高等数学第一章：函数与极限

第一章：函数与极限

第一节：函数

1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。（重点在于单调性与奇偶性）

单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0

奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。奇函数0点一定为0（重点） 周期性：)()(T x f x f +=，如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为a

T

第二节：极限

1、数列极限

定义：

εε<->>∃>∀⇔=∞

→A x N n N A x n n n ,,0,0lim

利用定义证明函数有界： 1) 对函数取绝对值。

2) 利用函数的性质，结合自变量的定义域，进行适当的放大 3) 找出定义中所说的常数M ，使得对于定义域内x ， M x f ≤)( 判断单调性的方法：

1) 证明)()(x f x f -=或者)()(x f x f -=- 2) 利用奇偶的运算性质。奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇*偶=奇，奇*奇=偶 3) 利用导数，导数大于0，递增。

M x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞

→,,0,0lim

性质：

1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界

3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。 4) 保号性：A x n n =∞

→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.

5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞

→∞

→≤lim lim 。

四则运算：

1) b a y x n n n +=+∞

→）（lim

2) b a y x n n n ⋅=⋅∞

→）（lim

3) b

a

y x n n n =∞

→）（lim

，（b ≠0） 2、函数极限

定义：

εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当

εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00

，当

性质：

1) 唯一性，左极限等于右极限。

2) 局部有界性（重点）：极限存在，则某一空心邻域内有界（注意，一定是空心邻域，该点不一定存在） 3) 有序性：同数列极限

4) 局部保号性（重点）：0)(lim 0

>=→a x f x x ，则0)(>x f （空心邻域），同理小于也是。

运算性质：

同数列的运算性质，同时还有

)(lim )](lim[x f c x cf =，n n A x f =)](lim [

第三节：无穷大与无穷小

α+=⇔=a x f a x f )()(lim ，0lim =α。无穷小。 ∞=)(lim x f 无穷大

无穷小的运算性质：

1) 有限个无穷小的和为无穷小 2) 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 3) 有限个无穷小的乘积为无穷小 无穷小的比较：

0lim

=αβ

说明β比α更高次方，称β是α的高阶无穷小，记为)(αοβ= ∞=αβ

lim 说明β比α更低次方，称β是α的低阶无穷小，记为)(βοα=

c k =αβ

lim 说明β与k α同次方，称β是α的k 阶无穷小，当k=1时，称为同阶无穷小

1lim =α

β

称为等价无穷小，记为βα~。

函数极限存在方法： 1) 函数定义，寻找适合大小的N 值，适用于证明已经给出的极限值 2) 极限存在定理： a. 夹逼准则：n n n z x y ≤≤，且a z y n n ==lim lim ，则a x n =lim

b. 单调有界必有极限：单调递减有下界，单调递增有上界。

c. 左右极限存在且相等<=>极限存在 极限不存在证明方法： 1) 左右极限不存在，或者存在不相等，常用于分段函数。 2) 寻找一数列，满足数列极限存在，但函数极限不存在，或者两组数列极限存在但是不相等。

等价无穷小的性质：

1) )(~αοαββα+=⇔，则1)(lim lim

=+=α

αοααβ 2) '

~αα，'

~ββ，则''

lim lim α

βαβ=

第四节：极限的计算

七种类型的极限：

00（重点），∞

∞，∞⋅0，∞-∞，∞1（重点），00，0

∞ 方法一：利用极限运算法则，有理运算，

1) 如遇到

∞

→x 的,如

)100(lim 2x x x x +-∞

→，先进行有理化，变成

]

1100

1)[(100lim

100100lim

22++-⇔-+-∞→-∞

→x

x x

x

x x x x 将x 换到分母，则这部分趋向于0，注意如果是趋向

于负无穷，注意提出的x 的正负号。

2) 注意一些常见的等式，如))((2

2

3

3

b ab a b a b a ++-=-，6

)

12)(1(3212

222++=

++++n n n n

方法二：利用基本极限公式

1) 基本极限的推广：对于∞

1的极限，形如)

()]

(lim [x x f ϕ，可简化为A=)(]1-)(lim[x x f ϕ，极限为A

e

2) 0110

11............lim 11b x b x

b x b a x a x a x a m m n m m n n n x ++++++++----∞→

复合函数的极限运算法则

)]([x g f y =在点x 0的某去心邻域有定义，若0)(lim 0

u x g x x =→，A u f u u =→)(lim 0

。则在x 0的某去心邻域，

当0)(u x g ≠时（重点），则可以推出A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0