汽车振动分析-第二章
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车辆与交通工程学院 王宁凯 6
2.4 一般周期激励的强迫振动
谐波分析法 先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列 不同频率的简谐激励，然后求出系统对各个频率 的简谐激励的响应，再根据线性系统的叠加原理， 将各个响应逐一叠加，即得到系统对周期激励的 总响应。 这种对系统响应的分析方法称为谐波分析法。
车辆与交通工程学院 王宁凯
前两项积分 项均为奇函 数，因而积 分均为0
11
2018/3/13
2.4 一般周期激励的强迫振动
P(t ) bn sin not
n 1
2 T bn P(t ) sin notdt T
2 T 2 T 2 bn P0 sin notdt T P0 sin notdt T 0 T 2
系统的运动微分方程为：
a0 cx kx (an cos not bn sin not ) mx 2 n1
系统的稳态响应为：
a0 an cos(not n ) bn sin(not n ) x(t ) 2k n 1 k [1 (no / n ) 2 ]2 (2 no / n ) 2
2018/3/13 车辆与交通工程学院 王宁凯 13
4 P0
2.4 一般周期激励的强迫振动 系统的运动微分方程为： mx cx kx P(t )
1 1 cx kx (sin ot sin ot sin 5ot ) 即：mx 3 5
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2.4 一般周期激励的强迫振动
2018/3/13
车辆与交通工程学院 王宁凯
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2.5 任意激励下的响应
定义 对振动系统的作用既不是简谐的，也不是周期性的， 而是任意的时间函数。 对于汽车系统来说，经常受到任意激励的作用。如汽 车离合器结合过程引起的传动系的扭振，汽车换挡过程中 的齿轮冲击，汽车遇到凹凸路面引起的颠簸，都是任意激 励引起的振动。 本节主要介绍已知任意激励时，求系统响应的三种 方法：杜哈美积分法、傅氏积分法、拉氏变换法。
F1 (t )
线性系统
则
x1 (t )
F2 (t )
线性系统
c1x1 (t ) c2 x2 (t )
x2 (t )
c1F1 (t ) c2 F2 (t )
2018/3/13
线性系统
车辆与交通工程学院 王宁凯
5
2.4 一般周期激励的强迫振动
傅里叶变换
周期函数 f (t ) 可展开成傅里叶级数，即可分解为 无穷个谐波函数之和，即无限多个正弦函数和余弦 函数的和。 a0 f (t ) (an cos not bn sin not ) 2 n1
车辆与交通工程学院 王宁凯 24
2.5 任意激励下的响应
可见在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬 间位移则来不及有改变。所以
2018/3/13
车辆与交通工程学院 王宁凯
4
2.4 一般周期激励的强迫振动
叠加原理
图3
振动系统框图
对于一般的振动问题，可以用图3所示的框图来说明。图中振动系统是指 所研究的振动对象，例如，汽车、各种机器或机床、工程结构或某些零部 件等。输入或激励表示初始干扰和激振力等外界因素对系统的作用。输出 或响应表示在输入或外激励作用下所产生的动态响应。 线性振动系统适用叠加原理 若
f (t ) (t )dt f (0)
时才有意义
t0
t 0
f (t ) (t a)dt f (a)
F (t ) P 0 (t )
P 0
的脉冲力可借助δ函数表示为
∴当 P0 =1 时，为单位脉冲力
F (t ) 1 (t )
2018/3/13
车辆与交通工程学院 王宁凯
22
2.5 任意激励下的响应
单位脉冲响应函数
处于零初始条件的系统对单位脉冲力的响应，称为单
位脉冲响应，或简称脉冲响应。
0 分别为单位脉冲力作用瞬间的前后时刻，系 记 0 、 统的运动微分方程与初始条件可合写为：
源自文库
cx kx (t ) mx + + x (0 ) 0, x (0 )0
图1 卵石路
2018/3/13 车辆与交通工程学院 王宁凯
图2 搓板路
3
2.4 一般周期激励的强迫振动
如何求得系统在一般周期激励下的总响应？ 由第一章可知，任意一个周期函数总可以根 据傅里叶级数展开成一系列具有基频倍数的简谐 分量，即进行谐波分析。对于不同频率的简谐激 励，可以先求出各自的响应，再根据线性系统的 叠加原理，将各个响应叠加起来，从而求得一般 周期激励下的总响应。 对于激励 f t 若存在 f t =f t+T 则 f t 为周期激励，T为周期
2018/3/13
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2.5 任意激励下的响应
杜哈美积分法 亦称为卷积积分法，将激励视为非常短的脉冲的叠 加，把任意激励分解为一系列脉冲的连续作用，分 别求系统对每个脉冲的响应，利用叠加原理，求得 系统对任意激励的总响应。
定义： 设有两个 函数
f1 (t )、f 2 (t )
积分
f (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
称为 f1 (t )、f 2 (t ) 的卷积积分，简称卷积。
2018/3/13
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2.5 任意激励下的响应
单位脉冲函数
系统受到的单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数δ(t) 表示 。 δ函数也称为单位脉冲函数，定义为：
2018/3/13 车辆与交通工程学院 王宁凯 8
2.4 一般周期激励的强迫振动
其中
k c n m 2n m 2 no / n n arctan 1 (no / n ) 2
当阻尼不计时，稳态响应为：
a0 an cos not bn sin not x(t ) 2k n1 k[1 (no / n ) 2 ]
对 得:
2018/3/13
