双自由度系统
两自由度系统-振动力学
振幅比、主振型、固有振型
1
A21 A11
k11
n21m1
k12
k22
k12
n21m2
2
A22 A12
k11 n22m1
k12
k12
k22 n22m2
1 1
特征向量、振型向量、模态向量
1
,
2
A 1
A11 A21
A11
1
1
,
A 2
A12 A22
A12
1
2
模态参数包括：
3K t I
系统按第二阶固有振型做简谐振动
x10 x0，x20 0，x10 x20 0
解得：A11 A12 x0 / 2,1 2 900
作业：3-1，3-2，3-4
x1 0.5x0 cos
K / I t 0.5x0 cos
3K t I
x2 0.5cos
K / I t 0.5x0 cos
于是有
k11 n2m1
k12
0
(7)
k21
k22 n2m2
m1m2n4 (m1k22 m2k11)n2 k11k22 k122 0
(8)
方程有两个正实根
n 1，2
m1k22 m2k11
(m1k22 m2k11)2 4m1m2 (k11k22 k122 ) 2m1m2
(9)
[K]：刚度矩阵。
{x}：位移向量
第一节 无阻尼自由振动
分析{x0},{x0}引起的自由振动
微分方程的一般形式：
m1
0
0 m2
x1 x2
k11 k 21
k12 k 22
x1 x2
0 0
第四章两自由度系统的振动介绍
第四章两自由度系统的振动介绍第四章是关于两自由度系统的振动的介绍。
在这一章中，我们将探讨两自由度系统的振动模型、动力学方程，并讨论其解析解和数值解。
此外，我们还将介绍两自由度系统的模态分析、共振现象以及一些相关的应用。
两自由度系统是一种具有两个自由度的振动系统，它由两个具有质量和弹性的物体通过柔性连接件或刚性连接件相互连接而成。
这些物体可以是质点、弹性体或刚体等，而连接件可以是弹性杆、弹簧、细梁等。
在两自由度系统中，每个物体都可以做平动或转动运动，因此系统具有两个自由度。
例如，双摆锤、双弹簧振子等都属于两自由度系统。
两自由度系统的动力学方程可以由拉格朗日方程或牛顿第二定律得到。
得到动力学方程后，我们可以通过解方程得到系统的解析解，以获得系统的振动特性。
在分析解时，通常要求系统的运动是简谐振动或近似简谐振动。
另一种求解两自由度系统的方法是数值解法。
数值解法可以通过数值积分来近似求解动力学方程，这种方法常用于求解复杂的系统，或者对系统参数进行优化等情况。
分析解和数值解法可以用来研究两自由度系统的固有振动频率、振型和动态响应等。
通过模态分析，我们可以得到系统的固有频率，并确定每个模态的振型。
对于实际工程问题，模态分析可以帮助我们了解系统的共振情况，并设计出合适的控制策略，以求减小共振现象的发生。
共振是两自由度系统中一个重要而常见的振动现象。
当外力的频率与系统的固有频率接近时，系统会发生共振现象。
共振的发生会导致系统振幅的急剧增加，并且可能对系统的稳定性产生不利影响。
因此，在设计过程中，需要避免共振现象的发生，并采取合适的措施来控制共振。
此外，两自由度系统的振动也有许多实际应用。
例如，双摆锤可以用来研究天体运动和天文学现象；双弹簧振子可以用来研究建筑物或桥梁的振动特性；双振子可以用来研究分子振动和分子动力学等。
总而言之，两自由度系统的振动是一种普遍且重要的物理现象。
通过对两自由度系统进行建模和分析，我们可以深入了解系统的振动特性，并在实际应用中进行优化和改进。
第三章 两自由度系统
物理坐标：根据分析系统工作要求和结构特点而建立的坐标 物理坐标运动表达式
1 1 xt A1 sinn1t 1 A2 sinn 2 t 2 r1 r2
四．初始条件引起的自由振动
施加于系统的初始条件
x1 0 x10 , x2 0 x20
2
F x2 (t ) sin t k2
X 1 0
k2 x2 (t ) F sin t
1 X 2 2
X0 F k 2
2
在任何时刻，吸振器施加于主系统的力 精确地与作用于主系统的激励力平衡。
由主系统和吸振器组成的两自由度系统的特征方程
二．广义坐标和坐标耦合
汽车简化为二自由度系统，即一根刚性杆（车体的简化模型） 支承在两个弹簧（悬挂弹簧和轮胎的模型）上，刚性杆作跟 随其质心的上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的俯仰运动。
m 0
0 x1 k1 k 2 Jc k a k 2 b1 1 1
k12 x1 F1 t k 22 x 2 F2 t
m11 m 21
m12 x1 c11 m22 x c 21 2
c12 x1 k11 c 22 x k 21 2
0 x 2 0 2 2 k1 a 2 k 2 b2 0
方程通过惯性项相互耦合，叫做运动耦合或惯性耦合
选坐标
x3
和
，
m a x 3 m k1 k 2 m a J k2 L A
两个自由度系统频率和模态测量实验
两个自由度系统频率和模态测量实验一、实验目的1、研究具有两集中质量的悬臂梁的动力系统特性，并将基本概念、方法及所得结论推广到多自由度系统；2、掌握结构（系统）的固有频率和振型的基本概念及其物理意义，加深对两自由度结构（多自由度系统）自由振动的规律及特性的认识；3、掌握模态实验的基本步骤和方法，加深对结构动力学基本理论的理解；4、了解动态测试仪器的基本工作原理，熟悉模态分析软件的基本操作过程及使用方法。
