恒定磁场的基本方程及分界面上的衔接条件
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电磁场 恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
2）无外场时，各分子环流无规取向，总体磁矩为零，此时无宏观 磁场。有外场时，这些微磁矩受到力矩
的作用，趋于沿外场方向排列（
）。此时，出现
的有
序分布，总磁场不再为零，宏观上呈现磁性。这个过程，称为物 质（媒质）的磁化。 3）磁化的后果，就是媒质产生附加的磁场，叠加于外磁场之上， 空间的磁场，由二者共同决定。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
•
也可以定义磁力线（ B 线），其微分方程：
工程电磁场导论：恒定磁场
【例3－1】有限长直线电流的磁场问题。
•
考虑对称性，选取柱坐标，导线中点为坐标原点，导线与 z 轴重 合。显然，磁场与 维度无关。
取元电流
在 z′处，其在 P
点产生的元磁场
其中
工程电磁场导论：恒定磁场 因此
故
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
• 各向同性线性磁介质，有本构方程
称为磁化率，是一个无量纲的纯数。此时有
其中
为相对磁导率，
为磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场 一些磁介质的性能
工程电磁场导论：恒定磁场
• 对于铁磁介质，情况十分复杂。
等式 仍然成立，但是
不成立。 M～H 间没有线性关系。
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场——恒定磁场——第2讲
式（1）代入式（2）
Az y
dy
Az x
dx
dAZ
0
AZ const
第三章
4、由微分方程求 A
恒定磁场
例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez，试 求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B。
解: 采用圆柱坐标系，A A ez 且 A f ()
2 A1
2 Ax Jx ; 2 Ay J y ; 2 Az Jz
令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为:
Ax 4π
J xdV ; V R
Ay 4π
J ydV ; V R
Az 4π
J zdV V R
矢量合成后，得
JdV
Adl 0 ,
l
有 A1t A2t (1)
与
E dl 0 ,
l
E1t E2t
对比，
图 磁矢位 A 的衔接条件
第三章
b) 围绕 P点作一扁圆柱，则
恒定磁场
S A dS V AdV 0
当 L 0 时， A1nS A2nS 0, A1n A2n (2)
0a 2 J 2
e
a a
第三章
3.5.3 磁矢位与电位的比较
位 函 数 电位
比较内容
(有源或无源）
引入位函数依据 E 0
位与场的关系 微分方程
位与源的关系
E
Q
p E dl
2
dV
V 4πr
恒定磁场
磁矢位A
F1x x
F1y y
00 0
《电磁波与电磁场》4-恒定磁场
若回路电流为I，面积S，定义磁偶极矩m=IS。通常，热运动使 磁偶极子的方向杂乱无章，宏观合成磁矩为零，对外不显磁性。
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
21-恒定磁场的基本方程与媒质分界面衔接条件
消去相互抵消部分，得 2xH2 et 2xH1 et =2xK e
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
6
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
l = 2 x 趋近于 0，但不等于 0，因此得
(H2 H1) et =K e
由图 可知 et e en ， et e en
华北电力大学电气与电子工程学院
4
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
先讨论磁场强度的分界面衔接条件：
如下图所示，围绕分界面上一点 P
做一个小矩形闭合曲线
abcdefa 。
en 分界面法线方向
et 是选定的切线方向
e 是与 et 垂直
另一个切线方向的单位矢量
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
3
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
3．媒质分界面衔接条件
在不同磁媒质的分界面上，存在磁化面电流。
这造成分界面两侧场矢量不连续。
微分形式的基本方程在分界面处遇到困难。 因此必须研究场矢量的分界面衔接条件， 以弥补只考虑体电流造成的不足。
下面根据积分形式的基本方程 推导不同磁媒质分界面衔接条件。
2019/10/3
5
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
根据安培环路定理，磁场强度的闭合线积分
H dl I
l
在小矩形各边长趋近于 0 时，可以设在 abcd 上 H2 为常矢量，
在 defa 上 H1 为常矢量；自由面电流分布在分界面上, 面电流密度 K 为常矢量。分段积分可得
yH2 en +2xH2 et yH2 en yH1 en 2xH1 et yH1 en =2xK e
恒定磁场3-3_7515_341_20100408101407.
