截面惯性矩(材料力学)

1、轴力：横截面上的内力
m
F
F 2、截面法求轴力
m
切: 假想沿m-m横截面将杆
F
FN
切开
留: 留下左半段或右半段
FN
F
代: 将抛掉部分对留下部分
Fx 0 FN F 0 的作用用内力代替
FN F
平: 对留下部分写平衡方程
求出内力即轴力的值
由于外力的作用线与
m
杆件的轴线重合，内力的

b2h23 12

20
20
100
3
12
16.67 105
3）求对整个截面形心ZC轴的惯性矩 IzC (Iz1 a12 A1) (Iz2 a22 A2 ) 66.67103 302 200016.67105 302 2000 53.34105 mm4
FN1 cos 45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
截面上的应力
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1

FN1 A1


28.3103 202 106
y
yC
dz
hz
dy
a
y
0b
解： dA hdz
zC
Sy

b 0
zhdz

hb2 2

A b 2
z
Sz

ah
ybdy
a

b[(a

h)2 2
a2]
11））同同一 一截截面面对对不不同同轴轴的的静静 bh[ h a] A[ h a]
矩矩不不同同；；
2
2
2）静矩可为正，负值或零； 3）静矩的单位为m33;
Fx 0
FN3 F4 25kN
x
2、绘制轴力图。
三、应力概念、拉（压）杆横截面上的应力
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面 积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
——横截面上的应力
——横截面上的应力
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
拉(压)杆横截面上的应力
σ= FN MPa
A
F
FN 表示横截面轴力（N）
A 表示横截面面积（mm2）
F
mn F
mn
FN
——横截面上的应力
截面上的应力
例题3-2
古代建筑结构
建于辽代（1056年）的山西应县佛宫寺释迦塔 塔高9层共67.31米，用木材7400吨 900多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔
古代建筑结构
2200年以前建造的都江堰安澜索桥
古代建筑结构
建于隋代（605年）的河北赵州桥 桥长64.4米，跨径37.02米，用石2800吨
桥梁结构
二
方法2）不求形心
方法3）负面积法
Sz = AiyCi＝20 100 110＋
Sz =(120 100 60)-2 ( 100 40 50 )= 32 10４mm3
20 100 50＝32 10４mm3
§I-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
1、惯性矩：(惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭 转的能力 ）
2、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
1）形心公式：
dm tdA
xdm
质心：
xC
m
m
等厚
ydm 均质
y
yC
m
m
xtdA
A

xdA
A

Sy
tA
A
A 等于形心坐标
ytdA
A

A ydA Sx
tA
AA
x dA
xC y yC

xC


I x
y 2dA
A
xC
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
x
wk.baidu.com
I xC 2bSxC b2 A
SxC AyC 0 I x I xC b2 A 返
§Ⅰ- 4平行移轴公式 y
yC
2.结论： I y I yC a2 A
b
b
3）惯性积的单位：m4
4.结论：
当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时，图形 对此轴的惯性积为零，反之，若图形对坐标系的惯性 积为零时，此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴。
§Ⅰ- 4平行移轴公式
1.平行移轴定理：
y
yC
x
dA
a

Cy b
以形心为原点，建立与原坐标轴
平行的坐标轴如图

xaxC yb yC
x
IP 2dA
A
2 x2 y2 IP (x2 y2 )dA I y I x
A
IP Ix I y 图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它 对此二轴交点的极惯性矩
例求圆形截面对形心轴的惯性矩。 y
解： D
IP

A
2dA

2 0
2 2d
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。
主轴.且当主轴为形心轴时,就称为形心主轴.用α0来表示 主轴的方向.
2)主惯性矩:相对主轴的惯性矩就称为主惯性矩.
杆件的拉压变形及强度计算
杆件的拉压变形及强度计算
一、概述 二 、杆件的轴向拉压变形分析 三、材料在拉伸和压缩时的力学性质 四、拉（压）杆的强度计算
目录
一、概述
古代建筑结构
建于唐末（857年）的山西五台山佛光寺东大殿
它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为
Ix y2dA
A
I y x2dA
A
注意：
1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同；
2）惯性矩永远为正值；
y
x dA
y

x
3）惯性矩的单位为m4;
2、惯性半径(单位为m)
表达式为
y
ix
Ix A
iy
Iy A
3、极惯性矩：
x dA
y

它是图形面积对极点的二次矩。
a1 20 10 30mm
20
a2 30mm
A1 A2 20100 2000mm2 100
2)求出A1和A2分别对自身形心 轴的惯性矩
A1 •••
Ⅱ
•
A2
100
Ⅰ
z1
a1 zc
30
a2
z2
z
I z1

b1h13 12
100 203 12
66.67 103
Iz2
航空航天
构件的承载能力
强 度：即抵抗破坏的能力 刚 度：即抵抗变形的能力 稳定性：即保持原有平衡状态的能力
构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的 形状有关，而且与所用材料的力学性能有关， 因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完 成材料力学的任务所必需的途径和手段。
四川彩虹桥坍塌
美 国 纽 约 马 尔 克 大 桥 坍 塌
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§I-5转轴公式及主惯性矩(简介)
1.转轴公式:
当坐标轴绕原点转一个角度后,得到一个新的坐标轴时,转轴 公式给出在新旧坐标轴下的惯矩及惯积的关系.

