2019-2020山东师范大学附属中学中考数学试题及答案
山东省济南市山东师范大学第二附属中学2019-2020学年高三数学文联考试题含解析
山东省济南市山东师范大学第二附属中学2019-2020学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数=是定义在R上的函数，=-与的图象之间A.关于直线＝5对称B.关于直线＝1对称C.关于点（5，0）对称D.关于点（1，0）对称参考答案：D略2. 已知其导函数的图象如右图，则函数的极小值是A． B． C．D．c参考答案：D由导函数的图象知当时，，当时，，所以函数的极小值为，选D.3. 在△ABC中，sinA=，，则△ABC的面积为( )A．3 B．4 C．6 D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意结合数量积的运算可得，而△ABC的面积S=，代入数据计算可得．【解答】解：由题意可得，又sinA=，故可得cosA=，故=10故△ABC的面积S===3故选A【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式，属中档题．4. 抛物线的焦点到准线的距离是（）A．2 B．4 C．D．参考答案：C试题分析：由抛物线的方程可化为，知，所以焦点到准线的距离为，故正确答案为C.考点：抛物线的方程、焦点、准线.5. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．6 D．12参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=（1+2）×2=3，高h=2，故体积V==2，故选：A6. 已知角的终边经过点，则A. B. C. D.参考答案：B【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r 2故cos，sin∴sin cos.故选：B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．7. 已知一几何体三视图如右，则其体积为（）A．B．C．1 D．2参考答案：A由三视图可知该几何体如图其中ABCD为边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，且ED=2，故体积，选A.8. 某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理奖的6位华人的姓名，为此出了一份考卷。
2023年山东省济南市山东师范大学附属中学集团九年级数学联考试题(含答案解析)
2023年山东省济南市山东师范大学附属中学集团九年级数学联考试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2-的绝对值是（）A ．2B ．2-C ．2±D ．12-2．2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（）A ．80.1110⨯B ．71.110⨯C ．61110⨯D ．61.110⨯3．如图所示三棱柱的主视图是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，平行线AB ，CD 被直线EF 所截，FG 平分EFD ∠，若70EFD ∠=︒，则EGF ∠的度数是（）A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒5．北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506件，其中很多设计方案体现了对称之美．以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．化简222a b aba b b a++--的结果是（）A ．a b +B ．a b-C ．()2a b a b+-D ．()2a b a b--7．根据图像，可得关于x 的不等式3>-+kx x 的解集是（）A ．2x <B ．2x >C ．1x <D ．1x >8．一次函数1y ax =+与反比例函数ay x=-在同一坐标系中的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若AE ＝2，BE ＝1，则EC 的长度是（）A ．2B ．3CD10．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（）A ．4，-1B -1C ．4，0D -1二、填空题11．因式分解：x 2﹣4y 2＝__．12．分式方程233x x=-的解是______．13．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是_____14．如图，以正方形ABCD 的AB 边向外作正六边形ABEFGH ，连接DH ，则∠ADH =____________°15．A ，B 两地相距240km ，甲货车从A 地以40km/h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止，两车之间的路程y （km ）与甲货车出发时间x （h ）之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示．其中点C 的坐标是()0240，，点D 的坐标是()2.40，，则点E 的坐标是__________．16．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 在边BC 上，将ABE 沿直线AE 翻折180︒，得到AB E ' ，点B 的对应点是点B '．若AB BD '⊥，3BE =，则BB '的长是_______．三、解答题17．计算：11(2022)2sin 452π-⎛⎫--︒+ ⎪⎝⎭18．解不等式组：()3152113x x x ⎧+≥-⎪⎨->-⎪⎩，并写出它的正整数解．19．如图，矩形ABCD 中，点M 在DC 上，AM =AB ，且BN ⊥AM ，垂足为N ，证明：△ABN ≌△MAD；20．为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行整理、描述和分析，其中部分学生的成绩在8090x ≤<这一组的数据为：80，89，88，81，82，87，85，83，83，87，88，86，84，83，并绘制了如下不完整的统计表和统计图（如图）．知识竞赛成绩分组统计表组别分数/分频数A 6070x ≤<a B 7080x ≤<10C 8090x ≤<14D90100x ≤<18请根据图表信息解答以下问题：(1)本次调查一共随机抽取了_____个参赛学生的成绩；(2)表1中=a ______；(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数是______分；(4)请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有多少人？21．如图，AB 为O 的直径，直线l 与O 相切于点C ，AD l ⊥，垂足为D ，AD 交O于点E ，连接CE ．(1)求证：AC 平分DAB ∠；(2)若2EC =，1sin 3CAD ∠=，求O 的半径．22．2022年11月9日是我国第31个“全国消防宣传日”，该年“119消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”．为落实该主题，济南市消防大队到建东小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC 可伸缩（15m 26m AC ≤≤），且起重臂AC 可绕点A 在一定范围内转动，张角为CAE ∠（90150CAE ︒≤∠≥︒），转动点A 距离地面BD 的高度AE 为3m ．(1)当起重臂AC 长度为20m ，张角127CAE ∠=︒，求云梯消防车最高点C 距离地面BD 的高度CF ；(2)已知该小区层高为2.8m ，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，1.73≈）23．为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买《论语》和《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如下表：《论语》数量/本《弟子规》数量/本总费用（元）4030125050201300(1)《论语》和《弟子规》每本的价格分别是多少元？(2)若学校计划购买《论语》和《弟子规》两种图书共100本，《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．24．反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图象与Rt ABC △的边BC 交于点()4,D m ，与斜边AB 交于点()2,E n ，已知点A 坐标()2,0-，2t n 1a BAC ∠=．(1)求m ，n 以及反比例函数的解析式；(2)求BDE 的面积；(3)设P 是线段AB 边上的点，是否存在点P ，以B ，C ，P 为顶点的三角形与EDB △相似？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（1）【问题呈现】如图1，ABC 和ADE V 都是等边三角形，连接BD ，CE ．请判断BD 与CE 的数量关系：_________．（2）【类比探究】如图2，ABC 和ADE V 都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒．连接BD ，CE ．请写出BD 与CE 的数量关系：________．（3）【拓展提升】如图3，ABC 和ADE V 都是直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，且34AB AD BC DE ==．连接BD ，CE ．①求BDCE的值；②延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin BFC ∠的值．26．如图1，抛物线232y ax x c =++与x 轴交于点A 、(4,0)B （A 点在B 点左侧），与y 轴交于点(0,6)C ，点P 是抛物线上一个动点，连接,,PB PC BC(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标．(3)若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否B M N P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接存在这样的点M，使得以点,,,写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A【分析】根据负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．【详解】解：22-=故选A【点睛】本题考查求一个数的绝对值，根据绝对值的定义求解即可，比较简单．2．B【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．【详解】解：数据11000000用科学记数法表示应为71.110⨯．故选：B.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．3．C【分析】根据三棱柱的主视图是矩形，主视图内部有竖着的实线，进行选择即可．【详解】解：三棱柱的主视图为：．故选：C ．【点睛】本题考查简单几何体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．掌握简单几何体的三视图是解题的关键．4．A【分析】先根据角平分线的性质可得∠GFD ＝35︒，再由平行线的性质可得∠EGF ＝∠GFD ＝35︒．【详解】解：∵∠EFD ＝70︒，且FG 平分∠EFD ∴∠GFD ＝12∠EFD ＝35︒∵AB ∥CD∴∠EGF ＝∠GFD ＝35︒故选A【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．5．C【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．【详解】解：A 、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，该选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，该选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意；D 、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．B【分析】先将原式化为222a b aba b a b+---，再进行分式的减法运算，然后将分子因式分解后再约分即可．【详解】解：222a b aba b b a++--222a b aba b a b +=---222a b ab a b+-=-()2a b a b-=-a b =-．故选：B ．【点睛】本题考查分式的加减运算，注意结果应化为最简分式．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．7．D【分析】写出直线y ＝kx 在直线y ＝−x ＋3上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键．8．B【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．9．D【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC=3，然后利用勾股定理计算CE的长．【详解】由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，在Rt△ACE中，CE=．故选D．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．10．D【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B （2,2）；若二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况:当0m ≤时，则当A 点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有202m m m ≤⎧⎨-≤⎩，解得：10m -≤<；当01m <≤时，则当C 点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有()20120m m m <≤⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得：01m <≤；当12m <≤时，则当O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有2120m m m <≤⎧⎨->⎩，解得：12m <≤；当m>2时，则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有()222022m m m m m ⎧>⎪⎪-≥⎨⎪--≤⎪⎩，解得：2m <≤综上可得：m的最大值和最小值分别是52+，1-．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．11．(2)(2)x y x y +-【分析】直接运用平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：x 2﹣4y 2＝（x +2y ）（x ﹣2y ）．故答案为：(2)(2)x y x y +-【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活利用适当的方法解答是解题的关键．12．9x=【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得3x-9=2x，解得x=9．检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．∴原方程的解为：x=9．故答案为：x=9．【点睛】本题考查了解分式方程，掌握节分是方程的方法和步骤是解题的关键．13．15##0.2【详解】由题意可得大正方形的面积为：22+12=5，小正方形的面积为12=1，所以P（飞镖投到小正方形（阴影）区域）=1 5 .故答案是：1 5．14．15【分析】根据正六边形ABEFGH的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠DAH=150°，AH=AD，据此即可解答．【详解】解：∵正六边形ABEFGH的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠DAH=360°-90°-120°=150°，∵AB=AH，∴∠ADH=12×（180°-150°）=15°，故答案为15【点睛】本题考查了正多边形和等腰三角形及外角的性质，熟悉正多边形的性质是解题的关键．15．()4,160【分析】先根据CD段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点E表示的意义，由此即可得出答案．【详解】设乙货车的行驶速度为/akm h由题意可知，图中的点D 表示的是甲、乙货车相遇点C 的坐标是()0,240，点D 的坐标是()2.4,0∴此时甲、乙货车行驶的时间为2.4h ，甲货车行驶的距离为40 2.496()km ⨯=，乙货车行驶的距离为24096144()km -=∴144 2.460(/)a km h =÷=∴乙货车从B 地前往A 地所需时间为240604()h ÷=由此可知，图中点E 表示的是乙货车行驶至A 地，EF 段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B 地则点E 的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即404160⨯=即点E 的坐标为(4,160)故答案为：(4,160)．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象是解题关键．16．【分析】根据菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒可知ABD △是等边三角形，结合三线合一可得30BAB '∠=︒，求出75ABB '∠=︒，可得45EB B EBB ''∠=∠=︒，则BEB ' 是直角三角形，借助勾股定理求出BB '的长即可．【详解】解： 菱形ABCD ，AB AD ∴=，AD BC ∥，60BAD ∠=︒ ，120ABC ∴∠=︒，AB BD '⊥ ，1302BAB BAD '∴∠=∠=︒， 将ABE 沿直线AE 翻折180︒，得到AB E ' ，BE B E '∴=，AB AB '=，1(18030)752ABB '∴∠=⨯︒-︒=︒，1207545EBB ABE ABB ''∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，45EB B EBB ''∴∠=∠=︒，90BEB '∴∠=︒，在Rt BEB '中，由勾股定理得：BB '==故答案为：【点睛】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．17．3【分析】先根据零指数幂，特殊角锐角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简，再合并，即可求解．【详解】解：原式1222=-⨯+12=-++3=【点睛】本题主要考查了零指数幂，特殊角锐角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．283x -≤<，1【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定它的正整数解．【详解】解：()3152113x x x ⎧+≥-⎪⎨->-⎪⎩①②，解不等式①得：83x ≥-，解不等式②得：2x <，不等式组的解集为：283x -≤<，则它的正整数解为1．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握不等式组确定解集的方法．19．见解析【分析】根据矩形的性质可得对边平行，四个角都是直角，进而可得两对相等的角，再利用“AAS”即可求证结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠D=90°∴∠DMA=∠MAB∵BN⊥AM，∴∠D=∠ANB=90°又∵AM=AB∴△ABN≌△MAD（AAS）．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的对边平行、四个角都是直角的性质．20．(1)50(2)8(3)84.5(4)320人【分析】（1）从两个统计图可得，“D组”的有18人，占调查人数的36%，可求出调查人数；（2）调查人数的16%是“A组”人数，得出答案：（3）根据中位数的意义，找出处在第25、26位两个数的平均数即可；（4）样本估计总体，用500乘以C组和D组的人数对应的频率即可．【详解】（1）解：本次调查一共随机抽取学生：1836%50÷=（人），故答案为50；（2）解：501814108a=---=；故答案为8；（3）本次调查一共随机抽取50名学生，∴中位数落在C组，将C组的数据从小到大排列：80，81，82，83，83，83，84，85，86，87，87，88，88，89，∴中位数为：848584.52+=（分），故答案为：84.5．（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有：141850032050+⨯=（人），故该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有320人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．(1)证明见解析(2)半径为3【分析】（1）如图所示，连接OC ，根据切线的性质可求出OC AD ∥，可得CAD CAO ∠=∠，由此即可求证；（2）如图所示，连接,,OC OE BC ，根据圆周角与圆心角的关系，可得COE COB ∠=∠，根据圆中，相等的圆心角所对边相等，可得2EC BC ==，在Rt ABC △中，根据余弦的计算方法即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，连接OC ，∵CD 为O 的切线，∴OC CD ⊥，即90OCD ∠=︒，∵AD CD ⊥，∴90ADC ∠=︒，∴180ADC OCD ∠+∠=︒，∴OC AD ∥，∴CAD ACO ∠=∠，又∵OA OC =，∴ACO CAO ∠=∠，∴CAD CAO ∠=∠，∴AC 平分DAB ∠．（2）解：如图所示，连接,,OC OE BC ，∵2COE CAD ∠=∠，2COB CAB ∠=∠，CAD CAB ∠=∠，∴COE COB ∠=∠，且2EC =，1sin 3CAD ∠=，∴2EC BC ==，∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵在Rt ABC △中，1sin sin 3BC CAB CAD AB ∠==∠=，∴3326AB BC ==⨯=，即6AB =，∴半径为3．【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握切线的性质，圆周角与圆心角的大小关系，余弦的计算方法是解题的关键．22．(1)云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF 为15m(2)该消防车能有效救援10层【分析】（1）如图所示，过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ，过点A 作AG CF ⊥，垂足为G ，可求出CAG CAE EAG ∠=∠-∠，在Rt AGC △中，根据余弦的计算方法即可求出CG 的长，由此即可求解；（2）当150CAE ∠=︒，26m AC =时，能达到最高高度，可求出CAG ∠的度数，在Rt AGC △中，根据余弦的计算方法即可求出CG 的长，由此即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ，过点A 作AG CF ⊥，垂足为G ，则3m AE FG ==，90EAG AGC ∠=∠=︒，∵127CAE ∠=︒，∴1279037CAG CAE EAG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，在Rt AGC △中，20m AC =，sin sin 370.60CG CAG AC∠=︒=≈，∴sin 37200.6012CG AC =︒=⨯=（m ），∴12315CF CG GF =+=+=（m ），∴云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF 为15m ．（2）解：该消防车能有效救援10层，理由如下，当150CAE ∠=︒，26m AC =时，能达到最高高度，∵90EAG ∠=︒，∴1509060CAG CAE EAG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，在Rt CAG △中，sin sin 60CG CAG AC ∠=︒==∴sin 6026CG AC =︒=⨯ m ），∴325.49CF CG FG =+=+≈（m ），∵25.49 2.89.1÷≈，∴该消防车能有效救援10层．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．23．(1)《论语》每本的价格为20元，《弟子规》每本的价格为15元(2)最省钱的购买方案是购买《论语》图书的数量为34本，购买《弟子规》图书的数量为66本，此方案的总费用为1670元【分析】（1）设《论语》每本的价格为x 元，《弟子规》每本的价格为y 元，再根据购买信息表建立方程组，解方程组即可得；（2）设购买《论语》图书的数量为a 本，则购买《弟子规》图书的数量为(100)a -本，先根据“《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍”求出a 的取值范围，再设购买方案的总费用为W 元，求出W 关于a 的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：设《论语》每本的价格为x 元，《弟子规》每本的价格为y 元，由题意得：4030125050201300x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2015x y =⎧⎨=⎩，符合题意，答：《论语》每本的价格为20元，《弟子规》每本的价格为15元．（2）解：设购买《论语》图书的数量为a 本，则购买《弟子规》图书的数量为(100)a -本，由题意得：10021000a a a -≤⎧⎨->⎩，解得1001003a ≤<，设购买方案的总费用为W 元，则2015(100)51500W a a a =+-=+，由一次函数的性质可知，当1001003a ≤<时，W 随a 的增大而增大，因为a 是正整数，所以当34a =时，W 取得最小值，最小值为53415001670⨯+=，答：最省钱的购买方案是购买《论语》图书的数量为34本，购买《弟子规》图书的数量为66本，此方案的总费用为1670元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和一次函数是解题关键．24．(1)1m =，2n =，4y x =(2)2(3)存在，3(1,)2或8(5，95【分析】（1）过点E 作EF x ⊥轴，垂足为F ，根据2t n 1a BAC ∠=求出2n =，得到点E 坐标，代入反比例函数表达式，求出k ，再将点()4,D m 代入，可得结果；（2）求出直线AE 的解析式，可得点B 坐标，求出BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ．得到EH ，再用三角形面积公式计算；（3）利用AEO △与EFP △相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可．【详解】（1）解：过点E 作EF x ⊥轴，垂足为F ．∵点A 坐标()2,0-，点()2,E n ，∴2OA =，2OF =，EF n =，∵在Rt AEF 中，2t n 1a BAC ∠=，∴1222EF n AF ==+，∴2n =．∴点()2,2E ．将点()2,2E 代入反比例函数k y x =中，∴4k =，∴反比例函数为4y x=．将点()4,D m 代入反比例函数4y x =中，∴1m =．（2）解：设直线AE 的解析式为y kx b =+，代入()2,0A -、()2,2E ，得2022k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AE 为112y x =+．∵点()4,1D ，90ACB ∠=︒，∴点B 的横坐标为4，将4x =代入112y x =+中，得3y =，∴()4,3B ．∴2BD =，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ．∴2EH =，∴BDE 的面积12222=⨯⨯=．（3）如图2，作EF BC ⊥于F ，PH BC ⊥于H ，则EF PH ∥，∴BE BF BP BH=，当BED BPC △∽△时，23BE BD BP BC ==，∴23BF BH =，1BF = ，32BH ∴=，32CH ∴=，可得：31122x =+，解得：1x =，∴点P 的坐标为3(1,2；如图3，当BED BCP △∽△时，BE BD BC BP=，∵2EF =，1BF =，由勾股定理，BE =∴23BP =，可得：BP =∴BF BE BH BP =，1BF =，65BH =，95CH ∴=，∴91152x =+，解得：85x =，∴点P 的坐标为8(5，9)5，点P 的坐标为3(1,)2或8(5，9)5．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的综合应用以及待定系数法求出一次函数解析式和相似三角形的判定、平行线分线段成比例等知识，根据已知得出两个三角形相似包括两种情况是解题关键．25．（1）BD CE =；（2）2BD =或CE =；（3）①35BD CE =；②4sin 5BFC ∠=【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明△≌△ADB AEC ，即可求证；（2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明ADB AEC △∽△，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解；（3）①根据34AB AD BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒，可证ABC ADE △△∽，可得DAB EAC ∠=∠，在Rt ABC △中，求出5BC x =，在Rt ADE △中，求出5AE a =，再证DAB EAC V V ∽，根据相似三角形的性质即可求解；②由①得：DAB EAC V V ∽，由此可证BGF CGA ∽，得BFG GAC ∠=∠，在Rt ABC △中，根据余弦的计算方法即可求解．【详解】解：（1）∵ABC 和ADE V 都是等边三角形，∴60DAB BAE BAE EAC ∠+∠=∠+∠=︒，∴DAB EAC ∠=∠，∴在ADB ，AEC △中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ADB AEC ≌，∴BD CE =，故答案为：BD CE =．