B1 = μ1H1 = μ0(50ex + 60ey ) (T)
作业 3-3-3
解： B2 = μ2H2
= 3μ0 (10ex + 20ey ) = μ0 (30ex + 60ey )
∵ H1t = H2t ∴ H1x = H1t = H2t =10
∵ B1n =B2n
∴ B1y = B2n = B1n =60μ0
H 1y
=
B1 y
μ1
=
60μ0 5μ0
= 12
H1 = H1xex + H1yey =10ex +12ey (A/m)
3.3 恒定磁场的基本方程
分界面上的衔接条件
3.3.1磁通连续性原理
磁通
Φm = ∫ B ⋅ dSS Nhomakorabea实验表明磁感应线是闭合的，这样对于任意闭合面
∫ B ⋅ dS = 0
S
由散度定理 ∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ BdV = 0
S
V
∇⋅B = 0
恒定磁场是无散场
3.3.2 恒定磁场的基本方程
恒定磁场的基本方程表示为
图3.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射
它表明只要铁磁物质侧的B不
与分界面平行，那么在空气侧的B
可认为近似与分界面垂直。
例 3.3.3 设y = 0 平面是两种媒质的分界面。
μ1 = 5μ0; μ2 = 3μ0 ,分界面上无面电流
且H 2 = 10ex + 20ey (A/m)试求 B1，B2与 H2 的分布。
P点作一小扁圆柱，
令Δl →0
则根据
∫ s B ⋅ dS = 0
图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件
作业 3-3-3
解： B2 = μ2H2
= 3μ0 (10ex + 20ey ) = μ0 (30ex + 60ey )
∵ H1t = H2t ∴ H1x = H1t = H2t =10
∵ B1n =B2n
∴ B1y = B2n = B1n =60μ0
H 1y
=
B1 y
μ1
=
60μ0 5μ0
= 12
H1 = H1xex + H1yey =10ex +12ey (A/m)
3.3 恒定磁场的基本方程
分界面上的衔接条件
3.3.1磁通连续性原理
磁通
Φm = ∫ B ⋅ dSS Nhomakorabea实验表明磁感应线是闭合的，这样对于任意闭合面
∫ B ⋅ dS = 0
S
由散度定理 ∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ BdV = 0
S
V
∇⋅B = 0
恒定磁场是无散场
3.3.2 恒定磁场的基本方程
恒定磁场的基本方程表示为
图3.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射
它表明只要铁磁物质侧的B不
与分界面平行，那么在空气侧的B
可认为近似与分界面垂直。
例 3.3.3 设y = 0 平面是两种媒质的分界面。
μ1 = 5μ0; μ2 = 3μ0 ,分界面上无面电流
且H 2 = 10ex + 20ey (A/m)试求 B1，B2与 H2 的分布。
P点作一小扁圆柱，
令Δl →0
则根据
∫ s B ⋅ dS = 0
图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件
恒定磁场
B dl Bdl cos
2 0 I I d 0 d 2 2 0
0 I
若积分回路没有和电流交链
0 I 0 dθ 0 B dl 2 0
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第 三 章
恒定磁场
由于积分路径是任意的，所以有一般规律
B dl I
② 电流回路之间的作用力满足牛顿第三定律：F12=F21 ③ 式中0为真空中的磁导率，它与真空电容率和真空中光 速满足关系：
c
1 μ0 ε0
μ0 4π 107 H / m
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第 三 章
恒定磁场
3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
Magnetic Flux Continue Theorem & Ampere’s Circuital Law
注意 抗磁体和顺磁体在磁场中所受的力很弱，统
上 页 下 页
第 三 章
恒定磁场
可以用原子模型来解释物质的磁性 1）磁偶极子 (magnetic dipole)
面积为dS的很小的载流回路，场 中任意点到回路中心的距离都远 大于回路的线性尺度。
磁偶极矩 m IdS Am2
( magnetic dipole moment )
返 回
上 页
下 页
第 三 章
恒定磁场
注意
① 磁化曲线与温度有关，磁导率 一般随温度 的升高而下降，高于某一温度时（居里点） 可能完全失去磁性材料的磁性。 ② 磁导率 随H变化，B与H为非线性关系。
返 回
上 页
下 页
第 三 章
恒定磁场
2.铁磁质的分类
软磁材料 磁滞回线较窄，大，HC、Br小，断电后 能立即消磁。 如硅钢、矽钢等 。磁损小，用于电机、 变压器、整流器、继电器等电磁设备的铁心。 硬磁材料 磁滞回线较宽， 小，HC、Br大， 充磁 后剩磁大。如铁氧体 、钕铁硼 。用于永磁电机、电 表、电扇，电脑存储器等器件中的永磁体。
磁感应强度安培环路定律恒定磁场基本方程与分界面上的衔接条件公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
毕奥－沙伐定律
）
旋度运算后, 得到
B(r
)
