平面几何中的三点共线问题
(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
高中数学 平面向量中“三点共线定理”妙用
点，记
AB
a
，
3
4
AD b ，则 AG _______
图6
2
a
1
b
A. 7 7
C.
பைடு நூலகம்
3
a
1
b
77
B.
2
a
3
b
77
D.
4
a
2
b
77
分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点 F、G、B
以及 E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解.
AN﹕AC=1﹕4,
AN
1
AC
1
b
4
4
AP
x AB
y
AC
xa
y
b
xa
1
x
b
……①
4
4
4
又C,P,M 三点共线，
由平面内三点共线定理可得：
存在唯一的一对实数 , 使得
4
AP AM AC , 1 ∵AM﹕AB=1﹕3
∴
AM
1
AB
1
a
，，
3
3
AP
图8
解：因为点 O 两条对角线 AC 与 BD 的交点，
所以点 O 为 AC 的中点
AO
1
( AB
AD)
2
AB ＝ m AM ， AD ＝n AN
AO
1
(m AM
n AN )
m
AM
n
AN
2
2
2
又 M ,O, N 三点共线，
由平面内三点共线的向量式定理可得： m n 1 m n 2 22
三点共线公式范文
三点共线公式范文三点共线指的是三个点所构成的直线，任意两点与第三点连线，都在同一直线上。
三点共线的判定方法和公式有以下几种。
1.行列式法：设三个点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，我们要判断A、B、C 三点是否共线，可以计算向量AB、向量AC的叉乘，即：x1y11x2y21，=0x3y31如果计算的结果等于0，说明三点共线；如果计算结果不等于0，说明三点不共线。
2.斜率法：如果三个点A、B、C在同一直线上，则连线AB、BC的斜率相等。
根据两点之间连线的斜率公式：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)我们可以计算出两个斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)，k2=(y3-y2)/(x3-x2)，如果k1=k2，说明三点共线；如果k1≠k2，说明三点不共线。
需要注意的是，当x2=x1时，斜率不存在，此时我们需要特别判断y2=y1是否成立。
同理，当x3=x2时，斜率不存在，此时我们需要特别判断y3=y2是否成立。
如果两个特殊情况成立，即三个点共线。
3.面积法：设三个点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，如果三个点共线，则△ABC的面积为0。
根据面积公式：△ABC=，1/2*(x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2))如果计算的面积等于0，说明三点共线；如果面积不等于0，说明三点不共线。
这三种方法可以判断三个点是否共线，其中行列式法的判断最为直观和准确，而斜率法和面积法则更加简单易懂。
接下来，我们用更多的字数来详细解释三点共线的原理和应用。
三点共线是解析几何中的基本概念，对于几何问题的研究起到了重要作用。
在平面直角坐标系中，每个点可以由其横坐标和纵坐标表示，也就是由(x,y)决定。
如果三个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在同一直线上，我们可以用其中一点到另外两个点的斜率来判定。
斜率定义为两点间纵坐标之差与横坐标之差的比值。
三点共线系数和为1的概念
三点共线系数和为1的概念三点共线系数和为1是指在一个平面上三个点A、B、C的位置关系，满足以下条件：通过这三点所形成的直线与X轴、Y轴和Z轴三个坐标轴的交点分别为A、B、C，并且点A、B、C在X轴上的位置分别为a，点A、B、C在Y轴上的位置分别为b，点A、B、C在Z轴上的位置分别为c，且满足以下关系：a + b + c = 1。
三点共线系数和为1是平面几何中的一个重要概念，它在数学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
接下来，我将详细解释三点共线系数和为1这个概念，并介绍其应用和意义。
首先，我们来解释这个概念的数学意义。
在一个平面上，任意三个不共线的点A、B、C可以唯一确定一条直线。
