圆和圆的位置关系PPT课件
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圆与圆的位置关系ppt课件
解法一：联立C1,C2方程 x2+y2+2x+8y-8=0 x2+y2-4x-4y-2=0
解法二：化标准方程
类型一 圆与圆的位置关系的判定
1.已知圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2 的位置关系是 ( )
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
2.圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为 ( )
2．若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为 2 3 ，则 a＝( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2
类型三 两圆相交问题
圆与圆位置关系的应用【典例】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋ y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB
y
X
问题：两圆相交时，圆心距和半径之间有何关系？
Rr
•
O1
d • O2
R-r<d<R+r (R≥r)
01 圆与圆的位置关系
问题：两圆相切时，圆心距和半径之间有何关系？
O1• R r •O2
d （c） 两圆外切: d=R+r（R>r）
O1• O• 2
r R
（d） 两圆内切： d=R-r(R>r)
01 圆与圆的位置关系
类型三 两圆相交问题
公共弦相关的问题
【典例1】已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为
() y
A. 3
B.2 3
圆与圆的位置关系ppt课件
－14y＋k＝0相交、相切、相离？
5、已知点B(2,-2)以及圆 x2＋y2－6x＝0与圆 x2＋y2＝交点的圆方程
6、已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点P的轨迹.
解法一 : 参数法(常规方法)
设过A的弦所在的直线方程为y 2 k ( x 1)(k存在时), P ( x, y ),
O
A
x
例5、已知⊙C x2＋y2－x＋2y＝0, 关于l： x－y＋1＝0对称的圆方程.
变式、已知点A是⊙C x2＋y2－x＋2y＝0上的点,点P是直线l： x－y＋1＝
0上的点，点B(0,3)，求|PA|+ |PB|的最小值.
巩固练习
1.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系（
2. 若两圆相切(内切或外切), 则公切线所在直线方程为
( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0 (也就是两圆方程相减所得)
例3．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
x
思考
观察两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？
0个
•
•
C1
外离
C2
1个
2个
•
1个
•
C1
外切
C2
0个
1个
2个
•
1个
•
C1
相交
C2
0个
•
C1
•
C2
内切
••
C1 C2
内含
知识点1、圆与圆的位置关系
5、已知点B(2,-2)以及圆 x2＋y2－6x＝0与圆 x2＋y2＝交点的圆方程
6、已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点P的轨迹.
解法一 : 参数法(常规方法)
设过A的弦所在的直线方程为y 2 k ( x 1)(k存在时), P ( x, y ),
O
A
x
例5、已知⊙C x2＋y2－x＋2y＝0, 关于l： x－y＋1＝0对称的圆方程.
变式、已知点A是⊙C x2＋y2－x＋2y＝0上的点,点P是直线l： x－y＋1＝
0上的点，点B(0,3)，求|PA|+ |PB|的最小值.
巩固练习
1.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系（
2. 若两圆相切(内切或外切), 则公切线所在直线方程为
( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0 (也就是两圆方程相减所得)
例3．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
x
思考
观察两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？
0个
•
•
C1
外离
C2
1个
2个
•
1个
•
C1
外切
C2
0个
1个
2个
•
1个
•
C1
相交
C2
0个
•
C1
•
C2
内切
••
C1 C2
内含
知识点1、圆与圆的位置关系
《圆与圆位置关系》课件
《圆与圆位置关系》ppt课件
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
圆圆和圆的位置关系课件ppt
外公切线、公切线
详细描述
两圆外公切线的交点位于两圆半径之差的绝对值处，由此可判断两圆的位置 关系。
利用内公切线判定
总结词
内公切线、公切线
详细描述
两圆内公切线的交点位于两圆半径之和处，由此可判断两圆的位置关系。