0
J
（有电流区） 恒定磁场是有旋场
0 （无电流区）
在直角坐标系中
ex ey ez
B
x
y
z
( Bz y
By z
)ex
(Bx z
Bz x
)e y
(By x
Bx y
)ez
Bx By Bz
返 回 上 页 下 第12页 页
1. 安培环路定律（真空）
以长直导线磁场为例
恒定磁场
例 3.2.5 有一磁导率为 µ, 半径为 a 无限长导磁圆
柱 , 其轴线处有无限长线电流 I , 圆柱外是空气, 磁导
率为 µ0 , 试求 B, H 与 M 分布。
解: 平行平面磁场, 且轴对称, 故
图3.2.19 磁场分布
lΗ dl 2πH I
磁场强度
H
I
2π
e
0
返 回 上 页 下 第29页 页
第三章
B
I 2π
e
0I 2π
e
0 a
a
M B H
0
=
0 0
I 2π
e
0
a a
恒定磁场
图3.2.20 场量分布
返 回 上 页 下 第30页 页
第三章
恒定磁场
3.3 基本方程 、 分界面衔接条件
Basic Equations and Boundary Condition 3.3.1 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem )
磁化电流含有与传导电流相同磁效应。
返 回 上 页 下 第22页 页
南方电网专业课考点总结 电磁场 第三章1
① 磁力线是一些有方向的曲线，曲线上任一点的切线方向 与该点磁感应强度 B 的方向。 ② 磁力线的疏密程度与磁感应强度的大小成正比。
磁力线的性质：
B线是闭合曲线； B线与电流方向成右螺旋关系； B线不能相交 磁场强处，磁力线密集，否则稀疏。
上 页 下 页
第 二 章
恒定电场
B 线方程
B // dl → B = kdl or B × dl = 0
S
Jm = ∇ × M
可以证明面磁化电流 注意
体磁化电流
Km = M × en
磁化电流是一种等效电流，是大量分子电流磁效应的表示。 有磁介质存在时，场中的 B 是传导电流和磁化电流共同 作用在真空中产生的磁场。
上 页
下 页
第 二 章
恒定电场
T（Wb/m2） 1T=104（GS）
或磁通密度 F B Idl α
上 页 下 页
定义
第 二 章
恒定电场
洛仑兹力 电流是电荷以某一速度运动形成的，所以磁场对
电流的作用可以看作是对运动电荷的作用。
dq dF = Idl × B = (vdt ) × B dt
洛仑兹力
dF B v α
F = qv × B
∫ B ⋅ dl = μ I
l 0
交链多个电流
0
∫ B ⋅ dl = μ ∑ I
l
真空中的安 培环路定律
表明在真空的磁场中，沿任意回路磁感应强度B的线积 分等于真空磁导率乘以穿过回路限定面积上电流的代数和。
注意
① 定律中电流I 的正负取决于电流的方向与积分回路的绕 行方向是否符合右螺旋关系，符合时为正，否则为负。 ② 定律中的B是整个场域中所有电流的贡献。
体电流
磁力线的性质：
B线是闭合曲线； B线与电流方向成右螺旋关系； B线不能相交 磁场强处，磁力线密集，否则稀疏。
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第 二 章
恒定电场
B 线方程
B // dl → B = kdl or B × dl = 0
S
Jm = ∇ × M
可以证明面磁化电流 注意
体磁化电流
Km = M × en
磁化电流是一种等效电流，是大量分子电流磁效应的表示。 有磁介质存在时，场中的 B 是传导电流和磁化电流共同 作用在真空中产生的磁场。
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第 二 章
恒定电场
T（Wb/m2） 1T=104（GS）
或磁通密度 F B Idl α
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定义
第 二 章
恒定电场
洛仑兹力 电流是电荷以某一速度运动形成的，所以磁场对
电流的作用可以看作是对运动电荷的作用。
dq dF = Idl × B = (vdt ) × B dt
洛仑兹力
dF B v α
F = qv × B
∫ B ⋅ dl = μ I
l 0
交链多个电流
0
∫ B ⋅ dl = μ ∑ I
l
真空中的安 培环路定律
表明在真空的磁场中，沿任意回路磁感应强度B的线积 分等于真空磁导率乘以穿过回路限定面积上电流的代数和。
注意
① 定律中电流I 的正负取决于电流的方向与积分回路的绕 行方向是否符合右螺旋关系，符合时为正，否则为负。 ② 定律中的B是整个场域中所有电流的贡献。
体电流
电磁场理论第16讲-恒定电场基本方程分界面衔接条件
基本方程 分界面衔接条件
作业: 要求：推导过程要详细清晰
基本方程 分界面衔接条件
11.. JJ的的散散度度
∫ 电荷守恒定律 J ⋅ dS = − ∂q
S
∂t
∫ J ⋅ dS = 0 散度定理 S
在恒定电场中 ∂ = 0 ∂t
∫V∇ ⋅ JdV = 0
∇⋅J =0
恒恒定定电电场场是是一一个个无无源源场场，，电电流流线线是是连连续续的的。。
= =
E2t J2n
上式说明分界面上电场强度的切向分量 是连续的，电流密度法向分量是连续的
折射定律为
tan α1 tan α 2
=
γ1 γ2
电流线的折射
媒媒质质11是是良良导导体体，，媒媒质质22是是不不良良导导体体
γ1 = 5 ×107 S/m γ 2 = 10 −2 S/m 由折射定理得
tanα1 tanα2
π 4
通解形式
∂ 2ϕ ∂φ 2
=
0⇒ϕ
=
AφBiblioteka +B电位
ϕ1
=
π
4γ (γ 1
2U 0 +γ
2
)
φ
+
