轮廓插补原理——数据采样法
第四节数据采样法
随着数控系统中计算机的引入，大大缓解了插补运算时间和计算复杂性之间的矛盾，特别是高性能直流伺服系统和交流伺服系统的研制成功，为提高现代数控系统的综合性能创造了充分条件。相应地，这些现代数控系统中采用的插补方法，就不再是最初硬件数控系统中所使用的脉冲增量法，而是结合了计算机采样思想的数据采样法。
所谓数据采样法就是利用一系列首尾相连的微小直线段来逼近给定曲线。由于这些线段是按加工时间来分割的，因此，数据采样法又称为“时间分割法”。一般来讲，分割后所得到的微小直线段相对系统精度而言仍显过大，需要在微小直线段的基础上进一步密化数据点。获取微小直线段的过程称为粗插补，将微小直线段进一步密化的过程称为精插补。通过两者的紧密配合即可实现高性能零件轮廓插补。
一般情况下，数据采样插补法中的粗插补是由软件实现。由于粗插补可能涉及到一些比较复杂的函数运算，因此，大多采用高级语言完成。而精插补算法大多采用前面介绍的脉冲增量法，它既可由软件实现也可由硬件实现，由于相应算术运算较简单，所以软件实现时大多采用汇编语言完成。
一、插补周期与位置控制周期
所谓插补周期T S是指相邻两个微小直线段之间的插补时间间隔，而位置控制周期T C则是数控系统中伺服位置环的采样控制时间间隔。对于给定的数控系统而言，插补周期和位置控制周期是两个固定不变的时间参数。
通常取T S≥T C，目的是便于系统内部控制软件的处理。当T S与T C不相等时，一般要求T S是T C的整数倍。这是由于插补运算较复杂，处理时间较长；而位置环数字控制算法较简单，处理时间较短。因此，每次插补运算的结果可供位置环多次使用。现假设程编进给速度为F，插补周期为T S，则可求得插补分割后的微小直线段长度为?L（暂不考虑单位）为?L=FT S。
插补周期T S对系统稳定性没有影响，但对被加工轮廓的轨迹误差有影响。位置控制周期T C不仅对系统稳定性而且对轮廓误差均有影响。因此，T S的选择，主要从插补精度方面考虑，而T C的选择则需从伺服系统的稳定性和动态跟踪误差两个方面加以考虑。
一般情况下，插补周期T S越长，插补计算误差就越大。因此，单从减小插补计算误差的角度来考虑时，希望插补周期T S越小越好。但另一方面，T S也不能太小，由于数控系统在进行轮廓插补控制的同时，其数控装置中CPU不仅要完成插补运算，而且还必须处理一些其他任务，例如：位置误差计算、显示、监控、I/O处理等。因此，T S不单是指CPU完成插补运算所需时间，而且还必须留出一部分时间用于执行其他相关的数控任务。由此可见，要求插补周期T S必须大于插补运算时间和完成其他相关任务所需时间总和。据有关资料介绍，数控系统数据采样法插补周期一般不大于20ms，使用较多的大都在10ms左右。例如美国AB公司的7360数控系统中T S=10.24ms；德国SIEMENS公司的System-7数控系统中T S=8ms。但随着CPU处理速度的提高，为了获得更高的插补精度，插补周期也会越来越小。
数控系统位置控制周期的选择有两种方式：一种是T C=T S，如7360系统中T C=T S =10.24ms；另一种是T S为T C的整数倍，如System-7数控系统中T S=8ms、T C=4ms，即插补周期是位置控制周期的2倍。插补程序每8ms调用一次，计算出该周期内各坐标轴相应的进给增量，而位置控制程序每4ms将插补计算增量的一半作为该位置控制周期的位置给定，也就是说，每个插补周期计算出来的坐标增量均分两次送给伺服系统去执行。这样，在不改变计算机速度的前提下，可提高位置环的采样频率，使得进给速度变化较为平缓，提高了系统的动态性能。一般来讲，位置控制周期T C取值范围大致在4～20ms之间。
二、插补周期与精度、速度之间的关系
在数据采样法直线插补过程中，由于给定轮廓本身就是直线，那么插补分割后的小直线
段与给定直线在理论上是重合的，也就不存在插补误差问题。但在圆弧插补过程中，一般采用切线、内接弦线和割线来逼近圆弧，显然，这些微小直线段不可能完全与圆弧相重合，从而造成了轮廓插补误差。下面就以弦线逼近法为例来加以分析。
r
?????
???? ??-=21θcos R e r （3-52） 式中 R ——被插补圆弧半径（mm ）；
θ ——步距角，即每个插补周期所走过的弦线对应的圆心角，其值为
θ≈?L /R =FT S /R （3-53）
反过来，在给定所允许的最大径向误差e r 后，也可以求出最大的步距角为
??? ?
?-=R e arccos r max 12θ （3-54） 由于θ 很小，现将 cos(θ/2) 按幂级数展开，有
-+-=！
）（！42221242/)/(cos θθθ
若取上式的前两项，代入式（3-52），得 ()R FT R /R R e S r 188221222）（！==???????
?--≈θθ （3-55） 由式（3-55）可以看出：在圆弧插补过程中，插补误差e r 与被插补圆弧半径R 成反比，与插补周期T S 以及程编进给速度F 的平方成正比。即T S 越长、F 越大、R 越小，圆弧插补的误差就越大；反之，误差就越小。对于给定的圆弧轮廓以及插补误差而言，T S 尽可能选小一些，以便获得较高的进给速度F ，提高了加工效率。进一步当插补周期、插补误差不变时，被加工圆弧轮廓的曲率半径越大，其允许使用的切削速度就越高。
三、数据采样法直线插补
（一）基本原理
假设刀具在XOY 平面内加工直线轮廓OE ，起点为O （0，0），终点为E （X e ，Y e ），动点为N i －1（X i －1，Y i －1），且程编进给速度为F ，插补周期为T S ，如图3-28所示。 易求出该插补周期内各坐标轴对应的位置增量为
e e i KX X L
L X ==?? （3-56a ） e e i KY Y L
L Y ==?? （3-56b ） 式中 L ——被插补直线长度 22e e Y X L +=
（mm ）；
K ——每个插补周期内的进给速率数K =ΔL /L =（FT S ）/ L 。
从而得出下一个动点N i 的坐标值为
e i i i i X L L X X X X ??+
=+=--11 （3-57a ） e i i i i Y L L
Y Y Y Y ??+=+=--11
（3-57b ） （二）实现方法
通过前面的分析可以看出，利用数据采样法插补直线的算法比较简单。主要分为两个步骤：第一步是插补准备，主要完成一些常量的计算工作，例如L 、K 的计算，对于每个零件轮廓段一般仅执行一次；第二步是插补计算，主要完成该周期对应坐标增量值 (△Xi ,△Yi ) 及动点坐标值 (Xi ,Yi )的计算工作，一般每个插补周期均执行一次。具体软件流程如图3-29所示。
关于如图3-29
所示软件流程图说明如下：
1）数据采样法插补计算所使用的起始坐标、终点坐标及插补所得到的动点坐标均为带有符号的代数值，而不象脉冲增量插补算法那样使用绝对值参与插补运算，并且这些坐标值也不一定要转换成以脉冲当量为单位的整数值。也就是说，数据采样法中所涉及到的坐标值是带有正、负符号的真实坐标值。
2）求取坐标增量值与动点坐标值的计算公式（3-56）和（3-57）并非唯一的，例如，也可以利用直线轮廓与横坐标夹角的三角函数关系来求得。
3）关于数据采样法的终点判别问题，将在后面集中加以讨论。
四、数据采样法圆弧插补
数据采样法圆弧插补的基本思路是在满足加工精度的前提下，用弦线或割线来代替弧线实现进给，即用直线段逼近圆弧。
（一）直接函数法——内接弦线法
