KELVIN型变截面直杆的纵向自由振动

1 KE LV IN -V O IGT 杆的 纵 向自 由 振动方程
对于长度为 L 的 KEL VIN-VOIGT 模型 变截 面直杆, 本构方程[ 2] 及横截面上的内力分别为 = E+ t ( 1)
第 3 期 李会侠, 等 : KEL VIN 型变截面直杆的纵向自由振动 119 U ( 2) t x 式 中 : t 为 时 间; x 为 直 杆 轴 向 坐 标; E 、 为 KEL VIN VOIGT 模型粘弹性材料常数 ; A ( x ) 为直 N = A ( x ) E + 杆变截面面积 ; 为横截面上应力 ; 为轴向线应变; N 为轴力; !为材料密度 ; U ( x , t ) 为轴向位移。 由达朗伯尔原理, 可得 KELVIN-VOIGT 模型 变截面杆的运动微分方程为 A ( x) U + ( ) U A(x) U + x x E x t x A x E t x2 2 ! A ( x) U 2 = 0 ( 3) E t 引入下列无量纲量 x - U t ∀ = L , u= L , # = L E !
-
∑( k+
k= 0 n k= 0 n
1) ( n + 1- k ) f i , k + 1b n+ 1- k +
( 17)
j ∑( k + 1) ( n+ 1- k ) g i , k + 1b n+ 1- k
n
ei , n =
2 3 2 -
∑f i, kbn- k + j ∑g i, kbn- k
( 12) ( 13)
g i , n+ 2= 2
( n + 2) ( n+ 1) b 0 k =
2 2 2 2
∑
0
( k + 2) ( k + 1) g i , k + 2bn- k + 2p q- H p ( q + p ) ( 1- H q) + H p
2 2 2
V i ( ∀ )=
∑( f
(ຫໍສະໝຸດ Baidu7)
式中: j =
- 1; % 为杆纵向自由振动的无量纲复频率。 ( 8) ( 9) ( 10)
0, g 1, 0= 0 1, g 2, 1= 0
2 2 2 2 2
其相应的经典支承无量纲边界条件为 左端固支右端自由 : u ( 0) = 0, u′ ( 1) = 0 两端固支: 两端自由: u ( 0) = 0, u( 1) = 0 u′ ( 0) = 0, u′ ( 1) = 0
0. 5 2 3
由归一化条件 V 1( 0) = 1, V ′ 1 ( 0) = 0 得到 V 2( 0) = 0, V 2 ( 0) = 1 f 1, 0 = 1, g 1, 0 = 0, f 1, 1 = 0, g 1, 1 = 0 f 2, 0 = 0, g 2, 0 = 0, f 乘法法则 , 可得
n= 0
i, n
+ j g i , n ) ∀ ( i= 1, 2)
n
vi , n +
p - q + H q( q + p ) ( 1- H q ) + H p
ti , n -
2 2 si, n
式中: A 1、 A 2 为待定系数 ; V i ( ∀ ) 为基本解 ; f i , n + j g i , n 为待定的复系数, 它由归一化条件及递推公式确定。
f i, 2 = -
f i , 1b 1 2b0
-
p - q + H q( q + p ) 2[ ( 1- H q ) + H p ]
2 2 2 2 2
f
1, 0+
2p q - H p ( q + p ) 2[ ( 1- H q ) + H p ] g i , 1b 1 2b0
2
g1, 0
2 2
∞ 2, 1
′
( 14) ( 15)
= 1, g 2, 1 = 0
把式 ( 11) 、 ( 12) 代入方程 ( 7) , 并利用幂级数的
∑
n= 0
ci , n + d i , n +
%2 n ei , n ∀ = 0 ( 16) 1+ jH%
其中
n
ci , n =
∑( k+
k= 0 n k= 0 n
p - q + H q( q + p ) 2[ ( 1- H q ) + H p ] 1
2 2
g 1, 0
n- 1
( 19)
f i , n+ 2= -
∃ (∀ ) =
∑b ∀
n n= 0
n
( 11)
u i , n+
2
( n+ 2) ( n+ 1) b 0 k =
2 2 2 2
∑
0 n- 1
( k + 2) ( k + 1) f i , k + 2b n- k + 2p q - H p ( q + p ) ( 1- H q ) + H p
Abstract: T he nor malized pow er series m et hod is utilized to so lve longit udinal free vibration pr obl em of KEL VIN-Viog t t ype ro d w it h varying cro ss-sect ion f unction, w hich can be ex pressed in t he f orm o f pow er series. In the normalized po wer series, all undet erm ined com plex co ef ficient s are derived in the fo rm of recurrence for mula , t hen the co mpl ex eig enequat ions under various classical boundary condit io ns are easily est ablished. In t he numerical calculat ions , t aking KEL VIN Viogt t ype tapered st raight ro ds fo r example, t he ef fect o f non-dim ensional delay t im e of the materials and t apered