水溶液中的药物颗粒运动和受力分析

21 120kx3 bx3
12
60k
x1
bx1，
21
120k x 2
bx
，
2
2 180kx3 bx3
……
23 1140kx20 bx20 2 1200kx20 bx20 ；
0 0ky1 by1
3 60k y2 by2 6 120k y3 by3
Y 方向： 3 60ky1 by1 ，6 120ky2 by2 ， 34 180ky3 by3 ……
44 1140ky20 by20 52 1200k y20 by20 ；
Z 方向： 0 0kz1 bz1
4 60kz2 bz2
32 120kz3 bz3
4 60kz1 bz1 ， 32 120kz2 bz2 ， 14 180kz3 bz3 ……
8 1140kz20 bz20 22 1200kz20 bz20 。
x
F ：y 轴方向受到的力，单位 1×106 N： y
F ：z 轴方向受到的力，单位 1×106 N： z
F 合 ：各方向的合力，单位 1/1000N； S x ：ｘ轴方向的位移，单位 mm； S y ：y 轴方向的位移，单位 mm； S z ：x 轴方向的位移，单位 mm； S 合 ：各方向的合位移，单位 mm。
五．建立模型
5.1 测量数据矢量化处理
根据上述假设我们可以将测量数据进行矢量化优化处理，处理后的结果如下：
时间（min） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 13 14 15 16 17 18 19 20
速度（mm/s）
012
X 方向 Y 方向 Z 方向
0
1 2
-2 1
2
0
1 3
-2 3
ay
-0.05，0≤t<60， 0.15，60≤t<120， -0.666666667，120≤t<180， 0.933333333，180≤t<240，
-0.4,240≤t<300， 0.383333333，300≤t<360， -0.45，360≤t<420， 0.3，420≤t<480， -0.566666667，480≤t<540， 1.483333333，540≤t<600,， -1.666666667，600≤t<660， 0.616666667,660≤t<720， -0.383333333，720≤t<780， 0.85，780≤t<840， -0.916666667，840≤t<900， 0.95，900≤t<960， -1.983333333，，960≤t<1020， 1.433333333，1020≤t<1080， -0.75，1080≤t<1140， 1.6，1140≤t<1200；
0.866666667t-765.0000003，840≤t<900，
-0.716666667t+660.0000003，900≤t<960，
0.6t-604，960≤t<1020，
-0.316666667t+331.0000003，1020≤t<1080，
0.316666667t-353.0000004，1080≤t<1140，
-0.916666667t+802.0000003，840≤t<900，
0.95t-878，900≤t<960，
-1.983333333t+1938，，960≤t<1020，
1.433333333t-1547，1020≤t<1080，
-0.75t+811，1080≤t<1140，
1.6t-1868，1140≤t<1200；
3
-2 1
3 4
2 2
6 5
12
-1 9
11
-5 2
2
-3 2
23
-2
0
3
6
3 4
22
2
21
6
12 2
2
6 7
3 3
4
-1 9
32
-2 3
34
-8 5
1
-4 4
52
0
4
-2 4 31
-1 1 56
-6 7
-4 2
6
1 1
2
2 2
10
-3 7
15
-2 8
8
-1 1
8
-2 2
5.2 绘制 v-t 图像
的方法转换成三维问题。测量得到的速度只有大小没有方向，而速度是一个矢量， 既有大小又有方向。如果我们按照测量得出的数据全都取正值，就表明颗粒一直 沿某一坐标轴的正方向运动，自始至终都不会发生改变，这显然是不合理的；因 此我们必须作出一些假设对测量数据作出矢量化优化处理。
三．问题假设
1.由于颗粒在做无规则运动，所以三个方向的初始方向无法确定，可能沿坐标轴 正方向有可能沿负方向，为了更贴近实际，我们假设 x 方向和 z 方向初始方向沿 坐标轴正方向，y 轴沿负方向； 2.由于颗粒的运动状态每时每刻都在发生变化，而测量数据每次间隔都是一分钟 时间，为了简化模型，假设颗粒在测量间隔的一分钟内各个方向都遵循匀变速直 线运动，即一分钟内颗粒在各方向运动的加速度保持不变； 3.为了解决速度的方向问题我们不妨假设颗粒运动的加速度足够大在一分钟内 足以颗粒的运动速度减为零，甚至使速度方向发生改变； 4.我们假设观测的速度均为最大速度，结合假设 3 的内容即可对速度方向作出判 断，当某一时刻观测速度为正时，下一时刻的观测速度取负值，反之取正，当观 测速度为 0 时，下一时刻的观测速度则和此时刻的上一时刻取值相同，而速度的 初始取值由假设 1 决定。
一．问题重述
时间
01 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
（min）
01234567890
速度（mm/Leabharlann Baidu）
X 方向
01 2 2 0 1 2 3 2 1 3 2 6 1 1 1 5 2 3 2 2
21
33
4252912
23
Y 方向 Z 方向
03 6 3 2 2 2 6 1 2 6 3 4 1 3 2 3 8 1 4 5
解得函数如下：
vx
0.2t，0≤t<60， -0.55t+45，60≤t<120， 0.383333333t -66.99999996，120≤t<180， -0.033333333t+7.99999994，180≤t<240， 0.216666667t-52.00000008,240≤t<300， -0.6t+193，300≤t<360， 0.433333333t-178.9999999，360≤t<420， -0.083333333t+37.99999986，420≤t<480， 0.05t-26，480≤t<540， -0.583333333t+315.9999998，540≤t<600,， 0.933333333t-593.9999998，600≤t<660， -1.45t+979,660≤t<720， 1.283333333t-988.9999998，720≤t<780， -0.516666667t+415.000000，780≤t<840，
