乘法公式的复习讲义基础
乘法公式基础知识讲解
乘法公式基础知识讲解乘法是数学中的一个基本运算，它用于将两个或多个数值相乘，得到乘积。
在乘法中，我们使用乘法公式来进行计算和简化表达式。
乘法公式是指一些常见的数学规律，可以帮助我们更快地计算乘法运算。
乘法公式的基础知识包括乘法法则、乘法表以及乘法的分配律、结合律和交换律。
1.乘法法则：乘法法则是数学中最基本的乘法概念，它规定了如何将两个数相乘以及如何确定乘积的符号。
乘法法则包括以下几个要点：-两个正数相乘的结果仍然是正数。
-两个负数相乘的结果是正数。
-正负数相乘的结果是负数。
2.乘法表：乘法表是一种表格，用于显示两个数相乘的结果。
乘法表的基本结构是将每个数与其他数相乘，并将结果填入表格中。
乘法表的最常见形式是九九乘法表，其中列出了1到9的乘法结果。
乘法表的使用可以帮助学生记忆乘法结果，并加深对乘法运算的理解。
3.乘法的分配律：乘法的分配律是乘法公式中的一个重要概念，它用于将一个数与两个或多个数相乘。
分配律规定了乘法在加法和减法中的运算规则，它表明：-a×(b+c)=a×b+a×c-(b+c)×a=b×a+c×a这意味着要计算一个数与两个或多个数的和的乘积时，我们可以先分别将这些数与该数相乘，然后将乘积相加。
同样，要计算一个数与两个或多个数的差的乘积时，我们可以先分别将这些数与该数相乘，然后将乘积相减。
4.乘法的结合律：乘法的结合律是乘法公式中的另一个重要概念，它规定了乘法在连续相乘中的运算规则，它表明：-(a×b)×c=a×(b×c)这意味着在连续相乘的运算中，无论我们按照什么顺序进行乘法运算，最终得到的结果都是相同的。
5.乘法的交换律：乘法的交换律是乘法公式中的最后一个重要概念，它规定了两个数相乘的运算规则，它表明：-a×b=b×a这意味着无论我们按照什么顺序进行乘法运算，最终得到的结果都是相同的。
乘法公式复习课课件
1、订正提纲答案，解决疑难问题； 2、指出基础练习各题分别用哪个公式， 总结易错点，强调注意事项； 3、根据公式的结构特征，探讨综合提升 各题的解题思路。
四名同学黑板板演提纲 6个基本题
第二关、基础关：公式运用
1 1 1. 3x 2 y 3x 2 y 2. 3 x 3 x 2 2 1 2 1 1 4 1 3.1 3x 1 3x 4. x x x x 3 9 3 81
2
2
2 4 8 32 64 变式： 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
5.若要得到 a b ，则a 2 3ab b2应加上（） 变式：若 x 2 y x 2 y A，则A=（） 6.利用公式计算： 4 1 (2)39 40 （1） 302 298 5 5 2 变式： 2014 2013 2015 （3） 997 2 （4） 10.92
2 2
第三关、能力提升
2 4 2
1 2 2 1. x x 2.如何计算： x 3y x y 4 3. 3a 2b c 3a 2b c 变式： 2b a 3c a 2b 3c
4.若4x2 y 2 4 x 2 y 2 0, 求( x 2 y)3的值。 5.已知x 0, 1 1 2 (1)若x =3,求x 2 的值; x x 1 1 2 (2)若x =2,求x 2 的值; x x 1 1 (3)若x =3,求x 的值. x x 6.求二次三项式m 2 -4m-3的最小值;
1 1 1. 3x 2 y 3x 2 y 2. 3 x 3 x 2 2 1 2 1 1 4 1 3.1 3x 1 3x 4. x x x x 3 9 3 81
乘法公式的讲义
一、知识回顾计算下列各式（1）（－x ＋2x 2＋5）＋（－3＋4x 2－6x ） (2)107×104； （3） ()()()y x x y y x -⋅-÷-48(4)x 2·x 5． （5）2（x 2）n －（x n ）2 （6）[（x 2）3]7_____(___)(__)(__))52(2222=⋅⋅=-pq 二、平方差公式 公式： ________________________语言叙述：两数的 。
公式结构特点：左边： ______右边：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