二、实验内容1、测试具有两个集中质量的悬臂梁的固有频率和振型；2、根据实验数据计算质量归一化振型； 三、实验原理1、参数识别基本理论本实验采用锤击法测定具有两个集中质量的悬臂梁的固有频率和振型，采用分量分析法进行上述参数的识别。
首先测试系统的频响函数，依据结构动力学理论，运算得出、r s 两点间的频响函数可写成下式：rs H ()()()21(12)nr ri sirs i s i i i i X H F k i ωϕϕωωλζλ===−+∑(1)由于实验测试为加速度响应，设圆频率为ω，位移函数,sin t X x ω=因此加速度函数为2sin a X t 2x ωωω=−=−，用复数表示后，参照(1-1)式可得到加速度频响函数为2221(12)nari si r rs i s i i i iX H F k i ϕϕωωλζλ=−==−−+∑ (2) 由公式(1-2)可知，当k ωω=时，1k λ=，此时式(1-2)可近似写为：2()22ark sk rk sk rs k k k k k kH i k i m ,ϕϕϕϕωωωζζ==−=− (3) 它对应频响函数ars H 的幅频曲线的第k 个峰值，其中在上面(1-3)2kk kk m ω=式中为第阶模态质量。
改变k s 点的位置，在不同点激振，可以得到不同点与点之间的频响函数，当r s r =时，可得到点r 处的原点频响函数为：221(12)nari ri rr i i i H k i ϕϕωi λζλ==−−+∑ (4) 它的第个峰值为：k 2()2ark rk rr k k k kH i k ,ϕϕωωωζ==− (5)由(1-3)/ (1-5)得到()()a rs k skarr k rkH H ωωϕωωϕ=== (6) 若另，就可得到：1rk ϕ=(()ars k sk arr k H H )ωωϕωω=== (7) 由(1-7)式，令1,2,,s n ="，就可得到第阶主振型的各个元素。
机械动力学第3章两自由度系统
b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x （3.1-1） ） m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
（3.1-12） ）
讨论（ 讨论（3.1-11）的解，假定 ）的解，
f (t ) = Be
st
代入（ 代入（3.1-11）得 ）
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
（3.1-13） ）
− −λt
（3.1-11）的通解 ）
f (t ) = B1e
（3.1-22） ）
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
二自由度系统振动
二自由度系统振动
两自由度
二自由度系统振动
四自由度
缺点：车轮、车身模型也相对简单（车身简化为一个 自由度，没考虑前后车轮二自的由度影系响统振）动 。
车辆悬架
二自由度系统振动
车辆悬架结构简图
七自由度
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
建立振动微分方法： 牛顿运动定律 拉格朗日方程
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m 0 1m 0 2 x x 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t) )
例1：两自由度弹簧阻尼质量系统
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
取 置
为m坐1、标m原2
静平衡位 点，水平
向右为两个坐标的正
向，根据牛顿第二定
律得到:
m1x1 k1x1 c1x1 k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 ) F1(t) m2x2 k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 ) k3x2 c3x2 F2 (t) 整理,得 m m 2 1 x x 2 1 c (c 2 1 x 1 c 2 (二) c x 2 自1 由 度c 系c 3 统2 )x x 振2 2 动 ( k k 2 1 x 1 k 2 () k x 2 1 k k 3 2 )x x 2 2 F F 1 2 ( (tt) )
U
1 2
k1 x12
1 2
k2 ( x1
x2 )2
1 2
k3 x22
1 2
x
1ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 两自由度系统的振动
设两质量块振动时按同频率和同相位作简谐振动，即：令
