第三章量子力学

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量子力学讲义第三章讲义

第三章力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇，单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-，则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

原子物理3

19世纪末的三大发现揭开了近代物理的序幕
1895年的X射线 1896年放射性元素 1897年的电子的发现
早期量子论量子力学
相对论量子力学
普朗克能量量子化假说爱因斯坦光子假说康普顿效应玻尔的氢原子理论
德布罗意实物粒子波粒二象性薛定谔方程波恩的物质波统计解释海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义相对论相结合
四、德布罗意波和量子态
v 质量为 m 的粒子以速度匀速运动时，具有能
量 E 和动量 p ；从波动性方面来看，它具有波长
和频率，这些量之间的关系遵从下述公式：
E mc2 h
p mv h

具有静止质量 m0 的实物粒子以速度 v 运动，
则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：
的精密度的极限。还表明
px 0 x 位置不确定
x 0 px 动量不确定
pyqy 2
pzqz 2
pxqx 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
二、测不准关系式的理解 1、用经典物理学量——动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制。 2、可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
例3 电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后的横向速度的不确定量。
解：电子横向位置的不确定量 x 0.01cm
vx 2mx 0.58m s
v 2eU 6 107 m/s m
pdp m
E vp
Et vpt pq
2
mv

第三章-量子力学中的力学量(下)

2 2 2 2 2 2 2 2 A h k A h k A 4h k A 4h k A 0× + × + × + × − + × − 2 2µ 4 2µ 4 2µ 4 2µ 4 5h2k2 平均动能 = = 2 2 2 2 2 8µ (2× A/ 4) + ( A/ 4) + ( A/ 4) + (− A/ 4) + (− A/ 4)
1= ∫ψ ψdV = ∑∑c c ∫ψ ψ dV =∑∑c c δ =∑cn
* * n m * n m * n m nm n m n m n
2
第5(6)节算符与力学量的关系 5(6
ˆ 量子力学基本假定：力学量对应厄米算符对应厄米算符, 量子力学基本假定：力学量F对应厄米算符算符F的本征函数构成描述时，完全系。当系统由归一化归一化波函数完全系。当系统由归一化波函数 ψ = ∑ cnψ n 描述时，测量力学
角动量算符本征函数
* Y lm (θ , ϕ )Y l ' m ' (θ , ϕ )d Ω ≡ ∫ 2π
波函数 ψ
r p
r (r ) =
1 e ( 2πh )3 / 2
r r ip⋅ r h
波函数 Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl|m| (cosθ )e imϕ
* d ϕ ∫ sin θ d θ Y lm (θ , ϕ )Y l 'm ' (θ , ϕ ) = δ ll 'δ mm ' ∫ 0 0
的结果必定是对应算符的本征值，量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值 f n 的几率的结果必定是对应算符的本征值是 cn 2。 ˆ 如果测量F的结果为如果测量的结果为 fn，波函数塌缩为ψ = ∑cnψn →ψn (Fψ n = f nψ n ) 。

量子力学第三章

−ρ / 2
[s(s −1) − l(l + 1)]b0 ρ
令 ν'=ν-1 第一个求和改为
s−2
+ ∑[(ν + s)(ν + s − 1) − l(l + 1)]bν ρν +s−2
ν =1
∞
∑ bν ρ ν
s+ν −1
:
+ ∑[β − (ν + s)]bν ρν +s−1 = 0
ν =0
∞
即
b ≠ 0 0 s ≥ 1
对应一个本征值有一个以上的本征函数的情况成为简并。对应一个本征值有一个以上的本征函数的情况成为简并。对应同一个本征值的相互独立的本征函数的数目称为简并度。应同一个本征值的相互独立的本征函数的数目称为简并度。
个取值。 ˆ 对给定的 l ， m 有 ( 2l + 1) 个取值。 L2 的本征值是 ( 2l + 1) 度简并的。简并的。
∑[(ν + s)(ν + s −1) − l(l +1)]bν ρ ν
=0
+ ∑[β − (ν + s)]bν ρν +s−1 = 0
ν =0
∞
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为：把第一个求和号中ν= 项单独写出，则上式改为：
u αf (ρ )e R= = r ρ =e
−ρ / 2 =0
四、讨论：讨论：
ˆ ˆ a. Ylm 是 L z , L2 得共同本征函数 .
ˆ L2 Ylm = l(l + 1)h 2 Ylm
ˆ = −ih ∂ 作用于 Ylm 上，有：而让 L z ∂ϕ ∂ m ˆ L z Ylm (θ, ϕ) = − ih [(−1) m N lm Pl (cos θ)e imϕ ] ∂ϕ