（2）结论：BD =或CE =，理由如下，∵ABC 和ADE V 都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，∴2AD AB AE AC ===，∵∴45DAB BAE BAE EAC ∠+∠=∠+∠=︒，∴DAB EAC ∠=∠，且90ABC ADE ∠=∠=︒，∴ADB AEC △∽△，∴2AD BD AE CE ==，∴2BD =或CE ，故答案为：BD =或CE ；（3）①∵34AB AD BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒，∴ABC ADE △△∽，∴DAE BAC ∠=∠，即DAB BAE BAE EAC ∠+∠=∠+∠，∴DAB EAC ∠=∠，设3,4AB x BC x ==，在Rt ABC △中，5AC x =，同理，在Rt ADE △中，设3,4AD a DE a ==，则5AE a =，∴DAB EAC ∠=∠，3333,5555AD a AB x AE a AC x ====，即35AD AB AE AC ==，∴DAB EAC V V ∽，∴35BD AD CE AE ==；②由①得：DAB EAC V V ∽，∴ABD ACE ∠=∠，∵BGF AGC ∠=∠，∴BGF CGA ∽，∴BFG GAC ∠=∠，∴sin sin BFC BAC ∠=∠，在Rt ABC △中，∴44sin 55BC x BAC AC x ∠===，∴4sin 5BFC ∠=．【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰直角三角形，直角三角形，全等三角形，相似三角形的综合，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．(1)233642y x x =-++(2)2t =时，ABPC S 四边形有最大值，最大值为24，点P 的坐标为(2,6)(3)存在，点M 的坐标为(0,0)或()或或(8,0)【分析】（1）抛物线232y ax x c =++经过点(4,0)B 、(0,6)C ，用待定系数法即可求解；（2）根据二次函数解析式分别求出,AB OC 的长，再求出ABC S 的面积，如图2（见解析），过点P 作PE y 轴交BC 于点E ，设233,642P t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则3,62E t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，用含t 的式子表示出PBC PBE PCE S S S =+△△△，由此即可求解；（3）根据平行四边形的性质，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线232y ax x c =++经过点(4,0)B 、(0,6)C ，∴16606a c c ++=⎧⎨=⎩，解得，346a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴该抛物线的表达式为233642y x x =-++．（2）解：∵233642y x x =-++，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵点A 和点(4,0)B 关于直线1x =对称，∴(2,0)A -，∴4(2)6AB =--=，∵(0,6)C ，∴6OC =，∴11661822ABC S AB OC ==⨯⨯= △，如图2，过点P 作PE y 轴交BC 于点E ，设BC 所在直线的解析式为：6y kx =+，过点(4,0)B ，∴32k =-，即BC 所在直线的解析式为：362y x =-+，设233,642P t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则3,62E t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2233336634224PE t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∴PBC PBE PCE S S S =+△△△，∴2211133()()34622242B P P C PE x x x x t t t t ⎛⎫-+-=⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭，∴2233618(2)2422PBC ABC ABPC S S S t t t =+=-++=--+△△四边形，∵302-<，∴当2t =时，ABPC S 四边形有最大值，最大值为24，∴点P 的坐标为(2,6)．（3）解：抛物线的表达式为233642y x x =-++，点P 的横坐标为3，∴2333315693642424y x x =-++=-⨯+⨯+=，即153,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且(4,0)B ，①如图所示，四边形BPNM 为平行四边形，∴PN BM ∥，且PN BM =，∴点N 的纵坐标为154，233156424y x x =-++=，解得，11x =-，23x =，∴点N 的坐标为151,4骣琪-琪桫，∴3(1)4PN =--=，设点1(,0)M m ，∵PN BM =，∴144m -=，则10m =，即(0,0)M ；②如图所示，四边形BPMN 是平行四边形，过点P 作PE x ⊥轴于E ，过点N 作NF x ⊥轴于F ，∴PB MN ∥，PM BN ∥，,PB MN PM PN ==，∴BPM MNB ≌△△，∴154PE NF ==，且1BE FM ==,设2(,0)M m ，233,642N n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴233156424n n ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭，解得，11n =21n =当1n =时，21n m -=，即211m =，则2m =；当1n =+时，21n m -=，即211m +=，则2m =，∴点M 的坐标为()或；③如图所示，四边形BNPM 为平行四边形，∴,4PN MB PN MB ==∥，(4,0)B ，∴设3(,0)M m ，则344m -=，∴38m =，即点M 的坐标为(8,0)；综上所示，点M 的坐标为(0,0)或()或或(8,0)．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键．。
山师大附中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 (解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．下列角与α＝36°终边相同的角为（ ） A ．324°B ．﹣324°C ．336°D ．﹣336°2．sin300°+cos390°+tan （﹣135°）＝（ ） A ．√3−1B ．1C ．√3D ．√3+13．已知角α的终边与单位圆的交点为P(−45，35)，则2sin α+tan α＝（ ）A ．−920B ．920C ．−25D ．254．若sin α=−513，则α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）A ．125B ．−125C ．512D ．−5125．在区间[−π2，π2]上随机取一个数x ，则事件“0≤sin x ≤1”发生的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．236．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.37．已知两个力F 1→，F 2→的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1→的夹角为60°，那么F 1→的大小为（ ） A ．5√3NB ．5NC ．10ND ．5√2N8．如图，已知AB →=a →，AC →=b →，BC →=4BD →，CA →=3CE →，则DE →=（ ）A ．34b →−13a →B ．512b →−34a → C ．34a →−13b →D ．512a →−34b →9．△ABC 中，BA →=（√3，1），BC →=（0，1），则AB →与BC →的夹角大小为（ ） A ．2π3B ．π4C ．π3D ．π610．某次数学测试后从两个班中各随机的抽取10名学生的数学成绩，作出它们的茎叶图如图所示，已知甲班的中位数为a 1，标准差为s 1，乙班的中位数为a 2，标准差为s 2，则由茎叶图可得（ ）A ．a 1＜a 2，s 1＞s 2B ．a 1＜a 2，s 1＜s 2C ．a 1＞a 2，s 1＞s 2D ．a 1＞a 2，s 1＜s 2 11．设tan （π+α）＝2，则sin(α−π)+cos(π−α)sin(π+α)−cos(π+α)=（ ）A ．3B ．13C ．1D ．﹣112．设a ＝sin 4π5，b ＝cosπ10，c ＝tan 5π12，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．执行如图程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ．14．为了研究所挂物体的重量x 对弹簧长度y 的影响．某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表：物体重量（单位g ） 1 2 3 4 5 弹簧长度（单位cm ）1.53456.5已知y 对x 的回归直线方程为y ＝bx +a ，其中b ＝1.2，当挂物体质量为8g 时，弹簧的长度约为 ．15．向量a →=(−3，4)在向量b →=(1，0)方向上的投影为 ．16．将函数f(x)=2sin(4x +π3)的图象向右平移π6个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）的图象，则下列关于函数y ＝g （x ）的说法正确的序号是 ． （1）当x ∈[0，π2]时，函数有最小值−√3；（2）图象关于直线x =−π12对称；（3）图象关于点(−π12，0)对称． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．已知函数f （x ）＝3sin （x2+π6）+3，x ∈R ．（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（过程可以不写，只需画出图即可）（2）求函数的单调区间；（3）写出如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数f （x ）＝3sin （x2+π6）+3的图象．18．（1）化简：25(a →−b →)−13(2a →+4b →)+215(2a →+13b →)；（2）设两个非零向量e 1→与e 2→不共线．如果AB →=e 1→+e 2→，BC →=2e 1→+8e 2→，CD →=3(e 1→−e 2→)，求证：A 、B 、D 三点共线．19．已知向量a →=(1，2)，b →=(3，x)，c →=(2，y)，且a →∥b →，a →⊥c →．（1）求b →与c →；（2）若m →=2a →−b →，n →=a →+c →，求向量m →，n →的夹角的大小．20．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求ω，φ；（2）求函数f （x ）在区间[−π6，π4]上的最值．21．某高级中学今年高一年级招收“国际班”学生720人，学校为这些学生开辟了直升海外一流大学的绿色通道，为了逐步提高这些学生与国际教育接轨的能力，将这720人分为三个批次参加国际教育研修培训，在这三个批次的学生中男、女学生人数如表：第一批次第二批次第三批次女 mn72男180132k已知在这720名学生中随机抽取1名，抽到第一批次、第二批次中女学生的概率分别是0.25，0.15．（1）求m ，n ，k 的值；（2）为了检验研修的效果，现从三个批次中按分层抽样的方法抽取6名同学问卷调查，则三个批次被选取的人数分别是多少？（3）若从第（2）小问选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求“参加访谈的两名同学至少有一个人来自第一批次”的概率．22．已知点A 、B 、C 、D 的坐标分别为A （3，0）、B （0，3）、C （cos α，sin α），D （﹣2cos α，﹣t ），α∈（π2，3π2）．（1）若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；（2）若AC→•BC→=−1，求2sin 2α+2sinαcosα1+tanα的值．（3）若f(α)=OC→⋅OD→−t2+2在定义域α∈（π2，3π2）有最小值﹣1，求t的值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．下列角与α＝36°终边相同的角为（）A．324°B．﹣324°C．336°D．﹣336°【分析】直接利用终边相同角的表示方法求解即可解：与30°角终边相同的角α＝30°+k×360°，k∈Z，令k＝﹣1，可得﹣324，故选：B．【点评】本题考查终边相同角的集合的表示，是基础题．2．sin300°+cos390°+tan（﹣135°）＝（）A．√3−1 B．1 C．√3D．√3+1【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．解：sin300°+cos390°+tan（﹣135°）＝sin（﹣60°）+cos30°+tan（180°﹣135°）＝﹣sin60°+cos30°+tan45°=−√32+√32+1＝1，故选：B．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．3．已知角α的终边与单位圆的交点为P(−45，35)，则2sinα+tanα＝（）A．−920B．920C．−25D．25【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果．解：角α的终边与单位圆的交点为P(−45，35)，则cos α=−45，sin α=35，则2sin α+tan α=65+35−45=920，故选：B ．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 4．若sin α=−513，则α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）A ．125B ．−125C ．512D ．−512【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cos α，然后求解即可． 解：sin α=−513，则α为第四象限角，cos α=√1−sin 2α=1213，tan α=sinαcosα=−512．故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．5．在区间[−π2，π2]上随机取一个数x ，则事件“0≤sin x ≤1”发生的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【分析】利用三角函数的辅助角公式求出0≤sin x ≤1的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．解：在区间[−π2，π2]上，由0≤sin x ≤1得0≤x ≤π2，π2−0π2−(−π2)=12，故选：C ．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用三角函数求出不等式的等价条件是解决本题的关键．6．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C 52＝10种，其中全是女生的有C 32＝3种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设2名男生为a ，b ，3名女生为A ，B ，C ，则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，Bc ，AB ，AC ，BC 共10种，其中全是女生为AB ，AC ，BC 共3种，根据概率公式计算即可解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C 52＝10种，其中全是女生的有C 32＝3种，故选中的2人都是女同学的概率P =310=0.3，（适合文科生），设2名男生为a ，b ，3名女生为A ，B ，C ，则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，Bc ，AB ，AC ，BC 共10种，其中全是女生为AB ，AC ，BC 共3种，故选中的2人都是女同学的概率P =310=0.3，故选：D ．【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题． 7．已知两个力F 1→，F 2→的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1→的夹角为60°，那么F 1→的大小为（ ）A ．5√3NB ．5NC ．10ND ．5√2N【分析】由条件利用两个向量的加减法及其几何意义，求得|F 1→|的值． 解：两个力F 1→，F 2→的夹角为90°，它们的合力大小为10N ， 合力与F 1→的夹角为60°，那么F 1→的大小为|F 1→|＝10•cos60°＝5（N ），如图所示： 故选：B ．【点评】本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，属于基础题．8．如图，已知AB →=a →，AC →=b →，BC →=4BD →，CA →=3CE →，则DE →=（ ）A ．34b →−13a →B ．512b →−34a → C ．34a →−13b →D ．512a →−34b →【分析】根据向量的三角形法和加减的几何意义即可求出． 解：∵BC →=4BD →，∴DC →=34BC →=34（AC →−AB →）∴DE →=DC →+CE →=34（AC →−AB →）+13CA →=（34−13）AC →−34AB →=512b →−34a →，故选：B ．【点评】本题考查了向量的三角形法和向量的数乘运算，属于基础题9．△ABC 中，BA →=（√3，1），BC →=（0，1），则AB →与BC →的夹角大小为（ ） A ．2π3B ．π4C ．π3D ．π6【分析】根据平面向量的夹角公式求出BA →与BC →的夹角，再求出AB →与BC →的夹角大小． 解：△ABC 中，BA →=（√3，1），BC →=（0，1）， ∴BA →•BC →=√3×0+1×1＝1， |BA →|=√3+1=2，|BC →|＝1，∴cos ＜BA →，BC →＞=BA →⋅BC→|BA →|×|BC →|=12×1=12，∴BA →与BC →的夹角为π3，∴AB →与BC →的夹角为2π3．故选：A ．【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题．10．某次数学测试后从两个班中各随机的抽取10名学生的数学成绩，作出它们的茎叶图如图所示，已知甲班的中位数为a 1，标准差为s 1，乙班的中位数为a 2，标准差为s 2，则由茎叶图可得（ ）A．a1＜a2，s1＞s2B．a1＜a2，s1＜s2C．a1＞a2，s1＞s2D．a1＞a2，s1＜s2【分析】根据茎叶图，计算甲乙两班的中位数，比较a1、a2的大小；根据甲、乙两班的数据分布情况，得出标准差s1、s2的大小．解：根据茎叶图，得；甲班的中位数为a1=74+76=75，2乙班的中位数为a2=82+84=83，2∴a1＜a2；又甲班的数据分布在52～96之间，成单峰分布，较为分散些，∴标准差s1相对大些；乙班的数据分布在62～92之间，成绩也成单峰分布，较为集中些，∴标准差s2相对小些，∴s1＞s2．故选：A．【点评】本题考查了中位数、方差与标准差的应用问题，是基础题目．11．设tan （π+α）＝2，则sin(α−π)+cos(π−α)sin(π+α)−cos(π+α)=（ ）A ．3B ．13C ．1D ．﹣1【分析】由tan （π+α）＝tan α及正余弦诱导公式把要求代数式转化为tan α的代数式即可． 解：由tan （π+α）＝2，得tan α＝2， 则sin(α−π)+cos(π−α)sin(π+α)−cos(π+α)=−sinα−cosα−sinα−(−cosα)=sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=3．故选：A ．【点评】本题考查诱导公式及化归思想． 12．设a ＝sin4π5，b ＝cosπ10，c ＝tan5π12，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【分析】判断a ，b ，c 的范围，结合三角函数值的大小进行比较即可． 解：a ＝sin4π5=sin π5＜sinπ4=√22， b ＝cosπ10＞cos π4=√22，即a ＜b ＜1， c ＝tan5π12＞tan π4=1，即c ＞b ＞a ， 故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的大小比较，利用三角函数值的范围是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．执行如图程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 3 ．【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3＝0≤0，满足判断框条件，x＝2，n＝1，x2﹣4x+3＝﹣1≤0，满足判断框条件，x＝3，n＝2，x2﹣4x+3＝0≤0满足判断框条件，x＝4，n＝3，x2﹣4x+3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．14．为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响．某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表：物体重量（单位g）12345弹簧长度（单位cm） 1.5345 6.5已知y 对x 的回归直线方程为y ＝bx +a ，其中b ＝1.2，当挂物体质量为8g 时，弹簧的长度约为 10cm ．【分析】由题意可得样本点的中心，代入求回归方程，从而得到． 解：x =1+2+3+4+55=3，y =1.5+3+4+5+6.55=4；故4＝1.2×3+a ； 故a ＝0.4；故当x ＝8时，y ＝1.2×8+0.4＝10； 故答案为：10cm ．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用，属于基础题． 15．向量a →=(−3，4)在向量b →=(1，0)方向上的投影为 ﹣3 ．【分析】先由平面向量数量积的定义可知，向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|，再结合数量积的坐标运算即可得解．解：由平面向量数量积的定义可知，向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=−3×1+4×01=−3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16．将函数f(x)=2sin(4x +π3)的图象向右平移π6个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）的图象，则下列关于函数y ＝g （x ）的说法正确的序号是 （1）（2）．（1）当x∈[0，π2]时，函数有最小值−√3；（2）图象关于直线x=−π12对称；（3）图象关于点(−π12，0)对称．【分析】根据题意，求出函数g（x）的解析式，由由三角函数图象的变换及三角函数图象的性质依次分析3个说法，即可得答案．解：根据题意，函数f(x)=2sin(4x+π3)的图象向右平移π6个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝2sin（2x−π3），对于（1），当x∈[0，π2]时，2x−π3∈[−π3，2π3]，则当x∈[0，π2]时，函数有最小值−√3，（1）正确；对于（2），g（x）＝2sin（2x−π3），若2x−π3=kπ+π2，解可得x=kπ2+5π12，当k＝﹣1时，x=−π12，即该函数的图象关于直线x=−π12对称；（2）正确；对于（3），由（2）的结论，（3）错误；则正确的为（1）（2）；故答案为：（1）（2）．【点评】本题考查三角函数的图象变换，关键是求出g（x）的解析式，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数f（x）＝3sin（x2+π6）+3，x∈R．（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（过程可以不写，只需画出图即可）（2）求函数的单调区间；（3）写出如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数f （x ）＝3sin （x2+π6）+3的图象．【分析】（1）由x 2+π6=0，π2，π，3π2，2π得到相应的x 的值，列表描点，利用五点作图法作图即可；（2）利用正弦函数的单调性即可求解．（3）由函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换即可求解． 解：（1）f （x ）＝3sin （x2+π6）+3，x ∈R ，令x2+π6=0，π2，π，3π2，2π，得到相应的x 的值，列表如下：x−π32π3 5π38π311π3x 2+π6π2π3π22πy3 6 3 0 3描点，用光滑的曲线把各点连接，作图如下：，（2）由2kπ−π2≤x 2+π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得：4kπ−4π3≤x ≤4kπ+2π3，k ∈Z ，可得其增区间为[4k π−4π3，4k π+2π3]，k ∈Z ，同理，由2kπ+π2≤x 2+π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ，得：4kπ+2π3≤x ≤4kπ+8π3，k ∈Z ，可得其减区间为[4k π+2π3，4k π+8π3]，k ∈Z ．（3）y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin （x +π6），再将横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin （x2+π6），纵坐标伸长为原来的3倍，得到y ＝3sin （x2+π6），最后向上平移3个单位得到y ＝3sin（x 2+π6）+3的图象．【点评】本题主要考查了五点法作函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象，正弦函数的单调性以及函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．18．（1）化简：25(a →−b →)−13(2a →+4b →)+215(2a →+13b →)；（2）设两个非零向量e 1→与e 2→不共线．如果AB →=e 1→+e 2→，BC →=2e 1→+8e 2→，CD →=3(e 1→−e 2→)，求证：A 、B 、D 三点共线． 【分析】（1）进行向量的数乘运算即可；（2）根据BD →=BC →+CD →，进行向量的数乘运算即可得出BD →=5AB →，从而得出BD →，AB →共线，进而得出A ，B ，D 三点共线．解：（1）原式=(25−23+415)a →+(−25−43+2615)b →=0⋅a →+0⋅b →=0→；（2）证明：∵BD →=BC →+CD →=2e 1→+8e 2→+3(e 1→−e 2→)=5(e 1→+e 2→)=5AB→， ∴BD →∥AB →，又BD →，AB →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．【点评】本题考查了向量的数乘运算，向量加法的几何意义，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．19．已知向量a →=(1，2)，b →=(3，x)，c →=(2，y)，且a →∥b →，a →⊥c →．（1）求b →与c →；（2）若m →=2a →−b →，n →=a →+c →，求向量m →，n →的夹角的大小．【分析】（1）根据向量平行和向量垂直时的坐标关系即可求出x ＝6，y ＝﹣1，从而得出b →=(3，6)，c →=(2，−1)；（2）进行向量加法和数乘的坐标运算即可得出m →=(−1，−2)，n →=(3，1)，然后即可求出m →⋅n →、|m →|和|n →|的值，从而可求出cos ＜m →，n →＞的值，进而得出m →，n →的夹角．解：（1）由a →∥b →，得x ﹣2×3＝0，解得x ＝6，由a →⊥c →，得1×2+2y ＝0，解得y ＝﹣1， ∴b →=(3，6)，c →=(2，−1)；（2）因为m →=2a →−b →=(−1，−2)，n →=a →+c →=(3，1)，∴m →⋅n →=−1×3−2×1=−5，|m →|=√(−1)2+(−2)2=√5，|n →|=√32+12=√10，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=−5√5×√10=−√22，且0≤＜m →，n →＞≤π，∴向量m →，n →的夹角为3π4．【点评】本题考查了向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量加法和数乘的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．20．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示． （1）求ω，φ；（2）求函数f （x ）在区间[−π6，π4]上的最值．【分析】（1）根据函数图象求得T 、ω和φ的值；（2）写出f （x ）的解析式，再求x ∈[−π6，π4]时f （x ）的最大、最小值．解：（1）根据图象可知，T2=11π12−5π12=π2，解得T ＝π，所以ω=2πT =2，则f （x ）＝2sin （2x +φ），又f （5π12）＝2sin （5π6+φ）＝2，则5π6+φ＝2kπ+π2，k∈一、选择题，解得φ＝2kπ−π3，k∈Z，又−π2＜ϕ＜π2，所以φ=−π3；（2）由（1）知，f（x）＝2sin（2x−π3），由x∈[−π6，π4]，所以−2π3≤2x−π3≤π6，所以﹣1≤sin（2x−π3）≤12，所以﹣2≤2sin（2x−π3）≤1，所以函数f（x）的最大值为1，最小值为﹣2．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．21．某高级中学今年高一年级招收“国际班”学生720人，学校为这些学生开辟了直升海外一流大学的绿色通道，为了逐步提高这些学生与国际教育接轨的能力，将这720人分为三个批次参加国际教育研修培训，在这三个批次的学生中男、女学生人数如表：第一批次第二批次第三批次女m n72男180132k已知在这720名学生中随机抽取1名，抽到第一批次、第二批次中女学生的概率分别是0.25，0.15．（1）求m，n，k的值；（2）为了检验研修的效果，现从三个批次中按分层抽样的方法抽取6名同学问卷调查，则三个批次被选取的人数分别是多少？（3）若从第（2）小问选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求“参加访谈的两名同学至少有一个人来自第一批次”的概率．【分析】（1）由统计表能求出m，n，k的值．（2）由题意知，第一批次，第二批次，第三批次的人数分别是360，240，120，利用分层抽样的性质能求出第一批次，第二批次，第三批次被抽取的人数．（3）第一批次选取的三个学生设为A1，A2，A3，第二批次选取的学生为B1，B2，第三批次选取的学生为C，从这6名学员中随机选出两名学员，利用列举法能求出两名同学至少有一个来自第一批次的概率．解：（1）由题意m＝720×0.25＝180，n＝720×0.15＝108，k＝720﹣180﹣108﹣132﹣72＝48．（2）由题意知，第一批次，第二批次，第三批次的人数分别是360，240，120，360 720×6=3，240720×6=2，120720×6=1，所以第一批次，第二批次，第三批次被抽取的人数分别为3，2，1．（3）第一批次选取的三个学生设为A1，A2，A3，第二批次选取的学生为B1，B2，第三批次选取的学生为C，则从这6名学员中随机选出两名学员的所有基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C，共15个，“两名同学至少有一个来自第一批次”的事件包括A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1C ，A 2A 3，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 3B 1，A 3B 2，A 3C ，共12个，所以“两名同学至少有一个来自第一批次”的概率p =1215=45．【点评】本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22．已知点A 、B 、C 、D 的坐标分别为A （3，0）、B （0，3）、C （cos α，sin α），D （﹣2cos α，﹣t ），α∈（π2，3π2）．（1）若|AC →|＝|BC →|，求角α的值； （2）若AC →•BC →=−1，求2sin 2α+2sinαcosα1+tanα的值．（3）若f(α)=OC →⋅OD →−t 2+2在定义域α∈（π2，3π2）有最小值﹣1，求t 的值．【分析】（1）利用向量的坐标运算与向量的模|AC →|＝|BC →|，可求得sin α＝cos α，从而可求得角α的值；（2）由AC →•BC →=−1可求得sin α+cos α=23，从而可求得sin2α，而2sin 2α+2sinαcosα1+tanα可化简为2sin αcos α，从而可得答案；（3）依题意记y ＝f （α）＝﹣2cos 2α﹣t sin α﹣t 2+2，令x ＝sin α，结合题意可求得y ＝2x 2﹣tx ﹣t 2，x ∈（﹣1，1），利用二次函数的单调性与最值即可求得t 的值．解：（1）∵AC →=（cos α﹣3，sin α），BC →=（cos α，sin α﹣3）， ∴|AC →|=√(cosα−3)2+sin 2α=√10−6cosα， |BC →|=√(sinα−3)2+cos 2α=√10−6sinα⋯ 由|AC →|＝|BC →|得sin α＝cos α，又α∈（π2，3π2），∴α=5π4⋯（2）由AC →•BC →=−1得（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1． ∴sin α+cos α=23，①又2sin 2α+2sinαcosα1+tanα=2sinα(sinα+cosα)1+sinαcosα=2sin αcos α．由①式两边平方得1+2sin αcos α=49，∴2sin αcos α=−59．∴2sin 2α+2sinαcosα1+tanα=−59．（3）依题意记y ＝f （α）＝﹣2cos 2α﹣t sin α﹣t 2+2 ＝﹣2（1﹣sin 2α）﹣t sin α﹣t 2+2 ＝2sin 2α﹣t sin α﹣t 2 令x ＝sin α，∵α∈（π2，3π2），∴sin α∈（﹣1，1），∴y ＝2x 2﹣tx ﹣t 2，x ∈（﹣1，1） 其对称轴为x =t 4，∵y ＝2x 2﹣tx ﹣t 2在x ∈（﹣1，1）上存在最小值， ∴对称轴x =t 4∈（﹣1，1）， ∴t ∈（﹣4，4）当且仅当x=t4时，y＝2x2﹣tx﹣t2取最小值，为y min＝2×t216−t•t4−t2=−98t2＝﹣1，∴t＝±2√23【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查平面向量的坐标运算，考查二次函数性质的综合应用，属于难题．。
