高一数学课件 平面

▪ 3．立体几何体中的平面与平面几何中的平 面图形是有区别的：平面图形如三角形， 正方形，梯形等它们有大小之分；而平面 是无大小、无厚薄之分的，它可以无限延 伸，它是不可度量的．
▪ 例1 判断下列说法是否正确，并说明理 由．
▪ (1)平行四边形是一个平面．
▪ (2)任何一个平面图形都是一个平面．
▪ (3)空间图形中先画的线是实线，后画的线 是虚线．
▪ ∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共 面．
▪ 【规律方法】 在证明多线共面时，常用 “纳入法”或“同一法”(如本例)来证明．
▪ 变式2 已知直线l与两平行直线a和b分别 相交于A，B两点．求证：三条直线a，b，l 共面．
▪ 证明：证法一：(纳入法)如下图所示．
▪ ∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面α.
【证明】 连结 EF，D1C，A1B.
∵E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点，∴EF∥12A1B. 又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，
∴E，F，D1，C 四点共面，且 EF＝12D1C， ∴D1F 与 CE 相交于点 P.
▪ 又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD. ▪ ∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点． ▪ 又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， ▪ 根据公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA
▪ 3．假设不共面，结合题设推出矛盾，用 “反证法”．
▪ 例2 求证：两两平行的三条直线如果都与 另一条直线相交，那么这四条直线共面．
▪ 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
▪ 求证：直线a、b、c和l共面． ▪ 【分析】
▪ 【证明】 ∵a∥b，∴直线a与b确定一个
平面，设为α，
▪ 要点三 共线问题
▪ 利用公理3证明三点共线：两个平面的公共 点在交线上．
▪ 如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、 BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG 交于点O.
▪ 求证：B、D、O三点共线．
▪ 【分析】 解答本题只要证明点O在平面 ABD与平面CBD的交线BD上即可。
▪ 【证明】 ∵E∈AB，H∈AD， ▪ ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面
▪ 变式3 如图，已知△ABC在平面α外，它 的三边所在直线分别交α于P，Q，R，求证： P，Q，R三点共线．
▪ 证明：∵A，B，C为α外的三点， ▪ ∴△ABC所在的平面β与平面α不重合． ▪ ∵P＝AB∩α，∴P为平面α与β的公共点，
▪ 同理可证：R，Q也是平面α与β的公共点， 由公理3知，P，Q，R三点共线.
ABD. ▪ ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD. ▪ 同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面
BCD， ▪ ∴O∈BD，即B、D、O三点共线．
▪ 【规律方法】 证明多点共线通常利用公 理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证 明点分别在两个平面内，证明点在相交平 面的交线上，也可选择其中两点确定一条 直线，然后证明其他点也在其上．
▪ 又∵a∩l＝A，b∩l＝B， ▪ ∴A∈a，B∈α，∴l⊂α.
▪ 因此直线a，b，l都在平面α内，即三线共 面．
▪ 证法二：(同一法)∵a∩l＝A， ▪ ∴直线a与l确定一平面α.
▪ 又∵a∥b，∴直线a和b确定一平面β.
▪ ∵b∩l＝B，∴B∈β且B∉a. ▪ 又∵a⊂α，a⊂β，
▪ ∴α和β有公共的一条直线a. ▪ 又∵B∈α，B∈β，B∉a， ▪ ∴由推论可知，α和β重合． ▪ ∴直线a，b，l共面.
▪ 【分析】 解答本题可先考虑平面的性质 及其画法，然后依次解决。
▪ 【解】 (1)不正确．平行四边形它仅是平 面上四条线段构成的图形，它是不能无限 延展的．
▪ (2)不正确．平面图形和平面是完全不同的 两个概念，平面图形是有大小的，它是不 可能无限延展的．
▪ (3)不正确．在空间图形中，我们一般是把 能够看得见的线画成实线，把被平面遮住 看不见的线画成虚线(无论是题中原有的， 还是后引的辅助线)．
▪ 求证：a、b、c三条直线必过同一点．
▪ 证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ. ▪ 由于直线a和b不平行，∴a、b必相交． ▪ 设a∩b＝P，则P∈a，P∈b. ▪ ∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. ▪ 又α∩β＝c，∴P∈c 即交线c经过点P. ▪ ∴a、b、c三条直线相交于同一点．
▪ 【规律方法】 (1)在立体几何中，我们 通常用平行四边形表示平面，但绝不是 说平行四边形就是平面．
▪ (2)要严格区分“平面图形”和“平面” 这两个概念．
▪ (3)在平面几何中，凡是后引的辅助线都画 成虚线，在立体几何中却不然．
▪ 有的同学在学习立体几何时，对此点没有 认识，必将影响空间立体感的形成，削弱 或阻断空间想象能力的培养．
▪ 要点四 共点问题
▪ 利用公理3证明多线共点：任意两条直 线的交点是两个平面的公共点，两个平 面的公共点在两个平面的交线上．
▪ 例4 如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中 点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．
▪ 【分析】 因为CE⊂平面ABCD，D1F⊂ 平面ADD1A1，且平面ABCD∩平面 ADD1A1＝AD.所以可证明D1F与CE的交 点在直线DA上．
▪ 要点二 共面问题
▪ 某些点或线在同一个平面内，称之为这些 点、线共面．
▪ 证明点、线共面问题的理论依据是公理1和 公理2，及其推论，常用方法有：
▪ 1．先由部分点、线确定一个面，再证其余 的点、线都在这个平面内，即用“纳入 法”；
▪ 2．先由其中一部分点、线确定一个平面α， 其余点、线确定另一个平面β，再证平面α 与β重合，即用“同一法”；
▪ ∵l∩a ＝A ， l∩b＝ B ， ∴ A∈a， B∈b， 则 A∈a，B∈α.
▪ 而A∈l，B∈l，∴由公理1可知：l⊂α.
▪ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，
▪ 同理可知l⊂β. ▪ ∴平面α和平面β都包含直线b与l，
▪ 且l∩b＝B，
▪ 又∵经过两条相交直线，有且只有一个平 面，
2．1.1 平 面
▪ 要点一 平面概念的理解
▪ 1.平面是一个不加定义，只须理解的最基本 的原始概念．常见的桌面、黑板面、平静 的水面等，都给我们以平面的形象．
▪ 2．立体几何里所说的平面就是从生活中的 平面抽象出来的，生活中的平面是比较平、 且有限的，而立体几何中的平面是理想的、 绝对的“平”并无限延展的．
相交于一点．
▪ 【规律方法】 证明三线共点的基本方法 是：(1)先说明两条直线共面且相交于一点， 然后说明这个点在两个平面内，于是该点 在这两个平面的交线上，从而得到三线共 点．(2)也可以先说明a，b相交于一点A，b 与c相交于一点B，再说明A、B是同一点， 从而得到a、b、c三线共点．
▪ 变式4 如图三个平面α、β、γ两两相交于 三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b， 若直线a和b不平行．
▪ 变式1 在下列命题中，正确命题的个数为 ()
▪ ①书桌面是平面 ▪ ②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起
来厚
▪ ③有一个平面的长是50 m，宽是20 m
▪ ④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延 展的抽象的数学概念
▪ A．1
B．2
▪ C．3
D．4
Baidu Nhomakorabea
▪ 解析：平面具有无限延展性，且无薄厚之
分．
▪ 答案：A