量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律

2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schr o
dinger 方程 o 接地描写各力学量的变化。当然，我们也可以由 Schr
推出一个力学量随时间变化的一般方程，即量子力学运动方程或海森堡运动方程，由它可以更直接的描述力学量的变化，并可得出一些重要结论。
ˆ 的本征值 C 1 。所以 P
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
ˆ F 1 ˆH ˆ H ˆF ˆ ) dx dx ( F t i

ˆ 1 d F F ˆ,H ˆ] 即： [F dt t i
(1)
ˆ 显含时间而引此即为海森伯运动方程。其中右边第一项是由于 F
起的，即使不随 t 变化这一项也存在；第二项是由于随 t 变化而引起的，即使 F 不随 t 变化这一项也存在。
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
y
x
y
ˆ ˆ2 L L 0， x t t dL d L2 所以： 0； x dt dt
ˆ L y
ˆ L z ＝0 t t dL y dL z 0； 0 0； dt dt

量子力学第三章

2
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω

量子力学第三章

第三章定态方程的初步应用
3.1求一维无限深势阱中的粒子处于第一激发态时概率密度最大值的位置。
解一维无限深势阱中粒子的波函数是对第一激发态，，故令得五个极值可疑点：
和4 又因为将代入上式得，故概率密度最大值位于和处。
3.2若粒子的波函数形式为，求粒子的概率分布，问粒子所处的状态是否定态？
解（1）
（2）
3.5在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态
波函数具有确定的宇称。
解一维运动的薛定谔方程为
（1）
式中
（2）
依题意，在坐标反射变换时
再注意到当时是不变量，因此（3）
即在坐标反射变换下，哈密顿算符具有不变性。设坐标反射变换而得的态用表示，这时薛定谔方程为（4）
有一个交点，故只有一个束缚态。当，即
时两曲线有两交交点和，故有两个束缚态。
（5）式中常数由归一化条件求得：
最后得到波函数为
3.9设粒子处于半壁无限高的势场中中运动，设粒子能量，求束缚态能量所满足的方程及至少存在一个束缚态的条件。
解（1）一维定态薛定谔方程为将所给势能代入上式得即令它们皆为实数，于是得到
它们的解分别为但，否则时，不满足波函数有限性的要求，于是
因此在势阱中粒子满足如下薛定谔方程
或
即
（1）
其中
（2）
假设粒子处于态，与无关，因而
，
于是（1式变成
它的解为
代入（3）式得
（4）
为满足有限性要求，，否则处无限大，于是
（5）
又在处，这是因为边界是理想反射壁，粒子不能透出势阱外，于是
即
即注意到（2）式，便得到球形势阱中粒子的能级可见能级是量子化的，与一维无限深势阱的结果相似。