山东师范大学附属中学2019-2020学年高一期末考试数学试题Word版含解析
山东师范大学附属中学2019-2020学年期末考试高一数学试题一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知两条相交直线a，b，平面，则b与的位置关系是A. 平面B. 平面C. 平面D. b与平面相交，或平面2. 圆的圆心和半径分别是A. ；B. ；2C. ；1D. ；3. 已知，，是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则4. 一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长是A. 6cmB. 8cmC.D.5. 过点且与直线垂直的直线方程为A. B. C. D.6. 已知函数的图象不经过第二象限，则t的取值范围为A. B. C. D.7. 如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为A. 8：27B. 2：3C. 4：9D. 2：98. ，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.9. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B. C. D.10. 已知半圆与直线有两个不同交点，则实数k的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. ______．12. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的体积是______．13. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为______．14. 直线与直线平行，则a的值为______．15. 下列命题中所有正确命题的序号为______．若方程表示圆，那么实数；已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则的图象关于原点对称；在正方体中，E、F分别是AB和的中点，则直线CE、F、DA三线共点；幂函数的图象不可能经过第四象限．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16. 如图，正三棱锥的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．17. 已知关于x，y的方程C：．若方程C表示圆，求实数m的取值范围；若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m的值．18. 如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，面ABCD，E是AB的中点，F是PC 的中点．Ⅰ求证：面PABⅡ求证：面PDE．19. 已知的三个顶点，，．Ⅰ求BC边所在直线方程；Ⅱ边上中线AD的方程为，且，求m，n的值．20. 如图，矩形ABCD中，，，F分别在线段BC和AD上，，将矩形ABEF沿EF折起记折起后的矩形为MNEF，且平面平面ECDF．Ⅰ求证：平面MFD；Ⅱ若，求证：；Ⅲ求四面体NFEC体积的最大值．21. 已知二次函数，设方程的两个实数根为和．如果，设二次函数的对称轴为，求证：；如果，，求b的取值范围．山东师范大学附属中学2019-2020学年期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知两条相交直线a，b，平面，则b与的位置关系是A. 平面B. 平面C. 平面D. b与平面相交，或平面【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何关系确定直线与平面的位置关系即可.【详解】如图所示，正方体中，取平面为底面，直线为，直线为或，均为满足题中条件的直线与平面，直线为时，平面直线为时，b与平面相交，据此可知b与平面相交，或平面.本题选择D选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明，对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键2. 圆的圆心和半径分别是A. ；B. ；2C. ；1D. ；【答案】A【解析】【分析】将圆的方程整理为标准型，然后确定其圆心和半径即可.【详解】圆的标准方程为：，据此可知圆心坐标为，圆的半径为.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，圆的圆心与半径的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知，，是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】B【解析】试题分析：由平行的传递性，A．若，则正确；结合“墙角结构”知，“B．若，则”不正确。
2024年山东省济南市山东师范大学附属中学集团中考模拟联考数学试题
2024年山东省济南市山东师范大学附属中学集团中考模拟联考数学试题一、单选题1．2-的相反数是（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．122．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．为完善城市轨道交通建设，提升城市公共交通服务水平，济南市城市轨道交通2020~2025年第二期建设规划地铁总里程约为159600米．把数字“159600”用科学记数法表示为（ ） A ．61.59610⨯ B ．415.9610⨯ C ．51.59610⨯ D ．60.159610⨯ 4．如图，平行线AB ，CD 被直线EF 所截，FG 平分EFD ∠，若78EFD ∠=︒，则EG F ∠的度数是（ ）A ．39︒B ．51︒C ．78︒D ．102︒5．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．0a b +>B ．0ab >C ．()0a b -+<D ．b a <7．“二十四节气”是中华农耕文明与天文学智慧的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”三张邮票中的两张送给好朋友小亮．小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是（ ）．A ．16B ．29C ．13D ．238．函数y x b =-+与()0k y k x=≠在同一坐标系中的图象如图所示，则函数y bx k =-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知锐角AOB ∠，按如下步骤作图：（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作»PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交»PQ于点M ，N ；③连接OM ，MN ，ND ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A ．COM COD ∠=∠B ．若OM MN =，则20AOB ∠=︒C ．MN CD ∥ D ．2COD MND ∠=∠10．已知二次函数222y x tx t t =-++，将其图象在直线1x =左侧部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G ．在图形G 上任取一点M ，点M 的纵坐标y 的取值满足y m ≥或y n <，其中m n >．令s m n =-，则s 的取值范围是（ ）A ．0s ≤B ．02s ≤≤C ．2s ≤D ．2s ≥二、填空题11．在实数1,-，14中最小的实数是．12．分解因式：ax 2-9a =．13．不等式组1+213x x ⎨<-⎪⎩的解集是． 14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =45°，则cos ∠OCB 的值是.15．如图，在ABC V 中，90BAC ∠>︒，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，E ．作直线DE ，交BC 于点M ．分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 长为半径画弧，两弧交于点F ，G ．作直线FG ，交BC 于点N ．连接AM ，AN ．若BAC α∠=，则MAN ∠=．16．如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若:1:2BF CE =，EF =ABCD 的边长是．三、解答题17．计算：(1)化简：222816(1)24a a a a-+-÷--；(2)解不等式组：1213x x +⎨>-⎪⎩，并写出它的最大整数解． 18．如图，在ABCD Y 中，E ，F 为对角线AC 上的两点，且AE CF =，连接DE ，BF ．求证：DE BF ∥．19．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．某高校为了了解学生对“奥运会”的关注度，设置了A （非常关注）、B （比较关注）、C （很少关注）、D （没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图；(2)求A 所在扇形的圆心角度数；(3)学校将在A 选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．20．在学校开展“美化校园”主题系列活动中，七年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿植A 和绿植B 共46盆，且绿植A 盆数不少于绿植B 盆数的2倍，已知绿植A 每盆9元，绿植B 每盆6元．(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿植A 和绿植B ，问可购买绿植A 和绿植B 各多少盆？(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 21．如图，AB 为O e 的直径，DA 和O e 相交于点F ，AC 平分DAB ∠，点C 在O e 上，且CD DA ⊥，AC 交BF 于点P ．(1)求证：CD 是O e 的切线；(2)求证：2AC PC BC ⋅=；(3)已知23BC FP DC =⋅，求AF AB的值． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，直线2y x =+交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，与双曲线()0k y k x=≠在一，三象限分别交于C ，D 两点，12AB BC =，连接CO ，DO ．(1)求k 的值；(2)求CDO V 的面积．23．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD 的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C 处测得水库右岸D 处某标志物DE 顶端的仰角为α．在C 处一架无人飞机以北偏西90β︒-方向飞行A 处，无人机沿水平线AF 方向继续飞行30米至B 处，测得正前方水库右岸D 处的俯角为30︒．线段AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点M 、C 、D 在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM ；（2）求标志物DE 的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：3sin 5α=，4cos 5α=，3tan 4α=，sin βcos β=tan 2β= 1.732）24．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min ，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km /h ．两车之间的距离()km y 与慢车行驶的时间()h x 的函数图像如图所示．(1)请解释图中点A 的实际意义；(2)求出图中线段AB 所表示的函数表达式；(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 25．已知抛物线经过A （－1，0）、B （0、3）、 C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF ＝∠BDF ：(3)是否存在点M 使△MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长 26．某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：(1)发现问题：如图1，在等腰ABC V 中，AB AC =，点M 是边BC 上任意一点，连接AM ，以AM 为腰作等腰AMN V ，使A M A N =，MAN BAC ∠=∠，连接CN ．求证：ACN ABM ∠=∠． (2)类比探究：如图2，在等腰ABC V 中，30B ∠=︒，AB BC =，8AC =，点M 是边BC 上任意一点，以AM 为腰作等腰AMN V ，使A M M N =，AMN B ∠=∠．在点M 运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．(3)拓展应用：如图3，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，以DE 为边作正方形DEFG ，H 是正方形DEFG 的中心，连接CH ．若正方形DEFG 的边长为8，CH =C DH △的面积．。
山东师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
高二下学期阶段性质量检测·数学试题第Ⅰ卷一、单选题（共8小题.在四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z AB =( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可求出A B ，从而得出()Z A B ⋂．【详解】解：因为{}5217B x x =<< 所以517|22B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭；又{}18A x x =-<<∴5|82A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭；所以()3AB ∈，()4A B ∈，()5A B ∈，()6A B ∈，()7A B ∈()5Z A B ∴⋂=．故选：D ．【点睛】考查描述法的定义，交集的运算，理解()Z M 的定义，属于基础题．2.已知a ，b 都是实数，那么“1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“22a b >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由“（12）a ＜（12）b 得a ＞b ，当a ＝1，b ＝﹣1时，满足a ＞b ，但a 2＞b 2不成立，即充分性不成立，当a ＝﹣1．b ＝0时，满足a 2＞b 2，但“（12）a ＜（12）b 不成立，即必要性不成立， 则“（12）a ＜（12）b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件， 故选D ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 3.已知x 与y 之间的一组数据，则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过点（ ）A. ()2,2B. ()1,2C. ()1.5,4D. ()1.5,0【答案】C 【解析】 【分析】计算出x 和y ，即可得出回归直线必过的点(),x y 的坐标. 【详解】由题意可得0123 1.54x +++==，135744y +++==，因此，回归直线y bx a =+必过点()1.5,4，故选C.【点睛】本题考查回归直线必过点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点(),x y ”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题.4.下列函数中与函数2xy =的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（ ） A. 3log y x =B. 31y x =-C. 1y x=-D.21y x =-【答案】A 【解析】【分析】2xy =为偶函数且在(),0-∞上单调递减，根据偶函数排除B 和C ；根据单调性排除D .【详解】由22x x -=可知函数为偶函数，且当0x <时，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数单调递减 A 选项：33log log x x -=，为偶函数；当0x >时，3log y x =，此时函数单调递增，根据偶函数对称性可知，函数在(),0-∞上单调递减，符合题意；B 选项：()3311x x --=--，可知函数为非奇非偶函数，不符合题意；C 选项：11x x-=-，可知函数为奇函数，不符合题意； D 选项：21y x =-在(),0-∞上单调递增，不符合题意.本题正确选项：A【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判定，属于基础题.5.设()929012913x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为( ) A. 94 B. 93 C. 92 D. 92-【答案】A 【解析】 【分析】由()913x -的展开式的通项为()193rrr T C x +=-，可得10a <，30a <，50a <，70a <，90a <，则01290123456789a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+-，再令1x =-即可得解；【详解】解：因为()929012913x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，()913x -的展开式的通项为()193rr r T C x +=-，所以10a <，30a <，50a <，70a <，90a <，所以01290123456789a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+-令1x =-得901234567894a a a a a a a a a a -+-+-+-+-=所以901294a a a a +++⋅⋅⋅+= 故选：A【点睛】本题考查赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.6.已知(),0,ln ,0,x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()()g x f x a =+有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 1a > B. 1a <- C. 1a <-或0a = D. 1a ≥【答案】B 【解析】 【分析】依题意画出函数()f x 的图象，将函数的零点转化为函数()y f x =与y a =-的交点，数形结合即可得到不等式，从而解得；【详解】解：因为(),0,ln ,0,xe xf x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩画出函数图象如下所示：函数()()g x f x a =+有两个零点，即函数()y f x =与y a =-有两个交点， 所以1a -> 所以1a <- 故选：B【点睛】本题考查函数方程的综合应用，数形结合思想的应用，属于中档题.7.已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11a b+的最小值是( )A. 2B.C. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a b a b a b a b a b+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4． 故选：C【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．8.已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）()()2f x f x -=；（2）()()22f x f x +=-；（3）[]12,1,3x x ∈时，()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦.则()()()2018,2019,2020f f f 大小关系A. ()()()201820192020f f f >>B. ()()()202020182019f f f >>C. ()()()202020182019f f f =>D. ()()()201820192020f f f >=【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得函数 f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，周期为4，且在[1，3]上为减函数，进而可比较f （2018），f （2019），f （2020）的大小． 【详解】∵函数 f （x ）满足：①f （2﹣x ）＝f （x ），故函数的图象关于直线x ＝1对称； ②f （x +4）＝f （x ），故函数的周期为4；③x 1，x 2∈[1，3]时，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0．故函数在[1，3]上为减函数； 故f （2018）＝f （2）， f （2019）＝f （3）， f （2020）＝f （0）＝f （2），故f （2020）＝f （2018）＞f （2019）， 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是函数的对称性，函数的周期性，函数的单调性，从已知的条件中分析出函数的性质，是解答的关键，属于中档题．二、多选题（共4小题）9.设集合{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =<，若实数()a M N ∈⋂，则a 的值可以是( ) A. 1 B. 2-C. 0.5D. 1.5【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出集合M 、N ，再根据交集的定义求出M N ⋂，从而判断可得； 【详解】解：因为{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =< 所以{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =<< 所以{}|01MN x x =<≤所以()1M N ∈，()0.5MN ∈故选：AC【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题.10.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 调查样本里面倾向选择生育二胎的人群中，男性人数少于女性人数D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【答案】AB【解析】【分析】由比例图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中的男性人数多于女性人数，即可得出结论．【详解】解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为80%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，∴是否倾向选择生育二胎与性别有关，故B正确；⨯=人，在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为80%，人数为6080%48⨯=人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为8060%48∴倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同，故C错误；⨯-=人，在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为70(180%)14⨯-=人，城镇户籍人数为70(140%)42∴倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D错误．故选：AB ．【点睛】本题考查柱形图的应用，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，属于基础题．11.已知lg x a x =，lg y b y =，lg y c x =，lg x d y =，且1x ≠，1y ≠，则（ ） A. x ∃，y R +∈，使得a b c d <<< B. x ∀，y R +∈，都有c d =C. x ∃，y 且x y ≠，使得a b c d ===D. a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数的定义可得2lg lg a x =，2lg lg b y =，lg lg lg c x y =，lg lg lg d x y =，即可判断各选项.【详解】lg x a x =，lg yb y=，lg y c x =，lg xd y=，且1x ≠，1y ≠，则2lg lg a x =，2lg lg b y =，lg lg lg c x y =，lg lg lg d x y =，则x ∀，y R +∈，都有c d =，故B 正确，A ，C 不正确，对于D ：假设a ，b ，c ，d 中最多有一个大于1，若10x >，10y >，则1a >，1b >，1c >，1d >，则假设不成立，故则a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1，D 正确.故选：BD.【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.12.数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是( )A. 对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个B. ()3f x x =可以是某个圆的“优美函数”C. 正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”D. 函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用“优美函数”的定义判断选项A ，B ，C 正确，函数()y f x =的图象是中心对称图形，则函数()y f x =是“优美函数”，但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D 错误．