高一数学课件 平面

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▪ 3.立体几何体中的平面与平面几何中的平 面图形是有区别的:平面图形如三角形, 正方形,梯形等它们有大小之分;而平面 是无大小、无厚薄之分的,它可以无限延 伸,它是不可度量的.
▪ 例1 判断下列说法是否正确,并说明理 由.
▪ (1)平行四边形是一个平面.
▪ (2)任何一个平面图形都是一个平面.
▪ (3)空间图形中先画的线是实线,后画的线 是虚线.
▪ ∴平面α与平面β重合,∴直线a,b,c和l共 面.
▪ 【规律方法】 在证明多线共面时,常用 “纳入法”或“同一法”(如本例)来证明.
▪ 变式2 已知直线l与两平行直线a和b分别 相交于A,B两点.求证:三条直线a,b,l 共面.
▪ 证明:证法一:(纳入法)如下图所示.
▪ ∵a∥b,∴直线a,b确定一个平面α.
【证明】 连结 EF,D1C,A1B.
∵E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点,∴EF∥12A1B. 又∵A1B∥D1C,∴EF∥D1C,
∴E,F,D1,C 四点共面,且 EF=12D1C, ∴D1F 与 CE 相交于点 P.
▪ 又D1F⊂平面A1D1DA,CE⊂平面ABCD. ▪ ∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点. ▪ 又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA, ▪ 根据公理3,可得P∈DA,即CE、D1F、DA
▪ 3.假设不共面,结合题设推出矛盾,用 “反证法”.
▪ 例2 求证:两两平行的三条直线如果都与 另一条直线相交,那么这四条直线共面.
▪ 已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
▪ 求证:直线a、b、c和l共面. ▪ 【分析】
▪ 【证明】 ∵a∥b,∴直线a与b确定一个
平面,设为α,
▪ 要点三 共线问题
▪ 利用公理3证明三点共线:两个平面的公共 点在交线上.
▪ 如图,E、F、G、H分别是空间四边形AB、 BC、CD、DA上的点,且直线EH与直线FG 交于点O.
▪ 求证:B、D、O三点共线.
▪ 【分析】 解答本题只要证明点O在平面 ABD与平面CBD的交线BD上即可。
▪ 【证明】 ∵E∈AB,H∈AD, ▪ ∴E∈平面ABD,H∈平面ABD.∴EH⊂平面
▪ 变式3 如图,已知△ABC在平面α外,它 的三边所在直线分别交α于P,Q,R,求证: P,Q,R三点共线.
▪ 证明:∵A,B,C为α外的三点, ▪ ∴△ABC所在的平面β与平面α不重合. ▪ ∵P=AB∩α,∴P为平面α与β的公共点,
▪ 同理可证:R,Q也是平面α与β的公共点, 由公理3知,P,Q,R三点共线.
ABD. ▪ ∵EH∩FG=O,∴O∈平面ABD. ▪ 同理O∈平面BCD,即O∈平面ABD∩平面
BCD, ▪ ∴O∈BD,即B、D、O三点共线.
▪ 【规律方法】 证明多点共线通常利用公 理3,即两相交平面交线的惟一性,通过证 明点分别在两个平面内,证明点在相交平 面的交线上,也可选择其中两点确定一条 直线,然后证明其他点也在其上.
▪ 又∵a∩l=A,b∩l=B, ▪ ∴A∈a,B∈α,∴l⊂α.
▪ 因此直线a,b,l都在平面α内,即三线共 面.
▪ 证法二:(同一法)∵a∩l=A, ▪ ∴直线a与l确定一平面α.
▪ 又∵a∥b,∴直线a和b确定一平面β.
▪ ∵b∩l=B,∴B∈β且B∉a. ▪ 又∵a⊂α,a⊂β,
▪ ∴α和β有公共的一条直线a. ▪ 又∵B∈α,B∈β,B∉a, ▪ ∴由推论可知,α和β重合. ▪ ∴直线a,b,l共面.
▪ 【分析】 解答本题可先考虑平面的性质 及其画法,然后依次解决。
▪ 【解】 (1)不正确.平行四边形它仅是平 面上四条线段构成的图形,它是不能无限 延展的.
