闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响

2 2
2
4 4
1
，
ts
5%
3
n
t 所以推得如下关系： 3 2 2 4 4 1 s c
从而得到 t
6 ，
s c tan ( )
c
随着（ ）的增大， t
（ ） 逐渐减小。如果有两个系统，其
相同，那么
c
sc
c
它们的超调量大致是相同的，但它们的动态过程时间与 成反比。穿越频率越大的系 c
3 调节时间 ts (5%) ξwn
只与阻尼ξ和振荡角频率 wn 有关，所以不受零点位置的影响。
1 章 二阶系统简单描述
一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母 S 的最高次项决定的。二阶系统就是 S 的最高次项为 2 的闭环传递函数所对应的系统典型。简单来说就是由二阶微分方程描述的系 统就叫做二阶系统。
二阶系统结构图见图 1
图1 由图可知二阶系统开环传递函数为：
W s K
ss
2 n
2
n
二阶系统闭环传递函数为：
图2
W B
(S)
Xc(s) Xr(s)
s2
w2(s z) n
2ξw s
w
2
n
n
具有零点的二阶系统的开环传递函数为：
W k
(s)
s2
w2 (s z) n
(2ξw w2 )s
w
2
zw2
n
n
n
n
K2 1 2 n
θ
K3
K1
n
11
1
图3 1) 当 0<k<k1 时，系统处于过阻尼状态，随着 k 的增大，θ角也不断增大，导致ζ在减小
0 章 引言
二阶系统是工程中常用到的系统，不仅仅是研究二阶系统本身，而且研究高阶系统也是 将其化为二阶系统，因此二阶系统是个非常重要的系统。实际工程中欠阻尼二阶系统是最常 用的，可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。二阶系统的单位阶跃响 应最能反映二阶系统的本质特性。在实际生产中，二阶系统要满足工程最佳参数，而通过改 变开环放大系数的方法会增大系统的稳态误差，为了满足这一要求的同时还能保证系统稳态 的精度，常用设置零点的方法来做到。本文就是对闭环零点对二阶系统影响做了描述。
3 n
在减小。
4) 当 k=k3 时，一对极点会合于实轴系统工作于系统处于临界阻尼状态,ζ=1，没有超调。
5) 当 k>k3 时，系统处于过阻尼工作状态，随着 k 的不断增大系统的响应速度会越来越快。
2.2 零点位置的不同对二阶系统的影响 在有不同零点时，二阶系统的根轨迹情况：同样保持ζ及ωn 为定值（ζ=0.7ωn=1）增加 的零点分别为 Z1=1，及 Z1=100。 注释：图中蓝色及黄色的直线代表没有零点时的情况，橙色及紫色小圆曲线代表的是零点为 -1 时的根轨迹，红色及绿色的大圆曲线代表的是零点为-100 时的根轨迹。 现以零点为-1 的根轨迹进行说明如图 4 所示：
3.2 增加零点的二阶系统 当增加零点后同样保持ζ及ωn 为定值（ζ=0.7ωn=1）未加零点前为（data1）,增加的零点分 别为 Z1=1（data2），及 Z1=100(data3)。
-Z1=-1 时幅值余量=-0.91515dB,相位裕量=7.7057 度。 -Z1=-100 时幅值余量=-0.087296dB,相位裕量=0.79845 度。 从图中可以读出以下信息：
图4
1) 在θ角不变的情况下，随着ωn 增大，极点将沿矢量方向延伸，于是它的实部
和
n
虚部
1 2 都增大。
是表征指数衰减的系数，它决定系统的系统调节时
n
n
间。增大
会加快系统的响应速度，而增
1 2 ，会增大系统的阻尼振荡
n
n
角频率，其结果将促使系统以较快的速度达到稳定工作状态。
2) 在ωn 不变的情况下，随着θ角的逐渐增大，系统的的超调量会一直增大，尤其是在没
WB s
s2
n2 2n s
n2
在没有零点时，二阶系统的根轨迹W K
s
ss
2 n
2
，ζ及ωn 为定值（ζ=0.7ωn=1）
n
为例为例。
θ
随着 K 值的增大，θ角也不断增大，由于 arctan 1 2
，
tr
d
， 1 2n
ts
5%
3
n
0
0.8 ，ts 2%
4 n
0 0.8 ， % e
于系统的影响取决于离虚轴较近的零点。
5) 如果二阶开环系统没有零点，特征根靠近虚轴，动态品质指标较差；如果引进增加零点，
则根轨迹随着 k 值的增大，将沿圆弧向左变化，之后会使系统的稳定性提高了，调节速
