轮廓插补原理——数据采样法
轮廓插补原理——其他插补方法
第五节 其他插补方法前面已经介绍了几种较常用的插补方法，但数控技术经过数十年的发展，特别是微处理器的应用，在原有的脉冲增量法插补原理基础上又派生出许多改进或新型的插补算法，例如：比较积分法、时差法、矢量判别法、最小偏差法、脉冲增量式的直接函数法等。
针对复杂曲线轮廓或列表曲线轮廓，在数据采样法中又提出了一些新的插补算法，例如：样条插补、螺纹插补等。
为此，下面继续简单介绍比较积分法插补、样条插补以及螺纹插补的基本思路。
一、比较积分法前面己经介绍，逐点比较法速度平稳，调整方便，但不容易实现多坐标轴的联动；而DDA 法便于坐标轴的扩展，但速度控制不太方便。
现若将这两种算法结合在一起，就能够扬长避短，集两者优点于一身，实现各种函数和多坐标轴联动插补，且插补精度较高，运算简单，易于调整，是一种比较理想的脉冲增量式插补方法。
（一）比较积分法直线插补设将要插补的第一象限直线起点在坐标原点O （0，0），终点为E （X e ，Y e ），则直线上的所有动点N （X i ，Y i ）必然满足下面等式i ee i X X Y Y =（3-97） 现对式（3-97）求微分得 ee i i X Y dX dY = （3-98） 如果在此基础上引入时间变量t ，分别对两坐标变量进行积分，就可得到前面介绍的DDA 直线插补算法。
显然，如此处理不是目的，下面必须另辟新径，寻找一种更理想的解决方案。
为此引入比较判别的思想，建立两个被积函数之间的内在联系，将式（3-98）改写为增量形式，即有Y e ∆X i =X e ∆Y i （3-99）由于式中X e 、Y e 均是以脉冲当量为单位的数字量，设∆X i 、∆Y i 均为单位位移增量，在数值上为“1”。
现对式（3-99）两边进行积分，并利用矩形法求其积分值，可得∑∑===ii Y j e X i e X Y 11 或 Y e ＋Y e ＋……＋Y e =X e ＋X e ＋……＋X e （3-100）（X i 项） （Y i 项）在这里要指出的是，式（3-100）等号两边求和的项数不一定相等，等式左边是X i 项，而右边是Y i 项。
8-数据采样插补
上式反应了A点与B点的位置关系，只要坐标满足上式，则
A点与B点必在同一圆弧上。由于式中和都是未知数，难以求 解，这里采用近似算法。取α≈45°，即
f cos f co f sin f sin 45 (Yi ) (Yi ) 2 2
采样周期的选择
采用数据采样插补算法，首先需要解决的问题是选择合适 的插补周期。对于位置采样控制系统，确定插补周期时，主 要考虑如何满足采样定理(香农定理)，以保证采集到的实际 位移数据不失真。CNC系统位置环的典型带宽为20Hz左右。 根据采样定理，采样频率应该等于或大于信号最高频率的2倍。 取信号最高频率的5倍作为采样频率，即100Hz。因此典型的 采样周期(或插补周期)取为10ms左右。美国A-B公司生产的 一些CNC系统，其插补周期和采样周期均取10.24ms，日本 FANUC公司生产的一些CNC系统，其采样周期取4ms，插补 周期取8ms(采样周期的2倍)。对于后一种情况，插补程序每 8ms调用一次，为下一个周期算出各坐标轴的增量值；而位 置反馈采样程序每4ms调用一次，将插补程序算好的坐标位 置增量值除以2后再与坐标位置采样值进行比较。
FTs X e2 Ye2 FTs X e2 Ye2 Ye
Xe
2. 数据采样圆弧插补
圆弧插补的基本思想是在满足精度要求的前提下，用弦进 给代替弧进给，即用直线逼近圆弧。 图1-15所示为一逆圆弧，圆心在坐标原点，起点A(Xe， Ye)，终点(Xe，Ye)。圆弧插补的要求是在已知刀具移动速度F 的条件下，计算出圆弧段上的若干个插补点，并使相邻两个插 补点之间的弦长满足下式：
令K=FT/R
Xi K(Yi - 1 - KXi - 1/2) Yi K(Xi - 1 - KYi - 1/2)
数控机床插补原理
对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆、以及圆心相对于起点的位置。为满
足零件几何尺寸精度要求，必须在刀具(或工件)运动过程中实时计算出满足 线形和进给速度要求的若干中间点(在起点和终点之间)，这就是数控技术中
插补(Interpolation)的概念。据此可知，插补就是根据给定进给速度和给定
轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称 为插补方法或插补原理。
Xm+1＝Xm+1, Ym+1＝Ym
新的偏差为
Fm+1＝Ym+1Xe－Xm+1Ye＝Fm－Ye
若Fm＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
Xm+1＝Xm, Ym+1＝Ym ＋1
新的偏差为
Fm+1＝Fm＋Xe
4. 终点判别法
逐点比较法的终点判断有多种方法，下面主要介绍两种：
直到∑为零时，就到了终点。
2.2
不同象限的直线插补计算
上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其它三个象
限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表5-1列出了
四个象限的直线插补时的偏差计算公式和进给脉冲方向，计 算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。
表1-1 四个象限的直线插补计算
9.数据采样法插补原理
数据采样插补又称为时间分割法，与基准脉冲插补法不同，数据采样 插补法得出的不是进给脉冲，而是用二进制表示的进给量。这种方法是根 据程编进给速度F，将给定轮廓曲线按插补周期T（某一单位时间间隔）分 割为插补进给段（轮廓步长），即用一系列首尾相连的微小线段来逼近给 定曲线。每经过一个插补周期就进行一次插补计算，算出下一个插补点， 即算出插补周期内各坐标轴的进给量，如等，得出下一个插补点的指令位 置。
插补周期越长，插补计算误差越大，插补周期应尽量选得小一些。CNC 系统在进行轮廓插补控制时，除完成插补计算外，数控装置还必须处理一 些其它任务，如显示、监控、位置采样及控制等。
数据采样插补一般分为粗、精插补两步完成。第一步是粗插补，由它 在给定曲线的起、终点之间插入若干个微小直线段。 这些微小直线段由精 插补进一步进行数据的密化工作，即进行对直线的脉冲增量插补。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献不连续信号，对时间上连 续的信号进行采样，就是通过一个采样开关K（这个开关K每隔 一定的周期TC闭合一次）后，在采样开关的输出端形成一连串 的脉冲信号。这种把时间上连续的信号转变成时间上离散的脉 冲系列的过程称为采样过程，周期T叫采样周期。
) 2
R 1
1
/ 2 2
2!