一组解x1 A1 sin( t )、x2 A2 sin( t )，代入方程后得： [(a 2 ) A1 bA2 ]sin( t ) 0 [cA1 (d 2 )A2 ]sin( t ) 0
(a 2 ) A1 bA2 0
cA1
(d
一阶主振型。
例
练习1 如图，推导系统的频率方程并 求主振型。设滑轮为均质圆盘， 其质量为m2，质量块质量为m1， 弹簧刚度分别为K1和K2，并假定 滑轮与绳索间无相对滑动。
解：选取广义坐标为（ ），
取静x,平 衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运 动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(x r)r K2r 2
1) 当作用于系统的主动力都是有势力时（系统没有能
量损失时），则系统具有势能U（q1,q2,···,qn)，广义力
为
Qj
U q j
( j 1, 2, , n)
代入方程得： d ( T ) T U 0 dt qj q j q j
( j 1, 2, , n)
或
d ( L ) L 0 ( j 1, 2, , n)
m1l 21 (m1gl Ka2 )1 Ka22 0 m2l 22 Ka21 (m2gl Ka2 )2 0
1 2
K2 (u2 u1)2
u1
u2
代入拉氏方程，得系统的微分方程
(m1
m2 2
)u1
m2 2
u2
(K1
K2 )u1
K2u2
0
m2 2
u1
3u2 2
u2
K 2u1
K2u2
0
m1
机械振动4两自由度系统的动力学方程
实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 ， 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分 别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车
两自由度振动系统
2.2 主振型
对应固有频率时的 x1，x2 的振幅之间有两个确定的比值，这个比值称为振幅比。振动 过程中， 系统各点的位移的相对比值都可以由振幅比确定， 振幅比决定了整个系统的振动形 态。 振幅比就称为系统的主振型。 第一主频率对应第一主振型； 第二主频率对应第二主振型。 当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型做振动时，即成为系统的主振动。 主振型和固有频率只取决于系统的固有性质，与初始条件无关。
K1
K1x1
m1 x1
m1
系统的两个分振动的频率不一定是有理数， 合成的振动不一定呈周期性， 一般是非周期的复 杂运动或似周期运动。
2. 固有频率与主振型
2.1 固有频率
两自由度系统的固有频率有两个
2 wn 1,2 =
a+c a−c 2 ∓ （ ） + bc 2 2
将小的那一个固有频率称为第一主频率或第一阶固有频率， 第二个称为第二主频率或第二阶 固有频率。
两自由度系统振动
两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振 动系统。
两自由度系统的自由振动 1. 系统运动微分方程
m1 x1 + k1 x1 − k 2 x2 − x1 = 0 m2 x2 + k 2 x2 − x1 = 0 令 a=(k1+k2)/m1;b=k2/m1;c=k2/m2 简化为， x1 + ax1 − bx2 = 0 x2 − cx1 + cx2 = 0 K2(x2-x1) K2(x2-x1) x2 m2 m2
2.3 振动分析
求出两个质量块的振动后，可知2 小于零， 1 大于零，第一主振动中两个支点的相位 相同，即若系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同向运动，同时经过平衡位 置同时达到最大偏离位置。 若系统以第二主振型进行振动， 两个质点就同时向相反的方向运 动，当质量 1 达到最低位置，质量 2 就达到最高位置。所以，他们一会分离一会相向运动， 这样在联系质量 1 和质量 2 之间的弹簧上就会出现一个点， 它在整个第二主振动的任意一瞬 间的位置都不改变，称为节点。由于节点的存在就限制了振幅的增大。
第三章 两自由度系统振动
d d( tq L j) q L jQ j - q D j (j 1 ,2 , ,n )
式D 中 1 2 C 1 x 1 2 1 2 C 2 (x 1-x 2)2 1 2 C 3 x 2 2
例题： 置于光滑平面的小车质量m1，车上质量为m2的圆柱体可作 无滑动的纯滚动。试建立该系统的运动微分方程。
两自由度与单自由度系统振动特性与分析方法的不同：
①两自由度振动系统具有两阶固有频率； ②两自由度振动系统引入主振型的概念，与系统的固
有频率一样，是系统本身的物理特性与固有特性， 与其初始条件无关。 ③一般情况下系统的振动是两种主振动的叠加，是一 种复杂的非周期运动。当满足一定条件时，系统才 作主振动。
(j1,2, ,n)
或
dd(tqLj)qLj 0 (j1,2, ,n)