1．基本原理
所谓“内接弦线法”就是利用圆弧上相邻两个采样点之间的弦线来逼近相应圆弧的插补算法。为了计算方便，将坐标轴分为长轴和短轴，并定义位置增量值较大的轴为长轴，位置增量值较小的轴为短轴。由圆的参数方程求导可以得出，在圆弧插补过程中，坐标轴的进给速度与动点坐标的绝对值成反比。也就是说，动点坐标的绝对值越大，其对应的位置增量值越小。因此，长轴也可以定义为坐标绝对值较小的轴。
如图3-30所示SR 1，设A （X i －1，Y i －1）和B （X i ，Y i ）是圆弧上两个相邻的插补点，弦AB 是弧对应的弦长ΔL ，若进给速度为F ，插补周期为T S ，则有ΔL =FT S 。当刀具由A 点运动到B 点时，其对应的X 轴坐标增量为|ΔX i |，Y 轴的坐标增量为|ΔY i |。由于A 、B 两点均为圆弧上的点，故它们均应满足圆的方程，即
()()22
12122R Y Y X X Y X i i i i i i =+++=+--?? （3-58） 式中ΔX i 、ΔY i 均为带符号数，且有ΔX i ＞０，ΔY i ＜０。
对于如图3-30所示情况，由于|Y i －1|＞|X i －1|，故取X 轴为长轴，这时先求ΔX i 。根据图中几何关系可得
)cos(L cos L X i i i θα?α??2
11+='=- （3-59）
其中，θ为AB 对应的圆心角(步距角)。
由于图中M 点为弦AB 的中点，故有 OM
O Y )cos(M i =+-θα211≈R /Y Y i i 21?-- （3-60） 上式中由于|ΔY i |未知，因此，不能直接求得余弦值，只有通过近似方法来求。由于在圆弧插补过程中，两个相邻插补点之间的位置增量值相差很小，尤其对于短轴（Y 轴）而言，|ΔY i －1|与|ΔY i |相差就更小了，这样就可以利用|ΔY i －1|近似代替|ΔY i |参与计算，由此而引起的轮廓误差暂时可以忽略不计。故将式（3-60）改写成
|)Y ||Y (|R )cos(i i i 11121121----≈+?θα （3-61） 将式(3-61)代入式(3-59)可求得 )Y Y (R L X i i i 1121--+=??? （3-62a ） 又根据式（3-58）可求得 ()2121i i i i X X R Y Y ??+-±-=-- （3-62b ）
通常，θ 很小，对于递推算式（3-62）而言，ΔX i 和ΔY i 的初值可近似为
R
Y L
)cos(L )cos(L X S ?α?θα??=≈+=00021 （3-63a ） R
X L )sin(L )sin(L Y S ?α?θα??=≈+=00021 （3-63b ） 式中 （X S ，Y S ）为圆弧起点坐标。
通过上述推导过程可以看出，在近似处理过程中仅对角度αi ′= αi －1＋θ/2有微小的影响。由于式（3-58）的约束条件保证了所有插补点均落在圆弧上，因此，插补的主要误差来自弦线代替弧线进给所造成的误差。
同理，当|X i －1|＞|Y i －1|时，应取Y 轴作为长轴，并先求|ΔY i |＝ΔL sin αi ′，则可推得
)X X (R L Y i i i 1121--+=??? （3-64a ） ()2121i i i i Y Y R X X ??+-±-=-- （3-64b ）
根据上述坐标增量值可求得动点坐标为
X i =X i －1＋?X i （3-65a ）
Y i =Y i －1＋?Y i （3-65b ）
2．软件实现
对于位置增量计算表达式（3-62）和式（3-64）而言，均有“±”号问题。也就是何
时选用“＋”号或“－”号的问题需要进一步明确。
由上述推导过程以及长轴、短轴的定义可知，位置增量计算公式与圆弧所在象限以及区域有关。现用两条直线Y =X 和Y =－X 将XOY 平面的四个象限划分成如图3-31所示的四个区域，即Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅲ区和Ⅳ区。显然，式（3-62）适用于Ⅰ区和Ⅲ区，式（3-64）适用于Ⅱ区和Ⅳ区。
i i －1i 2121)X X (R Y Y i i i i ??+-=+--≥0 （3-65）
∴ 2121)X X (R Y Y i i i i ??+-+-=-- （3-66）
对于Ⅲ区而言，由于Y i ≤0，故Y i －1＋ΔY i ≤0，即
2121)X X (R Y Y i i i i ??+--=+--≤0 （3-67）
∴ 2121)X X (R Y Y i i i i ??+---=-- （3-68）
同理，对于Ⅱ区而言，根据X i ≥0，得
2121)(i i i i Y Y R X X ?+-=?+--≥0 （3-69）
∴ 2121)Y Y (R X X i i i i ??+-+-=-- （3-70）
对于Ⅳ区而言，根据X i ≤0，得
2121)Y Y (R X X i i i i ??+-=+--≤0 （3-71）
∴ 2
121)Y Y (R X X i i i i ??+---=-- （3-72）
现将前面推导的直接函数法插补SR 1的计算公式汇总在表3-14中。通过比较表中几组公式发现它们之间很有规律性，为此，可以利用一个符号变量将其进行合并。例如，在开根号前面引入符号变量S 1以后，在Ⅰ区和Ⅱ区的两套插补公式基础之上，令符号变量S 1=－1就能得到Ⅲ区和Ⅳ区的计算公式。
表3-14 直接函数法插补SR 1计算公式
另外，前面所推导的计算公式均是在顺圆情况下获得的，若进一步考虑逆圆插补的情况，则需再引入一个表示圆弧走向的符号变量S 2来实现转换。据此设计出相应的软件流程如图3-32所示。由于在插补计算过程中全部采用带符号的代数值进行运算，因此，上述算法不仅能适用于顺、逆圆的插补，而且还能实现自动过象限功能。
3
根据图3-27和图3-30的几何关系，可推得
(ΔL /2)2 = R 2－(R －e r )2
∴ 222r r e Re L -=?≤r Re 8 （3-73）
现假设允许的最大径向误差为e r ≤1μm ，插补周期为T S =8ms ，进给速度单位为mm/min ，将其代入式（3-73），并运算整理后，得
F ≤R .51054? (mm/min) （3-74）
可见，为了保证最大径向误差不超过1μm ，则要求进给速度满足式（3-74）的要求。
（二）一阶近似DDA 算法——切线法
如图3-33所示，若要求的进给速度为F ，插补周期为T S ，圆弧半径为R ，则每次插补的步距角可近似为
R FT s ≈
θ （3-75）
i －1i －1i －1i －1i i i 的夹角为
ψi = ψi －1＋θ （3-76）
根据图3-33所示的三角关系可求得动点N i －1和N i 的坐标表达式为
X i －1=Rcos ψi －1 （3-77a ）
Y i －1=Rsin ψi －1 （3-77b ）
X i =Rcos ψi =Rcos （ψi －1＋θ） （3-78a ）
Y i =Rsin ψi =Rsin （ψi －1＋θ） （3-78b ）
现将式（3-77）代入式（3-78）的展开式，并整理得
X i =X i －1cos θ －Y i －1sin θ （3-79a ）
Y i =Y i －1cos θ ＋X i －1sin θ （3-79b ）
由于θ很小，故将式（3-79）中sin θ 和cos θ 按泰勒级数展开，即
-+-
=!!sin 5353θθθθ （3-80a ） -+-=!