第三章量子力学中的力学量

1 2πh
eipx/ h
hk E= ≥0 2m
ˆ H p H Lz与 ˆ，ˆ与 ˆ
2 2
k可续值故是续。连取， E 连的
能二简。级度并
为啥具有相同的本征态？
（5）坐标算符的本征值和本征函数）
ˆ xϕ x′ ( x) = x′ϕ x′ ( x) x′取一切实数 ϕ x′ ( x) = δ ( x − x′)
,
n = 1,2,3L l = 0,1, L n - 1 m = 0,±1 L ± l ，
二、量子力学的基本原理四
在意 ψ中 ψ = ∑anϕn 任态，
n
测量力学量A，可得到各种可能取值，可能取值必为某一本征值。
ˆ在征谱取的率 | a |2 。 A 本值中 A 几为 n n
2 2 ˆ2 ˆ = Lz = − h ∂ H 2I 2I ∂ϕ2
z
h2 ∂2 − ψ = Eψ 2 2I ∂ϕ
1 imϕ ψm(ϕ) = e 2π m2h2 Em = ≥0 2I
m = 0 ±1 ± 2 L ，，，
要求：要求：会求解
(3)求量分 px的征。动 x 量ˆ 本态
∂ −ih ψ = px'ψ ∂x
ˆz = x py − y px = −ih(x ∂ − y ∂ ) ˆ ˆ L ∂y ∂x
1 ∂ ∂2 ∂ 1 ˆ2 L = − h2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
从而有
ˆ = ihsin ϕ ∂ +cotθ cosϕ ∂ Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ihcosϕ ∂ −cotθ sin ϕ ∂ Ly ∂θ ∂ϕ ˆz = −ih ∂ L ∂ϕ

第三章量子力学中的力学量c

第三章量子力学中的力学量§1.1 学习指导实验表明，微观粒子具有波粒二象性，在传播过程中出现干涉和衍射现象，显示出波动的特性；在相互作用过程中出现碰撞，能量和动量守恒，显示出粒子性。

量子力学理论中用波函数来描述微观粒子的状态，很好地解释了微观粒子波动性的一面，这在上一章中已经作了介绍。

本章主要介绍量子力学中力学量的描述，来处理其粒子性的一面。

在经典力学中，粒子的状态用广义坐标和广义动量来描述，力学量是广义坐标和动量的函数。

在量子力学中，粒子的状态用波函数来描述，坐标和动量成为作用在波函数上的算符。

按照对应原理，量子力学中的力学量应该是坐标算符和动量算符的函数，也是一个作用在波函数上的算符。

根据实验，微观粒子的波函数满足叠加原理，因此力学量算符必须是线性算符；力学量的测量结果为相应算符的本征值，它们都是实数，因此力学量算符必须是厄密算符。

用波函数来描述微观粒子的状态，用线性厄密算符(以下称厄密算符)来描述微观粒子的力学量，两者相互配合，形成了一个可以全面处理微观粒子波粒二象性特点的完整理论。

本章的主要知识点有 1．力学量算符 1）力学量的描述量子力学中的力学量Q 用厄密算符ˆQ 表示，位置算符ˆrr =v v 和动量算符ˆp i =-∇vh 是量子力学中最基本的力学量算符，而能量算符，即哈密顿算符122ˆ()mHp U r =+v是最重要的力学量算符。

厄密算符ˆQ是自共轭的，即ˆˆQ Q +=。

对于任意两个态函数,ψϕ，都有 ˆˆ()Q d Q d ψϕτψϕτ**=⎰⎰ （3-1）厄密算符ˆQ 的本征值nq 为实数，对应的本征函数()n r ϕv满足本征方程 ˆ()()n n nQ r q r ϕϕ=v v ，（3-2）本征函数之间具有正交性。

归一化的本征函数()n r ϕv满足正交归一性关系,()()m n m n r r d ϕϕτδ*=⎰v v，（3-3）其集合具有完备性(')()(')n n nr r r r ϕϕδ*=-∑v v v v。

