三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
一、引言
三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介
绍三角函数模型在实际问题中的简单应用，包括振动、音乐、天文等方面。
二、振动模型
振动是物理学中常见的现象，三角函数模型可以很好地描述振动的特性。
例如，在弹簧振子中，物体在平衡位置附近偏离并摆动，可以用正弦
函数描述振动的过程。
振动的周期、频率和振幅等因素可以通过三角函数
进行计算和预测。
三、音乐模型
音乐是艺术与科学的结合，三角函数模型在音乐中也有着重要的应用。
音乐的基本要素包括音高、音长和音色等。
三角函数可以帮助我们理解和
创建不同音调的声音，例如正弦函数可以生成纯音，而复杂的乐曲可以通
过多个三角函数的叠加来表示。
四、天文模型
三角函数模型在天文学中也扮演着重要的角色。
例如，我们可以使用
正弦函数来描述地球公转和自转的运动规律。
通过对三角函数模型的运用，我们可以计算出日出、日落以及季节变化等现象，并预测天文事件的发生
时间和位置。
五、结论
三角函数模型的简单应用涵盖了振动、音乐和天文等多个领域。
通过
对三角函数的理解和运用，我们可以更好地理解和解释各种现象，并进行
相关问题的计算和预测。
在实际应用中，对三角函数模型的灵活运用将有
助于我们解决各类问题。
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件5.5三角函数模型的简单应用
解得
π
φ=2kπ-12 ,k∈Z.
π
π
由- <φ< ,
2
2
所以
π
φ=- .
12
所以
π
f(x)=2sin(2x-12 ),故选
C.
规律方法
给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:先通过图象确定A和ω,再选取“第一零点”(即“五点法”作图
中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析
它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题
的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
2π
又||=12,取
则有
又
π
ω=6 ,
π
h=Asin6 t,
π
h(3)=Asin2 =A=-6,
故所求解析式为
π
h=-6sin6 t.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)
【例 1】 函数
π
π
f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-2 <φ<2 )的部分图象如图所示,
A.x轴上
B.最低点
C.最高点
D.不确定
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
1 2 3 4 5
三角函数模型的简单应用
(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3，得 s＝4sin π3＝2 3， 所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是 π，所以小球往复振动一次所用的时间是 πs.
[归纳升华] 处理物理学问题的策略
(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完 成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本 的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题.
(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器.
三角函数在物理中的应用 自主练透型
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个 函数的简图，并回答下列问题：
∴0≤π6t≤4π.② 由①②得π6≤π6t≤56π 或163π≤π6t≤167π. 化简得 1≤t≤5 或 13≤t≤17. ∴该船最早能在凌晨 1 时进港，下午 17 时出港，在港内最多可停留 16 小时．
[归纳升华] 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图； (2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管 理提供依据．
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Asin ωt＋b 的图象． (1)试根据以上数据，求出函数 y＝f(t)的近似解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为 是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距 离)为 6.5 米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多 长时间(忽略进出港所需的时间)
16三角函数模型的简单应用
(2)由题意，水深 y≥4.5＋7， 即 y＝3sinπ6t＋10≥11.5，t∈[0,24]， ∴sinπ6t≥12，π6t∈2kπ＋π6，2kπ＋56π，k＝0,1， ∴t∈[1,5]或 t∈[13,17]， 所以，该船在 1∶00 至 5∶00 或 13∶00 至 17∶00 能安全 进港．
离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略 离港所用的时间)
解 (1)从拟合的曲线可知，函数 y＝Asin ωt＋B 的一个周期 为 12 小时，因此 ω＝2Tπ＝π6.又 ymin＝7， ymax＝13，∴A＝12(ymax－ymin)＝3， B＝12(ymax＋ymin)＝10. ∴函数的解析式为 y＝3sinπ6t＋10 (0≤t≤24)．
单调递增区间：[k , k ](k Z )
2
单调递减区间：[k , k ](k Z )
2
零点为 x k , k Z;
对称轴为 x k , k Z .
2
例 2 某港口水深 y(米)是时间 t (0≤t≤24，单位：小时)的 函数，下面是水深数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似 的看成正弦函数型 y＝Asin ωt＋B 的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出 y＝Asin ωt＋B 的解析式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为 7 米， 那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全
∴函数y=|sinx|的图象可由y=sinx的图象变换而得：
高中课件 三角函数模型的简单应用
1.通过对三角函数模型的简单应用的学习， 初步学会由图象求解析式的方法； 2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的 过程； 3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型．
在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用
数学语言可以说这些现象具有周期性1、，物理情而景—我—们所学的三角
①简谐运动
.
（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所以
当y≥5.5时就可以进港.令
化简得
sin
6
x
2.5 sin
0.2
6
x
5
5.5
由计算器计算可得
6
x
0.2014,或来自6x0.2014
y
6
4
AB
CD
2
O
3 6 9 12 15 18 21 24
x
解得 xA 0.3848, xB 5.6152
1.6三角函数模型的简单应 用
本节课以三角函数各种实践生活中的模型让学生 体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建 模”思想,从而培养学生建模、分析问题、数形结合、 抽象概括等能力．
让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解 决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴 趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、 勤于思考的精神.