!cos 4214
2θθθ （3-80b ） 现对式（3-80）取一阶近似，则简化算式为
K R
FT sin s ==≈θθ (3-81a) cos θ≈1 (3-81b)
将式（3-81）代入式（3-79）中，则可获得动点N i 对应的坐标值和位置增量值
X i =X i －1 －KY i －1 （3-82a ）
Y i =Y i －1 ＋KX i －1 （3-82b ）
ΔX i =X i －X i －1=－KY i －1 （3-83a ）
ΔY i =Y i －Y i －1=KX i －1 （3-83b ）
由于式（3-81）中只取sin θ 和cos θ 展开级数的一次项，故称这种插补算法是一次近似。 另外，由脉冲增量方式的DDA 插补算法可知，在逆圆NR 1的插补公式（3－42）中若取Δt =T S ，则可获得下列算式
Y R
L Y R VT KYT X S S ??-=-=-= （3-84a ） X R
L X R VT KXT Y S S ??=== （3-84b ） 其中，ΔL =VT S 是每个插补周期内刀具进给的距离，实际上也就是（FT S ）之值。
比较式（3-84）和式（3-83）可以看出，一阶近似插补就是脉冲增量式DDA 插补算法的推广，两者并无本质上的区别。
如图3-34所示为使用一阶近似DDA 插补算法来插补第Ⅰ象限逆圆弧AF 的实例。
显然，图中插补轨迹ABCDEF 与理想轮廓AF 之间存在较大误差。因此，在实际数控系统中并不能使用。
（三）二阶近似DDA 法——割线法
1．基本原理
二阶近似DDA 法实际上是在一阶近似DDA 法的基础上进一步推导得到的，其目的在于进一步提高轮廓插补精度。
现对式（3-80）中sin θ 和cos θ 取二阶近似，即有
K R
FT sin S ==≈θθ （3-85a ） 222
11211K cos -=-≈θθ （3-85b ） 同样，将式（3-85）代入式（3-79）中，整理可得插补动点坐标的表达式为
11212
1-----=i i i i KY X K X X （3-86a ） 11212
1---+-=i i i i KX Y K Y Y （3-86b ） 则第i 次插补动点的位置增量为
11212
1-----=-=i i i i i KY X K X X X ? （3-87a ） 11212
1---+-=-=i i i i i KX Y K Y Y Y ? （3-87b ） 式（3-86）和式（3-87）即为NR 1的二阶近似DDA 法插补公式。实际上，对于四个象限的逆圆来讲，角度ψi 是连续增大的，因此，当采用带符号的代数值进行运算时，式（3-86）和式（3-87）对于所有逆圆的插补都是适用的，也就是说对于NR 1～NR 4的插补计算均可使用式（3-86）和式（3-87）。
但对顺圆而言，随着动点的移动，角度ψi 向递减的方向变化。仿照上述推导过程，可求得适用于顺圆SR 1～SR 4的一组插补公式如下
11212
1---+-=i i i i KY X K X X （3-88a ） 11212
1-----=i i i i KX Y K Y Y （3-88b ） 11212
1---+-=-=i i i i i KY X K X X X ? （3-89a ） 11212
1-----=-=i i i i i KX Y K Y Y Y ? （3-89b ） 比较式（3-86）与式（3-88）、式（3-87）与式（3-89）可以看出，只要根据圆弧的顺、逆走向，及时改变K 的符号就可将这两组公式统一起来。
以上是二阶近似DDA 法插补圆弧的推导过程，下面从几何角度来进一步加以说明。如图3-35所示，第Ⅰ象限逆圆弧SE 的起点为
S （X S ，Y S ），终点为E （X e ，Y e ），圆心为O （0，0），半径为R 。现假设第(i －1)个插补动点的坐标为N i －1（X i －1，Y i －1），当刀具从点N i －1按切线方向进给一个插补步长ΔL =FT S 时，可到达点N i ′，即有S i i FT L N N =='-?1。现取点B 为微小直线段i i N N '-1的中点，则有21/L 'BN B N i i ?==-。然后以OB 为半径，作圆弧SE 的同心圆，再过点B 作该圆弧的切线BC ，最后过N i －1点作BC 的平行线i i N N 1-，并且使 L FT N N S i i ?==-1。此时可以证明，点N i 必然落在圆弧SE 之外，因此，直线段i i N N 1-被称为割线。显然，若用割线i i N N 1-来代替切线i i N N '-1实现进给，由此所造成的径向误差将大大减小，插补精度将明显提高。
利用如图3-35所示的几何关系，可以证明图中i i N N 1-对应两坐标轴上的位置增量ΔX i 、
ΔY i 与式（3-87）完全相吻合。这也说明这两种方法是完全等同的，只是分别从不同的角度出发推得同样的结果而已。因此，二阶近似DDA 法圆弧插补又称为割线法。
2．软件实现
根据式（3-86）～式（3-89），引入符号变量S ，将插补计算公式合并处理后，按插补准备、插补计算两大步骤，设计出二阶近似DDA 法插补的软件流程，如图3-36所示。
3例3-7 设某闭环数控系统的插补周期为T S =8ms ，程编进给速度为F =300mm/min ，进给速度倍率为80%。试完成如下计算：
（1）求稳定进给速度f S （mm/插补周期）；
（2）若插补第三象限的直线OE ，起点为O （0，0），终点为E （－6，－8），求每个插补周期内的坐标增量值（ΔX i ，ΔY i ）；（设坐标单位：mm ）
（3）若插补NR 2圆弧SE ，圆心为O （0，0），起点为S （0，10），终点为E （－10，0），且稳定进给时某动点坐标为N i －1（－6，＋8），试求下一个插补动点的坐标N i （X i ，Y i ）。（设坐标单位：mm ）
解：（1） 03201000
60830080100060..KFT f S S =???=?= （mm/插补周期） ∴ ΔL =0.032 (mm)
（2） 10862222=-+-=+=)()(Y X L e e (mm)
01920610
0320.)(.X L L X e i -=-?=
=?? (mm) 02560810
0320.)(.Y L L Y e i -=-?==?? (mm) （3）0032010
0320..R L K ===?， 00001024021.K K == 依题意可知：圆弧SE 为NR 2，故符号变量S =－1，因此 ())mm (...X K SKY X i i i 025630720 60000102402
18003201 2
11
11-=-??-??-=-+=--? ())
mm (...)(Y K SKX Y i i i 019240960 80000102402
16003201 211
11-=??-
-??--=--=--? X i =X i －1＋?X i =－6.0255692 (mm)
Y i =Y i －1＋?Y i =7.98075904 (mm)
4．误差分析
设sin θ 、cos θ 取二阶近似后所产生的截尾误差分别为ε1、ε2，则式（3-80）可改写为
sin θ =θ＋ε1 （3-90a ）
22211εθθ+-=cos （3-90b ） 由《数学分析》的有关结论可知下列表达式成立 3131θε!< ， 4241θε!< （3-91） 现将式（3-90）、式（3-91）代入式（3-79）中，并整理得 ()1112112121------+--=i i i i i i Y X )Y X X (X εεθθ （3-92a ） ()1112112121-----+++-=i i i i i i X Y )X Y Y (Y εεθθ （3-92b ）
比较式（3-92）与式（3-86），可得因截尾处理而引起动点坐标X i 和Y i 的误差分别为 εX =ε2X i －1－ε1Y i －1 （3-93a ） εY =ε2Y i －1＋ε1X i －1 （3-93b ）
因此，动点处的径向误差值近似为
22
21122εεεεε+=+=-i Y X Ri R （3-94） 由于θ＜1，且ε2＜ε1，则进一步忽略ε2的影响，有
1313113131---=<
FT (!R !R θεε （3-95） 式（3-95）定性地表明第i 步插补相对第(i －1)步插补的径向误差。显然，ε Ri 与(FT S )3成正比，与R 3成反比。
与内接弦线法插补相类似，二阶近似DDA 法（割线法）在插补圆弧时也存在径向误差，只是两者的误差程度不同而已。对于内接弦线法插补而言，所有插补点均落在圆弧上，也就是说在插补点处不存在径向误差，其最大径向误差仅在内接弦线的中点处。对于割线法插补而言，所有插补点均落在圆弧的外侧（如图3-35所示的点N i ），故在插补点处必存在径向误差，同时在割线中点处也存在径向误差，并且在一般情况下，插补点处径向误差稍小于割线中点处的径向误差，因此，后者仍是误差的主要来源。