/ 22
4!
图5-29 圆弧插补
2 R
8
X
对于直线插补，不会造成轨迹误差。在圆弧插补中，会带来轨迹误差。
机电工程学院
设T为插补周期，F为进给速度，则轮廓步长为
l TF
用轮廓步长代替弦长，有
l TF RR
,得
er
(TF ) 2 8R
可见，圆弧插补过程中，用弦线逼近圆弧时，插补误差er与程编
数据采样插补
数据采样插补一、概述数据采样插补多用于进给速度要求较高的闭环掌握系统。
它与前面我们介绍的插补方法的最大不同就是前者计算机一般不包含在伺服掌握环内，计算机插补的结果是输出进给脉冲，伺服系统依据进给脉冲进给。
每进给一步（一个脉冲当量），计算机都要进行一次插补运算。
进给速度受计算机插补速度的限制，很难满意现代数控机床高速度的要求。
而后者计算机一般包含在伺服掌握环内。
数据采样插补用小段直线来靠近给定轨迹，插补输出的是下一个插补周期内各轴要运动的距离，不需要每走一个脉冲当量就插补一次，可达到很高的进给速度。
1. 数据采样插补的基本原理粗插补：采纳时间分割思想，依据进给速度F和插补周期T，将廓型曲线分割成一段段的轮廓步长L，L=FT，然后计算出每个插补周期的坐标增量。
精插补：依据位置反馈采样周期的大小，由伺服系统的硬件完成。
2. 插补周期和检测采样周期插补周期大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和，现代数控系统一般为2~4ms，有的已达到零点几毫秒。
插补周期应是位置反馈检测采样周期的整数倍。
3.插补精度分析直线插补时，轮廓步长L与被加工直线重合，没有插补误差。
圆弧插补时，轮廓步长L作为弦线或割线对圆弧进行靠近，存在半径误差。
二、数据采样法直线插补1.插补计算过程（1）插补预备主要是计算轮廓步长l＝FT及其相应的坐标增量。
（2）插补计算实时计算出各插补周期中的插补点（动点）坐标值。
2.有用的插补算法（1）直线函数法插补预备：插补计算：2）进给速率数法（扩展DDA法）插补预备: 引入步长系数K则插补计算：三、数据采样法圆弧插补1. 直线函数法（弦线法）如图5-13所示，要加工圆心在原点O（0，0）、半径为R的第一象限顺圆弧，在顺圆弧上的B点是继A点之后的插补瞬时点，两点的坐标分别为A（Xi，Yi）、B（Xi＋1，Yi＋1），现求在一个插补周期T内X 轴和Y轴的进给量△X、△Y。
图中的弦AB是圆弧插补时每个插补周期内的进给步长l，AP是A点的圆弧切线，M是弦的中点。
数控系统插补的方法和原理
数控系统插补的方法和原理数控机床上进行加工的各种工件，大部分由直线和圆弧构成。
因此，大多数数控装置都具有直线和圆弧的插补功能。
对于非圆弧曲线轮廓轨迹，可以用微小的直线段或圆弧段来拟合。
插补的任务就是要根据进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干中间掌握点的坐标值。
由于每个中间点计算的时间直接影响数控装置的掌握速度，而插补中间点的计算精度又影响整个数控系统的精度，所以插补算法对整个数控系统的性能至关重要，也就是说数控装置掌握软件的核心是插补。
插补的方法和原理许多，依据数控系统输出到伺服驱动装置的信号的不同，插补方法可归纳为脉冲增量插补和数据采样插补两种类型。
一、脉冲增量插补这类插补算法是以脉冲形式输出，每次插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。
把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。
一个脉冲产生的进给轴移动量叫脉冲当量，用δ表示。
脉冲当量是脉冲安排计算的基本单位，依据加工的精度选择，一般机床取δ＝0.01mm，较为精密的机床取δ＝1μm或0.1μm 。
插补误差不得大于一个脉冲当量。
这种方法掌握精度和进给速度低，主要运用于以步进电动机为驱动装置的开环掌握系统中。
二、数据采样插补数据采样插补又称时间标量插补或数字增量插补。
这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。
插补运算分两步完成。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来拟合给定曲线，每一微小直线段的长度△L 都相等，且与给定进给速度有关。
粗插补时每一微小直线段的长度△L 与进给速度F和插补T周期有关，即△L＝FT。
图1 数据采样插补其次步为精插补，它是在粗插补算出的每一微小直线上再作“数据点的密化”工作。
这一步相当于对直线的脉冲增量插补。
数据采样插补方法适用于闭环、半闭环的直流或沟通伺服电动机为驱动装置的位置采样掌握系统中。
数据采样插补
在CNC系统中较广泛采用的另一种插补计算方法即所谓数据采样插补法，或称为时间分割法。
它尤其适合于闭环和半闭环以直流或交流电机为执行机构的位置采样控制系统。
这种方法是把加工一段直线或圆弧的整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间隔（或插补周期）。