04
圆和圆的位置关系的计算
计算圆心距
总结词
衡量两个圆心的距离
公式
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2y_1)^2}$
作已知圆的内外公切线及内心线
利用已知圆的方程，根据圆心和切线的性质作已知 圆的内外公切线及内心线。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直线 方程，再根据切线性质求出切线长。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直 线方程，再根据切线性质求出切线长。
THANKS
内切圆的半径等于两圆半径之差； 两圆内切时，内切圆的直径等于两圆半径之差。
外切圆和内切圆的比较
01
外切圆和内切圆都是关于两圆的圆心对称的，它们的位置关系可以通过比较两 圆的半径和圆心距来确定；
02
外切圆和内切圆的半径和圆心距的关系相反，外切圆的半径和圆心距等于两圆 半径之和或之差，而内切圆的半径和圆心距等于两圆半径之差或之和；
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距等于两圆 的半径之差。
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距小于两圆 的半径之差。
计算两个圆的圆心距和半径
通过两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并判断两个圆的位置关系。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的公共弦所在的直线方程。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的交点坐标。
特点
详细描述
两圆外公切线的交点位于两圆半径之差的绝对值处，由此可判断两圆的位置 关系。
利用内公切线判定
总结词
内公切线、公切线
详细描述
两圆内公切线的交点位于两圆半径之和处，由此可判断两圆的位置关系。
04
圆和圆的位置关系的计算
计算圆心距
总结词
衡量两个圆心的距离
公式
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2y_1)^2}$
作已知圆的内外公切线及内心线
利用已知圆的方程，根据圆心和切线的性质作已知 圆的内外公切线及内心线。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直线 方程，再根据切线性质求出切线长。
根据已知圆的方程，求出过切点的半径所在的直 线方程，再根据切线性质求出切线长。
THANKS
内切圆的半径等于两圆半径之差； 两圆内切时，内切圆的直径等于两圆半径之差。
外切圆和内切圆的比较
01
外切圆和内切圆都是关于两圆的圆心对称的，它们的位置关系可以通过比较两 圆的半径和圆心距来确定；
02
外切圆和内切圆的半径和圆心距的关系相反，外切圆的半径和圆心距等于两圆 半径之和或之差，而内切圆的半径和圆心距等于两圆半径之差或之和；
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距等于两圆 的半径之差。
两圆之间的位置关系是 两圆的圆心距小于两圆 的半径之差。
计算两个圆的圆心距和半径
通过两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并判断两个圆的位置关系。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的公共弦所在的直线方程。
根据两个圆的方程计算出两个圆的圆心距和半 径，并求出两个圆的交点坐标。
特点
圆九年级数学《与圆的位置关系》课件
4、如图，圆O1、圆O2相交于点A、B，过点A的 作CD⊥AB交两圆于点C、D，求证：CD=2O1O2
C
A
D
O2
O1
B
圆与圆的位置关系
新课引入
O1
O2
圆O1沿直线O1O2向右运动，它与 圆O2的交点数有何变化情况？
学习目标
了解圆与圆的五种位置关系，会根据圆 心距判断圆与圆的位置关系
自学探究
自学课本45~46页，回答下列问题 1、圆与圆有几种位置关系？如何判断？ 2、当两圆相交、外切、内切时连心线有何性 质？
疑探交流
当圆心O1和圆心O2重合时，即d=0时，两圆 是同心圆
A
O1 C
O2
B
定理：两圆相交时， 连心线垂直平分两 圆的公共弦
O1
C
O2
定理：两圆 相切时，连 心线过切点
当堂检测 1、圆O1、圆O2的半径分别为3cm、4cm.若设： （1）O1O2=8cm，（2）O1O2=7cm，（3）O1O2=5cm， （4）O1O2=1cm，（5）O1O2=0cm，（6）O1O2=0.5cm 2、已知：两圆的圆心距为6cm，其中一个圆的半 径为1cm，在下列条件下，求另一个圆的半径r或 取值范围 （1）两圆外切 （2）两圆内切 （3）两圆内含 3、三角形三边分别为2、3、4，以各顶点作圆， 三个圆两两外切，求这三个圆的半径.
针对上述问题，组内交流合作，先对议， 再组议
学教新课
O1
O2
外离
Hale Waihona Puke O1O2外切
O1
O2
O1
O2
O1 O2
相交
内切
内含
连接O1O2，上述五种位置关系中，圆心距d与 两圆半径R、r有何关系？
圆与圆的位置关系(34ppt)
外离:两圆无公共点, 并且每个圆上的点 都在另一个圆的外 部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公
共点外,每个圆上的点都在另一个圆
的外部时,叫两圆外切.