分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——
南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知
H
A
B
C
解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太 阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情 况考虑，此时的太阳直射纬度为-23º26'，依题意两楼的间 距应不小于MC.
最全三角函数概念模型的简单应用完整版.doc
第一课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（一） 教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养学生用已有的知识解决实际问题的能力. 教学重点：待定系数法求三角函数解析式. 教学难点：选择合理数学模型解决实际问题. 教学过程：一、复习准备：1. 函数f (x )的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位所得的曲线是1sin 2y x =的图像，试求()y f x =的解析式.2. 函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.二、讲授新课：1. 教学典型例题：① 出示例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++，试求这段曲线的函数解析式.讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？（由周期、振幅确定A 、b 、ω；再由特殊点确定初相ψ） 教师示例 → 小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.② 练习：如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.（i ）试根据图象写出sin()y A t ωϕ=+的解析式.（ii ）在任意一段3100秒的时间内，电流I 既能取得最大值A ，又能取得最小值－A 吗？（答案：1003sin()33I t ππ+； 由3350100T =>得不可能） ② 出示例2：作出函数y ＝｜sin x ｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间. 讨论：绝对值的几何意义？ → 作简图 → 由图说性质变式：研究y ＝｜cos x ｜、y ＝｜tan x ｜. 小结：数形结合思想研究函数性质. 2. 练习：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s 厘米和时间t 秒的函数关系为6sin(2)6s t ππ=+.（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？ （3）单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？ 3. 小结：给图求式；给式应用；待定系数法. 三、巩固练习：1. 练习：教材P73 练习1题.2. 作业：书P73 习题1、2题.第二课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（二）教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养学生用已有的知识解决实际问题的能力.教学重点：待定系数法求三角函数解析式；用三角函数模型解决实际问题. 教学难点：选择合理数学模型解决实际问题. 教学过程：一、复习准备：1. 函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，求此函数的表达式. （答案：4y x π）2. 讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？ 如何确定初相？（特殊点法）3. 讨论：在现实生活中，哪些现象具有周期性？（温度、白昼、振动、情绪、智力、体力等） 二、讲授新课：1. 教学三角函数应用模型：① 出示例：某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记为y =)(t f ，下（i ）根据以上数据求出y =)(t f 的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？教法：从表中读到一些什么数据？ → 依次求各系数 → 应用模型解决问题 答案：3sin106ty π=+（0≤t ≤24）； 13（小时）. 小结：读取与分析表中的数据，是一种数学思维能力的训练. 求得模型后，把第（2）问的情景转化为一个简单的三角不等式，再运用整体思想，借助函数的图象或者单位圆可以求解. ② 练习：某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++. 下表是测得的某日各时的浪高数据：2. 练习：某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元. 该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元. （1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式;（2）假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数.3. 小结：三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；而是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题. 三、巩固练习：作业：读《数学周报》第43期第2版文章《三角函数模型应用举例》赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．y 系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：)图(1)图(2)2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++） （2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-（舍），2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可） （3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形E M N H 、矩形M F G N ，使矩形MF G N ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=．B A D E MF2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱112233445A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式；（3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15，B 图(1)图(2)l4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
三角函数在生活中的应用
三角函数在生活中的应用
三角函数在生活中的应用非常广泛，以下是一些具体的例子：
1. 导航和测量：在地理学和导航系统中，三角函数被广泛用于确定位置和导航路线。
例如，使用正弦函数可以计算出一个船只或飞机相对于地平线的高度，而使用余弦函数可以帮助计算两地之间的距离和方位角。
2. 音乐学：在音乐学中，三角函数也有重要的应用。