cx kx (t ) mx
0 0
0 从0 到 进行积分
cx kx dt = mx
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0
0
(t )dt
23
2.5 任意激励下的响应
考虑到在趋于零的时间间隔内，系统的位移 x 来不及变化， 即 x(0+ )=0 ，故上式左边各项积分为：
根据稳态响应的全解公式：
a0 a cos(not n ) bn sin( not n ) x(t ) n 2k n 1 k [1 (no / n ) 2 ]2 (2 no / n ) 2
4 P0
得到该系统在周期激振力作用下的稳态响应：
4P0 x(t ) k
Henan University Of Science And Technology
《汽车振动分析》
第二章
2.4、2.5讲解课件
2018/3/13
车辆与交通工程学院 王宁凯
1
第二章 单自由度系统的振动
教学内容
• 2.4 一般性周期激励的强迫振动
• 2.5
任意激励下的响应
2018/3/13
车辆与交通工程学院 王宁凯
当n为偶数时：
bn 0 n 2, 4,6
4 P0 当n为奇数时： bn n 1,3,5 n 4 P0 1 P(t ) sin not n 1,3,5... n
1 1 (sin ot sin ot sin 5ot ) 3 5
式中
2 T a0 T f (t )dt 2 T an f (t ) cos notdt T 2 T bn T f (t ) sin notdt
o 2 / T
2018/3/13
为基频，T为 f (t ) 周期
T 2 P0 T 2 0 sin notdt T sin notdt T 2
2 P0 2 2 cos n T no no
2018/3/13
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12
2.4 一般周期激励的强迫振动
2 P0 2 2 cos n 对于 bn T no no
1
(t a)dt 1
(t a)
1
可以看作矩形脉冲、脉冲面积为 1 而脉冲宽度ε趋于零时的极限
(t a)
即 (t a ) lim (t a )
0
1 (t a) 0
0
t
0
t
其中
a t a t为其它
0 0
0
0
cdx cx cxdt
0
0 0
0 0
0
0
0
kxdt 0 cdx cx
0
0
即 于是
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0
0
kxdt 0
0
0
1 mxdt
mx(0 ) mx(0 ) 1
1 (0 ) x m
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2.4 一般周期激励的强迫振动
系统在一般周期激励下的总响应： 假设系统受到的周期激振力为 f (t ) f (T t ) 其中T为周期，基频 o 2 ，通过傅里叶变换和谐波分 T 析法：
a0 f (t ) (an cos not bn sin not ) 2 n1
2
2.4 一般周期激励的强迫振动
前面几节所讨论的强迫振动中，都假设了系统激励为简谐激励， 但在实际工程问题中，简谐激励（干扰力）作用下的强迫振动是比较 少的，大多数是一些非简谐的一般周期性干扰力。比如汽车试验场中 作耐久性试验的路面搓板路、扭曲路等就是非简谐的周期路面不平激 励。而内燃机燃烧发出压力作功的过程也会产生周期激励。
10
2.4 一般周期激励的强迫振动
解： 周期矩形波激励的基频： 周期矩形波可以分解为：
a0 P(t ) (an cos not bn sin not ) 2 n 1
2 o T
其中
2 T 0 a0 T P (t )dt 2 T an P (t ) cos notdt 0 T 2 T bn T P (t ) sin notd
(t a)
2018/3/13
也可以定义为其它形状的面积为 1 的脉冲
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2.5 任意激励下的响应
δ 函数的性质:
f (t ) (t a)dt f (a)
特别地，当时刻 a = 0 时，有 ： 实际应用时，通常 f (t) 在 因而有： 冲量为
2018/3/13
n 1,3,5
1 n[1 (no / n ) ]
2
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sin(not )
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2.4 一般周期激励的强迫振动
单缸活塞式发动机的惯性振动
2018/3/13
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2.4 一般周期激励的强迫振动
2018/3/13
车辆与交通工程学院 王宁凯
2018/3/13
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2.4 一般周期激励的强迫振动
例题：一个弹簧-质量单自由度振系，受到一个力幅 为 P 的矩形波周期函数的激励作用
0
P(t) P0
周期为
T
-P0 T
t
n 是系统的固有频率 0 是系统的基频
求：系统的稳态强迫振动响应
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(t a) 0
(t a) (t a)
(t )
1 0
且
(t )dt 1
t
(t ) 的图象用位于时刻τ、长度为 1 的有向线段表示。
2018/3/13
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2.5 任意激励下的响应
δ函数： (t a) 0 (t a) (t a)
2.4 一般周期激励的强迫振动
谐波分析法 先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列 不同频率的简谐激励，然后求出系统对各个频率 的简谐激励的响应，再根据线性系统的叠加原理， 将各个响应逐一叠加，即得到系统对周期激励的 总响应。 这种对系统响应的分析方法称为谐波分析法。