(γ 1 − γ 2 )U 0 γ1 +γ2
,
ϕ2
=
π
4γ (γ 1
1U 0 +γ
2
)
φ
电场强度
E1
=
−
4γ 2U 0 π(γ 1 + γ 2 )ρ
eφ ,
E2
=
−
4γ 1U 0 π(γ 1 + γ 2 )ρ
=
γ1 γ2
→∞
α2 ≈ 0
作业: 要求：推导过程要详细清晰
基本方程 分界面衔接条件
11.. JJ的的散散度度
∫ 电荷守恒定律 J ⋅ dS = − ∂q
S
∂t
∫ J ⋅ dS = 0 散度定理 S
在恒定电场中 ∂ = 0 ∂t
∫V∇ ⋅ JdV = 0
∇⋅J =0
恒恒定定电电场场是是一一个个无无源源场场，，电电流流线线是是连连续续的的。。
= =
E2t J2n
上式说明分界面上电场强度的切向分量 是连续的，电流密度法向分量是连续的
折射定律为
tan α1 tan α 2
=
γ1 γ2
电流线的折射
媒媒质质11是是良良导导体体，，媒媒质质22是是不不良良导导体体
γ1 = 5 ×107 S/m γ 2 = 10 −2 S/m 由折射定理得
tanα1 tanα2
π 4
通解形式
∂ 2ϕ ∂φ 2
=
0⇒ϕ
=
AφBiblioteka +B电位
ϕ1
=
π
4γ (γ 1
2U 0 +γ
2
)
φ
+
(γ 1 − γ 2 )U 0 γ1 +γ2
,
ϕ2
=
π
4γ (γ 1
1U 0 +γ
2
)
φ
电场强度
E1
=
−
4γ 2U 0 π(γ 1 + γ 2 )ρ
eφ ,
E2
=
−
4γ 1U 0 π(γ 1 + γ 2 )ρ
=
γ1 γ2
→∞
α2 ≈ 0
恒定磁场分析
真空中本构关系
7
求证：
证 明:
∫
ur r B ds = 0
Q
ur µ B= 0 4π
∫
r ur Id l × R R3
r r u r r µ0 Idl × eR r ∴ ∫ B ds = ∫ ∫ c R2 d s s 4π
又Q
uv ur uv uv ur uv A× B C = A B×C
23
2、磁偶极子的标量位（解释P116） 磁偶极子的标量位（解释 ） 在无源区域（ 在无源区域（只有无源 ∇ × H = J＝0 uu r 区域才定义标量位）： 区域才定义标量位）： ∇×H =0 uu r H = −∇ ϕ m 由下面式子
P ( r ,θ , 0 )
µ0 µ0 1 A = p m × e r = − p m × ∇ 2 4πr 4π r B、幂级数近似） 与求电偶极子类似的方法（余弦定理、幂级数近似）可以得到 磁偶极子的矢量位和标量位： 磁偶极子的矢量位和标量位：
µ0 µ0 1 A= p m × er = − p m × ∇ 2 4πr 4π r
的距离，是标量。 其中 r 为场点 P 到磁偶极子中心 O 的距离，是标量。
这表明恒定磁场是无散有旋场， 这表明恒定磁场是无散有旋场， 无散有旋场 传导电流是其旋涡源。 传导电流是其旋涡源。
13
5－2、内、外半径分别为 a、b 的无限长空心圆柱中，均匀 － 、 、 的无限长空心圆柱中， 分布着轴向电流 求柱内、外的磁场强度。 I ，求柱内、外的磁场强度。
解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为 使用圆柱坐标系。
12
3、真空（介质）中磁场的基本方程： 真空（介质）中磁场的基本方程：
∫sB • d s = 0 , ∇•B =0 , ∇×H = J ∫c H • d l = I B = µ0H B = µH
7
求证：
证 明:
∫
ur r B ds = 0
Q
ur µ B= 0 4π
∫
r ur Id l × R R3
r r u r r µ0 Idl × eR r ∴ ∫ B ds = ∫ ∫ c R2 d s s 4π
又Q
uv ur uv uv ur uv A× B C = A B×C
23
2、磁偶极子的标量位（解释P116） 磁偶极子的标量位（解释 ） 在无源区域（ 在无源区域（只有无源 ∇ × H = J＝0 uu r 区域才定义标量位）： 区域才定义标量位）： ∇×H =0 uu r H = −∇ ϕ m 由下面式子
P ( r ,θ , 0 )
µ0 µ0 1 A = p m × e r = − p m × ∇ 2 4πr 4π r B、幂级数近似） 与求电偶极子类似的方法（余弦定理、幂级数近似）可以得到 磁偶极子的矢量位和标量位： 磁偶极子的矢量位和标量位：
µ0 µ0 1 A= p m × er = − p m × ∇ 2 4πr 4π r
的距离，是标量。 其中 r 为场点 P 到磁偶极子中心 O 的距离，是标量。
这表明恒定磁场是无散有旋场， 这表明恒定磁场是无散有旋场， 无散有旋场 传导电流是其旋涡源。 传导电流是其旋涡源。
13
5－2、内、外半径分别为 a、b 的无限长空心圆柱中，均匀 － 、 、 的无限长空心圆柱中， 分布着轴向电流 求柱内、外的磁场强度。 I ，求柱内、外的磁场强度。
解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为 使用圆柱坐标系。
12
3、真空（介质）中磁场的基本方程： 真空（介质）中磁场的基本方程：
∫sB • d s = 0 , ∇•B =0 , ∇×H = J ∫c H • d l = I B = µ0H B = µH
恒定磁场基本方程及边界条件
s L
0
M) d l I
H B M A/m
定义磁场强度 则有
L
0
Hd l I
H 与I 成右螺旋关系
说明: H 的环量仅与环路交链的自由电流有关;
环路上任一点的H 是由系统全部载流体产生的; 电流的正、负仅取决于环路与电流的交链关系是否满足右手 螺旋，是为正，反之为负。
§4.3.2
恒定磁场基本方程