例如，正弦函数可以用来描述声音的波动，音乐中的音调和和弦也可以用三角函数来表示。
3. 光学：在光学中，三角函数被广泛应用于描述和计算光线的传播、折射和反射。
我们可以利用三角函数来计算出反射镜或折射体中光线的角度和路径。
4. 建筑和工程：在建筑和工程中，三角函数常用于测量高度、距离和角度。
例如，工程师可以使用三角函数来计算建筑物的高度、角度和结构的稳定性。
5. 航海和航空：航海员和飞行员使用三角函数来计算船舶或飞机的位置、航向和速度。
三角函数也用于制定航线和导航系统。
6. 电磁学：电磁学中常用交流电，而交流电可以用三角函数（特别是正弦函数和余弦函数）来描述。
此外，复数函数常用正弦函数和余弦函数的复变函数表示。
7. 日常生活：在现实生活中存在大量具有周期性变化的现象，比如农业中筒车中盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系、物理中
的简谐运动等。
这些都可以借助三角函数来描述。
总的来说，三角函数在生活中的应用非常广泛，几乎无处不在。
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引入在我们的日常生活和学习中，三角函数有着广泛的应用。
从物理中的波动现象到建筑设计中的角度计算，从音乐中的声波到天文观测中的星体运动，三角函数都发挥着重要的作用。
通过学习三角函数模型的简单应用，我们能够更好地理解和解决与周期变化相关的实际问题。
二、三角函数的基本概念在深入探讨三角函数模型的应用之前，我们先来回顾一下三角函数的基本概念。
1、正弦函数（sin）：对于一个角α，正弦函数的值等于这个角的对边与斜边的比值。
2、余弦函数（cos）：余弦函数的值等于这个角的邻边与斜边的比值。
3、正切函数（tan）：正切函数的值等于这个角的对边与邻边的比值。
三角函数的周期是其重要的性质之一。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，正切函数的周期是π。
三、三角函数模型的构建在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件构建三角函数模型。
例如，考虑一个简单的摆动问题。
一个摆锤从某一位置开始摆动，它的位移与时间的关系可以用正弦函数来描述。
假设初始位置在平衡位置右侧，摆锤的振幅为 A，周期为 T，那么位移 y 与时间 t 的关系可以表示为：y ＝A sin(2πt/T) 。
再比如，对于一个周期性变化的温度问题。
如果一天中温度的最高值和最低值已知，以及温度变化的周期（通常为 24 小时），我们可以用正弦函数的形式来近似地表示温度随时间的变化：T(t) ＝ Asin(2πt/24) ＋ B ，其中 A 是温度变化的幅度，B 是平均温度。
四、三角函数模型在物理中的应用1、交流电的变化在电学中，交流电的电压和电流通常是随时间周期性变化的。
可以用正弦函数来描述其变化规律，例如：U ＝ U₀ sin(ωt ＋φ) ，其中 U₀是电压的最大值，ω 是角频率，φ 是初相位。
2、机械振动弹簧振子的位移、速度和加速度都可以用三角函数来表示。
通过对这些三角函数的分析，我们可以了解振子的运动规律，从而为机械设计和工程应用提供理论基础。
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引言在我们的日常生活和学习中，三角函数的应用无处不在。
从物理学中的波动现象到建筑设计中的角度计算，从音乐的旋律到天文学中的星球运动，三角函数都发挥着重要的作用。
通过建立三角函数模型，我们能够更好地理解和解决这些实际问题。
二、三角函数的基础知识首先，让我们回顾一下三角函数的基本概念。
1、正弦函数（sin）：对于一个锐角θ，正弦函数的值等于它的对边与斜边的比值。
2、余弦函数（cos）：余弦函数的值等于它的邻边与斜边的比值。
3、正切函数（tan）：正切函数的值等于它的对边与邻边的比值。
三角函数的周期性质也是非常重要的。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
三、三角函数模型的构建在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件构建三角函数模型。
例如，假设一个物体做简谐运动，它的位移 y 与时间 t 的关系可以表示为 y ＝A sin(ωt ＋φ)，其中 A 表示振幅，ω 表示角频率，φ 表示初相位。
又比如，在研究交流电的电压变化时，我们可以用函数 u ＝ U₀sin(ωt) 来描述，其中 U₀是电压的最大值，ω 是角频率。
四、三角函数模型在物理学中的应用1、波动现象在物理学中，声波、光波等都属于波动现象。
以声波为例，声音的强度可以用三角函数来描述。
当一个声源发出声音时，声音的传播可以看作是一种波动，其强度随距离和时间的变化可以通过三角函数模型来计算。
2、单摆运动单摆的运动也是一个典型的可以用三角函数模型描述的物理现象。
单摆的摆动角度与时间的关系可以用正弦函数来表示。
五、三角函数模型在天文学中的应用1、星球的位置和运动在天文学中，星球的位置和运动可以通过建立三角函数模型来预测和研究。
例如，地球绕太阳的公转轨道可以近似看作一个椭圆，而太阳位于椭圆的一个焦点上。
通过三角函数，我们可以计算出地球在不同时间的位置和速度。
2、日月食的预测日月食的发生也可以用三角函数模型来预测。
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引入在我们的日常生活和学习中，三角函数无处不在。
从物理学中的波动现象，到建筑设计中的结构计算，甚至是音乐中的音符频率，都能看到三角函数的身影。
那么，如何将三角函数的知识运用到实际问题中，建立有效的数学模型来解决这些问题呢？这就是我们今天要探讨的主题——三角函数模型的简单应用。
二、三角函数的基础知识回顾首先，让我们简要回顾一下三角函数的基本概念。
我们最常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
正弦函数sinθ 表示直角三角形中对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。
它们的周期性质也非常重要。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
此外，三角函数的一些基本公式，如两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等，也是我们解决问题时经常会用到的工具。
三、三角函数模型在实际生活中的应用1、潮汐现象在海洋学中，潮汐的涨落可以用三角函数模型来描述。
假设某地的潮汐高度 h 与时间 t 之间的关系可以近似表示为 h ＝A sin(ωt＋φ) ＋k ，其中A 表示潮差（即高潮和低潮之间的高度差），ω 表示角频率，φ 表示初相位，k 表示平均海平面高度。
通过对当地潮汐数据的观测和分析，可以确定这些参数的值，从而准确预测潮汐的变化。
2、交流电在电学中，交流电的电压或电流随时间的变化通常也可以用三角函数来表示。
例如，正弦交流电的电压 u 可以表示为 u ＝ U₀ sin(ωt ＋φ₀) ，其中 U₀是电压的最大值（也称为峰值），ω 是角频率，φ₀是初相位。
3、物体的简谐运动一个物体在直线上做往复运动，如果它所受的力与位移成正比，并且方向相反，那么这个物体就做简谐运动。
比如弹簧振子的运动，其位移 x 与时间 t 的关系可以表示为 x ＝A sin(ωt ＋φ) ，其中 A 是振幅，ω 是角频率，φ 是初相位。
三角函数模型的简单应用 课件
已知电流 I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2π在 一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多 少？
• 【思路点拨】对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确 定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周 期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)可利用正弦型 函数的图象在一个周期中必有一个最大值和一个最小值点来解．