7
相交:两圆有两个公 共点时,叫两圆相交.
切点
内切:两圆有一个公共 点,并且除了公共点外, 一个圆上的点都在另 一个圆的内部时,叫两 圆内切.
..
O
P
解：设⊙P的半径为R (1)若⊙O与⊙P外切，
则 OP=5+R=8 (2)若R⊙=3O与cm⊙P内切，
则 OP=R-5=8
R=13 cm
所以⊙P的半径为3cm或13cm
21
练一练 1.填写表格(一)
r1
r2
d 两圆的位置关系
9
外离
8
外切
5
5
3
2
相交 内切
1
内含
0同心圆55源自0互相重合22
2.已知:⊙A、⊙B的半径分别是3cm、5cm,圆心 距为10cm,请你判断这两个圆的位置关系． 外离
（×）
24
1.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的 位置关系为( C )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( B )
A.d＜6 B. 4＜ d ＜6 C.4≤d≤6 D.1＜d＜5 3.若半径为7和9的两圆相切,则这两圆的圆心距长一定为( C )
x29x14 0的两根,则两圆的关系为 内切 .
9.两圆的半径为5和3,且两圆无公共点,则两圆圆心距d的取值 范围为 d＞8或d＜2.
31
巩固练习
填空题：1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，设d=O1O2 ： （1）当d=9时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___外__离____. （2）当d=8时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___外__切____. （3）当d=5时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___相__交____. （4）当d=2时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___内__切____. （5） 当d=1时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是__内__含_____. （6）当d=0时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_同__心__圆____.
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
2.5.2圆与圆位置关系 课件(共18张PPT)
2.5.2圆与圆的位置
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
学习目标
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
核心素养：逻辑推理、数学建模
探索新知 两个大小不等的圆的位置关系
所以，方程(4)有两个不相等的实数根1, 2,
因此圆1与圆2有两个不同的公共点．
所以圆1与圆2相交，它们有两个公共点, .
典例剖析
判断两圆位置关系的方法
例1 已知圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0和圆2：2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0，试判断圆1与圆2的位置关系.
A
先动手后动脑
x
1.画出两圆的图象和方程 + 2 − 1 = 0表示的直线的图象
2.你发现了什么？你能说明什么吗？
2
B
1
理论迁移
例1
设圆1: 2 + 2 + 2 + 8 − 8 = 0,圆2: 2 + 2 − 4 − 4 − 2 = 0,试判断圆1与圆2的关系.
1.求两圆的公共弦所在的直线方程.
几何法判断两圆的位置关系的一般步骤
（1）把两圆的方程化成标准方程；
（2）求出两圆的圆心坐标及半径，；
（3）求两圆的圆心距；
（4）比较与 − ， + 的大小关系，得出结论：
①若 > + ，则两圆外离；
②若 = + ，则两圆外切；
③若 − < < + ，则两圆相交；
圆与圆的位置关系ppt课件
1.公共弦的定义：两圆相交时两个交点的连线；
2.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。
A
O1
3.求两圆公共弦所在直线方程：
法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程
O2
B
法2：两圆方程作差
已知圆C1 : x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0①, 圆C2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0②,
AB
1 62 3 22
5 2
探究交流 题型二 公共弦问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立圆C1与圆C2的方程，得
圆心到直线的距离d
（点到直线距离公式）
d r : 相交
d r : 相切
d r : 相离
得到一元二次方程
mx2 nx t 0
0 : 相交
0 : 相切
0 : 相离
探究交流
问题1：在平面中，圆与圆的位置关系有几种？
B. 外离、外切、相交、内切、内含
2
4
2
3
17
圆心坐标是 2, , 半径长r2
2
2
因为2024/7/7
r1 r2 1 r1 r2 ,两圆相交
两圆方程相减, 得2 x 1 0,
所以圆C1与圆C 2的公共弦所
18
在直线的方程为
2x 1 0
1
方法二：两圆方程相减, 得 : x
2.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。
A
O1
3.求两圆公共弦所在直线方程：
法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程
O2
B
法2：两圆方程作差
已知圆C1 : x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0①, 圆C2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0②,
AB
1 62 3 22
5 2
探究交流 题型二 公共弦问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立圆C1与圆C2的方程，得