(5+6x)(5-6x)中 ____ 是公式中的a ， ___________ 是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中 _____ 是公式中的a ， __________ 是公式中的b(x-2y)(x+2y)中 ______ 是公式中的a ， ______ 是公式中的b(-m+n)(-m-n)中 ________ 是公式中的a ， _______ 是公式中的b（a+b+c ）(a+b-c)中 _____ 是公式中的a ， ______ 是公式中的b（a-b+c ）(a-b-c)中 _____ 是公式中的a ， _______ 是公式中的b（a+b+c ）(a-b-c)中 ______ 是公式中的a ， _______ 是公式中的b填空：1、(2x-1)( )=4x 2-12、(-4x+ )( -4x)=16x 2-49y 2第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (2x+12)(2x-12) 6. (a+2b)(a-2b) 7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、（100-13）×（99-23） 7、（20-19）×（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.(x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的 。
乘法公式知识点梳理
乘法公式知识点梳理乘法公式是数学中常用的一种运算法则，它用于求解数的乘积。
乘法公式包含了一些常用的模式，可以提高计算乘法的效率。
以下是对乘法公式的知识点进行梳理。
一、基本乘法公式1.乘法的结合律：乘法满足结合律，即a*(b*c)=(a*b)*c，任意三个数的乘法运算结果不受括号位置的影响。
2.乘法的交换律：乘法满足交换律，即a*b=b*a，任意两个数的乘法运算结果不受顺序的影响。
3.乘零律：任何数与零相乘，结果为零，即a*0=0。
4.乘一律：任何数与一相乘，结果为其本身，即a*1=a。
5.乘法分配律：乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c，用于将括号内部的乘法运算分布到括号外的加法运算中。
二、特殊乘法公式1.平方：一个数自身乘以自身等于它的平方，即a*a=a^22.相同数相乘：相同的两个数相乘，结果等于这个数的平方，即a*a=a^23.倍数相乘：任意数与它的倍数相乘，结果等于这个数乘以倍数，即a*n=n*a。
4.零乘任意数等于零：零与任意数相乘，结果都等于零，即0*a=0。
5.倒数相乘等于一：一个数与它的倒数相乘等于一，即a*(1/a)=16.乘方运算：乘方是指一个数的连乘积的运算，表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
乘方运算可以用于表示重复乘法、面积和体积等问题。
三、乘法规律1.指数相加：相同底数的指数相加，底数保持不变，指数相加，即a^m*a^n=a^(m+n)。
2.倍数相乘：两个数的乘积与其中一个因数的倍数相乘，结果等于乘积与该因数相同倍数的乘积，即a*b=(n*a)*b=a*(n*b)。
3.乘方相乘：两个乘方相乘，底数相乘，指数相加，即(a^m)*(a^n)=a^(m+n)。
四、应用举例乘法公式不仅适用于两个数的乘法，还可以用于解决更复杂的问题。
以下是几个与乘法公式相关的应用举例：1.多项式的乘法：多项式的乘法运算可以利用乘法分配律和结合律，将多项式展开成一系列乘法运算的和。
《乘法公式》复习课件
练习2： （1）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。
（2）已知 a b 4，ab 5 ，求 a2 b2 的值。
（3）已知
x1 3 x
，求
(x 1)2 x
，x4
1 x4
的值。
活动四、中考与乘法公式
x 1x 1 x2 1
x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x3 x2 x 1 x4 1
由猜想到的规…律…可得
x 1 xn xn1 xn2 … x 1 ____________。
活动二、乘法公式的用法：
例1：运用乘法公式计算：
(-1+3x)(-1-3x)
通常先提出负号， 以避免负号多带来的麻烦。
(1+3a 4b)(1 4b 3a)
(x 1)(x2 1)(x+ 1)
2
42
改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项 的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.