三角函数模型的简单应用
• 三角函数的应用
• 1．根据实际问题的图象求出函数解析式．
• 2．将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． • 3．利用搜集的数据作出 散点图 ，并根据 散点图 进行函数拟合，从
而得到函数模型．
• 在建模过程中，散点图的作用是什么？
• 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然 后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲 目选择函数模型而造成的不必要的失误．
12分
• 【题后总结】由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化， 才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型
的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数
值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来 解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作 答．
故所求的解析式为
I＝300sin150π
t＋6π.
(2)依题意，周期 T≤1510， 即2ωπ≤1510(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942， 故 ω 的最小正整数值为 943.
《三角函数模型的简单应用》 知识清单
《三角函数模型的简单应用》知识清单一、三角函数的基本概念在探讨三角函数模型的应用之前，我们先来回顾一下三角函数的基本概念。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
正弦函数：对于一个锐角θ，它的正弦值等于对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。
余弦函数：它的余弦值等于邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。
正切函数：正切值等于对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。
在单位圆中，以圆心为原点，以 x 轴正半轴为始边，逆时针旋转形成的角的终边与单位圆的交点的坐标，可以用三角函数来表示。
例如，终边与单位圆交点坐标为（x，y），则sinθ ＝ y，cosθ ＝ x。
二、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像它的图像是一个周期为2π 的波浪形曲线。
其值域为-1, 1，在 x ＝π/2 ＋2kπ（k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝3π/2 ＋2kπ 时取得最小值－1。
2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是周期为2π 的曲线，值域同样为-1, 1，在 x ＝2kπ 时取得最大值 1，在 x ＝π ＋2kπ 时取得最小值－1。
3、正切函数 y ＝ tan x 的图像其周期为π，定义域为x ≠ π/2 ＋kπ（k 为整数），值域为 R。
三、三角函数模型的建立在实际生活中，很多现象都可以用三角函数模型来描述。
比如，物体的振动、交流电的变化、潮汐的涨落等。
建立三角函数模型的一般步骤：1、分析问题，确定自变量和因变量。
例如，研究潮汐现象，自变量可以是时间，因变量是潮位高度。
2、收集数据，通过观察、测量等方式获取相关数据。
3、画出数据的散点图，观察数据的分布规律，判断是否适合用三角函数模型来拟合。
4、选择合适的三角函数类型。
如果数据呈现周期性的上下波动，且在一个周期内有最大值和最小值，可能适合用正弦或余弦函数；如果数据的变化趋势是单调递增或递减，可能需要对三角函数进行适当的变换。
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝π|ω|.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质(1)y max ＝A ＋k ，y min ＝－A ＋k .(2)A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min 2.(3)ω可由ω＝2πT 确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝0，ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．y ＝|sin x |的图象，如下图所示：函数y ＝|cos x |的图象函数y ＝sin|x |的图象函数y=cos|x|的图像求下列函数的周期：(1)y ＝|sin 2x |；(2)y ＝|sin(32π+x )+31|(3)y ＝|tan 2x |.一般地有以下结论：①y ＝|sin x |的周期是π；②y ＝|cos x |的周期是π；③y ＝|tan x |的周期是π；④y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(Aω≠0)的周期是π|ω|；⑤y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(Aωk ≠0)的周期是2π|ω|.1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答．下图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)（|ϕ|<2π）在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解(1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．。
高中数学必修四-三角函数模型的应用
三角函数模型的应用知识集结知识元三角函数在生活中的应用知识讲解1．三角函数模型的应用【知识点的知识】1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．2．解三角函数应用题的一般步骤：（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；（4）作出结论．【解题方法点拨】1、方法与技巧：（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．2、注意：（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．（2）解决应用问题要注重检验．（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．例题精讲三角函数在生活中的应用例1.如图所示，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过tmin后，点P的高度（单位：m），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续___min．例2.一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为___秒。