(1)
其中，L=T-U称为拉格朗日函数。
2)当作用在系统上的主动力中，部分为有势力，部分 是非有势力，广义力Qj可分为两部分：
Qj Qj Q (j1,2,,n) 其中 Q是对应于非有 义势 力力 Q， j是 的对 广应于有势 广义力。 拉氏方程可写成
1
第三节 两自由度系统振动模型的建立
动力学系统振动模型的建立方法： 牛顿运动定律 定轴转动微分方程 能量法
一、拉氏方程的原理
在理想、完整约束条件下的n个自由度系统，选取广义坐 标为qj（j=1,2, ···,n)，其运动可由如下拉格朗日方程来描述：
dT T d( tq j)qj Q j
取静x,平衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运 动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(xr)r K2r2
第5章--两自由度系统的振动
5.3
5.3.l
如前所述，一般情况下两自由度系统的振动微分方程组的形式为
可见在质点m1和m2的运动方程式中，都含有坐标x1和x2。这表明，两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。
像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。
如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
5.1
5.1.1
图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得
主振型为
系统的振型图如图5-4所示。图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点。
例5-2在图示5-3所示系统中，已知 ，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， ；（2） 。
，
系统的第一阶和第二阶主振型为
，
于是得到第一主振动
,
第二主振动
,
在任意初始条件下，系统振动的一般解
如果初始条件是：t= 0时， ， ，代入上式得到
，
因此得到双摆作自由振动的规律
,
如果弹簧的刚度k很小，即
＜＜
这时 相差很少，将上式写成
，
令 则上式为
,
这表明，两个摆的运动可以看作是频率为 的简谐运动，但其振幅不是常数，而是缓慢变化的简谐函数 和 ，这种现象称为拍振。
3两自由度系统振动2
解方程，进一步可得如下的两个根：
ac ac c a b n 21,2 2 2
ac ac bc 2 2
2
n2
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的特征 方程。
结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率 ，这两个固有频率只与振动系统的质量和刚度 等参数有关，而与振动的初始条件无关。 n1 n2 将所求得的 和 代入（3.7）式中可得： 2 1 a n A 2 c 1 1 1 c n 21 b A1
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
1x 10x 20 2 1 (2x10x20) ( 2 A(1) 1 2 1 n1 )
利用主坐标解耦的方法求解系统响应
的基本步骤为： （1）求出原振动方程的固有频率和振幅 比，得到振型矩阵；
（2）求出主坐标下的响应；
（3）利用反变换式得出原广义坐标下的 响应； （4）利用初始条件确定常系数。
上式为两自由度系统振动的微分方程。
图3.2，双质量－弹簧机械振动系统中，第一个方程中 包含 bx 2 项，第二个方程中则包含 cx 1 项，统称为 “耦合项”。
以上表明，质量 m1同不仅受到弹簧 k1的恢复力的作用，而 且受到弹簧k2 的恢复力的作用； m2只受一个弹簧 k2恢复力 的作用，还受到第一质点m1 位移的影响。位移之间有耦合 称为弹性耦合；加速度之间有耦合称为惯性耦合。
,
2
2
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos x 0.4cos 2
（1）运动规律
k t 0.8cos1.581 m k t 0.4cos1.581 m
k t m k t m
第四章(第1节)两自由度系统的振动介绍
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
◆同步化现象虽然是耦合振动体最简单的运动形态，
但这并不意味着耦合振动体只能做同步运动。耦合振动 体的运动形态是多种多样的。 让我们来看看奔跑在澳洲平原上的袋鼠以及追逐在 袋鼠后面的土著人吧。袋鼠跳跃的时候，两只脚做的是 位移相同的移动。但土著人在走路时，左脚与右脚所做 的却是位移相反的移动。如果将袋鼠的跳跃看成同步化 的结果的话，那么土著人的走路则是反同步化的结果。