分析：由已知等式观察可知，结果为 xn+1-1
练习3： （1）已知 1－4x＋kx2 是一个完全平方式，则k等于
() A、2 B、±2 C、4 D、±4
（2）如果36x2－mxy＋49y2是一个完全平方式，则m 等于 ( ) A、42 B、±42 C、84 D、±84
知识巩固
例4 计算：
(1) (x 1)(x 1) (2x 1)(2x 1) (x 1)2； (2) (m 2)(m 2) 2(m 2)2 (m 3)2； (3) (x 1)2 (x 1)2 (x2 1)2.
乘法口诀复习课课件
引导学生积极寻找乘法在实际生活中的应用场景，如解决复杂问题、 进行科学研究等，拓宽数学视野和应用能力。
培养数学思维与创新能力
通过开展数学游戏、竞赛等活动，激发学生的数学兴趣和探索欲望， 培养学生的数学思维和创新能力。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
设定挑战成功的奖励机制，如获得额 外分数、小礼品等，以激励学生积极 参与。
提供不同难度的题目，让学生根据自 己的能力选择挑战。
对于挑战失败的学生，给予鼓励和指 导，帮助他们找出自己的不足之处， 以便今后改进。
团队协作，共同进步
01
在分组竞赛和个人挑战 的基础上，强调团队协 作的重要性。
02
鼓励学生在小组内展开 讨论和交流，共同解决 遇到的问题。
在物理学科中，乘法口诀可用于 计算速度、加速度、力等物理量
之间的关系。
化学学科
在化学学科中，乘法口诀可用于计 算分子量、摩尔质量等化学计量问 题。
计算机科学
在计算机科学中，乘法运算是一种 常见的算法，掌握乘法口诀有助于 提高编程能力和算法效率。
04 学生自主练习与互动环节
分组竞赛，激发兴趣
01
02
02 乘法口诀详细解析
一位数乘法口诀
01
02
03
乘法口诀表
详细列出1-9的乘法口诀， 帮助学生快速记忆。
乘法运算规则
解析一位数乘法的运算规 则，如“任何数与0相乘 都等于0”、“任何数与1 相乘都等于其本身”等。
乘法算式举例
通过举例，让学生更加直 观地理解一位数乘法的运 算过程。
两位数乘法口诀
共需要支付15元。
面积计算
在装修、农业等领域，经常需要 计算面积，通过乘法口诀可以迅 速得出结果，如“二四得八”可 以迅速算出2米宽4米长的房间面
乘法公式的复习讲义
乘法公式的复习讲义乘法是数学中非常重要的运算法则之一、掌握好乘法公式对于学生来说尤为重要，因此本讲义将以学生易于理解和操作的方式介绍乘法公式的内容。
一、乘法公式的基础1.乘法交换律：乘法运算中，乘数的先后顺序不影响最后的结果。
例如：3×4=4×3=122.乘法结合律：乘法运算中，不同乘数进行相乘后再乘以另一个数，结果相同。
例如：2×(3×4)=(2×3)×4=243.乘法分配律：乘法运算中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加。
例如：2×(3+4)=2×3+2×4=14二、乘法公式的应用1.加法乘法运算律：利用乘法分配律可以进行更加复杂的计算。
例如：(3+2)×4=3×4+2×4=202.幂运算：乘方运算是指一个数连乘几次自己的运算。
例如：2的3次方表示为2³，即2×2×2=83.积的计算：乘法运算中，两个整数相乘得到的结果称为积。
例如：7×6=424.乘法的逆运算：除法是乘法的逆运算，可以通过除法运算求解未知数。
例如：如果6×x=12，那么x=12÷6=2三、乘法公式的综合应用1.平方的乘法公式：一个数的平方是指这个数乘以自己。
例如：(x + y)² = x² + 2xy + y²2.两个不同数的乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=53.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7×1=74.立方的乘法公式：一个数的立方是指这个数乘以自己两次。
例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³注意：(a+b)³不等于a³+b³四、乘法公式的例题应用1.计算16×8÷4=32解析：首先乘法运算，16×8=128，然后除以4，128÷4=322.计算(5+3)×2-7=9解析：先计算括号中的加法，5+3=8，然后乘以2，8×2=16，最后减去7，16-7=93.计算6²+3²=45解析：首先计算平方运算，6²=6×6=36，然后再计算3²=3×3=9，最后相加，36+9=45通过以上的学习和例题应用，相信同学们对乘法公式有了更加深入的理解和掌握。
乘法公式优质讲义
乘法公式①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2②完全平方公式：(a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2【基础演练】 一.填空：1. (a +2b ） (a －2b ） = （) 2－(） 2=2。
=---)1x 31)(1x 31(( ） 2－(） 2=3。
（2x +y ) 2=(3a －4）2=4。
（－5x +2y ) 2=(－a －3b ) 2=5。
(3a －1） （ ） =9a 2－1 6. X 2－6xy + () = () 27。
(mn －） （－21） =22n m 41- 8. （3x +） 2=+12xy +9.102×98= ( ） ( ) = ( ) 2－（ ） 2=10.已知：(x －3y ）2=x 2－6xy +(ky ）2, 则k =二。
选择：1。
在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A 、(x +3）（3+x ）B 、(a +b 21)(a b 21-）C 、(－x +y ）(x －y )D 、 (a 2－b )（a +b 2）2。