利用坐标系，我们可以将这三个点的位置用坐标表示，例如点A的坐标可以表示为(x1, y1, z1)，点B的坐标可以表示为(x2, y2, z2)，点C的坐标可以表示为(x3, y3, z3)。
根据三点共线的定义，我们可以得出一组关系式：(x1, y1, z1) * a + (x2, y2, z2) * b + (x3, y3, z3) * c = (0, 0, 0)。
其中，a、b、c表示每个点在X轴、Y轴、Z轴上的位置，满足a + b + c = 1。
这个关系式可以解为一个线性方程组，通过求解线性方程组，我们可以确定点A、B、C所形成的直线的方程。
其次，我们来介绍三点共线系数和为1的应用。
三点共线系数和为1可以用来描述物体的位置和运动状态。
在工程学中，我们常常需要确定一条直线上的三个点的位置，例如在机械工程中，我们可能需要确定一个物体在X轴、Y轴、Z轴上的位置，来控制物体的运动轨迹。
而通过利用三点共线系数和为1的概念，我们可以利用已知的两个坐标点的位置，推导出第三个点的位置。
这个过程可以通过线性插值的方法实现，即根据给定的两个点的位置和系数和为1的条件，计算出第三个点的位置坐标。
这样，我们就可以确定物体在空间中的位置，并能够进行相应的控制和调整。
向量三点共线定理等于1
向量三点共线定理等于1
三点共线定理是一种在几何中使用的定理，它声明如果三个点都
位于同一条直线上，则该条直线上任意两个向量之积为1。
它通常被称为线性联结定理，是一个非常基本的定理，在平面几何中非常常见。
首先，让我们描述三点共线定理。
它宣称，如果三个点位于同一
条直线上，则任意两个向量之积为1。
也就是说，如果给定三个点A，B，C，如果A，B和C位于同一条直线上，那么AB·BC = 1。
在数学中，向量之积通常表示为一个叉乘，也就是一个乘号包围的两个向量，它
可以表示两个向量的乘积。
三点共线定理被广泛应用于几何和Math中，它提供了一种很好
的方法来判断三个点是否位于同一条直线上。
例如，在进行交叉检验时，可以将三点共线定理应用于绿点和红点，如果三点共线定理成立，即AB·BC = 1，则说明交叉成功，如果AB·BC值不等于1，则说明交
叉失败。
有许多几何定理可以帮助人们更好地了解世界和理解各种几何现象，但三点共线定理最能帮助我们理解那些在几何中的稳定性。
在更
复杂的用例中，三点共线定理也可以使用，研究其他模式。
总而言之，三点共线定理是一种广泛应用于几何中的基本定理，
它声明，如果三个点位于同一条直线上，则任意两个向量之积为1。
它在几何中有着重要的应用，并可以用于对更多的模式的分析，总之，
它是几何中的有用工具。
高考数学专项讲解：专题3.7三点共线证法多,斜率向量均可做
【题型综述】
三点共线问题证题策略一般有以下几种:①斜率法:若过任意两点的直线的斜率都存在,通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线;②距离法:计算出任意两点间的距离,若某两点间的距离等于另外两个距离之和,则这三点共线;③向量法:利用向量共线定理证明三点共线;④直线方程法:求出过其中两点的直线方程,在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法:求出过其中某两点的直线方程,计算出第三点到该直线的距离,若距离为0,则三点共线.⑥面积法:通过计算求出以这三点为三角形的面积,若面积为0,则三点共线,在处理三点共线问题,离不开解析几何的重要思想:“设而不求思想”.
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x y -=点. 41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
(1)求椭圆的标准方程;
C (2)如图,已知是椭圆上的两个点,线段的中垂线的斜率为
且与交于点, 为坐标原,R S RS 12RS P O 点,求证: 三点共线.
,,P O M 【思路点拨】(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点,建立关于a ,b ,c 的方程组从而得到41,33M ⎛⎫
(2)根据题意,设直线PQ的方程为y=k(x﹣3),联立直线与椭圆的方程可得(3k2+1)
x2﹣18k2x+27k2﹣6=0,设出P、Q的坐标,由根与系数的关系的分析求出、的坐标,由向量平行的坐标表示方法,分析可得证明;
(3)设直线PQ的方程为x=my+3,联立直线与椭圆的方程,分析有(m2+3)y2+6my+3=0,设P(x1,y1 ),Q(x2,y2),结合根与系数的关系分析用y1.y2表示出△FPQ的面积,分析可得答案.