rat io on t he natural f requencies and delay co ef ficient s of the rod is analyzed. T his met ho d can be ut ilized t o invest igat e the longit udinal f ree vibr at ion pr oblem of the ot her viscoelast ic st raig ht rod w ith ar bit rarily varying cro sssect ion f unct ion. Key words : KEL VIN-VOIGT t ype; l ong itudinal f ree vibratio n; pow er ser ies met hod 在工程实际中, 变截面直杆的纵向振动分析具 有重要的实际意义和理论意义。对于弹性变截面直 [ 1] 杆振动问题, 人们已经进行了广泛的研究 。 然而对 粘弹性变截面直杆的研究相对较少, 其主要原因是, 与弹性变截面直杆纵向自由振动问题相比, 粘弹性 变截面直杆的振型微分方程为复、 变系数的二阶偏 微分方程, 自由振动分析属于复特征值问题。 本文对 KEL VIN VOIGT 模型变截面直杆的纵向自由振动 问题, 采用了归一化幂级数法, 导出其幂级数中待定 复系数的递推公式, 有效且方便地建立了各种经典
2 幂级数法
方程( 7) 为含有复变系数的二阶常微分方程 , 其 特征方程为复代数方程 , 特征值为复数。 设无量纲函 数∃ (∀ ) 可展开为幂级数的形式, 即
∞
g i , 2= 2
-
2pq - H p ( q + p ) 2[ ( 1- H q) + H p ]
2 2 2 2 2 2 2 2
f
1, 0 -
2 2 2 2
p - q + H q( q + p ) ( 1- H q ) + H p 1
2 2
2
对方程( 7) , 采用幂级数法求解。设幂级数解为 u ( ∀ ) = A 1V 1( ∀ ) + A 2V 2( ∀ )=
∞
s i , n-
2 ti , n
∑A V ( ∀)
i i i= 1
第 21 卷 第 3 期 2001 年 7 月
西 安公 路交 通大学 学报 Journal of Xi′ an Highw ay U niversit y
Vo l. 21 No. 3 July 2001
文章编号 : 1007-4112( 2001) 03-0118-03
KEL VIN 型变截面直杆的纵向自由振动
Longitudinal Free Vibration Analysis of Varying Cross -section KELVIN -VOIGT Type Rod
L I H ui x i a , SU Yan-ling
1 2
( 1. Scho ol of Sciences, Xi ′ an U niver sity o f T echnolog y, Xi ′ an 710048, China; 2. Depa rtment o f Basic Co ur ses, China Institute o f Finance and Banking, Beijing 100026, China)
2) ( k + 1) f
i, k + 2 n- k
b
+
1 ,H= L
E !
0. 5
E ( 4)
j ∑( k + 2) ( k + 1) g i , k + 2b n- k d i, n =
A(∀ ) = A 0∃ (∀ )
式中 : # 为无量纲时间 ; H 为材料的无 量纲延迟时 间 ; A 0 为杆在 x = 0 处的横截面面积; ∃ (∀ ) 为无量纲 函数。 把式 ( 4) 代入式 ( 3) 中 , 得到以无量纲量表示的 微分方程为
k= 0 k= 0 2
∀
∃ (∀ )
u d∃ (∀ ) u u u + H + H ∃( ∀ ) 2- ∃ (∀ ) 2= 0 ∀ d∀ # ∀ t ∀ #
j %#
( 5) ( 6)
( i = 1, 2; n = 0, 1, 2, …) 在式 ( 16) 中, 由幂级数展式的唯一性可得 % ci , n+ d i , n+ 1+ j H %ei , n= 0 n = 0, 1, 2, … ( 18) 令复频率 %= p + j q , 并结合式( 15) 、 ( 17) 、 ( 18) 可得 下列幂级数系数的递推公式
f 1, 0 = 1, g1, 0= 0; f f 2, 0 = 0, g2, 0= 0; f
1, 1= 2, 1= 2 2
设式( 5) 的解为 u ( ∀ ,# ) = u( ∀ )e 把式( 6) 代入式( 5) 得到
2
( 1+ j H %) ∃ (∀ )
d u d ∃d u 2 + %∃ (∀ ) u= 0 2 + ( 1+ j H % ) d∀ d ∀d ∀
收稿日期 : 2000-06-27 基金项目 : 陕西省自然科学基金资助项目 ( 99SL 07) 作者简介 : 李会侠 ( 1958-) , 女 , 陕西华县人 , 西安理工大学工程师
支承条件的复特征方程, 并以锥形变截面直杆为例 , 讨论了楔形比及粘弹性材料的无量纲延迟时间对振 动频率和衰减系数的影响。
李会侠1 , 苏燕玲2
( 1. 西安理工大学 理学院 , 陕西 西安 710048; 2. 中国金融学院 基础课部 , 北京 100026)
摘 要 : 对 KEL VIN-VOIGT 型粘弹性变截面直杆的纵向自由振动问题, 采用了归一化幂级数解 法 , 导出了幂级数中待定复系数的递推公式 , 建立了各种支承下的复特征方程。数值计算以锥形变 截面杆为例, 分析了该模型材料的无量纲延迟时间及不同楔形比对振动频率和衰减系数的影响。 该 方法也可用来计算可展开为幂级数的其它粘弹性模型的变截面直杆的纵向自由振动分析。 关键词: KEL VIN-VOIGT 模型 ; 纵向自由振动 ; 幂级数 中图分类号: O326 文献标识码: A