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前两项积分 项均为奇函 数，因而积 分均为0
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2.4 一般周期激励的强迫振动
P(t ) bn sin not
n 1
2 T bn P(t ) sin notdt T
2 T 2 T 2 bn P0 sin notdt T P0 sin notdt T 0 T 2
系统的运动微分方程为：
a0 cx kx (an cos not bn sin not ) mx 2 n1
系统的稳态响应为：
a0 an cos(not n ) bn sin(not n ) x(t ) 2k n 1 k [1 (no / n ) 2 ]2 (2 no / n ) 2
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4 P0
2.4 一般周期激励的强迫振动 系统的运动微分方程为： mx cx kx P(t )
1 1 cx kx (sin ot sin ot sin 5ot ) 即：mx 3 5
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2.4 一般周期激励的强迫振动
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2.5 任意激励下的响应
定义 对振动系统的作用既不是简谐的，也不是周期性的， 而是任意的时间函数。 对于汽车系统来说，经常受到任意激励的作用。如汽 车离合器结合过程引起的传动系的扭振，汽车换挡过程中 的齿轮冲击，汽车遇到凹凸路面引起的颠簸，都是任意激 励引起的振动。 本节主要介绍已知任意激励时，求系统响应的三种 方法：杜哈美积分法、傅氏积分法、拉氏变换法。
F1 (t )
线性系统
则
x1 (t )
F2 (t )
线性系统
c1x1 (t ) c2 x2 (t )
x2 (t )
c1F1 (t ) c2 F2 (t )
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线性系统
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5
2.4 一般周期激励的强迫振动
傅里叶变换
周期函数 f (t ) 可展开成傅里叶级数，即可分解为 无穷个谐波函数之和，即无限多个正弦函数和余弦 函数的和。 a0 f (t ) (an cos not bn sin not ) 2 n1
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2.5 任意激励下的响应
可见在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬 间位移则来不及有改变。所以
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2.4 一般周期激励的强迫振动
叠加原理
图3
振动系统框图
对于一般的振动问题，可以用图3所示的框图来说明。图中振动系统是指 所研究的振动对象，例如，汽车、各种机器或机床、工程结构或某些零部 件等。输入或激励表示初始干扰和激振力等外界因素对系统的作用。输出 或响应表示在输入或外激励作用下所产生的动态响应。 线性振动系统适用叠加原理 若
f (t ) (t )dt f (0)
时才有意义
t0
t 0
f (t ) (t a)dt f (a)
F (t ) P 0 (t )
P 0
的脉冲力可借助δ函数表示为
∴当 P0 =1 时，为单位脉冲力
F (t ) 1 (t )
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2.5 任意激励下的响应
单位脉冲响应函数
处于零初始条件的系统对单位脉冲力的响应，称为单
位脉冲响应，或简称脉冲响应。
0 分别为单位脉冲力作用瞬间的前后时刻，系 记 0 、 统的运动微分方程与初始条件可合写为：
源自文库
cx kx (t ) mx + + x (0 ) 0, x (0 )0
图1 卵石路
2018/3/13 车辆与交通工程学院 王宁凯
图2 搓板路
3
2.4 一般周期激励的强迫振动
如何求得系统在一般周期激励下的总响应？ 由第一章可知，任意一个周期函数总可以根 据傅里叶级数展开成一系列具有基频倍数的简谐 分量，即进行谐波分析。对于不同频率的简谐激 励，可以先求出各自的响应，再根据线性系统的 叠加原理，将各个响应叠加起来，从而求得一般 周期激励下的总响应。 对于激励 f t 若存在 f t =f t+T 则 f t 为周期激励，T为周期
2018/3/13
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2.5 任意激励下的响应
杜哈美积分法 亦称为卷积积分法，将激励视为非常短的脉冲的叠 加，把任意激励分解为一系列脉冲的连续作用，分 别求系统对每个脉冲的响应，利用叠加原理，求得 系统对任意激励的总响应。
定义： 设有两个 函数
f1 (t )、f 2 (t )
积分
f (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
称为 f1 (t )、f 2 (t ) 的卷积积分，简称卷积。
2018/3/13
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2.5 任意激励下的响应
单位脉冲函数
系统受到的单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数δ(t) 表示 。 δ函数也称为单位脉冲函数，定义为：
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2.4 一般周期激励的强迫振动
其中
k c n m 2n m 2 no / n n arctan 1 (no / n ) 2
当阻尼不计时，稳态响应为：
a0 an cos not bn sin not x(t ) 2k n1 k[1 (no / n ) 2 ]