圆心到直线的距离d
（点到直线距离公式）
d r : 相交
d r : 相切
d r : 相离
得到一元二次方程
mx2 nx t 0
0 : 相交
0 : 相切
0 : 相离
探究交流
问题1：在平面中，圆与圆的位置关系有几种？
B. 外离、外切、相交、内切、内含
2
4
2
3
17
圆心坐标是 2, , 半径长r2
2
2
因为2024/7/7
r1 r2 1 r1 r2 ,两圆相交
两圆方程相减, 得2 x 1 0,
所以圆C1与圆C 2的公共弦所
18
在直线的方程为
2x 1 0
1
方法二：两圆方程相减, 得 : x
说课圆与圆的位置关系课件
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相离的条件和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心距，得出两 圆相离的条件是圆心距大于两圆半径之和或差。然后， 根据相离的定义，我们可以得出两圆相离的性质，如离 点的性质、离点与圆心连线与连心线夹角相等等。
内含关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明一个圆内含于另一个圆的情况。
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相交的条件 和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心 距，得出两圆相交的条件是圆心距小于两圆 半径之和且大于两圆半径之差。然后，根据 相交的定义，我们可以得出两圆相交的性质 ，如交点的性质、交点与圆心连线与连心线
夹角相等、交弦的性质等。
相离关系的证明
详细描述
首先，我们可以通过比较一个圆的半径和另一个圆的半径及圆心距，得出一个圆内含于 另一个圆的条件是该圆的半径小于另一个圆的半径且该圆的圆心到另一个圆的圆心的距 离也小于另一个圆的半径。然后，根据内含的定义，我们可以得出内含的性质，如内含
的点和线段的性质等。
重合关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明两个圆完全重合的情况。
分类
根据两圆交点的个数，可以将两 圆的位置关系细分为外离、内含 、外切、内切、相交五种。
判定方法
代数法
通过比较两圆的圆心距与两圆半径之 和或差的关系，来判断两圆的位置关 系。
几何法
通过观察两圆的交点个数或两圆是否 相切，来判断两圆的位置关系。
性质研究
两圆相交时，连心线 垂直平分两圆的公共 弦。
两圆相离时，连心线 与两圆的距离相等。
提高习题解析
总结词
应用知识解决实际问题
高中数学必修二教学课件圆与圆的位置关系共9张PPT
两圆五种位置关系中 两圆半径与圆心距的数量关系
图 形
公共 点个
数
性质 及判 定方
法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0
与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2
y2
4
与
x y
3 2cos 1 2cos
判断两圆位置关系的方法：
1.几何方法
小结：
1、圆和圆的五种位置关系、判断及应用。 2、相交两圆的有关计算。 3、圆的几何性质及运用。
A
O
Bx
6. 过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0
和 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点 且圆心在直线 x - y - 4 = 0上的圆方程是( ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
的公切线有且仅有
条。
3. 求与点A(1,2)的距离为1，且与 点B(3,1)之距离为2的直线共有 条。
4.已知以C(- 4,3)为圆心的圆
与圆 x2 y2 1相切，求圆C的方程。
5.过圆 x2 + y2 = 4外一点 P( 3 , 4 )
作圆的两条切线，切点分别为数方法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0 与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2 y2 4
与
x y
32 1
图 形
公共 点个
数
性质 及判 定方
法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0
与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2
y2
4
与
x y
3 2cos 1 2cos
判断两圆位置关系的方法：
1.几何方法
小结：
1、圆和圆的五种位置关系、判断及应用。 2、相交两圆的有关计算。 3、圆的几何性质及运用。
A
O
Bx
6. 过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0
和 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点 且圆心在直线 x - y - 4 = 0上的圆方程是( ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
的公切线有且仅有
条。
3. 求与点A(1,2)的距离为1，且与 点B(3,1)之距离为2的直线共有 条。
4.已知以C(- 4,3)为圆心的圆
与圆 x2 y2 1相切，求圆C的方程。
5.过圆 x2 + y2 = 4外一点 P( 3 , 4 )
作圆的两条切线，切点分别为数方法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0 与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2 y2 4
与
x y
32 1
初中数学九年级《圆与圆的位置关系》-完整版PPT课件
圆 系
关 置
与 圆
的 位
2008 新北京新奥运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另 一个圆的外部时,叫两圆外离
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外, 每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两 圆外切