每经过一个单位时间间隔就进行一次插补计算，算出在这一时间间隔内各坐标轴的进给量，边计算，边加工，直至加工终点。
与基准脉冲插补法不同，采用数据采样法插补时，在加工某一直线段或圆弧段的加工指令中必须给出加工进给速度v，先通过速度计算，将进给速度分割成单位时间间隔的插补进给量（或称为轮廓步长），又称为一次插补进给量。
例如，在FANUC 7M系统中，取插补周期为8 ms，若v的单位取mm/min，f的单位取mμ/8 ms，则一次插补进给量可用下列数值方程计算：10008260100015vf v⨯⨯==⨯按上式计算出一次插补进给量f后，根据刀具运动轨迹与各坐标轴的几何关系，就可求出各轴在一个插补周期内的插补进给量，按时间间隔（如8 ms）以增量形式给各轴送出一个一个插补增量，通过驱动部分使机床完成预定轨迹的加工。
由上述分析可知，这类算法的核心问题是如何计算各坐标轴的增长数x∆或y∆（而不是单个脉冲），有了前一插补周期末的动点位置值和本次插补周期内的坐标增长段，就很容易计算出本插补周期末的动点命令位置坐标值。
对于直线插补来讲，插补所形成的轮廓步长子线段（即增长段）与给定的直线重合，不会造成轨迹误差。
而在圆弧插补中，因要用切线或弦线来逼近圆弧，因而不可避免地会带来轮廓误差。
其中切线近似具有较大的轮廓误差而不大采用，常用的是弦线逼近法。
有时，数据采样插补是分两步完成的，即粗插补和精插补。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定曲线，粗插补在每个插补计算周期中计算一次。
第二步为精插补，它是在粗插补计算出的每一条微小直线段上再做“数据点的密化”工作，这一步相当于对直线的脉冲增量插补。
1--插补的基本概念、脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别、逐点比较法的基本原理、直线插补和圆弧插补
数据采样插补算法 根据数控加工程序所要求的进给速度 按照插补周期的大小， 数控加工程序所要求的进给速度， 插补周期的大小 根据数控加工程序所要求的进给速度，按照插补周期的大小，先将零件轮 廓曲线分割为一系列首尾相接的微小直线段 首尾相接的微小直线段， 廓曲线分割为一系列首尾相接的微小直线段，然后输出这些微小直线段所对应 位置增量数据，控制伺服系统实现坐标轴进给。 的位置增量数据，控制伺服系统实现坐标轴进给。 采用数据采样插补算法时，每调用一次插补程序，数控系统就计算出本插 采用数据采样插补算法时，每调用一次插补程序，数控系统就计算出本插 补周期内各个坐标轴的位置增量以及各个坐标轴的目标位置 以及各个坐标轴的目标位置。 补周期内各个坐标轴的位置增量以及各个坐标轴的目标位置。 伺服位置控制软件将把插补计算求得的坐标轴位置与采样获得的坐标 随后伺服位置控制软件 随后伺服位置控制软件将把插补计算求得的坐标轴位置与采样获得的坐标 轴实际位置进行比较求得位置跟踪误差，然后根据当前位置误差计算出坐标轴 轴实际位置进行比较求得位置跟踪误差，然后根据当前位置误差计算出坐标轴 当前位置误差 的进给速度并输出给驱动装置，从而驱动移动部件向减小误差的方向运动。 的进给速度并输出给驱动装置，从而驱动移动部件向减小误差的方向运动。
（2）数控机床的运动特点 在数控机床中，刀具的基本运动单位 脉冲当量， 基本运动单位是 ① 在数控机床中，刀具的基本运动单位是脉冲当量，刀具沿各个坐标轴方 向的位移的大小只能是脉冲当量的整数倍 脉冲当量的整数倍。 向的位移的大小只能是脉冲当量的整数倍。 因此，数控机床的运动空间被被离散化为一个网格区域 网格区域， 因此，数控机床的运动空间被被离散化为一个网格区域，网格大小为一个 脉冲当量，刀具只能运动到网格节点的位置。 脉冲当量，刀具只能运动到网格节点的位置。 如下图所示。 如下图所示。
插补的基本概念、脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别
插补模块
当前
目标
位置
位置
误差 调整运算
实际
位置
位置控制软件
进给 速度
驱动装置
测量元件
工作台
特点：
① 每次插补运算的结果不再是某坐标轴方向上的一个脉冲，而是与各坐标 轴位置增量相对应的几个数字量。此类算法适用于以直流伺服电机或交流伺服 电机作为驱动元件的闭环或半闭环数控系统。
② 数据采样插补程序的运行时间已不再是限制加工速度的主要因素。加工 速度的上限取决于插补精度要求以及伺服系统的动态响应特性。
大家好
第三章 轮廓插补原理 第一节 概述
（1）插补模块在数控系统软件中的作用 数控系统的一般工作过程如下。
编写数控加工程序
人
（个人计算机等）
工
处
理
输入数控加工程序
（通信接口、键盘等）
数
控
译码和预处理
系
（刀具补偿计算等）
统
自
动 处
插补运算处理
理
图纸 数控加工程序 驻留内存的数控加工程序
刀具中心轨迹 产生刀具坐标移动的实际控制信号
a0 a1 a6
a2 a3 a4 a5 a7
a0 a1 a2 a3 a4 a5
a6
a7
a8
a9
(a)
(b)
所谓插补，就是根据零件轮廓的几何形状、几何尺寸以及轮廓加工的 精度要求和工艺要求，在零件轮廓的起点和终点之间插入一系列中间点 （折线端点）的过程，即所谓“数据点的密化过程”，其对应的算法称为 插补算法。