总之，在插补周期和进给速度相同的条件下，割线法插补所引起的径向误差比内接弦线法插补的误差要小一些。因此，二阶近似DDA 法插补是比较适合数控系统使用的一种圆弧插补方法。例如，7360 数控系统就采用这种插补算法。
五、终点判别
任何轮廓曲线在插补过程中都要进行终点判别，以便顺利进入下一个零件轮廓段的插补与加工。对于数据采样法插补而言，由于插补动点的坐标与位置增量值均采用带符号的代数值参与运算，因此，利用当前插补点（X i ，Y i ）与该轮廓段终点（X e ，Y e ）之间的距离判断是否抵达终点是最简单明了的。设插补动点与轮廓终点之间的距离为S i ，则终点判断条件为
()()22e i e i i Y Y X X S -+-=≤22
)FT (S （3-96） 上式表明，当动点距终点“半步之遥”时(一整步长度为FT S )，理论上就认为到达了终点。但事实上，也可以按上一个插补周期的斜率将余下的距离分解到两个坐标轴上，控制刀具继续进给，从而加工出更精确的零件轮廓。
当动点到达轮廓曲线的转接点时，应设置相应的标志，以便读取下一个轮廓段进行插补处理。当轮廓段之间为非光滑连接时，一般在接近本段终点不远处需要实施减速，这就需要
不断检查当前插补动点是否已经到达减速区，如果已到达将要进行减速处理。
利用式（3-96）进行终点判别时，每次都需要进行两次平方运算，这将直接影响插补运算的速度。当这种影响特别严重时，必须针对直线插补或圆弧插补寻找更加快捷的终点判别方法。所幸的是，目前的计算机在运算速度方面发展相当迅速，即使是采用高级语言编程来实现平方运算，所占用的时间也是相当有限的。
六、粗插补与精插补
（一）粗插补
由前面的讨论可知，数据采样法的粗插补，仅仅是将给定的轮廓曲线按一定算法分割成一系列微小直线段，并计算出插补动点的坐标以及位置增量值。因此，粗插补过程可按如下三步完成：
第一步，插补准备。将插补过程中可能用到的一些常量预先计算出来，为后续的插补运
算作好准备。例如：?L =FT S 、22e e Y X L +=、K =(FT S )/R 、K 1=K 2等。这些常量对于某一个
给定的程序段而言是共用参数，只需要计算一次，在该程序段的插补过程中可以重复使用。
第二步，插补计算。根据零件轮廓的类型作相应插补计算，一般需要计算出插补过程的一系列动点坐标以及相应的位置增量值，即X i 、Y i 、?X i 、?Y i 四个值。这种插补计算在每一个插补周期中都要执行一次，并将计算结果输出给位置环控制软件使用，以控制刀具进给到该插补点处。
第三步，终点判断。在每一次插补计算完成后，都必须进行终点判别。当插补动点到达终点后，还必须在相应单元设置该轮廓段插补结束的标志，以便数控系统软件作相应的后续处理。
（二）精插补
由于粗插补仅仅计算出一系列微小直线段，相对数控系统的脉冲当量而言仍然是很大的。因此，有必要作进一步的细化，即在粗插补给出的相邻两插补点之间再插入一些中间点，使轮廓误差进一步减小。最直观最典型的一种粗/精插补思路是：在粗插补输出处再设置一个脉冲增量式插补器，将每次粗插补得到的位置增量值?X i 、?Y i ，看作起点为（0，0），终点为（?X i ，?Y i ）的微小直线段，再进行脉冲增量插补，然后将此插补结果以脉冲序列的形式提供给位置控制环，作为给定量来控制刀具完成进给。具体实现方式如图3-37所示。
精插补所用的脉冲增量插补器（这里使用DDA
法插补）既可用软件实现，也可用硬件实现，具体实现方法要根据数控系统的控制结构而定。
此外，还可以采用如图3-38所示的原理框图来完成数据采样法的插补输出控制。这时，位置控制软件将粗插补输出的指令位置值D C 与实际反馈位置值D F 相比较，获得跟踪误差?D =D C －D F ，然后进行位置环的增益放大与零漂处理，经D/A 转换后，形成速度环的给定值，并与实际速度反馈值相综合构成控制量，再经功率放大驱动电动机，带动刀具进给到所要求的位置。
另外，为了进一步提高系统的精度与响应速度，有时选取插补周期是位置控制周期的2
倍，即T S=2T C。那么，每个插补周期得到的增量值，将提供给两个位置控制周期使用，也就是说每次只取粗插补输出位置增量值的一半作为位置环的给定值。显然，这种处理方法无形中起到了在起点（0，0）和终点（?X i，?Y i）之间插入了一个中间点（?X i/2，?Y i/2）的效果。然后，利用伺服系统本身对指令信号的跟踪能力以及它的均匀性来实现精插补，不仅可以提高了刀具进给速度的平稳性，而且还可以提高位置环的响应速度。
插补运动(逐点比较法)
1、概述 在机床的实际加工中，被加工工件的轮廓形状千差万别，各式各样。严格说来，为了满足几何尺寸精度的要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件的轮廓形状来生成。然而，对于简单的曲线，数控装置易于实现，但对于较复杂的形状，若直接生成，势必会使算法变得很复杂，计算机的工作量也相应地大大增加。因此，在实际应用中，常常采用一小段直线或圆弧去进行逼近，有些场合也可以用抛物线、椭圆、双曲线和其他高次曲线去逼近（或称为拟合）。所谓插补是指数据密化的过程。在对数控系统输入有限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，即所谓数据密化，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，以满足加工精度的要求。 机床数控系统的轮廓控制主要问题就是怎样控制刀具或工件的运动轨迹。无论是硬件数控（NC）系统，还是计算机数控（CNC）系统或微机数控（MNC）系统，都必须有完成插补功能的部分，只是采取的方式不同而已。在CNC或MNC中，以软件（程序）完成插补或软、硬件结合实现插补，而在NC中有一个专门完成脉冲分配计算（即插补计算）的计算装置——插补器。无论是软件数控还是硬件数控，其插补的运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行数字计算，在计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，使被控机械部件按指定的路线移动。 有关插补算法问题，除了要保证插补计算的精度之外，还要求算法简单。这对于硬件数控来说，可以简化控制电路，采用较简单的运算器。而对于计算机数控系统来说，则能提高运算速度，使控制系统较快且均匀地输出进给脉冲。 经过多年的发展，插补原理不断成熟，类型众多。从产生的数学模型来分，有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出的数值形式来分，有基准脉冲插补（又称脉冲增量插补）和数据采样插补。在基准脉冲插补中，按基本原理又分为以区域判别为特征的逐点比较法插补，以比例乘法为特征的数字脉冲乘法器插补，以数字积分法进行运算的数字积分插补，以矢量运算为基础的矢量判别法插补，兼备逐点比较和数字积分特征的比较积分法插补，等等。在CNC系统中，除了可采用上述基准脉冲插补法中的各种插补原理外，还可采用各种数据采样插补方法。 本文将介绍在数控系统中常用的逐点比较法、数字积分法、时间分割法等多种插补方法以及刀具半径补偿计算原理。 2、逐点比较法 逐点比较法是我国数控机床中广泛采用的一种插补方法，它能实现直线、圆弧和非圆二次曲线的插补，插补精度较高。
数据采样法插补C语言程序
//该函数在VC++6.0下编译测试通过，可实现直线、圆弧、完整圆的数据采样法插补；并可将插补函数计算出的数//据点写入xxx.txt文件中 //若有任何疑问，欢迎邮件联系，dingjiang90@https://www.360docs.net/doc/358339031.html, //版权所有，侵权必究。转载时请注明来自大连理工机械工程学院Deanjiang #include
逐点比较插补原理的实现
目录 1设计任务及要求 (1) 2方案比较及认证 (2) 3设计原理 (4) 3.1硬件原理 (4) 3.2硬件原理 (5) 4软件系统 (9) 4.1软件思想 (9) 4.2流程图 (9) 4.3源程序 (9) 5调试记录及结果分析 (10) 5.1界面设置 (10) 5.2调试记录 (10) 5.3结果分析 (11) 6心得体会 (13) 7 参考资料 (14) 附录 (15)
1设计任务及要求 设计一个计算机控制步进电机系统，该系统利用PC 机的并口输出控制信号，其信号驱动后控制X 、Y 两个方向的三相步进电机转动，利用逐点比较法插补绘制出如下曲线。 课程设计的主要任务: 1．设计硬件系统，画出电路原理框图； 2．定义步进电机转动的控制字； 3．推导出用逐点比较法插补绘制出下面曲线的算法； 4．编写算法控制程序，参数由键盘输入，显示器同时显示曲线； 5. 撰写设计说明书。课程设计说明书应包括：设计任务及要求；方案比较及认证；系统滤波原理、硬件原理，电路图，采用器件的功能说明；软件思想，流程，源程序；调试记录及结果分析；参考资料；附录：芯片资料，程序清单；总结。 X Y O