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个 圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心 距O1O2分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）０cm （２）８ cm
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一 个圆的内部时,叫两圆内含
圆心距：两圆心之间的距离
外离
外切
相交
内切
内含同心圆
圆
外离
与
相离
圆 的
内含
位
外切
置
相切
关
系
内切
相交
两圆位置关系的性质与判定:
演示
0
两圆外离
位置关系
R―r
性质
d 和R、 r关系
Rr
d >R+ r
两圆外切
d =R+ r
两圆相交
判断： 1 两圆无公共点，两圆一定外离 （ ）
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心距O1O2 分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）2cm （２）4 cm 3 6 cm
判断： 2 当两圆圆心距大于半径之差 时，两圆相交（ ）
判断: 3 已知两圆相切R=7, r=2则圆心距等于9 （ ）
同 心 圆 两圆内切 内
含;R+ r
关 置
与 圆
的 位
2008 新北京新奥运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另 一个圆的外部时,叫两圆外离
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外, 每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两 圆外切
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个 圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心 距O1O2分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）０cm （２）８ cm
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一 个圆的内部时,叫两圆内含
圆心距：两圆心之间的距离
外离
外切
相交
内切
内含同心圆
圆
外离
与
相离
圆 的
内含
位
外切
置
相切
关
系
内切
相交
两圆位置关系的性质与判定:
演示
0
两圆外离
位置关系
R―r
性质
d 和R、 r关系
Rr
d >R+ r
两圆外切
d =R+ r
两圆相交
判断： 1 两圆无公共点，两圆一定外离 （ ）
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心距O1O2 分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）2cm （２）4 cm 3 6 cm
判断： 2 当两圆圆心距大于半径之差 时，两圆相交（ ）
判断: 3 已知两圆相切R=7, r=2则圆心距等于9 （ ）
同 心 圆 两圆内切 内
含;R+ r
2.5.2圆与圆的位置关系ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
关系
d>r1＋r2
外离
_________
外切
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1＋r2
相交
_____________________
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
内切
_______________________
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
__________________________
M 3， − 3 的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1.设所
求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
−1
由题意可得
+ 3
×
−3
+ 3
2
2
−
+ 2 ＝ + 1，
3
3
＝，
＝0，
＝4，
＝ − 1， 解得ቐ＝0，或ቐ＝ − 4 3，
＝(
)
A．21
B．19
C．9
D．－11
C
解析：圆C2 的方程可化为(x－3)2 ＋(y－4)2 ＝25－m，圆心为
(3 ， 4) ， 半 径 为 25 − ， 依 题 意 ，
25 − ，解得m＝9.故选C.
3−0
2
+ 4 − 0 2 ＝1 +
问题式预习
2.5.2 圆与圆的位置关系
任务型课堂
课后素养评价
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
所以|C1C2|＝
− 2
2
+ 1 − 1 2 ＝a.
2.5.2 圆与圆的位置关系
d>r1＋r2
外离
_________
外切
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1＋r2
相交
_____________________
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
内切
_______________________
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
__________________________
M 3， − 3 的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径为1.设所
求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
−1
由题意可得
+ 3
×
−3
+ 3
2
2
−
+ 2 ＝ + 1，
3
3
＝，
＝0，
＝4，
＝ − 1， 解得ቐ＝0，或ቐ＝ − 4 3，
＝(
)
A．21
B．19
C．9
D．－11
C
解析：圆C2 的方程可化为(x－3)2 ＋(y－4)2 ＝25－m，圆心为
(3 ， 4) ， 半 径 为 25 − ， 依 题 意 ，
25 − ，解得m＝9.故选C.