(),代入抛物线方程消去x整理得,再设,,进而得,可得直线的方程为,又,,故BD方程化为
三点共线定理及应用
三点共线定理及应用三点共线定理是一种几何定理，它指的是，若三点不共线，则它们必然位于某一条直线上。
这个定理有着深远的历史价值和今天广泛的应用。
据说它最早出现在公元前500年的古希腊数学家几何时期，也就是著名的欧几里得的时代，当时的数学家们就把它作为一种理论去验证实际情况。
《三点共线定理》主要指出，若三点不共线，则它们必然位于某一条直线上。
这个定理的可见性很强，只需要画出三点，并且看看三点是否共线，就可以立即得出结论。
更进一步，由三点共线定理可以得到一些重要的实际应用，其中包括空间直线、平面图形、三角形等。
以三空间为例，三点共线定理用于确定空间直线的具体情况。
如果在空间中有三个不同的点，它们之间的距离不是0，并且它们不在同一直线上，则它们之间唯一的连线必定是一条直线。
在平面图形方面，三点共线定理可以用来判断三角形是否位于同一平面内。
例如，若有三个不共线的点，通过它们可以构造出三角形，则这三角形一定位于同一平面上；如果三点共线，则不能构成三角形，也就不能位于同一平面。
另外，三点共线定理也可以用来确定平行线和平面的关系。
在三角形的应用中，三点共线定理也可以用来解决实际问题。
例如，在工程计算中，三点共线定理可以用来衡量三角形的面积。
换言之，只要知道三角形的三点坐标，就可以运用三点共线定理来计算该三角形的面积。
此外，三点共线定理还可以应用于几何图象处理中，例如图像拉伸和旋转等功能的实现。
首先，通过对图像的直线拉伸和旋转，可以用三点共线定理来确定每条线段的另外两点。
其次，三点共线定理还可以用来检测图像中的某一条线段是否与其他线段共线。
最后，在医学影像诊断方面，三点共线定理可以用来确定肿瘤图像在不同层次和角度下的特征，从而帮助医生准确诊断出病原体所在的位置。
综上所述，三点共线定理是一种有着悠久历史的几何定理，它具有大量的实际应用，例如在几何图像处理、医学影像诊断和工程计算等领域都有着广泛的实际应用。
同时，三点共线定理也是数学领域中一个重要的定理，它对于研究更复杂的几何问题也有着重要的意义。
平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O,存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=; 特别地有：当点P 在线段AB 上时,0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时,0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流;例106年江西高考题理科第7题已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线,设直线不过点O,则S 200= A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A;点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题;例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B,P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=,取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==,符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3湖北省2011届高三八校第一次联考理科如图2,在△ABC中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为 A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线,又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=,故选C 例407年江西高考题理科如图3,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N,若AB ＝ m AM ,AC ＝n AN ,则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点,故连接AO,如图4,由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝,AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线,∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5广东省2010届高三六校第三次联如图5所示：点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心,211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试如图6所示,在平行四边形ABCD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点,记AB a =,AD b =,则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景,为载体,求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上,可用平面内三点共线定理求解; 解：,,E G C 三点共线,∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG x AE x AC ∴=+- ,1133AE AB a ==,AC a b =+ 12(1)()(1)(1)33xAG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线,∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AF λλ∴=+- 1144AF