实物粒子的波粒二象性
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5
质量为m、速率为υ 的自由粒子，一方面可用能 量E和动量P来描述它的粒子性；另一方面可用频率ν 和波长λ 来描述它的波动性。它们之间的关系为：
h h 德布罗意波长为： P m
E h mc
2
P m
h
德布罗意公式
h 1 ( / c ) 2 若考虑相对论效应，则： m0 h 若 υ << c 时，不 考虑相对论效应，则： m 0
德布罗意与物质波
物质波提出的背景
1．玻尔模型遇到根本困难，亟需突破
2．爱因斯坦的光量子论及光的波粒二象性思想得到国际科 学界的承认
德布罗意是爱因斯坦的狂热崇拜者，认为他是“现代科 学的牛顿”，他领悟了爱因斯坦深刻的思维方式，体会到 “爱因斯坦的光的波粒二重性乃是遍及整个物理世界的一种 绝对普遍现象”，并且勇敢地发展了爱因斯坦的思想。 3．德布罗意本人对量子物理研究感兴趣，有相当好的研究 基础。他把量子理论研究作为他的博士论文方向。他发誓： “要尽我所能去理解那个神秘的量子。”
22
h 代入德布罗意关系： 得出： p
h Px 即 x px h x
考虑到更高级的衍射图样，则应有：
h 2
x px h
上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不 表示准确的量值关系。 1927年德国物理学家海森伯由量子力学得到 位置与动量不确定量之间的关系：
24
海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动 规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖。
Baidu Nhomakorabea
不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界 限，如果在某一具体问题中，普朗克常数可以看成是 一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性， 可用经典力学处理。
25
例：一颗质量为10g的子弹，以500m/s的速度飞行， 设速度的不确定量为0. 1% υ ，问在确定该子弹的位 置时，有多大的不确定量？ 解：子弹速度的不确定量为:
17
光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较：
1）光的衍射
对于光波，衍射图样中最亮的地方，从波动的 观点看，该处的光强最大，或者说光振动的振幅平 方最大；从粒子的观点看，某处光的强度大，表示 单位时间内到达该处的光子数多，即光子到达该处 的概率大。 相应地，衍射花样最暗的地方，光强最小，光 子到达该处的概率最小。 所以，光子在某处出现的概率与该处的光强 （光振动的振幅平方）成正比的。
18
2）电子衍射 从粒子的观点看，衍射图样的出现，是由于电 子不均匀地射向照相底片各处形成的，有些地方电 子密集，有些地方电子稀疏，表示电子射到各处的 概率是不同的，电子密集的地方概率大，电子稀疏 的地方概率小。 从波动的观点来看，电子密集的地方表示波的 强度大，电子稀疏的地方表示波的强度小，所以， 电子在某处出现的概率，就反映了该处德布罗意波 的强度。对电子是如此，对其它粒子也是如此。
光的杨氏双缝干涉图样
大量实验证实除电子外，中子、质子以及原子、 分子等都具有波动性，且符合德布罗意公式。 ——一切微观粒子都具有波动性
15
电子显微镜，就是 依据电子的波动性设计 制造的。如今它已成为 探索物质结构，研究、 开发新材料的重要科研 工具。 •由于电子波长比可见光波长小10-310-5数量级，从 而可大大提高电子显微镜的分辨率。 •1932年，德国的鲁斯卡研制成功电子显微镜。
o 12.2 12 . 2 1010 m A U U
当U 15000 V 时, 1 1011 m
要观察电子的波性，必须利用晶体进行类 似于X射线的衍射实验。
9
例：试计算动能分别为100eV、1keV、1MeV、1GeV的 电子的德布罗意波长。电子静能 E0= m0c2= 0.51MeV 解：由相对论公式： E E0 EK , E 2 E0 2 c 2 P 2
Px
x a
y
21
电子通过单缝后，电子 要到达屏上不同的点， 具有 x方向动量 Px， 考虑中央明纹区：
x
px
p py
a x o
Px
0 px p sin
根据单缝衍射公式，其 第一级的衍射角满足：
y
sin
a
动量在 Ox轴上的分量的不确定量为:
P Px Px P sin x
E h
h h P c
4
1924年，德布罗意大胆地设想，波粒二象性不是 光所特有的，一切实物粒子也具有波粒二象性。 实物粒子：静止质量不为零的那些微观粒子，如 原子、电子、中子等。 粒子性：主要是指它具有集中的不可分割的特性。 波动性：它能在空间表现出干涉、衍射等波动现象， 具有一定的波长、频率。 实物粒子的波称为德布罗意波或物质波，物质波 的波长称为德布罗意波长。
实验结果:
0 10 20 30 40 50 60 70 80