一、 一般形式的安培环路定律※
有磁介质时
Bd l
L
0
(I I m ) 0 I 0 J m d s
s
将 J m M 代入上式，得 移项后 L (
B
B
L
0
d l I ( M ) ds I M d l
M lim
V 0
m
i 1
n
i
单位：A/m 它是反映磁化程度的物理量。
V
5、磁化电流
体磁化电流
Jm M
面磁化电流
K m M en
6、结论
有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化电流共同 作用所产生的磁场。 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
二、磁偶极子与电偶极子对比
磁偶极子 磁偶极子受磁 场力矩而转动
2、磁偶极矩 将m=IdS 称为磁偶极矩。单位安培米² 3、磁化现象 磁偶极子在外磁场作用下发生旋转，其旋转方向使磁偶极矩方向 与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。
磁化现象的动态演示过程
4、磁化强度（Magnetization
Intensity）
将单位体积的磁偶极矩的矢量和，称为磁化强度。
《电磁场理论》
0
M) d l I
H B M A/m
定义磁场强度 则有
L
0
Hd l I
H 与I 成右螺旋关系
说明: H 的环量仅与环路交链的自由电流有关;
环路上任一点的H 是由系统全部载流体产生的; 电流的正、负仅取决于环路与电流的交链关系是否满足右手 螺旋，是为正，反之为负。
§4.3.2
恒定磁场基本方程
一、 一般形式的安培环路定律※
有磁介质时
Bd l
L
0
(I I m ) 0 I 0 J m d s
s
将 J m M 代入上式，得 移项后 L (
B
B
L
0
d l I ( M ) ds I M d l
M lim
V 0
m
i 1
n
i
单位：A/m 它是反映磁化程度的物理量。
V
5、磁化电流
体磁化电流
Jm M
面磁化电流
K m M en
6、结论
有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化电流共同 作用所产生的磁场。 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
二、磁偶极子与电偶极子对比
磁偶极子 磁偶极子受磁 场力矩而转动
2、磁偶极矩 将m=IdS 称为磁偶极矩。单位安培米² 3、磁化现象 磁偶极子在外磁场作用下发生旋转，其旋转方向使磁偶极矩方向 与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。
磁化现象的动态演示过程
4、磁化强度（Magnetization
Intensity）
将单位体积的磁偶极矩的矢量和，称为磁化强度。
《电磁场理论》
《工程电磁场》复习题复习资料重点
《工程电磁场》复习题一.问答题1 .什么是静电场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。
由静止电荷在其周围产生的电场。
F=ql*q2∕4pi*R*R*eO静电场不随时间变化2 .什么是恒定电场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。
恒定电流产生的电场。
3 .什么是恒定磁场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。
磁场强度和方向保持不变的磁场。
4 .如果区域中某点的电场强度为零，能否说明该点的电位也为零？为什么？电场强度E是一个随空间点位置不同而变化的矢量函数，仅与该点的电场有关。
a,b为两个电荷相等的正反电荷，在其中心点处电位为零，但场强不为零。
5 .如果区域中某点的电位为零，能否说明该点的电场强度也为零？举例说明？不能。
a,b为两个相等正电荷，在其中心点处电场强度为零，但电位不为零。
6 .静电场的电力线会闭合的吗？恒定电场的电力线会闭合的吗？为什么？静电场的电力线不会闭合，起于正电荷止于负电荷。
在变化的磁场产生的有旋电场中，电力线环形闭合，围绕着变化磁场。
7 .写出两种不同媒质分界面上恒定电场与恒定磁场的边界衔接条件。
恒定电场的边界衔接条件J*dS=OE*dl=O恒定磁场的边界衔接条件B*dS=OH*dl=I8 .什么是矢量磁位A?什么是磁感应强度B?B=OB=*A(*A)=0,矢量磁位A是一个辅助性矢量。
磁感应强度B是描述磁场强弱和方向的基本物理量9 .什么是磁导率？什么是介电常数？表示磁介质磁性的物理量。
介质在外加电场时会产生感应电荷而削弱电场，原外加电场(真空中)与最终介质中电场比值即为介电常数。
10 .导电媒质中恒定电场与静电场之间具有什么相似关系？二.填空题1 .静止电荷产生的电场，称之为_静电场场。
它的特点是有散无旋场，不随时间变化。
2 .高斯定律说明静电场是一个有散场。
3 .安培环路定律说明磁场是一个有旋场。
4 .电流密度是一个矢量，它的方向与导体中某点的正电荷的运动方向相同。
5 .在两种不同导电媒质的分界面上，磁感应强度的法向分量越过分界面时连续，电场强度的切向分量连续。
4.6 恒定磁场的基本方程媒质分界面边界条件(20030321)
4.6 恒定磁场的基本方程.媒质分界面衔接条件4.6.1 基本方程与性能方程磁通的连续性原理和安培环路定律反映了恒定磁场的基本特性，它们是恒定磁场的基本方程。