【详解】解：对于A ：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分， 所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A 正确； 对于B ：因为函数3()f x x =图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数3()f x x =是该圆的“优美函数”， 故选项B 正确；对于C ：将圆的圆心放在正弦函数sin y x =的对称中心上， 则正弦函数sin y x =是该圆的“优美函数”，故选项C 正确； 对于D ：函数()y f x =的图象是中心对称图形， 则函数()y f x =不一定是“优美函数”，如1()f x x=； 但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形， 如图所示：，所以函数()y f x =的图象是中心对称图形是函数()y f x =是“优美函数” 的不充分不必要条件，故选项D 错误， 故选：ABC ．【点睛】本题主要考查了函数的新定义，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题13.某超市春节大酬宾，购物满100元可参加一次抽奖活动，规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的人口处，小球在自由落下的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，顾客相应获得袋子里的奖品.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为12.若活动当天小明在该超市购物消费108元，按照活动规则，他可参加一次抽奖，则小明获得A 袋中的奖品的概率为_____.【答案】34【解析】 【分析】小球落入A 袋中的概率为()()1P A P B =-，由此利用对立事件概率计算公式能求出小球落入A 袋中的概率.【详解】∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为12， 小球落入A 袋中的概率为：()()31311224P A P B ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：34. 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查利用对立事件进行概率计算，属于基础题.14.已知函数||2()1x f x e x =+-，则使得不等式()(4)f a f a <-成立的实数a 的取值范围是______.【答案】(),2-∞ 【解析】 【分析】函数||2()1x f x e x =+-为偶数且在[)0,+∞时为增函数,则()(4)f a f a <-可化为()(4)f a f a <-，从而可解出答案.【详解】函数||2()1x f x e x =+-有||2()1()x f x e x f x -=+-=所以函数()f x 为偶函数,且当0x ≥时，2()1x f x e x =+-在[)0,+∞时为增函数.则()(4)f a f a <-成立，即()(4)f a f a <-成立 所以4a a <-，即224a a <-，即816a < 所以2a <.故答案为：(),2-∞【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和利用函数的奇偶性、单调性解不等式,属于中档题. 15.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个． 【答案】12 【解析】当相同的数字不是1时，有13C 个；当相同的数字是1时，共有13C 13C 个，由分类加法计数原理知共有“好数”13C ＋13C 13C ＝12个．16.已知函数()2ln pf x px x x=--，若()f x 在定义域内为单调递增函数，则实数p 的最小值为_____；若0p >，在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()002ef x x >成立，则实数p 的取值范围为_____.【答案】 (1). 1 (2). 24e ,e 1⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭【解析】 【分析】先求出导函数()f x '，要使()f x 在定义域()0,∞+内为单调递增函数，只需()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即221x p x ≥+在()0,∞+上恒成立，再利用基本不等式求出2211xx ≤+，所以1p ≥，从而实数p 的最小值为1，由题意可知不等式()2ef x x>在[]1,e 上有解，设()()2e 2e 2ln p F x f x px x x x x=-=---，利用导数得到()()()2max e 1e 40ep F x F -==->⎡⎤⎣⎦，即可解得实数p 的取值范围.【详解】∵函数()2ln pf x px x x=--，()0,x ∈+∞， ∴()22222p px x pf x p x x x-+'=+-=， 要使()f x 在定义域()0,∞+内为单调递增函数，只需()0f x '≥在()0,∞+上恒成立， 即220px x p -+≥在()0,∞+上恒成立，∴221xp x ≥+在()0,∞+上恒成立，∵222111x x x x =≤=++，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立， ∴1p ≥，∴实数p 的最小值为1， 由题意可知，不等式()2ef x x>在[]1,e 上有解， 设()()2e 2e 2ln p F x f x px x x x x=-=---， ∴()()22222e 22e 0px p x p F x p x x x x++-'=+-+=>， ∴函数()F x 在[]1,e 上单调递增， ∴()()()2max e 1e 40ep F x F -==->⎡⎤⎣⎦，解得：24ee 1p >-， ∴实数p 的取值范围为：24e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭， 故答案为：1，24e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式能成立问题，属于中档题.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()12f x mx mx =--. （Ⅰ）当1m =时,解不等式()0f x >;（Ⅱ）若不等式()0f x <的解集为R ,求实数m 的取值范围. 【答案】（I ）{3x x <-或4}x >；（II ）480m -<≤.【解析】 【分析】（Ⅰ） 当1m =时,不等式为2120x x -->,结合二次函数的特点解出不等式即可；（Ⅱ）分两种情况求解，当0m =时, 120-<恒成立,适合题意；②当0m ≠时,应满足00m <⎧⎨∆<⎩求解即可.【详解】（Ⅰ）当1m =时,不等式为2120x x -->,()()340,x x +->∴解集为{3x x <-或4}x >（Ⅱ）若不等式 ()0f x <的解集为R ,则①当0m =时, 120-<恒成立,适合题意; ②当0m ≠时,应满足0,0m <⎧⎨∆<⎩即20480m m m <⎧⎨+<⎩解得480m -<<由上可知, 480m -<≤【点睛】这个题目考查了不含参的二次不等式的求法，以及二次不等式在R 上恒成立的应用，在整个实数集上恒成立，即满足判别式小于0，开口方向满足条件即可，若在小区间上恒成立，则可转化为轴动区间定的问题.18.已知函数()32f x x bx cx d =+++的图像过点()0,2P ，且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()6g x f x x =-的极大值. 【答案】（1）()32332f x x x x =--+；（2）7.【解析】 【分析】（1）由图象过点(0,2)P 求出d 的值，再代入求出导数，再由切线方程求出(1)f -、(1)f '-，分别代入求出b 和c 的值；（2）由（1）知，()32392g x x x x =--+，求出函数的导函数，再令()0g x '=，求出x ，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极大值； 【详解】解：（1）()f x 的图象经过()0,2P ，2d ∴=，()322f x x bx cx ∴=+++，232fxx bx c .点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=，()3612f b c ∴=-+'-=①，还可以得到，()11f -=，即点()1,1M -满足()f x 方程， 得到121b c -+-+=②， 由①、②联立得3b c ==-，故所求的解析式是()32332f x x x x =--+.（2）由（1）知，()32323326392g x x x x x x x x =--+-=--+，()()()()22369323313g x x x x x x x '=--=--=+-，令()0g x '=，得1x =-或3x =， 当(),1x ∈-∞-时，()0g x '>， 当()1,3x ∈-时，()0g x '<， 当()3,x ∈+∞时，()0g x '>，即函数()g x 在(),1-∞-和()3,+∞上单调递增，在()1,3-上单调递减， 所以函数()g x 的极大值为()17g -=.【点睛】本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的性质：单调性和极值等，属于中档题.19.已知在)23nx的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求n 的值；（2）求展开式中6x 的项； （3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）5n =；（2）6390T x =；（3）2635405T x=【解析】 【分析】（1）代入1x =求得各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n ，根据二者相差992可得方程，解方程求得n ；（2）根据展开式通项公式，令x 的幂指数等于6，求得r ，进而可得所求项；（3）由展开式通项可知系数通项为53r rC ，利用115511553333r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩解得r ，进而求得系数最大的项. 【详解】（1）)23nx展开式各项系数的和为：)2314nn ⨯=；二项式系数的和为：2n又各项系数的和比二项式系数的和大99242992n n ∴-=，即()2229920n n --=，解得232n =5n ∴=（2）)523x展开式的通项公式为：()10452315533r rrrr rr TCx C x+-+==令10463r+=，解得2r展开式中6x 的项为：226635390T C x x ==（3）设第1r +项的系数为1r t +，则153r rr t C +=由121r r r r t t t t +++≥⎧⎨≥⎩，即115511553333r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩ 解得：7922r ≤≤，所以4r = 展开式系数最大项为：26264433553405T C x x ==【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解、特定项系数的求解以及最大项的求解问题，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常规题型. 20.手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市，随机调查了200名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的2×2列联表，已知从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为710. （I ）根据已知条件完成2×2列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？ 2×2列联表：（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为10的样本，再从中随机抽取3人，求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（I）有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”（Ⅱ）所求随机变量X的概率分布为期望95 EX=【解析】【分析】（Ⅰ）根据抽样比例求得对应数据，填写2×2列联表，根据表中数据计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）根据分层抽样方法计算对应人数，得出随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【详解】（Ⅰ）从使用手机支付的人群中随意抽取1人，抽到青年的概率为7 10，∴使用手机支付的人群中青年的人数为710⨯120＝84，则使用手机支付的人群中的中老年的人数为120﹣84＝36，由此填写2×2列联表如下；根据表中数据，计算K2()22008448363236001168412080203⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯17.734＞7.879，∴P（K2≥7.879）＝0.005，由此判断有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”；（Ⅱ）根据分层抽样方法，从这200名顾客中抽取10人，抽到“使用手机支付”的人数为10120200⨯=6，“不使用手机支付”的人数为4，设随机抽取的3人中“使用手机支付”的人数为随机变量X，则X的可能取值分别为0，1，2，3；计算P（X＝0）34310130CC==，P（X＝1）2146310310C CC⋅==，P（X＝2）124631012 C CC⋅==，P（X＝3）3631016CC==，∴X 的分布列为： X 0123P 130 310 12 16X 的数学期望为EX ＝0130⨯+1310⨯+212⨯+31965⨯=． 【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题． 21.某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流OC 的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB ，设曲线段OAB 为函数2(0)y ax bx c a =++≠，[0,6]x ∈（单位：千米）的图象，且曲线段的顶点为()4,4A ；观光带的后一部分为线段BC ，如图所示.（1）求曲线段OABC 对应的函数(),[0,10]y f x x =∈的解析式；（2）若计划在河流OC 和观光带OABC 之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ ，绿化带由线段,,MQ QP PN 构成，其中点P 在线段BC 上．当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长？【答案】(1) [](]212,0,64()315,6,1042x x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩.(2)当OM 长为1千米时，绿化带的总长度最长max 616y =. 【解析】 分析】（1）由题意首先求得a ,b ,c 的值，然后分段确定函数的解析式即可；（2）设(02)OM t t =<≤，由题意得到关于t 的函数，结合二次函数的性质确定当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长即可.【详解】（1）因为曲线段OAB 过点O ，且最高点为()4,4A ，0164442c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩. 所以，当[]0,6x ∈时，2124y x x =-+， 因为后一部分为线段BC ，()()6,3,10,0B C ， 当[]6,10x ∈时，31542y x =-+， 综上，()[](]212,0,64315,6,1042x x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩. （2）设(02)OM t t =<≤，则22112,244MQ t t PN t t =-+=-+， 由213152442PN t t x =-+=-+，得2181033x t t =-+，所以点21810,033N t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以，绿化带的总长度：22211111122101043363y MQ QP PN t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=++=-++-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以当1t =时616max y =. 【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念. 22.设函数()1ln xf x x aea -=+-，a R ∈（1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；（2）当()0,x ∈+∞时，()10f x +>恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 在()0,∞+是增函数；（2）{}1a a ≤.【解析】【分析】（1）当1a =时，()1ln 1x f x x e -=+-，求出函数的导函数，令()1x g x e x -=-，利用导数说明()g x 的单调性，从而得到()g x 的最小值，即()0g x ≥，所以()0f x '≥，即可得出()f x 的单调性；（2）设()()()()1ln 10x h x f x x aea x -=+=++->求出导函数，令()()1x p x e a x =-+ 求导得到()x p x e a '=-，对参数a 分类讨论，从而得到参数的取值范围；【详解】解：（1）当1a =时，()1ln 1x f x x e -=+-所以()()11110x x x e x f x e x x xe----'=-=>. 令()1x g x e x -=-，()11x g x e -'=-，由()0g x '=，可得1x =.当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴当1x =时，()()min 10g x g ==，即()0g x ≥，()0f x '∴≥，则()f x 在()0,∞+是增函数；（2）解：设()()()()1ln 10x h x f x x ae a x -=+=++->，所以()()()1111x x x e a x h x ae x x e--+'=-=++. 令()()1x p x e a x =-+，则()x p x e a '=-.①当1a ≤时，()010p x e a a '>-=-≥， ()p x ∴在()0,∞+上单调递增，()()010p x p a ∴>=-≥.()0h x '∴>，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，结论成立；②当1a >时，由()0p x '=，可得ln x a =，当()0,ln x a ∈时，()0p x '<，()p x 单调递减，又()010p a =-<， ()0,ln x a ∴∈时，()0p x <恒成立，即()0h x '<.()0,ln x a ∴∈时，()h x 单调递减，此时()()00h x h <=，结论不成立. 综上，{}1a a ≤即为所求.【点睛】本题考查了导函数的应用，构造函数，通过二次求导得出导函数的最值从而判断原函数的单调性，属于中档题．。
山东省2019-2020年中考数学试卷
山东省2019-2020年中考数学试卷本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分） 1．5的相反数是A ．5B ．－5C ．51D ．51- 2.下列各运算中，计算正确的是A.x 2y÷y=x 2B.(2x 2)3=6x 5C.(-π)0=0D.a 6÷a 3=a 2 3．如右图，已知AB ∥CD ，与∠1是同位角的角是A ．∠2B ．∠3C ．∠4D ．∠54．化简(2x-3y)-3(4x-2y)结果为A.-10x-3yB.-10x+3yC.10x-9yD.10x+9y5．如右图，△ABC 与△DEF 关于y 轴对称，已知A （－4，6），B （－6，2），E （2，1），则点D 的坐标为A ．（4，6）B ．（－4，6）C ．（－2，1）D ．（6，2）6．一元二次方程022=--x x 的解是A. 11-=x ，22=xB. 11=x ，22-=xC. 11-=x ，22-=xD. 11=x ，22=x5题图3题图7．不等式组⎩⎨⎧≥-<-048213x x 的解集在数轴上表示为A. B. C. D. 8．已知⊙1O 的半径是5cm,⊙2O 的半径是3cm,21O O ＝2cm,则⊙1O 和⊙2O 的位置关系是A ．外离B ．外切C ．内切D ．相交9．关于二次函数y=-(x+2)2-3，下列说法正确的是A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=2C.当x ＝－2时，有最大值－3D.抛物线的顶点坐标是(2,-3)10．右图是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A,B 在围成的正方体 的距离是 A ．0B ．1C ．2D ．311．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，矩形ABCD 内的一个动点P 落在阴影部分的概率是 A ．103B ．31 C ．41 D ．5112．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 、BC 是⊙O 的弦，PC 是⊙O 的 切线，切点为C ，若∠ACP =55°，那么∠BAC 等于A.35°B.45°C.55°D.65°13．如图，在△ABC 中，AC=BC ，有一动点P 从点A 出发，沿A→C→B→A 匀速运动．则CP 的长度s 与时间t 之间的函数关系用图象描述大致是A. B. C. D.14．已知⊙O 的半径r=3，设圆心O 到一条直线的距离为d ，圆上到这条直线的距离为2的点的 个数为m ，给出下列命题：10题图11题图12题图①若d ＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d ＜5，则m=2；④若d=1，则m=3；⑤若d ＜1，则m=4．其中正确命题的个数是A.5B.4C.3D.215．定义新运算：a ⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（-5）=．则函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是A.B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共75分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 16. 因式分解:329x xy -= .17. 据统计，2013年我国用义务教育经费支持了13940000名农民工随迁子女在城市接受义务教育，这个数字用科学记数法表示为 . 18. 如图，将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，则S 扇形= cm.19.如图，点D(0,3)，O(0,0)，C(4,0)，B 在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦．则sin ∠OBD= ． 20.分式方程xx 321=-的解是. 21.如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2015次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P 2015的 位置，则P 2015的横坐标x 2015=18题图 19题图 20题图三、解答题（共7小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22．（本小题满分7分）（1）化简：()()()2122x x x +-+-（2）计算：+1)21(--+（﹣5）0﹣cos30°．23.（本小题满分7分） （1）如图，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，AE=CF ，∠B=∠D ，AD ∥BC ．求证：AD=BC ．（2）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，求EB′的长24.(本小题满分8分)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤.妈妈：“今天买这两样菜 共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）.25．(本小题满分8分)大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字﹣1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽取一张，将其正面的数字作为p 的值，然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为q 值，两次结果记为（p ，q ）．（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p ，q ）所有可能出现的结果； （2）求满足关于x 的方程x2+px+q=0没有实数解的概率．２３题 １小题图２３题 ２小题图26．(本小题满分9分）如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数xmy（x ＞0）的图象交于点P （４，2），与x 轴交于点A （﹣4，0），与y 轴交于点C ，PB ⊥x 轴于点B ． （1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．27．（本小题满分9分）在一个边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 、M 分别是线段AC ，CD 上的动点，连结DE 并延长交正方形的边于点F ，过点M 作MN ⊥DF 于H ，交AD 于N ． （1）如图1，当点M 与点C 重合，求证：DF=MN ；（2）如图2，假设点M 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿CD 向点D 运动，点E 同时从点A 出发，速度沿AC 向点C 运动，运动时间为t （t ＞0）；①当点F 是边AB 中点时，求CM 的长度．②在点E ，M 的运动过程中，除正方形的边长外，图中是否还存在始终相等的线段，若存在，请找出来，并加以证明；若不存在，请说明理由。
2020年山东大学附中中考数学复习试卷(三)(Word 含解析)