3−0
2
+ 4 − 0 2 ＝1 +
问题式预习
2.5.2 圆与圆的位置关系
任务型课堂
课后素养评价
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
所以|C1C2|＝
− 2
2
+ 1 − 1 2 ＝a.
2.5.2 圆与圆的位置关系
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AE
值为_____.
【解析】设⊙A半径为R，⊙E半径为r,由题意得
R2+(R-r)2=(R+r)2,R=4r,
∴BE=R-r=3r,AE=R+r=5r.∴BE 3r 3.
AE 5r 5
答案: 3
5
7.如图所示，在一张长为9 cm，宽为8 cm的矩形纸片上，截 取一个与该矩形三边都相切的圆片后，求余下的部分中能截 取的最大圆片的半径是多少？
1.已知两圆的半径分别是4和5，若两圆相交，则圆心距d所 满足的关系为( ) (A)d>1 (B)d<9 (C)1<d<9 (D)1≤d≤9 【解析】选C.由相交两圆圆心距所对应的数量关系R-r< d<R+r判断.
2.(2010·常州中考)若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5， 则两圆的位置关系为 ( ) (A)外离 (B)外切 (C)相交 (D)内切 【解析】选B.由题意知，圆心距等于两圆半径之和，所以两 圆外切.
【解析】如图所示，R=4，GC=r，EO′=9-4-r=5-r， 在Rt△OEO′中,(R+r)2=(R-r)2+(EO′)2， 即(4+r)2=(4-r)2+(5-r)2，解得r1=1，r2=25(舍去)，故 ⊙O′的半径r=1 cm． 即余下的部分中能截取的最大圆片的半径是1 cm.
相切两圆的问题，一般连接两圆的圆心得连心线， 结合直线与圆相切的性质构造直角三角形，应用勾股定理构 建方程求解.两圆相交，公共弦是架起两圆的“桥梁”.
解此类题的关键是理解位置关系相对应的数量关系， 同时要考虑分情况讨论问题，防止漏解.多解的情况一般是 因为给出的位置关系不明确，如相切(只有一个公共点)、相 离(没有公共点)或题目中没有提供明确的图形.
两圆位置关系的性质应用 【例2】如图，已知⊙O1与⊙O2相交于B、C，AB是⊙O1的直径， AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B点作⊙O1的切线交 AE于F. 求证：BF∥DE.
(A)35° (B)40° (C)50° (D)80°
【解析】选B.连接OA、OB，在小圆中根据圆内接四边形的 性质可得∠AOB=180°-∠ADB=80°，在大圆中根据圆周角 与圆心角的关系得∠ACB=40°.
5.(2010·杭州中考)如图，5个圆的圆心在同一条直线上， 且互相相切，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这5个 圆的周长的和为( )
A 5 c m B 25 c m C 5 c m D 45 c m
5
5
5
【解析】选D.设O1O2与AB相交于点C，由相交两圆的对称性
可知，AC=BC.因为O1A⊥O2A，所以O12O22=12 5，由面积
法可知O1A·O2A=O1O2·AC，所A 以C2125,所 以 A B45.
55
5
3.(2010·巴中中考)⊙O1与⊙O2的半径分别是方程 x2-7x+11=0的两根，如果两圆外切，那么圆心距a的值是 _____. 【解析】因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，由 根与系数的关系可知，两根之和等于7. 答案：7
圆和圆的五种位置关系的图形都是轴对称图形，所 以相切两圆的切点一定在两圆的连心线上，相交两圆的公共 弦被连心线垂直平分.辅助线的作法一般是：当两圆相切时， 连接两圆的圆心；当两圆相交时，连接公共弦，“沟通”两 个圆中的相关元素.
4.(2010 ·咸宁中考)如图，两圆相交于A，B两点，小圆经 过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°， 则∠ACB的度数为( )
3.(2010·芜湖中考)若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的 半径为10，则另一个圆的半径为_____． 【解析】因为10＞7，所以两圆的位置关系只能是内切，若 另一个圆是小圆，则有r=10-7=3；若另一个圆为大圆，则 有R-10=7，所以R=17，所以另一个圆的半径为3或17. 答案：3或17
【自主解答】如图所示，连接OA，过A点作AB⊥x轴，垂 足为B，
∵A的坐标为(- ,31)，半径为1，∴AB=1，OB=|- 3 |= 3 , 在Rt△ABO中，OA2=OB2+AB2=4,∴OA=2=3-1， 即d=R-r, ∴⊙O与⊙A的位置关系是内切.