AD b ==,, 1(1)4AG a b λλ∴=+-…………………………… ②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+点评：本题的解法中由两组三点共线F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上,利PABCMN 图5图6用平面内三点共线定理构造方程组求解,避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂,达到了简化解题过程的效果;例6的变式一：如图7所示,在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,BN 与CM 相交于点P,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP解：,,N P B 三点共线,∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP x AB y AN x y =++= ,AN ﹕AC=1﹕4, b AC AN4141==1444y y x AP xAB AC xa b xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线,∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++= ∵AM ﹕AB=1﹕3 ∴a AB AM3131==,, 133AP a b a b μλλλ-∴=+=+…………………………… ② 由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 81,11x y y +=∴=321111AP a b ∴=+ 例6的变式二：如图8所示：直线l 过ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O,与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M;又知AB ＝ m AM ,AD ＝n AN ,则m ＋n=解：因为点O 两条对角线AC 与BD 的交点,所以点O 为AC 的中点1()2AO AB AD ∴=+ AB ＝ m AM ,AD ＝n AN 1()222m nAO mAM nAN AM AN ∴=+=+ 又,,M O N 三点共线,∴由平面内三点共线的向量式定理可得：122m n+= 2m n ∴+=定理的推广：推广1：如图9所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P. 点O,P 位于直线AB 异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB =+且1x y +>;图7 图8图9推广2：如图10所示：已知平面内一条直线AB,两个不同的点O 与P.点O,P 位于直线AB 同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB =+且1x y +<;例7 已知点P 为ABC 所在平面内一点,且13AP AB t AC =+t R ∈,若点P 落在ABC 的内部,如图11,则实数t 的取值范围是A ．3(0,)4 B. 13(,)24C. (0,1)D. 2(0,)3解：点P 落在ABC 的内部 ∴A,P 两点在直线BC 的同一侧,∴由推论2知：113t +< 23t ∴<,所以选D例806年湖南高考题文科 如图12：OM ∥AB ,点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内不含边界.且OB y OA x OP +=,则实数对x ,y 可以是A ．)43,41( B. )32,32(- C. )43,41(- D. )57,51(-解：由题目的条件知：点O 与点P 在直线AB 的同侧,所以1x y +<,所以A,D 两选项不符合;对于选项B 、C,都有1x y +<,但当23x =-时,①如果点P 在直线AB 上,则由平面内三点共线的向量式定理可知：53y =②如果点P 在直线OM 上,OM ∥AB 可知：||OP AB ,由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得()OP t AB t OB OA tOA tOB ==-=-+,OB y OA x OP +=,t x t y ∴-==22,33t y ∴==又因为点P 在两平行直线AB 、OM 之间,所以2533y <<,故B 选不符合; 对选项C 同理可知：当14x =-时,1544y <<,故34y =符合,所以选C例906年湖南高考题理科如图13,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内不含边界运动,且ABOM图12图10图11OP xOA yOB =+,当12x =-时,y 的取值范围是 .解：当12x =-时,①如果点P 在直线AB 上,则由平面内三点共线的向量式定理可知：32y =②如果点P 在直线OM 上,OM ∥AB 可知：OP AB ,由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得()OP t AB t OB OA tOA tOB ==-=-+,OB y OA x OP +=,t x t y ∴-==1113,3AB AP =,设,OA a OB b ==,则23a b + 21.33B a b + 1233a b - D 2133a b -、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A 3,1,OC =αOA +βOB 且α+β=1,则x , y 所满足的关系式为x +2y -11=0 B -12+y -22=5 C ．+2y -5=02、已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是B3、在平行四边形ABCD 中,O 是对角线AC 与BD 的交点,E 是BC 边的中点,连接DE 交AC 于点F;已知,AB a AD b ,则OF16a b B ．