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛 顿运动定律有
m1 x 1 k1x1 k2 ( x2 x1 ) m2 x 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 移项得
m1 x 1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m2 x （k2 k3 ) x2 0 2 k2 x1
由系数矩阵组成的常数矩阵 M和K分别称为质量矩阵和 刚度矩阵，向量x称为位移向量。
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 设
k1 k2 k11 , k2 k12 k21 , k2 k3 k22 (4.1-3)
则方程(4.1-1)可以写成
m1 x 1 k11x1 k12 x2 0 m2 x 2 k21x1 k22 x2 0
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
四只脚的动物： 兔子在奔跑的时候，两只前脚 移动的位移相同，但两只后脚移动 的位移却和前脚的相反。 长颈鹿，是同侧的前后两只脚 一起移动。左前脚和左后脚一起动， 右前脚和右后脚一起动。 马的走路方式有些特别，做位 移相同移动的是对角线上的两只脚， 即左前脚和右后脚一起动，而右前 脚则和左后脚一起动。
机械振动学 第五章_两自由度系统振动(讲)
第五章两自由度系统振动§5-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
①汽车动力学模型：图3.1两自由度汽车动力学模型§5-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。
此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。
这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm （3.1）令2212121,,m k c m k b m k k a ==+=则（3.1）式可改写成如下形式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm⎭⎬⎫=+-=-+00212211cx cx xbx ax x（3.2） 这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。
这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。
机械振动第四章
第四章两自由度系统的振动当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。
两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。
在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。
受迫简谐振动的频率与激励频率相同。
两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。
如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。
用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。
4．1系统的自由振动如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。
三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。
这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。
图两自由度系统的振动取与的静平衡位置为坐标原点。
在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。
取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有移项得方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。
方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成由系数矩阵组成的常数矩阵m和k分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x 称为位移向量。
因此设分别为刚度矩阵k中的元素，因而方程（）可以写成方程（）为系统自由振动的微分方程。
方程（）是齐次的，如果和位方程（）的一个解，那么与其相差一个因子的和也将是一个解。
通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是和同步运动的解。
二自由度系统.