例3.'如图是半径为lm的水车截面图，在它的边缘（圆周）上有一定点P，按逆时针方向以角速度rad/s（每秒绕圆心转动rad）作圆周运动，已知点P的初始位置为P0，且∠xOP0=，设点P的纵坐标y是转动时间t（单位：s）的函数记为y=f（t）．（1）求f（0），f（）的值，并写出函数y=f（t）的解析式；（2）选用恰当的方法作出函数f（t），0≤t≤6的简图；（3）试比较f（），f（），f（）的大小（直接给出大小关系，不用说明理由）．'当堂练习单选题练习1.某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=A sinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（）A．17 B．16 C．5 D．4练习2.一个大风车的半径为6m，12min旋转一周，它的最低点P0离地面2m，风车翼片的一个端点P 从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间m（nin）之间的函数关系式是（）A．h（t）=-6sin t+6 B．h（t）=-6cos t+6C．h（t）=-6sin t+8 D．h（t）=-6cos t+8练习3.海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以0.3米/时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y=A sin（ωx+φ）+K（A>0，ω>0）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（要考虑船只驶出港口需要一定时间）（）A．5：00至5：30 B．5：30至6：00C．6：00至6：30 D．6：30至7：00练习4.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=A sin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B． C．D．练习5.某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t）．下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=A sinωt+b的图象．一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水程度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留（）小时（忽略进出港所需的时间）．A．6 B．12 C．16 D．18练习6.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为P0（，），当秒针从P0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A．y=sin（）B．C．y=sin（-）D．y=sin（-）练习7.已知函数f（x）=sin x+cos x-a在区间[0，2π]上恰有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3=（）A．B．C．D．练习8.动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为A0（，），12秒旋转一周，则动点A的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式为（）A．B．C．D．练习9.如图，一个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转一周，它的最低点P0离地面2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的一个点P从P1开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．解答题练习1.'海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：（1）若用函数f（t）=A sin（ωt+φ）+h（A>0，ω>0，|φ|<）来近似描述这个港口的水深和时间之间的对应关系，根据表中数据确定函数表达式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？'练习2.'如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，缆车每60s 转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为hm。
课件7：§1.6 三角函数模型的简单应用
5cos2t－π3.当在时间 t＝23π时，s1 与 s2 的大小关系是(
)
A．s1>s2
B．s1<s2
C．s1＝s2
D．不能确定
【解析】当 t＝23π时，s1＝－5，s2＝－5，s1＝s2. 【答案】C
3．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)
的图象上一个最高点为(2,3)，与这个最高点相邻的一
个函数值为 0 的点是(6,0)，则 f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3sin8πx－π4
B．f(x)＝3sinπ4x－π4
C．f(x)＝3sinπ8x＋π4 【答案】C
D．f(x)＝3sin4πx＋π4
4．如图，一个半径为 10 cm 的水轮逆时针方向 每分钟转 4 圈．记水轮上的点 P 到水面的距离 为 dm(P 在水面下则 d 为负数)，则 d(m)与时间 t(s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A>0， ω>0，－π2<φ<π2)，且当 P 点从水面上浮现时开始计算时间． 有以下四个结论：①A＝10；②ω＝21π5；③φ＝π6；④k＝5.其中所 有正确结论的序号是_①__②__④___．
A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
【答案】B
2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1 和 M2 的小球，做 上下自由振动．已知它们在时间 t(s)离开平衡位置的位移
s1(cm)和 s2(cm)分别由下面两式确定：s1＝5sin2t＋π6；s2＝
§1.6 三角函数模型的简单应用
学习目标 1．逐步学会将实际问题中的关系抽象成三角函数模 型，通过数学模型解决相关的实际问题． 2．逐步培养应用数学的意识，提高应用数学知识解 决实际问题的能力．
三角函数模型的简单应用
解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
π 则以 Ox 为始边， OB 为终边的角为 θ－ ，故点 B 的坐标为 2 π π (4.8cos(θ－ )， 4.8sin(θ－ ))， 2 2 π ∴ h＝5.6＋ 4.8sin(θ－ )． 2
π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 ， 30 π 故 t 秒转过的弧度数为 t， 30 π π ∴ h＝5.6＋ 4.8sin( t－ )， t∈ [0，＋∞ )． 30 2 到达最高点时， h＝ 10.4 m. π π π π π 由 sin( t－ )＝ 1 得 t－ ＝ ，∴ t＝ 30. 30 2 30 2 2 ∴缆车 A 点到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某 季节每天的时间与水深的关系表：
时刻 水深（米） 时刻 水深（米） 时刻 水深（米）
0:00 3:00 6:00
5.0 7.5 5.0
5
18:00 21:00 24:00
5.0 2.5 5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深 与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似 数值（精确到0.001）。
跟踪训练 2.