()a b ()a b 114a b 届东江中学高三年级理科第三次段考在平行四边形ABCD 中,E 、F BC 、的中点,DE 交AF 记错误!、错误、b ,则错误!a5、2008年广东卷在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ,BD =b ,则AF = A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b6、在平行四边形ABCD中,11,34AE AB AF AD==,C E与BF相交于点G,记AB=a,AD=b,则AG＝A．2177+a b B．2377+a b C．3177+a b D．4277+a b7、在△ABO中,已知11,,42OC OA OD OB==,且AD与BC相交于点M,设,,OA a OB b==则_________OM=结果用a b与表示8、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点,CO的延长线与线段AB交于圆内一点D,若OC xOA yOB=+则有：.01.1.1.10A x yB x y A x y A x y<+<+>+<--<+<变式：如图所示：A,B,C是圆O上的三个点,CO的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F,若OC xOA yOB=+则有：.01.1.1.10A x yB x y A x y A x y<+<+>+<--<+<。
平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。
点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使b a由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v且1x y 。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y 当点P 在线段AB 之外时，0xy笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC u u u r u u u r u u u r，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则yx 41 的最小值是解：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上 B ，P,C 三点共线Q x>0,y>040,0y x x y由基本不等式可知：4424y x y x x y x y，取等号时4y xx y224y x 2y x 0,0x y Q 2y x 1x y Q 12,33x y ，符合 所以yx 41 的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC u u u r u u u r，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值为（ ）A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N Q 三点共线，又Q 2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r8111m 311m ，故选C例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB u u u r＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：Q 因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC u u u r u u u r u u u rm AB AM u u u r u u u u r Q ＝，AC nAN u u ur u u u r 又,,M O N Q 三点共线，由平面内三点共线定理可得：122m n2m n例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP ，OB y OQ ，证明：yx11 是定值； 证明：Q 因为G 是OAB V 的重心， 211()()323OG OA OB OA OB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又,,P G Q Q 三点共线，11133x y113x y 11x y 为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB u u u r u u u r ,14AF AD u u u r u u u r,CE 与BF 相交于G点，记AB a u u u r r ，AD b u u u r r，则AG u u u r _______ A ．2177a b r r B. 2377a b r r C. 3177a b r r D. 4277a b r r分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
通过一道题目看三点共线的常用证明方法(论文)