2方案比较及认证 本次课程设计内容为设计一个计算机控制步进电机系统，该系统利用PC 机的并口输出控制信号，其信号驱动后控制X 、Y 两个方向的三相步进电机转动，利用逐点比较法插补绘制出第一象限逆圆弧。数字程序控制主要应用于机床的自动控制，如用于铣床、车床、加工中心、以及线切割等的自动控制中。 采用数字程序控制的机床叫数控机床，它能加工形状复杂的零件、加工精度高、生产效率高、便于改变加工零件品种等优点，是实现机床自动化的一个重要发展方向。本次课程设计采用逐点比较法插补原理以及作为数字程序控制系统输出装置的步进电机控制技术进行第一象限圆弧插补。第一象限圆弧如图2-1所示。 图2-1 第一象限逆圆弧 针对以上设计要求，采用步进电机插补原理进行逐步逼近插补。 硬件方面，步进电机是机电控制中一种常用的执行机构，它的用途是将电脉冲转化为角位移，通俗地说：当步进驱动器接收到一个脉冲信号，它就驱动步进电机按设定的方向转动一个固定的角度（及步进角）。通过控制脉冲个数即可以控制角位移量，从而达到准确定位的目的；同时通过控制脉冲频率来控制电机转动的速度和加速度，从而达到调速的目的。 逐点比较法是以阶梯折线来逼近直线或圆弧等曲线，它与规定的加工直线或圆弧之间的最大误差为一个脉冲当量，因此只要把脉冲当量（每走一步的距离即步长）取得足够小，就可以达到精度的要求。以下为课程设计要求插补的第一象限逆圆弧。图3-3为第一象限逆圆弧。 X Y O
数字积分圆弧第一二三四象限顺逆插补计算
数控技术课程设计说明书 设计题目：数字积分法圆弧插补计软件设计指导老师： 专业：机械设计制造及其自动化 班级：机 姓名： 学号：
目录 一、课程设计题目 (1) 二、课程设计的目的 (1) 三、课程设计使用的主要仪器设备 (1) 四、课程设计的任务题目描述和要求 (1) 五、数字积分法插补原理 (2) 5.1从几何角度来看积分运算 (2) 5.2数字积分圆弧插补 (3) 5.3数字积分法圆弧插补程序流程图 (5) 5.4插补实例 (6) 六、程序清单 (7) 七、软件运行效果仿真 (18) 八、课程小节 (21) 九、参考文献 (22)
一、课程设计题目 数字积分法第一、二、三、四象限顺、逆圆插补计算 二、课程设计的目的 《数控原理与系统》是自动化（数控）专业的一门主要专业课程，安排课程设计的目的是通过课程设计方式使学生进一步掌握和消化数控原理基本内容，了解数控系统的组成，掌握系统控制原理和方法，通过设计与调试，掌握各种功能实的现方法，为今后从事数控领域的工作打下扎实的基础。 1)了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。 2) 掌握数字积分法（DDA）插补的基本原理。 3）掌握数字积分法（DDA）插补的软件实现方法。 三、课程设计使用的主要仪器设备 1、PC计算机一台 2、数控机床实验装置一台 3、支持软件若干（选用VB环境） 四、课程设计的任务题目描述和要求 数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital Differential Analyzer)。数字积分法具有运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动及描绘平面各种函数曲线的特点，应用比较广泛。其缺点是速度调节不便，插补精度需要采取一定措施才能满足要求。由于计算机有较强的计算功能和灵活性，采用软件插补时，上述缺点易于克服。 本次课程设计具体要求如下： （1）掌握数字积分插补法基本原理 （2）设计出数字积分（DDA）插补法插补软件流程图 （3）编写出算法程序清单算法描述（数字积分法算法在VB中的具体实现）（4）要求软件能够实现第一、二、三、四象限顺、逆圆插补计算 （5）软件运行仿真效果插补结果要求能够以图形模式进行输出
插补法简解
插补法简解 [摘要]插补法(或称插值法、内插法)是财务分析和决策中常用的财务管理方法之一。可现行教科书对其定义和解法含糊其辞，而插补法其实就是有限范围内的“比例推算法”。这种方法采用“数轴”法求解更通俗易懂，简单快捷。 [关键词]插补法；比例推算法；数轴 一、插补法的实质含义 众所周知，当我们在投资决策时想要知道方案的实际利率、项目有效期、项目内含报酬率和债券到期收益率时，往往都需要使用插补法来求解。而现行教科书中既没对插补法以明确定义，也在其解法上含糊其辞。这往往使初学者深感棘手。而插补法的实质其实就是根据指标之间的相关关系(正相关或负相关)，利用数学原理在有限区域内看成是正比或反比关系来推算其数值的一种求解方法。诸如利息与期数、利率与净现值、现金流量与项目期限等相互间都存在一定的相关关系。如果我们要想知道实际利率、项目周期、项目内含报酬率及债券的到期收益率等，都必须应用插补法求解。 二、利用“数轴”的“比例推算法”求解 (一)现行插补法存在的缺陷 现行教科书中的插补法求解存在两大缺陷：其一，“插补法或称内插法、插值法”无明确定义，而实际上它就是在有限范围内的“比例推算法”。即根据指标值之间的相关关系而采用数学上的“比例推算法”。其二，求解方式模糊、单一，求解时只采用下界临界值求解。而利用“数轴”采用“比例推算法”既可以采用下界临界值也可以采用上界临界值求解，其结果并无二致。 (二)利用“数轴”的“比例推算法”求解 某投资者本金1 000元，投资5年，年利率8％，每年复利一次，其本利和是1 000×(1+8％)5=1 469元，若每季复利一次，本利和1 000×(1+8％÷4)4×5=1 486元，后者比前者多出17(1 486-1 469)元。此时8％为年名义利率，小于每季复利一次的年利率(即实际利率)。要求实际利率需用插补法来求解。 根据上述资料已知 1 000×P/S8％,5=1 469，又知 1 000×P/S9％,5=1 000×1.538(查复利现值系数表)=1 538。而要求的1000×P/Si,5=1 486中的i介入8％～9％之间，我们利用“数轴”的“比例推算法”求解过程如下： 第一，设一数轴，根据“数轴”原理把指标值在“数轴”上标示出来(见下图)
圆弧加减速插补算法
机电工程学院 数控加工技术课程设计——插补算法实现 学号：S311077006 专业：机械工程 学生姓名：胡晓锋 任课教师：李霞副教授 2011年4月
基于PC的圆弧曲线加减速算法实现 插补算法一直以来就是数控系统中的核心技术。从数控系统的原理来说，插补的本质问题就是对任意曲线进行分解，成为若干段微小的曲线，当对曲线的分解达到无穷级时，每一段曲线便成为微小的直线段。然后利用与相应微小曲线相类似的直线段代替，通过控制刀具按直线段行走进行加工，完成为整个曲线的插补运算加工。实际问题中不可能对任意曲线的分解达到无穷，因此总是存在相应的误差。然而在实际运用中对误差的容忍度有限，因此只需在满足精度的情况下进行曲线的分解。对曲线的分解过程即是将其坐标点进行密化，不但要保证精度，还需要在极短的时间内完成。受现代技术的限制，这一过程目前还存在一定的问题。由此而产生的对插补算法的研究也一直没有停止过，从经典的逐点比较法到现在的自由曲面直接插补法，各种算法层出不穷。 本次对圆弧的插补算法是基于PC技术的算法，利用MATLAB软件编写相应的插补程序，实现对插补轨迹的模拟与分析。 一、问题描述 本次设计针对圆弧曲线进行插补，采用加减速的方式完成刀具的行走过程。根据数据采样插补原理，实现数控轨迹的密化。本次插补的难点在于对刀具行走轨迹的自动加减速进行控制，由控制器发出相应指令，当刀具以不同速度运行到不同位置时，能够根据当前的状态判断下一个插补周期需要的状态，从而连续平滑的完成插补过程。 二、速度曲线的数学表达式 刀具在进行插补时的速度应该是一个加速-匀速-减速的过程，各个过程与时间的关系应该由相应的加速度来控制。因此曲线的形状呈现一定的抛物线形。 另初始进给速度为F1，末端进给速度为F2，指令速度为F，当前速度为V，减速距离为S，当前距离为CS，n为插补周期个数，t为当前时刻。则速度的数学表达式如下： (F1
逐点比较法插补原理实验报告