vy
-0.05t，0≤t<60， 0.15t-12，60≤t<120， -0.666666667t +86.00000004，120≤t<180， 0.933333333t-201.9999999，180≤t<240， -0.4t+118,240≤t<300， 0.383333333t-116.9999999，300≤t<360， -0.45t+183，360≤t<420， 0.3t-132，420≤t<480， -0.566666667t+284.0000002，480≤t<540， 1.483333333t-822.9999998，540≤t<600,， -1.666666667t+1067，600≤t<660， 0.616666667t-440.0000002,660≤t<720， -0.383333333t+279.9999998，720≤t<780， 0.85t-682，780≤t<840，
水溶液中的药物颗粒运动和受力分析
周子昊（机电系数控 1201） 摘要：本文假设药物颗粒足够小，在水溶液中的运动符合布朗运动规律。首先作 出一定假设对进行测量速度矢量化优化处理，然后根据优化数据绘制各个方向的 速度、时间图像，根据优化数据和图像求出速度关于时间的分段函数。对速度求 积分得到各个方向的位移，然后用向量表示的方法表示出合位移。对速度求导得 到各个方向加速度，用动力学公式计算出测量间隔时间内各个方向受到的力，然 后用向量表示的方法表示出合力。 关键词：布朗运动 速度 加速度 位移 受力
0.5t-439，840≤t<900，
-1.05t+956，900≤t<960，
0.9t-916，960≤t<1020，
-0.566666667t+580.0000003，1020≤t<1080，
0.916666667t-1022，1080≤t<1140，
-0.416666667t+498.0000004，1140≤t<1200；
4.3 根据优化数据和所会图像求速度时间函数
根据图像可知各方向的速度时间函数都是一元一次分段函数，可通过二元一次方
v v v 程组求解。将优化数据分别代入 x kxt bx y kyt by
z kzt bz 得到以
下方程组：
X 方向： 0 0kx1 bx1 12 60kx2 bx2
vz
0.066666667t，0≤t<60， -0.45t+31，60≤t<120， 1.066666667t -151，120≤t<180， -0.933333333t+208.9999999，180≤t<240，
0.516666667t-139.0000001,240≤t<300， -0.366666667t+126.0000001，300≤t<360， 0.216666667t-84.00000012，360≤t<420， -0.816666667t+350.0000001，420≤t<480， 0.8t-426，480≤t<540， -0.283333333t+158.9999998，540≤t<600,， 0.216666667t-141.0000002，600≤t<660， -0.4t+266,660≤t<720， 0.533333333t-405.9999998，720≤t<780， -0.783333333t+620.9999997，780≤t<840，
0.216666667,240≤t<300， -0.6，300≤t<360， 0.433333333，360≤t<420， -0.083333333，420≤t<480， 0.05，480≤t<540， 0.933333333，600≤t<660， -1.45,660≤t<720， 1.283333333，720≤t<780， -0.516666667，780≤t<840， 0.5，840≤t<900， -1.05，900≤t<960， 0.9，960≤t<1020， -0.566666667，1020≤t<1080， 0.916666667，1080≤t<1140， -0.416666667，1140≤t<1200；
四．符合说明
vx ：ｘ轴方向的速度，单位 mm/s； vy ：ｙ轴方向的速度，单位 mm/s； vz ：ｚ轴方向的速度，单位 mm/s；
t ：时间，单位；
ax ：ｘ轴方向的加速度，单位 mm/s 2 ； a ：y 轴方向的加速度，单位 mm/s 2 ；
y
az ：ｚ轴方向的加速度，单位 mm/s 2 ； az ：各方向的合加速度，单位 mm/s 2 ； F ：ｘ轴方向受到的力，单位 1×106 N：
-0.5t+578，1140≤t<1200；
5.4 估计速率与时间的关系
加速度等于速度对时间的导数，分别对vx 、vy 、vz求导得到加速度：
v ax =
'
x
，ay = v' y ，az =v' z ；
ax=
0.2，0≤t<60， -0.55，60≤t<120， 0.383333333，120≤t<180， -0.033333333，180≤t<240，
42
1
2273
92345
42
04 2 4 1 1 6 7 4 6 1 2 2 1 3 1 2 8 1 8 2
3156
2
1
20758
1
2
m
0.01
10
1 2t
2
（克），根据所给测量速度和质量函数，估计药物颗粒的运动
和受力情况。
二．问题分析
悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡 的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向 运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。由于药物颗粒直径较小，所以 可以将药物颗粒在水溶液中的运动看做布朗运动。因为药物颗粒永不停息地做无 规则运动，所以颗粒的运动状态每时每刻都在发生变化。因此我们根本无法预测 颗粒下一时刻的运动状态，于是我们必须作出一定假设将问题简化。另外，此问 题是一个三维问题，我们先计算每个方向的运动和受力情况，然后通过向量表示