量子力学第三章表象理论

第三章表象理论本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。

首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。

之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。

接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。

最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。

1.表象：完备基的选择不唯一。

因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。

除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。

因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。

若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数③本征函数与本征矢的关系：设本征方程ψ=ψλQˆ又可写作()()G Q G Q ψψ=ˆ 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G QG ˆˆˆψψ 因此：本征函数()ψ=G G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ下的“坐标”（波函数）如果离散谱：()ψ=i i G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ的iG 方向上的“坐标” ④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基）*注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象）2.投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号（1）投影算符：令()()连续谱离散谱dG G Gi i Pi⎰∑==ˆ，称为投影算符（2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量（3）本征方程：ψ=ψ=ψI Pˆˆ，表明投影算符就是单位算符（4）单位算符代换公式：()()连续谱离散谱dQ G G i i I i⎰∑==ˆ3.不同表象下的态矢量展开和波函数：①离散谱：∑=ii iF Fψψ，ψψi i F =为Fˆ表象下的波函数 {}i ψ可表示为一列矩阵，第i 行元素就是ψψi i F =观测值恰为i Q 的概率：用Qˆ表象展开∑=ii i Q Q ψψ，22Pr ψψi i Q ob ==概率归一等价于波函数归一∑==ii 12ψψψ算符Qˆ的观测平均值：ψψψQ Q Q ii i ˆˆ2==∑②连续谱：⎰==dG G GIψψψˆ，ψψG =称为Gˆ表象下的波函数观测值落在dQ Q Q +~范围内的概率：用Qˆ表象展开⎰=dQ Q Qψψ，dQ Q dQ ob 22Pr ψψ==，满足概率归一⎰=12dQ ψ算符Qˆ的观测平均值：()()ψψψQ dQ Q Q Q ˆ,ˆ2==⎰③本征函数和态矢量的内积统一：设f f =，g Q g =，有()g f gdQ f dQ g Q f Q dQ g Q f g I f g f ,ˆ**=====⎰⎰⎰结论：量子态g f 在同一表象Q 下投影得波函数g f ,，则()g f g f ,=算符对本征函数作用：()()ϕψϕψϕψϕψϕψQ Q QQ Qˆˆˆ,ˆˆ,==== 示例：()ϕψϕψϕψϕψϕψϕψp dx pdx x p dx p x x p I pˆ,ˆˆˆˆˆˆ**=====⎰⎰⎰④位置表象与动量表象：4.力学量的测量值问题：①当待测系统处于算符本征态：此时ψ=ψQ Qˆ，对系统中所有粒子的测量结果都是本征态ψ对应的本征值i Q ，显然i Q 的统计平均值还是i Q ，iQ Q =ˆ。

(完整)曾谨言量子力学第3章ppt

n
例，若 Aˆ d dx
则
Aˆ n dn dx n
显然算符的乘幂满足： Aˆ mn Aˆ m Aˆ n
[Aˆ m, Aˆ n ] 0
两个任意量子态的标积： (ψ ,φ ) dτψ φ
对一维粒子
dτ
dx
对三维粒子 dτ dxdydz r2 sinθdrdθdφ
(ψ ,φ ) dτψ φ
φ arctan(y / x)
lˆx
isin φ
θ
cotθ cosφ
φ
lˆy
i cosφ
θ
cotθ
sin φ
φ
lˆz
i
φ
lˆ 2
2
1
sin θ
θ
sin θ
θ
1
sin 2 θ
2
φ
2
角动量的对易关系
Levi-Civita 符号
[lˆα , xβ ] εαβγ ixγ
εαβγ ε βαγ εαγβ
即 (Aˆ A)ψ 0
或写成 Aˆn Ann
( 3)
An称为算符A的本征值，ψn为相应的本征态，方程(3)称为算符A的本征方程。
量子力学的测量公设：在任意态下测量力学量A时所有可能出现的值，都相应于线性厄米算符A的本征值；当体系处于算符A的本征态时，则每次测量所得的结果都是完全确定的，即An
~ 0 x x
练习证明： (1) pˆ x pˆ x , (2) (Aˆ Bˆ)T BˆAˆ
(g)复共轭算符和厄米共轭算符算符A 的复共轭算符A*定义为
Aˆψ (Aˆψ) (40)
通常算符A的复共轭算符A* 按如下方法求解：把算符A中的所有量都换成其复共轭。如 pˆ (i) i pˆ