Y F>0
E（Xe，Ye）
F<0
O
X
综合上述讨论，有如下结论。 ① 偏差值 Fi = XeYi - XiYe ② 当 Fi ≥ 0 时，动点在直线上，或在直线上方区域，应该向 +X 方向进 给一步； ③ 当 Fi ＜ 0 时，动点在直线下方区域，应该向 +Y 方向进给一步。
插补与刀补计算原理
Xi|、坐标|Yi|、总步数Σ＝＋|Ye－Ys|在内存中均占用三个字节，
并且F采用补码形式，其余数据采用绝对值或正数，地址分配 情况如表3-6所示。
14603C
表3-6 第Ⅰ象限逆圆插补参数地址分配表
14603C
(三)插补实例
例3-4设将要加工的零件轮廓为第Ⅰ象限逆圆，如图3-9所示， 圆心在坐标原点，起点为S(4，3)，终点为E(0，5)，试用逐点比
4。该圆弧插补运算过程如表3-11所示，插补轨迹如图3-25的折
线所示。
14603C
表3-11 DDA圆弧插补运算过程
14603C
四、数字积分法插补的象限处理
表3-12 DDA法插补不同象限直线和圆弧情况
14603C
五、提高数字积分法插补质量的措施
(一)合成进给速度 (二)进给速度均匀化的措施
14603C
(三)插补实例
例3-6设有第Ⅰ象限逆圆弧，如图3-25所示，起点为S(4，0)，终 点为E(0，4)，且寄存器位数N=3。试用DDA法对该圆弧进行插
补，并画出插补轨迹。
解 插补开始时，被积函数寄存器初值分别为 JVX＝Ys＝0，J
VY＝Xs＝4，终点判别寄存器JΣX＝|Xe－Xs|＝4，JΣY＝|Ye－Ys|＝
图3-17 合成进给速度 与轴速度的关系
14603C
四、逐点比较法合成进给速度
图3-18 合成进给速度变化曲线
14603C
第三节 数字积分法 一、数字积分法基本原理 二、数字积分法直线插补
三、数字积分法圆弧插补
四、数字积分法插补的象限处理 五、提高数字积分法插补质量的措施
14603C
一、数字积分法基本原理
→NR2→NR3→NR4→NR1→…；顺圆过象限的转换顺序是：SR1→
8-数据采样插补
X f cos
又由式
X (Xi )X 2 Y Y Yi 2
便可求得 △Y. △X 、△Y求出后，可求得新的插补点坐标值为
Xi+1＝Xi＋Δ X，Yi+1＝Yi＋Δ Y
插补周期越长，插补计算误差越大，插补周期应 尽量选得小一些。CNC系统在进行轮廓插补控制时，除 完成插补计算外，数控装置还必须处理一些其它任务， 如显示、监控、位置采样及控制等。 因此，插补周期应大于插补运算时间和其它实时 任务所需时间之和。插补周期大约在8ms左右。 对于直线插补，不会造成轨迹误差。在圆弧插补 中，会带来轨迹误差。
4.2
数据采样插补原理
1. 数据采样直线插补 如图5-14所示，直线起点在原点O(0，0)，终点为E(Xe， Ye)，刀具移动速度为F。设插补周期，则每个插补周期的进给 步长为
L FTs
各坐标轴Ye L
Y E(Xe, Ye) Yi＋ 1 Yi Ni Ni＋ 1 L Yi Xi
O
图
Xi
Xi＋ 1
X
数据采样法直线插补
式中,L为直线段长度；K为系数， 因为
L
X e2 Ye2
K L / L
X i X i 1 X i X i 1 KX e Yi Yi 1 Yi Yi 1 KYe
因而动点的插补计算公式为
X i X i-1 Yi Yi-1
L FTs
Y E(Xe, Ye) L＝FT S
A(Xa, Ya)
O
X
图1-15 用弦进给代替弧进给
如图所示，设刀具在第一象限沿顺时针圆弧运动，圆上点 A(Xi，Yi)为刀具当前位置，B(Xi＋1，Yi＋1)为刀具插补后到达
轮廓插补原理——概述
第三章轮廓插补原理本章主要介绍了数控系统中的各种轮廓插补原理及特点。
首先对脉冲增量插补法和数据采样插补法的特点进行了对比和概括，然后重点介绍了逐点比较法、数字积分法和数据采样法插补的基本原理及实现方法，最后还简要介绍了比较积分法、样条插补法和螺纹加工插补算法等。
第一节概述根椐零件图编写出数控加工程序后，通过输入设备将其传送到数控装置内部，然后经过数控系统控制软件的译码和预处理，就开始针对刀具补偿计算后的刀具中心轨迹进行插补运算处理。
插补是整个数控系统软件中一个极其重要的功能模块之一，其算法的选择将直接影响到系统的精度、速度及加工能力等。
在数控机床加工过程中，刀具只能以折线去逼近将要加工的曲线轮廓，所以它的运动轨迹是并不是光滑的曲线。
为了实现轮廓控制，就必须实时计算出满足零件形状和进给速度要求的介于起点与终点之间的若干个中间点的坐标，这些可以通过插补算法来获得。
所谓插补就是根据零件轮廓尺寸，结合精度和工艺等方面的要求，在已知刀具中心轨线转接点之间插入若干个中间点的过程。
换句话说，就是“数据点的密化过程”，其对应的算法称为插补算法。
中间点的获取是根据相应的算法由数控系统软件或硬件自动完成，并以此来协调控制各坐标轴的运动，从而获得所要求的运动轨迹。
在早期的硬件数控系统中，插补过程是由专门的数字逻辑电路完成的，而在计算机数控系统(CNC) 中，既可全部由软件实现，也可由软、硬件结合完成。