方程的积分形式⎰⎰∑=⋅=⋅lS I l H S B d 0d （4.6.1）方程的微分形式JH B =⨯∇=⋅∇0 （4.6.2）有媒质存在的恒定磁场中，媒质的构成方程为()M H B +=0μ （4.6.3） 在各向同性线性媒质中，有 r m r m μμμχμχ01=+==H M媒质的构成方程可化简为H B μ= （4.6.4）应当注意：① 恒定磁场总是满足磁通的连续性的，可以用0=⋅∇B 来作为判断一个矢量场可否是磁场的必要条件；② 基本方程的积分形式适用于各种不同的场域形式、不同媒质的分布情况，而微分形式只能适用于连续媒质中。
③ 要求得恒定磁场的分布，需要求解磁场的微分方程，特解的确定，需要媒质边界面（分界面）上场量的衔接条件。
4.6.2 媒质分界面上的衔接条件在媒质分界面上场矢量通常将发生突变，要进行定量分析，需要运用基本方程的积分形式来研究。
磁导率为1μ和2μ两种媒质的场域空间，在分界面上P 点，站在该点处，视分界面为一平面。
n e 为在P 点处分界面上的正法线单位矢量，方向从媒质1μ指向媒质2μ，k 表示分界面上的自由面电流密度。
磁场强度H 的射角1α和折射角2α。
取细小狭长矩形回路l ，包围P 点正好跨过分界面，边长l ∆很短，且平行于分界面，其高0→∆h 。
取ne '为l 回路所界定面积S 正方向的单位矢量，在媒质2中l ∆的正方向按下式确定：()l n n∆⨯'=∆e e l 由安培环路定律l H l Hl H ∆⋅-∆⋅=⋅⎰12d l()()l n n ∆⨯'⋅-=e e H H 12 l n∆'⋅=e k ()[]12H H e e -⨯⋅'n n k e ⋅'=n可得()k H H e =-⨯12n （4.6.5）当0=k 时，有()012=-⨯H H e n （4.6.6） 其模为2211sin sin ααH H =即t t H H 21= （4.6.7）说明当媒质分界面上没有自由面电流存在时，磁场强度H 的切向分量连续。
恒定磁场的基本方程
电偶极子： p ql
E
p
20 z3
B
0m 403
2coser
sineθ
E
p
4 0 03
2coser
sineθ
2.当 z ＝0时
B
0 I 20
ez
直接应用毕奥—沙伐定律
B 0
4
l
Idl eR R2
0 I 4
20 02
两对平行放置传输线的磁场分布
长直螺线管磁场的分布（B 线）
一载流导线 I 位于无限大铁 板上方的磁场分布（B 线）
4.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
1. 磁通连续性原理
实验表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无 源场。（在任意媒质中均成立）
散度定理：
s B dS 0 BdV 0
l
4 l' R2
l Idl B
即： B 0
4
I 'dl ' eR l' R2
静电场： E 1 dqeR
40 R2
电流元： dI JdV, KdS, Idl
体电流
面电流
B 0
4
V
J(
r)( r r r
3
r
)dV
B 0 4
B2n
铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况：
2 0, 1 r0 0
铁磁媒质与空气分 界面上磁场的折射
tan1 =
1 0
tan2
r tan2
如果 2 0 ，则 tan1
1
《电磁场与电磁波》恒定磁场
分界面磁化电流: Km (M1 M2 ) en
Im
M dl
l
安培环路定理
1.真空中的安培环路定理
l B dl 0 I
真空磁场中，磁感应强度沿任意回路的 环路积分等于真空的磁导率乘以穿过该 回路所限定面的电流的代数和；
2.一般形式的安培环路定理
l B dl 0 ( I Im )
H dl H dl I
PaQ
PbQ
c
I
闭合回路PaQcP：
Q
H dl 2I PaQcP
H dl H dl 2I
PaQ
PcQ
规定:积分路径不穿过电流回路所限定的面。
2.标量磁位的边值问题 微分方程
B 0
H 0
H m
m 0
m m 0 均匀媒质：=0
2m 0 标量磁位的微分方程
Sd
（1）常磁链系统：
Wm
1 2
H BdV
V
V
B2 dV
20
B2Sd
2d
20 20S
f
Wm g
k const
2 20 S
吸力：F 2 f
3.虚位移法举例
例：分析电磁铁吸力，气隙截面积S，长d
1. 恒定磁场基本方程 恒定磁场的性质可由下面一组基本方程描述：
磁通连续性定理 SB dS 0 安培环路定理 l H dl I
各向同性线性媒质的构成方程
B 0 H J
B H
恒定磁场的性质：有旋无散。
2.分界面的衔接条件
B 的衔接条件
2
B2n B2
S h
1 B1
B1n
SB dS 0
B1nS B2nS 0 B1n B2n
电磁场基本方程及分界面上的衔接条件(完美解析)
l E dl 0
则有 E1t l1 E2 t l1 0
图1.3.2 介质分界面
3. 折射定理 当交界面上 0 时，
E2t E1t E 的切向分量连续。
D1n D2n
tan 1 1 tan 2 2
1E1 cos 1 2 E2 cos 2
E1 sin 1 E2 sin 2
折射定律
返 回 上 页 下 页
E1t E2 t
第 一 章
4、 的衔接条件 设 P1 与 P2 位于分界面两侧，d 0
静 电 场
1 2 lim
因此
图1.3.3 电位的衔接条件
d 0 0
d
E dl 0
1 2 电位连续
q0 1 E1 E2 1 1S1 2 S 2
返 回 上 页 下 页
1S1 2 S2 q0
1 2 1 2
D2n D1n ， E1t E2 t
图1.3.4 导体与电介质分界面
1 2 1＝ 2 ，1 2 n n
导体中 E＝0 ，分解面介质侧 Dn ， Et 0
const ,
0 n