第三章：量子力学中的力学量_6讲

A的平均值是实数 ˆ ψ）＝（A ˆ ψ，ψ） A A* （ψ，A
令： 1 2
ˆ ( ))＝（A ˆ ( )， ((1 2 )，A (1 2 )） 1 2 1 2 ˆ ψ )+(ψ ，A ˆ ψ )＝（A ˆ ψ ，ψ ）（ ˆ ψ ，ψ ） (ψ1，A + A 2 2 1 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ( r )A ( r ) dr A ( ,A ) A * ( , ) ( r ) ( r ) dr
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
五、线性算符的运算 1. 算符的和：算符的和运算满足交换律和结合律
ˆ ˆ ˆ ˆ A+B=B+A
ˆ ˆ ˆ A+(B+C) ˆ ˆ ˆ (A+B)+C
2. 算符的积算符的积不一定满足交换律
ˆˆ x p ˆxx ˆ i xp
3. 算符的对易式, 定义：
ˆ ˆ ˆ ˆ ，称两算符对易，否则称不对易如果： [A,B]=[B,A]
px

px | c( px ) |2 dpx c ( px ) px c( px )dpx
i px x 1 ( x)e dx px c( px )dpx 2
i px x 1 ( x )e px c( px )dxdpx 2 i px x 1 d ( x)(i )e c( px )dxdpx dx 2
ˆ A
厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数， ˆ 的本征值，为属于的本征函数，此方程称则称是 A ˆ 的本征值方程。全部本征值 { }是且仅是相应力学为算符 A 量A的所有可能取值（或测量值）.

量子力学第三章习题与解答

第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。

解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα22122p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。

解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。

量子力学导论第3章答案

第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(by a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如b a = ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为m E y x n n 222π =)(2222bn an y x +,2,1, ,sinsin2==y x y x nn n n byn axn abyx ππψ若b a =，则 )(222222y x n nn n ma E yx +=πayn axn ay x nn yx ππψsinsin2=这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(cz b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如c b a ==，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn bn an mnn n Ez y x zyx++=π ,,3,2,1,, ,sinsinsin8==z y x z y x n n n czn byn axn abcn n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n mann n Ezyx++=πayn ayn axn a n n n z y x zy x πππψsinsinsin223⎪⎭⎫⎝⎛=z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。

如 ⎩⎨⎧→++=++→++=++)9,6,3()10,5,1(2086161210)11,3,1()9,7,1(10438652222222222223.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，⎩⎨⎧><∞<<=ax 0, ,0 ,0),(x ax y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子)61(12)x -(x ,22222πn aa x -==讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。

量子力学第三章

2
a ( n
1 2
( n )

2
2 a
所以
E
n

2

2
于是波函数：
1 2 ( n ) 2 2 a

( 2 n1)
2 2
2
8 a
2
I III 0 n II n 1 2n 1 2 n A sin(x ) A cos x A cos x A cos x 2 a 2a

d dx d dx d dx
2 2 2 2 2 2

2
I
0 0 0
V(x)
II

2
II
I -a
II 0 a
III
III

2
III

V(x)