显然，硬件插补的速度快，但电路复杂，并且调整和修改都相当困难，缺乏柔性；而软件插补的速度虽然慢一些，但调整很方便，特别是目前计算机处理速度的不断提高，为缓和速度矛盾创造了有利条件。
所以，本章主要介绍数控系统中使用较多的软件插补算法。
常见零件轮廓的形状有直线、圆弧、抛物线、自由曲线等，但其中直线和圆弧是构成被加工零件轮廓的基本线型，所以绝大多数数控系统都具有直线和圆弧插补功能，下面将对此进行重点介绍。
而对于某些高档数控系统中所具有的椭圆、抛物线、螺旋线、列表曲线等复杂线型的插补功能，可以参阅有关书目。
数据采样法插补原理
f 的单位为μm/8ms，v的单位为㎜/min
2021/4/21
4
5单元 数据采样法插补原理
二 时间分割法直线插补
1. 原理：
设要求刀具在xy平面中作图示的直线运
动。插补时，取增量大的作长铀，小的为短 轴，要求两轴速度保持一定的比例，且同时 到达终点。
设刀具移动方向与长轴夹角为α，OA为一 次插补的进给步长f 。根据终点坐标A(xe，ye)， 可得：
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如何计算一个周期内各坐标轴的增量值 3
5单元 数据采样为许多相等的△t（时间
分割），计算出步长（ △X，△Y），边计算边加工，直至加工终点；直线
插补无误差。
FANUC 7M系统， 插补周期△t = 8ms（位置采样周期4ms)，步长(单位
然后再计算出相应插补点（动点）位置的坐标值。
这种方法是把加工一段直线或圆弧的整段时间分为许多相等的时间间
隔，该时间间隔称为单位时间间隔，也即插补周期。在时间分割法中， 每经过一个单位时间间隔就进行一次插补计算，算出进给量，再根据刀 具运动轨迹与各坐标轴的几何关系求出各轴在一个插补周期内的进给量。
要解决两个问题：如何选择插补周期
由点A(xi, yi)求出下一点B(xi+1, yi+1)，实质上是求在 一次插补周期的时间8ms内x轴和y轴的进给量△x和△y。 图中的弦AB正是圆弧插补时每个周期的进给步长f， AP是A点的圆弧切线，M是弦的中点。显然，ME ⊥AF ，E是AF的中点，而OM⊥AB 。由此，圆心角具 有下列关系：
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16
13
三 时间分割法扩展DDA插补
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1--插补的基本概念、脉冲增量插补与数据采样插补的特点和区别、逐点比较法的基本原理、直线插补和圆弧插补
F<0
O X
综合上述讨论，有如下结论。 ① 偏差值 Fi = XeYi - XiYe ② 当 Fi ≥ 0 时，动点在直线上，或在直线上方区域，应该向 +X 方向进 给一步； ③ 当 Fi ＜ 0 时，动点在直线下方区域，应该向 +Y 方向进给一步。
据此可设计出逐点比较法直线插补的计算流程如下。
插补模块
目标 位置
当前 位置 误差 实际 位置
调整运算
进给 速度
驱动装置 测量元件
工作台
位置控制软件
综上所述，各类插补算法都存在着速度与精度之间的矛盾。为解决这个 问题，人们提出了以下几种方案。 ① 软件/硬件相配合的两级插补方案 在这种方案中，插补任务分成两步完成： 首先，使用插补软件（采用数据采样法）将零件轮廓按插补周期（10～ 20ms）分割成若干个微小直线段，这个过程称为粗插补。 随后，使用硬件插补器对粗插补输出的微小直线段做进一步的细分插补， 形成一簇单位脉冲输出，这个过程称为精插补。 ② 多个CPU的分布式处理方案 首先，将数控系统的全部功能划分为几个子功能模块，每个子功能模块 配置一个独立的CPU来完成其相应功能，然后通过系统软件来协调各个CPU之 间的工作。
开始 偏差计算 Y F>0 E（Xe，Ye）
偏差判别
坐标进给
到达终点？ Y 结束 N O
F<0
X
偏差值的迭代计算公式 通过以上讨论，逐点比较法直线插补的偏差值计算公式为 Fi = XeYi – XiYe
该式有一个缺点：需要做乘法运算。对于硬件插补器或者使用汇编语言的 软件插补器，这将产生一定的困难。
② 投影法 在插补处理开始之前，先确定直线轮廓终点坐标绝对值中较大的那根轴， 并求出该轴运动的总步数，然后存放在总步长计数器∑ 中。 ∑=max（|Xe|， |Ye|） 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果终点坐标绝对值较大的那根坐 标轴进给一步，则计数器∑做减1操作。当计数器∑内容减到零时，表示刀具 在终点坐标绝对值较大的那根坐标轴方向上已经走了规定的步数，应该已经抵 达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。 ③ 终点坐标法 在插补处理开始之前，先设置两个步长计数器∑1 和∑2 ，分别用来存放 刀具在两个坐标轴方向上应该走的总步数： ∑1 = |Xe|， ∑2 = |Ye| 在插补过程中，每进行一次插补计算，如果X方向进给一步，则计数器∑1 做减1操作；如果Y方向进给一步，则计数器∑2做减1操作。当两个步长计数器 都为零时，表示刀具已经抵达直线轮廓的终点，系统停止插补计算。