说明 （1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直； （2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。
Ay Ax Ax Az Az Ay ( )e x ( )e y ( )e z 0 y z z x x y
矢量 A 可以表示一个静电场。
返 回
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下 页
第 一 章
静 电 场
1.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition)
1. D 的衔接条件 包围点 P 作高斯面 ( L 0)。 根据
恒定磁场的基本方程及分界面上的衔接条件
n12
S JCdS K t1l K (t2 n12 )l t2 (n12 K )l
(H1 H2 ) t2l (n12 K) t2l
H1 H2 n12 K
l
媒质2
t2
d
t1
分界面
媒质1
n12 (H1 H2 ) n12 n12 K n12(n12 K) (n12 n12)K K n12 (H2 H1 ) K
恒定磁场的环路线积分等于与积分路径 相交链的所有自由电流代数和 磁通连续性定理，由任一闭合面穿出的 净磁通等于零
各向同性、线性介质的构成方程。
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量 由场量闭合曲线的积分方程
H dl l
S JC dS I
场量切向分量的衔接关系
n12
HHale Waihona Puke dl ll2 H2 dl
l1 H1 dl
H dl
ld
l
H2 t2l H1 t2l
媒质2
t2
d
t1
分界面
(H1 H2 ) t2l
媒质1
取一闭合曲线，上下边分别位于介质1、2中且平行于 界面，令高度 d 趋于0
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线的积分方程
场量切向分量的衔接关系
S1
媒质1
n12 (B2 B1) 0
取一闭合柱面，上下面分别位于介质1、2 中，且平行于界面，令 d 趋于0
4.6 恒定磁场的基本方程及 分界面上的衔接条件
电工基础教研室 由佳欣
恒定磁场的基本方程
微分形式：
H
JC
B 0
积分形式：
l H dl I
S B dS 0
S JCdS K t1l K (t2 n12 )l t2 (n12 K )l
(H1 H2 ) t2l (n12 K) t2l
H1 H2 n12 K
l
媒质2
t2
d
t1
分界面
媒质1
n12 (H1 H2 ) n12 n12 K n12(n12 K) (n12 n12)K K n12 (H2 H1 ) K
恒定磁场的环路线积分等于与积分路径 相交链的所有自由电流代数和 磁通连续性定理，由任一闭合面穿出的 净磁通等于零
各向同性、线性介质的构成方程。
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量 由场量闭合曲线的积分方程
H dl l
S JC dS I
场量切向分量的衔接关系
n12
HHale Waihona Puke dl ll2 H2 dl
l1 H1 dl
H dl
ld
l
H2 t2l H1 t2l
媒质2
t2
d
t1
分界面
(H1 H2 ) t2l
媒质1
取一闭合曲线，上下边分别位于介质1、2中且平行于 界面，令高度 d 趋于0
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线的积分方程
场量切向分量的衔接关系
S1
媒质1
n12 (B2 B1) 0
取一闭合柱面，上下面分别位于介质1、2 中，且平行于界面，令 d 趋于0
4.6 恒定磁场的基本方程及 分界面上的衔接条件
电工基础教研室 由佳欣
恒定磁场的基本方程
微分形式：
H
JC
B 0
积分形式：
l H dl I
S B dS 0
电磁场2恒定电场的基本方程与媒质分界面衔接条件
华北电力大学电气与电子工程学院
36
在不同导电媒质的分界面上，
存在自由面电荷，也可能存在束缚面电荷。
这造成分界面两侧场矢量不连续。
场矢量的不连续性不影响积分形式基本方程
却影响微分形式的基本方程的应用
因此必须研究场矢量的分界面条件。
2021/7/31
华北电力大学电气与电子工程学院
11
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
根据积分形式的基本方程
推导不同导电媒质分界处
得
2021/7/31
华北电力大学电气与电子工程学院
7
工程电磁场
• E
•E
主讲人： 王泽忠
• D • E • E •E
•
E
•
E
•
E
2
•
E
•
J
2021/7/31
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8
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
上式说明积累自由电荷的体密度
关系代入，得
2 0
上式为导电媒质中恒定电流场的基本方程。
2021/7/31
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33
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
在两种导电媒质的分界面上
电位满足分界面条件
2 1；
2
2 n
1
1 n
2．边界条件
第一类边界条件： 一般在已知电压的电极表面上有
0
2021/7/31