2020年山东大学附中中考数学复习试卷一、选择题1．在实数﹣3，，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣3B．0C．﹣1D ．2．如图是下面哪个图形的俯视图（）A ．B ．C ．D ．3．提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（）A．1.1×106B．1.1×107C．1.1×108D．1.1×1094．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5．下列计算正确的是（）A ．B．（﹣3）2＝6C．3a4﹣2a2＝a2D．（﹣a3）2＝a56．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°7．计算的结果是（）A．B．﹣C．﹣D．8．某组委会对参加“古典诗词背诵”大赛的若干同学进行了年龄调查，并制成了如图所示的频数分布直方图，则依据图中信息得到这组数据的中位数和众数分别是（）A．15，13B．15，15C．8，15D．14，169．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度（）A．6+2B．6C．10﹣D．810．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB 上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（2，）D．（，）12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（﹣1，m），与x 轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），给出以下结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，则t的取值范围是0＜t≤m．其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)13．因式分解：x2﹣9y2＝．14．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是．15．如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是．16．定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为．17．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为千米．18．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP ＝BD；③BN+DQ＝NQ；④为定值．其中一定成立的是．三、解答题（本大题共9小题，共78分）19．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+sin60°+（﹣）﹣2．20．解不等式组：，并写出它的所有负整数解．21．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．22．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，求甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tan C＝，求直径AB的长．24．为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．学生选修课程统计表课程人数所占百分比声乐14b%舞蹈816%书法1632%摄影a24%合计m100%根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝，b＝．（2）求出a的值并补全条形统计图．（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的一动点，当|DE﹣PE|最大时，求点E的坐标．26．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．27．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.)1．在实数﹣3，，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣3B．0C．﹣1D．解：∵﹣3＜﹣1＜0＜，∴在实数﹣3，，0，﹣1中，最小的数是﹣3．故选：A．2．如图是下面哪个图形的俯视图（）A．B．C．D．解：A．球的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意；B．圆柱的俯视图为一个圆（不含圆心），不合题意；C．圆台的俯视图为两个同心圆，不合题意；D．圆锥的俯视图为一个圆（含圆心），符合题意；故选：D．3．提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（）A．1.1×106B．1.1×107C．1.1×108D．1.1×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将11000000用科学记数法表示为1.1×107．故选：B．4．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、看起来像轴对称图形但不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．5．下列计算正确的是（）A．B．（﹣3）2＝6C．3a4﹣2a2＝a2D．（﹣a3）2＝a5【分析】根据实数的运算法则以及整式的运算法则即可判断解：（A）原式＝2﹣＝，故A正确，（B）原式＝9，故B错误；（C）3a4与2a2不是同类项，故C错误；（D）原式＝a6，故D错误；故选：A．6．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°【分析】根据平行线的性质解答即可．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠1，∵∠1＝∠D+∠E，∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故选：B．7．计算的结果是（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式＝＝，故选：B．8．某组委会对参加“古典诗词背诵”大赛的若干同学进行了年龄调查，并制成了如图所示的频数分布直方图，则依据图中信息得到这组数据的中位数和众数分别是（）A．15，13B．15，15C．8，15D．14，16【分析】根据频数分布直方图中的数据可以求得一共有多少人，从而可以得到这组数的中位数和众数，本题得以解决．解：由频数分布直方图可知，12岁的有4人，13岁的有2人，14岁的4人，15岁的8人，16岁的6人，一共有：4+2+4+8+6＝24（人），则这组数的中位数是15岁，众数是15岁，故选：B．9．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度（）A．6+2B．6C．10﹣D．8【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB＝AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．在直角△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝x米；∵∠PBE＝60°∴∠BPE＝30°在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，∵AB＝AE﹣BE＝6米，则x﹣x＝6，解得：x＝9+3．则BE＝（3+3）米．在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2（米）．答：电线杆PQ的高度是6+2米．故选：A．10．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【分析】设与EF交于H，连接AH，根据旋转的性质得到AH＝AD＝BC＝4，根据直角三角形的性质得到∠AHE＝∠GAH＝30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．解：如图，设与EF交于H，连接AH，∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，∴AH＝AD＝BC＝4，∴∠AHE＝∠GAH＝30°，∵AE＝AB＝2，∴HE＝2，∴阴影部分的面积＝S扇形AHG+S△AHE＝+×2×2＝+2，故选：D．11．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB 上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（2，）D．（，）【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．解：过点B′作B′D⊥OC∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4∴∠B′CD＝30°，B′D＝2根据勾股定理得DC＝2∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）故选：C．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为（﹣1，m），与x 轴的一个交点的坐标为（﹣3，0），给出以下结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，则t的取值范围是0＜t≤m．其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①函数的对称轴在y轴右侧，故ab＞0，而c＞0，故abc＞0正确，符合题意；②由图象可以看出，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0正确，符合题意；③若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，函数的对称轴为：x＝﹣1，点C比点B离对称轴近，故则y1＜y2正确，符合题意；④当﹣3＜x＜0时方程ax2+bx+c＝t有实数根，即y＝ax2+bx+c与y＝t有交点，故则t的取值范围是0＜t≤m正确，符合题意．故选：D．二.填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)13．因式分解：x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．【分析】直接利用平方差公式分解即可．解：x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．14．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是．【分析】让向上一面的数字是大于4的情况数除以总情况数6即为所求的概率．解：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中，大于4为5，6，则向上一面的数字是大于4的概率为＝．故答案为：．15．如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是正八边形．【分析】先求出正多边形的一个外角，利用外角和求出该正多边形的边数．解：∵正多边形的一个内角是135°，∴它的每一个外角为45°．又因为多边形的外角和恒为360°，360°÷45°＝8即该正多边形为正8边形．故答案为：正八边形．16．定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为x＝1．【分析】根据新定义列分式方程可得结论．解：2*（x+3）＝1*（2x），＝，4x＝x+3，x＝1，经检验：x＝1是原方程的解，故答案为：x＝1．17．小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为4千米．【分析】由图象，通过点（1，8）和点（2，24）直线CD的解析式，求点C的横坐标，即可求出点A的坐标，从而可以求出直线AB的函数解析式，小帅到达乙地的时间为2小时，则将x＝2代入直线AB解析式即可知此时小泽的位置，从而可以求出当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离．解：由图象可得，点（1，8）和点（2，24）在直线CD上，设直线CD的解析式为：y1＝kx+b代入得，，解得，∴y1＝16x﹣8∴当y＝0时，0＝16x﹣8，解得，x＝∴点C（，0）点A（，8）∵点A（，8），点B（2.5，24）在直线AB上，∴设直线AB的解析式为：y2＝kx+b代入得，解得∴y2＝8x+4∴当x＝2时，y2＝8×2+4＝20，∴此时小泽距离乙地的距离为：24﹣20＝4千米故答案为：418．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP ＝BD；③BN+DQ＝NQ；④为定值．其中一定成立的是①②③④．【分析】由题意可知A，B，N，M四点共圆，进而可得出∠ANM＝∠NAM＝45°，由等角对等边知，AM＝MN，故①正确；由同角的余角相等知，∠HAM＝∠PMN，所以Rt△AHM≌Rt△MPN，即可得出结论，故②正确；先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出△AMS≌△NMW，因为AS＝NW，所以AB+BN＝SB+BW＝2BW，而BW：BM＝1：，得出═，故④正确．因为∠BAN+∠QAD＝∠NAQ＝45°，在∠NAM作AU＝AB＝AD，且使∠BAN＝∠NAU，∠DAQ＝∠QAU，所以△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN＝∠UAQ＝90°，BN＝NU，DQ＝UQ，即可得出结论，故③正确；解：如图1所示：作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，∵∠AMN＝∠ABC＝90°，∴A，B，N，M四点共圆，∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，∴∠ANM＝∠NAM＝45°，∴AM＝MN，故①正确．由同角的余角相等知，∠HAM＝∠PMN，在△AHM和△MPN中，，∴△AHM≌△MPN（AAS），∴MP＝AH＝AC＝BD，故②正确，∵∠BAN+∠QAD＝∠NAQ＝45°，∴△ADQ绕点A顺时针旋转90度至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，则∠RAQ＝90°，△ABR≌△ADQ，∴AR＝AQ，∠RAN＝90°﹣45°＝45°＝∠NAM，在△△AQN和△ANR中，，∴△AQN≌△ANR（SAS），∴NR＝NQ，则BN＝NU，DQ＝UQ，∴点U在NQ上，有BN+DQ＝QU+UN＝NQ，故③正确．如图2所示，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，∴四边形SMWB是正方形，∴MS＝MW＝BS＝BW，∠SMW＝90°，∴∠AMS＝∠NMW，在△AMS和△NMW中，，∴△AMS≌△NMW（ASA），∴AS＝NW，∴AB+BN＝SB+BW＝2BW，∵BW：BM＝1：，∴＝＝，故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共9小题，共78分）19．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+sin60°+（﹣）﹣2．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝﹣1++16＝+15．20．解不等式组：，并写出它的所有负整数解．【分析】分别解不等式组的①和②，得到不等式组的解集为：﹣3≤x＜2，再求负整数解即可．解：化简不等式组，得，由③得，x≥﹣3，由④得，x＜2，∴原不等式组的解集为：﹣3≤x＜2，∴不等式组的负整数解有﹣3，﹣2，﹣1．21．如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．【分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BD＝CE，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴AD＝EC，∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，∴△ADF≌△CEF（ASA）．22．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，求甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？【分析】设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解；解：设乙种购进x件，则甲种购进1.5x件，根据题意，得：+30＝，解得：x＝40，经检验x＝40是所列分式方程的解，1.5x＝60，答：甲种购进60件，乙种购进40件．23．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tan C＝，求直径AB的长．【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论；（2）连接AD，解直角三角形即可得到结论．解：（1）∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）连接AD，在Rt△ADH中，∵∠DAC＝∠C，∴tan∠DAC＝tan C＝，∵DH＝9，∴AD＝12，在Rt△BDA中，∵tan B＝tan C＝，∴sin B＝，∴AB＝20．24．为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．学生选修课程统计表课程人数所占百分比声乐14b%舞蹈816%书法1632%摄影a24%合计m100%根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝50，b＝28．（2）求出a的值并补全条形统计图．（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．【分析】（1）由舞蹈人数及其所占百分比可得m的值，声乐人数除以总人数即可求出b 的值；（2）总人数乘以摄影对应百分比求出其人数，从而补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）m＝8÷16%＝50，b%＝×100%＝28%，即b＝28，故答案为：50、28；（2）a＝50×24%＝12，补全图形如下：（3）估计选修“声乐”课程的学生有1500×28%＝420（人）．（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为＝．25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；（3）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的一动点，当|DE﹣PE|最大时，求点E的坐标．【分析】（1）由AC＝BC，且OC⊥AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P与A坐标代入一次函数解析式求出k与b 的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式；（2）观察图象即可求解；（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，根据菱形的特点得出D点的坐标，进而求解．解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，∴P（4，2），B（4，0），将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴一次函数解析式为y＝x+1，将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝；（2）观察图象可知：＜kx+b时x的取值范围0＜x＜4；（3）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如下图所示，连接DC交PB于F，∵四边形BCPD为菱形，∴CF＝DF＝4，∴CD＝8，将x＝8代入反比例函数y＝得y＝1，∴D点的坐标为（8，1）∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）；延长DP交y轴于点E，则点E为所求，则|DE﹣PE|＝PD为最大，设直线PD的表达式为：y＝sx+t，将点P、D的坐标代入上式得：，解得：，故直线PD的表达式为：y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，故点E（0，3）．26．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．【分析】（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝30°，BC＝BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面积；（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．解：（1）如图1，依题意得：△A1C1B≌△ACB．∴BC1＝BC，∠A1C1B＝∠C＝30°．∴∠BC1C＝∠C＝30°．∴∠CC1A1＝60°；（2）如图2，由（1）知：△A1C1B≌△ACB．∴A1B＝AB，BC1＝BC，∠A1BC1＝∠ABC．∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△A1BA∽△C1BC∴∵，∴；（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．解题过程如下：①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin30°＝6×＝3，当点P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝3﹣2＝1；②当点P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝6+2＝8．综上所述，线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1．27．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，根据点A，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2）①由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC＝90°及∠PCM＝90°两种情况考虑：（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D，易证△AOC∽△COD，利用相似三角形的性质可求出点D的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法可求出直线PC的解析式，联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P 的坐标．综上，此问得解；②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，M的坐标，结合点C的坐标可得出点B′的坐标，根据点M，B，B′的坐标，利用待定系数法可分别求出直线BM，B′M和BB′的解析式，利用平行线的性质可求出直线l的解析式．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣2）；当y＝0时，﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，0）．将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2．（2）①∵PM⊥x轴，∴∠PMC≠90°，∴分两种情况考虑，如图1所示．（i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴，∴点P的纵坐标为﹣2．当y＝﹣2时，x2+x﹣2＝﹣2，解得：x1＝﹣2，x2＝0，∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D．∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°，∴∠OAC＝∠OCD．又∵∠AOC＝∠COD＝90°，∴△AOC∽△COD，∴＝，即＝，∴OD＝1，∴点D的坐标为（1，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，点P的坐标为（6，10）．综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）．②当y＝0时，x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴点B的坐标为（2，0）．∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称，∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），∴点M的坐标为（m，﹣m﹣2）．利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y＝﹣x+，直线B′M的解析式为y＝x﹣，直线BB′的解析式为y＝x﹣2．分三种情况考虑，如图2所示：当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y＝﹣x﹣2；当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y＝x﹣2；当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（m，﹣m﹣2）时，直线l的解析式为y＝x﹣m﹣2．综上所述：直线l的解析式为y＝﹣x﹣2，y＝x﹣2或y＝x﹣m﹣2．。
{3套试卷汇总}2019-2020山东某大学附属中学中考数学升学考模拟试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A 港和B 港相距多少千米. 设A 港和B 港相距x 千米. 根据题意，可列出的方程是（ ）.A ．32824x x =-B ．32824x x=+ C ．2232626x x +-=+ D ．2232626x x +-=- 【答案】A【解析】通过题意先计算顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时”，得出等量关系，据此列出方程即可． 【详解】解：设A 港和B 港相距x 千米，可得方程：32824x x=- 故选：A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．2．如图，在正五边形ABCDE 中，连接BE ，则∠ABE 的度数为( )A ．30°B ．36°C ．54°D ．72°【答案】B【解析】在等腰三角形△ABE 中，求出∠A 的度数即可解决问题． 【详解】解：在正五边形ABCDE 中，∠A=15×（5-2）×180=108°又知△ABE 是等腰三角形， ∴AB=AE ， ∴∠ABE=12（180°-108°）=36°． 故选B ．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．3．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3D．x=3【答案】C【解析】试题分析：∵分式13x有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．考点：分式有意义的条件．4．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A．13＝3+10 B．25＝9+16 C．36＝15+21 D．49＝18+31【答案】C【解析】本题考查探究、归纳的数学思想方法．题中明确指出：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，两个三角形数分别表示为12n（n+1）和12（n+1）（n+2），所以由正方形数可以推得n的值，然后求得三角形数的值．【详解】∵A中13不是“正方形数”；选项B、D中等式右侧并不是两个相邻“三角形数”之和．故选：C．【点睛】此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．6．已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点，且AB=3cm，AC=32cm，则∠BAC的度数为（）A．15°B．75°或15°C．105°或15°D．75°或105°【答案】C【解析】解：如图1．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ACD=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABD中，AD=6，AC=32，∠CAD=45°，则∠BAC=105°；如图2，．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ABC=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABC中，AD=6，AC=32，∠CAD=45°，则∠BAC=15°．故选C．点睛：本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．7．如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 【答案】D【解析】试题分析：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=3，而S△OAB =|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣1．故选D．考点：反比例函数系数k的几何意义．8．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( )A．1 2B．13C．14D．16【答案】D【解析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有12种等情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有2种情况，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是212＝16；故选D．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．92(2)2a a-=-，那么（）A．2x<B．2x≤C．2x>D．2x≥【答案】B2(0)0(0)(0)a aa a aa a＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩，由此可知2-a≥0，解得a≤2.故选B点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质2(0)0(0)(0)a aa a aa a＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩可求解.10．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸【答案】C【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.详解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，若点A的坐标为()1,3，则sin1∠=________.3【解析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．【详解】如图，由勾股定理，得：OA=22OB AB +=1．sin ∠1=32AB OA =，故答案为32．12．如图所示，点A 1、A 2、A 3在x 轴上，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3，分别过点A 1、A 2、A 3作y 轴的平行线，与反比例函数y=kx（x ＞0）的图象分别交于点B 1、B 2、B 3，分别过点B 1、B 2、B 3作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点C 1、C 2、C 3，连接OB 1、OB 2、OB 3，若图中三个阴影部分的面积之和为499，则k= ．【答案】1．【解析】先根据反比例函数比例系数k 的几何意义得到112233OB C OB C OB C 11S SS|k |k 22∆====,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到用含k 的代数式表示3个阴影部分的面积之和，然后根据三个阴影部分的面积之和为4918，列出方程，解方程即可求出k 的值． 【详解】解：根据题意可知，112233OB C OB C OB C 11S S S |k |k 22∆====11223112233,//////OA A A A A A B A B A B y ==轴，设图中阴影部分的面积从左向右依次为123,,S S S ， 则112s k =， 11223OA A A A A ==， 222333:1:4,:1:9OB C OB C S SS S∴==2311,818S k S k ∴==11149281818k k k ∴++= 解得：k=2． 故答案为1．考点：反比例函数综合题．13．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．【答案】1【解析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【详解】解：设利润为w元，则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣1）2+25，∵10≤x≤20，∴当x＝1时，二次函数有最大值25，故答案是：1．【点睛】本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14．如图，P（m，m）是反比例函数9yx=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．【答案】933+．【解析】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵点P（m，m）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上的一个点，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△PAB是等边三角形，∴∠PAH=60°.∴根据锐角三角函数，得3.∴3∴S △POB =12OB•PH=92+. 15．某中学数学教研组有25名教师，将他们分成三组，在38~45（岁）组内有8名教师，那么这个小组的频率是_______。
