第九讲 联合平稳随机过程的互功率谱密度

t T t T
y (t ) yT (t ) 0
t T t T
因为样本函数满足绝对可积的条件，所以它们的 傅里叶变换存在。
xT ( x) X x (, T )
yT ( x) X y (, T )
利用帕斯瓦尔等式，以及实随机过程，可得 1 * xT (t ) yT (t )dt 2 X x (, T )Yy (, T )d T 1 * x (t ) yT (t )dt X x ( , T )Yy ( , T )d 即 T T 2 2016/12/2
2.2 联合平稳随机过程的互谱密度
实际应用中，经常需要研究两个或两 个以上的随机过程及其性质。
两个随机过程中样本函数的互功率谱密度
考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函 yT (t ) 为： 数分别为 x ( t ) 和 y( t ) ，定义两个截断函数 xT (t ) 、
x(t ) xT (t ) 0
1 2



S XY ( )d RXY (0) E[ X (t )Y (t )]
若X(t)为通过一负载的电流， Y(t)为加在该 负荷两端的电压，则此式等于消耗在该负载 上的平均功率。
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三
互谱密度的性质
互功率谱密度和功率谱密度是不同的，它不具 有频率的非负、实的偶函数，但它具有自己相应的 性质。
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解
S XY ( ) RXY ( )e
0

j
d 9e3 e j d
0
பைடு நூலகம்

9 e (3 j ) d 9 3 j
9 SYX ( ) S ( ) 3 j
* XY
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实际中，考虑多个联合平稳随机过程之和的频 率特性时，就要应用互谱密度。 设Z(t)=X(t)+Y(t)，其中X(t)和Y(t)是联合平稳 实随机过程，则的Z(t)自相关函数： RZ (t , t ) E [ X (t ) Y (t )][ X (t ) Y (t )]
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性质5 若X(t)与Y(t)不相关的平稳过程，X(t)和 Y(t)分别具有常数均值 m X 和 mY ，有
RXY ( ) RYX ( ) E[ X (t )Y (t )] mX mY
则 S XY () SYX () 2 mX mY ()
Im[SYX ()] Im[SYX ()]
性质4 若平稳过程X(t)与Y(t)正交，则有
SYX () 0, S XY () 0
证明 若X(t)与Y(t)正交，则
RXY ( ) RYX ( ) E[ X (t )Y (t )] 0
所以 S XY () SYX () 0
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S X ( ) SY ( ) 2 Re[ S XY ( )]
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2
取极限以及交换运算次序，可以得出样本函数 x(t ) 和 y (t ) 的 (时间)互平均功率：
1 T 1 Qxy lim x(t ) y(t )dt T 2T T 2
1 X x (, T ) X y (, T )d Tlim 2T

样本函数 互功率谱密度
S XY ( ) A RXY (t , t ) e


j
d
即 A RXY (t , t )
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S XY ()
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若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有
RXY ( ) S XY ()

即
S XY ( ) RXY ( )e j d

SYX ( )
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性质2 Re[S XY ()] Re[S XY ()] 偶函数 Re[SYX ()] Re[SYX ()]
证明 S XY ( ) RXY ( )e j d
RXY ( )[cos j sin( )]d
RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( ) RZ ( )
对上式求傅里叶变换，可知的功率谱密度：
S Z ( ) S X ( ) SY ( ) S XY ( ) SYX ( )
S X ( ) SY ( ) S XY ( ) S XY ( )
随机过程 互功率谱密度
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互功率谱密度（互谱密度或互功率谱）：
1 * S XY ( ) lim E[ X X ( , T ) X Y ( , T )] T 2T
则 同理
Q XY
1 2



S XY ( )d
1 * SYX ( ) lim E[ X Y ( , T ) X X ( , T )] T 2T
性质7
| SYX () | S X ()SY () 互谱不等式
2
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例
设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相 关函数 RXY ( )为: 9e 3 0 R XY ( ) 0 0 SYX ( )。 求互谱密度 S XY ( ) ，


Re[S XY ( )] RXY ( ) cosd



RXY ( ) cosd （令

）
Re[S XY ()]
同理可证 Re[SYX ()] Re[SYX ()]
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性质3 Im[S XY ()] Im[S XY ()] 奇函数
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性质1 证明
* SXY ( ) SYX ( ) SYX ( ) 共轭性
S XY ( ) RXY ( )e


j
d d （令 ）
RYX ( )e
* SYX ( )
j
RYX ( )e j d RYX ( )e j ( ) d
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两个随机过程的互功率谱密度
推广到随机过程中，并取集合平均（数学期望），可 以得出两个随机过程X(t)，Y(t)的互平均功率：
1 T 1 1 QXY E[lim X (t )Y (t )dt ] lim E[ X X (, T ) X Y (, T )]d T 2T T 2 T 2T
QYX 1 2
则



SYX ( )d
如果X(t)和Y(t)均是实随机过程，则 QXY QYX
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二
互谱密度和互相关函数的关系 自相关函数 互相关函数 功率谱密度 互功率谱密度
对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互 谱密度 S XY ( ) 与互相关函数 RXY ( t , t ) 之间 的关系为：
证明 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
S XY ( ) RXY ( )e
j
d
mX mY e

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j
d
2 mX mY ( ) （1 2 ( )）
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性质6
A RXY (t , t ) S XY ( ) A RYX (t , t ) SYX ( )

1 R XY ( ) 2



S XY ( )e j d
同理 即
RYX ( ) SYX ()
SYX ( ) RYX ( )e j d

1 RYX ( ) 2
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SYX ( )e j d
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结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平 稳)的实随机过程，它们的互谱密度与 其互相关函数互为傅里叶变换。 若 0