如图为一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8 m，圆上最低点
与地面的距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，
以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达 OB，求h与t之间的函数 关系式，并求缆车A点到达最高点时用的最少时间是多少？
压为 110 3伏． 2π 1 (2)T＝ ＝ 秒， 即电压重复出现一次的时间间隔为 0.02 秒． 100π 50
三角函数模型的实际应用
三角函数模型的实际应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.下面通过几个具体实例，说明三角函数模型的实际应用．1 直接给出三角函数模型的应用题例1 （2012年青岛市调考题）某专业调查队在调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现：信息1：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随函数y1=a1sin（ω1x+φ1）+b1波动的.已知3月份出厂价格达到最高，为8元，然后逐渐降低，到7月份出厂价格达到最低，为4元．信息2：该商品的销售价格是在8元的基础上，按月份随函数y2=a2sin（ω2x+φ2）+b2波动的.已知5月份销售价格达到最高，为10元，然后逐渐降低，到9月份销售价格达到最低，为6元．（1）根据上述信息，求该商品的出厂价格y1（元/件）和销售价格y2（元/件）与月份x之间的函数关系式；（2）若某经销商每月购进该商品m件，且当月能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由．解析（1）依题意，得b1=8+42=6，a1=2，t1=2×（7-3）=8，所以ω1=2πt1=π4，y1=2sinπ4x+φ1+6.将点（3，8）代入函数y1=2sinπ4x+φ1+6，得φ1=-π4，所以y1=2sinπ4x-π4+6.同理，可得y2=2sinπ4x-3π4+8.（2）因为利润函数是y=m（y2-y1）=m2sinπ4x-3π4+8-2sinπ4x-π4-6=m2-22sinπ4x，当sinπ4x=-1，即π4x=2kπ-π2（k∈z），亦即x=8k-2（k∈z）时，y取最大值．又1≤x≤12，故当k=1，即x=6时，y最大.综上可知，在6月份盈利最大．点评本题是经济学中的销售利润问题，是两正弦曲线的叠加，紧扣已知条件分别确定出厂价格函数和销售价格函数是解题的关键．例2 （2012年苏州市模拟题）在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=100acosωn+2π3+m来刻画，其中正整数n表示月份且n∈［1，12］，例如n=1时表示1月份；a和m是正整数；ω>0．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数不少于400人时，该地区进入了一年中的旅游“旺季”.那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．解析（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12，由此可得t=2πω=12，得ω=π6．由规律②可知f（n）max=f（8）=100a+100m，f（n）min=f（2）=-100a+100m，由题意可知f（8）-f（2）=400，所以200a=400，a=2. 又当n=2时，f（2）=200cos（π6×2+2π3）+100m=100，即-200+100m=100，于是m=3.综上可得f（n）=200cosπ6n+2π3+300符合条件．（2）由条件200cosπ6n+2π3+300≥400，可得cosπ6n+2π3≥12，所以2kπ-π3≤π6n+2π3≤2kπ+π3（k∈z），化简可得12k-6≤n≤12k-2（k∈z）.因为n∈［1，12］，n∈n*，所以当k=1时，6≤n≤10，故n=6，7，8，9，10，即一年中的6，7，8，9，10五个月是该地区的旅游“旺季”．点评本题从一个实际的应用背景出发考查三角函数的图象与性质，但不同于以往的考查方式，考查学生的文字理解能力与应用意识，考查学生的运算能力与数据处理能力．例3 （2009年福建省高考题）如图1所示，某市拟在长为8km的道路op的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段osm，该曲线段为函数y=asin ωx（a>0，ω>0），x∈［0，4］的图象，且图象的最高点为s（3，23）；赛道的后一部分为折线段mnp，为保证参赛运动员的安全，限定∠mnp=120°．（1）求a，ω的值和m，p两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道mnp最长？解析（1）依题意，有a=23，t4=3，又t=2πω，所以ω=π6. 所以y=23sinπ6x.当x=4时，y=23sin2π3=3.所以m（4，3）.又p（8，0），所以mp=42+32=5.图1 图2（2）法1 在△mnp中，∠mnp=120°，mp=5，如图2，设∠pmn=θ，则0°故np+mn=1033sin θ+1033sin（60°-θ）=103312sin θ+32cos θ=1033sin（θ+60°）. 因为0°例6 （2012年襄阳市质检题）某港口在某季节每天的水深y（m）与时间t（h）（0≤t≤24）的观测数据及其关系如下表：（1）选用一个函数来近似拟合这个港口的水深y（m）与时间t （h）的函数关系；（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若使该船当天安全离港，它在港内停留的最长时间是多少？（忽略进离港所用的时间）图6解析（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（如图6）．