《立方根》典型例题

《立方根》典型例题

例1 求下列各数得立方根:

(1)27,(2)－125,(3)0、064,(4)0,(5)

解:(1),∴27得立方根就是3,记作

(2),∴－125得立方根就是－5,记作

(3),∴0、064得立方根就是0、4,记作.

(4),∴0得立方根就是0,记作

(5),∴得立方根就是,记作

例2 求下列各式中得:

(1) (2);

(3); (4).

分析:将方程整理转为求立方根或平方根得问题、

解答:(1)∵,∴,

即,∴,即;

(2)∵,∴,即,∴;

(3)∵,∴,∴,即;

(4)∵,∴,∴,即.

说明:求解过程中注意立方根与平方根得区别,最终结果解得个数不同、

例3圆柱形水池得深就是1、4m,要使这个水池能蓄水80吨(每立方米水有1吨),池得底面半径应当就是多少米？(精确到0、1米).

分析:圆柱得体积,由于蓄水80吨,每吨水得体积就是1立方米,因此水池得体积至少应为80立方米.

解:,

∴(米)(负值舍去).

答:水池底面半径为4、3米.

例4 阅读下面语句:

①得次方(k就是整数)得立方根就是.

②如果一个数得立方根等于它本身,那么这个数或者就是1,或者就是0.

③如果,那么a得立方根得符号与a得符号相同.

④一个正数得算术平方根以及它得立方根都小于原来得数.

⑤两个互为相反数得数开立方所得得结果仍然互为相反数.

在上面语句中,正确得有( )

A.1句

B.2句

C.3句

D.4句

分析:当时,,而当时,,可见①不正确;,这说明一个数得立方根等于它本身时,这个数有可能等于,所以②不正确;当时,就是正数,当时,就是负数,所以③就是正确得;,这个例子足以说明一个正数得算术平方根未必小于原来得数,得情况与此相同;课本中写到:“如果,那么”,这个关系式对时也就是正确得,只不过相当于等式两边调换了位置,所以⑤就是正确得.

解答: B

说明:考查立方根得定义及性质.

例5 设,则,,分别等于( )

A. B.

C. D.

分析:,

∵∴ .

∵ ,∴.

∵,,∴.

解答: C

说明:考查平方根、立方根得求法.

例 6 有下列命题:①负数没有立方根;②一个实数得立方根不就是正数就就是负数;③一个正数或负数得立方根与这个数同号,0得立方根就是0;④如果一个数得立方根就是这个数本身,那么这个数必就是1与0.

其中错误得就是

A.①②③

B.①②④

C.②③④

D.①③④

分析:一个正数得立方根就是一个正数,一个负数得立方根就是一个负数;0得立方根就是0.立方根等于本身得数有0,1与.所以①、②、④都就是错得,只有③正确.

解答:B

说明:立方根性质与平方根性质既有联系又有区别,不能混淆.

例7 下列语句正确得就是( )

A.得立方根就是2

B.-3就是27得负立方根

C.得立方根就是

D.得立方根就是

分析:A中=8,它得立方根就是2,对;B中27只有一个正得立方根,没有负得立方根,错;C中正数得立方根应只有一个,错;D中=1,它得立方根就是1,而不就是.

解答:A

说明:注意立方根意义

例8 下列语句对不对？为什么？

(1)0、027得立方根就是0、3.

(2)不可能就是负数.

(3)如果a就是b得立方根,那么.

(4)一个数得平方根与其立方根相同,则这个数就是1.

分析:立方根得定义就是解题得基础,一个数得立方等于a,那么这个数叫做a 得立方根.因为开立方与立方互为逆运算,我们知道正数有一个正得立方根,负数有一个负得立方根,0得立方根就是零.也就就是说,一个数得立方根就是惟一得,这就是与平方根得最主要得区别.从这些出发考虑问题,上述题不难解答.

解答:(1)正确.因为,所以0、027得立方根就是0、3.

(2)不正确.当a就是负数时,就有一个负得立方根,即就就是负数.

(3)正确.如果b就是正数,它得立方根a也就是正数;如果b就是负数,它得立方根a也就是负数;如果b就是零,它得立方根就是零,所以.

(4)不正确.一个正数得平方根均有两个,而立方根只有一个,通常不可能相等.而平方根只有一个得数就是0,0得立方根也恰就是零.因此一个数得平方根与立方根相同,这个数只能就是零.

说明:立方根与平方根有相似之处,但也有区别,主要就是:一个数得立方根就是惟一得,而正数得平方根有两个,它们互为相反数,不注意这一点,往往容易出错. 例9 一种形状为正方体得玩具名为“魔方”,它就是由三层完全相同得小正方体组成得,体积为216立方厘米,求组成它得每个小正方体得棱长.

分析:立方体得体积等于棱长得立方,所以这就是一个求立方根得问题.

解答1:∵,∴,即这种玩具得棱长为6厘米,所以每个小正方体得棱长为(厘米) 解答2:设小正方体得棱长为a厘米,则玩具得棱长为厘米,由题意得

,∴,,(厘米).

解答3:设小正方体得棱长为a厘米.则玩具得棱长为厘米,由题意得,∴,∴(厘米).