7
Southwest Petroleum University
由系数行列式等于零得到特征方程：
(4-6)
方程的两个根为：
式中1和2唯一地决定于振动系统的质量和弹簧刚度， 称为系统的固有频率。1为第一阶固有频率，简称为 基频；2为第二阶固有频率。
8
Southwest Petroleum University
为推导系统的运动方程，对质量m1、m2绘分离体图（如图4-1b）， 用牛顿第二定律列分离体在水平方向的力平衡方程得 (4-1)
整理得：
(4-2) 由两个联立二阶常微分方程所描述的系统称为二自由度系统。方 程(3-2)可以方便地表示成矩阵形式，引入 (4-3)
4
Southwest Petroleum University
考虑如图4-1a所示的具有粘性阻尼的二自由度系统，系统由质
量m1、m2，弹簧k1、k2、k3和阻尼器 c1、c2、c3组成。 首先推导系统的运动微分方程。系统的运动可以完全由坐标
x1 (t )和x2 (t ) 来描述。
图4-1 二自由度系统模型
3
Southwest Petroleum University
9
Southwest Petroleum University
把1 , 2
分别代入（4-5）可得同一频率的简谐波在x1,x2
坐标中的振幅比
B1 k21 12 m1 k11 2 1 A1 1 m2 k22 k12
1和2：
B2 k21 2 2 m1 k11 2 2 A2 2 m2 k22 k12
系统在一般情况下的运动是两个同步运动的叠加，所以， 在一般的初干扰下，系统的响应是：
x1 A1 cos 1t 1 A2 cos 2t 2 x2 B1 cos 1t 1 B2 cos 2t 2
二自由度系统响应曲线matlab
二自由度系统响应曲线matlab二自由度系统响应曲线matlab一、引言二自由度系统是指具有两个自由度的系统，其动力学行为可以用两个一阶微分方程描述。
在工程领域中，二自由度系统广泛应用于建筑结构、机械振动、航空航天等领域。
了解二自由度系统的响应曲线对于设计和优化这些系统至关重要。
二、理论基础1. 二自由度系统模型在建筑结构中，常见的二自由度模型是质量-弹簧-阻尼器模型。
该模型包含两个质点和两个弹簧阻尼器组成，如图所示。
其中，m1和m2分别为两个质点的质量；k1和k2分别为两个弹簧的刚度；c1和c2分别为两个阻尼器的阻尼系数；x1(t)和x2(t)分别为两个质点的位移。
2. 二自由度系统方程根据牛顿第二定律，可以得到二自由度系统的运动方程：m1x''1 + c1x'1 + k1(x1 - x2) + k2x1 = F(t)m2x''2 + c2x'2 + k1(x2 - x1) = 0其中，x''1和x''2分别为两个质点的加速度；x'1和x'2分别为两个质点的速度；F(t)为外部激励力。
3. 二自由度系统特征频率假设二自由度系统没有阻尼，则其特征频率可以表示为：ω1 = sqrt(k1/m1)ω2 = sqrt((k1 + k2)/m2)其中，ω1和ω2分别为两个质点的固有频率。
4. 二自由度系统阻尼比阻尼比是描述阻尼器对系统运动的影响程度的参数。
假设二自由度系统存在阻尼，则其阻尼比可以表示为：ζ1 = c1/(2sqrt(k1m1))ζ2 = c2/(2sqrt((k1 + k2)m2))其中，ζ1和ζ2分别为两个质点的阻尼比。
三、matlab模拟在matlab中，可以通过ode45函数求解二自由度系统方程。
具体步骤如下：Step 1：定义方程在matlab中，可以通过function关键字定义一个函数来表示方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a
b
-1
二自由度系统的固有振型 a）第一阶（对称） b）第二阶（反对称）
-Chapter
山东大学机械工程学院
14
结论
• • • 每一阶固有振动都是同步自由振动，在振动中两质量块总是同时 到达峰值或同时经过平衡位置（同相或反相）。 作第一阶固有振动时两质量块始终保持相同运动方向，且振幅相 同，中间弹簧无变形。 作第二阶固有振动时两质量块始终保持相反运动方向，且振幅相 同，中间弹簧的中点总是静止不动的。该点称为该阶固有振动的 节点。
-Chapter
山东大学机械工程学院
8
2.2 无阻尼系统的自由振动 2.2.1 固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
二自由度振动系统
运动微分方程
m1 0 u1 k1 k2 0 m u k 2 2 2