下列计算正确的是（ ）A 、(a +3b ）(a －3b )=a 2－3b 2B 、（－a +3b )(a －3b )=－a 2－9b 2C 、（a －3b )（a －3b )=a 2－9b 2D 、(－a －3b )(－a +3b ）=a 2－9b 2三.计算： （1）（2x +7y )2（2)(－3x +1）2（3）(1.0a 21-）2（4）)b 51a 5(- 2（5）（31x 2+-)（31x 2--) （6）(ab －c 41）（ab +c 41)(7) (2a 2－3b )（－2a 2－3b ）(8)（22y x 51+)（22y x 51-）(9)（－ 3+2a 2)（－3－2a 2）（10）（－3x +4y )(3x －4y ）(11)（2m －5n ）（4m +10n ) （12）（a +b )（a －b )（a 2+b 2）（13)204×196（14) 7597210⨯-（15)1032(16)9982四。
乘法公式知识点讲解
乘法公式知识点讲解乘法公式是数学中常用的一种运算规则，用于求解两个或多个数的乘积。
乘法公式是各个数学分支中基础且重要的内容，涉及到一系列的运算法则和性质。
本文将从基本的乘法性质和运算法则出发，逐步介绍乘法公式的相关知识点。
一、基本的乘法性质1.乘法的交换律乘法的交换律指出，两个数相乘，其积不受因数的位置交换的影响。
即a×b=b×a，其中a和b是任意实数。
这个性质可以通过实际数的例子进行验证，比如3×4=12，4×3=12，结果都是122.乘法的结合律乘法的结合律指出，三个数相乘，在保持因数的顺序不变的情况下，可以任意选择两个因数进行先乘后乘的运算。
即(a×b)×c=a×(b×c)，其中a、b和c是任意实数。
这个性质也可以通过具体的实例进行验证，比如(2×3)×4=6×4=24，2×(3×4)=2×12=24，结果仍然是243.乘法的分配律乘法的分配律是乘法运算与加法运算之间的关系。
乘法分配律分为左分配律和右分配律：-左分配律：a×(b+c)=a×b+a×c，其中a、b和c是任意实数。
-右分配律：(a+b)×c=a×c+b×c，其中a、b和c是任意实数。
以上三种基本的乘法性质可以通过简单的代数运算进行验证，也是进行乘法公式推导的基础。
二、乘法公式的运算法则有了基本的乘法性质为基础，可以进一步推导得到一系列的乘法公式。
以下是其中一些常见的乘法公式及其应用。
1.平方公式平方公式是一种常见的乘法公式，用于计算一个数的平方。
平方公式可以表示为：(a + b)² = a² + 2ab + b²，其中a和b是任意实数。
应用平方公式，可以求得两个数的和的平方，例如(3 + 4)² = 3² + 2 × 3× 4 + 4² = 492.二次方差公式二次方差公式是根据平方公式推导得到的，用于计算两个数相乘后的差的平方。
(完整版)乘法公式(基础)知识讲解
乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义;2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征:既有相同项，又有“相反项"，而结果是“相同项"的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化:如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化:如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-两数和 （差）的平方等于这两数的平方和加上（减去)这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点:左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。
以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式,哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332a b b a --; （2) ()()2323a b a b -++;(3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-；(5) ()()2323a b a b ---； （6） ()()2323a b a b +--．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同,另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：（2）、（3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，（1)、（6)不能用平方差公式计算．（2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()22a ＝2294b a -．（3） ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()23b ＝2249a b -．（4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()23b ＝2249a b -．（5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()22a ＝2294b a -．