高等数学第一章：函数与极限

第一章：函数与极限
第一节：函数
1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。

（重点在于单调性与奇偶性）
单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。

)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0
奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。

奇函数0点一定为0（重点） 周期性：)()(T x f x f +=，如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为a
T
第二节：极限
1、数列极限
定义：
εε<->>∃>∀⇔=∞
→A x N n N A x n n n ,,0,0lim
利用定义证明函数有界： 1) 对函数取绝对值。

2) 利用函数的性质，结合自变量的定义域，进行适当的放大 3) 找出定义中所说的常数M ，使得对于定义域内x ， M x f ≤)( 判断单调性的方法：
1) 证明)()(x f x f -=或者)()(x f x f -=- 2) 利用奇偶的运算性质。

奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇*偶=奇，奇*奇=偶 3) 利用导数，导数大于0，递增。

M x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞
→,,0,0lim
性质：
1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界
3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。

4) 保号性：A x n n =∞
→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.
5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞
→∞
→≤lim lim 。

四则运算：
1) b a y x n n n +=+∞
→）（lim
2) b a y x n n n ⋅=⋅∞
→）（lim
3) b
a
y x n n n =∞
→）（lim
，（b ≠0） 2、函数极限
定义：
εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当
εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00
，当
性质：
1) 唯一性，左极限等于右极限。

2) 局部有界性（重点）：极限存在，则某一空心邻域内有界（注意，一定是空心邻域，该点不一定存在） 3) 有序性：同数列极限
4) 局部保号性（重点）：0)(lim 0
>=→a x f x x ，则0)(>x f （空心邻域），同理小于也是。

运算性质：
同数列的运算性质，同时还有
)(lim )](lim[x f c x cf =，n n A x f =)](lim [
第三节：无穷大与无穷小
α+=⇔=a x f a x f )()(lim ，0lim =α。

无穷小。

∞=)(lim x f 无穷大
无穷小的运算性质：
1) 有限个无穷小的和为无穷小 2) 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 3) 有限个无穷小的乘积为无穷小 无穷小的比较：
0lim
=αβ
说明β比α更高次方，称β是α的高阶无穷小，记为)(αοβ= ∞=αβ
lim 说明β比α更低次方，称β是α的低阶无穷小，记为)(βοα=
c k =αβ
lim 说明β与k α同次方，称β是α的k 阶无穷小，当k=1时，称为同阶无穷小
1lim =α
β
称为等价无穷小，记为βα~。

函数极限存在方法： 1) 函数定义，寻找适合大小的N 值，适用于证明已经给出的极限值 2) 极限存在定理： a. 夹逼准则：n n n z x y ≤≤，且a z y n n ==lim lim ，则a x n =lim
b. 单调有界必有极限：单调递减有下界，单调递增有上界。

c. 左右极限存在且相等<=>极限存在 极限不存在证明方法： 1) 左右极限不存在，或者存在不相等，常用于分段函数。

2) 寻找一数列，满足数列极限存在，但函数极限不存在，或者两组数列极限存在但是不相等。

等价无穷小的性质：
1) )(~αοαββα+=⇔，则1)(lim lim
=+=α
αοααβ 2) '
~αα，'
~ββ，则''
lim lim α
βαβ=
第四节：极限的计算
七种类型的极限：
00（重点），∞
∞，∞⋅0，∞-∞，∞1（重点），00，0
∞ 方法一：利用极限运算法则，有理运算，
1) 如遇到
∞
→x 的,如
)100(lim 2x x x x +-∞
→，先进行有理化，变成
]
1100
1)[(100lim
100100lim
22++-⇔-+-∞→-∞
→x
x x
x
x x x x 将x 换到分母，则这部分趋向于0，注意如果是趋向
于负无穷，注意提出的x 的正负号。

2) 注意一些常见的等式，如))((2
2
3
3
b ab a b a b a ++-=-，6
)
12)(1(3212
222++=
++++n n n n
方法二：利用基本极限公式
1) 基本极限的推广：对于∞
1的极限，形如)
()]
(lim [x x f ϕ，可简化为A=)(]1-)(lim[x x f ϕ，极限为A
e
2) 0110
11............lim 11b x b x
b x b a x a x a x a m m n m m n n n x ++++++++----∞→
复合函数的极限运算法则
)]([x g f y =在点x 0的某去心邻域有定义，若0)(lim 0
u x g x x =→，A u f u u =→)(lim 0。

则在x 0的某去心邻域，
当0)(u x g ≠时（重点），则可以推出A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0
a) n = m 时，原式=
m
n
b a b) n < m 时，原式=0 c) n > m 时，原式= ∞
3)
nx n e ∞
→lim
a) x < 0 , 原式=0 b) x >0 , 原式=∞ c) x = 0, 原式=1
方法三：利用等价无穷小
方法四：利用夹逼定理
方法五：利用单调有界准则：通常证明有界时，我们使用定义或者进行不等式的放缩。

常见的等价无穷小记忆：（x->0,同理，将x 替换成0)(→x ϕ同样成立）
x x x x x ~arcsin ~arctan ~tan ~sin
x x In ~)1(+，x e x ~1-，2
2
1~
cos 1x x -，mx x m ~1)1-+（，xIna a x ~1- 两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x
x x =+→)11(lim 0
常见的不等式：
1) ab b a ≥+2
，（a>0, b>0）,同时，也可以写成ab b a 222≥+ 2)
n
n n a a a n
a a a a ......21321≥++++ 3)
b a b a b a -≥±≥+，同时可推广至绝对值内n 个数加减
方法六：利用洛比塔法则
方法七：利用泰勒公式求极限
方法八：利用从0到1的定积分的定义计算
⎰=∑=10
11lim x n i
n n i
应用洛比塔法则的注意事项： 使用条件：1，
∞∞00
2，在定义域内可导。

但如果求出来的极限不存在，即为∞，则不应该使用洛必塔法则
常见的需要记忆的泰勒公式：
第五节：连续与间断
连续 左右极限存在并且相等，且等于该点函数值
间断点：
1)可去间断点
a.间断点有定义，且左右极限相等，但不等于该点函数值
b.间断点无定义，左右极限相等
2)跳跃间断点：左右极限存在但不相等。

求函数的间断点及其类型的解题步骤
1．找出间断点，一般是无定义的点。

如分母不能为0等等
2．对每个间断点求左右极限
3．左右极限相等，第一类间断点，且为可去间断点。

左右极限存在但不相等，第一类间断点，为跳跃间断点
左右极限至少有一个不存在，为第二类间断点
左右极限为无穷，为无穷间断点。