第三节 数据采样法插补
T= nΔ TP
n=0，1，……
由于插补运算的输出是位置控制的输入，因此插 补周期最好是位置控制周期的整数倍。 例如，FANUC 7M系统的插补周期是8ms，而位置 控制周期是4ms。
二 、直接函数法
1.直线插补
设要加工右图所示直线 OE ，起点 在坐标原点O，终点为 E （Xe,Ye）， 直线与X轴夹角为，则有：
Δ Xi
Y
E(Xe，Ye）
Δ Yi
cos ye / xe ye
2
2
α
O
直线插补
X
tan ye / xe
若已计算出轮廓步长，从而 求得本次插补周期内各坐标轴 进给量为：
xi l cos x x x i 1 i i yi 1 xi 1 tan yi yi 1 yi
第三节 数据采样法插补
采样是指由时间上连续信号取出不连续信号，对时间上连 续的信号进行采样，就是通过一个采样开关K（这个开关K每 隔一定的周期TC闭合一次）后，在采样开关的输出端形成一连 串的脉冲信号。这种把时间上连续的信号转变成时间上离散的 脉冲系列的过程称为采样过程，周期T叫采样周期。 计算机定时对坐标的实际位置进行采样，采样数据与指令位 置进行比较，得出位置误差用来控制电动机，使实际位置跟随 指令位置。对于给定的某个数控系统，插补周期Ts和采样周期 TC是固定的，通常Ts≥TC，一般要求Ts是TC的整数倍。
但ts也不能太短因为cnc系统在进行轮廓插补控制时其cnc装置中的cpu不仅要完成插补运算还必须处理一些其他任务如位置误差计算显示监控io处理等因此ts不单是指cpu完成插补运算所需的时间而且还必须留出一部分时间用于执行其他相关的cnc任务
数控技术
第三章 数控轮廓插补原理
二、逐点比较法圆弧插补
Y B (Xe,Ye)
F<0
Ri
当M(Xi,Yi)在圆弧上，则F=0； 当M(Xi,Yi)在圆弧外，则F>0； F=0 M(Xi,Yi) 当M(Xi,Yi)在圆弧内，则F<0；
F>0
R
O A(X0,Y0)
X
进给方向判别 当F0， 则沿-X方向进给一步 当F<0， 则沿+Y方向进给一步
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对于以高性能的步进电机和脉冲控制式数字伺服系统等为 执行装置的数控系统，还需采用混合插补算法，这种插补 方法包含两级插补过程。第一级采用数据采样插补算法， 将被插补曲线分解为微小直线段；第二级采用脉冲增量插 补算法，进一步将微小直线段分解为各坐标轴的进给脉冲 。为保证两级插补协调运行，第二级直线插补的完成时间 应等于第一级插补的插补周期。
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插补原理
2. 实现插补的方法： 硬件插补、软件插补、软硬件插补 3. 插补方法 脉冲增量插补法 数字积分法 时间分割法
（用于闭环系统）
逐点比较法
（用于开环系统）
数字增量插补法
扩展DDA法
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3、 常用的插补方法
1）脉冲增量插补算法 脉冲增量插补算法适用于以步进电机为驱动元件的开环数 控系统。这类插补方法是通过向各个运动轴分配脉冲，控 制机床坐标轴作相互协调的运动，从而加工出一定形状零 件轮廓。特点是每个插补周期只产生一个脉冲，在整个插 补过程中，计算机不断输出驱动步进电机旋转的脉冲序列 。相对于每一个脉冲，机床移动部件所产生的位移称之为 脉冲当量，一般用δ或BLU表示。对于普通数控机床，一般 取δ =0.01mm，比较精密的数控机床可取δ =0.005mm、 0.0025mm或0.001mm等。这种插补方法比较简单，通常用加 法和移位就可以完成插补。因此，比较容易用硬件来实现 ，而且用硬件实现的脉冲插补运算的速度很快。随着计算 机的运算速度的提高，现在大多数用软件来完成这类运算 。属于脉冲增量插补的具体算法有：数字脉冲乘法器法、 逐点比较法、数字积分法、最小偏差法等。
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第四节数据采样法随着数控系统中计算机的引入，大大缓解了插补运算时间和计算复杂性之间的矛盾，特别是高性能直流伺服系统和交流伺服系统的研制成功，为提高现代数控系统的综合性能创造了充分条件。
相应地，这些现代数控系统中采用的插补方法，就不再是最初硬件数控系统中所使用的脉冲增量法，而是结合了计算机采样思想的数据采样法。
所谓数据采样法就是利用一系列首尾相连的微小直线段来逼近给定曲线。
由于这些线段是按加工时间来分割的，因此，数据采样法又称为“时间分割法”。
一般来讲，分割后所得到的微小直线段相对系统精度而言仍显过大，需要在微小直线段的基础上进一步密化数据点。
获取微小直线段的过程称为粗插补，将微小直线段进一步密化的过程称为精插补。
通过两者的紧密配合即可实现高性能零件轮廓插补。
一般情况下，数据采样插补法中的粗插补是由软件实现。
由于粗插补可能涉及到一些比较复杂的函数运算，因此，大多采用高级语言完成。