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算,一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三: 【变式】计算:（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; （2）(2)(2)x x -+--; (3）(32)(23)x y y x ---．【答案】解：（1）原式2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2)原式222(2)4x x =--=-．(3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-．2、计算：(1）59.9×60.1; （2)102×98．【答案与解析】解：（1)59.9×60.1＝（60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1-＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝（100＋2)(100－2）＝221002-＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数,通过两式(两数）的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算． 举一反三:【变式】用简便方法计算:(1）899×901＋1； (2)99×101×10001;（3)22005－2006×2004；【答案】解：（1）原式＝（900－1)（900＋1)＋1＝2290011-+＝810000．（2)原式＝［（100－1）(100＋1）]×10001＝()21001-×10001＝(10000－1）×（10000＋1）＝100000000－1＝99999999．（3)原式＝22005－(2005＋1）(2005－1)＝22005－(22005－21）＝1． 类型二、完全平方公式的应用3、计算：（1)()23a b +; (2）()232a -+; （3)()22x y -； （4）()223x y --．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和"还是“差”的完全平方公式。
乘法公式复习课课件
乘法公式复习课课件一、教学目标1、复习巩固乘法公式，掌握常见乘法公式的应用。
2、提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3、培养学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学内容及重点难点1、教学内容本节课复习乘法公式，包括平方差公式、完全平方公式、立方和公式等，同时结合实例进行讲解和练习。
2、教学重点与难点重点：熟练掌握乘法公式的应用。
难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。
三、教学方法与手段1、教学方法：讲解、演示、练习、互动。
2、教学手段：PPT演示、黑板板书、实物展示。
四、教学步骤1、导入新课：通过实例引入，引导学生回忆所学乘法公式，明确本节课复习目标。
2、知识梳理：系统梳理乘法公式的推导过程和常见应用，强调注意事项。
3、实例解析：结合实例进行讲解，加深学生对乘法公式的理解，并掌握解题方法。
4、课堂练习：分组练习，互相讨论，教师巡回指导，发现问题及时纠正。
5、总结评价：对本节课所学内容进行总结，对学生表现进行评价，激励学生进步。
五、教学反思与改进1、对本节课所学内容进行反思，总结教学过程中的优点和不足之处。
2、根据学生实际情况进行改进，优化教学方法和手段。
3、及时跟进学生的反馈情况，调整教学策略，提高教学效果。
勾股定理复习课课件一、引言在数学的世界中，有一个非常著名的定理，它连接了直角三角形三边的关系，这个定理就是勾股定理。
今天，我们一起来复习这个重要的定理，为我们的数学学习打下坚实的基础。
二、勾股定理的表述勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，它的基本表述是：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方之和。
用我们熟悉的字母表示，如果一个直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么c² = a² + b²。
三、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种，其中最著名的可能是赵爽的“勾股圆方图”。
在这个证明方法中，赵爽利用了圆和方形的性质，通过构造一个正方形和一个圆形，将它们的一部分切割下来，然后拼接成一个新的正方形，从而证明了勾股定理。
乘法公式的复习讲义(学生版)
乘法公式的复习讲义平文一、重要的乘法公式：1.平方差公式：(a+b)．(a-b) =a2-b2体会：①公式的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：(x+y-z)(x-y-z) =[ (x-z) +y][ (x-z) -y]= (x-z) 2-y2．从图形的角度对它验证 :如图，边长为 a 的正方形。