-Chapter
k2 u1 0 k2 k3 u2
-Chapter
山东大学机械工程学院
11
性质 固有振型反映了二自由度系统作某一阶固有振动时 两质量块的位移比例关系，两质量块的固有振动总是 同频率的简谐振动，可能同相，可能反相。 固有振型只能确定到相差一个实常数因子的程度。
-Chapter
山东大学机械工程学院
12
例 2.2.1 如图中，取 m1 m2 m, k1 k3 k , k 2 k，确定 系统的固有振动。
det(K 2 M ) 0
解此特征方程得到固有频率ωr，二自由度无阻尼系统的 第r阶自由振动形式为
-Chapter
山东大学机械工程学院
10
1r ur (t ) φr sin( r t r ) sin( r t r ), r 1,2 2 r
l1
汽车简化力学模型－二自由度
-Chapter
山东大学机械工程学院
3
汽车动力学模型 a）7 个自由度系统 b）4 个自由度系统 c）2 个自由度系统 d）1 个自由度系统
-Chapter
山东大学机械工程学院
4
-Chapter
山东大学机械工程学院
5
2.1 系统运动微分方程 运用牛顿第二定律来建立二自由度系统的运动微分方程
-Chapter
山东大学机械工程学院
6
用矩阵表示上述方程
m1 0 1 c1 c2 0 u 2 c2 m2 u 1 k1 k 2 c 2 u 2 k2 c2 c3 u k 2 u1 f1 k 2 k 3 u 2 f 2
1
第二章 二自由度系统的振动 单自由度系统难以描述工程问题中的实际情况。如汽车 的简化模型，车架有俯仰运动和上下的运动组成，因此 需要用两个坐标来描述，是一个二自由度的振动系统。 如果更精细，需要更多的坐标描述，那就是多自由度系 统。
-Chapter
山东大学机械工程学院
2
x C θ k2 l2
k1
可见，二自由度无阻尼系统具有两种不同频率的同步自由 振动。两个频率仅取决于系统的弹性和惯性（质量和转动 惯量等）特性。我们将两个频率从大到小依次称为第一阶 固有频率和第二阶固有频率，相应的振动称为第一阶固有 振动和第二阶固有振动。 第一阶和第二阶固有振动的振型，简称固有振型，是用向 量形式描述系统作固有振动时两坐标位移的比例关系。
k m1
k2＝μk m2
k
二自由度振动系统
-Chapter
山东大学机械工程学院
13
可得系统的两个固有振型为
1 k 1 (1 2 )k u1 (t ) 1 sin t 1 , u2 (t ) 2 sin t 1 m 1 m 1
或
(t ) Cu (t ) Ku(t ) f (t ) Mu
质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，位移向量和激振力向 量
-Chapter
山东大学机械工程学院
7
耦合——运动的相互关联 弹性耦合（刚度耦合）——刚度矩阵不是对角阵 惯性耦合——质量矩阵不是对角阵 阻尼耦合——阻尼矩阵不是对角阵 解耦 —— 选取适当的坐标，把各种耦合消除，叫解耦， 解耦后各个方程为独立方程，可以方便的独立求解。
1 1 1
a
b
-1
二自由度系统的固有振型 a）第一阶（对称） b）第二阶（反对称）
-Chapter
山东大学机械工程学院
9
设 u = u1 其解的形式
u1 ，上式写成T Nhomakorabea(t ) Ku(t ) 0 Mu
1 u(t ) φ sin(t ) sin(t ) 1 代入得方程
( K 2 M )φ 0
方程有解的条件为系数矩阵的行列式为零，也就是
1 1 1
a
b
-1
二自由度系统的固有振型 a）第一阶（对称） b）第二阶（反对称）
-Chapter
山东大学机械工程学院
15
•
•
•
•
固有振型可以用向量描述系统固有振动的运动模式，称为模态 （系统的运动模式，包含频率和振型）。 固有模态——无阻尼系统的固有频率和固有振型称为系统的固有 模态。固有振型的向量也称为模态向量。 固有模态为系统的内在特性，只和系统的特性参数有关，和外界 激励无关。 无阻尼系统的固有振动为系统可能存在的两种运动形式，到底为 哪一种或者两种运动形式的哪种线性组合，取决于系统振动的初 始条件。与单自由度系统的固有振动不同。
u1 k1 f1 m1 c1 c2 二自由度振动系统 k2 f2 m2 c3 u2 k3
1 k1u1 k 2 (u1 u 2 ) c1u 1 c2 (u 1 u 2 ) f1 (t ) m1u 2 k 3u 2 k 2 (u 2 u1 ) c3u 2 c2 (u 2 u 1 ) f 2 (t ) m2 u