通过一道题目看三点共线问题的常用证明方法(陕西师范大学附中 张锦川 王全 710061)题目：如图,已知AB 是半圆O 的直径,,CA CD 是该半圆的切线,,A D 为切点,DE 垂直AB 于点E ,且F 为DE 中点,求证:,,B F C 三点共线.三点共线是平面几何中的典型问题，证法灵活多样，对于学生逻辑思维的锻炼及几何感觉的培养大有裨益.常见的证明方法有：利用角的关系证明、利用梅涅劳斯定理的逆定理证明、利用塞瓦定理的逆定理证明、利用向量共线证明、利用解析法证明、利用同一法证明等.下面，笔者拟使用这些方法对本题进行证明：思路一、利用角的关系证明：解法1：通过证EBF ABC ∠=∠来证点,,B F C 共线.证明：连接,,,OC OD AD BD ,由已知可得OC AD ⊥，又BD AD ⊥,∴ OC ∥BD ， 易知OACBED ∆∆,则AC ED OA BE =，即212AC EFBE AB =. 故AC EFAB BE=,即tan tan ABC EBF ∠=∠, 从而可得ABC EBF ∠=∠,故点,,B F C 共线.思路二、利用梅涅劳斯定理的逆定理证明：解法2：通过梅涅劳斯定理的逆定理证点,,B F H 共线来证明点,,B F C 共线.证明：同解法1得AC EF AB EB=,即EF AB BE AC ⋅=⋅. 故1DH AB EF DH AB DF AB EF ABHA BE FD HA BE AC BE BE AC⋅⋅=⋅=⋅=⋅=. 故点,,B F H 共线,从而可得点,,B F C 共线.FED OABCCF EOABDH CF EOABD解法3：由切线的性质得线段的关系后结合梅涅劳斯定理的逆定理证点,,B F C 共线. 证明：作BQ PD ⊥于点Q ,则由PD 为切线可知PDB BAD BDE ∠=∠=∠,故有BQ BE =.由PBQPCA ∆∆得BQ CA CDBP CP CP==. 于是有1PC DF EB BP DF EBCD FE BP BQ FE BP⋅⋅=⋅⋅=. 所以,由梅涅劳斯定理的逆定理可得点,,B F C 共线.解法4：由调和点列的相关知识与梅涅劳斯定理的逆定理直接证明点,,B F C 共线. 证明：由于AB 为直径,DE AB ⊥,以及PD 为切线可知:点,,,P A B E 成调和点列,即PA AEPB BE=. 又因DE ∥AC ,故PC PACD AE=. 因此有1PC DF EB PA BE CD FE BP AE PB⋅⋅=⋅=,于是由梅涅劳斯定理的逆定理可得点,,B F C 共线.注：利用梅涅劳斯定理的逆定理证明时，选择不同的三角形会得到不同的比式乘积.因而要挖掘题目的条件，选准方向进行求证.思路三、利用塞瓦定理的逆定理证明：解法5：由赛瓦定理的逆定理证点,,B F H 共线来证明点,,B F C 共线.证明：同解法1得DH DF EF BEAH AC AC AB===. 又由DF EF =可得A D F A E F S S ∆∆=,即sin sin DAF AEEAF AD∠=∠. 于是有sin sin ADG ABG S DG AD DAG AD AE AEBG S AB BAG AB AD AB∆∆∠===⋅=∠. 故1DG BE AH AE BE AB GB EA HD AB AE BE⋅⋅=⋅⋅=. 所以,由赛瓦定理的逆定理可得点,,B F C 共线.GH CFEOABD PCF EOABDQ PCFEOABD思路四、利用向量共线证明：解法6:可以利用向量共线的方法证明CF BF ∥. 证明:设AE AB λ=,EF AC μ=.∴ (1)CF CA AE EF AB AC λμ=++=+-； (1)BF BE EF AB AC λμ=+=-+. ∵ 向量AB 、AC 可以作平面内一组基底，∴ 点,,B F C 共线CF BF ⇔∥(1)(1)1λμλμλμ⇔=--⇔+=. 下面证明1λμ+=.(21)CD CA AE ED AB AC λμ=++=+-,两边平方可得222222222||||(21)||||(44)||CD AB AC AB AC λμλμμ=+-⇔=-2222||44||AB AC μμλ-⇔=， ①又10()()0()(2)02CO AD CA AO AE ED AC AB AB AC λμ⋅=⇔+⋅+=⇔-+⋅+= 22||4||AB AC λμ⇔=22||4||AB AC μλ⇔=, ② 由①,②可知224441μμμλμλλ-=⇔+=.∴ ,,B F C 三点共线.思路五、利用解析法证明：解法7：由于本题关系明确,且图形简单,因此用解析法来证明点,,B F C 共线. 证明：如图建立平面直角坐标系,不妨设圆的半径为1,点D 的坐标为(,)m n ,221m n +=且0m >,则由题意得点,B F 坐标依次为(1,0)B ,1(,)2F m n . 又由于CD OD ⊥,故直线CD 的方程为:1()m m y x m n x n n n=--+=-+. FED OABCyxCFEOABD而直线AC 的方程为1x =-,故可得直线CD 与直线CA 的交点1(1,)mC n+-.故可得2(1)BF n k m =-,12BC m k n+=-,又由221m n +=可得BC BF k k =,因此点,,B F C 共线.解法8:利用解析法,通过三角换元进行证明证明: 如图建立平面直角坐标系,不妨设圆的半径为1,设点(cos ,sin )D θθ,则1(cos ,sin )2F θθ,(1,0)A -,(1,0)B ；直线CD :cos sin 1x y θθ+=,直线CA :1x =-.由1cos sin 11cos 1sin x x y x y θθθθ=-⎧+=⎧⎪⇒+⎨⎨=-=⎩⎪⎩,则点C 的坐标为1cos (1,)sin θθ+-. ∴ 1cos 2sin BC k θθ+=-,sin 2(cos 1)BF k θθ=-.易知BC BF k k =,∴ ,,B F C 三点共线.问题延伸:由解法8可知,如果将图在纵轴方向上进行伸缩变换,圆变成椭圆,直线CA 、CD 成为椭圆的切线,点F 仍为DE 的中点,,,B F C 三点依然共线.证明:如图,建立平面直角坐标系,不妨设半椭圆的方程为22221(,0)x y a b a b+=>,0y ≥.设点(cos ,sin )D a b θθ,则(cos ,sin )2bF a θθ,(,0)A a -,(,0)B a ；直线CD :cos sin 1x y a bθθ+=,直线CA :x a =-. 由cos sin 1(1cos )sin x y x aa b b y x a θθθθ=-⎧⎧+=⎪⎪⇒+⎨⎨=⎪⎪=-⎩⎩,则点C 的坐标为(1cos )(,)sin b a θθ+-.∴ (1cos )2sin BC b k a θθ+=-,sin 2(cos 1)BF b k a θθ=-.易知BC BF k k =,∴ ,,B F C 三点共线.yxCFEOABDy xC FEOABDCFEOABDABODlFEABOD CFEABODCFEABOD 思路六、利用同一法证明：解法9:用同一法证明直线BC 与DE 的交点就是线段DE 的中点.证明:设BC 交DE 于F ',如图,2BE BA OAF E CA CA =='. DF EF ''=212BE OACA DE ⇔=BE OA DE CA ⇔=. 由解法一可知OAC BED ∆∆,从而BE OADE CA=成立. 因此点F 与点F '为同一点,从而得点,,B F C 共线.注：由解法9可知直线CD 切半圆O 于点D 的充要条件是F 为DE 中点(椭圆上条件也是充要的).因此，如果换一个角度去看这个问题，已知圆上一点，可以作出圆上该点处的切线；已知道椭圆上一点，也可以作出椭圆上该点处的切线.特别地，对于椭圆来讲，在已知椭圆的长轴的情况下，作图方法简单易行.现举例作图如下：已知：椭圆O 的长轴为AB ，D 是椭圆上异于A 、B 的任一点. 求作：椭圆在点D 处的切线.作法：1.过点A 作直线l AB ⊥；作DE AB ⊥于E ,取DE 的中点F ； 2.作直线BF 交直线l 于点C ；3.作直线CD ，则直线CD 为所求作的切线.。