根据散点图，可选用函数y=asin（ωt+φ）+b来拟合水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：a=3，b=10，t=12，φ=0.由t=2πω=12，得ω=π6．因此这个港口的水深y与时间t的关系可用函数y=3sinπ6t+10，t∈［0，24］来近似拟合．（2）由于船的吃水深度为7m，船底离海底的距离不少于4.5m，故船在安全航行时水深应不少于11.5m．令y=3sinπ6t+10≥11.5，得sinπ6t≥12，所以2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6（k∈z），即12k+1≤t≤12k+5（k∈z）．注意到t∈［0，24］，所以1≤t≤5或13≤t≤17．所以该船在凌晨1时至5时，或下午13时至17时，能够安全进港．该船要在一天内在港口停留时间最长，就应凌晨1时进港，下午17时离港，故该船在港内停留的最长时间为16小时．点评通过对给出数据的研究，了解函数图象的大致走向，为拟合函数提供直观的印象，这是利用三角函数模型解决实际问题最常见的方法．3 演绎建立三角函数模型的应用题例7 （2012年杭州市模拟题）游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心o距地面40.5m，半径40m.若小明从最低点处登上摩天轮，从他登上摩天轮开始计时，他与地面的距离h将随时间t变化，已知5min后到达最高点．（1）求出h与t之间的函数关系式；（2）当小明第1次距离地面20.5m时，用了多少时间？图7解析（1）不妨设摩天轮沿逆时针方向旋转，如图7所示，设经过tmin后，小明由p旋转到p1，则∠p1op=π5t．由图可知，on为中心o到地面的距离，p1m为点p1到地面的距离，过p1作p1q⊥on于q，则h=p1m=on-oq=40.5-op1cos∠p1op，即h=40.5-40cosπt5=40sinπ5t-π2+40.5．所以h与t之间的函数关系式为h=40sinπ5t-π2+40.5．（2）由h=40sinπ5t-π2+40.5=20.5，得sinπ5t-π2=-12．所以当小明第1次距离地面20.5m时，π5t-π2=-π6，即t=53（min）．故小明第1次距离地面20.5m时，用了53min．点评摩天轮在周而复始的转动中，包含着许多数学问题，这里研究了人所在的高度与时间的函数关系，得到一个三角函数模型，解答的关键是通过直角三角形中的边角关系，寻找出两个变量之间的函数关系，从而转化为三角函数模型．例8 （2011年北京海淀区模拟题）一半径为4m的水轮如图8所示，水轮圆心o距水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点p从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间．（1）将点p距离水面的高度y（m）表示为时间t（s）的函数；（2）点p第一次到达最高点大约要多少时间？解析（1）不妨设水轮沿逆时针方向旋转，如图9所示，建立直角坐标系. 设角φ-π2<φ<0是以ox为始边，op0为终边的角．由op在t（s）内所转过的角为5×2π60t=π6t，可知以ox为始边，op为终边的角为π6t+φ，故p点纵坐标为4sinπ6t+φ，则y=4sinπ6t+φ+2．当t=0时，y=0，可得sin φ=-12.因为-π2<φ<0，所以φ=-π6，故所求函数关系式为y=4sinπ6t-π6+2．（2）令y=4sinπ6t-π6+2=6，得sinπ6t-π6=1．取π6t-π6=π2+2kπ（k∈z），解得t的最小值为4．故点p第一次到达最高点需要4s．点评实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．。
三角函数模型的实际应用
三角函数模型的实际应用三角函数模型有广泛的应用，下面介绍几类实际应用：一、航海航空三角函数模型在航海航空方面的应用非常重要，利用它可以测量地球的大地测量和定位，在航空运输中提供权威的航行资料，例如绘制路线图、求解航行距离和航行时间等。
二、地图编绘地图编绘工作中也常用三角函数，在建立地图坐标系之前，可以用三角函数求出两点之间的距离或者方位角，在行使凹凸修正等工作中极为重要。
三、极坐标三角函数模型也常用在极坐标系中，假设有一个极坐标点(ρ ˆθ)，那么根据三角函数关系可以将其转换为直角坐标系的表示形式。
从而使可以用直角坐标形式来表示任意的极坐标点，并在其表示形式与直角坐标有关的几何图形中，可以将其绘制出来。
四、机械加工三角函数在机械加工中也有着广泛的用途，例如，利用三角算法，可以得出从一个极坐标到另一个极坐标的机械变换路径；用三角函数实现的抛物面及弧线的切削；在利用摄像机的3D 扫描时，也可以通过三角函数，将摄像机扫描的原始数据，转换成机械加工的参数数据。
五、摄影测量三角函数模型在摄影测量中也有深远的影响，可以进行空间坐标系的转换，从而使摄影测量与地理空间坐标系统融汇贯通。
比如，可以用三角函数模型实现从一幅空间摄影影像到另外一个空间坐标系的世界坐标系之间的重映射。
六、信息存储处理三角函数主要应用于信息存储处理，可以转换地理坐标或者其它形式的数据，将其存储在数据库中，实现进一步的统计分析或者与其它信息数据的结合，从而实现连接存储的数值信息。
七、数字信号处理三角函数在数字信号处理中具有重要作用，可以利用这种模型进行信号的压缩和数字图像的提取和处理，并利用三角算法对多边形进行着色，从而实现信号和图形的处理。
总之，三角函数模型在日常生活中具有很重要的应用，能够有效地解决一些复杂的实际问题，它是一门研究几何形状和距离的重要工具，其求解能力令人感到惊叹。
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问题提出
1.函数 y Asin(x ) 中的参数 A,,
对图象有什么影响？三角函数的性质包 括哪些基本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与 性质，其中周期性是三角函数的一个显著性 质.在现实生活中，如果某种变化着的现象 具有周期性，那么它就可以借助三角函数来 描述，并利用三角函数的图象和性质解决相 应的实际问题.