镍晶体: D 2.15 1010 m
D sin 1.65 10 m
10
D
电子波的波长理论值为：
d D sin
2
h h 10 1.67 10 m me v 2me Ek
13
电 子 束
x 射 线
6
德布罗意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960)
德布罗意原来学习历史， 后来改学理论物理学。他善于 用历史的观点，用对比的方法 分析问题。 1923年他提出电子既具有 粒子性又具有波动性。1924年 正式发表一切物质都具有波粒 二象性的论述。并建议用电子 在晶体上做衍射实验来验证。 1927年被实验证实。 爱因斯坦觉察到德布罗意 物质波思想的重大意义，誉之 为“揭开一幅大幕的一角”。
1
4．物质波概念的提出令人惊讶
在论文答辩时，物质波概念的新颖，使答辩 委员会不知如何评价，但也不敢轻易否定，有人 问他：有没有办法验证这一观点？ 他回答：“通过电子在晶体上的衍射实验， 应当有可能观察到这种假定的波动的效应。” 他哥哥实验室中的一位实验物理学家道维勒 试图用阴极射线管做这个实验，没有成功！放弃 了。 为此，他的导师郎之万将论文副本寄给了爱因 斯坦。
与多晶材料的德拜 x 射线衍射图样对比（波长相同）
1929年，德布罗意因提出电子的 波动性获诺贝尔物理学奖。 汤姆逊和戴维逊则因证实电子具 有波动性而分享了1937年的诺贝尔物 理学奖。
汤姆逊
14
接着约恩逊于1961年成功地获得了电子束的 单缝衍射、双缝干涉等实验。
单缝
双缝
三缝
四缝
电子双缝干涉图样
（3）当EK= 1MeV 时，有： hc 8.73 10 13 ( m ) 2 2 E k 2 E k m0 c （4）当EK= 1GeV 时， ，有: Ek m0c 2 hc 1.24 1015 (m ) Ek
11
二、电子衍射实验
戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
x px / 2
23
x px / 2
由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常 简写为： x p
x
推广到三维空间，则还应有： 说明：
y py ,
z pz
（1） 不确定性关系说明，微观粒子不可能同时 具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量越 小，动量的不确定量就越大，反之亦然。 （2） 不确定关系是由微观粒子的波粒二象性引起 的，而不是测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器的 误差所致。
20
21-6 不确定关系 一、引入 •经典力学：宏观粒子的运动具有决定性的规律，原 则上说可同时用确定的坐标与确定的动量来描述宏 观物体的运动。 •微观粒子：由于波动性，粒子以一定的概率在空间 出现，即粒子在任一时刻不具有确定的位置。 二、电子单缝衍射 电子通过单缝位 置的不确定量:
x
a x o
若 Ek m0c 则：
2
hc Ek
2
hc Ek
10
（1）当EK=100eV时，电子静能 E0= m0c2= 0.51MeV， 有： Ek m0c 2 1、2两个结 h 10 1.23 10 (m ) 果，电子的 2m0 Ek 波长均与X 2 Ek m0c 有： （2）当EK=1keV 时， 射线的波长 h 相当。 0.39 1010 (m ) 2m0 Ek
h 2 1.4 10 nm m
X射线波段
宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。
8
例：静止的电子经电场加速，加速电势差为U，速度υ << c。求：德布罗意波长。不考虑相对论效应
解：
1 2eU 2 eU m0 2 m0 h h h m 0 m0 2eU m0 2em0U
I
U
K
电子枪 检测器
电子束
M
散 射 线
G
54
U
电子被镍晶体衍射实验
实验发现，电子束 强度并不随加速电压而 单调变化，而是出现一 系列峰值。
12
2d si n k
2 D si n cos k 2 2
D sin k
相 对 强 度
U 54V
50
衍射角
k 1, 50
1 1 2 2 2 得： P 2 E0 E k E k E k 2 E k m0 c c c h hc 代入德布罗意公式 ，有: 2 P 2 E k 2 E k m0 c hc h 2 若 Ek m0c 则: 2 2m 0 E k 2 E k m0 c
普遍地说，在某处德布罗意波的强度是与粒子 在该处出现的概率成正比的。这就是德布罗意波的 统计解释。
19
一个电子在底片上出现在什么地方完全是不确 定的、随机的，但在各个地方出现的几率是一定的。 物质波强度大的地方，每个电子在该处出现的几率 大，因此投射到该处的电子数多。