1。单值，成立； 2。有限：当x - ∞ ，
I
II
III
-a

类似 I 中关于 n = m 的讨论可知：
( n 0,1, 2, )
综合 I 、II
结果，最后得：
Em
m
2
2

2
2
8a
I
对应 m = 2 n

III

m

0 m 2a x m 0 的偶数
I II
0
C 1e
x
a
C 2e
x
ψ 有限条件要求 C2=0。

x
I

d dx d dx d dx

第三章量子力学中的力学量

ˆ F(A)
∞
=∑
n=0
F
( n,m)
∞
F
( n)
(0) n!
ˆn A
∂n (n) F (x) = n F(x) ∂x
n m
ˆ ˆ ˆ ˆ 算符 A、B 的函数 F( A, B)为: ˆ ˆ F( A, B) =
n,m=0
∑
(0,0) n!m!
ˆ n Bm ；F(n,m) (x) = ∂ n ∂ m F(x, y) A ˆ
∂x ∂y
例:
将算符函数
ˆ ˆ F(H) = e
i − xt h
i ˆ − Ht h
展开成幂级数
解： F′(x) = d e
i = − te dx h i i 2 − xt − xt d i 2 h 2 h F (x) = 2 e = (− t) e dx h i i n − xt − xt d i n h n h ⋅ ⋅⋅, F (x) = dxn e = (− h t) e i n n F (0) = (− t) h
ˆ = h ∂ Px i ∂x
ˆ = − h ∂ = −P ˆ P x i ∂x
* x
r* r ˆ ˆ P = −P
~ ˆ ˆ （3）算符 F 的转置算符 F ） ~ ˆ ˆ 定义：定义： u * Fv dτ ≡ vFu * dτ ∫ ∫
~ ˆ ˆ (u, Fv) = ( v* , Fu * )
~ ∂ ∂ 性质：性质：ⅰ =− ∂x ∂x ~ ∞ ∞ ∞ ∂ * 证： * ∂ * ∞ * ∂ ∫−∞ u ∂x vdx = ∫−∞ v ∂x u dx = vu −∞ − ∫−∞ u ∂xvdx ~ ∞ ∂ ∂ * ∂ = = −∫ u vdx −∞ ∂x ∂x ∂x

量子力学第三章

ˆ ˆ ˆ ˆ (∆A) (∆B) ≥ (∆Aψ , ∆Bψ ) = (ψ , ∆A∆Bψ )
2
ˆ, ˆ ˆ, ˆ [∆A ∆B]+ [A B] ψ ) + i(ψ , ψ) = (ψ , 2 2i
2
2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆψ = (ψ ,[∆A, ∆B]+ψ ) + (ψ ,[A, B] ) 4 4
1 2 1 2 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ c =1, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = (Aψ2 ,ψ1) − (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ c = i, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = −(Aψ2 ,ψ1) + (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ + : (ψ , Aψ ) = (Aψ ,ψ ), − : (Aψ ,ψ ) = (ψ , Aψ )
± lm
ˆ 因为 lz 的本征值 (m ±1)h非简并，所以 ˆ λ l±Y (θ,ϕ) = λ±Y,m±1(θ,ϕ)， ± 是常数 lm l
物理上认为：描述同一方位， ϕ 物理上认为：ϕ与 + 2π 描述同一方位，
ψ (ϕ +2π ) =ψ (ϕ),
lz = mh, m = 0, ±1, ± 2,L
周期性边界条件或自然边界条件
满足 (ψm,ψn ) = δmn
1 imϕ ψm (ϕ) = e 2π
ˆ 也是保证 lz 厄米的要求
例2 平面自由转子的本征能量和定态
ˆ ˆ (A− A)ψ = 0 或Aψn= Anψn
即算符的本征态时，学量有确定测值。学量有确定测值。
3.2.2 力学量假定
Postulate 3
v v 1. 经典力学中的任一力学量F(r , p) ，对应量 v v ˆ (r , p) = F(r ,−ih∇) ； ˆ v ˆ 子力学中的线性厄密算符 F ˆ的本征值为力学量F的测量值(称可测值)； 2. F

第三章量子力学

量子力学讲义第三章讲义

原子物理3

第三章-量子力学中的力学量(下)

量子力学 第三章

量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律

量子力学第三章

量子力学第三章

第三章 量子力学中的力学量

第三章 量子力学中的力学量c

量子力学 第三章 表象理论

(完整)曾谨言量子力学第3章ppt

第三章：量子力学中的力学量_6讲

量子力学 第三章习题与解答

量子力学导论第3章答案

量子力学第三章

第三章 量子力学中的力学量

量子力学 第三章

量子力学第三章

第三章量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量c

量子力学第三章表象理论

量子力学第三章习题与解答

第三章量子力学中的力学量

量子力学第三章