第14讲有式的恒等变形

第14讲有理式的恒等变形

可以数是属统治着整个量的世界，而算数的四

则运算则可以看作是数学家的全部装备

麦克斯韦

知识方法扫描

有理式的恒等变形可以分为无条件限制等式和有条件限制等式两大类.

无条件等式的证明方法很多，常用的有：直接从左到右或从右到左的变形（常 常是从较复杂的一边向较简单的一边变形），还有比较法、分析法等.

条件等式的证明实质上是有根据，有目标的有理式的恒等变形，条件等式证 明的基本方法是对约束条件或待证等式进行适当变形， 运用有理式的对称，轮换 性质，有关非负数的性质及比较法，消元法和换元法等•在证明过程中，不但要 注意已知条件的变换，使之有利于应用，同时也要研究结论的需求， 结论部分复 杂的也要进行比较变换，使之有利于已知条件的沟通.

经典例题解析

2 2

b ea ab e (b e)(b a) (e a)(e b)

分析要证A=B ，可先证A-B=O ，这种方法称为求差法。

这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a ， e 代b ，a 代c ,则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第 三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项.具有这种特性的式子叫作 轮换式.利用这种特性，可使轮换式的运算简化.

证明因为

例1.求证:

a 2 be (a b)(a e)

左-右

a 2 be (a b)(a e)

b 2 ca (b e)(b a)

e 2 ab (e a)(e b)

a 2 be (a b)(a e)

a 2 ae ae be

(a b)(a e)

a(a c) c(a b) (a b)(a e)

a. e abac

同理

b 2 ea

e 2 ab

(b e)(b a) b e b a (e a)(e b) e a b e

a e

b a e a b a e b e b a e a

评注本例若采用通分化简的方法将很繁•像这种把一个分式分解成几个部 分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧.

例 2 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z). 证明用换元法.令

y+z-2x=a ，① z+x-2y=b ，② x+y-2z=e ，③

则要证的等式变为a 3+b 3+e 3=3abe.

注意到因式分解公式： a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(孑+b 2+c 2-ab-bc-ca),将①，②, ③相加有

a+b+e=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，

所以 a 3+b 3+c 3-3abc=0,

故(y+z-2x) 3+(z+x-2y) 3+(x+y-2z) 3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z). 评注换元是恒等变形的常用技巧.

例3.( 1957年武汉市中学生数学竞赛试题)

已知x+y+z=xyz ，证明:

x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz .

分析 将左边展开，利用条件x+y+z=xyz ，将等式左边化简成右边. 证明 因为x+y+z=xyz ，所以

左边=x(1-z 2-y 2-y 2z 2)+y(1-z 2-x 2+x 2z 2)+(1-y 2-x 2+x 2y 2)

=(x+y+z)-xz 2-xy 2+xy 2z 2-yz 2+yx 2+yx 2z 2-zy 2-zx 2+zx 2 y 2 =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)

所以 左—右 =

a 2 be (a b)(a e)

b 2 ea (b e)(b a)

e 2 ab (e a)(e b)

0.

=xyz_xy(xyz_z)_xz(xyz_y)_yz(xyz_x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz =4xyz=右边.故结论成立。

例4（ 1994年蓝溪市初中数学竞赛） 已知

2 x yz a

2

y zx b

a 2 bc

b 2 ca

c 2 ab

2 2 _

分析设7

j

a

b

c k

如果这时关于k,x,y,z 的有理式相等，那么结论就可证得。

2

解设」

a z 2 1

-则a,b,c 就可求出，代入所要证的等式,

分别代入

a k(x 2 a 2 be x a 2 be

x

2

y zx b yz),b b 2 ca y k 2(x 2

2 2

k(y zx),c k(z xy),

yz)2 k 2(y 2 zx)(z 2 xy) k 2(x 4 y 2z 2 2x 2yz y 2z 2 xy 3 xz 3

x 2yz)

x

k 3(x 3 y 3 z 3 3xyz),

同理

b 2 ca

y

k 2(y 2 zx)2 k 2(x 2 yz)(z 2 xy)

y

所以 例5.

k 2(x 3 y 3 z 3 3xyz), x ab1 2/ 3 3 3

k (x y z 3xyz), z

2 2 2

a bc

b ca

c ab

。

x

y z

(1993年浙江绍兴市初中数学竞赛试题)

已知a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=O ,

求证：

cy

bz az cx bx ay