德布罗意波与经典波的不同 经典波：某个物理量（如位移、电场强度、磁 场强度等）在空间的周期性分布； 德布罗意波：是对微观粒子运动的统计描述， 其波动性是指微观粒子在空间出现的概率大小不同 而呈现的波动性。因此，德布罗意波是几率波。 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函 数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝 对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
7
法国物理学家， 1929年诺贝尔物 理学奖获得者， 波动力学的创始 人，量子力学的 奠基人之一。
如：速度υ = 5.0102m/s飞行的子弹，质量为 m =10-2Kg，对应的德布罗意波长为：
h 1.3 10 25 nm m
太小测不到！
如：电子m=9.110-31Kg，速度υ = 5.0107m/s， 对应的德布罗意波长为：
0.1% 0.1% 500 0.5m s
子弹的动量的不确定量为:
1
p m 0.01 0.5 5 103 kg m s1
由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定量为:
h 6.63 10 x 3 p 5 10
34
1.33 10 m
16
三、德布罗意波的统计解释
经典粒子：不被分割的整体，有确定位置和 运动轨道 ；经典的波：某种实际的物理量的空间 分布作周期性的变化，波具有叠加性。 二象性：要求将波和粒子两种对立的属性统 一到同一物体上 。 1926 年玻恩提出：德布罗意波是概率波。
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子 在该处邻近出现的概率成正比。
31
这个不确定范围很小，仪器测不出，可见对宏观 物体来说，不确定关系实际上是不起作用的。
26
例: 氢原子中电子的速度为 106m/s，原子的线度 约为10-10m，求: 原子中电子速度的不确定量。
解：原子中的电子位置的不确定量:
x 1010 m
由不确定性关系:
2
“厚幕的一角被德布罗意揭开了。M.德布罗意的 弟弟做了一项很有意义的工作……我相信，这是对物 理之谜中最棘手的一个谜投下了第一道微弱的光芒。” ——爱因斯坦
没想到我提出的波粒二象性观 念，在德布罗意手里发展得如 此丰富，竟扩展到了运动的粒 子。
爱因斯坦
3
21.4 德布罗意假设 电子衍射实验 一、德布罗意物质波的假设 光具有粒子性，又具有波动性。 光子能量和动量为：
质量为m、速率为υ 的自由粒子，一方面可用能 量E和动量P来描述它的粒子性；另一方面可用频率ν 和波长λ 来描述它的波动性。它们之间的关系为：
h h 德布罗意波长为： P m
E h mc
2
P m
h
德布罗意公式
h 1 ( / c ) 2 若考虑相对论效应，则： m0 h 若 υ << c 时，不 考虑相对论效应，则： m 0
德布罗意与物质波
物质波提出的背景
1．玻尔模型遇到根本困难，亟需突破
2．爱因斯坦的光量子论及光的波粒二象性思想得到国际科 学界的承认
德布罗意是爱因斯坦的狂热崇拜者，认为他是“现代科 学的牛顿”，他领悟了爱因斯坦深刻的思维方式，体会到 “爱因斯坦的光的波粒二重性乃是遍及整个物理世界的一种 绝对普遍现象”，并且勇敢地发展了爱因斯坦的思想。 3．德布罗意本人对量子物理研究感兴趣，有相当好的研究 基础。他把量子理论研究作为他的博士论文方向。他发誓： “要尽我所能去理解那个神秘的量子。”
22
h 代入德布罗意关系： 得出： p
h Px 即 x px h x
考虑到更高级的衍射图样，则应有：
h 2
x px h
上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不 表示准确的量值关系。 1927年德国物理学家海森伯由量子力学得到 位置与动量不确定量之间的关系：
24
海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动 规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖。
Baidu Nhomakorabea
不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界 限，如果在某一具体问题中，普朗克常数可以看成是 一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性， 可用经典力学处理。
25
例：一颗质量为10g的子弹，以500m/s的速度飞行， 设速度的不确定量为0. 1% υ ，问在确定该子弹的位 置时，有多大的不确定量？ 解：子弹速度的不确定量为:
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光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较：
1）光的衍射
对于光波，衍射图样中最亮的地方，从波动的 观点看，该处的光强最大，或者说光振动的振幅平 方最大；从粒子的观点看，某处光的强度大，表示 单位时间内到达该处的光子数多，即光子到达该处 的概率大。 相应地，衍射花样最暗的地方，光强最小，光 子到达该处的概率最小。 所以，光子在某处出现的概率与该处的光强 （光振动的振幅平方）成正比的。