判断两圆位置关系的方法有两个：一是根据公共点 的个数，二是根据圆心距与两圆半径的和或差的大小关系. 同时，根据位置关系，也能得到相对应的数量关系.解题时 要注意相切及相离都包含了两种位置关系.
掌握两圆的五种位置关系及其相对应的数量关系， 既能由位置关系得到数量关系，也能根据数量关系推断出两 圆的位置关系.
圆与圆位置关系的性质及判定 【例1】在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为 3，⊙A的圆心A的坐标为(- 3 ,1)，半径为1，试判断⊙O与 ⊙A的位置关系. 【思路点拨】先根据题意，建立符合题意的坐标系，根据勾 股定理求出两圆的圆心距，然后利用两圆的圆心距与两圆的 半径之间的数量关系判断.
【思路点拨】
【自主解答】连接BC.∵AB是⊙O1 的直径，∴∠ACB=90°, 又四边形BCED是⊙O2的内接四边形， ∴∠BDE+∠BCE=180° ∵∠BCA+∠BCE=180°,∴∠BDE=∠ACB=90°. ∵BF是过点B的⊙O1的切线， ∴∠ABF=90°，∴∠ABF=∠BDE，∴BF∥DE.
(A)48π (B)24π (C)12π (D)6π
【解析】选B.由题意可知，大圆的周长为12π. 由于四个小圆的直径和等于大圆的直径.所以四个小圆的周 长之和也为12π.即这5个圆的周长和为：12π+12π=24π.
6.如图，正方形ABCD中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱE是BC边上一点，以E为圆心，EC为
半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则 B E 的
1.(2010·长沙中考)已知⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，若 两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是 ( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【解析】选B．两圆相交，则4-2＜O1O2＜4+2，故选B.
2.半径为2 cm和1 cm的⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且
O1A⊥O2A，则公共弦AB的长为( )
值为_____.
【解析】设⊙A半径为R，⊙E半径为r,由题意得
R2+(R-r)2=(R+r)2,R=4r,
∴BE=R-r=3r,AE=R+r=5r.∴BE 3r 3.
AE 5r 5
答案: 3
5
7.如图所示，在一张长为9 cm，宽为8 cm的矩形纸片上，截 取一个与该矩形三边都相切的圆片后，求余下的部分中能截 取的最大圆片的半径是多少？
1.已知两圆的半径分别是4和5，若两圆相交，则圆心距d所 满足的关系为( ) (A)d>1 (B)d<9 (C)1<d<9 (D)1≤d≤9 【解析】选C.由相交两圆圆心距所对应的数量关系R-r< d<R+r判断.
2.(2010·常州中考)若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5， 则两圆的位置关系为 ( ) (A)外离 (B)外切 (C)相交 (D)内切 【解析】选B.由题意知，圆心距等于两圆半径之和，所以两 圆外切.
【解析】如图所示，R=4，GC=r，EO′=9-4-r=5-r， 在Rt△OEO′中,(R+r)2=(R-r)2+(EO′)2， 即(4+r)2=(4-r)2+(5-r)2，解得r1=1，r2=25(舍去)，故 ⊙O′的半径r=1 cm． 即余下的部分中能截取的最大圆片的半径是1 cm.
相切两圆的问题，一般连接两圆的圆心得连心线， 结合直线与圆相切的性质构造直角三角形，应用勾股定理构 建方程求解.两圆相交，公共弦是架起两圆的“桥梁”.
解此类题的关键是理解位置关系相对应的数量关系， 同时要考虑分情况讨论问题，防止漏解.多解的情况一般是 因为给出的位置关系不明确，如相切(只有一个公共点)、相 离(没有公共点)或题目中没有提供明确的图形.