aba b b在下边切去一个宽为 b,长为(a-b)的长方形 ,再在右边加去一个宽为 b,长为 (a-b ) 的长方形这时，红色和黄色区域的面积和是________.(a+b)(a-b)2.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 、(a-b)2=a2-2ab+b2体会： __________________________________________________ 3.多项式的完全平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac、(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac思考： (a+b-c)2=_______________(a-b+c)2=_______________体会： __________________________________________________ ___________________________________________.4.两个一次二项式相乘： (x+a) ． (x+b) =x2+(a+b)x+ab.体会： a、b 可以是正数也可以是负数。
5.补充几个乘法公式：①立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3② 立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3体会规律： _____________________________________6. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 :(a+b) (a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4；(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5；(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 …………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2 －…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2 －…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：(a－b) (a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 二、例题分析：题型 1 ：平方差公式的应用：(1) 公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．例 1.计算(3x-1)(3x+1)(9x2+1)例 2.计算(2x-1)2(1+2x)2- (2x+3) 2(2x-3)2例 3.计算(x2-x+2)(x2-x-2)变式 1：计算(x+y+z)(x+y-z)变式 2：已知 z2=x2+y2 ，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．变式 3：计算(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c) 2变式 4： (a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)例4. 计算(1)899×901＋1 (2) 1232-122×118变式 1：计算： 1002-992+982-972+ …+42-32+22-1例 5：计算： (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1)++变式：计算：+例 6.探索题：(x-1)(x+1)=x 2 1(x-1) (x 2+x+1)=x 3-1(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1(x-1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5-1……试求 26+25+24+23+22+2+1 的值，判断 22005+22004+22003+ …+2+1 的末位数。
数学讲义(二)--乘法公式
数学讲义（二）乘法公式【知识要点】*1. 平方差公式 ()()22b a b a b a -=-+ *2. 完全平方公式 ()2222b ab a b a +±=±3. 立方和与立方差公式 ()()3322b a b ab a b a ±=+± 4. 和的立方与差的立方公式 ()3223333b ab b a a b a +±=± 【典型例题】判断正误⑴ ()()3322y x y x y x +=++ ( ) ⑵ ()()3322b a b ab a b a +=+++ ( ) ⑶ ()2222b ab a b a +-=-- ( ) 1．选择题⑴ 在多项式22222 , 1 , 161 , 44y xy x x x x x ++-++-中，是完全平方式的有 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 ⑵ 若1 , 1-==+xy y x ，则22y x +的值是 （ ） （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 ⑶ 已知6 , 3-==+ab b a ，那么()222b a b a ++的值是 （ ）（A ）1 （B ）31- （C ）312 （D ）-3⑷ 若31=+x x ，则221xx +的值是 （ ） （A ）9 （B ）7 （C ）5 （D ）32．利用乘法公式计算⑴ 885⨯915 ⑵2982 - 203⨯1973．计算：()()()()4321----x x x x 4．计算：()()()()c b a b a c a c b c b a ++-+-+-+ 5． 6．测试题:1．