度更加，动态指标得到显著改善。
3 二阶系统的频率特性
3.1 无零点的二阶系统频率特性 振荡环节的传递函数为
t 统，调节时间 越短。所以 在对数频率特性中是一个重要参数，它不仅影响系统的
s
c
相位裕度，也影响系统的动态过程时间。
4.总结分析
通过上述分析可以看出，有具有零点的二阶系统的响应指标与无零点的系统有很大的差别。
无零点的上升时间 ts 只与阻尼ξ和振荡角频率 wn 有关，而在具有零点的二阶系统中，
上升时间还与零点的实部有关，反映到图像上，即零点离虚轴越近上升时间越小。最大超调 量σ%也与零点的位置有关。
有零点的情况下，当θ角趋于 90 度时，ζ=0，会有一对复极点，分别到达虚轴，出现
共轭虚根系统呈等幅震荡。
3) 如果闭环系统有两个负实极点-R1 和-R2，那么单位阶跃响应是指数型。如果两个是实
极点相距较远，则动态过程主要取决于离虚轴近的极点。一般 R2≥5R1 时，可忽略极
点-R2 的影响。
4) 如果增加的零点离虚轴太远时，那么它的衰减速度会很快，，响应速度也很快，那么对
超调量 % e
1 2
100% 在不断增大，调节时间 ts 5%
3 n
保持不变，上升时间
tr

d
减少。 1 2n
2) 当 k=k1 时，一对极点会合于实轴系统工作于系统处于临界阻尼状态,ζ=1，没有超调。 3) 当 k1<k<k3 时，系统处于欠阻尼状态
① k1<k<k2，随着 k 的增大，θ角也不断增大，导致ζ在减小，超调量
闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响
张国超 10 电本 2 班 摘要：由于实际工作中对高阶系统的研究常常是将其降为二阶系统，因此分析二阶系统的单 位阶跃响应，对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。大多数高阶系统中含有一对 闭环主导极点，则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表 达。本文将从根轨迹和频率特性两方面，对增加一闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。 并探究了不同位置下闭环零点对系统的不同影响。 关键词：闭环零点 二阶系统 根轨迹 频率特性
① 由于增加了零点，系统的相位裕度增大，是系统更加稳定，同时也使得系统更加平 稳。
② 对于都增加了零点，由于所加零点距离虚轴的远近，对系统产生的影响是不相同的。 离虚轴越近的零点对系统的影响也就越大。反之，离系统越远，对系统的影响也在逐渐减小。
③ 有零点的二阶系统，穿越频率越大系统的响应速度就越快。
1 2
100%（注公式）
所以ζ一直在减小，导致上升时间增长，但调节时间增长，超调量增大，系统的平稳性降低。
2 章具有零点的二阶系统的根轨迹分析
2.1 增加零点对二阶系统的影响 零点的二阶系统结构图见图 2：
X r (s)
wn2 (s z) z(s2 2ξwns wn2 )
X c (s)
具有零点的二阶系统的传递函数为：
w
k
s T s2 2 2Ts 1
式中：T——时间常数 ；ζ——阻尼比,0≤ζ≤1；
幅频特性为
A()
K
(2T)2 (1 T 2 2 )2
相频特性为
（） -arc tan( 2T ) 1 T 22
图中为振荡环节的伯德图：以ωn=1，ζ=0.7 为例
幅值裕量=InfdB,相位裕量=Inf 度。 相位裕量反应的是系统的稳定性，而穿越频率ωc 反应系统的快速性。 对于稳定的最小相位系统，为使系统有满意的性能，相位裕度应在 30 度到 60 度之间，而增 必要增加零点改变相位裕量和幅值裕量。
由于（ ）与 存在以下关系 c
（） arctan
2
c
2 2 4 4 1
（ ） （ ） 随着 的增大，
也逐渐增大，并且 每增大 0.1，则
增加 10 度。
c
c
（ ） 所以增大
， 也在跟着变大，又由于 % e 1 2 100% ，所以超调量随
c
的增大而逐渐减小。
由于（） arctan c
% e
1 2
100% 在不断增大，调节时间 ts 5%
3 n
在减小，上升时间
tr d
在减小。 1 2n
② K=k2 时，θ取得最大值，ζ取得最小值。 ③ K2<k<k3，k 随着 k 值的不断增大，θ在逐渐减小，ζ在逐渐增大，超调量
% e
1 2
100% 在减小，调节时间 ts 5%