对 得:
2018/3/13
cx kx (t ) mx
0 0
0 从0 到 进行积分
cx kx dt = mx
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0
0
(t )dt
23
2.5 任意激励下的响应
考虑到在趋于零的时间间隔内，系统的位移 x 来不及变化， 即 x(0+ )=0 ，故上式左边各项积分为：
根据稳态响应的全解公式：
a0 a cos(not n ) bn sin( not n ) x(t ) n 2k n 1 k [1 (no / n ) 2 ]2 (2 no / n ) 2
4 P0
得到该系统在周期激振力作用下的稳态响应：
4P0 x(t ) k
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《汽车振动分析》
第二章
2.4、2.5讲解课件
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第二章 单自由度系统的振动
教学内容
• 2.4 一般性周期激励的强迫振动
• 2.5
任意激励下的响应
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当n为偶数时：
bn 0 n 2, 4,6
4 P0 当n为奇数时： bn n 1,3,5 n 4 P0 1 P(t ) sin not n 1,3,5... n
1 1 (sin ot sin ot sin 5ot ) 3 5
式中
2 T a0 T f (t )dt 2 T an f (t ) cos notdt T 2 T bn T f (t ) sin notdt
o 2 / T
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为基频，T为 f (t ) 周期
T 2 P0 T 2 0 sin notdt T sin notdt T 2
2 P0 2 2 cos n T no no
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2.4 一般周期激励的强迫振动
2 P0 2 2 cos n 对于 bn T no no
1
(t a)dt 1
(t a)
1
可以看作矩形脉冲、脉冲面积为 1 而脉冲宽度ε趋于零时的极限
(t a)
即 (t a ) lim (t a )
0
1 (t a) 0
0
t
0
t
其中
a t a t为其它
0 0
0
0
cdx cx cxdt
0
0 0
0 0
0
0
0
kxdt 0 cdx cx
0
0
即 于是
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0
0
kxdt 0
0
0
1 mxdt
mx(0 ) mx(0 ) 1
1 (0 ) x m
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2.4 一般周期激励的强迫振动
系统在一般周期激励下的总响应： 假设系统受到的周期激振力为 f (t ) f (T t ) 其中T为周期，基频 o 2 ，通过傅里叶变换和谐波分 T 析法：
a0 f (t ) (an cos not bn sin not ) 2 n1
2
2.4 一般周期激励的强迫振动
前面几节所讨论的强迫振动中，都假设了系统激励为简谐激励， 但在实际工程问题中，简谐激励（干扰力）作用下的强迫振动是比较 少的，大多数是一些非简谐的一般周期性干扰力。比如汽车试验场中 作耐久性试验的路面搓板路、扭曲路等就是非简谐的周期路面不平激 励。而内燃机燃烧发出压力作功的过程也会产生周期激励。
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2.4 一般周期激励的强迫振动
解： 周期矩形波激励的基频： 周期矩形波可以分解为：
a0 P(t ) (an cos not bn sin not ) 2 n 1
2 o T
其中
2 T 0 a0 T P (t )dt 2 T an P (t ) cos notdt 0 T 2 T bn T P (t ) sin notd
(t a)
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也可以定义为其它形状的面积为 1 的脉冲
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2.5 任意激励下的响应
δ 函数的性质:
f (t ) (t a)dt f (a)
特别地，当时刻 a = 0 时，有 ： 实际应用时，通常 f (t) 在 因而有： 冲量为
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n 1,3,5
1 n[1 (no / n ) ]
2
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sin(not )
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2.4 一般周期激励的强迫振动
单缸活塞式发动机的惯性振动
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2.4 一般周期激励的强迫振动
例题：一个弹簧-质量单自由度振系，受到一个力幅 为 P 的矩形波周期函数的激励作用
0
P(t) P0
周期为
T
-P0 T
t
n 是系统的固有频率 0 是系统的基频
求：系统的稳态强迫振动响应
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(t a) 0
(t a) (t a)
(t )
1 0
且
(t )dt 1
t
(t ) 的图象用位于时刻τ、长度为 1 的有向线段表示。
2018/3/13
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2.5 任意激励下的响应
δ函数： (t a) 0 (t a) (t a)