在下列各式① ()()22x y y x -=- ② ()()923322-=-+x x x ③ ()()()22b a x b a x b a x +-=++-- ④ ()1222--=+-a a b a 中不正确的式子的个数为 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 2．下列式子中不成立的是 （ ）（A ）()42222a a x ax x a x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=- （B ）()()xy y x xy y x y x 222222+-=-+=+（C ）2222222⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a b a b a （D ）()()()11112222=+-=+++-x x x x x x 2．化简： x x x x x x 2)1)(1()1(22-++--+3．4．先化简，后求值已知3 , 21==b a ，求()()()211212-+-+-++a b a b a 的值5．6．如果x 2＋6xy ＋m 是一个完全平方式，则m ＝（ ）。
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乘法公式专题教学目标：1、会进行简单的整式乘法运算2、能推导乘法公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2，3、（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算. 课前热身：1、21ab 2c ·（－0.5ab 2）·（－2bc 2）＝ 2、－3a 2（ab 2＋31b －1）＝ 3、二次三项式29x kx -+是一个完全平方式，则k 的值是4、如图，从边长为（a+1）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a ﹣1）cm 的正方形（a ＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A ． 2cm 2B ． 2acm 2C ． 4acm 2D ． （a 2﹣1）cm 25 、( 3 a + b) ( 3a －b) = _______________________6、(2x 2－3) (－2x 2－3) = ______________________ 7、________)2)(4)(2(2=++-a a a 8、______)2(2=+-b a9、294)3)(3(b b m b m -=-+，则m = 10、a 2＋6a ＋ ＝（a ＋ ）2知识回顾重要的乘法公式：(1).平方差公式：（a+b ）（a-b ）= （2).完全平方公式：(a+b)2= 、(a-b)2=（3）.多项式的完全平方：(a+b+c)2= 、 （4）两个一次二项式相乘： （x+a ）（x+b ）= .典型例题题型一：平方差公式的应用：例1.(1) (3x ＋2 )( 3x －2 ) ； (2) (b+2a)(2a-b). (3) (－x+2y)(－x －2y)．练习 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ):（1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b －a) ； （3）(－a+b)(a －b)； （4）(x ²－y)(x+y ²)； 5）(－a －b)(a －b)；（6）(c 2－d 2)(d 2+c 2).例2.计算(2x-1)2(1+2x)2-（2x+3）2(2x-3)2例3.计算(x 2-x+2)(x 2-x-2）变式训练1：计算（x+y+z)(x+y-z) 2：计算(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2例4.计算(1)899×901＋1 （2）1232-122×118练习 (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .(3)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y) (4)（3m-4n)(4n+3m)-(2m-3n)(2m+3n)例5：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）例6.探索题： (x-1)(x+1)=21x- (x-1)（x 2+x+1)=x 3-1 (x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1(x-1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5-1 …… 试求26+25+24+23+22+2+1的值，题型二：完全平方和与差的应用例7.计算 2)2332(y x - 例8.计算 （1）( 5 + 3p )2 (2) ( 2x - 7y )2（3）（ -x + 2y ）2 (4) ( -2a - 5)2 （5）9982 （6） 1012 ．练习 判断题1.(a +b )2=a 2+b 2（ ） 2.a 2－2a +4=(a －2)2（ ）3.(－x －1)(x －1)可用完全平方公式（ ）4.(－x －y )2=x 2+2xy +y 2（ ） 例9.已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2的值。
变式训练：1、已知a+b=8，ab=2，求(a-b)2的值。
2、已知3=+y x ，2=xy ，求①22y x +；②yx 11+例10.已知x+x 1=3, 求①x 2+21x ③x 4+41x的值变式训练：解下列各式：（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。