南昌航空大学实验报告 年月日 课程名称：数控技术实验名称：逐点比较法插补原理 班级：姓名：同组人： 指导老师评定：签名： 一、实验的目的与要求 1.目的 ①掌握逐点比较法插补的原理及过程； ②掌握利用计算机高级语言，设计及调试“插补运算轨迹”模拟画图的程序设计方法； ③进一步加深对插补运算过程的理解； 二、实验仪器 计算机一台 三、实验原理 ①逐点比较法插补运算的原理 首先粗略的简单介绍一下机床是如何按照规定的图形加工出所需的工件的。例如，现在要加工一段圆弧（图2－1），起点为A，终点为B，坐标原点就是圆心，Y轴、X轴代表纵、横拖板的方向，圆弧半径为R。 如从A点出发进行加工，设某一时刻加工点在M1，一般来说M1和圆弧 有所偏离。因此，可根据偏离的情 况确定下一步加工进给的方向，使下 一个加工点尽可能向规定图形（即圆 弧）靠拢。 若用R M1表示加工点M1到圆心O 的距离，显然，当R M1 可以看出，加工的结果是用折线来代替圆弧，为了清楚起见，在图2－1中，每步的步长画的很大，因此加工出来的折线与所需圆弧的误差较大。 若步长缩小，则误差也跟着缩小，实际加工时，进给步长一般为1微米，故实际误差时很小的。 ②计算步骤 由上述可以看出，拖板每进给一步都要完成四个工作节拍。 偏差判别：判别偏差符号，确定加工点是在要求图形外还是在图形内。 工作台进给：根据偏差情况，确定控制X坐标(或Y坐标)进给一步，使加工点向规定的图形靠拢，以缩小偏差。 偏差计算：计算进给一步后加工点与要求图形的新偏差，作为下一步偏差判别的依据。 终点判断：判定是否到达终点，如果未达到终点，继续插补，如果以到达终点，停止插补。 计算步骤的框图如下所示： 图2－2 逐点比较法插补计算步骤 ③插补运算公式 插补运算公式表 四、实验内容及步骤 应用VB设计逐点比较法的插补运算程序，在计算机屏幕上画出轨迹图。 1 程序界面 采用图形显示方式，动态的显示出直线和圆弧的插补过程。 第四节数据采样法 随着数控系统中计算机的引入，大大缓解了插补运算时间和计算复杂性之间的矛盾，特别是高性能直流伺服系统和交流伺服系统的研制成功，为提高现代数控系统的综合性能创造了充分条件。相应地，这些现代数控系统中采用的插补方法，就不再是最初硬件数控系统中所使用的脉冲增量法，而是结合了计算机采样思想的数据采样法。 所谓数据采样法就是利用一系列首尾相连的微小直线段来逼近给定曲线。由于这些线段是按加工时间来分割的，因此，数据采样法又称为“时间分割法”。一般来讲，分割后所得到的微小直线段相对系统精度而言仍显过大，需要在微小直线段的基础上进一步密化数据点。获取微小直线段的过程称为粗插补，将微小直线段进一步密化的过程称为精插补。通过两者的紧密配合即可实现高性能零件轮廓插补。 一般情况下，数据采样插补法中的粗插补是由软件实现。由于粗插补可能涉及到一些比较复杂的函数运算，因此，大多采用高级语言完成。而精插补算法大多采用前面介绍的脉冲增量法，它既可由软件实现也可由硬件实现，由于相应算术运算较简单，所以软件实现时大多采用汇编语言完成。 一、插补周期与位置控制周期 所谓插补周期T S是指相邻两个微小直线段之间的插补时间间隔，而位置控制周期T C则是数控系统中伺服位置环的采样控制时间间隔。对于给定的数控系统而言，插补周期和位置控制周期是两个固定不变的时间参数。 通常取T S≥T C，目的是便于系统内部控制软件的处理。当T S与T C不相等时，一般要求T S是T C的整数倍。这是由于插补运算较复杂，处理时间较长；而位置环数字控制算法较简单，处理时间较短。因此，每次插补运算的结果可供位置环多次使用。现假设程编进给速度为F，插补周期为T S，则可求得插补分割后的微小直线段长度为?L（暂不考虑单位）为?L=FT S。 插补周期T S对系统稳定性没有影响，但对被加工轮廓的轨迹误差有影响。位置控制周期T C不仅对系统稳定性而且对轮廓误差均有影响。因此，T S的选择，主要从插补精度方面考虑，而T C的选择则需从伺服系统的稳定性和动态跟踪误差两个方面加以考虑。 一般情况下，插补周期T S越长，插补计算误差就越大。因此，单从减小插补计算误差的角度来考虑时，希望插补周期T S越小越好。但另一方面，T S也不能太小，由于数控系统在进行轮廓插补控制的同时，其数控装置中CPU不仅要完成插补运算，而且还必须处理一些其他任务，例如：位置误差计算、显示、监控、I/O处理等。因此，T S不单是指CPU完成插补运算所需时间，而且还必须留出一部分时间用于执行其他相关的数控任务。由此可见，要求插补周期T S必须大于插补运算时间和完成其他相关任务所需时间总和。据有关资料介绍，数控系统数据采样法插补周期一般不大于20ms，使用较多的大都在10ms左右。例如美国AB公司的7360数控系统中T S=10.24ms；德国SIEMENS公司的System-7数控系统中T S=8ms。但随着CPU处理速度的提高，为了获得更高的插补精度，插补周期也会越来越小。 数控系统位置控制周期的选择有两种方式：一种是T C=T S，如7360系统中T C=T S =10.24ms；另一种是T S为T C的整数倍，如System-7数控系统中T S=8ms、T C=4ms，即插补周期是位置控制周期的2倍。插补程序每8ms调用一次，计算出该周期内各坐标轴相应的进给增量，而位置控制程序每4ms将插补计算增量的一半作为该位置控制周期的位置给定，也就是说，每个插补周期计算出来的坐标增量均分两次送给伺服系统去执行。这样，在不改变计算机速度的前提下，可提高位置环的采样频率，使得进给速度变化较为平缓，提高了系统的动态性能。一般来讲，位置控制周期T C取值范围大致在4～20ms之间。 二、插补周期与精度、速度之间的关系 在数据采样法直线插补过程中，由于给定轮廓本身就是直线，那么插补分割后的小直线 二○一三届毕业设计 基于FPGA逐点比较圆弧插补算法设计 学院：电子与控制工程学院 专业：电子科学与技术 姓名：…….. 学号：……… 指导教师：…….. 完成时间：2013年5月 二〇一三年五月 摘 要 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 摘 要 本课题主要是研究基于VHDL 实现数控系统中的逐点比较圆弧插补，要求圆弧运动过程平滑，在各象限能顺利过渡，并有较小的设计误差，能与运动控制部分很好的集成，实现较高的切割频率。 本课题采用QuartusII 软件来调试程序，并进行波形仿真。主要的工作如下： 1） 理解数控系统中逐点比较圆弧插补算法的原理及其实现方法； 2） 通过硬件描述语言VHDL 在FPGA 上实现上述算法； 3） 完成圆弧插补的仿真与测试。 关键词：VHDL ，FPGA ，逐点比较法，QuartusII ABSTRACT ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ABSTRACT This topic mainly studies based on VHDL realization of point by point comparison circular arc interpolation in nc system, the movement for arc process smooth, in each quadrant can smooth transition, and a relatively small design error, can very good integration with motion control part, realize the high frequency of cutting. This subject adopts software QuartusII to debug program and waveform simulation. The main work is as follows: 1. Understand CNC system the principle of point by point comparison in circular arc interpolation algorithm and its realization method 2. Through the hardware description language VHDL FPGA to realize the above algorithms. 3. Finish arc interpolation of simulation and test KEY WORDS : VHDL, FPGA, point-by-point comparison, QUARTUS II 大连民族学院本科毕业设计（论文） 逐点比较法插补程序程序设计与运行 模拟 学院（系）：机电信息工程学院_____ 专业：机械设计制造及其自动化__ 学生姓名： _________ 指导教师：李文龙 __________ 评阅教师：_________________________ 完成日期：_________________________ 大连民族学院 摘要 在数控编程时，一般仅提供描述该线形所必须的相关参数，但为了满足几何零件尺寸精度要求，必须在刀具（或工件）运动过程中实时计算出满足线形和进给速度要求的在起点和终点之间的若干中间点，所以就有了插补。 本设计主要阐述了逐点比较法的基本原理，在四个象限直线、圆弧插补的插补原理以及如何实现。重点研究了逐点比较法的基本算法，控制程序的原理框图，对逐点比较法做了详细的研究，掌握基本的G代码的内容与运用，编写插补程序，并且基于vb平台演示插补过程。 从调试结果来看，本文所提供的运算与编程能够通过简洁的“输入输出”界面，较好的实现了计算机屏幕模拟。 