两圆位置关系的性质应用 【例2】如图，已知⊙O1与⊙O2相交于B、C，AB是⊙O1的直径， AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B点作⊙O1的切线交 AE于F. 求证：BF∥DE.
(A)35° (B)40° (C)50° (D)80°
【解析】选B.连接OA、OB，在小圆中根据圆内接四边形的 性质可得∠AOB=180°-∠ADB=80°，在大圆中根据圆周角 与圆心角的关系得∠ACB=40°.
5.(2010·杭州中考)如图，5个圆的圆心在同一条直线上， 且互相相切，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这5个 圆的周长的和为( )
A 5 c m B 25 c m C 5 c m D 45 c m
5
5
5
【解析】选D.设O1O2与AB相交于点C，由相交两圆的对称性
可知，AC=BC.因为O1A⊥O2A，所以O12O22=12 5，由面积
法可知O1A·O2A=O1O2·AC，所A 以C2125,所 以 A B45.
55
5
3.(2010·巴中中考)⊙O1与⊙O2的半径分别是方程 x2-7x+11=0的两根，如果两圆外切，那么圆心距a的值是 _____. 【解析】因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，由 根与系数的关系可知，两根之和等于7. 答案：7
圆和圆的五种位置关系的图形都是轴对称图形，所 以相切两圆的切点一定在两圆的连心线上，相交两圆的公共 弦被连心线垂直平分.辅助线的作法一般是：当两圆相切时， 连接两圆的圆心；当两圆相交时，连接公共弦，“沟通”两 个圆中的相关元素.
4.(2010 ·咸宁中考)如图，两圆相交于A，B两点，小圆经 过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°， 则∠ACB的度数为( )
3.(2010·芜湖中考)若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的 半径为10，则另一个圆的半径为_____． 【解析】因为10＞7，所以两圆的位置关系只能是内切，若 另一个圆是小圆，则有r=10-7=3；若另一个圆为大圆，则 有R-10=7，所以R=17，所以另一个圆的半径为3或17. 答案：3或17
【自主解答】如图所示，连接OA，过A点作AB⊥x轴，垂 足为B，
∵A的坐标为(- ,31)，半径为1，∴AB=1，OB=|- 3 |= 3 , 在Rt△ABO中，OA2=OB2+AB2=4,∴OA=2=3-1， 即d=R-r, ∴⊙O与⊙A的位置关系是内切.
判断两圆位置关系的方法有两个：一是根据公共点 的个数，二是根据圆心距与两圆半径的和或差的大小关系. 同时，根据位置关系，也能得到相对应的数量关系.解题时 要注意相切及相离都包含了两种位置关系.
掌握两圆的五种位置关系及其相对应的数量关系， 既能由位置关系得到数量关系，也能根据数量关系推断出两 圆的位置关系.
圆与圆位置关系的性质及判定 【例1】在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为 3，⊙A的圆心A的坐标为(- 3 ,1)，半径为1，试判断⊙O与 ⊙A的位置关系. 【思路点拨】先根据题意，建立符合题意的坐标系，根据勾 股定理求出两圆的圆心距，然后利用两圆的圆心距与两圆的 半径之间的数量关系判断.
【思路点拨】
【自主解答】连接BC.∵AB是⊙O1 的直径，∴∠ACB=90°, 又四边形BCED是⊙O2的内接四边形， ∴∠BDE+∠BCE=180° ∵∠BCA+∠BCE=180°,∴∠BDE=∠ACB=90°. ∵BF是过点B的⊙O1的切线， ∴∠ABF=90°，∴∠ABF=∠BDE，∴BF∥DE.
(A)48π (B)24π (C)12π (D)6π
【解析】选B.由题意可知，大圆的周长为12π. 由于四个小圆的直径和等于大圆的直径.所以四个小圆的周 长之和也为12π.即这5个圆的周长和为：12π+12π=24π.
6.如图，正方形ABCD中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱE是BC边上一点，以E为圆心，EC为
半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则 B E 的
1.(2010·长沙中考)已知⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，若 两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是 ( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【解析】选B．两圆相交，则4-2＜O1O2＜4+2，故选B.
2.半径为2 cm和1 cm的⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且
O1A⊥O2A，则公共弦AB的长为( )