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abcda
得
E2 • et E1 • et = 0
由图可知 et e en ，力大学电气与电子工程学院
15
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
电磁场与电磁波配套教学课件3.4
1 2
1 2 或 2 0
1
表明只要190，非
铁磁物质侧的磁场与
B1
铁磁物质 1 分界面近似垂直。
1 B1
B1n
SB dS 0
B1nS B2nS 0 B1n B2n
B的法向分量连续
2.分界面的衔接条件
H 的衔接条件
2
l1
H2 H2t
l H dl I
H1tl1 H 2tl1 Kl1
l2 H1t H1
K
H1t H 2t K
1 H的切向分量不连续
2.分界面的衔接条件
折射定律
恒定磁场基本方程及分界面的 衔接条件
1. 恒定磁场基本方程
恒定磁场的性质可由下面一组基本方程描述：
磁通连续性定理 SB dS 0 安培环路定理 l H dl I
各向同性线性媒质的构成方程
B 0 H J
B H
恒定磁场的性质：有旋无散。
2.分界面的衔接条件
B 的衔接条件
2
B2n B2
S h
B2n
2
B2
2
H2t
H1t H2t 0
H1t H2t B1n B2n
H1 sin 1 H2 sin 2 1H1 cos1 2 H2 cos2
H1t
1
B1
B1n
tan 1 tan 2
1 2
折射定律
1
2.分界面的衔接条件
例：铁磁物质和非铁磁物质分界面
非铁磁物质 2 2 B2
tan1 tan 2
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4.6 恒定磁场的基本方程及 分界面上的衔接条件
电工基础教研室 由佳欣
恒定磁场的基本方程
微分形式：
H
JC
B 0
恒定磁场是有旋场，电流密度是磁场 的涡旋源
恒定磁场是无源场，磁感应线是无头无尾 的闭合曲线，没有磁荷的存在
积分形式：
l
H
dl
I
S B dS 0
恒定磁场的环路线积分等于与积分路径 相交链的所有自由电流代数和
磁通连续性定理，由任一闭合面穿出的 净磁通等于零
物性方程： B H
各向同性、线性介质的构成方程。
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线S I
场量切向分量的衔接关系
n12
H dl l
l2 H2 dl
l1 H1 dl
H dl
取一闭合柱面，上下面分别位于介质1、2 中，且平行于界面，令 d 趋于0
ld
l
H2 t2l H1 t2l
媒质2
d
t2
t1
分界面
(H1 H2 ) t2l
媒质1
取一闭合曲线，上下边分别位于介质1、2中且平行于 界面，令高度 d 趋于0
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线的积分方程
场量切向分量的衔接关系
n12
S JCdS K t1l K (t2 n12 )l t2 (n12 K )l
由场量闭合曲面的积分方程
场量法相分量的衔接关系
S B dS 0
n12
左面=
S2 B2 dS
S1 B1 dS
B dS
S3
S2
B2 n12S B1 n12S (B2n B1n )S 右面 0
媒质2 S 3 S
d
S1
分界面
B2n B1n 0
媒质1
n12 (B2 B1) 0
(H1 H2 ) t2l (n12 K) t2l
H1 H2 n12 K
l
媒质2
d
t2
t1
分界面
媒质1
n12 (H1 H2 ) n12 n12 K n12 (n12 K ) (n12 n12 )K K n12 (H2 H1) K
分界面上的衔接条件
2. 磁感应强度的法向分量
电工基础教研室 由佳欣
恒定磁场的基本方程
微分形式：
H
JC
B 0
恒定磁场是有旋场，电流密度是磁场 的涡旋源
恒定磁场是无源场，磁感应线是无头无尾 的闭合曲线，没有磁荷的存在
积分形式：
l
H
dl
I
S B dS 0
恒定磁场的环路线积分等于与积分路径 相交链的所有自由电流代数和
磁通连续性定理，由任一闭合面穿出的 净磁通等于零
物性方程： B H
各向同性、线性介质的构成方程。
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线S I
场量切向分量的衔接关系
n12
H dl l
l2 H2 dl
l1 H1 dl
H dl
取一闭合柱面，上下面分别位于介质1、2 中，且平行于界面，令 d 趋于0
ld
l
H2 t2l H1 t2l
媒质2
d
t2
t1
分界面
(H1 H2 ) t2l
媒质1
取一闭合曲线，上下边分别位于介质1、2中且平行于 界面，令高度 d 趋于0
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线的积分方程
场量切向分量的衔接关系
n12
S JCdS K t1l K (t2 n12 )l t2 (n12 K )l
由场量闭合曲面的积分方程
场量法相分量的衔接关系
S B dS 0
n12
左面=
S2 B2 dS
S1 B1 dS
B dS
S3
S2
B2 n12S B1 n12S (B2n B1n )S 右面 0
媒质2 S 3 S
d
S1
分界面
B2n B1n 0
媒质1
n12 (B2 B1) 0
(H1 H2 ) t2l (n12 K) t2l
H1 H2 n12 K
l
媒质2
d
t2
t1
分界面
媒质1
n12 (H1 H2 ) n12 n12 K n12 (n12 K ) (n12 n12 )K K n12 (H2 H1) K
分界面上的衔接条件
2. 磁感应强度的法向分量