思考7：若某船的吃水深度为4米，安全
间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，
吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那
么该船在什么时间必须停止卸货，将船
驶向较深的水域？
y
8
y 2.5 sin x
6
பைடு நூலகம்
6
货船最好在 6.5时之前停
5
止卸货，将
4
船驶向较深
2
y=-0.3x+6.1 的水域.
o 2 4 6 8 10 12
例1 弹簧上挂的小球做上下振动时，
小球离开平衡位置的距离s（cm）随时
间t（s）的变化曲线是一个三角函数的
图象，如图.
s/cm
（1）求这条曲线对 4
应的函数解析式；
7
（2）小球在开始振
12
动时，离开平衡位 O
t/s
置的位移是多少？
12
-4
例2 已知函数y sin( x )
( 0, 0
示，
) 的部分图象如图所
)
2
探究一：根据图象建立三角函数关系
【背景材料】如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y Asin(x ) b T/℃
思考1：这一天6～14
30
时的最大温差是多少？ 20
30°-10°=20°
10
思考2：函数式中A、b
o 6 10 14 t/h
的值分别是多少？ A=10,b=20.
【背景材料】 海水受日月的引力，在一 定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季 节每天的时间与水深关系表：
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
y A s in (x 3 ) h
y 8 6 4 2
o
6 12 18 24 x
思考4：用函数 y Asin(x ) h 来
刻画水深和时间之间的对应关系，如何
确定解析式中的参数值？
A 2.5, h 5, T 12, 0,
6
思考5：这个港口的水深与时间的关系可
用函数 y 2.5sin x 5 近似描述，你能
思考6：一条货船的吃水深度（船底与
水面的距离）为4米，安全条例规定至
少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底
的距离），该船何时能进入港口？在
港口能呆多久？
y
8
6
B
A
4
CD
2
o
5
10 15
x
y 8
6
B
4A
CD
2
o
5
10 15
x
货船可以在0时30分左右进港，早晨5 时30分左右出港；或在中午12时30分左 右进港，下午17时30分左右出港.每次可 以在港口停留5小时左右.
x
思考8：右图中，
设点P(x0，y0)， 有人认为，由于
P点是两个图象的
交点，说明在x0
y
8
y=2.5sinpx+5
6 4
.P
6
2
y=-0.3x+6.1
o 2 4 6 8 10 12
x
时，货船的安全水深正好与港口水深相
等，因此在这时停止卸货将船驶向较深
水域就可以了，你认为对吗？
理论迁移
例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小
2
f (x) cos (x )
试确定函数
y 1
3
的奇偶性.
7
8
8
o
x
－1
f (x ) cos 2(x ) cos(2x )
4
2
sin 2x
例3 将函数y=sin2x的图象先向左平
移
2 3
个单位,再把图象上各点的横坐标
缩短到原来的 2 倍,纵坐标伸长到原来的
3
4倍,然后将所得图象向下平移2个单位得
曲线C,求曲线C对应的函数解析式.
6
根据这个函数模型，求出各整点时水深 的近似值吗？（精确到0.001）
时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深
0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
y 4 sin(3x 4 ) 2 3
例4 在函数 f (x) sin( x )( 0)
的图象与直线 y 1 的交点中，距离最近
2
的两点之间的距离是 ，求函数f(x)的
最小正周期.
3
T=π
例6 已知函数 f (x) 2 sin x( 0)在区
间[ , ]上的最小值是-2,求ω的取值范
围. 3 4
[3 ,
思考2：设想水深y y 是时间x的函数， 8 作出表中的数据对 6 应的散点图，你认 4 为可以用哪个类型 2 的函数来拟合这些 o 6 12 18 24 x 数据？
思考3: 用一条光滑曲线连结这些点， 得到一个函数图象，该图象对应的函数 解析式可以是哪种形式？
y 8
6
4
2
o
6 12 18 24 x
y Asin(x ) b T/℃ 30
思考3：如何确定函数 20
式中 和 的值?
10
, 3
8
4
o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
y 10sin( x 3 ) 20, x [6,14].
84
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？ 27.07℃.
探究二：根据相关数据进行三角函数拟合
球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t
（s）的变化曲线是一个三角函数的图
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0