2019-2020学年山东师范大学附属中学高一5月学业水平检修数学试题 PDF
, A , b 2 ,求 6
18.（满分 12 分）如图所示,在直角梯形 ABCD 中, AD DC ,
BC 2CD 2AD 2 ,将该直角梯形绕 BC 边旋转一周得到一个几何体．
3
（1）画出这个几何体的图形,并说出其中的简单几何体及有关的结构特征； （2）求该几何体的表面积和体积．
sin Asin B
3
若 b 1，3 ,则 c 的最小值为
A． 2
B． 3
C． 2 2
D． 2 3
二.多项选择题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低
为备用滤芯（其中 b M ，a b 14 ）,计算这100 台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用
的平均数,并以此作为决策依据,如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14 个,
则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？
4
2019 级高一下学期数学学科学业水平检测题 2020.5 答案
C． a b c a c b c
D．若 e 是单位向量,则 a e a 1
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
三.填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.设样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的均值和方差分别为 3.2 和1.1,若 yi 3xi 6 ( i 1,2,…,
6 = b2 + c2 − 2bc cos = (b + c)2 − 3bc ，--------------10
山师附中数学试卷含答案
山东师大附中数 学 试 卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，有且仅有一个是正确的）1．已知集合}9,7,6,4,3,2,1{=A ,集合}9,8,4,2,1{=B ，则=B A ( ) A ．}9,4,2,1{ B ．}8,4,2{ C ．}8,2,1{ D ．}9,2,1{ 2． 函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是 （ ） A ． 0,2,3 B ．30≤≤y C ．}3,2,0{ D ．]3,0[ 3． 函数xx y 1+=的定义域是 （ ） A ．)1[∞+-，B ．)0,1[-C ．),1(+∞-D ．}0,1|{≠-≥x x x 且 4．下列函数中,是偶函数,且在区间()0,1上为增函数的是（ ）A ．x y =B ．x y -=3C ．xy 1= D ．42+-=x y 5． 已知函数⎩⎨⎧≥+-<+=1,31,1)(x x x x x f ，则)]25([f f 等于( )A ．21B ．52C ．29D ．236． 函数x y a =在[]0,1的最大值与最小值的和为3，则a =（ ）A ．12B ．2C ．4D ．147． 函数x x g x 52)(+=的零点0x 所在的一个区间是 ( )A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)0,1(-D ．)1,2(--8．设函数c x x x f ++=4)(2，则下列关系中正确的是 （ ） A ．)2()0()1(-<<f f f B ．)2()0()1(->>f f fC ．)2()1()0(->>f f fD ．)1()2()0(f f f <-<9．已知函数))(()(b x a x x f --=（其中b a >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是 （ ）10．对于函数11)(+-=x x x f ,设)]([)(2x f f x f =,)]([)(23x f f x f =,…, )]([)(1x f f x f n n =+,)2*,(≥∈n N n 且.令集合}R ,)(|{2007∈==x x x f x M ,则集合M为 （ ） A ．空集 B ．实数集C ．单元素集D ．二元素集第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 11． 已知集合},3,1{2m A -=,}4,3{=B ,若A B ⊆,则=m ________．12． 计算:21019)41()21(-+- ＝ ．13． 若函数()f x 为奇函数,当0x ≥时,2()f x x x =+,则(3)f -= ． 14．已知2)1]([)(2++=x x f ,其中][x 表示不超过x 的最大整数,则=-)5.2(f ． 15．奇函数()f x 满足:①()f x 在(0,)+∞内单调递增;②0)1(=f .则不等式()0x f x ⋅<的解集为 ．三、解答题(本大题共6个小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本题满分8分）已知集合}62|{≤≤=x x A ,集合}2873|{x x x B -≥-=． （1）求)(R B A C ;（2）若}|{a x x C ≤=，且C A ⊆，求实数a 的取值范围．17．（本题满分8分）已知二次函数()x f y =在2=x 处取得最小值4-,且()x f y = 的图象经过原点． （1）求()x f 的解析式;（2）求函数)(x f y =在]4,1[-上的最大值和最小值．18．（本题满分10分） 已知函数3||2)(2--=x x x f ． （1）用分段函数的形式表示该函数; （2）在所给的坐标系中画出该函数的简图; （3）写出该函数的单调区间(不要求证明) ．19．（本题满分10分） 已知函数()2af x x x=-，且3)1(=f ． （1）求实数a 的值; （2）判断该函数的奇偶性;（3）判断函数()f x 在),1(+∞上的单调性，并证明．20．（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在),0(+∞上的单调递增函数，满足),()()(y f x f xy f += 且1)3(=f ．（1）求()11 , 3f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值;（2）若满足()()82f x f x +-≤,求x 的取值范围．21．（本题满分12分）设函数()()()101x x f x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 的奇函数． （1）求k 的值;（2）若()10f <,试判断)(x f y =的单调性，并求使不等式()()240f x tx f x ++-<恒成立的t 的取值范围; （3）若()312f =,)(2)(22x f a a xg x x -+=-,求()g x 在[)1,+∞上的最小值．山东师大附中参考答案11.2± 12.0 13.12- 14. 6 15.)1,0()0,1( - 三、解答题16. 解:(1)B ＝{x |3x －7≥8－2x }＝{x |x ≥3}，……………… 1分 A ＝{x |2≤x ≤6}，A ∩B ＝{x |3≤x ≤6}, ……………… 3分 ∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x >6}．……………… 5分 (3)∵A ⊆C ，∴a 的取值范围是6≥a .……………… 8分17.解：（1）2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧--≥=⎨+-<⎩.……………… 2分（2）图象略 .……………… 4分（3）单调增区间为[1,0]-和[1,)+∞，单调减区间为(,1]-∞-和[0,1].………8分 18.解:(1)由题意设4)2()(2--=x a x f ,又图象过原点, ∴f (0)＝0, ∴1=a ∴4)2()(2--=x x f ……………… 4分(2)该函数对称轴为2=x ,∴)(x f 在]2,1[-单调递减,]4,2[单调递增……… 6分 ∴4)2()(min -==f x f ……………… 8分 又0)4(,5)1(==-f f ,∴5)1()(max =-=f x f ……………… 10分19. 解：（1）1a =- ……………… 2分（2）由（1）得函数1()2f x x x=+，定义域为{|0}x x ≠关于原点对称……4分1()2()f x x x -=-+-112(2)()x x f x x x =--=-+=-∴函数1()2f x x x =+为奇函数. ……………… 6分（3）函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，证明如下：任取12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <， 即210x x x ∆=->，则y ∆=12212121212121121111()()2(2)2()()2()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+-+=-+-=-+ 2112211212()(21)1()(2)x x x x x x x x x x --=--= ……………… 8分12,(1,)x x ∈+∞且12x x < 2112120,210,0x x x x x x ∴->->> 21()()0f x f x ∴->，即0y ∆>∴)(x f 在(1,)+∞上是增函数 ……… 10分 20. 解：（1）令1x y ==有：()()()111f f f =+，得()10f = ………2分 令13,3x y ==有：()()1133f f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()31f =，得113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭……4分 （2）∵()31f =，∴()()()2339f f f =+=， ………………6分 所以()()82f x f x +-≤得()()89f x x f -≤⎡⎤⎣⎦， ………………8分又()f x 是定义在()0,+∞上的单调增函数，所以有()89080x x x x -≤⎧⎪>⎨⎪->⎩………10分所以89x <≤ ----------12分21. 解: (1) ∵)(x f 是定义域为R 的奇函数，∴ f (0)＝0， ∴ 1－（k －1）＝0，∴ k ＝2， ………… 2分 （2）),10()(≠>-=-a a a a x f x x 且10,1,0,01,0)1(<<∴≠><-∴<a a a a a f 且又…………… 3分 x a 单减，x a -单增，故f (x )在R 上单减 ，故不等式化为()()24,f x tx f x +<- 224,1)40x tx x x t x ∴+>-+-+>即（恒成立∴ 016)1(2<--=∆t ，解得 35t -<< ……………… 7分2313(3)(1),,2320,22f a a a a =∴-=--=即12()2a a ∴==-或舍去……… 8分 2)22(2)22()22(222)(222+---=--+=----x x x x x x x x x g令x x t --=22 ∵ x x t --=22在),1[+∞上为递增的 ∴),23[+∞∈t … 10分∴设1)1(22)(22+-=+-=t t t t h , ),23[+∞∈t∴ 45)23()(min ==h t h .即)(x g 在),1[+∞上的最小值为45. …………12分。
2019-2020年山东中考数学试卷(含答案)
2019-2020山东中考数学试卷一.选择题（本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错,不选或选出的答案超过一个，均记零分）一、选择题：（本大题共20题，每小题3分，共60分.在每小题给出的代号为ABCD 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．3--的值为 A. 3B. －3C.31D. －31 2．下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是AB CD3．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×105-cm ，3102⨯个这样的细胞排成的细胞链的长是A ．cm 210- B ．cm 110- C ．cm 310-D ．cm 410-4．将右图所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是A B C D5．自上海世博会开幕以来,中国馆以其独特的造型吸引了世人的目光.据预测,在会展期间，参观中国馆的人次数估计可达到14 900 000，此数用科学记数法表示是 A.61049.1⨯ B.810149.0⨯ C.7109.14⨯ D.71049.1⨯A ．22a a a =⋅B ．33)(ab ab =C ．632)(a a = D ．5210a a a=÷7．如图，将一副三角板按图中的方式叠放，则角α等于A ．75B ．60C ．45D ．30 8．如果33-=-b a ，那么代数式b a 35+-的值是 A ．0 B ．2 C ．5 D ．89的结果是 A ．3 B ．3- C ．3± D ．910．右图是由五个完全相同的小正方体组合成的一个立体图形，则它的俯视图．．．是11．不等式组32>2(4)x xx +⎧⎨--⎩≥1的解集在数轴上表示正确的是12．方程(5)x x x -=的解是 A ．0x =B ．0x =或5x =C ．6x =D ．0x =或6x =13．如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的 开口a 的值应是A ．cm BC cmD ．1cm14．从1－9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是A ．92B ．94 C ．95 D ．32 15．已知反比例函数y =x2，则下列点中在这个反比例函数图象的上的是A ．（－2，1）B ．（1，－2）C ．（－2，－2）D ．（1，2）16．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是A ．AB CD = B ．AD BC = C ．AB BC =D ．AC BD =17．在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩(单位：分)分别是：7，10，9，8，7，9，9，8，则这组数据的众数是A ．7B ．8C ．9D ．1018．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相同，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是A B C D 19．右图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图.那么关于 该班40名同学一周参加体育锻炼时间 的说法错误．．的是 A ．极差是3 B ．中位数为8 C ．众数是8D ．锻炼时间超过8小时的有21人20．如右图是夜晚小亮从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B ，他的影长y 随他与点A 之间的距 离x 的变化而变化，那么表示y 与x 之间的函数关系的图像大致为二、填空题（每小题3分，满分12分请将答案直接填在题中横线上） 21．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为2x =，点A ，B均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标 为（0，3），则点B 的坐标为 ．22．如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是CmA 异于点C 、A 的一点，若∠ABO =°32,则∠ADC 的度数是 .23．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ．24．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x 个，五彩绳y 个，根据题意，可列出的方程组应为 ． 三、解答题（本大题共5个小题）25．（本题满分8分）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.26．（本题满分10分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形BFCE是菱形？27．（本题满分10分）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．28．（本题满分10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N.（1）当AD＝CD时，求证DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？29．（本题满分10分）我市是世界有机蔬菜基地，数10种蔬菜在国际市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市时，某经销商按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克某种蔬菜存放入冷库中．据预测，该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计340元，而且这种蔬菜在冷库中最多保存110天，同时，平均每天将会有6千克的蔬菜损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）经销商想获得利润22500元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）（3）经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？参考答案一、选择题：1－5 BCBCD 6－10 CADAD 11－15 BDABD 16－20 DCDBA 二、填空题：21.（4,3） 22.°29 23.5 24.20,4372x y x y +=⎧⎨+=⎩三、解答题25.解：设原来每天加固x 米，根据题意，得926004800600=-+xx ……………………………………………………4分 去分母，得 1200+4200=18x （或18x =5400）解得 300x =检验：当300x =时，20x ≠（或分母不等于0）．∴300x =是原方程的解．答：该地驻军原来每天加固300米．………………………………………8分 26.解：（1）证明：∵D 是BC 的中点，∴BD =CD∵CE ∥BF ，∴∠DBF =∠DCE又∵∠BDF =∠CDE ，∴△BDF ≌△CDE ………………………………3分（2）当△ABC 是等腰三角形，即AB ＝AC 时，四边形BFCE 是菱形………4分证明：∵△CDE ≌△BDF ，∴DE =D F∵BD =CD ，∴四边形BFCE 是平行四边形…………………………………7分 在△ABC 中，∵AB =AC ，BD =CD ，∴AD ⊥BC ，即EF ⊥BC ∴四边形BFCE 是菱形……………………………………………………10分27.解：（1）设单独租用35座客车需x 辆，由题意得：3555(1)45x x =--解得：5x =∴35355175x =⨯=（人）答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．………4分 （2）设租35座客车y 辆，则租55座客车（4y -）辆，由题意得：3555(4)175,320400(4)1500y y y y +-⎧⎨+-⎩≥≤………………………………………7分 解这个不等式组，得11144y ≤≤2．∵y 取正整数，∴y = 2. ∴4－y = 4－2 = 2.∴320×2＋400×2 = 1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．………………10分28.（1）证明：∵AD =CD ∴∠DAC =∠DCA∴∠BDC =2∠DAC又∵DE 是∠BDC 的平分线 ∴∠DAC =∠BDE∴DE ∥AC ………………………………………………………………3分（2）解：分两种情况：①若△BME ∽△CNE ，必有∠MBE =∠NCE∵DE 平分∠BDC ∴DE ⊥BC ，BE =EC 又∠ACB ＝90° ∴DE ∥AC∴BE BD BC AB =即152BD AB ==∴AD=5…………………………………………………………………7分 ②若△BME ∽△ENC ，必有∠EBM =∠CEN 此时NE ∥MC∵CD ⊥NE ，∴CD ⊥AB∴8cos 6 4.810BC AD AC A AC AB =⋅=⋅=⨯=∴当AD ＝5或AD ＝4.8时，以B ，M ，E 为顶点的三角形与以C ，E ，N 为顶点的三角形相似…………………………………………………………………………10分 29.解：（1）由题意得y 与x 之间的函数关系式为y ＝()()100.520006x x +-＝2394020000x x -++（1≤x ≤110）……………………………………3分（2）由题意得：2394020000x x -++－10×2000－340x =22500解方程得：1x =50；2x =150（不合题意，舍去）经销商想获得利润2250元需将这批蔬菜存放50天后出售. ………………6分 （3）设最大利润为W ，由题意得W =2394020000x x -++－10 ×2000－340x23(100)30000x =--+ ∴当100x =时，30000W 最大＝100天＜110天∴存放100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元．………………10分。
【精选试卷】山东师范大学附属中学中考数学填空题专项练习经典题(含答案解析)
一、填空题1．如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．在第n个图形中有______个三角形（用含n的式子表示）2．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用2,a a次；甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运180吨；乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物乙车共运270吨，现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为___________元.(按每吨运费20元计算)3．已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是_____．4．计算：82-=_______________．5．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果AB2BC3=，那么tan∠DCF的值是____．6．农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：种子数量10020050010002000A出芽种子数961654919841965发芽率0.960.830.980.980.98B出芽种子数961924869771946发芽率0.960.960.970.980.97下面有三个推断：①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A 种子出芽的概率是0.98；③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率可能会高于B 种子．其中合理的是__________（只填序号）．7．如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为_____．8．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角∠CBD ＝60°； （2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度AB ＝1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为_____米．（精确到0.1米，3≈1.73）．9．已知反比例函数的图象经过点（m ，6）和（﹣2，3），则m 的值为________． 10．用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为_______．11．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是_____．12．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．13．如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22ky x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．14．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=2x的图像上，则菱形的面积为_______．15．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是．16．如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC=_____________．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为_____．18．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.19．如图：已知AB=10，点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=2； P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连结EF ，设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是________．20．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2. 21．如图，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒，顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x=>与()50y x x-=<的图象上，则tan BAO ∠的值为_____．22．如图，在四边形ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB ＝3， BC ＝2，tanA ＝43，则CD ＝_____．23．若a b ＝2，则222a b a ab--的值为________．24．已知10a b b -+-=，则1a +=__． 25．若一个数的平方等于5，则这个数等于_____．26．在函数3y x=-的图象上有三个点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（12，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为_____．27．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 ．28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y=kx（k ＞0，x ＞0）的图象经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 的中点E ，若菱形OACD 的边长为3，则k 的值为_____．29．如图，一张三角形纸片ABC ，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ．现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于 cm ．30．如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿 N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x ，△MNR 的面积为 y ，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，则矩形 MNPQ 的面积是________．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、填空题1．【解析】【分析】分别数出图①图②图③中的三角形的个数可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3如图③中三角形的个数为9=4×3-3按照这个规律即可求出第n各图形中有多少三角形【详解】分2．【解析】【分析】根据甲乙两车单独运这批货物分别用2a次a次能运完甲的效率应该为乙的效率应该为那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍根据若甲丙两车合运相同次数运完这批货物时甲车共运了180吨；若乙丙两车合3．4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5再根据中位数的定义进行求解即可得【详解】∵数据6x3351的众数是3和5∴x=5则这组数据为133556∴这组数据的中位数为=4故答案为：4【点睛】本题主4．【解析】【分析】先把化简为2再合并同类二次根式即可得解【详解】2-=故答案为【点睛】本题考查了二次根式的运算正确对二次根式进行化简是关键5．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠D＝90°∵将矩形ABCD沿CE折叠点B恰好落在边AD的F处∴CF＝BC∵∴∴设CD＝2xCF＝3x∴∴tan∠DCF ＝故答案为：【点6．②③【解析】分析：根据随机事件发生的频率与概率的关系进行分析解答即可详解：（1）由表中的数据可知当实验种子数量为100时两种种子的发芽率虽然都是96但结合后续实验数据可知此时的发芽率并不稳定故不能确7．6【解析】试题解析：∵DE是BC边上的垂直平分线∴BE=CE∵△EDC的周长为24∴ED+DC+EC=24①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC8．1【解析】试题分析：在Rt△CBD中知道了斜边求60°角的对边可以用正弦值进行解答试题解析：在Rt△CBD中DC=BC•sin60°=70×≈6055（米）∵AB=15∴CE=6055+15≈6219．-1【解析】试题分析：根据待定系数法可由（-23）代入y=可得k=-6然后可得反比例函数的解析式为y=-代入点（m6）可得m=-1故答案为：-110．2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长列出方程即可解决问题【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R由题意：2πR=解得R=2故答案为211．【解析】【分析】列表得出所有等可能结果从中找到积为大于-4小于2的结果数根据概率公式计算可得【详解】列表如下：-2-112-22-2-4-12-1-21-2-12．