关键词：简易数控；逐点比较法插补；G代码；VB；计算机屏幕模拟 Abstract By-point comparison interpolation program design and run the simulation program In NC programming, generally only provide a description of the relevant parameters necessary for linear, but in order to meet the accuracy requirements of the geometric part size must be in the tool (or workpiece) during exercise to meet the real-time calculation and linear feed rate required at the start and some intermediate point between the endpoints, so there will be interpolated. The design is mainly explained by-point comparison of the basic principles in the four quadrants linear and circular interpolation interpolation theory and a point by point comparison of the basic algorithm, a block diagram of the control program, right by-point comparison method to do a detailed study and master the basic content and the use of G-code, write interpolation procedures, and is based on interpolation vb platform demo process. From the debugging results, provided computing and programming through simple "input output" interface, to achieve a better simulation of the computer screen Keywords:Simple numerical control; interpolation point by point comparison；G code；VB；Computer simulation on the screen 实用标准文案 精彩文档MSA分析数据取样方法 1 重复性与再现性数据取样方法： 1）根据测量治具或测试设备选用10个被测样品，并进行编号。 2）选用A，B，C三个具有该测量治具或测试设备实际操作经验的测量人员进行测量评价。 3）将测量治具或测试设备的相关信息依MSA重复性和再现性数据表的格式作完准的记录，务必写清测量治具或测试设备的编号和名称及测量参数规格。 4）依选用的三个A，B，C测量人员按顺序进行测量。 ①测量时，测量人员A按随机顺序对选用的10个被测样品测量三次（可连 续测量3次），并将被测样品的编号与测量数据一一对应后记录于MSA数据表A区域中。 ②测量时，测量人员B按随机顺序对选用的10个被测样品测量三次（可连 续测量3次），并将被测样品的编号与测量数据一一对应后记录于MSA数据表B区域中。 ③测量时，测量人员C按随机顺序对选用的10个被测样品测量三次（可连 续测量3次），并将被测样品的编号与测量数据一一对应后记录于MSA数据表C区域中。 2 线性数据取样方法： 1）将测量治具或测试设备的相关信息依MSA线性分析数据表的格式作完准的记录，务必写清测量治具或测试设备的编号和名称及测量参数规 格。 2）选用一个具有该测量治具或测试设备实际操作经验的测量人员进行测量评价。 3）根据测量治具或测试设备选用5-10个被测样品，并先测量实际值，并确认实际值覆盖在规格范围内。 4）根据5-10个被测样品测量的实际值由小到大的顺序排列，并先用5个实际值有一定间距（如规格值是0-5，那么就应选用被测样品实际 值为1，2，3，4，5的5个的被测样品）作线性分析样品。 5）将选用的5个线性分析样品测量的实际值按由小到大的顺序分别记录于线性据分析数据表中作线性分析的5个基准值。 6）测量分析时，测量人员对选用的5个被测样品分别测量10次（可连续测量10次），并将每次测量数据与基准值一一对应后记录于MSA线 性数据表中。 单一插补方法与多重插补方法的对比及分析 0.缺失数据说明 Little和Rubin根据缺失机制的不同，缺失数据可分为三大类：完全随机缺失数据(MCAR),随机缺失数据(MAR)以及非随机缺失数据(NMAR)0MCAR表示某些变量数据的缺失完全不依赖于变量或者回答者的貞?实情况，是严格意义上的随机缺失：MAR表示某些变量数拯的缺失与回答者的真实情况是独立的：NMAR则表示变量数据的缺失与回答者的真实情况之间有相关的联系，并不是随机缺失的。 实际情况中，缺失数据对数据分析造成较大的影响，主要表现在两个方而：数据统计的功效以及会带来有偏估计。Kim和Curry(1997)发现当有2%的数据缺失时，若采用列表删除的方法，将会带来％全部信息的丢失。Quinten和Raaijmakers (1999)的研究表明10%~35% 的数据缺失会带来35%~98%的信息丢失。可见，对缺失的数据不进行处理会给整个数据结构带来巨大的影响。故而，在数据分析中，对缺失数拯的处理至关重要，同时该部分也是目前新兴学科一一数据挖掘技术的重要组成部分。 在处理缺失数拯时，为了方便处理，一般假定缺失机制为MAR或者MCAR,这样可利用数理统计方法进行处理。缺失数据的处理方法可分为三大类：直接删除法、插补法、基于模型的预测方法。英中直接删除法最为便捷，同时也是最为粗糙的方法，该方法易造成貞?实信息的大量丢失，仅仅适用于极少量的数据缺失情况。相比而言，插补法和基于统计模型的预测方法比较常用，也较为有效。根据每个缺失值的替代值个数，可将插补方法分为单一插补和多重插补。 1.单一插补与多重插补概念 单一插补是指采用一左方式，对每个由于无回答造成的缺失值只构造一个合理的替代值，并将其插补到原缺失数拯的位宜上，替代后构造岀一个完整的数据集。 多重插补是由哈佛大学的Rubin教授在1977年首先提出的，该方法是从单一插补的基础上衍生而来的。指给每个缺失值都构造m个替代值(m>l),从而产生了m个完全数据集, 然后对每个完全数拯集采用相同的数据分析方法进行处理，得到m个处理结果，然后综合这些处理结果，基于某种原则，得到最终的目标变量的估计。 多重插补可分为三个阶段：(1)对目标变量的估计，(2)创建完全数据集，(3)目标变量的确左。其中最关键的阶段为目标变量的估计，该阶段需要确泄估计缺失值的方法，即缺失值是以何种方法或者 《微型计算机控制技术》课程设计报告 课题名称：逐点比较插补原理的实现姓名：章洪高 班级：自动化2班 学号：201320150211 指导老师：徐猛华 东华理工大学机械与电子工程学院 2016年6月 目录 1设计任务及要求 (1) 2方案设计及认证 (1) 3硬件设计原理 (2) 3.1硬件结构 (2) 3.2硬件电路图 (4) 3.3硬件原理 (5) 4软件系统 (7) 4.1软件思想 (7) 4.2流程图 (8) 4.3源程序 (10) 5调试记录及结果分析 (10) 5.1仿真界面设置 (10) 5.2调试记录 (10) 5.3结果分析 (12) 6心得体会 (13) 7参考资料 (14) 附录： (14) 1设计任务及要求 设计一个计算机控制步进电机系统，该系统利用单片机的I/O口输出控制信号，其信号驱动控制X、Y两个方向的三相步进电机转动，利用逐点比较法插补绘制出如下曲线。 图1-1 第一象限逆圆弧 课程设计的主要任务: 1）在显示器上显示任意四位十进制数； a、定义键盘按键：10个为数字键0～9；6个功能键：设置SET、清零CLR、确认、开始START、暂停、停止； b、显示器上第一位显示次数，后三位显示每次行走的角度； c、通过键盘的按键，设置X、Y轴插补的起始值；按START键启动步进电机开始转动，按SET键进行数据设置、按CLR键清零。 2）设计硬件系统，画出电路原理框图（要求规范）； 3）定义步进电机转动的控制字；（不设计步进电机驱动电路与驱动程序）。 4）推导出用逐点比较法插补绘制出下面曲线的算法； 5）编写算法控制程序线； 6）撰写设计说明书。 2方案设计及认证 本次课程设计内容为设计一个单片机控制步进电机系统，该系统利用单片机的I/O口输出控制信号，其信号驱动后控制X、Y两个方向的三相步进电机转动，利用逐点比较法插补绘制出第一象限逆圆弧。 第一象限逆弧如图2-1所示。 综合设计课程设计设计要求 1 设计要求 1.1 设计要求 （1）设计出逐点比较法插补软件流程图； （2）编写出逐点比较法插补程序； （3）要求用软件能够实现任意象限圆弧（G03）的插补计算； （4）要求软件能够处理特殊轮廓的插补，例如坐标中任意圆弧等； （5）插补结果要求能够以图形模拟进行输出。 