而精插补算法大多采用前面介绍的脉冲增量法，它既可由软件实现也可由硬件实现，由于相应算术运算较简单，所以软件实现时大多采用汇编语言完成。
一、插补周期与位置控制周期所谓插补周期T S是指相邻两个微小直线段之间的插补时间间隔，而位置控制周期T C则是数控系统中伺服位置环的采样控制时间间隔。
对于给定的数控系统而言，插补周期和位置控制周期是两个固定不变的时间参数。
通常取T S≥T C，目的是便于系统内部控制软件的处理。
当T S与T C不相等时，一般要求T S是T C的整数倍。
这是由于插补运算较复杂，处理时间较长；而位置环数字控制算法较简单，处理时间较短。
因此，每次插补运算的结果可供位置环多次使用。
现假设程编进给速度为F，插补周期为T S，则可求得插补分割后的微小直线段长度为∆L（暂不考虑单位）为∆L=FT S。
插补周期T S对系统稳定性没有影响，但对被加工轮廓的轨迹误差有影响。
位置控制周期T C不仅对系统稳定性而且对轮廓误差均有影响。
因此，T S的选择，主要从插补精度方面考虑，而T C的选择则需从伺服系统的稳定性和动态跟踪误差两个方面加以考虑。
一般情况下，插补周期T S越长，插补计算误差就越大。
因此，单从减小插补计算误差的角度来考虑时，希望插补周期T S越小越好。
但另一方面，T S也不能太小，由于数控系统在进行轮廓插补控制的同时，其数控装置中CPU不仅要完成插补运算，而且还必须处理一些其他任务，例如：位置误差计算、显示、监控、I/O处理等。
因此，T S不单是指CPU完成插补运算所需时间，而且还必须留出一部分时间用于执行其他相关的数控任务。
由此可见，要求插补周期T S必须大于插补运算时间和完成其他相关任务所需时间总和。
据有关资料介绍，数控系统数据采样法插补周期一般不大于20ms，使用较多的大都在10ms左右。
例如美国AB公司的7360数控系统中T S=10.24ms；德国SIEMENS公司的System-7数控系统中T S=8ms。
但随着CPU处理速度的提高，为了获得更高的插补精度，插补周期也会越来越小。
数控系统位置控制周期的选择有两种方式：一种是T C=T S，如7360系统中T C=T S =10.24ms；另一种是T S为T C的整数倍，如System-7数控系统中T S=8ms、T C=4ms，即插补周期是位置控制周期的2倍。
插补程序每8ms调用一次，计算出该周期内各坐标轴相应的进给增量，而位置控制程序每4ms将插补计算增量的一半作为该位置控制周期的位置给定，也就是说，每个插补周期计算出来的坐标增量均分两次送给伺服系统去执行。
这样，在不改变计算机速度的前提下，可提高位置环的采样频率，使得进给速度变化较为平缓，提高了系统的动态性能。
一般来讲，位置控制周期T C取值范围大致在4～20ms之间。
二、插补周期与精度、速度之间的关系在数据采样法直线插补过程中，由于给定轮廓本身就是直线，那么插补分割后的小直线段与给定直线在理论上是重合的，也就不存在插补误差问题。
但在圆弧插补过程中，一般采用切线、内接弦线和割线来逼近圆弧，显然，这些微小直线段不可能完全与圆弧相重合，从而造成了轮廓插补误差。
下面就以弦线逼近法为例来加以分析。
r⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21θcos R e r （3-52） 式中 R ——被插补圆弧半径（mm ）；θ ——步距角，即每个插补周期所走过的弦线对应的圆心角，其值为θ≈∆L /R =FT S /R （3-53）反过来，在给定所允许的最大径向误差e r 后，也可以求出最大的步距角为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R e arccos r max 12θ （3-54） 由于θ 很小，现将 cos(θ/2) 按幂级数展开，有-+-=！）（！42221242/)/(cos θθθ若取上式的前两项，代入式（3-52），得 ()R FT R /R R e S r 188221222）（！==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--≈θθ （3-55） 由式（3-55）可以看出：在圆弧插补过程中，插补误差e r 与被插补圆弧半径R 成反比，与插补周期T S 以及程编进给速度F 的平方成正比。
即T S 越长、F 越大、R 越小，圆弧插补的误差就越大；反之，误差就越小。
对于给定的圆弧轮廓以及插补误差而言，T S 尽可能选小一些，以便获得较高的进给速度F ，提高了加工效率。
进一步当插补周期、插补误差不变时，被加工圆弧轮廓的曲率半径越大，其允许使用的切削速度就越高。
三、数据采样法直线插补（一）基本原理假设刀具在XOY 平面内加工直线轮廓OE ，起点为O （0，0），终点为E （X e ，Y e ），动点为N i －1（X i －1，Y i －1），且程编进给速度为F ，插补周期为T S ，如图3-28所示。
易求出该插补周期内各坐标轴对应的位置增量为e e i KX X LL X ==∆∆ （3-56a ） e e i KY Y LL Y ==∆∆ （3-56b ） 式中 L ——被插补直线长度 22e e Y X L +=（mm ）；K ——每个插补周期内的进给速率数K =ΔL /L =（FT S ）/ L 。