（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。
（3）已知a (a -1)-(a 2-b )=2，求222a b ab +-的值。
（4）已知13x x-=，求441x x +的值。
例11.计算19982－1998×3994＋19972；例12.数形结合的数学思想认识乘法公式：图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：变式训练1请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。
例13.（11年武汉中考） 观察下列各式：（x-1)(x+1)=x 2-1 （x-1)(x 2+x+1)=x 3-1 （x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1 ……由猜想到的规律可得(x-1)(x n+x n-1+x n-2+ …+x+1)=______。
例14.已知a =1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a 2+b 2+c 2-a b-a c-bc 的值.例15.已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值小结： 1、二次代数式的几何意义都与面积有关；2、掌握好平方差公式与完全平方公式的特征.平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2练习 1、计算:(1)、()()yxyx22-+； (2)、()23yx-； (3)、()23yx+；（4）、()()22baba-++； (5)、()()22baba--+； (6)、()212-+ba.2、计算:(1)()()baba5353-+；(2)()()tsts---22； (3)()()()4222+-+xxx； (4)101⨯99.3、计算:(1)、()()()1112++-aaa (2)、402⨯398 ； (3)、79.9⨯80.1 ；课后作业：1、计算（1）()23ba+； (2)()[]2cba-+； (3) ()()2233mnnm++-； (4)1982.2、已知 a+b=5,ab=6,求： a2+b2的值.3、请用简便方法计算：(1) 1.03⨯0.97 ； (2)402⨯398 ； (3)10022； (4)(99.9)2； (5)999⨯1001 ；4、计算：(1)()()nmnm7474+- (2) ()()222255xyyx-+； (3)()()()()yxyxyxyx22-++-+；课前测试1．下列运算正确的是（ ）A 、39±=B 、33-=- C 、39-=- D 、932=-2. 下列运算正确的是（ ）A 、623aa a =⋅ B 、()3632b a b a = C 、428a a a =÷ D 、2a a a =+3. 在实数020.20200200843.143073，，，，，，，π－…中，无理数的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44.若72)43)((2++=+-cx bx x b ax ，则__________,_____,===c b a 。
5、,0,a b ab n ≠互为相反数，且为正整数，则下列两数互为相反数的是（ ） A 、n n b a 与 B 、nn ba 22与 C 、1212--n n b a与 D 、2222))(----n n b a 与（6、)103()105()104(465⨯⨯⨯⨯⨯ =7、2(21)(2)x x x x ---的结果是（ ）A ．3x x -- B ．3x x -C ．21x -- D ．31x -8、.当k ＝___ ___时，多项式x －1与2－kx 的乘积不含一次项．9、若(x 2＋ax ＋8)(x 2－3x ＋b )的乘积中不含x 2和x 3项，则a ＝_ _，b ＝______． 10、下列各题中，计算正确的是（ ）A ．（－m 3）2（－n 2）3＝m 6n 6B ．[（－m 3）2（－n 2）3]3＝－m 18n 18C ．（－m 2n ）2（－mn 2）3＝－m 9n 8D ．（－m 2n ）3（－mn 2）3＝－m 9n 911、设M ＝（x －3）（x －7），N ＝（x －2）（x －8），则M 与N 的关系为（ ）A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定 12、（1）若2x ＋y ＝0，求4x 3＋2xy （x ＋y ）＋y 3的值；（2）若m 2＋m －1＝0，求m 3＋2m 2＋2008的值．13、若(x 2＋ax －b )(2x 2－3x ＋1)的积中，x 3的系数为5，x 2的系数为－6，求a ，b ．14、(x-3)(x+3)-(3x+1)2=8x(5-x)15、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+-16、问题：你能比较两个数20062007和20072006的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，比较n n+1与（n+1）n的大小（n 为正整数），从分析n=1，n=2，n=3，…的情形入手，通过归纳，发现规律，猜想出结论．（1）比较各组数的大小①12 21； ②23 32； ③34 43； ④45 54（2）由（1）猜想出n n+1与（n+1）n的大小关系是 ；（3）由（2）可知：20062007 20072006．。