概率的概念古典概型几何概型概率的公理化定义

非负性与规范性 对任意事件A,有0P(A)1； 证: 对任意事件A,以kA表示它所包含的基本事件数， n表示基本事件总数，则对于任意事件A，有 0≤kA≤n 或 0≤kA/n ≤ 1 故 0≤P(A)=kA/n ≤n/n = 1 即 0≤P(A)≤1 特别地： P(Ω)= n/n =1， P()= 0/n =0
四 古典概型的计算
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽 取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取 元素排成一列，
n n-1n-2
n-k+1
共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
2.2 古典概型
四 古典概型的计算
组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有
k n Pn n! k Cn k k! k!(n k)!
一 古典概型
若随机实验E有如下特征： 1.有限性：试验的可能结果只有有限个 样本空间Ω＝{ω1, ω2 , … , ωn }; 2.等可能性:各个可能结果出现是等可能的 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn). 则称这种实验为古典概型
2.2 古典概型
二 古典概型概率的计算公式
设有一个古典型试验,其样本空间为, Ω＝{ω1, ω2 , … , ωn } 而事件A是由Ω中的k(k≤n)个(也称为有利 于A的样本点)不同的基本事件所组成,则A的 概率为:
皮尔逊 皮尔逊
频率：设A为随机试验E的任一事件，相同的条件下 重复n次，用nA表示事件A在n次试验中出现的次数， 称比值fn(A)=nA/n为A在n次试验中出现的频率
2.1 概率的概念
一 概率
2.1 概率的概念
一 概率
频率在一定程度上反映了事件发生的 可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试 验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n 相当大，频率与概率是会非常接近的. 因此，概率是可以通过频率来“测量” 的, 频率是概率的一个近似.
如果事件A与B互不相容,即AB＝， P(AB)＝P(A)＋P(B) 证: 设 A含k1个基本事件：ω (1), ω (1),… ω (1) 1(2) 2(2) k1 (2) B含k2个基本事件：ω1 , ω2 ,… ωk2 即 A={ω1(1), ω2(1),… ωk2(1)} B={ω1(2), ω2(2),… ωk2(2)} 由定义 P(A)= k1/n, P(B)= k2/n 又由于A∩B＝ A∪B={ω1(1), ω2(1),… ωk2(1) , ω1(2), ω2(2),… ωk2(2)} A∪B 中含有k1 +k2个基本事件 p(A∪B)=(k1 +k2)/n= k1/n+k2/n=P(A)＋P(B) 可加性
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 N(Ω)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
N ( A) 7 P( A) N (S ) 8
k ( A) 有利于A的样本点数 p( A) n() 样本点总数
2.2 古典概型
三 古典概型概率的性质
(1)非负性:对任意事件A,有 0P(A)1； (2)规范性:必然事件概率等于1,不可能事件的 概率等于0 P()＝1； P()=0 (3)可加性:如果事件A与B互不相容,即AB＝， P(AB)＝P(A)＋P(B)
2.1 概率的概念
二 概率的性质
1. 2. 3.
非负性 0≤P(A) ≤1 规范性 P(Ω)=1 有限可加性 若A1， A2 ，A3… ，An互 斥，则 P( A ) p(A )
n n k k 1 k 1 k
即有限个互不相容的事件的和事件 的概率等于这些事件的概率之和
2.2 古典概型
2.2 古典概型
四 古典概型的计算
古典概型的概率计算步骤： (1) 判断试验为古典试验, 即基本事件总数为有限 个, 且各基本事件出现的可能性相同。 (2) 计算样本空间中样本点的个数n ; (3) 计算事件A 包含样本点的个数m ; (4) 由P(A)=m/n 计算事件A 的概率。
2.2 古典概型
四 古典概型的计算

基本记数原理
设有m个试验，第1个试验有n种可能结果， 对于第i(2≤i ≤n)次试验，前i-1个试验 的每一种可能结果，都使第i个试验有ni种 可能的结果，则m个试验共有 n 1× n 2× …× n m 种可能的结果

排列与组合
2.2 古典概型
四 古典概型的计算
复习：排列与组合的基本概念
n1 n2
：2
城市甲
：4
城市乙
：3
从甲城市到丙乡村的线路 一共有：(2+4+3) ×(2+3) 条。

3

2
乡村丙
2.2 古典概型
四 古典概型的计算
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽 取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将 记录结果排成一列，
n n n
n
共有nk种排列方式.
2.2 古典概型
种取法.ຫໍສະໝຸດ Baidu
2.2 古典概型
四 古典概型的几类基本问题 1抽球问题
例1:在盒子中有3个白球，2个红球，现从中任抽 2个球，求:(1)取到两个球都是白的概率；(2) 取到一红一白的概率。 解:设 A={取到两个球都是白的} B={取到两球一白一红} 2 N ( ) C 基本事件总数为 5 2 N ( A ) C A的有利事件数为 3
第二章
事件的概率



概率的概念 古典概型 几何概型 概率的公理化定义
2.1 概率的概念
一 概率
概率: 随机试验中,事件A出现的可能性大小, 记为P(A). 例如:反复投掷一牧均匀硬币，有如下结果：
实 验者 蒲 丰 次数n 4040 12000 24000 正面向上 (m) 2048 6019 12012 频率(f =m/n) 0.5070 0.5016 0.5005
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途 径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这 件事共有n1+n2种方法。
城市甲
：2
城市乙
：4
则从甲城市到乙城市一共有：2＋4= 6 条线路
2.2 古典概型
四 古典概型的计算
乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步 有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件 事共有n1n2种方法