从而得出下一个动点N i 的坐标值为e i i i i X L L X X X X ∆∆+=+=--11 （3-57a ） e i i i i Y L LY Y Y Y ∆∆+=+=--11（3-57b ） （二）实现方法通过前面的分析可以看出，利用数据采样法插补直线的算法比较简单。
主要分为两个步骤：第一步是插补准备，主要完成一些常量的计算工作，例如L 、K 的计算，对于每个零件轮廓段一般仅执行一次；第二步是插补计算，主要完成该周期对应坐标增量值 (△Xi ,△Yi ) 及动点坐标值 (Xi ,Yi )的计算工作，一般每个插补周期均执行一次。
具体软件流程如图3-29所示。
关于如图3-29所示软件流程图说明如下：1）数据采样法插补计算所使用的起始坐标、终点坐标及插补所得到的动点坐标均为带有符号的代数值，而不象脉冲增量插补算法那样使用绝对值参与插补运算，并且这些坐标值也不一定要转换成以脉冲当量为单位的整数值。
也就是说，数据采样法中所涉及到的坐标值是带有正、负符号的真实坐标值。
2）求取坐标增量值与动点坐标值的计算公式（3-56）和（3-57）并非唯一的，例如，也可以利用直线轮廓与横坐标夹角的三角函数关系来求得。
3）关于数据采样法的终点判别问题，将在后面集中加以讨论。
四、数据采样法圆弧插补数据采样法圆弧插补的基本思路是在满足加工精度的前提下，用弦线或割线来代替弧线实现进给，即用直线段逼近圆弧。
（一）直接函数法——内接弦线法1．基本原理所谓“内接弦线法”就是利用圆弧上相邻两个采样点之间的弦线来逼近相应圆弧的插补算法。
为了计算方便，将坐标轴分为长轴和短轴，并定义位置增量值较大的轴为长轴，位置增量值较小的轴为短轴。
由圆的参数方程求导可以得出，在圆弧插补过程中，坐标轴的进给速度与动点坐标的绝对值成反比。
也就是说，动点坐标的绝对值越大，其对应的位置增量值越小。
因此，长轴也可以定义为坐标绝对值较小的轴。
如图3-30所示SR 1，设A （X i －1，Y i －1）和B （X i ，Y i ）是圆弧上两个相邻的插补点，弦AB 是弧对应的弦长ΔL ，若进给速度为F ，插补周期为T S ，则有ΔL =FT S 。
当刀具由A 点运动到B 点时，其对应的X 轴坐标增量为|ΔX i |，Y 轴的坐标增量为|ΔY i |。
由于A 、B 两点均为圆弧上的点，故它们均应满足圆的方程，即()()2212122R Y Y X X Y X i i i i i i =+++=+--∆∆ （3-58） 式中ΔX i 、ΔY i 均为带符号数，且有ΔX i ＞０，ΔY i ＜０。
对于如图3-30所示情况，由于|Y i －1|＞|X i －1|，故取X 轴为长轴，这时先求ΔX i 。
根据图中几何关系可得)cos(L cos L X i i i θα∆α∆∆211+='=- （3-59）其中，θ为AB 对应的圆心角(步距角)。
由于图中M 点为弦AB 的中点，故有 OMO Y )cos(M i =+-θα211≈R /Y Y i i 21∆-- （3-60） 上式中由于|ΔY i |未知，因此，不能直接求得余弦值，只有通过近似方法来求。
由于在圆弧插补过程中，两个相邻插补点之间的位置增量值相差很小，尤其对于短轴（Y 轴）而言，|ΔY i －1|与|ΔY i |相差就更小了，这样就可以利用|ΔY i －1|近似代替|ΔY i |参与计算，由此而引起的轮廓误差暂时可以忽略不计。
故将式（3-60）改写成|)Y ||Y (|R )cos(i i i 11121121----≈+∆θα （3-61） 将式(3-61)代入式(3-59)可求得 )Y Y (R L X i i i 1121--+=∆∆∆ （3-62a ） 又根据式（3-58）可求得 ()2121i i i i X X R Y Y ∆∆+-±-=-- （3-62b ）通常，θ 很小，对于递推算式（3-62）而言，ΔX i 和ΔY i 的初值可近似为RY L)cos(L )cos(L X S ∆α∆θα∆∆=≈+=00021 （3-63a ） RX L )sin(L )sin(L Y S ∆α∆θα∆∆=≈+=00021 （3-63b ） 式中 （X S ，Y S ）为圆弧起点坐标。
通过上述推导过程可以看出，在近似处理过程中仅对角度αi ′= αi －1＋θ/2有微小的影响。
由于式（3-58）的约束条件保证了所有插补点均落在圆弧上，因此，插补的主要误差来自弦线代替弧线进给所造成的误差。
同理，当|X i －1|＞|Y i －1|时，应取Y 轴作为长轴，并先求|ΔY i |＝ΔL sin αi ′，则可推得)X X (R L Y i i i 1121--+=∆∆∆ （3-64a ） ()2121i i i i Y Y R X X ∆∆+-±-=-- （3-64b ）根据上述坐标增量值可求得动点坐标为X i =X i －1＋∆X i （3-65a ）Y i =Y i －1＋∆Y i （3-65b ）2．软件实现对于位置增量计算表达式（3-62）和式（3-64）而言，均有“±”号问题。