2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例教案文新人教A版

第3讲 平面向量的数量积及应用举例

一、知识梳理 1．向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．

(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．

[注意] 当a 与b 同向时，θ＝0°；a 与b 反向时，θ＝180°；a 与b 垂直时，θ＝90°.

2．平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a||b |·cos θ叫做a 与b 的

数量积，记作a·b

投影

|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，

|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影

几何意义

数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积

[注意] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .

(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .

4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论

已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.

结论 几何表示

坐标表示

模 |a |＝a·a |a|＝x 21＋y 2

1

夹角

cos θ＝

a·b

|a||b|

cos θ＝

x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21x 22＋y 2

2

a⊥b 的充要条件

a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0

常用结论

(1)两向量a 与b 为锐角⇔a ·b ＞0且a 与b 不共线． (2)两向量a 与b 为钝角⇔a ·b ＜0且a 与b 不共线． (3)(a ±b )2

＝a 2

±2a ·b ＋b 2

. (4)(a ＋b )·(a －b )＝a 2

－b 2

. (5)a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |. (6)a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 二、习题改编

(必修4P108A 组T6改编)已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( )

A ．12

B ．6

C ．3 3

D ．3

解析：选B.a ·b ＝|a |·|b |cos 135°＝－122，所以|b |＝－122

4×⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－22＝6.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )

(5)两个向量的夹角的范围是⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )

(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×

二、易错纠偏

常见误区(1)没有找准向量的夹角致误； (2)不理解向量的数量积的几何意义致误； (3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．

1．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则BA →·AC →

的值为 ．

解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22×AC ×AB ＝22＋32－（10）22×2×3＝1

4

.所以

BA →·AC →＝|BA →||AC →|cos (π－A )＝－|BA →||AC →

|·cos A ＝－3×2×14＝－32

.

答案：－3

2

2．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为 ．

解析：由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－2

3．已知向量a 与b 的夹角为π

3，|a |＝|b |＝1，且a ⊥(a －λb )，则实数λ＝ ．

解析：由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos π3＝1

2，因为a ⊥(a －λb )，所以a ·(a －λb )＝

|a |2

－λa ·b ＝1－λ

2

＝0，所以λ＝2.

答案：2

平面向量数量积的运算(师生共研)

(一题多解)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，

∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →

＝ ．

【解析】 法一：在等腰△ABE 中，易得∠BAE ＝∠ABE ＝30°，故BE ＝2，则BD →·AE →

＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝AD →·AB →＋AD →·BE →－AB 2→－AB →·BE →

＝5×23×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－23×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.

法二：在△ABD 中，由余弦定理可得