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2）电子衍射 从粒子的观点看，衍射图样的出现，是由于电 子不均匀地射向照相底片各处形成的，有些地方电 子密集，有些地方电子稀疏，表示电子射到各处的 概率是不同的，电子密集的地方概率大，电子稀疏 的地方概率小。 从波动的观点来看，电子密集的地方表示波的 强度大，电子稀疏的地方表示波的强度小，所以， 电子在某处出现的概率，就反映了该处德布罗意波 的强度。对电子是如此，对其它粒子也是如此。
光的杨氏双缝干涉图样
大量实验证实除电子外，中子、质子以及原子、 分子等都具有波动性，且符合德布罗意公式。 ——一切微观粒子都具有波动性
15
电子显微镜，就是 依据电子的波动性设计 制造的。如今它已成为 探索物质结构，研究、 开发新材料的重要科研 工具。 •由于电子波长比可见光波长小10-310-5数量级，从 而可大大提高电子显微镜的分辨率。 •1932年，德国的鲁斯卡研制成功电子显微镜。
o 12.2 12 . 2 1010 m A U U
当U 15000 V 时, 1 1011 m
要观察电子的波性，必须利用晶体进行类 似于X射线的衍射实验。
9
例：试计算动能分别为100eV、1keV、1MeV、1GeV的 电子的德布罗意波长。电子静能 E0= m0c2= 0.51MeV 解：由相对论公式： E E0 EK , E 2 E0 2 c 2 P 2
Px
x a
y
21
电子通过单缝后，电子 要到达屏上不同的点， 具有 x方向动量 Px， 考虑中央明纹区：
x
px
p py
a x o
Px
0 px p sin
根据单缝衍射公式，其 第一级的衍射角满足：
y
sin
a
动量在 Ox轴上的分量的不确定量为:
P Px Px P sin x
E h
h h P c
4
1924年，德布罗意大胆地设想，波粒二象性不是 光所特有的，一切实物粒子也具有波粒二象性。 实物粒子：静止质量不为零的那些微观粒子，如 原子、电子、中子等。 粒子性：主要是指它具有集中的不可分割的特性。 波动性：它能在空间表现出干涉、衍射等波动现象， 具有一定的波长、频率。 实物粒子的波称为德布罗意波或物质波，物质波 的波长称为德布罗意波长。
实验结果:
0 10 20 30 40 50 60 70 80
镍晶体: D 2.15 1010 m
D sin 1.65 10 m
10
D
电子波的波长理论值为：
d D sin
2
h h 10 1.67 10 m me v 2me Ek
13
电 子 束
x 射 线
6
德布罗意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960)
德布罗意原来学习历史， 后来改学理论物理学。他善于 用历史的观点，用对比的方法 分析问题。 1923年他提出电子既具有 粒子性又具有波动性。1924年 正式发表一切物质都具有波粒 二象性的论述。并建议用电子 在晶体上做衍射实验来验证。 1927年被实验证实。 爱因斯坦觉察到德布罗意 物质波思想的重大意义，誉之 为“揭开一幅大幕的一角”。
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4．物质波概念的提出令人惊讶
在论文答辩时，物质波概念的新颖，使答辩 委员会不知如何评价，但也不敢轻易否定，有人 问他：有没有办法验证这一观点？ 他回答：“通过电子在晶体上的衍射实验， 应当有可能观察到这种假定的波动的效应。” 他哥哥实验室中的一位实验物理学家道维勒 试图用阴极射线管做这个实验，没有成功！放弃 了。 为此，他的导师郎之万将论文副本寄给了爱因 斯坦。
与多晶材料的德拜 x 射线衍射图样对比（波长相同）
1929年，德布罗意因提出电子的 波动性获诺贝尔物理学奖。 汤姆逊和戴维逊则因证实电子具 有波动性而分享了1937年的诺贝尔物 理学奖。
汤姆逊
14
接着约恩逊于1961年成功地获得了电子束的 单缝衍射、双缝干涉等实验。
单缝
双缝
三缝
四缝
电子双缝干涉图样
（3）当EK= 1MeV 时，有： hc 8.73 10 13 ( m ) 2 2 E k 2 E k m0 c （4）当EK= 1GeV 时， ，有: Ek m0c 2 hc 1.24 1015 (m ) Ek
11
二、电子衍射实验
戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
x px / 2
23
x px / 2
由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常 简写为： x p
x
推广到三维空间，则还应有： 说明：
y py ,
z pz
（1） 不确定性关系说明，微观粒子不可能同时 具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量越 小，动量的不确定量就越大，反之亦然。 （2） 不确定关系是由微观粒子的波粒二象性引起 的，而不是测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器的 误差所致。