▪ (2)不正确.平面图形和平面是完全不同的 两个概念,平面图形是有大小的,它是不 可能无限延展的.
▪ (3)不正确.在空间图形中,我们一般是把 能够看得见的线画成实线,把被平面遮住 看不见的线画成虚线(无论是题中原有的, 还是后引的辅助线).
▪ 求证:a、b、c三条直线必过同一点.
▪ 证明:∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a⊂γ,b⊂γ. ▪ 由于直线a和b不平行,∴a、b必相交. ▪ 设a∩b=P,则P∈a,P∈b. ▪ ∵a⊂β,b⊂α,∴P∈β,P∈α. ▪ 又α∩β=c,∴P∈c 即交线c经过点P. ▪ ∴a、b、c三条直线相交于同一点.
▪ 【规律方法】 (1)在立体几何中,我们 通常用平行四边形表示平面,但绝不是 说平行四边形就是平面.
▪ (2)要严格区分“平面图形”和“平面” 这两个概念.
▪ (3)在平面几何中,凡是后引的辅助线都画 成虚线,在立体几何中却不然.
▪ 有的同学在学习立体几何时,对此点没有 认识,必将影响空间立体感的形成,削弱 或阻断空间想象能力的培养.
▪ 要点四 共点问题
▪ 利用公理3证明多线共点:任意两条直 线的交点是两个平面的公共点,两个平 面的公共点在两个平面的交线上.
▪ 例4 如图所示,在正方体ABCD- A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中 点.求证:CE、D1F、DA三线交于一点.
▪ 【分析】 因为CE⊂平面ABCD,D1F⊂ 平面ADD1A1,且平面ABCD∩平面 ADD1A1=AD.所以可证明D1F与CE的交 点在直线DA上.
▪ 要点二 共面问题
▪ 某些点或线在同一个平面内,称之为这些 点、线共面.
▪ 证明点、线共面问题的理论依据是公理1和 公理2,及其推论,常用方法有:
▪ 1.先由部分点、线确定一个面,再证其余 的点、线都在这个平面内,即用“纳入 法”;
▪ 2.先由其中一部分点、线确定一个平面α, 其余点、线确定另一个平面β,再证平面α 与β重合,即用“同一法”;
▪ ∵l∩a =A , l∩b= B , ∴ A∈a, B∈b, 则 A∈a,B∈α.
▪ 而A∈l,B∈l,∴由公理1可知:l⊂α.
▪ ∵b∥c,∴直线b与c确定一个平面,设为β,
▪ 同理可知l⊂β. ▪ ∴平面α和平面β都包含直线b与l,
▪ 且l∩b=B,
▪ 又∵经过两条相交直线,有且只有一个平 面,
2.1.1 平 面
▪ 要点一 平面概念的理解
▪ 1.平面是一个不加定义,只须理解的最基本 的原始概念.常见的桌面、黑板面、平静 的水面等,都给我们以平面的形象.
▪ 2.立体几何里所说的平面就是从生活中的 平面抽象出来的,生活中的平面是比较平、 且有限的,而立体几何中的平面是理想的、 绝对的“平”并无限延展的.
相交于一点.
▪ 【规律方法】 证明三线共点的基本方法 是:(1)先说明两条直线共面且相交于一点, 然后说明这个点在两个平面内,于是该点 在这两个平面的交线上,从而得到三线共 点.(2)也可以先说明a,b相交于一点A,b 与c相交于一点B,再说明A、B是同一点, 从而得到a、b、c三线共点.
▪ 变式4 如图三个平面α、β、γ两两相交于 三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b, 若直线a和b不平行.
▪ 变式1 在下列命题中,正确命题的个数为 ()
▪ ①书桌面是平面 ▪ ②8个平面重叠起来,要比6个平面重叠起
来厚
▪ ③有一个平面的长是50 m,宽是20 m
▪ ④平面是绝对的平,无厚度,可以无限延 展的抽象的数学概念
▪ A.1
B.2
▪ C.3
D.4
Baidu Nhomakorabea
▪ 解析:平面具有无限延展性,且无薄厚之
分.
▪ 答案:A
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