第2章之五

一阶微分环节、二阶微分环节、振荡环节等可以 进行类似的近似处理，从而简化计算。 在本例中，在穿越频率ω=1附近，可以作下列近 似
K ( 1 + ( 0 . 1ω ) 2 ) 2
ω ( 1 + ( 5ω ) 2 ) 2
K K ≈ = 2 ω ( 5ω ) 25 ω 3
因为在ω=1 处，开环对数幅频特性为0dB 或者幅值为1，即 K
在伯德图上，若一个最小相位系统和一个非最 小相位系统具有相同的幅频特性，则最小相位 系统的相角滞后，总是小于非最小相位系统的 相角滞后。例如，从不稳定典型环节的伯德图 图2.52和图2.53上可明显地看出，它们的相角滞 后都大于所对应的稳定的典型环节的相角滞后。
最小相位系统的特征: 设一个最小相位系统的传递函数的分子、分母的最 高次数分别是n和m，则当 ω → ∞ 时，系统的相频特 性必然趋于 − (n − m)90 o 。而对应的所有非最小相位系 统虽然具有相同的幅频特性，但 ω → ∞ 时，系统的 − (n − m)90 o 。在伯德图上，当系统的 相频特性不等于 对数相频特性的高频段趋于 − (n − m)90 o ，则为最小相 位系统，否则，是非最小相位系统。
由于低频段的延长线与 0db 线（横坐标轴）的 交点为 ω = 10 ，因此，K=10。 由于在转折频率处对数幅频特性和其渐近线的 误差为4.44db，由式（2.112）得
ς = 0 .3
20 lg 1 = 4 . 44 2ς
所以，系统的传递函数为
G( s ) = 10(1 + s) s(1 + 2.5s)(1 + 0.06s + 0.01s )
2
=
400(s + 1) s(s + 0.4)(s 2 + 6s + 100)
例2.29 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近 线如图2.58所示，确定该系统的传递函数。
L (ω )
-20 -60 1 0 0.2 10
ω
-20
图2.58 最小相位系统的伯德图
解 由于对数幅频特性的低频段是-20dB/dec的 直线，所以，系统的传递函数有 1 个积分环节。 根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化， 容易写出系统的传递函数为
G (s) =
10 (1 + s (1 + s )( 1 +
1 s) 2
1 s s + ( )2 ) 8 8
e − 0 .2 s
系统建模是一个实践性很强的工作，应该尽可能了解系统 的信息，提出合适的系统模型。
所选择的逼近对数幅频特性曲线的直线不是唯 一的。应该在满足建模精度的前提下，选择较 低阶的模型。 假设系统是最小相位的，则根据所选择的对数 幅频特性的渐近线，可以写出系统的传递函数。 例如，某系统的实验数据如表2.4所示，其伯 德图如图2.59所示。
表2.4 某系统的实验数据
ω
0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40
1 K (1 + s) 2 K (1 + 0 . 1s ) 2 10 G (s) = = 1 2 s (1 + 5 s ) 2 s (1 + s) 0 .2
在穿越频率ω=1处L(1)=0，由此或者G ( j ω ) ω = 1 = 1 确定K。 通常在穿越频率ω=1附近，转折频率在穿越频 率左边的惯性环节的对数幅频特性可以认为是 -20dB/dec的斜线，即可以近似为一个积分环 节。而转折频率在穿越频率右边的惯性环节的 幅频特性可以认为是0dB的水平线，即可以近 似为1。
25 ω
3
，
ω =1
= 1
因此得K=25,所以，系统的传递函数为
G (s) =
25 (1 + 0 .1s ) 2 s (1 + 5 s )
2
3. 频率特性的实验确定法
稳定的线性系统频率特性的实验确定法: 采用正弦波发生器产生频率可调的正弦波，作 用于被测系统，测量系统稳态输出的正弦波的 幅值和相角。在尽可能宽的频率范围内不断改 变输入正弦波的频率，可以测得一组实验数据， 然后根据实验数据绘制伯德图。最后在对数幅 频特性图上，用一组斜率为 –20ndb/dec（n=0, ± 1, ± 2,…）的直线逼近系统的对数幅频特性 曲线，作为系统对数幅频特性的渐近线。
2.7.6 由伯德图确定传递函数
1. 最小与非最小相位系统的概念
如果系统的传递函数在右半 S 平面上没有极点 和零点，而且不包含滞后环节，则称为最小相 位系统，否则，称为非最小相位系统。 只包含比例、积分、微分、惯性、振荡、一阶 微分和二阶微分环节的系统是最小相位系统。 而包含不稳定环节或滞后环节的系统则是非最 小相位系统。
1 s) 2 G(s) = 1 s s(1 + s)(1 + s + ( ) 2 ) 8 8 10(1 +
注意:这个传递函数仅仅是根据系统的对数幅频 特性实验曲线得到的，没有考虑系统对数相频 特性实验曲线，所以，这个传递函数是试探性 的。如果根据选择的模型绘制的曲线与实验得 到的曲线基本吻合，则所选择的系统传递函数 模型是合适的。如果误差太大，则要考虑模型 中某些环节是不稳定环节，或者包含滞后环节。
ω
0 0 .1 0 .4 1 4 .4 4 d B -6 0
图 2 .5 7 最 小 相 位 系 统 的 伯 德 图
解 由于对数幅频特性的低频段是 -20dB/dec的直线， 所以，系统的传递函数有一积分环节。根据转折点处 对数幅频特性渐近线斜率的变化，容易写出系统的传 递函数为
K (1+ s) G(s) = 1 1 s 2 s(1+ s)(1+ 2ς s + ( ) ) 0.4 10 10
如果高频段的相角符合 -(n-m)90 。 的关系， 则 是最小相位系统，否则是非最小相位系统。如 果高频段的相角有无限增大的趋势，则可能包 含滞后环节。 根据上面初步得到的传递函数，绘制其对数相 频特性曲线，如图 2.59 中虚线所示。可见，与 实验曲线是不吻合的。当 ω=10时， 实验曲线 与 ϕ (ω ) 之差为-115。， 而当ω=20 时，实验曲 ϕ( 线与ω ) 之差为-240。，这基本上和滞后环节 的相频特性 -0.2ω相符，所以系统的传递函数 应为
2. 由伯德图确定传递函数
对于最小相位系统，幅频特性和相频特性是单值 对应的，因此，根据系统的对数幅频特性就可以 写出系统的传递函数或者频率特性。 例2.28 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线 如图2.57所示，确定该系统的传递函数。
dB
40
L (ω ) -2 0
20
-4 0 -2 0 10
99.6
49.3
23.7Biblioteka 7.963.261.5
0.37
0.043
0.003
Y/R
-94.7
-99.3
-108
-127
-146
-182
-325
-476
-835
ϕ 2 − ϕ1
在图中，虚折线为所选择的对数频特性的渐近 线，根据图中 3 个转折频率ω1= 1,ω2=2,ω3=8 和ω3=8 附近的幅值，可以写出系统的传递函 数为