三点共线向量式及应用
经验交流2014-03普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4（人教B 版）第97页以例题的形式给出了三点共线向量式：例题已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点。
求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使关于基底的分解式为并且满足式的点P 一定在l 上。
为了方便学生记忆和运用，常将上述内容改写为：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是OA =xOB+yOC O 为平面内任意一点），其中x+y =1。
一、应用于平面几何求值问题例1如图1，点G 是三角形ABO 的重心，PQ 是过G 的分别交OA 、OB 于P 、Q 的一条线段，且OP =mOA ，OQ=nOB ，（m 、n ∈R ）。
求1m +1n的值。
分析：本题是一道典型的平面几何证明题，但用平面几何方法则过程很复杂。
连结OG 交AB 于D ，注意到图中有两组三点共线，分别为A 、D 、B ；P 、G 、Q ，于是可以用三点共线向量式进行求解。
由A 、D 、B 三点共线及D 是中点有AP =tAB=t （OB -OA ），①由点G 是三角形ABO 的重心可知OD =32OG ，由题设有OA =1m OP ，OB =1nOQ 为了使用第二组共线关系，在①式左右两端同时替换得：32OG =12m OP +12n OQ ，即QC =13m OP +13n OQ由P 、G 、Q 三点共线得13m +13n =1即1m +1n=3。
二、应用于立体几何证明问题例2（2013年浙江卷理科20题）如图2，在四面体A -BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD =2，BD =22√.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ =3QC .（1）证明：PQ ∥平面BCD ；分析：本题（1）是一道典型的立体几何问题转化为平面几何证明，笔者尝试用三点共线向量式来求解，过程较为简洁，不妨作为一种解法来储备。
如何证明三点共线高中数学
如何证明三点共线高中数学（原创版）目录一、引言二、证明三点共线的几种方法1.直线和方程2.两点确定一条直线3.验证第三点是否在那条直线上4.梅涅劳斯定理和赛瓦定理的逆定理5.托勒密定理6.向量共线定理7.斜率法8.利用平面几何公理三、结论正文一、引言在高中数学中，证明三点共线是一个常见的问题。
对于这个问题，我们可以使用不同的方法来证明。
本文将介绍几种常见的证明方法，包括直线和方程、两点确定一条直线、验证第三点是否在那条直线上、梅涅劳斯定理和赛瓦定理的逆定理、托勒密定理、向量共线定理以及斜率法等。
二、证明三点共线的几种方法1.直线和方程通过设直线方程，利用两点确定一条直线，然后验证第三点是否在这条直线上，从而证明三点共线。
2.两点确定一条直线连接两点形成一条直线，然后验证第三点是否在这条直线上，如果成立，则证明三点共线。
3.验证第三点是否在那条直线上将第三点的坐标代入直线方程，如果等式成立，则说明第三点在这条直线上，从而证明三点共线。
4.梅涅劳斯定理和赛瓦定理的逆定理利用梅涅劳斯定理和赛瓦定理的逆定理，通过计算线段之间的角度关系来证明三点共线。
5.托勒密定理通过托勒密定理，可以判断三个点是否共线。
如果满足托勒密定理的条件，则可以证明三点共线。
6.向量共线定理利用向量的共线定理，通过计算线段之间的向量关系来证明三点共线。
7.斜率法通过计算线段之间的斜率关系，如果两个线段的斜率相等，则可以证明三点共线。
8.利用平面几何公理在三角形中，如果两个角相邻且加在一起等于 180 度，则可以证明三点共线。
三、结论综上所述，证明三点共线的方法有很多，包括直线和方程、两点确定一条直线、验证第三点是否在那条直线上、梅涅劳斯定理和赛瓦定理的逆定理、托勒密定理、向量共线定理以及斜率法等。
证明三点共线问题的方法
又 PE = PF ,则
AB ·FC·DE
CD B F EA
=
PA ·PC·PE
PC PF PA
= 1.
故 AB ·FC·DE = B F·CD·EA .
因此 , AC 、BD 、EF 三线共点 ,即 E、K、F
三点共线.
练习题
1. 在 △ABC 中 , AB > BC > CA , 它 的 内 切 圆 切 BC、CA 、AB 于 D 、E、F. 设 FE 与 BC 交于 A′, FD 与 AC 交于 B′, DE 与 BA 交于 C′. 求证 : A′、B′、C′三点 共线.
数学竞赛的教练和优秀选手经常用塞瓦定理的逆定理来证明三线共点问题并不是因为人们对此定理有所偏爱而是因为它好用且适用比同一法更加行之有效
2
●数学活动课程讲座 ●
证明三点共线问题的方法
中等数学
黄全福
(安徽省怀宁县江镇中学 ,246142)
(本讲适合初中) 证明三点共线问题的方法很多 ,从初中
所涉及的数学知识的范围考虑 ,大体有以下 几种.
7 利用塞瓦定理的逆定理
变三点共线为三线共点 ,利用塞瓦定理
的逆定理. 在圆内接凸六边形 ABCDEF 中 ,
若 AB ·CD·EF = BC·DE·FA ,则 AD 、B E、CF
三线共点 ;反之亦然. 利用这个结果来证明某
些三点共线问题 ,可立竿见影.