20
21-6 不确定关系 一、引入 •经典力学：宏观粒子的运动具有决定性的规律，原 则上说可同时用确定的坐标与确定的动量来描述宏 观物体的运动。 •微观粒子：由于波动性，粒子以一定的概率在空间 出现，即粒子在任一时刻不具有确定的位置。 二、电子单缝衍射 电子通过单缝位 置的不确定量:
x
a x o
若 Ek m0c 则：
2
hc Ek
2
hc Ek
10
（1）当EK=100eV时，电子静能 E0= m0c2= 0.51MeV， 有： Ek m0c 2 1、2两个结 h 10 1.23 10 (m ) 果，电子的 2m0 Ek 波长均与X 2 Ek m0c 有： （2）当EK=1keV 时， 射线的波长 h 相当。 0.39 1010 (m ) 2m0 Ek
h 2 1.4 10 nm m
X射线波段
宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。
8
例：静止的电子经电场加速，加速电势差为U，速度υ << c。求：德布罗意波长。不考虑相对论效应
解：
1 2eU 2 eU m0 2 m0 h h h m 0 m0 2eU m0 2em0U
I
U
K
电子枪 检测器
电子束
M
散 射 线
G
54
U
电子被镍晶体衍射实验
实验发现，电子束 强度并不随加速电压而 单调变化，而是出现一 系列峰值。
12
2d si n k
2 D si n cos k 2 2
D sin k
相 对 强 度
U 54V
50
衍射角
k 1, 50
1 1 2 2 2 得： P 2 E0 E k E k E k 2 E k m0 c c c h hc 代入德布罗意公式 ，有: 2 P 2 E k 2 E k m0 c hc h 2 若 Ek m0c 则: 2 2m 0 E k 2 E k m0 c
普遍地说，在某处德布罗意波的强度是与粒子 在该处出现的概率成正比的。这就是德布罗意波的 统计解释。
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一个电子在底片上出现在什么地方完全是不确 定的、随机的，但在各个地方出现的几率是一定的。 物质波强度大的地方，每个电子在该处出现的几率 大，因此投射到该处的电子数多。
德布罗意波与经典波的不同 经典波：某个物理量（如位移、电场强度、磁 场强度等）在空间的周期性分布； 德布罗意波：是对微观粒子运动的统计描述， 其波动性是指微观粒子在空间出现的概率大小不同 而呈现的波动性。因此，德布罗意波是几率波。 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函 数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝 对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
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法国物理学家， 1929年诺贝尔物 理学奖获得者， 波动力学的创始 人，量子力学的 奠基人之一。
如：速度υ = 5.0102m/s飞行的子弹，质量为 m =10-2Kg，对应的德布罗意波长为：
h 1.3 10 25 nm m
太小测不到！
如：电子m=9.110-31Kg，速度υ = 5.0107m/s， 对应的德布罗意波长为：
0.1% 0.1% 500 0.5m s
子弹的动量的不确定量为:
1
p m 0.01 0.5 5 103 kg m s1
由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定量为:
h 6.63 10 x 3 p 5 10
34
1.33 10 m
16
三、德布罗意波的统计解释
经典粒子：不被分割的整体，有确定位置和 运动轨道 ；经典的波：某种实际的物理量的空间 分布作周期性的变化，波具有叠加性。 二象性：要求将波和粒子两种对立的属性统 一到同一物体上 。 1926 年玻恩提出：德布罗意波是概率波。
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子 在该处邻近出现的概率成正比。
31
这个不确定范围很小，仪器测不出，可见对宏观 物体来说，不确定关系实际上是不起作用的。
26
例: 氢原子中电子的速度为 106m/s，原子的线度 约为10-10m，求: 原子中电子速度的不确定量。
解：原子中的电子位置的不确定量:
x 1010 m
由不确定性关系:
2
“厚幕的一角被德布罗意揭开了。M.德布罗意的 弟弟做了一项很有意义的工作……我相信，这是对物 理之谜中最棘手的一个谜投下了第一道微弱的光芒。” ——爱因斯坦
没想到我提出的波粒二象性观 念，在德布罗意手里发展得如 此丰富，竟扩展到了运动的粒 子。
爱因斯坦
3
21.4 德布罗意假设 电子衍射实验 一、德布罗意物质波的假设 光具有粒子性，又具有波动性。 光子能量和动量为：