2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12可得；同理EC=2BE即EC=可得又等量代换可知S△ADF－S△BEF=213．【解析】【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为然后两个三角形面积作差即可求出结果【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为∴的面积为∴∴故答案为8【点睛】本题考查反比14．4【解析】【分析】【详解】解：连接AC交OB于D∵四边形OABC是菱形∴AC⊥OB∵点A在反比例函数y=的图象上∴△AOD的面积=×2=1∴菱形OABC的面积=4×△AOD的面积=4故答案为：415．【解析】【分析】连接BD交AC于点O由勾股定理可得BO=3根据菱形的性质求出BD再计算面积【详解】连接BD交AC于点O根据菱形的性质可得AC⊥BDAO=CO=4由勾股定理可得BO=3所以BD=6即可16．【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格分别延长ABAC连接它们延长线所经过的格点可构成直角三角形利用正切的定义即可得出答案详解：如图所示由图形可知∴tan∠BAC=故答案为点睛：本题考查了锐角三角函17．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-30°=60°∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上∴AC=A′C∴△A′AC是等边三角形∴∠ACA18．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x轴左边树为y轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(05119．3【解析】【分析】分别延长AEBF交于点H易证四边形EPFH为平行四边形得出G为PH中点则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN再求出CD的长运用中位线的性质求出MN的长度即可【详解】如图分别延长A20．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π21．【解析】【分析】过作轴过作轴于于是得到根据反比例函数的性质得到根据相似三角形的性质得到求得根据三角函数的定义即可得到结论【详解】过作轴过作轴于则∵顶点分别在反比例函数与的图象上∴∵∴∴∴∴∴∴故答案22．【解析】【分析】延长AD和BC交于点E在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长则EC的长即可求得然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解【详解】如图延长ADBC 相交于点E∵∠B=90°∴∴BE=∴23．【解析】分析：先根据题意得出a=2b再由分式的基本性质把原式进行化简把a=2b代入进行计算即可详解：∵=2∴a=2b原式==当a=2b时原式==故答案为点睛：本题考查的是分式的化简求值熟知分式的基本24．【解析】【分析】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出ab 的值进而即可得出答案【详解】∵+|b ﹣1|=0又∵∴a ﹣b=0且b ﹣1=0解得：a=b=1∴a+1=2故答案为2【点睛】本题主要25．【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解【详解】若一个数的平方等于5则这个数等于：故答案为：【点睛】此题主要考查平方根的定义解题的关键是熟知平方根的性质 26．y2＞y1＞y3【解析】【分析】根据图象上的点（xy ）的横纵坐标的积是定值k 可得xy=k 据此解答即可【详解】解：∵函数y=-的图象上有三个点（-2y1）（-1y2）（y3）∴-2y1=-y2=y3=27．3【解析】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-02-05=03考点：概率公式 28．【解析】【分析】过D 作DQ ⊥x 轴于Q 过C 作CM ⊥x 轴于M 过E 作EF ⊥x 轴于F 设D 点的坐标为（ab ）求出CE 的坐标代入函数解析式求出a 再根据勾股定理求出b 即可请求出答案【详解】如图过D 作DQ ⊥x 轴于Q29．cm 【解析】试题解析：如图折痕为GH 由勾股定理得：AB==10cm 由折叠得：AG=BG=AB=×10=5cmGH ⊥AB ∴∠AGH=90°∵∠A=∠A ∠AGH=∠C=90°∴△ACB ∽△AGH ∴∴∴G30．20【解析】【分析】根据图象横坐标的变化问题可解【详解】由图象可知x=4时点R 到达Px=9时点R 到Q 点则PN=4QP=5∴矩形MNPQ 的面积是20【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题考查了动点到达2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、填空题1．【解析】【分析】分别数出图①图②图③中的三角形的个数可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3如图③中三角形的个数为9=4×3-3按照这个规律即可求出第n 各图形中有多少三角形【详解】分解析：()43n -【解析】【分析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．如图③中三角形的个数为9=4×3-3．按照这个规律即可求出第n各图形中有多少三角形．【详解】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，图①中三角形的个数为1=4×1-3；图②中三角形的个数为5=4×2-3；图③中三角形的个数为9=4×3-3；…可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．按照这个规律，如果设图形的个数为n，那么其中三角形的个数为4n-3．故答案为4n-3．【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．2．【解析】【分析】根据甲乙两车单独运这批货物分别用2a次a次能运完甲的效率应该为乙的效率应该为那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍根据若甲丙两车合运相同次数运完这批货物时甲车共运了180吨；若乙丙两车合解析：2160【解析】【分析】根据“甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完”甲的效率应该为1 2a ，乙的效率应该为1a，那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍根据“若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．”这两个等量关系来列方程．【详解】设这批货物共有T吨，甲车每次运t甲吨，乙车每次运t乙吨，∵2a⋅t甲=T，a⋅t乙=T,∴t甲:t乙=1:2，由题意列方程：180270 180270T Tt t--=甲乙，t乙=2t甲，∴180270180135T T--=，解得T=540.∵甲车运180吨，丙车运540−180=360吨，∴丙车每次运货量也是甲车的2倍，∴甲车车主应得运费15402021605⨯⨯= (元)，故答案为：2160.【点睛】考查分式方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.3．4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5再根据中位数的定义进行求解即可得【详解】∵数据6x3351的众数是3和5∴x=5则这组数据为133556∴这组数据的中位数为=4故答案为：4【点睛】本题主解析：4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5，再根据中位数的定义进行求解即可得．【详解】∵数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，∴x=5，则这组数据为1、3、3、5、5、6，∴这组数据的中位数为352+=4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及求解方法是解题的关键.4．【解析】【分析】先把化简为2再合并同类二次根式即可得解【详解】2-=故答案为【点睛】本题考查了二次根式的运算正确对二次根式进行化简是关键【解析】【分析】.【详解】=..【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．5．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠D＝90°∵将矩形ABCD沿CE折叠点B恰好落在边AD的F处∴CF＝BC∵∴∴设CD＝2xCF ＝3x∴∴tan∠DCF＝故答案为：【点解析：2．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠D ＝90°，∵将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，∴CF ＝BC ， ∵AB 2BC 3=，∴CD 2CF 3=．∴设CD ＝2x ，CF ＝3x ，∴．∴tan ∠DCF ＝DF CD =．【点睛】 本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义．6．②③【解析】分析：根据随机事件发生的频率与概率的关系进行分析解答即可详解：（1）由表中的数据可知当实验种子数量为100时两种种子的发芽率虽然都是96但结合后续实验数据可知此时的发芽率并不稳定故不能确解析：②③【解析】分析：根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.详解：（1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理；（2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A 种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A 种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的；（3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A 种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B 种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A 种种子发芽率大于B 种种子发芽率，所以③中的说法是合理的.故答案为：②③.点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键. 7．6【解析】试题解析：∵DE 是BC 边上的垂直平分线∴BE=CE ∵△EDC 的周长为24∴ED+DC+EC=24①∵△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12∴（AB+AC+BC ）-（AE+ED+DC+AC解析：6【解析】试题解析：∵DE 是BC 边上的垂直平分线，∴BE=CE ．∵△EDC的周长为24，∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）-（AE+DC+AC）-DE=12，∴BE+BD-DE=12，②∵BE=CE，BD=DC，∴①-②得，DE=6．考点：线段垂直平分线的性质．8．1【解析】试题分析：在Rt△CBD中知道了斜边求60°角的对边可以用正弦值进行解答试题解析：在Rt△CBD中DC=BC•sin60°=70×≈6055（米）∵AB=15∴CE=6055+15≈621解析：1．【解析】试题分析：在Rt△CBD中，知道了斜边，求60°角的对边，可以用正弦值进行解答．试题解析：在Rt△CBD中，DC=BC•sin60°=70×2≈60．55（米）．∵AB=1．5，∴CE=60．55+1．5≈62．1（米）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．9．-1【解析】试题分析：根据待定系数法可由（-23）代入y=可得k=-6然后可得反比例函数的解析式为y=-代入点（m6）可得m=-1故答案为：-1解析：-1【解析】试题分析：根据待定系数法可由（-2，3）代入y=kx，可得k=-6，然后可得反比例函数的解析式为y=-6x，代入点（m，6）可得m=-1.故答案为：-1.10．2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长列出方程即可解决问题【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R由题意：2πR=解得R=2故答案为2解析：2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题.【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：2πR=1804 180π⨯，解得R=2．故答案为2.11．【解析】【分析】列表得出所有等可能结果从中找到积为大于-4小于2的结果数根据概率公式计算可得【详解】列表如下：-2-112-22-2-4-12-1-21-2-解析：1 2【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．【详解】列表如下：∴积为大于-4小于2的概率为612=12，故答案为12．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12可得；同理EC=2BE即EC=可得又等量代换可知S△ADF－S△BEF=2解析：2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12，可得1112622ABD ABCS S∆∆==⨯=；同理EC=2BE即EC=13BC ，可得11243ABE S ∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S △ADF －S △BEF =2 13．【解析】【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为然后两个三角形面积作差即可求出结果【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为∴的面积为∴∴故答案为8【点睛】本题考查反比 解析：【解析】【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ，然后两个三角形面积作差即可求出结果．【详解】解：根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ， ∴AOB ∆的面积为121122k k -，∴1211422k k -=，∴128k k -=. 故答案为8．【点睛】本题考查反比例函数k 的几何意义，解题的关键是正确理解k 的几何意义，本题属于基础题型． 14．4【解析】【分析】【详解】解：连接AC 交OB 于D∵四边形OABC 是菱形∴AC⊥OB∵点A 在反比例函数y=的图象上∴△AOD 的面积=×2=1∴菱形OABC 的面积=4×△AOD 的面积=4故答案为：4解析：4【解析】【分析】【详解】解：连接AC 交OB 于D ．∵四边形OABC 是菱形，∴AC ⊥OB ．∵点A 在反比例函数y=2x的图象上，∴△AOD 的面积=12×2=1， ∴菱形OABC 的面积=4×△AOD 的面积=4故答案为：415．【解析】【分析】连接BD 交AC 于点O 由勾股定理可得BO=3根据菱形的性质求出BD 再计算面积【详解】连接BD 交AC 于点O 根据菱形的性质可得AC ⊥BDAO=C O=4由勾股定理可得BO=3所以BD=6即可解析：【解析】【分析】连接BD ，交AC 于点O ，由勾股定理可得BO=3，根据菱形的性质求出BD ，再计算面积.【详解】连接BD ，交AC 于点O ，根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO=CO=4，由勾股定理可得BO=3，所以BD=6，即可得菱形的面积是12×6×8=24．考点：菱形的性质；勾股定理.16．【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格分别延长ABAC 连接它们延长线所经过的格点可构成直角三角形利用正切的定义即可得出答案详解：如图所示由图形可知∴tan ∠BAC=故答案为点睛：本题考查了锐角三角函解析：13【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格，分别延长AB 、AC ，连接它们延长线所经过的格点，可构成直角三角形，利用正切的定义即可得出答案.详解：如图所示，由图形可知，90AFE ∠=︒，3AF AC =，EF AC =，∴tan∠BAC=133 EF ACAF AC==.故答案为1 3 .点睛：本题考查了锐角三角函数的定义. 利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键.17．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-30°=60°∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上∴AC=A′C∴△A′AC是等边三角形∴∠ACA解析：60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°-30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故答案为60°.18．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x轴左边树为y轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A. B. C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解得a=2，b=−4，c=2.5.∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.∵2>0∴当x=1时,y min=0.5米.19．3【解析】【分析】分别延长AEBF交于点H易证四边形EPFH为平行四边形得出G为PH中点则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN再求出CD的长运用中位线的性质求出MN的长度即可【详解】如图分别延长A解析：3【解析】【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G 的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．【详解】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G也正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD=10-2-2=6，∴MN=3，即G的移动路径长为3．故答案为：3.【点睛】本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点．20．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S 侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l ，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l ，∵r=3，h=4，∴母线5=，∴S 侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π， 故答案为15π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.21．【解析】【分析】过作轴过作轴于于是得到根据反比例函数的性质得到根据相似三角形的性质得到求得根据三角函数的定义即可得到结论【详解】过作轴过作轴于则∵顶点分别在反比例函数与的图象上∴∵∴∴∴∴∴∴故答案【解析】【分析】过A 作AC x ⊥轴，过B 作BD x ⊥轴于D ，于是得到90BDO ACO ∠=∠=︒，根据反比例函数的性质得到52BDO S ∆=，12AOC S ∆=，根据相似三角形的性质得到25BOD OAC S OB S OA ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，求得OB OA = 【详解】过A 作AC x ⊥轴，过B 作BD x ⊥轴于，则90BDO ACO ∠=∠=︒，∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x -=<的图象上， ∴52BDO S ∆=，12AOC S ∆=， ∵90AOB ∠=︒，∴90BOD DBO BOD AOC ∠+∠=∠+∠=︒，∴DBO AOC ∠=∠，∴BDO OCA ∆∆， ∴252512BODOAC S OB S OA ∆∆⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴OB OA=∴tan 5OB BAO OA∠==， 故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．22．【解析】【分析】延长AD 和BC 交于点E 在直角△ABE 中利用三角函数求得BE 的长则EC 的长即可求得然后在直角△CDE 中利用三角函数的定义求解【详解】如图延长ADBC 相交于点E∵∠B=90°∴∴BE=∴解析：65 【解析】【分析】延长AD 和BC 交于点E ，在直角△ABE 中利用三角函数求得BE 的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE 中利用三角函数的定义求解．【详解】如图，延长AD 、BC 相交于点E ，∵∠B=90°，∴4tan 3BE A AB ==， ∴BE=443AB ⋅=， ∴CE=BE-BC=2，225AB BE +=， ∴3sin 5AB E AE ==， 又∵∠CDE=∠CDA=90°，∴在Rt△CDE中，sinCDECE =，∴CD=36sin255 CE E⋅=⨯=.23．【解析】分析：先根据题意得出a=2b再由分式的基本性质把原式进行化简把a=2b代入进行计算即可详解：∵=2∴a=2b原式==当a=2b时原式==故答案为点睛：本题考查的是分式的化简求值熟知分式的基本解析：3 2【解析】分析：先根据题意得出a=2b，再由分式的基本性质把原式进行化简，把a=2b代入进行计算即可．详解：∵ab=2，∴a=2b，原式=()()() a b a b a a b+--=a b a +当a=2b时，原式=22b bb+=32．故答案为32．点睛：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式的基本性质是解答此题的关键．24．【解析】【分析】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出ab的值进而即可得出答案【详解】∵+|b﹣1|=0又∵∴a﹣b=0且b﹣1=0解得：a=b=1∴a+1=2故答案为2【点睛】本题主要解析：【解析】【分析】利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出a，b的值，进而即可得出答案．【详解】b﹣1|=0，≥，|1|0b-≥，∴a﹣b=0且b﹣1=0，解得：a=b=1，∴a+1=2.故答案为2．【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及绝对值与二次根式的性质，根据几个非负数的和为0，。
2020年山东大学附中中考数学一轮复习试卷(二) 解析版
2020年山东大学附中中考数学一轮复习试卷（二）一．选择题（共12小题）1．﹣的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．3．已知1微米＝0.000001米，则0.3微米可用科学记数法表示为（）米．A．0.3×106B．0.3×10﹣6C．3×10﹣6D．3×10﹣74．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED度数为（）A．110°B．125°C．135°D．140°5．下列计算正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣2m3）2＝4m6C．a6÷a2＝a3D．（a+b）2＝a2+b26．下列图形中，是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．化简﹣x+1，得（）A．﹣B．﹣C．2﹣x2D．8．已知反比例函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则下列正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2 9．图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC＝2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（3，2）D．（2，2）10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（）A．18﹣6πB．54﹣18πC．36﹣6πD．27﹣9π11．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10B．15C．15D．15﹣5 12．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a﹣b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0）；③7a+c＞0；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1．其中正确结论的个数为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共6小题）13．分解因式：3x2﹣12x+12＝．14．一套满分150分的数学试题中，基础题、中档题、难题的比例为7：2：1，小明如果做对了所有基础题，他至少能够得分．15．一个多边形的每个外角都等于60°，这个多边形的内角和为．16．若代数式与的值相等，则x＝．17．如图所示，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为2，则k的值为．18．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1、B2、B3都在直线y＝x上，则点A2020的坐标为．三．解答题（共9小题）19．计算：（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|﹣1|﹣3tan30°．20．解不等式组：21．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．22．为备战体育中考，学校新购买一批排球和实心球，在某体育用品商店，若购买10个排球和20个实心球需用960元，若购买20个排球和10个实心球需用1380元．（1）排球、实心球的单价各是多少元？（2）寒假期间，该店开展了促销活动，所有商品一律九折销售．则购买20个排球和20个实心球实际共需要花费多少元？23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝3，BF＝2，求AB的长．24．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．为了了解垃圾分类知识的普及情况，某校随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少、“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图，（1）本次被调查的学生有名，扇形统计图中，∠α＝；（2）将条形统计图剩余的部分补充完整（包括未标记的数据）．（3）估计该校1500名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．（4）某环保小队有3名男生，1名女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B 点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y ＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．26．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（不与点B、点C重合），将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，作射线BA与射线CE，两射线交于点F．（1）若点D在线段BC上，如图1，请直接写出CD与EF的关系．（2）若点D在线段BC的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接DE，G为DE的中点，连接GF，若tan∠AEC＝，AB＝，求GF的长．27．如图所示，将二次函数y＝x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y＝ax2+bx+c的图象．函数y＝x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．（1）求函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．﹣的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：﹣的相反数是．故选：C．2．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．【解答】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；B、主视图是长方形，故B选项错误；C、主视图是三角形，故C选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；故选：C．3．已知1微米＝0.000001米，则0.3微米可用科学记数法表示为（）米．A．0.3×106B．0.3×10﹣6C．3×10﹣6D．3×10﹣7【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：∵1微米＝0.000001米＝1×10﹣6米∴0.3微米＝0.3×1×10﹣6米＝3×10﹣7米故选：D．4．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED度数为（）A．110°B．125°C．135°D．140°【分析】利用三角形的外角的性质可知：∠AED＝∠C+∠CAEM求出∠CAE即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB＝180°，∵∠C＝70°，∴∠CAB＝110°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠CBA＝55°，∴∠AED＝∠C+∠CAE＝70°+55°＝125°，故选：B．