例 7 如图 7 ,凸
四边形 ABCD 内接于
同理 , S △FMN
=
1 4
. S 四边形ABCD
因此 , S △EMN = S △FMN . 此时 ,直线 MN 平
平面向量中“三点共线定理”妙用讲解学习
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量中三点共线
知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且OP xOA yOB =+。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >>当点P 在线段AB 之外时，0xy <典例剖析例1、 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是 分析：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例2、在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211分析：,,B P N三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+8111m ∴+=311m ∴=，故选C例3、在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+ 又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=变式、直线l 过ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M 。
平面向量中三点共线
平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：O P x O A y O B =+且OP xOA yOB =+。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >>当点P 在线段AB 之外时，0xy <典例剖析例1、 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是 分析：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线A P x AB y =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y x x y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x ∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合 所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例2、在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A ．911 B. 511 C. 311 D. 211分析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+8111m ∴+= 311m ∴=，故选C例3、在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+ m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+ 22m n AO AM AN ∴=+ 又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n += 2m n ∴+=图4变式、直线l 过ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M 。
解析几何中证明三点共线的常见方法
解析几何中证明三点共线的常见方法【问题】已知平面内三点)4,2( ),4,2( ),2,1(C B A --,求证这三点共线.思路一、利用斜率相等若AC AB k k =,则A 、B 、C 三点共线。
证法一：直线AB 的斜率为21224=----=AB k , 直线AC 的斜率为21224=--=AC k , 因为直线AB 与直线AC 都过点A,且AC AB k k =,所以A 、B 、C 三点共线。
思路二、利用三角形三边的关系若||||||AC AB BC +=,则A 、B 、C 三点不能构成三角形，也就是三点共线。
证法二：由已知得53)24()12(||22=--+--=AB ， 5)12()24(||22=-+-=AC 54)22()44(||22=+++=BC ∵54||||||=+=AC AB BC ,所以A 、B 、C 三点共线。
思路三、利用三角形的面积为零若三角形的面积为零,则三点共线.证法三：由已知得53)24()12(||22=--+--==AB a ， 5)12()24(||22=-+-==AC b54)22()44(||22=+++==BC c 54)(21=++=c b a p 代入海伦公式))()((c p b p a p p S ---=0)5454)(545)(5354(54=---⨯= 所以A 、B 、C 三点共线。
思路四、利用点到直线距离若点M 到直线l 的距离为零,则点M 在直线l 上.证法四: 直线AB 的方程为121242---=---x y ,即02=-y x , 点C 到直线AB 的距离为023|4122|22=+⨯-⨯=d ，所以,点C 在直线AB 上,即A 、B 、C三点共线。
思路五、利用点与直线的关系若点M 的坐标满足直线l 的方程，则点M 在直线l 上。
证法五: 直线AB 的方程为02=-y x ,又0422=-⨯，所以点C 的坐标满足方程02=-y x ，即点C 在直线AB 上,所以A 、B 、C 三点共线。
三点共线与四点共面的几何性质
三点共线与四点共面的几何性质几何学是研究空间形态和其属性的一门学科。
在几何学中，有两个非常重要的几何性质，它们分别是“三点共线”和“四点共面”。
本文将简要介绍这两个几何性质的定义以及相关的性质和应用。
一、三点共线三点共线是指三个点在同一条直线上，通俗的说法就是“三点一线”。
在几何学中，三点共线性质是最基本的性质之一，也是其他几何性质的前提。
三点共线不仅是一个基本概念，还有很多性质和应用。
1、构成直线三点共线是构成直线的必要条件。
因为直线没有弯曲或弯曲的部分，所以直线上的所有点都满足三点共线条件。
如果三个点不共线，则无法构成一条直线。
2、构成平行线平行线是另一个基本概念。
平行线是指在同一平面中没有相交之处且距离相等的直线。
如果两条直线各自经过相同的点，与这些点连成的直线必须共线，而且必须处于同一个平面内。
3、构成角在数学中，角是由两条线段（通常是直线）的端点组成的形状。
将这两条线段的端点相同的点称为角的顶点。
如果这两条线段的另外一端分别连接三个点，则这三个点共线，这个角就是一个直角。
二、四点共面四点共面是指在三维空间内，四个点位于同一平面上。
对于空间内的任意四个点，它们是否共面是一个非常重要的问题。
四点共面的几何性质和应用1、定义平面在三维空间中，平面是指在空间内任何两点之间都可以画一条直线，并且这些直线都在同一个平面内。
当四个点共面时，它们构成一个三维平面。
2、计算面积和体积在三维空间中，如果四个点共面，则可以将这四个点看作三维空间中的四个点，并用它们来计算面积和体积。
例如，如果四个点构成一个四边形，可以使用海龙公式或格拉姆-施密特公式计算面积。
3、构建模型在实践应用中，四点共面性质可以用于构建三维模型。
例如，在CAD设计和制造中，四个点共面性质可以用于确定三维模型的几何形状和尺寸。
结论：本文简要介绍了三点共线和四点共面的几何性质和应用。
三点共线和四点共面是几何学中两个基本的概念，它们在许多几何问题中都有重要的应用。