dy f (x) dx
dy
y y f (x)
y
o
x0
x
x0 x
从而 dy f (x) dx
dy xx0 df xx0 Ax
若f (x)在(a,b)内处处可微,则称f (x)在(a,b)内可微,此时有
dy df (x) A(x)x
二、可微与可导的关系
1. 定理 : 函数
在点 x0可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)