5．下列计算正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣2m3）2＝4m6C．a6÷a2＝a3D．（a+b）2＝a2+b2【分析】分别根据幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐一判断即可得出正确选项．【解答】解：A．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；B．（﹣2m3）2＝4m6，正确；C．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意．故选：B．6．下列图形中，是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．7．化简﹣x+1，得（）A．﹣B．﹣C．2﹣x2D．【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．【解答】解：﹣x+1＝﹣（x﹣1）＝﹣＝故选：D．8．已知反比例函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则下列正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】易得此函数图象的两个分支在二四象限，根据在同一个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限内，第二象限内的点的纵坐标大于第四象限内的点的纵坐标解答即可．【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴反比例函数的图象的两个分支在二四象限，∵x1＜x2＜0＜x3，∴A，B同在第二象限，C在第四象限，∴y3＜y1＜y2．故选：B．9．图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC＝2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（3，2）D．（2，2）【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．【解答】解：∵点C的坐标为（﹣1，0），AC＝2，∴点A的坐标为（﹣3，0），如图所示，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，则点A′的坐标为（﹣1，2），再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（2，2），故选：D．10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（）A．18﹣6πB．54﹣18πC．36﹣6πD．27﹣9π【分析】根据矩形的性质得到AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，推出△OBC是等边三角形，得到∠CBO＝60°，求出BC，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，∴OB＝OC，∵BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，BC＝BO，即AC＝2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，（6）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝6，∴阴影部分的面积＝S△BCD﹣S扇形BOC＝﹣＝18﹣6π，故选：A．11．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10B．15C．15D．15﹣5【分析】先根据CD＝10m，DE＝5m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：在Rt△CDE中，∵CD＝10m，DE＝5m，∴sin∠DCE＝，∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝10（m），∴AB＝BC•sin60°＝10×＝15（m）．故选：B．12．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a﹣b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0）；③7a+c＞0；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1．其中正确结论的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】①利用对称轴方程进行解答；②利用抛物线的对称性质求解便可；③把（2，0）代入二次函数解析式，并把b换成a的对称代数式便可；④根据抛物线抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝2的交点情况解答；⑤根据两函数图象的位置关系解答．【解答】解：①由抛物线对称轴知，x＝﹣，∴2a﹣b＝0，则此小题结论正确；②设抛物线与x轴的另一个交点坐标是（m，0），根据题意得，，∴m＝2，则此小题结论正确；③把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，4a+2b+c＝0，∵x＝﹣，∴b＝2a，∴4a+2×2a+c＝0，∴8a+c＝0，∴7a+c＝﹣a＞0，则此小题结论正确；④由函数图象可知，直线y＝2与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，∴ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，即ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根，则此小题结论正确；⑤由函数图象可知，当﹣4＜x＜﹣1时，抛物线在直线上方，于是y2＜y1．则此小题结论正确．故选：D．二．填空题（共6小题）13．分解因式：3x2﹣12x+12＝3（x﹣2）2．【分析】原式提取3，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝3（x2﹣4x+4）＝3（x﹣2）2，故答案为：3（x﹣2）214．一套满分150分的数学试题中，基础题、中档题、难题的比例为7：2：1，小明如果做对了所有基础题，他至少能够得105分．【分析】设基础题、中档题、难题分别有7x，2x，x分，根据题意列出方程求出x的值即可求出答案．【解答】解：设基础题、中档题、难题分别有7x，2x，x分，∴7x+2x+x＝150，∴x＝15，∴小明至少能够得到7x＝105分，故答案为：10515．一个多边形的每个外角都等于60°，这个多边形的内角和为720°．【分析】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．【解答】解：设多边形的边数为n，∵多边形的每个外角都等于60°，∴n＝＝6，∴这个多边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°．故答案为720°．16．若代数式与的值相等，则x＝2．【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：＝，去分母得：6x＝3x+6，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解，则x＝2，故答案为：217．如图所示，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为2，则k的值为8．【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB 的面积为2，即可求得k的值．【解答】解：设点A的坐标为（﹣a，0），∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为2，∴点C（a，），∴点B的坐标为（0，），∴＝2，解得，k＝8，故答案为：8．18．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，都是边长为2的等边三角形，边AO在y 轴上，点B1、B2、B3都在直线y＝x上，则点A2020的坐标为（2020，2022）．【分析】过B1作B1C⊥x轴，垂足为C，由条件可求得∠B1OC＝30°，利用直角三角形的性质可求得B1C＝OC＝，可求得A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，则可得出规律，可求得A2020的坐标．【解答】解：如图，∵△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，∴∠AOB1＝∠AB1B2＝∠A2B2B3＝…＝60°，∴AO∥A1B1∥A2B2∥…，∵AO在y轴上，∴A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，…过B1作B1C⊥x轴，垂足为C，∵点B1在直线y＝x上，设B1（x，x），∴∠B1OC＝30°，∵△OAB1是等边三角形，且边长为2，∴B1C＝1，OC＝，∴A1的坐标为（，2+1），同理A2（2，2+2）、A3（3，2+3），∴A2020的坐标为（2020，2022），故答案为（2020，2022）．三．解答题（共9小题）19．计算：（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|﹣1|﹣3tan30°．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简五个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝1﹣3+﹣1﹣3×，＝1﹣3+﹣1﹣，＝﹣3．20．解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是﹣2≤x＜3．21．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．【分析】根据BC＝CD，要证明CE＝CF，可以转化为证明BE＝DF，从而转化为证明△ABE≌△ADF即可．【解答】证明：∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF．∴BE＝DF．∴CE＝CF．22．为备战体育中考，学校新购买一批排球和实心球，在某体育用品商店，若购买10个排球和20个实心球需用960元，若购买20个排球和10个实心球需用1380元．（1）排球、实心球的单价各是多少元？（2）寒假期间，该店开展了促销活动，所有商品一律九折销售．则购买20个排球和20个实心球实际共需要花费多少元？【分析】（1）设排球的单价为x元，实心球的单价为y元，根据“若购买10个排球和20个实心球需用960元，若购买20个排球和10个实心球需用1380元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设排球的单价为x元，实心球的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：排球的单价为60元，实心球的单价为18元．（2）60×0.9×20+18×0.9×20＝1404（元）．答：购买20个排球和20个实心球实际共需要花费1404元．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝3，BF＝2，求AB的长．【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG ＝90°，于是得到结论；（2）利用等腰三角形的三线合一的性质证明BF＝CF＝2，再利用勾股定理求出AB即可．【解答】解：（1）结论：FG与⊙O相切，理由：如图，连接OF，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∴FG与⊙O相切．（2）连接DF，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝CF＝2∴BC＝2BF＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5．24．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．为了了解垃圾分类知识的普及情况，某校随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少、“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图，（1）本次被调查的学生有150名，扇形统计图中，∠α＝108°；（2）将条形统计图剩余的部分补充完整（包括未标记的数据）．（3）估计该校1500名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．（4）某环保小队有3名男生，1名女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．【分析】（1）先由了解的人数及其所占百分比求出总人数，再根据各项目的百分比之和为1求出不了解对应的百分比，用360°乘以不了解对应的百分比可得答案；（2）用总人数分别乘以非常了解、了解较少、不了解对应的百分比求出其人数，据此可补全图形；（3）用总人数乘以两者百分比之和即可得；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）本次被调查的学生有36÷24%＝150（名），∵“不了解”对应的百分比为1﹣（24%+10%+36%）＝30%，∴扇形统计图中，∠α＝360°×30%＝108°，故答案为：150、108°；（2）非常了解的人数为150×10%＝15（名），了解较少的人数为150×36%＝54（名），不了解的人数为150×30%＝45（名），补全图形如下：（3）估计该校1500名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是1500×（10%+24%）＝510（名）；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到1男1女的结果数为6，所以恰好抽到一男一女的概率为＝．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B 点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k；（2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案；（3）先求出EF＝2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于点H，∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），∴﹣1×3+b＝0，解得，b＝3，对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3，∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，∵CH∥OA，∴△AOB∽△CHB，∴＝＝，即＝＝，解得，CH＝2，BH＝6，∴OH＝OB+BH＝9，∴点C的坐标为（2，9），∴k＝2×9＝18；（2）∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，∴△ABD的面积＝×6×3＝9；（3）EF＝BD＝×6＝2，设E（m，3m+3）当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m+2）（3m+3）＝18，解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m﹣2）（3m+3）＝18，解得，m3＝（舍去），m4＝，综上所述，m的值为1或．26．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（不与点B、点C重合），将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，作射线BA与射线CE，两射线交于点F．（1）若点D在线段BC上，如图1，请直接写出CD与EF的关系．（2）若点D在线段BC的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接DE，G为DE的中点，连接GF，若tan∠AEC＝，AB＝，求GF的长．【分析】（1）由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，由“SAS”可证△ABD ≌△ACE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，可证CD⊥EF，由等腰三角形的性质可得BC＝CF，可证CD＝EF；（2）由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，可证CD⊥EF，由等腰三角形的性质可得BC＝CF，可证CD＝EF；（3）过点A作AN⊥CE于点N，过点G作GH⊥CE于H，由直角三角形的性质可求BC ＝CF＝2，AN＝CN＝1，锐角三角函数可求EN＝2，由平行线分线段成比例可求GH，FH 的长，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）CD＝EF，CD⊥EF，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（2）结论仍然成立，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（3）如图，过点A作AN⊥CE于点N，过点G作GH⊥CE于H，∵AB＝AC＝，∴BC＝CF＝2，∵AN⊥CE，∠ACF＝45°，∴AN＝CN＝1，∵tan∠AEC＝＝，∴EN＝2，∴EC＝CN+EN＝3，∴EF＝EC﹣CF＝1＝CD，∵GH⊥CE，∠ECD＝90°，∴HG∥CD，∴＝＝，且EG＝DG，∴HG＝，EH＝，∴FH＝EH﹣EF＝∴GF＝＝＝27．如图所示，将二次函数y＝x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y＝ax2+bx+c的图象．函数y＝x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．（1）求函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由轴对称和平移的性质可求解；（2）分别求出点A，点B，点C，点D坐标，由两点距离公式可求AB，CD，AD，BC，AC，BD的长，由两组对边相等的四边形是平行四边形可证四边形ABCD是平行四边形；（3）分两种情况讨论，利用矩形的性质，可求解．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，且将二次函数y＝x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，∴y＝﹣（x+1﹣1）2+5＝﹣x2+5；（2）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∵y＝﹣x2+5的顶点为点C，；∴点C（0，5），∵函数y＝x2+2x+1的图象的顶点为点A，∴点A（﹣1，0），联立方程组可得：∴或，∴点D（﹣2，1），点B（1，4），∵点D（﹣2，1），点B（1，4），A（﹣1，0），点C（0，5），∴AB＝2，CD＝2，AD＝，BC＝，AC＝，BD＝3，∴AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（3）存在，设点N（x，y）若BD为矩形的边，四边形BDMN是矩形时，∵点D（﹣2，1），点B（1，4），∴直线BD解析式为：y＝x+3，∴直线DM的解析式为y＝﹣x﹣1，∴点M（0，﹣1），∵BM与DN互相平分，∴，，∴x＝3，y＝2，∴点N（3，2）；若BD为矩形的边，四边形BDNM是矩形时，∵点D（﹣2，1），点B（1，4），∴直线BD解析式为：y＝x+3，∴直线BM的解析式为y＝﹣x+5，∴点M（0，5），∵BN与DM互相平分，∴，，∴x＝﹣3，y＝2，∴点N（﹣3，2）；若BD为对角线，∵点D（﹣2，1），点B（1，4），点N（x，y），点M的横坐标为0，∴x＝﹣1，点M纵坐标为5﹣y，∴点M（0，5﹣y）∵BD＝MN，∴3＝∴y＝，∴点N（﹣1，）或，（﹣1，），综上所述：点N坐标为（﹣1，）或，（﹣1，）或（3，2）或（﹣3，2）．。
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B．a2÷（a0•a2）=1 D．﹣1.58÷（﹣1.5）7=﹣1.5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12．下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是（ ）
A． 18 二、填空题
B． 1 3
C． 24
D． 0.3
13．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝ 4 ，则 CD＝ 3
_____．
14．如图，在 Rt△AOB 中，OA=OB= 3 2 ，⊙O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点
P 作⊙O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为
．
15．如图，在△ABC 中 E 是 BC 上的一点，EC=2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC、 △ADF、△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF，S△BEF，且 S△ABC=12，则 S△ADF－ S△BEF=_________．
③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x＜3 时，y＞0，其中正确的是
（）
A．①②④
B．①②⑤
C．②③④
D．③④⑤
10．如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，若 AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为
（）
A．40
B．30
11．下列计算错误的是（ ）
C．28
D．20
A．a2÷a0•a2=a4 C．（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5
④当 x＞0 时， y1 随 x 的增大而增大， y2 随 x 的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A
在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；
8．C
解析：C 【解析】
试题分析：对于直线 y1 2x 2 ，令 x=0，得到 y=2；令 y=0，得到 x=1，∴A（1，0），B
（0，﹣2），即 OA=1，OB=2，在△OBA 和△CDA 中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠
DAC，OA=AD，∴△OBA≌△CDA（AAS），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴ SΔADB SΔADC （同
A．25°
B．75°
C．65°
D．55°
8．如图，在直角坐标系中，直线
y1
2x
2
与坐标轴交于
A、B
两点，与双曲线
y2
k x
（ x 0 ）交于点 C，过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为 D，且 OA=AD，则以下结论：
① SΔADB SΔADC ；
②当 0＜x＜3 时， y1 y2 ；
③如图，当 x=3 时，EF= 8 ； 3
24．某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法 如下：如图，首先在测量点 A 处用高为 1.5m 的测角仪 AC 测得人民英雄纪念碑 MN 项部 M 的仰角为 37°，然后在测量点 B 处用同样的测角仪 BD 测得人民英雄纪念碑 MN 顶部 M 的仰角为 45°，最后测量出 A，B 两点间的距离为 15m，并且 N，B，A 三点在一条直线 上，连接 CD 并延长交 MN 于点 E．请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑 MN 的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan35°≈0.75）
4．C
解析：C 【解析】
【分析】
首先设此多边形为 n 边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得 n=5，再由多边形的 外角和等于 360°，即可求得答案． 【详解】
解：设此多边形为 n 边形， 根据题意得：180（n-2）=540， 解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于： 360 =72°． 5
种子数量
100
200
出芽种子数
96
165
A 发芽率
0.96
0.83
出芽种子数
96
192
B
发芽率
0.96
0.96
500
1000
491
984
0.98
0.98
486
977
0.97
0.98
2000 1965 0.98 1946 0.97
下面有三个推断： ①当实验种子数量为 100 时，两种种子的发芽率均为 0.96，所以他们发芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，A 种子出芽率在 0.98 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以 估计 A 种子出芽的概率是 0.98； ③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率可能会高于 B 种子．其中合理的是 __________（只填序号）．
3x 4x 1
25．解不等式组
5x 1＞x 2
2
，并把它的解集在数轴上表示出来
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】 试题分析：384 000=3.84×105．故选 C． 考点：科学记数法—表示较大的数．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC= 1 ∠1，再根据三角形内角和定 2
2019-2020 山东师范大学附属中学中考数学试题及答案
一、选择题
1．地球与月球的平均距离为 384 000km，将 384 000 这个数用科学记数法表示为（ ） A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106 2．如图，将▱ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为 （）
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后
根据对称轴判定 b 与 0 的关系以及 2a+b=0；当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当 x
A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
3．已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣
b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是( )
A．③④
B．②③
C．①④
D．①②③
4．一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108°
B．90°
C．72°
D．60°
5．已知 A (1 1 ) 1 ，则 A＝( ) x 1 x 1
A．
x x2
1 x
B．
x x2 1
C．
1 x2 1
D．x2﹣1
6．等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12 或 15 D．18
7．如图，直线 l1∥l2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线 l1 上，两直 角边分别与直线 l1、l2 相交形成锐角∠1、∠2 且∠1＝25°，则∠2 的度数为（ ）
【详解】
解：A=
1 1 x 1
1 x 1
=
1 x 1
x x 1
=
x x2 1
故选 B. 【点睛】 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．B
解析：B 【解析】 试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3 是腰；②、3 是底．必须符合三角形三边的 关系，任意两边之和大于第三边． 解：①若 3 是腰，则另一腰也是 3，底是 6，但是 3+3=6，∴不构成三角形，舍去． ②若 3 是底，则腰是 6，6． 3+6＞6，符合条件．成立． ∴C=3+6+6=15． 故选 B． 考点：等腰三角形的性质．
19．当 m ____________时,解分式方程 x 5 m 会出现增根． x3 3x
20．如图，把三角形纸片折叠，使点 B ，点 C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE, FG ，若 C 15, AE EG 2 厘米，△ABC 则的边 BC 的长为__________厘米。
三、解答题
∵对称轴为 1＞x=﹣ ＞0，
∴2a+b＜0，
故本选项正确；
④对称轴为 x=﹣ ＞0，
∴a、b 异号，即 b＞0， ∴abc＜0， 故本选项错误；
∴正确结论的序号为②③． 故选 B． 点评：二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定： （1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a＞0；否则 a＜0； （2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x=﹣b2a 判断符号； （3）c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c＞0；否则 c＜0； （4）当 x=1 时，可以确定 y=a+b+C 的值；当 x=﹣1 时，可以确定 y=a﹣b+c 的值．
请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生； （2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算 C 类所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，估计该校 2000 名学生中“家长和学生都未参与”的人数. 23．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N 分别为 AC，CD 的中点， 连接 BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC 平分∠BAD，AC=2，求 BN 的长．