y1 z1

y cosa z cosa

z y
sin a sin a
z1
I z1 y12dA ( y cosa z sin a )2 dA
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 x Fy 0

I
x

I xC
b2A
I xy I xCyC abA
x
dA
a bC y
xC
x
A)在所有的平行轴中,图形对自身形心轴的惯性 矩为最小。
B)当图形至少有一条轴是图形的对称轴时,则有
I xy abA I xCyC 0
解例：组1）合写截出A面1，惯A性2及矩其的形计心算坐,标求a截1；面a2对ZC轴的y 惯性矩。
1 F2
2
F3
3
F4
出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
FN1
FN2 F2
FN3
10


10
AB段 Fx 0
FN1 F1 10kN
BC段
Fx 0 FN 2 F2 F1
F4
25 CD段
FN 2 F1 F2
10 20 10kN
A
A
I y cos2 a I z sin 2 a I yz sin 2a
z
y dA
y1
z z1
z1
a
z
cos2 a 1 cos2a sin2 a 1 cos2a
2
2
I Z1

Iy
IZ 2

Iy
IZ 2
cos 2a

I yz sin 2a
2.三个公式:设新坐标系由原坐标系逆转α角而得,且有
1.求形心
100
知A=A1+A2 yC１＝60 yC２＝0
20
n Ai yCi
选坐标轴z1作为参考轴
yC i1 Ai
yC

20100 60 100 20 2
30mm
100
２、求静矩
•
•Ⅰ
•
ⅡyC1
zC
z1
B•
方法1） Sz yC
A i
z
20
Sz ＝(50+30) 2( 100 20 )＝32 10４mm3
杆件的基本变形： 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
拉压变形
剪切变形
扭转变形
弯曲变形
二、杆件的轴向拉压变形分析
一、轴向拉伸和压缩的概念
特点：
作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
F
FF
压缩
F
二、拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力

4
F
90106 Pa 90MPa
x
2

FN 2 A2
20103 152 106

89106 Pa 89MPa
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。

yC

xCi Ai
A (正负面积法公式 ) yCi Ai
A
x S yC A xC SxC A yC
Sy AxC Ai xCi xdA
A
2.形心公式
Sx AyC Ai yCi ydA
A
xC
Ai xi A
yC
Ai yi A
ydA
SZ SZ1 SZ 2 ... SZn ydA ydA ... ydA Ai yCi
A1
A2
An
n
yC
Sz
Ai yCi i1
Ai
Ai
n
ZC
Sy
Ai ZCi i1
Ai
Ai
例1：求图示T形截面的形心及对z轴的静矩 y
4.构件的强度计算
4.1截面的几何特征
§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径 §Ⅰ-3 惯性积 §Ⅰ-4的平行移轴公式
§Ⅰ-1 静矩和形心 1、静面矩（也叫面积矩简称静矩） y
(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。
定义 S y =∫A z dA Sz=∫A y dA
z dA y
z
例：矩形截面，面积为A。求： S y 、 Sz、 SzC
yC A A
3.结论
xdA
xC A A
当坐标轴过形心时，图形对自身形心轴的面积矩等于 零；反之，若图形对某轴的面矩为零时，此轴必过图形 的形心。
3.组合图形的形心和面积矩 1）组合图形
由简单图形（如三角形，圆形，矩形等）组合而成的 图形。
2）组合图形面积矩及形心的计算公式
等于各简单图形对同一轴的面积矩的代数和。即
F
F 作用线也与杆件的轴线重
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
轴力和轴力图
例题3-1
A
F1 F1 F1
FN kN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
I y1

Iy
IZ 2

Iy
IZ 2
c os 2a
I yz sin 2a
IZ1

Iy
IZ 2

Iy
IZ 2
c os 2a
I yz sin 2a
I Y 1Z 1

Iy
2
IZ
sin 2a

I yz
c os 2a
3.主轴及主惯性矩:
1)主轴:图形若对坐标轴的惯矩为零时,这对坐标轴就称为
D4
32
o
z
IP Iy0 Iz0
I y0
Iz0

IP 2
D4
64
§ I-3 惯性积
1.定义：图形对两个坐标轴的两个坐标之积的积分。
§ I-3 惯性积
2.表达式：
y
I yz yzdA
A
3.说明： h
1）同一图形对不同轴的惯性积不同； A1 A2
z
2）惯性积可正，可负，可为零。