2 设计目的 2.1 设计目的 （1）了解连续轨迹控制数控系统的组成原理； （2）了解逐点比较法插补的基本原理； （3）掌握逐点比较法插补的软件实现方法。 3 总体方案比较 3.1 各多种方案的特点 第一：采用逐点比较法插补。逐点比较法的基本原理是被控对象在按要求的轨迹运动时，每走一步都要与规定的轨迹进行比较，由此结果决定下一步移动的方向。逐点比较法既可以作直线插补又可以作圆弧插补。这种算法的特点是，运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且输出买成速度变化小，调节方便，因此在两坐标数控机床中应用较为普遍 第二：数学积分法插补。又称为微分分析法。这种插补方法可实现一次、二次、甚至高次曲线的插补，也可以实现多坐标联动控制。只要输入不多的几个数据，就能加工出圆弧等形状较为复杂的轮廓曲线。作直线插补时，脉冲分配也较均匀。 第三：数据采样插补。数据采样插补实际上是一种粗插补过程，它所产生的微小线段仍然比较大，必须进一步对其密化（即精插补）。粗插补算法比较复杂， 综合设计课程设计多CPU结构CNC系统硬件原理图 大多用高级语言编制；精插补算法比较简单，多用汇编语言或硬件插补器实现。 3.2 方案选择 根据课题要求，对逆圆插补。根据两种方案的比较，都是很好的方法，但由于圆是二次，用采用逐点比较法插补进行设计比较方便、简单，所以根据各种插补方法的特点，选择用逐点比较法来实现。 4 多CPU结构CNC系统硬件原理图 4.1 CNC系统原理图 图4.1 共享总线的多CPU结构的CNC系统结构框图 4.2 原理图极其说明 共享总线机构，只有主模块有权控制系统的总线，在某一时刻只能有一个猪模块占有总线。共享总线结构的模块之间的通行，主要依靠存储器的实现，采用公共存储器的方式。共享存储器结构，采用多端口存储器来实现各CPU之间的互连和通信，每个端口配有一套数据、地址、控制线，以端口访问，由多端控制逻辑电路解决访问冲突。 管理模块：该模块是管理和组织整个CNC系统工作的模块，主要功能包括：初始化、中断管理、总线裁决、系统出错识别和处理、系统硬件与软件诊断等；插补模块：该模块用于在插补完成前，进行零件程序的译码、刀具补偿、坐标位移量计算、进给速度处理等预处理，然后进行插补计算，并给顶各坐标轴的位置 在CNC系统中较广泛采用的另一种插补计算方法即所谓数据采样插补法，或称为时间分割法。它尤其适合于闭环和半闭环以直流或交流电机为执行机构的位置采样控制系统。这种方法是把加工一段直线或圆弧的整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间隔（或插补周期）。每经过一个单位时间间隔就进行一次插补计算，算出在这一时间间隔内各坐标轴的进给量，边计算，边加工，直至加工终点。 与基准脉冲插补法不同，采用数据采样法插补时，在加工某一直线段或圆弧段的加工指令中必须给出加工进给速度v，先通过速度计算，将进给速度分割成 单位时间间隔的插补进给量（或称为轮廓步长），又称为一次插补进给量。例如，在FANUC 7M系统中，取插补周期为8 ms，若v的单位取mm/min， f的 单位取 m μ/8 ms，则一次插补进给量可用下列数值方程计算： 按上式计算出一次插补进给量 f后，根据刀具运动轨迹与各坐标轴的几何关系，就可求出各轴在一个插补周期内的插补进给量，按时间间隔（如8 ms）以增量形式给各轴送出一个一个插补增量，通过驱动部分使机床完成预定轨迹的加工。 由上述分析可知，这类算法的核心问题是如何计算各坐标轴的增长数x ? 或 y ?（而不是单个脉冲），有了前一插补周期末的动点位置值和本次插补周期 内的坐标增长段，就很容易计算出本插补周期末的动点命令位置坐标值。对于直线插补来讲，插补所形成的轮廓步长子线段（即增长段）与给定的直线重合，不会造成轨迹误差。而在圆弧插补中，因要用切线或弦线来逼近圆弧，因而不可避免地会带来轮廓误差。其中切线近似具有较大的轮廓误差而不大采用，常用的是弦线逼近法。 有时，数据采样插补是分两步完成的，即粗插补和精插补。第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定曲线，粗插补在每个插补计算周期中计算一次。第二步为精插补，它是在粗插补计算出的每一条微小直线段上再做“数据点的密化”工作，这一步相当于对直线的脉冲增量插补。 学院 毕业论文（设计） 2015 届机械设计制造及其自动化专业 13 班级 题目逐点比较插补算法设计 姓名学号 1 指导教师职称教授 二О一五年五月二十一日 摘要 逐点比较法是数控加工中常用的插补方法,通过控制刀具每次移动的位置与理想位置的误差函数进而实现零件加工,鉴于VB编程简单、直观,采用VB可以实现逐点比较插补原理的相关程序设计及加工过程虚拟化。插补技术是机床数控系统的核心技术,逐点比较法可以实现直线和圆弧插补算法,其算法的优劣直接影响零件直线和圆弧轮廓的加工精度和加工速度。文章在传统的逐点比较直线插补与圆弧插补算法的基础上,提出以八方向进给取代传统的四方向进给,研究了偏差最小的走步方向的实现方法,同时研究了保证数控机床坐标进给连续的偏差递推计算过程。结果表明,新算法可以提高零件轮廓的逼近精度且减少了插补计算次数,从而提高了零件直线和圆弧轮廓的加工精度和加工速度。 关键词 数控；插补；逐点比较；逼近；偏差函数 The algorithm design of point-to-point comparison Author: LI Zhiyuan Tutor: Chen Liangji Abstract Abstract: The algorithm of point-to-point comparison is a typical plugging method in processing of numerical control,manufacturing parts by controlling error function between the position the cutting tool moves to and the perfect program is simple and visual,which can visualize the programming and processing of The algorithm of point-to-point comparison. Interpolation technology is the core technology of machine tool’s CNC system. The algorithm of point-to-point comparison can achieve the algorithms of linear and circular algorithm of point-to-point comparison 几种常见的缺失数据插补方法 （一）个案剔除法(Listwise Deletion) 最常见、最简单的处理缺失数据的方法是用个案剔除法(listwise deletion)，也是很多统计软件（如SPSS和SAS）默认的缺失值处理方法。在这种方法中如果任何一个变量含有缺失数据的话，就把相对应的个案从分析中剔除。如果缺失值所占比例比较小的话，这一方法十分有效。至于具体多大的缺失比例算是“小”比例，专家们意见也存在较大的差距。有学者认为应在5%以下，也有学者认为20%以下即可。然而，这种方法却有很大的局限性。它是以减少样本量来换取信息的完备，会造成资源的大量浪费，丢弃了大量隐藏在这些对象中的信息。在样本量较小的情况下，删除少量对象就足以严重影响到数据的客观性和结果的正确性。因此，当缺失数据所占比例较大，特别是当缺数据非随机分布时，这种方法可能导致数据发生偏离，从而得出错误的结论。 （二）均值替换法(Mean Imputation) 在变量十分重要而所缺失的数据量又较为庞大的时候，个案剔除法就遇到了困难，因为许多有用的数据也同时被剔除。围绕着这一问题，研究者尝试了各种各样的办法。其中的一个方法是均值替换法(mean imputation)。我们将变量的属性分为数值型和非数值型来分别进行处理。如果缺失值是数值型的，就根据该变量在其他所有对象的取值的平均值来填充该缺失的变量值；如果缺失值是非数值型的，就根据统计学中的众数原理，用该变量在其他所有对象的取值次数最多的值来补齐该缺失的变量值。但这种方法会产生有偏估计，所以并不被推崇。均值替换法也是一种简便、快速的缺失数据处理方法。使用均值替换法插补缺失数据，对该变量的均值估计不会产生影响。但这种方法是建立在完全随机缺失（MCAR）的假设之上的，而且会造成变量的方差和标准差变小。 （三）热卡填充法（Hotdecking）轮廓插补原理——数据采样法
基于FPGA的逐点比较圆弧插补算法设计
(完整版)逐点比较法插补程序程序设计与模拟毕业论文
MSA大数据取样方法
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